浙大数学建模-数学建模概论.

合集下载

浙大数学建模-微分方程建模

微分方程建模
浙江大学城市学院

§3.1 微分方程的几个简单实例
在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，
本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。
图3-6
Malthus模型和Logistic模型的总结 Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。用模拟近似方法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。 Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
历史背景:
为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据，范· 梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。
l
(0) 0, (0) 0

数学建模课程教案浙江大学

教案名称：数学建模课程课时安排：2学时教学目标：1. 使学生了解数学建模的基本概念和方法；2. 培养学生运用数学知识和方法解决实际问题的能力；3. 培养学生团队合作精神和沟通表达能力。

教学内容：1. 数学建模的基本概念；2. 数学建模的方法和步骤；3. 数学建模案例分析。

教学过程：第一学时一、导入（10分钟）教师通过引入实际问题，激发学生对数学建模的兴趣，如：优化物流配送路线、预测股市走势等。

二、数学建模的基本概念（15分钟）1. 定义：数学建模是一种运用数学知识和方法解决实际问题的过程。

2. 分类：连续模型、离散模型、随机模型等。

3. 数学建模的意义：提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养团队合作精神和沟通表达能力。

三、数学建模的方法和步骤（20分钟）1. 明确问题：理解实际问题的背景和目标，提炼数学模型所需的关键信息。

2. 建立模型：根据实际问题的特点，选择合适的数学方法和理论，构建数学模型。

3. 求解模型：运用数学软件或手工计算，求解数学模型得到结果。

4. 验证模型：分析求解结果，检验模型的合理性和有效性。

5. 改进模型：根据验证结果，对模型进行调整和改进。

6. 撰写论文：整理解题过程和结果，撰写数学建模论文。

四、数学建模案例分析（15分钟）教师展示一个具体的数学建模案例，如：最小二乘法拟合直线、线性规划等，引导学生了解案例的背景、建模方法和求解过程。

第二学时一、课堂讨论（10分钟）学生分组讨论案例中的数学建模方法，分享自己的理解和心得。

二、小组合作完成数学建模任务（35分钟）1. 教师提出一个实际问题，要求学生分组合作，完成数学建模的全过程。

2. 学生分组讨论，明确问题、建立模型、求解模型、验证模型等步骤。

3. 学生利用数学软件或手工计算，求解数学模型得到结果。

4. 各组展示成果，讨论评价各组的模型和结果。

三、总结与反思（10分钟）1. 教师引导学生总结本次课程的学习内容，巩固数学建模的基本概念和方法。

浙大城院数学建模2上课讲义

图2-1
向夹角为 1的方向以速度v1行驶 (假设v1为常数)，护卫舰将沿与x轴正向夹角为的2 方
向以速度v2行驶, 并设汇合地点为P(x,y)。我们记
v2 a v1 (设v2为常数，从而 a 亦为常数，后面会说明，令v2为
常数是有理由的)。
讨论根据题意，护卫舰和航母将在某段时间之后同时到达会合地点，护卫舰到达会合地点所行进的距离应
会合地点P(x,y)，最后求得自己的航行方向以最大航速去会合，故关键是求出航向)。
(护2 卫舰总
MCM
8
我们曾将本节讨论的内容布置为最初几节课的习题让学生自己来解答，只有少数同学能将问题分析得这样清楚且便于实际使用。但也有同学给出了更加简单的确定护卫舰航行方向的方法：不妨假设a>1，在获知航母的航向和速度之后，根据护卫舰自身的最
x2 (y h)2 r2
y (tan1)x b
求得交点P(x,y)后，将x、y代入方程
中以求出
，即求出
2
2
arctan
y
b x
此即护卫舰应取的航行方向。
（2.3）
y(tan2)xb
本模型虽很简单，但分析非常清晰且易于实际应用：
护卫舰可事先编好程序，一旦航母告知了航行的方向与
速度，护卫舰上的计算机可立即求出a，进而求出h、r及
MCM
1
2020/4/26
§ 2.1 舰艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻一名被迫跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母向护卫舰通报了航母当前的位置、航速与航向，并指令护卫舰尽快返回，问护卫舰应当怎样航行，才能在最短时间内与航母汇合。
为计算方便，我们假设海洋是一个平面，建立平面直角坐标系如图 2-1所示，航母在A(0,b) 处，护卫舰在B(0，－b) 处，两者间的距离设为 2b。。

数模概论

模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
数学问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
各部分要注意的细节
• 模型评价部分：
– 优点突出，缺点不回避。改变原题要求，重新建模可在此做。进行推广或模型改进时，尽量使用已经用过的术语。
• 附录部分
– 列出详细的结果，详细的数据表格（错的宁可不列）。主要结果数据，应在正文中列出，不怕重复。
• 参考文献 • 检查答卷的主要三点，把三关：（1）模型的正确性、合理性、创新性；（2）结果的正确性、合理性；（3）文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩
各部分要注意的细节
– （3）模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。数学建模面临的、要解决的是实际问题，不追求数学上高（级）、深（刻）、难（度大）。能用初等方法解决的、就不用高级方法；能用简单方法解决的，就不用复杂方法；能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。 – （4）鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异 – 数模创新可出现在1）建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等；2）模型求解中；3）结果表示、分析、检验，模型检验；4）推广部分 – （5）在问题分析推导过程中，需要注意的问题：分析要中肯、确切；术语要专业、内行；原理、依据要求正确、明确；表述要求简明，关键步骤要列出。忌外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长
数学建模论文的书写
• 论文结构： • 摘要关键词（1）问题重述（2）问题背景（3）问题分析（4）模型假设与约定（5）符号说明及名词定义（6）模型建立（问题分析，公式推导，基本模型，最终或简化模型等）与求解(包括设计或选择合适的计算方法和算法，设计算法的实现步骤和计算框图；所采用的软件名称；引用或建立必要的数学命题和定理；求解方案及流程 )（7）进一步讨论（8）模型检验（9）模型优缺点（10）附录

数学建模概论

n n n
姜启源、谢金星、叶俊《数学建模(第三版)》，高等教育出版社
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建香Ì
数学建模概论
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 Ì香Ì
数学建模
建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 ÿ
1.2
数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建屜
例. 地图
概念抽象（不是模型！）：楼群、居住小区、公共场所与设施、商区、政府机关、河流、湖泊、公交线路、各级公路、快速路、高速路、立交桥等等。目的：城市交通研究抽象出结构：小区、商区、立交桥、道路、交叉路口等概念的关联和区分——忽略细部特征、概念的部分内涵、人口结构等等。模型表示：城市交通地图
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建屜
2）工程技术模型建筑模型，交通模型，电路模型，服装模型等等。表达：建筑设计图、交通网络、电路图、服装模版等。 3）生命科学模型新陈代谢模型、光合作用模型、血液循环模型、 DNA双螺旋模型、蛋白质结构模型等等。 4）化学模型苯环、化学健理论、反应平衡等等； 5）物理模型基本粒子、原子模型、晶体模型、光学的衍射等等。用专业理论抽象出的结构，并用专业语言表示的模型

浙大城院数学建模4

MCM
13
00:48:12
德兰努瓦(M. Delannoy)证明： (1)n=2，m=2，k=5； (2)n=3，m=3，k=11 (3)n=4，m=3，k=9； (4)n=5，m=3，k=11 (5)n≥6，m=4，k=2n-3
(问题4) 德丰特内(M. De Fonteney)指出，如果河中有一个岛，那么，不管有多少对夫妻，只要有一只可载2人的船，他们均能过河(2对、3对时不需要岛），最少摆渡次数为。
有些较为复杂的问题，开始时常常给人以一种变幻莫测的感觉。但经过细微的分析研究，可以发现其中存在着某些内在的关系。在使用适当的数学工具后，这些内在关系就被一一揭露出来了。
德国著名的艺术家Albrecht Dürer(1471-1521) 于1514年曾铸造了一枚名为“Melencotia I”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数字及几何图形。这里，我们仅研究铜币右上角的数字问题。
MCM
3
00:48:12
(i) 可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如（0,1,1,0）就是一个不可取的状态，因为狗会咬鸡。本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：
人在此岸人在对岸
(1 1 1 1) (0 0 0 0)
(1 1 1 0) (0 0 0 1)
(1 1 0 1) (0 0 1 0)
(第一次渡河) (1,1, 0, 0) (0, 0,1,1)
(1,1,1,1)

(1, (1,
0,1, 0) 0, 0,1)

(0,1, 0,1) (0,1,1, 0)

(1, 0, 0, 0) (0,1,1,1)

第0章数学建模概论

第0章数学建模概论第0章数学建模概论一般说来，数学建模是科学研究过程中的一个环节。

我们应当了解科学研究的大致过程，以及建模的大概步骤。

科学研究过程就是对客观事物的认识过程。

因此它仍然遵循着一般的认识规律。

不过它把这个认识过程组织得更加具体、周详、精确。

总的说来，可以说是一个科学研究思维的过程。

科学研究思维过程包括四大阶段，即发现问题、了解情况、深入思考和实践验证。

一项科学研究可以包括这个全过程，也可以是只在其中的一个或一个以上的阶段里进行工作并取得成果。

科学研究开始于发现问题。

人们在对客观事物的认识上产生了矛盾也就是出现了问题，必须解决这个矛盾或问题，提高认识，掌握了事物发展运动的规律，才能使事物按着人们的意图向前发展。

为了解决这个矛盾才需要进行科学研究。

所以科学研究的第一步就是善于认清矛盾，或者说善于发现问题。

一个科研工作者有了问题之后，就必然想对这一问题作深入的了解，了解关于这个问题的各方面的情况，了解它的来龙去脉，了解它的多方面的联系，为的是要把这一问题的有关现象或事实弄清楚。

深入思考是在上述的占有丰富资料的基础上进行的。

感性的东西并不能自发地变成理性的东西。

光是占有材料还不能上升到理论。

要想从占有材料中找出带有规律性的理论，还得在占有材料的基础上进行一番“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及理”的功夫。

这番功夫总起来说就是深入思考，详细分析，它包含着多种形式的脑力加工。

所以，当我们面对一个实际问题进行科学研究时，首先，我们应该针对所要研究的实际问题，去查找其相关的背景知识，其次要了解所要研究问题的研究现状，包括国内的和国外的研究现状，第三，还应该与同行专家等相关人士进行充分的讨论，通过这些调查以后，科研小组提出自己的研究方向与可能的研究路线（注意，并不是所有的想法都能成功地转化为一个理论模型），然后，建立自己的模型，得到自己的科研成果。

我们用下面的草图来说明：在科学研究过程中，数学建模是其核心。

数学建模概论.

数学建模概论
太原理工大学数学系魏毅强教授
第一章数学模型概论
1.1 数学模型与数学建模 1.2 数学建模示例1 1.3 数学建模示例2 1.4 数学建模示例3 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 数学建模的方法和步骤 1.7 怎样撰写数学建模的论文
1.1 数学模型与数学建模
原型：原型是指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象
数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，需要有较好的抽象概括能力、数学语言的翻译能力、善于抓住本质的洞察能力、联想及综合分析能力、掌握和使用当代科技成果的能力等。从而数学建模是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的综合能力与素质的必备手段之一。
数学建模是一种创造性的思维活动，没有统一模式和固定的方法，在数学建模过程中需要充分发挥想象力，善于联想，新颖而独特地提出问题、解决问题，并由此产生有价值的新思想、新方法、新成果等。从而数学建模也是培养和提高同学们想象力和创新能力的必备手段之一。
数学模型是一种抽象的模拟，它用符号、式子、程序、图形等数学语言刻划客观事物的本质属性与内在联系，是现实世界的简化而又本质的描述。
数学模型的三个主要功能是：解释、判断与预测。也就是数学模型能用来解释某些客观现象及发生的原因；数学模型能用来判断原来知识，认识的可靠性；数学模型能用来预测事物未来的发展规律，或为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略，为人们的行为提供指导。
问题分析
这是一类智力游戏问题，可经过一番逻辑推理求解。当然也可视为一个多步决策问题，每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要对船上的人员作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数不比商人多）经有限步使全体人员过河

数学建模概论---浙江师范大学研究生会ppt课件

原因：人体进食是为了维持能量的消耗，因此所需
的能量与体重有关。而体重w与身高h有什么
关系呢？是否w=精k选h编3辑？ppt
14
如何预报人口的增长
背景
世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况
(Case Studies)来学习。
精选编辑ppt
9
机理分析的例子
1、问题的分析与假设
把四足动物的躯干看作圆柱体，长度l、直径d、断面面积s如下图所示。
将这种圆柱体的躯干类比作—根支撑在四肢上的弹性
梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。
精选编辑ppt
10
机理分析的例子
2、模型的建立：
原理：动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b，即梁的
➢ 4.模型求解。
应当借助计算机求出数值解。
➢ 5.模型的分析与检验。
精选编辑ppt
22
全国大学生数学建模竞赛
➢ 时间：每年9月中下旬。
➢ 内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有标准答案。
➢ 对象：全国本专科学生，专业不限，分甲乙组
➢ 形式：3人一组，三天三夜，自由完成
➢ 目的：培养学生独立进行研究的能力，运用数学和计算机的能力，团结合作精神和进行协调的组织能力等。
x(20)0027.54 实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数
r=0.2490, xm=434.0
x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)

浙江大学数学建模——初等模型(杨起帆)

若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求得h≈73.6米。
进一步深入考虑
多测几次，取平均
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间值0+中包，含即了可反应时间
不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力，时假的如结仍果设。t=4秒，扣除反
应时间后应为3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。
汇合点即可p必求位出于P点此的圆坐上标。和
θ2 的值。
y(ta1)nxb（护卫舰的路线本方模程型）虽简单，但分析
y(ta2n )xb（航母的路线方极程清）晰且易于实际应用
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方，许多住房的玻璃窗都是双层玻璃的，现在我们来建立一个简单的数学模型，研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设：大的功效。比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热，传导它们的差异仅仅在引流窗起。户的不，同不。存在户内外的空气对
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
令： ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成：
x2(y-h)2r2
解得： Ta1 2 k1(lk1kl2)d/(T k12d)T2
k1T1(12 k1 ldk k1 2 ldk )T 21 dT2 k1d2T 1k 1lT2 k2d
f(h)
室外
T2
室1 0.9内
类似有

k1
T1 T2 2d

数学建模简明教程课件：数学模型概论

AC与BD的位置互换，故有
2
f
2
0，
g
2
0
h(θ)＝f(θ)－g(θ)，显然有
h(0) 0，
h
π 2
0
26
h(θ)是连续函数，由连续函数的介值定理，存在
0
0,
π 2
，使得h(θ0)＝0.又由于f(θ)·g(θ)＝0，所以有
f(θ0)＝g(θ0)＝0.
就是说，存在θ0方向，使得四条腿能同时着地.因此问题
3
要用数学方法解决这些实际问题，就必须架设实际问题与数学之间的桥梁，将实际问题转化为一个相应的数学问题，然后对这个数学问题进行分析和计算，最后用所得的结果来解答实际问题.
日常生活中，我们参观展览会、博览会，看到精美的汽车模型、建筑模型、火箭模型、飞机模型、人造卫星模型等，这些是反映实物形态的直观模型.在我们每个人的头脑中也存储着不少模型，如认识的人的形象、社会活动规范、某项技术方法等，这些是供人们思维决策的抽象模型.数学模型这个概念并不是新名词，
白箱是指可以用像力学、电路理论等一些机理(指数量关系方面)清楚的学科来描述的现象，其中需要研究的主要内容是优化设计和控制方面的问题.灰箱主要是指应用领域中机理尚不清楚的现象，对于这类问题，在建立和改善模型方面还有许多工作要做.至于黑箱，主要包括的是在应用领域中一些机理完全不清楚的现象.
8
(3)按照数学模型的结构可分为分析的模型、非分析的模型和图论的模型.
10
1.2 数学建模的方法与步骤
在了解了数学模型的概念之后，如何建立数学模型，是本教程的核心，本节我们给出建立数学模型的一般方法和步骤.
11
1.Байду номын сангаас确问题

浙江大学数学建模第一章数学建模概论

否则一处的车辆将会越积越多。
例4 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即
•例3 交通马路灯的宽在度绿D是灯容易转测得换的，成问红题的灯关键时在，于L有
一个过渡的和状L确2定，态。其为中—确L定1—是L司亮，机还在一应发当段现将黄时灯L划亮间分及为判的两断段应黄：当L灯刹1 。
请分析黄车灯的反应应时当间内亮驶多过的久路程。，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司
间？请思考一下，载天十段开达五本5路会分着他分分的合钟题他就钟钟缘点。开不时。解故，往会间似而，故答会提从此乎故相人合前何中由遇条提地回而相时隐件前点家来遇他了不含，了？点已三到步那。够了十会行么提哦分哪合了这前钟点二一的。些到需十。假设
？
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。
点测得黑匣子方向后，到B点再测方向，AB 距
离为a ，∠BAC=α，∠ABC=β，利用正弦定理得
出 d = asinα/sin (α+β) 。需要指出的是，当
黑匣子位于较远处而 α又较小时，α+β可能非
常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又
恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会
很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。
比例系数不随行星而改变这其中（必绝定对是某常一数力）学

数学建模知识点总结大学

数学建模知识点总结大学一、概述数学建模是指运用数学方法和技巧，通过对实际问题的抽象、描述、分析和求解，得出定量的结果和结论，以解决现实问题的一种方法。

数学建模是一门综合性强、应用性广的学科，它要求掌握多种数学理论和方法，并善于将数学工具与实际问题相结合，用数学语言描述现实，解决实际问题。

数学建模的基本过程包括问题的建立、模型的建立、模型分析和结果验证四个环节。

数学建模的应用范围广泛，包括管理、经济、自然科学、工程技术等各个领域。

二、数学建模的基本概念1. 数学模型数学模型是对客观世界中某一系统的描述或抽象，通常用数学符号和方程式来表示。

数学模型是用数学语言建立起来的，其优点是结构清晰、精确明了。

根据模型中变量的类型和表达方式，数学模型分为连续模型和离散模型。

连续模型是指自变量和因变量是连续的，离散模型是相反的情况。

数学模型的建立需要经验和知识，并且通常依赖于具体的问题类型。

2. 数学建模的基本流程数学建模的基本流程包括问题的建立、模型的建立、模型分析和结果验证。

问题的建立是指对实际问题进行清晰的描述和阐述，明确目标和方法。

模型的建立是指将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型。

模型分析是指对数学模型进行求解和分析，并得出结论。

结果验证是指将数学模型的结果与实际问题进行比较，验证数学模型的有效性。

3. 数学建模的方法数学建模的方法包括定性建模和定量建模。

定性建模是指对某一现象的特征进行描述和分析，不考虑具体数值，例如通过图表、影响因素分析等方法，定性分析某一现象的规律。

定量建模是指对现象的具体数值进行刻画和分析，建立数学模型，通过数学公式和方程式描述现象，进行具体的计算和分析。

4. 数学建模的应用数学建模在工程技术、物理学、生物学、环境科学、经济学、管理学等各个领域都有广泛的应用。

例如在工程设计上，可以通过数学建模优化设计参数，提高性能；在经济学领域，可以通过数学建模分析市场供需、成本收益等问题；在环境科学领域，可以通过数学建模预测气候变化、环境污染等问题。

数学模型-浙江大学数学系

数学模型简介课程号：06191010课程名称：数学模型英文名称：Mathematical Modeling 周学时：2-2 学分：3预修要求：内容简介：本课程以物理、生态、环境、医学、管理、经济、信息技术等领域的一些典型实例为背景，阐述如何通过建立数学模型的方法来研究、解决实际问题的基本方法和技能。

开设本课程的目的是，在传授知识的同时，通过典型建模实例的分析和参加建模实践活动，培养和增强学生自学能力、创新素质。

参加数学建模课的学习，应自己动手解决一、二个实际问题，以求在实际参与中获取真知。

本课程包括一定学时的讨论班，学生可利用课外时间自己参与建模实践活动并自愿参加由指导教师组织的讨论班活动。

选修本课程的本科生经双向选择还有机会参加全国大学生数学建模竞赛（每年约90人）和美国大学生数学建模竞赛（每年约18人）。

选用教材或参考书：“数学建模”，杨启帆等编著，浙江大学出版社出版《数学模型》教学大纲一、课程的教学目的和基本要求本课程以物理、生态、环境、医学、管理、经济、信息技术等领域的一些典型实例为背景，阐述如何通过建立数学模型的方法来研究、解决实际问题的基本方法和技能。

开设本课程的目的是，在传授知识的同时，通过典型建模实例的分析和参加建模实践活动，培养和增强学生自学能力、创新素质。

参加数学建模课的学习，应自己动手解决一、二个实际问题，以求在实际参与中获取真知。

二、相关教学环节安排本课程包括一定学时的讨论班，学生可利用课外时间自己参与建模实践活动并自愿参加由指导教师组织的讨论班、年度校大学生数学建模竞赛活动。

选修本课程的本科生经双向选择还有机会参加全国大学生数学建模竞赛（每年约90人）和美国大学生数学建模竞赛（每年约18人）。

根据学校有关规定，在学校、全国、国际大学生数学建模竞赛获奖同学可获得学分、奖学金、免试保送研究生等奖励。

三、课程主要内容及学时分配每周4学时，17周，共计68学时。

主要内容：（1）数学建模简介3—4学时（2）初等模型6学时（3）微分方程模型10学时（4）代数方法建模4学时（5）离散模型20学时（6）随机模型4学时（7）若干实际问题研究20学时四、教材及主要参考书“数学建模”，杨启帆等编著，浙江大学出版社出版。

浙江大学数学建模主成分分析经典

1.
我们希望构造少数几个这样的综合指标，并且这几个综合指标之间是不相关的。 3. 其中反映原始观测指标的变动程度最大的综合指标最重要，我们称其为原始观测指标的第一主成分；而反映原始观测指标变动程度次大的综合指标，称为原始观测指标的第二主成分；反映原始观测指标变动程度第三大的综合指标，称为第三主成分；……，
1 T C O V ( Y )AC O V (XA ) 0
0 p
8
案例10.1
假设市场上肉类、鸡蛋、水果3种商品价格的月份资料的协方差矩阵为： 2 2 2
Σ 2 2 5 4 4 5
试求这3种价格的主成分。解：根据上述协方差矩阵，可写出其特征多项式为
T Y ( Y , Y , , Y ) 1 2 p
，即
1 ) ( ) () p Aaa (( ,2 , , a ) 则可写成主成分向量的表达形式为：
T YAX
7
我们有
,p , Yp 即 Y 不相关各自的方差为 1, 1, 总的方差是 t r Σ i 我们从 Y 中，选出对方差贡献最大的部分指标， ,Y 1, p 就达到了主成分分析的目的。
事实上，由于协方差矩阵Σ为非负定矩阵，故有p ( 1 ) ( 2 ) ( p ) 个非负特征根，从而可求出p个特征向量 a , a , a 将每一个特征向量作为一个主成分的系数向量，就可得出p个主成分。若记p个主成分组成的主成分向量为特征向量
( 1 ) ( 2 ) ( p ) A a , a , 组成的矩阵为 a
10
§10.3 样本主成分
在解决实际问题时，总体的协方差和相关阵往往都是未知的，需要通过样本来进行估计。设样本数据矩阵为

浙江大学数学建模第五章图与网络(二)

即首先给出一个初始流，这样的流是存在的，例如零流。

如果存在关于它的可增广轨，那么调整该轨上每条弧上的流量，就可以得到新的流。

对于新的流，如果仍存在可增广轨，则用同样的方法使流的值增大，继续这个过程，直到网络中不存在关于新得到流的可增广轨为止，则该流就是所求的最大流。

这种方法分为以下两个过程：A.标号过程：通过标号过程寻找一条可增广轨。

B.增流过程：沿着可增广轨增加网络的流量。

这两个过程的步骤分述如下。

（A ）标号过程：（i ）给发点标号为。

),(∞+s （ii ）若顶点已经标号，则对的所有未标号的邻接顶点按以下规则标号： x x y ① 若，且时，令，A y x ∈),(xy xy u f <},min{x xy xy y f u δδ-=则给顶点标号为，若，则不给顶点标号。

y ),(y x δ+xy xy u f =y ② ，且，令，则给标号为，若A x y ∈),(0>yx f },min{x yx y f δδ=y ),(y x δ-，则不给标号。

0=yx f y （iii ）不断地重复步骤（ii ）直到收点被标号，或不再有顶点可以标号为止。

当t 被标号时，表明存在一条从到的可增广轨，则转向增流过程（B ）。

如若点不能t s t t 被标号，且不存在其它可以标号的顶点时，表明不存在从到的可增广轨，算法结s t 束，此时所获得的流就是最大流。

（B ）增流过程（i ）令。

t u =（ii ）若的标号为），则；若的标号为，则u t v δ,(+t vu vu f f δ+=u ),(t v δ-。

t uv uv f f δ-=（iii ）若，把全部标号去掉，并回到标号过程（A ）。

否则，令，并回s u =v u =到增流过程（ii ）。

求网络中的最大流的算法的程序设计具体步骤如下：),,,,(U A V t s N =x 对每个节点，其标号包括两部分信息jf(j))max ),(pred (j 该节点在可能的增广路中的前一个节点，以及沿该可能的增广路到该节点为)(pred j 止可以增广的最大流量。

第一章,数学建模概论

第一章数学建模概论随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。

生物、医学、军事、社会、经济、管理……，各学科、各行业都涌现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。

利用数学知识研究和解决实际问题，遇到的第一项工作就是要建立恰当的数学模型（简称数学建模），数学建模正在越来越广泛地受到人们的重视。

从这一意义上讲，数学建模被看成是科学研究和技术开发的基础。

没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，从这一意义上讲，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键步骤之一。

§1.1 数学模型与数学建模模型是客观实体有关属性的模拟。

陈列在橱窗中展览的飞机模型是参照飞机实体的形状，严格按照一定的比例简缩而制成的，它的外形一定要像真正的飞机，至于它是否真的能飞则是无关紧要的；然而参加航模比赛的飞机模型则全然不同了，如果飞行性能不佳或飞不起来，外形再像飞机，也不能算是一个好的模型。

模型并非一定要是实体的一种仿照，也可以是对实体的某些基本属性的抽象。

例如，一张电路图并不需要用实物来模拟，它可以用抽象的符号、文字和数字来反映出该电路的结构特征。

数学模型（Mathematical Model）作为模型的一类，也是一种模拟，是以数学符号、数学表达式、程序、图形等为工具对现实问题或实际课题的本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略等。

数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它们的建立常常既需要人们对现实问题有比较深入细微的观察和分析，又需要人们能灵活巧妙地利用各种数学知识。

这种应用各种知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程被称为数学建模（Mathematical Modeling）。

为了更清楚地说明什么是数学建模，让我们来看一个具体实例。

数学模型建模引言

预备知识
• 高等数学 • 线性代数 • 概率论与数理统计 • 运筹学 • 大学计算机基础
教材和参考资料
• 高等教育出版社《数学模型》姜启源编 • 浙江大学出版社《数学模型》杨启帆编 • 湖南教育出版社《大学生数学建模竞赛辅导
教材》叶其孝编 • 工科数学杂志社《数学建模教育与国际数学
建模竞赛》叶其孝编 • 江苏教育出版社《数学建模竞赛教程》李尚
结论：作用于任一行星上的力，方向在太阳与行星的连线上，指向太阳（怎么看出来的？），其大小与两者之间的距离平方成反比，比例系数通过实验给出。
例2：传染病模型
背景：传染病是威胁人类健康和生命的一类疾病，如何有效地预防和控制传染病对人类的侵害，是一项相当重要的课题，其中有效预测某个时刻得病人数也是相当重要的指标。
dy dx x
y x2 y2
y2 c(c 2x)
y2 z2 c(c 2x)
旋转抛物面
经济学中的数学
• 几个常见的经济函数
• 1.单利：设初始本金为p元，银行年利率为r，则第n年末本利和为 Sn=p(1+nr)
某些物理过程的数学建模
充电过程时，有 u RI E
电容上的电量Q=Cu 逐渐增多，且
RC du u E dt
1 t
u E(1 eRC )
I dQ dt
t 3RC u 0.95E
某些物理过程的数学建模
• 例6：(探照灯反射镜面的形状)在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，请问反射镜面的几何形状？
② 抓住主要矛盾，对问题作必要的简化，提出几条恰当的假设（提出假设）；
③ 利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构（建立模型）;