高中数学排列组合部分错题精选
易错点15 计数原理、排列组合、二项式定理-备战高考数学考试易错题(新高考专用)(解析版)
专题15 计数原理与排列组合、二项式定理易错分析【正解】一、混淆二项式系数与项的系数致错1．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A ．10B ．20C ．90D ．80【错解】A ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=, 所以523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2510C =，故选A.【错因】错把二项式系数当成项的系数。
【正解】C ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=,所以22553390r r C C ⋅⋅==，故选C.2、()11a b -的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7，()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C,第7项的系数为611C ,又511C =611C ，所以数最大的项是第6或7项.【错因】错把二项式系数当成项的系数。
【正解】()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C -,第7项的系数为611C ,所以数最大的项是第7项.二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r 项致错3、二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是（ ） A ．260xB ．260x -C ．412xD ．412x -【错解】展开式的通项为()662C rrrx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,令2r =,可得展开式的第二项为22462C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=260x .故选A.【错因】误认为第二项是2r =而错误【正解】展开式的通项为()6162Crrr r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.故选D.三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为（）A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A【错解】选A ，先将4名学生均分成两组方法数为24C ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为2246C A ．【错因】该题为均匀分组，忽略除以22A 而错误.【正解】先将4名学生均分成两组方法数为2422C A ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为224622C A A ．故选B ．5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）A ．72B ．108C ．216D ．432【错解】A ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421333C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213333C C C A A 72A ⋅⋅=种不同的分配方案.【错因】该题为部分均匀分组，应除以22A ，而不是33A .【正解】C ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.四、计数时混淆有序与定序6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 【错解】1010A ，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有1010A 种．【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。
排列组合经典易错题
排列组合经典易错题排列组合经典易错题1、（2002年北京⽂科⾼考题）5本不同的书全部分给4个学⽣，每个学⽣⾄少⼀本，不同的分法种数为（）（A ）480 种（B ）240种（C ）120种（D ）96种2、某交通岗共有3⼈，从周⼀到周⽇的七天中，每天安排⼀⼈值班，每⼈⾄少值2天，其不同的排法共有（）种.（A ）5040 （B ）1260 （C ）210 （D ）6303、有甲、⼄、丙3项任务，甲需要2⼈承担，⼄、丙各需要1⼈承担，从10⼈中选派4⼈承担这三项任务，不同的选法有（）种.(A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 50404、四个不同的⼩球放⼊编号为1、2、3、4的四个盒⼦中，则恰有⼀个空盒的放法有________种.5、有⼤⼩形状相同的3个红⾊⼩球和5个⽩⾊⼩球，排成⼀排，共有多少种不同的排列⽅法？6、现有8个⼈排成⼀排照相，其中有甲、⼄、丙三⼈不能相邻的排法有（）种.（A ）5536A A ? （B ）336688A A A ?- （C ）3335A A ? （D ）4688A A - 7、7个⼈排成⼀排，甲不排头，⼄不排尾的排法有⼏种？8、某单位安排7位员⼯在10⽉1⽇⾄7⽇值班，每天安排1⼈，每⼈值班1天，若7位员⼯中的甲、⼄排在相邻两天，丙不排在10⽉1⽇，丁不排在10⽉7⽇，则不同的安排⽅案共有（A ）504种（B ）960种（C ）1008种（D ）1108种9、⽤数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的⽐1000⼤的奇数共有（）（A ）36个（B ）48个（C ）66个（D ）72个10、(2003全国⾼考题)如图，⼀个地区分为5个⾏政区域，现给地图着⾊，要求相邻区域不得使⽤同⼀颜⾊，现有4种颜⾊可供选择，则不同的着⾊⽅法共有种.（以数字作答）11、现有8个⼈排成⼀排照相，其中有甲、⼄、丙三⼈不能相邻的排法有（）种.（A ）5536A A ? （B ）336688A A A ?- （C ）3335A A ? （D ）4688A A - 12、⾼三年级的三个班到甲、⼄、丙、丁四个⼯⼚进⾏社会实践，其中⼯⼚甲必须有班级去，每班去何⼯⼚可⾃由选择，则不同的分配⽅案有（）.（A ）16种（B ）18种（C ）37种（D ）48种13、四⾯体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共⾯的点，不同的取法有（）种.(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 14114、同室四⼈各写⼀张贺年卡，先集中起来，然后每⼈从中拿出⼀张别⼈送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配⽅式有（）(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种15、如图，⽤四种不同颜⾊给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂⾊，要求每个点涂⼀种颜⾊，且图中每条线段的两个端点涂不同颜⾊.则不同的涂⾊⽅法共有（A） 288种（B）264种（C） 240种（D）168种⽐较如下三题1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配⽅法？(1)每组两本.(2)⼀组⼀本，⼀组⼆本，⼀组三本.(3)⼀组四本，另外两组各⼀本.2、六本不同的书，分给甲、⼄、丙三⼈，求在下列条件下各有多少种不同的分配⽅法？(1)甲两本、⼄两本、丙两本.(2)甲⼀本、⼄两本、丙三本.(3)甲四本、⼄⼀本、丙⼀本.3、六本不同的书，分给甲、⼄、丙三⼈，求在下列条件下各有多少种不同的分配⽅法？(1)每⼈两本.(2) ⼀⼈⼀本、⼀⼈两本、⼀⼈三本..（⼀）分组分配问题1、基本的分组问题结论1：⼀般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数⽬分别为m1，m2，…，mp，其中k组内元素数⽬相等，那么分组⽅法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---。
排列组合易错题------教师用
排列组合常见解题错误剖析排列组合是高中数学中较难学的内容之一.它与其他知识联系较少，内容比较抽象.解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高.通过多年的教学我们会发现，学生解决排列组合问题时出现的错误往往具有普遍性，因此，分析学生解题中的这些常犯错误，充分暴露其错误的思维过程，使学生认识到出错的原因，可使他们在比较中对正确的思维过程留下更深刻的印象，从而有效地提高解题准确率。
学生在解排列组合题时常犯以下几类错误：1、“加法”、“乘法”原理混淆；2、“排列”、“组合”概念混淆；3、重复计数；4、漏解.本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下：1. “加法”、“乘法”原理混淆两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有类方法，这类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.【例1】50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，其中至少有3件次品的抽法有_______种. (注：所选高考题为理科题，以下同)【正解】分为二类：第一类，先取3件次品，再取2件正品，其抽法有(分两步，用乘法原理)种；第二类，有4件次品的抽法同理有种，最后由加法原理，不同的抽法共有 +＝4186种 .【例2】从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、乙型机各一台，则不同的取法共有( ) (A)140种 (B)84种 (C)70种 (D)35种【正解】(合理分类，合理使用两个基本原理)从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1台；或从4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有＝70种选法.所以选C .2．“排列”、“组合”概念混淆界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法.【例4】有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有( ).种(A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040【正解一】不同的选法有＝2520种 .【正解二】先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出一人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有＝2520种.【正解三】从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法有＝2520种，选C.【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法.【分析】对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先选后排”.【正解】有＝24(或=24)种植方法.3、重复计数出增解【例6】(题目同例2)【正解一】(注意到错解正好多算一倍) . 【正解二】有=70种选法,所以选C.【例7】四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有________种.【正解一】在错解中消除重复，有＝144种放法.【正解二】从四个球中取出2个作为一组，与另两个球一起放入四个盒子中的三个内，有＝144种放法.【解三】将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒(自然出现一空盒)，有＝144种放法.【例8】(课本变式题)7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有几种？【正解一】减去重复数，应为-5＝3720种. 【正解二】减去重复数，应为+2- ＝3720种排法.重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出现的错误之一，且自己还很难查出错因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类问题上少出错.4、思维不严密而漏解(遗漏有关情形)【例9】(题目同例8)【正解一】(方法同错解，补上被多减的部分)有－2 +＝3720种排法. 【正解二】分为两类：甲排中间5个位，有种方法；甲排尾，有种方法，由加法原理，共有＋＝3720种排法.【例10】A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B 可以不相邻)，那么不同的站法有( )种 . (A) 24(B) 60 (C) 90 (D) 120【正解一】按B的位置分为四类：B排第一、二、三、四位时的排法数分别是、3、2、，所以共有+3+2+ =60种排法，选B.【正解二】利用对称关系(注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的)，有=60(种)，选B .【例11】四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有( )种 .(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141【分析】考虑到此题中四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式－4＝150而错选A；若只考虑到情形①、②，就会由算式－4－3＝147而错选B；若只考虑到情形①、③，就会由算式－4－6＝144而错选C；只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果－4－6－3＝141，选D. (从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心)5、算法选择不当而造成易出错的复杂局面【例12】同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有( )(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种【正解一】A的卡分给B、C、D三人，有种方法；设B拿到A的卡，则B的卡可分给A、C、D三人中任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有种方法，所以共有＝9种不同的分法.【正解二】设A先拿卡有种方法；然后由A拿到谁的卡，则由谁再去拿卡，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以共有＝9种不同的分法.或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错.6、应用对称关系不当一些排列组合问题，可应用对称关系简便地解决，但首先应判断清楚该问题是否具有对称性.【例13】由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数.【错解】(应用对称关系)有=90个.【错因】1与2在这个五位数中的位置有12、1╳2、1╳╳2、1╳╳╳2四种情形，故误以为1、2不相邻的情形有占总数的，而实际上，这四种情形下的五位数的个数是不同的，不具有对称性.【正解】：有(或- )＝72个.。
排列组合十种解题技巧与易错题归纳总结
排列组合问题十种题型及其解题技巧、易错归纳（一）至少变恰好例题1 某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36B ．72C ．108D ．144【解析】根据题意，分3步进行分析：①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况，②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有122C =种情况， 则有1262144⨯⨯=种不同的录取方案，选D巩固1 2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A ．84B ．48C ．36D ．28【解析】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A. （二）插空法例题2 电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）A ．5424A A ⋅B ．5424C C ⋅C ．4267A A ⋅ D ．4267C C ⋅【解析】先排4个商业广告，有44A 种排法，然后利用插空法，4个商业广告之间有5个空，插2个公益广告，有25A 种排法，根据分步计数原理，所以共有5424A A ⋅种排法，选A.巩固2 某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A ．18B ．24C ．32D ．64【解析】首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ，当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知，共有不同的排列法33424A ⨯=种结果，所以选B（三）特殊元素优先例题3 某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ） A ．6B ．8C ．12D ．24【解析】根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：1222C A 4=种，若“乙”安排在第三棒，此时有：1222C A 4=种，则一共有8种，选B.（四）捆绑法例题4 为迎接双流中学建校80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有（） A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种【解析】第一类：当甲在第1位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有4种方法，第二步，丙、丁内部排列用22A 种方法，第三步，其他三人共33A 种方法，共23234A A 42648=⨯⨯=种方法；第二类：当甲在第2位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有3种方法， 后面两步与第一类方法相同，共23233A A 32636=⨯⨯=种方法； 第三类：当甲在第3为时，与第二类相同，共36种方法； 总计，完成这件事的方法数为483636120N =++=，故选D.巩固3 某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为25252120240A A =⨯=，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的， 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有2401202=种，选A. （五）不在问题的间接法例题5 某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ） A ．320B ．313C ．79D ．1778【解析】设事件A ：数学不排第一节，物理不排最后一节. 设事件B ：化学排第四节.()41134333555578A C C A P A A A +==，()31123222555514A C C A P AB A A +==，故满足条件的概率是()()739P AB P A =.故选C.巩固4 某公司安排五名大学生从事A B C D 、、、四项工作,每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A 项工作仅安排一人，甲同学不能从事B 项工作,则不同的分配方案的种数为（ ） A ．96B ．120C ．132D ．240【解析】若甲同学在A 项工作，则剩余4人安排在B 、C 、D 三项工作中，共有1211342136C C C C =种 若甲同学不在A 项工作，，则在C 或D 工作，共有111112423323()96C C C C C C ++=种，共36+96=132种，选C 巩固5 某次文艺汇演为，要将A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有 A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种【解析】由题意知A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置， 可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，A ，B 两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置， 这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，节目单上不同的排序方式有，选B ．（六）走街道问题例题6 如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ）A ．10B ．13C ．15D ．25【解析】因为只能向东或向北两个方向，向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理知共有3515⨯=种结果，选C （七）隔板法例题7 设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ）A ．()1!n +种B ．()1!n n ⋅+种C ．()11!2n +种 D ．()11!2n n ⋅+种 【解析】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得21!(1)!2n n C n n +=+ 选D巩固6 将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）种． A ．7B ．10C ．14D ．20【解析】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号， 分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论： ①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C 41＝4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C 42＝6种方法；则不同的放球方法有4+6=10种，选B ． （八）回归原始的方法例题8 某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场， 乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（ ） A ．24种B ．144种C ．48种D ．96种【解析】第一步，先安排甲有12A 种方案；第二步，安排乙和丙有2124A A 种方案；第三步，安排剩余的三个演员有33A 种方案，根据分步计数原理可得共有1213224396A A A A =种方案.故选D.巩固7 如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回。
【高考数学 易错专练】知识点 排列组合综合 易错点6 由于重复计数致错(学生版)
知识点 排列组合综合 易错点6 由于重复计数致错 知识点 排列组合综合 易错点6 由于重复计数致错【易错诠释】．解排列组合的应用题，要注意：由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同．在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复．【典例】从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg lg a b-的不同值的个数是（ ）A ．9B ．10C ．18D ．20错解：D 由题意可知不同值的个数为5420⨯=．错因分析：错解中忽略了20种不同a ，b 取值的情况中，存在lg lg a b -数值相同的情况，因此出现了重复计数的问题，需将其减掉．正解：C 从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数有5420⨯=种不同的方法，但lg1lg3lg3lg9-=-，lg3lg1lg9lg3-=-，所以不同值的个数为20218-=．【针对练习】1．4名运动员参加4*100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有A ．12种B ．14种C ．16种D ．24种2．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________（用数字作答）．3．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？4．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A ．144B ．120C ．72D ．24。
2024届高考数学易错题专项(排列组合)练习(附答案)
2024届高考数学易错题专项(排列组合)练习易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不A．12C．1 4易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题） 1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ） A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A 种排法2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）A ．4个空位全都相邻的坐法有120种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）A ．4个空位全都相邻的坐法有720种B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（ ）A ．731424735454A A A A A A -- B ．4343A AC ．7314222473543254A A A A C A A A -- D ．4345A A7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法B ．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法C ．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法D ．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法8．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（ ）A ．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B ．6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为240C ．6名同学平均分成三组到A 、B 、C 工厂参观（每个工厂都有人），则有90种不同的安排方法D ．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种9．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲乙丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有72种10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（ ）A ．36B ．72C ．81D ．14411．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）A ．288种B ．360种C ．480种D ．504种12．A ，B ，C ，D ，E 五名学生按任意次序站成一排，其中A 和B 不相邻，则不同的排法种数为（ ）A ．72B ．36C ．18D ．64易错点三：忽视排列数、组合数公式的隐含条件（排列组合综合） 1．()(2)(3)(4)(15)N ,15x x x x x x +----∈> 可表示为（ ）在车站的个数为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．188．不等式2886x x A A -<⨯的解集为（ ）A ．{2，8}B ．{2，6}C ．{7，12}D ．{8}9．若24C P mm n n =，则m = . 10．已知()1111A A A N ,2n n n n n n x n n -+-+++=∈≥，求x 的值． 11．解关于正整数x 的不等式288P 6P x x -<． 12．解关于正整数n 的方程：4321A 140A n n +=．13．已知57A 56C n n =，且()201212nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+.求12323n a a a na +++⋅⋅⋅+的值. 14．（1）解不等式266A 4A x x -<．（2）若2222345C C C C 55n ++++= ，求正整数n ．15．（1）若32213A 2A 6A x x x +=+，则x = .（2）不等式46C C n n >的解集为 .易错点四：实际问题不清楚导致计算重复或者遗漏致误（加法与乘法原理） 1．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方染共有（）A．81 B．48 C．36 D．245．从4名优秀学生中选拔参加池州一中数学、物理、化学三学科培优研讨会，要求每名学生至多被一学科选中，则每学科至少要选用一名学生的情况有（）种A．24 B．36 C．48 D．606．将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（ ）A．30种B．90种C．180种D．270种7．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为A．484B．472C．252D．2328．下列说法正确的是（）A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法B．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有24种报名方法C．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有64种可能的结果D．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为12个9．如图，线路从A到B之间有五个连接点，若连接点断开，可能导致线路不通，现发现AB之间线路不通，则下列判断正确的是（）A．至多三个断点的有19种B．至多三个断点的有22种C．共有25种D．共有28种10．某班有5名同学报名参加校运会的四个比赛项目，计算在下列情况下各有多少种不同的报名方法. （1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，每项都有人报名，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加了项目，且每个项目均有人参加.11．已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．（1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？12．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙等6人报名参加了A、B、C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A、B项目，乙不能参加B、C项目，那么共有种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）13．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开四个班.选课结束后，有四名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有（用数字作答）14．某单位有A、B、C、D四个科室，为实现减负增效，每科室抽调2人，去参加再就业培训，培训后这8人中有2人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，问共有种不同的安排方法？易错点五：均匀分组与不均匀分组混淆致误（相同元素与不同元素分配问题）1．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（）A．6种B．12种C．18种D．24种2．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有（）A．42种B．36种C．72种D．46种3．阳春三月，草长莺飞，三个家庭的3位妈妈和1位爸爸带着3位女宝宝和2位男宝宝共9人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，宝宝不排最前面也不排最后面，为了方便照顾孩子，每两位大人之间至多排2位宝宝，由于男宝宝喜欢打闹，由这位爸爸照看且排在2位男宝宝之间.则不同的排法种数为（）A．216 B．288C．432 D．5124．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．50种D．60种5．杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲､乙等6人报名参加了A､B､C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目，若甲不能参加A､B项目，乙不能参加B､C项目，那么共有（）种不同的选拔志愿者的方案.A．36 B．40 C．48 D．526．现有甲､乙､丙3位同学在周一至周五参加某项公益劳动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲同学安排在另外两位前面，则不同的安排总数为（）易错点六：由于重复计数致错（可重复与限制问题）1．2023年6月25日19时，随着最后一场比赛终场哨声响起，历时17天的．2023年凉山州首届“火洛杯”禁毒防艾男子篮球联赛决赛冠军争夺赛在凉山民族体育馆内圆满闭幕，为进一步展现凉山男儿的精神风貌主办方设置一场扣篮表演，分别由西昌市、冕宁县、布拖县、昭觉县4个代表队每队各派1名球员参加扣且在游览过程中必须按先M后N的次序，则不同的游览线路有多少种？9．用0,1,2,3,4,5,6可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5整除的五位数有多少个？10．某单位安排7位工作人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日，共有多少种不同的安排方法？参考答案易错点一：相邻与不相邻问题处理方法不当致误（相邻问题）1．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不A ．18种B ．36种C ．72种D ．144种【答案】C【详细分析】根据相邻问题捆绑法即可由全排列求解.【答案详解】由题意可得12331233A A A A 72=，故选:C7．甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（ ） A ．144 B ．864 C ．1728 D ．2880【答案】C【详细分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.【答案详解】甲家庭的站法有2223A A 12=种，乙家庭的站法有3234A A 72=种，最后将两个家庭的整体全排列，有22A 2=种站法，则所有不同站法的种数为127221728⨯⨯=． 故选：C8．某驾校6名学员站成一排拍照留念，要求学员A 和B 不相邻，则不同的排法共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．360种 D ．480种【答案】D【详细分析】正难则反，首先我们可以求出6名学员随机站成一排的全排列数即66A ，然后求学员A 和B 相邻的排列数，两数相减即可.【答案详解】一方面：若要求学员A 和B 相邻，则可以将学员A 和B 捆绑作为一个“元素”，此时一共有5个元素，但注意到学员A 和B 可以互换位置，所以学员A 和B 相邻一共有2525A A 2154321240⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.另一方面：6名学员随机站成一排的全排列数为66A 654321720=⨯⨯⨯⨯⨯=种排法.结合以上两方面：学员A 和B 不相邻的不同的排法共有625625A A A 720240480-⋅=-=种排法.故选：D.9．某高铁动车检修基地库房内有A E ~共5条并行的停车轨道线，每条轨道线只能停一列车，现有动车01,02、A．12C．1 4【答案】B【详细分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.【答案详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，根据分步乘法原理得，有22222A A 8⨯⨯=种不同的排法.故选：B12．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有（ ）A ．70种B ．72种C ．36种D ．12种【答案】C【详细分析】相邻问题用捆绑法即可得解.【答案详解】甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2个同学进行排列，则共有3333A A 36=种排法.故选：C13．现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ）A ．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种B ．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种C ．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种D ．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种 【答案】ABC【详细分析】根据题意，利用排列数公式，以及捆绑法、插空法，以及分类讨论，结合分类计数原理，逐项判定，即可求解.【答案详解】由题意知，现有2名男生和3名女生，对于A 中，排成前后两排，前排3人后排2人，则有3252A A 120=种排法，所以A 正确；对于B 中，全体排成一排，女生必须站在一起，则有3333A A 36=种排法，所以B 正确；对于C 中，全体排成一排，男生互不相邻，则有3234A A 72=种排法，所以C 正确；对于D 中，全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾可分为两类：（1）当甲站在中间的三个位置中的一个位置时，有13A 3=种排法，此时乙有13A 3=种排法，共有113333A A A 54=种排法；C ．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种D ．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】AC【详细分析】对于A ，根据社区A 必须有同学选择，由甲､乙､丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解；对于B ，根据同学甲必须选择社区A ，有乙丙都有5种选择求解；对于C ，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于D ，由甲､乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解；【答案详解】对于A ，如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有335461-=（种），故A 正确； 对于B ，如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有2525=（种），故B 错误；对于C ，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有54360⨯⨯=（种），故C 正确； 对于D ，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有2525=（种），故D 错误. 故选：AC.18．在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（ ）A ．3名男生排在一起，有6种不同排法B ．2名女生排在一起，有48种不同排法C ．3名男生均不相邻，有12种不同排法D ．女生不站在两端，有108种不同排法 【答案】BC【详细分析】利用捆绑法可判断A 、B ；利用插空法可判断C ；利用分步计数法可判断D. 【答案详解】解：由题意得：对于选项A ：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有3333A A 36⋅=种，A 错误；对于选项B ：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有2424A A 48⋅=种，B 正确；对于选项C ：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有2323A A 12⋅=种，C 正确；对于选项D ：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有2232C A 6⋅=种，然后将剩下的3人进行全排后放中间，共有223323C A A 36⋅⋅=种，D 错误.故选：BC易错点二：“捆绑法”中忽略了“内部排列”或“整体列”（不相邻问题）1．4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ）A ．若女生必须站在一起，那么一共有5335A A 种排法B ．若女生互不相邻，那么一共有3434A A 种排法C ．若甲不站最中间，那么一共有1666C A 种排法D ．若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有7676A 2A -种排法【答案】AC【详细分析】分别利用捆绑法、插空法、优先安排特殊元素法、间接法依次求解.【答案详解】选项A ,利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有33A 种，加上4名男生一共有5个个体，则有55A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有5335A A 种排法，故A 正确；选项B ,利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有44A 种，再将3名女生插入空中，有35A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有4345A A 种排法，故B 不正确；选项C ,利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间,甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有16C 种，再将剩余的6人全排列，有66A 种排列方式，则由乘法原理可知一共有1666C A 种排法，故C 正确；选项D ,利用间接法，3人站成一排共有77A 种排法，若甲站最左边有66A 种排法，乙站最右边有66A 种排法，甲站最左边且乙站最右边有55A 种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有765765A 2A A -+种排法，故D 不正确； 故选：AC.2．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（ ）A ．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序B ．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序C ．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序D ．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法 【答案】AD【详细分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次详细分析选项，即可判断. 【答案详解】A ：从3个歌唱节目选1个作为开场，有13C =3种方法，后面的5个节目全排列，所以符合题意的方法共有553A 360=种，故A 正确；B ：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有22A 2=种方法，再与其余4个节目全排列，所以符合题意的方法共有552A 240=，故B 错误；C ：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有44A 24=种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，所以符合题意的方法有2524A 480=种，故C 错误；D ：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言， 所以不同的选法共111111323121C C C C C C 11++=种，故D 正确. 故选：AD.3．现将8把椅子排成一排，4位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ） A ．4个空位全都相邻的坐法有120种 B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有240种 C ．4个空位均不相邻的坐法有120种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有900种 【答案】AC【详细分析】对于A ，用捆绑法即可；对于B ，先用捆绑法再用插空法即可；对于C ，用插空法即可；对于D ，用插空法的同时注意分类即可.【答案详解】对于A ，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：55A 120=种，故A 对；对于B ，先排4个学生44A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有25A 种方法，所以一共有4245480A A =种，故B 错；对于C ，先排4个学生44A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入4个学生形成的5个空位中有45C 种，所以一共有4445A C 120=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有：4245A C 240=，空位只有两个相邻的有412454A C C 720=，所以一共有1202407201080++=种，故D 错； 故选：AC.4．有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（ ）．A ．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且丙、丁不能相邻，则不同的排法有12种B ．若五位同学排队最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C ．若甲、乙、丙三位同学按从左到右的顺序排队，则不同的排法有20种D ．若甲、乙、丙、丁四位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有36种 【答案】BCD【详细分析】根据相关的计数原理逐项详细分析.【答案详解】对于A ，将甲乙捆绑有22A 种方法，若戊在丙丁之间有22A 排法，丙丁戊排好之后用插空法插入甲乙，有14A 种方法；若丙丁相邻，戊在左右两边有2122A A 种排法，但甲乙必须插在丙丁之间，一共有212222A A A 种排法，所以总的排法有221212224222A A A A A A 24+= ，故A 错误；对于B ，若甲在最左端，有44A 24= 种排法，若乙在最左端，先排甲有13A 3= 种排法，再排剩下的3人有33A 6= ，所以总共有243642+⨯= 种排法，正确；对于C ，先将甲乙丙按照从左至右排好，采用插空法，先插丁有14A 种，再插戊有15A 种，总共有1145A A 20=种，正确；对于D ，先分组，将甲乙丙丁分成3组有24C 种分法，再将分好的3组安排在3个社区有33A 种方法，共有2343C A 36= 种方法，正确；故选：BCD.5．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ） A ．4个空位全都相邻的坐法有720种 B ．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种 C ．4个空位均不相邻的坐法有1800种D ．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种 【答案】AC【详细分析】对于A ，用捆绑法即可;对于B ，先用捆绑法再用插空法即可；对于C ，用插空法即可；对于D ，用插空法的同时注意分类即可.【答案详解】对于A,将四个空位当成一个整体，全部的坐法：66A 720=，故A 对；对于B ，先排5个学生55A ，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有26A 中方法，所以一共有5256A A 3600=种，故B 错；对于C ，先排5个学生55A ，4个空位是一样的，然后将4个空位插入5个学生中有46C 种，所以一共有5456A C 1800=，故C 对；对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有1800种，空位两个两个相邻的有： 5256A C 1800=，空位只有两个相邻的有521564A C C 7200=，所以一共有18001800720010800++=种，故D 错；故选：AC6．现有3位歌手和4名粉丝站成一排，要求任意两位歌手都不相邻，则不同的排法种数可以表示为（ ）A ．731424735454A A A A A A --B ．4343A AC ．7314222473543254A A A A C A A A -- D ．4345A A【答案】CD【详细分析】第一种排法：先排4名粉丝，然后利用插空法将歌手排好；第二种排法：先计算3位歌手和2位歌手站一起的排法，然后利用总排法去掉前面两种不满足题意的排法即可 【答案详解】第一种排法：分2步进行：①将4名粉丝站成一排，有44A 种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名歌手，有35A 种情况． 则有4345A A 种排法，第二种排法：先计算3位歌手站一起，此时3位歌手看做一个整体，有314354A A A 种排法，再计算恰好有2位歌手站一起，此时2位歌手看做一个整体，与另外一个歌手不相邻，有22243254C A A A 种排法， 则歌手不相邻有3142224354773254A A A C A A A A --种排法． 故选：CD7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A ．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法故选：BC.10．4名男生和3名女生排成一排照相，要求男生和男生互不相邻，女生与女生也互不相邻，则不同的排法种数是（ ）A ．36B ．72C ．81D ．144【答案】D【详细分析】先将3名女生全排列，然后利用插空法，将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，根据分步乘法计数原理，即可求得答案.【答案详解】由题意先将3名女生全排列，然后利用插空法， 将4名男生排到3名女生之间的4个空位上，故共有3434A A 624144=⨯=种不同的排法，故选：D11．杭州第19届亚运会火炬9月14日在浙江台州传递，火炬传递路线以“和合台州活力城市”为主题，全长8公里．从和合公园出发，途经台州市图书馆、文化馆、体育中心等地标建筑．假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（ ）A ．288种B ．360种C ．480种D ．504种【答案】C【详细分析】根据排列数以及插空法的知识求得正确答案. 【答案详解】先安排甲乙以外的4个人，然后插空安排甲乙两人，所以不同的传递方案共有4245A A 480=种.故选：C12．A ，B ，C ，D ，E 五名学生按任意次序站成一排，其中A 和B 不相邻，则不同的排法种数为（ ）A ．72B ．36C ．18D ．64【答案】A【详细分析】先将其余三人全排列，利用插空法求解. 【答案详解】解：先将其余三人全排列，共有33A 种情况， 再将A 和B 插空，共有24A 种情况，所以共有2343A A 12672=⨯=种情况，故选：A.。
高考错位排列真题答案解析
高考错位排列真题答案解析导语：高考是每个学生都要经历的一场考试，考试中的各种题型都是考生们备战所需的重点之一。
错位排列题是高考数学中的难点题型，很多考生在解答时往往束手无策。
本文将为大家详细解析高考错位排列真题答案，希望对广大考生有所帮助。
一、什么是错位排列题错位排列题是高考数学中的一类组合题，是考察考生对排列组合知识的理解和运用能力。
在这类题目中，要求我们求排列或组合的个数，并要保证某些特定的元素不能相邻、不能相连等。
二、常见形式及解题思路1. 示例一：有3个甲、3个乙、3个丙三种不同的球，把如下9个球排成一行，使乙不能够紧挨着甲摆放，要求每次将甲、乙、丙这三种球的一个摆在一行的空位上，那么有效排列的个数是多少？解题思路：这是一个错位排列的问题。
首先，我们可以先假设把甲和乙看成一个整体，即2个元素看作1个对，然后将丙球插入这些对之间，变相成为了一个无相同元素的排列组合问题。
那么问题就变为了将3个甲乙丙的球排列在一行上的问题。
根据排列组合的公式，我们可以得出答案为3!，即3的阶乘，结果为6.2. 示例二：有8个小球，其中有2个红球、2个蓝球、2个绿球和2个黄球，现将这只球放在一排的位置上，要求使得同颜色的球不相邻，一共可以有多少种不同的放法。
解题思路：这是一个错位排列的问题。
我们可以将这8个小球分成4对，然后将这些对放在一排的位置上。
根据错位排列的原理，共有4！种不同的放法。
但是要注意的是，每对之间的元素又可以进行排列，所以实际的解答应该是4!*(2!)^4，即解答等于24*(2^4)=384.三、真题解析下面为大家提供一道高考真题的错位排列题解析，希望对大家更好地理解和掌握该类型题目的解答方法。
示例题：有8本书，其中诗集5本，文学评论2本，小说1本。
（1）把8本书排成一行，使得同种书类不相邻，有多少种不同的方法？（2）如果除了要求同种书类不相邻外，诗集之间和文学评论之间也不相邻，有多少种不同的方法？解题思路：（1）这是一个错位排列的问题。
高中数学排列组合 平面向量易错题分析
高考数学复习易做易错题选排列组合易错题正误解析排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析，以飨读者.1没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例1（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法.例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A .错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有433333=⨯⨯⨯种.说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.2判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种方法.错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：5638=C 排法.3重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
高中数学排列组合部分错题精选
高考数学复习易做易错题选排列组合易错题正误解析排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析，以飨读者.1没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例1（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A .错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有433333=⨯⨯⨯种.说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能. 2判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种方法.错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：5638=C 排法. 3重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
排列组合题型总结与易错点提示
八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法 .练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
二班七班练习题：1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
错题宝典高考复习易错题分类《排列组合》易错题
错题宝典高考复习易错题分类《排列组合》易错题测试题 2019.91,()的值域，函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=2cossinsinπxxxxy是。
2,5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）（A）480 种（B）240种（C）120种（D）96种3,某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）种.（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）6304, 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（）（A）36个（B）48个（C）66个（D）72个5,在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（）种.（A）34A（B）34（C）43（D）34C6,现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）(A)1024种(B)1023种(C)1536种(D)1535种7,现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.（A ）5536A A ⋅ （B ）336688A A A ⋅- （C ）3335A A ⋅ （D ）4688A A -8,高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.（A ）16种 （B ）18种 （C ）37种 （D ）48种9,有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？10,如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）测试题答案1, 正确答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2210， 错误原因：如何求三角函数的值域，方向性不明确2, 误解：先从5本书中取4本分给4个人，有45A 种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有480445=⨯A 种不同的分法，选A. 错因分析：设5本书为a 、b 、c 、d 、e ，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2：表1是甲首先分得a 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d ，最后一本书e 给甲的情况；表2是甲首先分得e 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d ，最后一本书a 给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。
高中数学 选考易错题 分类解析 12排列、组合、二项式定理易错题 含答案
高中数学易错题分类解析姓名：*** 教师：*** 授课时间:*** 课题：易错题分类解析考点12排列、组合、二项式定理►正确运用两个基本原理►排列组合►二项式定理►在等可能性事件的概率中考查排列、组合►利用二项式定理解决三项以上的展开式问题►利用二项式定理证明不等式经典易错题会诊教学反馈教师评价本周作业建议经典易错题会诊预测（十二）考点12排列、组合、二项式定理►正确运用两个基本原理►排列组合►二项式定理►在等可能性事件的概率中考查排列、组合►利用二项式定理解决三项以上的展开式问题►利用二项式定理证明不等式经典易错题会诊命题角度1正确运用两个基本原理1．（典型例题）已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→B满足f(1)<f(2)<f(3)<f(4),则这样的映射f的个数为（）A．C47A33B．C47C．77D．C7473[考场错解] ∵f(1)<f(2)<f(3)<f(4)，且f(1)<f(2)<f(3)<f(4)的值为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，∴这样的映射有C47个，∴选B[专家把脉] C47中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情，因为只找到1、2、3、4的象，而5、6、7的象还没有确定。
[对症下药] 由映射的定义f(1) f(2) f(3) f(4)的值应为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，又f(1)<f(2)<f(3)<f(4) ∴f(1) f(2) f(3) f(4)的大小已定，∴1、2、3、4的象的可能为C47，5、6、7三个元素的象每一个都有7种可能，∴有73种可能。
根据分肯计数原理，这样的映射共有C47·73个。
∴选D。
2．（典型例题）8人进行乒乓球单打比赛，水平高的总能胜水平低的，欲选出水平最高的两人，至少需要比赛的场数为__________（用数字作答）[考场错解] 每两人之间比赛一场，需要比赛C28=28场，填28场；或第一轮分成4对进行比赛，负者被淘汰，胜者进入第二轮，需4场比赛；第二轮分成2对进行比赛，胜者为水平最高的两人，需2场比赛。
排列与组合的八大典型错误、24种解题技巧和三大模型
排列与组合的⼋⼤典型错误、24种解题技巧和三⼤模型总论：⼀、知识点归纳⼆、常见题型分析三、排列组合解题备忘录1．分类讨论的思想2.等价转化的思想3.容斥原理与计数4.模型构造思想四、排列组合中的8⼤典型错误1．没有理解两个基本原理出错2.判断不出是排列还是组合出错3.重复计算出错4.遗漏计算出错5.忽视题设条件出错6. 未考虑特殊情况出错7．题意的理解偏差出错8.解题策略的选择不当出错五、排列组合24种解题技巧1．排序问题相邻问题捆绑法相离问题插空排定序问题缩倍法（插空法）定位问题优先法多排问题单排法圆排问题单排法可重复的排列求幂法全错位排列问题公式法2．分组分配问题平均分堆问题去除重复法（平均分配问题）相同物品分配的隔板法全员分配问题分组法有序分配问题逐分法3．排列组合中的解题技巧⾄多⾄少间接法染⾊问题合并单元格法交叉问题容斥原理法构造递推数列法六．排列组合中的基本模型分组模型（分堆模型）错排模型染⾊问题⼀．知识点归纳▲▲▲⼆．基本题型讲解▲▲▲三、排列组合解题备忘录▲▲▲四．排列组合问题中的数学思想⽅法▲▲▲五．排列组合中的易错题▲▲▲六．练习▲▲▲七．排列组合问题经典题型与通⽤⽅法▲▲▲⼋、排列组合中常见模型▲▲▲附录▲▲▲14种策略7⼤模型“绝杀”排列组合▲▲▲排列组合问题是⾼考的必考题，它联系实际⽣动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握模型和解题⽅法，识别并化归到模式，熟练运⽤，是解决排列组合应⽤题的有效途径。
第⼀部分——组合的常见技巧第⼆部分——排列组合的常见模型。
错题宝典高考复习易错题分类《排列组合》易错题1790
错题宝典高考复习易错题分类《排列组合》易错题 测试题 2019.91,①函数x y tan =在它的定义域内是增函数。
②若βα,是第一象限角，且βαβαtan tan ,>>则。
③函数)sin(ϕω+=x A y 一定是奇函数。
④函数)32cos(π+=x y 的最小正周期为2π。
上述四个命题中，正确的命题是 ④2,函数f(x)=x x xx cos sin 1cos sin ++的值域为______________。
3,若2sin 2αβααβ222sin sin ,sin 3sin +=+则的取值范围是4,关于函数))(32sin(4)(R x x x f ∈+=π有下列命题，1.y=f(x)图象关于直线6π-=x 对称 2. y=f(x)的表达式可改写为)62cos(4π-=x y 3. y=f(x)的图象关于点)0,6(π-对称 4.由21210)()(x x x f x f -==可得必是π的整数倍。
其中正确命题的序号是 。
5,函数)sin(2x y -=的单调递增区间是 。
6,()()，那么为常数，且已知C C 0tan tan tan 33=++⋅=+αβαπβα=βtan 。
7,()的值域，函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=20cos sin sin πx x x x y 是 。
8,5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）（A ）480 种 （B ）240种 （C ）120种 （D ）96种9,某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.（A ）5040 （B ）1260 （C ）210 （D ）63010, 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ） （A ）36个 （B ）48个 （C ）66个 （D ）72个测试题答案1, 错解：①②错因：忽视函数x y tan =是一个周期函数 正解：④2, 错解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2122,2122错因：令x x t cos sin +=后忽视1-≠t ,从而121)(-≠-=t t g正解：⎥⎦⎤⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡---2122,11,21223, 错解：]2,4[-错因：由)1(,1sin 3sin sin sin 222-+-=+ααβα其中1sin 1≤≤-α，得错误结果；由1sin 2sin 3sin 022≤-=≤ααβ 得1sin =α或21sin 0≤≤α结合（1）式得正确结果。
高中数学排列组合：全错位排列问题详解
利用此递推关系可以分别算出 T4=9，T5=44，所以题三的答案为 44+5×9+10×2=109.
3．关于全错位排列数的一个通项公式：Tn= n![ 1 1 (1) n 1 ] （n≥2）.
2! 3!
n!
(1).探索
规定 An0 =1（n∈N*），试计算以下各式的值： （1） A42 A41 A40 ； （2） A53 A52 A51 A50 ； （3） A64 A63 A62 A61 A60 .
2! 3!
k! 2! 3!
(k 1)!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +k· (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
=k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k 1 ]
2! 3!
( k 1)!
k!
k!
= k!·[ k 1 k 1 (1)k1 k 1 +（k+1）· (1)k 1 (1)k k 1 ]
全错位排列问题
每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位 排列问题.
1．错位排列问题
例 1. 4 名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺卡，则
四张贺卡的不同分配方式共有
Hale Waihona Puke 种.例 2. 将编号为 1，2，3，4 的四个小球分别放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，
(k 1)!
k!
(k 1)!
∴n=k+1 时（*）式也成立.
由以上过程可知 n 个元素全错位排列的排列数为：
Tn=
aj 不排 i 位
高中数学排列组合难题
高中数学排列组合难题
1、小张家住在二楼,他每次回家走楼梯时都是一步走二级或三级台阶,已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?
答案：设小明从一层到二层走二级台阶走了x步,走三级台阶走了y步,于是有:
2x+3y=16
1)x=2,y=4
2)x=5,y=2
3)x=8,y=0
∴小明从一层到二层不同的走法有：
N＝C6（2）＋C7（5）＋C8（8）
＝15＋21＋1
＝37种。
2、“六个人,他们每人有一个帽子,但他们每个人都被要求戴别人的帽子,请问有多少种戴法?”
答案：这是错位问题记住通项公式An=（n-1)（A(n-1)+A(n-
2))A1=0A2=1A3=2A4=9A5=44A6=265
3、安排7个同学去5个运动项目,要求甲乙两同学不能参加一个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个,求方案书?
答案：(C73-C51+C72*C52/2-C52)*P55
思路：先分堆,再全排列,分堆方法有2种,
第一种：31111,把其中甲乙在一起的排除掉第二种：22111,把其中甲乙在一起的排除掉。
湖北省武汉市吴家山中学2022届高中数学复习 排列组合中常见错例剖析
排列组合常见错误辩析排列组合应用问题种类繁多，方法灵活，对抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，稍不注意，极易出错本文就一些常见的错误进行归类分析，以飨读者一、两个计数原理混淆不清通常是“完成一件事”的任务不明确，分类与分步混淆或分类与分步不准确而造成失误例1、50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，则至少有3件次品的抽法有 种 错解1：分两类情形：“有3件次品”时，可从4件次品中抽取3件，再从剩余产品中抽取2件，有32446+C C 种抽法；“有4件次品”时，可从4件次品中抽取4件，再从剩余产品中抽取1件，有41446+C C 种抽法故共有(3241446446+)(+)=46575C C C C 种错解2：先抽次品：至少有3件次品包含“3件次品”、“4件次品”两种情形，有5=3444+C C 种抽法；再抽剩余产品，同理有1081=214646+C C 种抽法共有抽法5×1081=5405种错因剖析：分类与分步混淆不清，即加法原理与乘法原理混淆，从而引起失误正解：解排列组合问题，通常是．．．先“分类”后“分步”此题可先分为二类：第一类，有3件次品2件正品，有24634C C （分为两步，用乘法原理）种抽法；第二类，有4件次品1件正品，有14644C C 种抽法由加法原理，不同的抽法共有24634C C 14644C C ＝4186种 二、排列、组合问题判断失误通常是在判断一个问题是排列还是组合问题时，未考虑元素的顺序性而导致失误例2、有大小形状相同的3个红球和5个白球排成一排，共有 种不同的排法 错解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种方法错因剖析：上解法中没有考虑3个红球（或5个白球）是完全相同．．．．的，因而同色球之间互换位置是同一种排法正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩余的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题，故共有3856C =排法例3、有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种A 、1260B 、2025C 、2520D 、5040错解一：分三步完成：首先从10人中选出4人，有种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有种方法，由乘法原理，不同的选法共有＝5040种，选D错解二：分三步完成，不同的选法共有＝1260种，选A错因剖析：排列、组合概念混淆不清承担任务甲的两人与顺序无关，剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关正解一：先从10人中选2人承担任务甲，再从余下8人中选一人承担任务乙，最后从剩下的7人中选一人去承担任务丙，由乘法原理，不同的选法有1718210C C C ＝2520种 正解二：从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，由乘法原理，不同的选法有28210A C ＝2520种，选C三、分类（或分步）遗漏（或重复）造成失误例4、从100到999的三位数中，含有0的三位数有多少个错解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个故共有90＋90=180个错因剖析：分类应注意“不重不漏”，上解法中重复计算了个位和十位都是0的情形 正解：将含有0的三位数分为二类：个位数是0的，有9×10=90个；十位数是0的，有9×10=90个；但个位数是0且十位数也是0的9个重复了，故共有90＋90－9=171个 例5、4男4女排成一排，任意两名女子不相邻且任意两名男子也不相邻的排法共有 种错解1：4名男子与4 名女子的排法分别有种，故共有·=576种错解2：4名男子的排法有种，4 名女子的排法有，故共有·=2880种错因剖析：错解1是由于考虑不周，遗漏了交换位置的情况而出现失误；错解2忽略了题中的条件，即满足了4名男子不相邻而忽略了4名女子也不相邻的情形（如：男女男女 女男女男），错把必要条件当作充分条件了正解：此为相间排列问题如先排男子，有种排法，由题意，四名女子插入的四个空必须不相邻，有两种插入方法，而 4 名女子的排法有种，由乘法原理知，不同排法的种数共有2·=1152种例6、用黄、蓝、白三种颜色粉刷6间办公室，一种色粉刷3间，一种色粉刷2间，一种色粉刷1间，则共有 种不同的粉刷方法错解：由题意，共有32163160C C C ••=种错因剖析：此例错因在于对题目中的事件“分步”出错，丢掉了颜色可以相互交换这一步题目中一种颜色粉刷间数虽不同，但哪种颜色粉刷三间（或两间或一间）却没有限制，因而三种颜色可以相互交换正解：先分组，再排列，共有粉刷方法32133631360C C C A •••=种例7、（11年湖北理·15）给个自上而下的正方形着黑色和白色．当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示．由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种．错解：（1）20；（2）有37、39、40等多个答案错因剖析：此例难度较大，有的学生由于对题意读不懂或理解不透，无法动笔；有的学生采用直接法求解，方法虽对，但由于分类的失误，如在第一问的分类中少了“不涂黑色（或都涂白色）”的情形而导致答案为20的失误．第二问中“类”中有“类”，如3时，考虑了形如□■■■□□的情形而未注意形如□■■□■□的情形，从而造成失误．正解1：（直接法）第一问中“黑色正方形互不相邻”包含两层意思：一是不涂黑色；二是若涂黑色，则黑色正方形不相邻可分类四类：①不涂黑色时只有一种方案；②只有一个正方形涂黑色，有6种方案；③有二个正方形涂黑色，采用“插空法”，有2510C =种方案；④有三个正方形涂黑色，采用“插空法”，有344C =种方案．故黑色正方形互不相邻的方案共有1＋6＋10＋4=21种第二问中“至少有两个黑色正方形相邻”可分为五类：①二个黑色正方形时，有5种方案；②三个黑色正方形时，有如图□■■□■□和□■■■□□的两种情形，共有124416C A +=种方案；③四个黑色正方形时，有如图□■■■■□、□■■■□■和□■■□■■的三种情形，共有12233315C A A ++=种方案；④五个黑色正方形时，有如图■■■■■□、■■■■□■和■■■□■■的三种情形，共有1112216C A A ++=种方案；⑤六个黑色正方形相邻时，只有1种方案．故共有5＋16＋15＋6＋1=43种方案正解2：对于第1问，当1，2，3，4时，其方案数组成数列2，3，5，8，此数列的特征为21n n n a a a ++=+，由此得时的方案数为21．对于第2问，由于黑色正方形要么相邻要么不相邻，因此“至少有两个黑色正方形相邻”的“补集”即为“黑色正方形互不相邻”，故用排除法求解因每个正方形的涂色方案都有两种（黑色或白色），6个正方形的所有涂色方案共有6264=种，从而至少有两个黑色正方形相邻的涂色方案为64－21=43种四、在分配、分组等问题中重复计算出错例8、5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）A 、480 种B 、240种C 、120种D 、96种错解：先从5本书中取4本分给4个人，有种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有480445=⨯A 种不同的分法，选A错因剖析：此为分配问题设5本书、、、、分给四个人甲、乙、丙、丁按照上述分法可能出现 ae b c d 和 ea b c d 的情形第一种是甲首先分得，最后分得的情形；第二种是甲首先分得，最后分得的情形，这两种情况是完全相同的而在上解法中却计算成了不同的情况，正好重复了一次正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有种方法由乘法原理，共有24044=A 种方法，故选B例9、某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种A 、5040B 、1260C 、210D 、630错解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列，共有1260332527=A C C ，选B错因剖析：此为均匀分组问题。
误区91 排列组合中分类、分步不当引起的失误-2021届高三数学成功在我之优等生提分精品(解析版)
专题九 计数原理误区一：排列组合中分类、分步不当引起的失误一、易错提醒排列组合的源头是两个原理,在利用两个原理处理具体应用问题时,必须先分清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”与“分步”的具体标准是什么,选择合理、简洁的标准处理事件,可以避免计数的重复或遗漏.运用分类加法计数原理时,要明确分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类加法计数原理．.运用分步乘法计数原理时,要确定分步的标准.分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步,即各个步骤是相互依存的,且“步”与“步”之间具有连续性. 对于既要运用分类加法计数原理,又要运用分步乘法计数原理的复杂问题,可以恰当地画出示意图或树形图来进行分析,使问题的分析过程更直观、更明晰,便于探索规律.二、典例精析一、至少问题课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,至少有1名队长当选的选法有多少种？【错因】不恰当地采用分步计数：先选1名队长,再从剩下的人中选4人得C 12·C 412【正解】至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长.故共有：C 12·C 411＋C 22·C 311＝825(种).或采用间接法：C 513－C 511＝825(种).【点评】①分类时不重不漏；②注意间接法的使用,在涉及“至多”“至少”等问题时,多考虑用分类方法或间接法(排除法)；③先选1名队长,再从剩下的人中选4人得C 12·C 412≠825,错误原因是重复计数,请同学们认真查找错因.【小试牛刀】【2017届广东七校联合体高三理上学期联考二】把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且,A B 两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种【答案】B【解析】分两步进行分析: 先计算把D C B A ,,,四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有624 C 种分组方法,再将这3组对应三个小朋友,有633=A 种方法,则有3666=⨯种情况； 计算B A ,两件玩具分给同一个人的分法数目,若B A ,两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有62213=⨯A C 种情况.综上可得,B A ,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有30636=-种,故选B.二、分组与分配问题【例2】现有6本不同的书：(1)甲、乙、丙三人每人两本,有多少种不同的分配方法？(2)分成三堆,每堆2本,有多少种分堆方法？(3)分成三堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少种不同的分配方法？(5)甲、乙、丙三人中,一人分4本,另两人每人分1本,有多少种不同的分配方法？【错因】①混淆分组与分配；②混淆均分与非均分【点评】平均分配给不同人的分法等于平均分组的分法乘以堆数的全排列.分组到位相当于分组后各组再全排列,平均分组不到指定位置,其分法数为：平均分堆到指定位置堆数的阶乘.对于分组与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分组再分配.②被分配的元素是不同的(像“名额”等则是相同元素,不适用),位置也应是不同的(如不同的“盒子”).③分组时要注意是否均匀.如6分成(2,2,2)为均匀分组,分成(1,2,3)为非均匀分组,分成(4,1,1)为部分均匀分组.【小试牛刀】【2017届陕西省西安市高三模拟（一）】将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（ ）A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种【答案】A【解析】试题分析：第一步,为甲地选一名老师,有C 21=2种选法；第二步,为甲地选两个学生,有C 42=6种选法；第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法,故不同的安排方案共有2×6×1=12种,故选A ．三、图形涂色问题(一)平面区域涂色【例3】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有 .【错因】分类不准确. 由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．学+科网【点评】解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．【小试牛刀】用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种.【答案】108【解析】第一步,从红、黄、蓝三种颜色中任选一种去涂标号为“1、5、9”的小正方形,涂法有3种；第二步,涂标号为“2、3、6”的小正方形,若“2、6”同色,涂法有2×2种,若“2、6”不同色,涂法有2×1种；第三步,涂标号为“4、7、8”的小正方形,涂法同涂标号为“2、3、6”的小正方形的方法一样．所以符合条件的所有涂法共有3×(2×2＋2×1)×(2×2＋2×1)＝108(种)．（二）立体图形中点涂色问题【例4】如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有()C．240种D．168种【错因】不会把分类、分步原计数原理综合运用,认为本题只需要分步就可得到答案.【解析】先涂A、D、E三个点,共有4×3×2＝24种涂法,然后再按B、C、F的顺序涂色,分为两类：一类是B 与E或D同色,共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一类是B与E或D不同色,共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．【点评】求解排列组合问题的思路：“排组分清,加乘明确；有序排列,无序组合；分类相加,分步相乘．”【小试牛刀】如图,用四种不同的颜色给图中D C B A P ,,,,五个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两端点涂不同的颜色,则不同的涂色方法共有（ ）种.A.72种B.86种C.106种D.120种【答案】A（三）立体图形中线涂色问题A ．1种B ．3种C ．6种D ．9种【错因】误认为线段的两端点涂同一色是2种不同的情况.【解析】因为只有三种颜色,又要涂六条棱,所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色．故有3×2×1＝6种涂色方案．【点评】对限制条件较复杂的排列组合应用题,可分解成若干简单的基本问题后用两种计数原理来解决；由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查所设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用多种不同的方法求解,看看结果是否相同．（四）立体图形中面涂色问题【例6】如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P －ABC 与正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有( )C ．16种D ．12种【错因】底面A1B1C1不涂色这一条件容易忽略,分不清是排列问题还是组合问题.-的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种【解析】先涂三棱锥P ABC不同的涂法．【点评】解答排列、组合问题,仔细审题,判断是排列问题还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分类；深入分析,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏.三、迁移运用1．【2018届湖南省十四校高三第二次联考】甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A、B、C、D四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A 类课外书，则不同的借阅方案种类为（）A. 48B. 54C. 60D. 72【答案】C2．【内蒙古赤峰市2018届高三上学期期末】把2支相同的晨光签字笔,3支相同英雄钢笔全部分给4名优秀学生,每名学生至少1支,则不同的分法有（）A. 24种B. 28种C. 32种D. 36种【答案】B【解析】第一类，有一个人分到一支钢笔和一支签字笔，这中情况下的分法有：先将一支钢笔和一支签字笔分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2支钢笔，1支签字笔分给剩余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类，有一个人分到两支签字笔，这种情况下的分法有：先将两支签字笔分到一个人手上，有4种情况，⨯=种；将剩余的3支钢笔分给剩余3个人，只有1种分法，那共有：414第三类，有一个人分到两支钢笔，这种情况的分法有：先将两支钢笔分到一个人手上，有4种情况，再将剩⨯=种；余的两支签字笔和一支钢笔分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：3412++=种分法.故选B.综上所述：总共有12412283．【2017届福建闽侯县三中高三上期中】将3本相同的诗集,2本相同的小说全部分给4名同学,每名同学至少1本,则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种【答案】B4．【2017届河北定州中学高三周练】计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有（）A．60种B．42种C．36种D．24种【答案】A【解析】两种情况,第一种情况安排3个场地,每个场地安排1项比赛,方法数有3424A=种；第二种情况,一个场地安排两场,第二个场地安排一场,方法数有223436C A=种；综上所述一共有60种方案.5．【2017届辽宁抚顺重点高中协作校高三上一模】在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为（）A．1200B．2400C．3000D．3600【答案】B【解析】若4人中,有甲电视台1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是1345541200C C A=,若4人中,有甲电视台2人,乙电视台记者2人,则不同的提问方式总数是222255231200C C A A=,若4人中,有甲电视台3人,乙电视台记者1人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为120012002400+=. 6．【2017届福建闽侯县二中高三上期中】把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上,其中三盆兰花不能放在一条直线上,则不同的摆放方法为（）A ．2680种B ．4320种C ．4920种D ．5140种【答案】B7．【2017届福建连城县朋口中学高三上期中】在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是（ ）学科！网A ．12694C CB ．12699C C C ．3100C 394C -D ．3310094A A -【答案】C【解析】因为从100件产品中任取3件产品 共有3100C 种取法,从100件产品中任取3件产品没有次品的取法共有394C 种,所以从100件产品中任取3件产品至少有1件次品的不同取法的种数是3100C 394C -,故选C.8．【2017届安徽师大附中学高三上学期期中】用6种颜色给右图四面体BCD A -的每条棱染色,要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色,则不同的染色方法共有（ ）种A.4080B.3360C.1920D.720【答案】A【解析】四面体的对棱可涂同一种颜色,也可以涂不同的颜色,按照相对棱颜色相同的对数分类：①若所有相对的棱都涂同一种颜色,一共需要三种颜色,不同的涂色方案共有36120A =种；②若相对的棱中有2对涂同一种颜色,一共需要四种颜色,不同的涂色方案共有24361080C A =种；③若相对的棱中有1对涂同一种颜色,一共需要五种颜色,不同的涂色方案共有15362160C A =种；④若所有相对的棱都涂不同颜色,一共需要六种颜色,不同的涂色方案共有66720A =种,所以共有120108021607204080+++=种不同的涂色方案,故选A.9．【2017届黑龙江双鸭山宝清县高级中学高三理段测】有4名优秀大学毕业生被某录用.该公司共有5个科室,由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室上班,每个科室至少安排一人,则不同的安排方案种数为（ ）A ．120B ．240C ．360D ．480【答案】C【解析】先将四个大学生分成三份,共有624=C 种可能,再在五个科室在选三个,共有6035=A ,所以共有360606=⨯种,故应选C ．10. 如图,用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同的涂法共有( )A ．400种B ．460种C ．480种D ．496种【答案】C【解析】从A 开始,有6种方法,B 有5种,C 有4种,D 、A 同色1种,D 、A 不同色3种,因此不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．11．【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】某科室派出4名调研员到3个学校,调研该校高三复习备考近况,要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为 .【答案】36【解析】分两步完成:第一步将4名调研员按2,1,1分成三组,其分发有21142122C C C A 种；第二步将分好的三组分配到三个学校,其分发有33A 种,所以不同的分配方案种数211342132236C C C A A =种,故填36. 12. 如图,用5种不同的颜色给图中A 、B 、C 、D 四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则有 种不同的涂色方法.【答案】18013.用n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示),要求在A ,B ,C ,D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色．（1）若n ＝6,为①着色时共有多少种不同的方法？【解析】（1）分四步：第1步涂A 有6种不同的方法,第2步涂B 有5种不同的方法,第3步涂C 有4种不同的方法,第4步涂D 有4种不同的方法．根据分步乘法计数原理,共有6×5×4×4＝480种不同的方法．（2）由题意,得(1)(2)(3)120n n n n ---=,注意到n ∈N *,可得n ＝5.14. 直线x ＝1,y ＝x ,将圆x 2＋y 2＝4分成A ,B ,C ,D 四个区域,用五种不同的颜色给他们涂色,要求共边的两区域颜色互异,每个区域只涂一种颜色,共有多少种不同的涂色方法？【解法一】第1步,涂A 区域有C 15种方法；第2步,涂B 区域有C 14种方法；第3步,涂C 区域和D 区域：若C区域涂A 区域已填过颜色,则D 区域有4种涂法；若C 区域涂A 、B 剩余3种颜色之一,即有C 13种涂法,则D 区域有C 13种涂法． 故共有C 15·C 14·(4＋C 13·C 13)＝260种不同的涂色方法．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学复习易做易错题选
排列组合易错题正误解析
排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误解析，以飨读者.
1没有理解两个基本原理出错
排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.
例1（1995年上海高考题）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.
误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.
错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.
正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意
选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据
乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原
理完成全部的选取过程共有+⋅3526
C C 3502536=⋅C C 种方法. 例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.
（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C
误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A .
错因分析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.
正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有433333=⨯⨯⨯种.
说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能. 2判断不出是排列还是组合出错
在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.
例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？
误解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种方法.
错因分析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.
正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，
是组合问题.这样共有：5638
=C 排法. 3重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
例4（2002年北京文科高考题）5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
（A ）480 种 （B ）240种 （C ）120种 （D ）96种
误解：先从5本书中取4本分给4个人，有45A 种方法，剩下的1本书可以给
任意一个人有4种分法，共有480445
=⨯A 种不同的分法，选A . 错因分析：设5本书为a 、b 、c 、d 、e ，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和表2： 表1是甲首先分得a 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d ，最后一本书e 给甲的情况；表2是甲首先分得e 、乙分得b 、丙分得c 、丁分得d ，最后一本书a 给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。
正好重复了一次.
正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任
意取出2本捆绑成一本书，有25C 种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有44
A 乙 丙 丁 a 甲 e d c b 表1 乙
丙 丁 a 甲 e d c b 表2
种方法.由乘法原理，共有⋅25
C 24044=A 种方法，故选B . 例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.
（A ）5040 （B ）1260 （C ）210 （D ）630
误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，
这三个人再进行全排列.共有：1260332527
=A C C ，选B . 错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周
一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了. 正解：6302
332527=A C C 种. 4遗漏计算出错
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。
例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）
（A ）36个 （B ）48个 （C ）66个 （D ）72个
误解：如右图，最后一位只能是1或3有两种取法，
又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种取 法，剩下3个数排中间两个位置有23A 种排法，共有363223
=⨯⨯A 个. 错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数.
正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有363233
=⨯⨯A 个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选D .
5忽视题设条件出错
在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.
例7 (2003全国高考题)如图，一个
地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）
误解：先着色第一区域，有4种方法，剩下3
种颜色涂四个区域，即有一种
颜色涂相对的两块区域，有1222213
=⋅⋅A C 种，由乘法原理共有：48124=⨯种. 错因分析：据报导，在高考中有很多考生填了48种.这主要是没有看清题设“有4种颜色可供选择．．
”，不一定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务. 正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种
颜色时：从4种颜色中选取3种有34C 种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩
下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5
区域，有2种着色方法，由乘法原理有242334
=⨯⨯C 种.综上共有：722448=+种. 例8 已知02=-b ax 是关于x 的一元二次方程，其中a 、}4,3,2,1{∈b ，求解集不同的一元二次方程的个数.
误解：从集合}4,3,2,1{中任意取两个元素作为a 、b ，方程有24A 个，当a 、b 取
同一个数时方程有1个，共有13124
=+A 个. 错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同．．．．
的……”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==4221b a b a 和同解、⎩
⎨⎧==⎩⎨⎧==2412b a b a 和同解，故要减去2个。
正解：由分析，共有11213=-个解集不同的一元二次方程.
6未考虑特殊情况出错
在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.
例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有10231210=-种.
错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况.
正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有15351329=-⨯种.
7题意的理解偏差出错
例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.
（A ）5536A A ⋅ （B ）336688A A A ⋅- （C ）3335A A ⋅ （D ）4688A A -
误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有55A 种排法，5人排好后产生6
个空档，插入甲、乙、丙三人有36A 种方法，这样共有5536A A ⋅种排法，选A .
错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻．．．．
”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.
正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到
甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即336688A A A ⋅-，故选B .
8解题策略的选择不当出错
有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难，要采取适当的解决策略，如间接法、插入法、捆绑法、概率法等，有助于问题的解决.
例10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.
（A ）16种 （B ）18种 （C ）37种 （D ）48种
误解：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有48443=⨯⨯种方案.
错因分析：显然这里有重复计算.如：a 班先派去了甲工厂，b 班选择时也去了甲工厂，这与b 班先派去了甲工厂，a 班选择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除.
正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：37333444=⨯⨯-⨯⨯种方案.
排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好.。