第05讲(向量组的线性相关性的判定、向量组的秩)
向量组线性相关与秩的关系
向量组线性相关与秩的关系摘要：向量组线性相关性对于数学学科中很多问题都具有极其重要的作用，且与向量组线性相关性紧密相关的秩也有极为重要的意义。
本文从定义、特性及性质三方面详细剖析了向量组线性相关性与秩之间的关系并举例说明，最后总结出两者的关联性。
关键词：线性相关性；秩；关系根据定义和特性，向量组线性相关性与秩之间的关系划分如下：一、定义1、向量组线性相关性：指向量组之间存在相同的值，当向量组自身中存在两个不同的元素值出现在多个向量组时，这两个元素之间就具有线性相关性。
2、秩：指向量组的组件元素可以依照一定的次序组合出一系列不同的向量，而这些向量所能形成的矩阵的秩就被称为该向量的秩，用数字表示的时候我们称为秩值。
二、特性1、向量组线性相关性与秩之间存在着一定的联系，当向量组存在线性相关性时，秩值一定要小于其中的维数，因为线性相关性就是说必须要有不同的元素值在向量组中出现两次以上，这样一定会减少可以被组合出新向量的组件维数。
2、向量组线性相关性若是存在，秩值必定小于维数，但若向量组线性相关性不存在，秩值可能和维数相同。
三、性质1、向量组线性相关性和秩之间的关系：若向量组中存在相关性，则秩值必定小于该向量组的维数，反之若无相关性，秩值理论上可以等于其维数。
2、秩的确定性：确定一个向量组的秩依据主元素的构成，若一个向量组是由各位秩相等的多个线性无关子组组成，则它的秩为子组秩之和，即主元素的总数。
3、向量组的线性相关性和秩之间的关系实例：❶若有 A=(1,2,3),B=(2,4,6),C=(3,6,9),则可以看出，ABC三个向量的每个分量的值按照等比数列变化，因此A、B、C三个向量之间存在线性相关性，且它们的秩值只有一（即rank(A)=1）；❷若有 D=(1,2,3),E=(4,8,9),F=(7,14,15),则可以看出，DEF三个向量之间不存在线性相关性，且它们的秩值是３（即rank(D)=3）；分析：从来上可以看出，线性相关性和秩值之间存在着一定的联系，若向量组中存在线性相关性，则秩值一定要小于其维数，即秩值=元素数-线性相关项数，反之，若无线性相关性，秩值可以和维数相同。
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用2023年，随着科技的不断发展，线性代数在各行各业中的应用不断扩展，尤其是在数据科学、机器学习和人工智能领域中。
而线性相关性作为线性代数中的一个重要概念，在这些领域中也得到了广泛应用。
本文将重点讨论线性相关性的概念、判断方法和应用，以帮助读者更好地理解和使用线性相关性。
一、概念线性相关性是指向量组中存在线性关系，即其中至少存在一个向量可以表示为其它向量的线性组合的形式，或者说存在一个向量可以由其它向量线性表示。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，若存在一个非零向量$\mathbf{v}$，满足$\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^n c_i\mathbf{v_i}$，其中$c_i$为任意实数，则称向量组$V$是线性相关的，否则称其线性无关。
二、判断方法下面介绍两种判断向量组线性相关的方法，分别为行列式法和向量空间法。
1.行列式法行列式法是最常用的判断向量组线性相关的方法，其基本思想是求出向量组的行列式，如果其值为0，则向量组线性相关，否则其线性无关。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，可以将其写成矩阵形式，即：$$ A=\begin{bmatrix} v_{11}&v_{12}&\cdots&v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\cdots&v_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ v_{n1}&v_{n2}&\cdots&v_{nn} \end{bmatrix} $$然后求出其行列式$|A|$，若$|A|=0$，则向量组$V$是线性相关的，否则其线性无关。
高中数学《向量组的线性相关性》课件
35
例2 设 1 1 2 , 2 2 3, 3 3 1.
若向量组1, 2 , 3线性无关,证明
向量组1, 2, 3也线性无关.
证 由已知可以解得用1, 2,3来表示
1, 2 , 3的表达式:
2
1 2
(1
2
3),
3
1
1 2
1 2
(1
(1
2
2
3 3)
)
故两向量组等价,等秩, r(1, 2 , 3)=3
证 由1,2,…,m, 线性相关
存在不全为零的数k1,k2,…,km,l使得
k11 k2 2 km m l 0
下面证明只有l0, 反证法.
25
如果 l =0, 则有k1, k2,…,km不全为零,使
k11 k2 2 km m 0
于是1, 2, … , m 线性相关,与已知矛盾.
则称向量组 1, 2 ,为,向 r量组S的一个
极大线性无关组(简称极大无关组). 数 r 称为该向量组的秩,记为
r(1, 2, … , s)= r 或秩(1, 2, … , s)= r
24
线性表示唯一性定理
定理4.2 设n维向量1,2,…,m线性无关, 而1,2,…,m , 线性相关, 则 可由 1,2,…,m 线性表示, 且表法唯一.
1 k111 k21 2 kr1 r
2 k121 k22 2 kr 2 r
s k1s1 k2
即 (1, 2,,
s 2
s)
( 1,2 ,kr,s rr)
k11
k21
k12
k22
k1s k2s
kr1 kr2 krs
存在r×s矩阵K,使得 Bn×s =An×r Krs
向量组线性相关性
向量组线性相关性在线性代数中，向量组的线性相关性是一个重要的概念。
当我们谈论向量组的线性相关性时，实际上是在探讨这些向量之间是否存在一种线性关系，即是否存在一组实数使得这些向量的线性组合为零向量。
在本文中，我们将深入探讨向量组的线性相关性，包括线性相关性的定义、判定方法以及线性相关性与线性无关性之间的关系。
定义给定一个由n个向量$\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2, \\ldots,\\boldsymbol{v}_n$组成的向量组，如果存在不全为零的实数$k_1, k_2, \\ldots,k_n$，使得$k_1\\boldsymbol{v}_1 + k_2\\boldsymbol{v}_2 + \\ldots +k_n\\boldsymbol{v}_n = \\boldsymbol{0}$，那么这个向量组就被称为线性相关的；否则，这个向量组就被称为线性无关的。
判定方法方法一：行列式判别法对于n个n维向量组成的矩阵$A=[\\boldsymbol{v}_1, \\boldsymbol{v}_2,\\ldots, \\boldsymbol{v}_n]$，如果$\\text{det}(A) = 0$，则这个向量组线性相关；如果$\\text{det}(A) \ eq 0$，则这个向量组线性无关。
方法二：向量组的秩将向量组的向量依次排列成矩阵A的列向量，然后对矩阵A进行行变换化为阶梯形矩阵B，向量组的秩r即为矩阵B的非零行数，如果r=n，则向量组线性无关；如果r<n，则向量组线性相关。
线性相关性与线性无关性的关系线性相关性和线性无关性是一对互补的概念。
线性相关的向量组中至少有一个向量可以被其他向量线性表示，而线性无关的向量组中每个向量都不能被其他向量线性表示。
在实际应用中，线性相关的向量组会造成冗余信息，降低计算效率，而线性无关的向量组则被广泛应用于解方程组、矩阵变换等问题中。
高中数学《向量组的线性相关性》课件
高中数学《向量组的线性相关性》课件1、 引言在高中数学学习中，向量是一个重要的概念它可以用来表示方向和大小。
向量组的线性相关性是向量空间理论中的一个重要概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系并为后续学习线性代数奠定基础。
二、 向量组的线性相关性定义定义：设向量组 alpℎa 1,α2,...,αm ，如果存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m ，使得 $$k_1\alph_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0$$则称向量组 α1,α2,...,αm 线性相，否则称向量组 线性无关。
三、 向量组线性相关性的判定1. 利用定义判定根据定义，我们可以通过判断是否存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m 使得 k1α1+k 2α2+...+k m αm =0 来判定向量组的线性相关性。
2. 利用秩判定设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_$ 的秩为 r ，则： • 当 r <m 时，向量组线性相关。
• 当 r =m 时，向量组线性无关。
3. 利用行列式判定设向量组 α1,α2...,αm 的坐标分别为(a 11,a 12,...,a 1n ),(a 21,a 22,...,a 2n ),...,(a m1,a m2,...,a mn )，则* 当 m >n 时，向量组线性相关。
* 当 m =n 时，向量组线性相关当且仅当行列式∣∣∣∣∣∣a 11a 12...a 1a 21a 22...a 2n ............a m1a m2...a mn ∣∣∣∣∣∣=0 * 当 m <n 时，向量组线性无关。
四、 向量组线性相关性的性质1. 零向量组线性相关2. 包含零向量的向量组线性相关3. 向量组中任意一个向量可以由其向量线性表示，则该向量组线性相关4. 向量组线性无关，则其任意子向量组线性无关5. 向量组线性相关，则其任意子向量组可能线性相关，也可能线性无关五、向量组线性相关性应用1. 判断向量组的线性相关性2. 求解向量组的线性组合3. 求解向量组的线性无关子组4. 求解向量空间的基六、例题*例1：**判断向量组α1=(1,2,3),α2=(2,4,6),α3=(3,6,9)的线性相关性。
(完整版)抽象向量组线性相关性的判定与证明
3.抽象向量组线性相关性的判定与证明对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法.方法1 定义法：先设，然后对其作恒等变形，如用某个矩阵同乘该式两边，或对该式拆项重新组合等. 究竟用什么方法应当从已知条件去寻找信息，通过一次或多次恒等变形来分析能够不全为零还是必须全为零，从而得知是线性相关还是线性无关.方法2 求秩法：要论证线性相关或线性无关，可将其构成矩阵，利用或来说明.方法3 利用有关结论，如“等价的向量组有相同的秩”等. 方法4 反证法.例1 已知向量组线性无关. 设，，讨论的线性相关性 .解法1 利用定义. 设，代入的表达式，有整理得由于线性无关，所以有其系数行列式从而方程组有非零解，即不全为零(或求得方程组的通解任意；取得)，故线性相关.法2 利用矩阵的秩. 将看做行向量，令，其中因为线性无关，所以，又可求得，从而. 又知因此，故线性相关.注上题中，如将看做列向量，则有其余证明同法2.例2 已知向量组，令，，证明：(1) 当为偶数时，向量组线性相关；(2) 当为奇数时，向量组与同时线性相关或线性无关.证(1) 法1 当为偶数时，由于所以线性相关.法2 设数组，使得(*)代入的表达式并整理得令，则上式成立. 该齐次方程组的系数行列式(两条线行列式)故有非零解，即存在不全为零的数使(*)式成立，从而线性相关.(2) 当为奇数时，将看做列向量，则有其中由于，所以可逆，从而这表明向量组与可以互相线性表出，即它们等价，从而有相同的秩. 故当向量线性无关，即秩为时，向量组的秩也是，即线性无关；而当线性相关时，也线性相关.注上题中，如将看做行向量，则有例3 向量组线性无关，则下列线性无关的向量组是．(A) ，，，；(B) ，，，；(C) ，，，；(D) ，，，应填:(B)．分析法1．观察可知(A)线性相关；(C)线性相关；(D) 线性相关．由排除法可知应选(B)．法2 ．对(B)，设拆项重组为由线性无关知，系数行列式所以方程组只有零解，，从而(B)线性无关．用此法可知(A)，(C)，(D)均线性相关．法3 ．对(B)，设。
浅谈向量组线性相关性的几种判定
浅谈向量组线性相关性的几种判定摘要：向量线性相关性是《线性代数》中的重要内容。
所包含的定理、证明，常用结论在本书的难点中涉猎应用诸多。
通过利用定义、矩阵的秩、行列式的值、齐次线性方程组的解等知识，归纳出六种向量组线性相关性的判定方法。
关键词：线性相关；线性无关；向量组；判定方法向量组的线性相关性是向量组之间线性相关或线性无关的统称。
方程组的线性相关与线性无关是对立的，掌握其一者的满足条件全部取反，则可得另一者。
若干向量组之间的线性相关性可应用于多种向量组的相关知识，例如最大无关组、向量组的秩、线性方程组的解的结构、过渡矩阵等。
一、向量组线性相关性的引出和概念线性表示的概念，形如，由此式可得，是的线性组合，如有这一集合，使得时，是向量组的一个线性组合。
由线性组合的相关概念可引出线性相关与线性无关的概念。
1.线性相关定义：给定向量组： ,如果存在不全为零的数 ,使,则称向量组A是线性相关的。
设向量组：线性无关，而向量组：线性相关，则向量必能由向量组线性表示，且表示式是唯一的。
常见结论：（1）零向量与所有向量组线性相关，向量组只包含一个向量时，为0向量，则说A线性相关。
（2）线性相关的对应向量成比例，的各元素都不为0，根据向量乘法就是各元素成比例。
但若中有元素为0，成比例的说法不成立，使用或的方式来判断。
（3）若向量组：线性相关，则向量组：也线性相关。
含有相同向量的向量组线性相关。
增加向量的个数，不改变向量的相关性。
一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。
一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。
若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。
2.线性无关定义：给定向量组： ,如果存在不全为零的数 ,使,向量组A中的任何一个向量都不能由其余项进行表示，则称向量组是线性无关的。
常见结论：（1）向量组中的任何一个向量都不为零。
向量组的秩与线性相关的关系
向量组的秩与线性相关的关系
向量组的秩与线性相关的关系是向量没有秩，向量组才有。
向量组的秩是其线性不相关的子向量组中的个数最多的一个。
一、线性相关与线性表达
1、定义不同：线性表示—指线性空间中的一个元素可通过另一组元素的线性运算来表示。
零向量可由任一组向量线性表示。
线性相关—在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。
2、满足条件不同：线性表示是说对于一个向量,可以用n个向量线性来表示,这n个向量的系数为任意整数x= a1x1 + a2x2+…+anxn； a1…an为任意整数。
线性相关是指n个向量 a1x1+a2x2+…+anxn=0中,满足条件的a1…an不全为0。
3、表示不同：线性表示是一个向量与一个向量组的关系。
线性相关性是向量组内部向量之间的关系。
线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
二、向量组的秩与最大线性无关组
1、设在矩阵中有一个非零的r阶子式，且所有r+1阶子式的值均为零。
r的值称为矩阵的秩R(A)。
2、一组向量里取出一个部分向量组。
这个部分向量组满足线性无关且能表示整组向量的每个元素称作极大无关组。
3、一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组
的秩。
三、向量个数与维数
1、增加向量的个数，不改变向量的相关性。
减少向量的个数，不改变向量的无关性。
2、向量维数=方程组的个数；向量组数=方程组中未知数的个数。
《向量组线性相关性》课件
示。
向量组线性相关性的定义
向量组线性相关性
如果存在不全为零的标量$k_1, k_2, ldots, k_n$，使得$sum_{i=1}^{n} k_i mathbf{a}_i = mathbf{0}$，则称向量组$mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性相关。
详细描述：利用向量组线性相关性，可以对矩阵进行分 解，如奇异值分解、QR分解等，为解决实际问题提供 有效工具。
详细描述：通过向量组线性相关性，可以进一步研究矩 阵的特征值和特征向量，从而深入了解矩阵的性质。
向量组线性相关性在优化理论中的应用
总结词
约束优化问题
详细描述
在优化理论中，向量组线性相关性可以用于描述和解决 一系列约束优化问题，如线性规划、二次规划等。
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判定定理
如果存在不全为零的标量$k_1, k_2, ldots, k_n$，使得 $sum_{i=1}^{n} k_i mathbf{a}_i = mathbf{0}$，则向量组 $mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性相关 。
反例
如果对于任何不全为零的标量$k_1, k_2, ldots, k_n$，都有 $sum_{i=1}^{n} k_i mathbf{a}_i neq mathbf{0}$，则向量 组$mathbf{a}_1, mathbf{a}_2, ldots, mathbf{a}_n$线性无 关。
线性代数9.线性相关的性质、向量组的秩
又向量组b1,b2, ,bs也可由向量组a1, a2, , ar线性表示，
R(b1,b2, ,bs ) R(a1, a2, , ar )
即：s r
r s 即这两个最大无关组含有向量的个数相同.
定义
向量组A的最大无关组含有的向量个数 称为向量组A的秩，记为R(A)，
只含有零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0．
例
设齐次线性方程组
x1 x2
3x1 5x2
2x3 x4 10x3 7x4
0
0 的全体解向量构成的向量组为 S ，求 S 的秩．
x1 x2 2x3 3x4
0
解 先解方程组，为此把系数矩阵A化成行最简形:
1 1 2 1 1 0 0 1
A
3
5
10
7
r
0
1
2
2
1 1 2 3
a(n1)m
向量组 A线性相关，R(A) m.
又A是A的子块， 所以：R(A) R(A) m, 于是向量组A线性相关.
说明：结论是对增加一个分量而言的， 若增加多个对应的分量, 结论也成立.
结论：相关 截短后仍相关 无关 加长后仍无关
例 设向量组a1, a2, a3线性相关，向量组a2, a3, a4线性无关， 证明：（1）向量a1能由向量组a2, a3线性表示；
2 1 1 1 2
例
设矩阵A
1
1
2
1
4
，
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
（1）求 A 的列向量组的一个最大无关组；
（ 2 ）把 A的列向量组中 不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示 .
解： 把 A 化为行最简形得：
《向量组的秩》课件
若向量组A可由向量组B线性表示，则A的秩不大于B 的秩。
向量组的秩的推论
推论1
若向量组A线性相关，则A的秩小于A中向量的 个数。
推论2
若向量组A线性无关，则A的秩等于A中向量的 个数。
推论3
若矩阵A的行（或列）向量线性相关，则A的秩小于其行（或列）向量的个数。
向量组的秩的证明方法
方法1
01
最多的线性无关组。
向量组的秩的性质
如果向量组a₁, a₂, ..., an线性 相关，则其秩小于向量的个数 ；反之，如果向量组a₁, a₂, ..., an线性无关，则其秩等于向
量的个数。
向量组秩的性质
性质1
向量组的秩是唯一的。
性质2
如果向量组a₁, a₂, ..., an可以由向量组b₁, b₂, ..., bn线性表示，那么向量组a₁, a₂, ..., an 的秩不大于向量组b₁, b₂, ..., bn的秩。
线性相关
如果存在不全为零的数k₁, k₂, ..., kn，使得k₁a₁ + k₂a₂ + ... + knan = 0，则称向 量组a₁, a₂, ..., an线性相关。
向量组的秩的定义
向量组的秩
向量组中线性无关向量的个数 称为向量组的秩。
最大线性无关组
在给定向量组中，选取的线性 无关向量组中含有的向量个数
向量组的秩在求解线性方程组中的应用
通过判断向量组的秩，可以确定线性方程组是否有唯一解、无穷多解或无解，从而选择合适的求解方 法。
在矩阵分解中的应用
向量组的秩与矩阵分解的关系
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。通过矩阵分解，可以 将一个复杂的矩阵表示为几个简单的、易于处理的矩阵的乘积。
向量组的线性相关性的判定
向量组的线性相关性的判定摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件.关键词：向量组；线性相关；行列式引言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据.向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子.本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的.1.向量组线性相关性的相关定义及性质定义 1.1]1[ 定义在P 上的线性空间V ，对于给定的一组向量12,,,n x x x ,如果存在n 个不全为0的数12,,,n λλλ，使得11220n n x x x λλλ+++=.那么称12,,,n x x x 是线性相关的.否则称12,,,n x x x 是线性无关的.性质1.1 若12,,,n x x x 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余1n -个向量线性表示.证明 )⇒若这n 个向量线性相关，那么11220n n x x x λλλ+++=，其中i λ不全为0，不妨设0i λ≠，那么可解得11ni n iix x x λλλλ=---. 所以该结论是成立的.)⇐如果其中一个向量可由其余向量线性表示，那么这n 个向量是线性相关的.这是因为如果设11221111i i i i i n n x k x k x k x k x k x --++=+++++，那么移项得11221111()0i i i i n n i k x k x k x k x k x x --+++++++++-=.显然，i x 的系数为-1，那么由线性相关的定义知，这n 个向量是线性相关的. 性质1.2 含有零向量的向量组必是线性相关的.性质1.3 单个向量线性相关的充要条件是这个向量是零向量. 性质1.4 若向量组12,,,n ααα线性无关，12,,,,n αααβ线性相关，那么β可由12,,,n ααα线性表示.性质1.5 如果向量组12,,,m βββ的部分组 线性相关，那么12,,,n βββ也一定是线性相关的.即部分组线性相关，则整体线性相关.向量组的线性相关与线性无关的概念也可应用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，那么称方程组是线性相关的.反之，它们是线性无关的.2.向量组线性相关性的判定方法2.1 定义法定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法.对给定的n 个向量12,,,n x x x ，只需令11220n n x x x λλλ+++=.根据题中的条件去求12,,,n λλλ即可.当12,,,n λλλ不全为0时，12,,,n x x x 是线性相关的.当12,,,n λλλ全为0时，12,,,n x x x 是线性无关的.例1 设123,,ααα线性无关，证明122331,,αααααα+++也线性无关. 证明 设对于任意的123,,k k k ，有112223331()()()0k k k αααααα+++++=.整理得131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=.由于123,,ααα线性无关，得 解得所以122331,,αααααα+++也线性无关.例2 设21,1,1[]n x x P x ++∈，判断它们的线性相关性. 解 设123,,k k k P ∈，令2123(1)(1)0k k x k x ++++=，整理得212323()0k k k k x k x ++++=,所以有 解得1230k k k ===.从而21,1,1x x ++是线性无关的. 2.2 利用向量空间的性质进行判定利用向量组的线性相关性的性质也可以判定很多题目.例3 判断1231010,2,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的相关性.证明 由题意可得31212ααα=+，那么由性质1.1知，123,,ααα是线性相关的.这种判定方法适用于具体的题目，一般不用于理论分析. 定理2.2.2 n 维向量空间中任意1n +个向量是线性相关的. 例4 设V 是P 上的线性空间，σ是V 上的线性变换.证明22,,,n σσσ是线性相关的.证明 设()L V 是V 上所有的线性变换组成的集合，()L V 关于线性变换的加法和数乘运算构成一个向量空间.而()L V 的维数为2n ，又因为22,,,()n L V σσσ∈，所以由定理22,,,n σσσ从上面的例题可以看出，运用线性相关性的性质判断相关性是比较方便的，因此熟练地掌握线性相关性的性质显得尤其重要. 2.3 利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组时，需由该方程组的解去判定这个向量组的相关性.即用定义法的同时也应用了齐次线性方程组的解进行了判定.一般地，要判断一个向量组 是否线性相关就是看方程11220n n x x x ααα+++= （1）有无非零解.从这里可以看出，如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的1n +维的向量组121(,,,,)i i i in in a a a a β+=也是线性无关的.把（1）写出来就是1112121121222211220,0,0.n n n n n n n nn x a x a x a x a x a x a x a x a x a +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）,因之，（1）线性相关的充要条件是（2）有非零解[2].因此具体判断一个向量组是线性还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.例5 设123(1,1,1),(2,1,2),(1,2,1)x x x =-=-=--,试判断它们是否线性相关. 解 令1122330k x k x k x ++=.即 解得故123,,x x x 是线性无关的.2.4 利用矩阵的秩判定向量组的线性相关性定理2.4.1 设向量组12,,,m ααα是由m 个n 维列向量所组成的向量组，则向量组12,,,m ααα的线性相关性可由该向量组所构成的矩阵的秩来决定[3]. （1）若()R A m =, 12,,,m ααα是无关的;（2）若()R A m <，那么12,,,m ααα就是相关的.定理 2.4.2[4] 设B 是阶梯型矩阵，矩阵A 经过一系列的行消法变换之后得到B ，即12...T T T T m A B ααα⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.那么n 元向量组12,,,m ααα线性相关的充要条件是矩阵B 中出现零行..推论[6] 向量组12,,,m ααα线性无关的充要条件是矩阵B 中不出现零行.对矩阵T A 进行初等行变换化为阶梯型矩阵B 的过程，实质上是对12,,,m ααα进行行向量的线性运算.如果B 中出现零行，那么12,,,m ααα中一定有某个向量能被其余的1m -个向量线性表示，即12,,,m ααα线性相关.相反地，若B 中无零行，那么可知12,,,m ααα是线性无关的.例 6 判断向量组123(1,3,4,6,2),(2,4,5,3,2),(4,6,7,8,3)βββ=-=-=-的相关性.解 将123,,βββ以行排成矩阵，且经过一系列行消法变换，即1231346213462245320229246783003111A βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于矩阵A 化为阶梯型之后没有出现零行，所以它们线性无关.例7 设124(2,1,2,2,4),(1,1,1,0,2),(0,1,2,1,1),(1,1,1,1,1),(1,2,1,1,1)ααααα=-=-=-=----=３５，试判断它们的线性相关性并求它们的一个极大无关组.解 将,ααααα１２34５，，，写成列向量，拼成一个矩阵，并进行初等行变换，将此矩阵化为阶梯型.所以,ααααα１２34５，，，是线性相关的，从最后一个矩阵可以看出，123,,ααα为向量组的一个极大无关组.本方法把对向量组相关性的判别方法转化为矩阵的初等行变换，简单易懂.但该方法只适用于对n P 中的向量组进行判定，有很大的局限性. 2.5 利用行列式的值来判定向量组的线性相关性定理2.5.1 如果向量组12,,,n ααα是由n 个n 维列向量所组成的向量组，且向量组所构成的矩阵12,,(),n A ααα=，也就是说，A 为n 阶方阵，那么 （1)若0A =，则向量组12,,,n ααα是线性相关的；（2)若0A ≠，则向量组12,,,n ααα是线性无关的.例8 已知1231211,3,4142ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,试讨论它们的线性相关性.证明 由于1210135005==--，所以123,,ααα线性无关.行列式的值的判定性质实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定.但是该方法的局限性在于只有符合向量组的个数和单个向量的分量个数相等的条件时才用此法. 2.6 反证法在有些题目中，直接的给出证明结论往往比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义，定理，公里相悖的结果，从而说明原结论成立.例9 设向量组12,,,n ααα中任一向量不是它前面向量的线性组合，且10α≠，证明向量组12,,,n ααα是线性无关的.证明 如果此向量组线性相关，则存在不全为0的n 个数，使得11220n n k k k ααα+++=.假设0n k ≠,那么由上式可得112121n n n n nnk k kk k k αααα--=----. 即可由它前面1n -个向量线性表示，.故与题设矛盾，所以 且1122110n n k k k ααα--+++=.同理可得1220n n k k k --====，所以有110k α=.由于10α≠，所以10k =，即120n k k k ====.这与i k 不全为0相矛盾.所以该向量组是线性无关的. 2.7 利用线性变换的性质进行判定引理 2.7.1 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，12,,,n V ααα∈，若12,,,n ααα线性相关，则12(),(),,()n σασασα也是线性相关的.证明 由于12,,,n ααα线性相关，那么存在不全为0的数12,,,n k k k 使得11220n n k k k ααα+++=.由于σ是V 上的线性变换，那么有1122()0n n k k k σααα+++=.即1122()()()0n n k k k σασασα+++=.因此，12(),(),,()n σασασα是线性相关的.但是该定理反过来不一定成立.即12(),(),,()n σασασα线性相关，12,,,n ααα并不一定也是线性相关的.若σ为零变换，假设12,,,n ααα是线性无关的，零变换把12,,,n ααα全部变成零向量，它们是线性相关的，从而满足该条件，但是12,,,n ααα是线性无关的.推论 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，若12(),(),,()n σασασα是线性无关的，那么12,,,n ααα也是线性无关的.定理2.7.1 设V 是数域P 上的线性空间，σ是V 上的一个线性变换，且σ是V 中可逆的线性变换,线性空间V 中的向量组12,,,n ααα线性相关的充要条件是它们的象12(),(),,()n σασασα线性相关.证明 )⇒若12,,,n ααα线性相关，则存在不全为0的数12,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=.那么1221)))0(((n n k k k σαασσα+++=.所以12),),(,)((n σσσααα是线性相关的.)⇐若12),),(,)((n σσσααα线性相关，则存在不全为0的数12,,n k k k ，使得1221)))0(((n n k k k σαασσα+++=，由于σ是可逆的，那么有1122()0n n k k k σααα+++=，从而11220n n k k k ααα+++=.所以12,,,n ααα也是线性相关的.综上所述，该定理是成立的. 2.8 运用弗朗斯基判别法进行判定如果向量组是由函数组成的话该怎么判定呢？而弗朗斯基判别法主要是判定多项式的相关性的. 定理 设(),(),(),()f x g x h x w x 是n 个1n -次可导的函数，若''''(1)(1)(1)(1)()()()...()()()()...()0...............()()()...()n n n n f x g x h x w x f x g x h x w x f x g x h x w x ----≠，则(),(),(),...()f x g x h x w x 就是线性无关的.例10 判断1,cos ,sin x x 的相关性.解 可以用弗朗斯基判别法进行判别.具体判断如下; 因为1cos sin 0sin cos 100cos sin x xxx x x-=-≠--，所以它们是线性无关的.运用弗朗斯基判别法的一个缺点就是所要判定的函数必须具有高阶的导数才能判定，缺少了这个条件是不能判定的. 结束语本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析，并且给出了一些判定方法，由于向量组的线性相关性是一个基础和重点问题，仅限于这些讨论是远远不够的，还有待我们作进一步的研究.参考文献[1]杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定[J].山西农业大学学报， 2005（8151）：292-294.[2]罗秀芹，董福安，郑铁军.关于向量组的线性相关性的学习探讨[J].高等数学研究，2005（9）：18-19.[3]李先富，胡劲松.判断向量组线性相关性的另一种方法[J].四川理工学院学报（自然科学版），2005（9）：94-95.[4]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学报（自然科学版），2008（3）：58-59.[5]栾召平.证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报，2002（2）：61-62 [6]张文彬，余建坤.利用初等变换求极大线性无关组[J].云南民族学院学报（自然科学版），2003（1）：12-15.[7]同济大学应用数学系.线性代数[J].北京：高等教育出版社，2004.89：[8]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].（第2版）北京：高等教育出版社，1988,271：[9]王洪林，王春梅.相同的线性相关性在线性代数中的应用[J].河北工程技术高等专科学校学报，2001（1）：43-45.[10]彭立新，将熟练.单参变量向量组线性相关性的一个判定条件[J].荆门职业技术学院学报，2009（1）：92-96.。
判断向量组线性相关的方法
判断向量组线性相关的方法向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念。
判断向量组是否线性相关的方法有很多。
下面将介绍几种常见的判断方法。
方法一：线性组合法设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，若存在一组不全为0的系数c1,c2,…,cn，使得c1v1+c2v2+…+cnvn=0，则向量组V是线性相关的；否则，向量组是线性无关的。
这个方法主要是利用了线性组合的概念，通过求解线性方程组的方法来判断向量组的线性相关性。
方法二：行列式法将n个向量作为列向量排列成一个n×n的矩阵A，即A=[v1,v2,…,vn]，计算矩阵A的行列式det(A)。
若det(A)=0，则向量组V是线性相关的；若det(A)≠0，则向量组V是线性无关的。
这个方法主要是利用了行列式的性质，当行列式为0时，表示该矩阵的行（或列）向量线性相关。
方法三：秩的概念定义矩阵A=[v1,v2,…,vn]，将矩阵A进行高斯消元或初等变换，得到阶梯形矩阵B。
如果B的主对角线上所有元素都不为0，那么向量组V 是线性无关的；如果B的主对角线上有一个元素为0，那么向量组V是线性相关的。
这个方法主要是利用了矩阵的秩的概念，即矩阵的秩等于阶梯形矩阵的主对角线上非零元素的个数。
方法四：向量的线性组合关系设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果存在一个向量vi （i从2到n），可以由剩余的n-1个向量线性表出，即vi可以表示为其他向量的线性组合，那么向量组V是线性相关的；如果任意一个向量都不能由剩余的其他向量线性表出，那么向量组V是线性无关的。
这个方法是一种直观的判断方法，通过观察向量之间的线性组合关系来判断向量组的线性相关性。
方法五：向量的长度关系设有n个向量组成的向量组V={v1,v2,…,vn}，如果向量v1的长度大于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性无关的；如果向量v1的长度小于等于向量v2、v3、…、vn的长度之和，那么向量组V是线性相关的。
判断向量组线性相关的方法
判断向量组线性相关的方法向量是线性代数中的重要概念，而判断向量组是否线性相关也是线性代数中的基本问题。
在实际问题中，我们经常需要判断给定的向量组是否线性相关，这对于解决线性方程组、矩阵的秩、向量空间的基等问题都具有重要意义。
本文将介绍判断向量组线性相关的几种常用方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要概念。
方法一，线性组合的定义。
首先，我们需要了解线性组合的概念。
对于给定的向量组${\alpha_1,\alpha_2, ..., \alpha_n}$，如果存在一组实数$k_1, k_2, ..., k_n$使得$k_1\alpha_1 +k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n = 0$且不全为零，则称向量组${\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$线性相关；如果只有当$k_1 = k_2 = ... = k_n = 0$时才有$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_n\alpha_n = 0$，则称向量组${\alpha_1, \alpha_2, ...,\alpha_n}$线性无关。
方法二，行列式的方法。
判断向量组线性相关的另一种常用方法是使用行列式。
对于给定的向量组${\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$，我们可以将其排列成一个矩阵$A = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$，然后计算矩阵$A$的行列式$|A|$。
如果$|A| = 0$，则向量组${\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$线性相关；如果$|A| \neq 0$，则向量组${\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$线性无关。
方法三，秩的方法。
判断向量组线性相关的第三种方法是使用矩阵的秩。
对于给定的向量组${\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n}$，我们可以将其排列成一个矩阵$A = (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$，然后计算矩阵$A$的秩$r$。
怎么判断向量组的线性相关性
怎么判断向量组的线性相关性
可以通过线性相关的定义入手去判断向量组是否线性相关。
令向量组的线性组合为零，研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关。
若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
也可以通过线性相关的性质入手去判断：
1、当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关。
2、当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关。
3、通过向量组的正交性研究向量组的相关性。
4、通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性。
线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
5、通过向量组的秩研究向量组的相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的。
若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
向量组的概念：
在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量，向量分为行向量和列向量。
而由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。
有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应，即矩阵由行向量组组成，或列向量组组成。
方向相同，大小相等的向量叫做向量组。
数学公式知识：空间向量间的线性相关性判定
数学公式知识：空间向量间的线性相关性判定在空间向量中，我们可以通过线性相关性的判定来确定向量组是否存在不必要的向量。
这对于数学学习和应用来说都是非常有用的，因此本文将介绍空间向量间的线性相关性判定的基本概念和推导过程。
一、向量的线性组合首先我们需要了解向量的线性组合是什么。
向量的线性组合是指通过给定的若干个向量，分别乘以相应的标量，然后将它们相加而得到的新向量，例如：设有向量a=(a1,a2,a3)、b=(b1,b2,b3)和c=(c1,c2,c3)，则它们的线性组合可以表示为：λ1a + λ2b + λ3c = (λ1a1 + λ2b1 + λ3c1, λ1a2 +λ2b2 + λ3c2, λ1a3 + λ2b3 + λ3c3)其中λ1、λ2和λ3是实数，称为向量a、b和c的系数。
二、向量的线性相关与线性无关在了解了向量的线性组合之后，我们来看什么是向量的线性相关和线性无关。
如果存在一组不全为0的实数λ1、λ2、……、λn使得向量组V1，V2，……，Vn的线性组合为0，即：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么我们称向量组V1，V2，……，Vn是线性相关的；否则，如果只有λ1=λ2=……=λn=0时向量组的线性组合才为0，我们就称向量组V1，V2，……，Vn是线性无关的。
换句话说，如果存在不全为0的系数使得线性组合为0，那么向量组就是线性相关的；如果要使得线性组合等于0，必须每一项的系数都为0，那么向量组就是线性无关的。
三、判断向量组的线性相关性现在让我们来看如何判断向量组的线性相关性。
在三维空间中，设有向量组V1，V2，……，Vn，我们想要判断它们是否线性相关。
如果存在不全为0的实数λ1、λ2、……、λn使得：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么向量组V1，V2，……，Vn就是线性相关的。
反之，如果只有λ1=λ2=……=λn=0时使得：λ1V1 + λ2V2 + …… + λnVn = 0那么向量组V1，V2，……，Vn就是线性无关的。
向量组线性相关
1 0
,
a
3
0 1
,
线
性
无
关
，
1 0
a1
0 0
,
a
2
1 0
,
也
线
性
无
关
。
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12
§2 向量组的线性相关性
定理 (2) m个n维向量组成的向量组,
当维数n小于向量个数m时一定线性 相关.特别地,n+1个n维向量一定线 性相关.
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13
§2 向量组的线性相关性
向 量 组 a 1 , a 2 ,, a m 线 性 无 关 R A m
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5
§2 向量组的线性相关性
说明:向量组a1 ,a2 , … ,am (当m≥2时)线性相 关的充分必要条件是 a1 ,a2 , … ,am中至少有一个向量可由其余m-1 个向量线性表示.
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0 0 1 1
1 1 0 0
1
0
1
0
，即a4
a1
a2
a3，且表达式唯一。
1 0 0 1
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16
§2 向量组的线性相关性
总结
1.线性相关与线性无关的概念；
2.线性相关与线性无关的判定方法：定义及 定理．
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17
无关,而向量组B:a1 ,a2 , … ,am , b线性 相关,则向量b必能由向量组A 线性表示, 且表示式是唯一的.
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15
§2 向量组的线性相关性
1 0 0
例
a1
0
,
a2
1
线性代数课件--5.2向量组的线性相关性
A 0
向量组 1 , 2 , , m ( m 2)线性相关的充要
条件是至少有一个向量可由其余 (m − 1) 个向量线性表示.
注 含有限个向量的有序向量组实际上等同于一个矩阵． 推论 对m 阶矩阵A=[a1, a2, …, am], r(A) < m的充要条件是 至少有一列可由其余的列线性表出．
证明 现考虑齐次方程组
Cx 0
其中 x 是 k 1未知数向量. 若证得 Cx 0 只有平凡 解，则由齐次方程组的理论 必有 r(C)=k . 已知a1、…、ak 线性无关，以反证法证明 要证 Cx 0 只有平凡解. 假设 Cx 0 有非平凡解 x0
0 x1
0 T xk
定理
向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m 例 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性 解 n维单位坐标向量组构成的矩阵为 E(e1 e2 en) 是n阶单位矩阵 由|E|10 知r(E)n 即r(E)等于向量组中向量个数 所以此向量组是线性无关的
若已知前一组向量线性无关, 且每个向量aj(i=1,…,k)
皆可依后一组向量线性表出，则 k≤s.
证明 已知对每个 aj 有 s 个数c1j、… csj 使成立 aj= c1j b1+…+ csjbs , (j=1,…,k)
c11 c1k bs c s1 c sk
把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) (a1 , a2 , a3 ) 1 1 0 0 1 1
记作BAK 因为 |K|20 知K可逆 所以 r(B)r(A) 因为A的列向量组线性无关 所以 r(A)3 从而 r(B)3 因此b1 b2 b3线性无关
一、主要内容1、向量组的线性相关性,向量组的秩及找一
５
线性相关
定义 给定向量组A : a 1 , a 2 , , a m , 如果存在不全
为零的数 k 1 , k 2 , , k m , 使 k 1 a 1 k 2 a 2 k m a m 0, 则称向量组A是线性相关的, 否则称它线性无关 .
定理 向量组 a 1 , a 2 , , a m 线性相关的充分必要
( 3)
解向量 向量方程 ( 4 ) 的解就是方程组 ( 3 )的解向量．
解向量的性质 性质１
若x 1 , x 2 为(4)的解 , 则x 1 2 ( 5) 为对应的齐次线性方程 组 Ax O 的解 . 性质２
若x 是方程(4)的解, x 是方程(5)的
６
向量组的秩
定义 设有向量组 A, 如果在A中能选出 r个向量 a 1 ,
a 2 , , a r , 满足
(1)向量组 A0 : a1 , a 2 ,, a r 线性无关; ( 2)向量组A中任意r 1个向量(如果A中有r 1
个向量的话)都线性相关, 那么称向量组 A0 是向量组A的一个最大线性
( 2)加法结合律 ( ) ( );
( 3)对任一个向量 , 有 O ;
(4)对任一个向量 , 存在负向量 , 有 ( ) O;
(5) 1 ;
(6)数乘结合律 (7 )数乘分配律 (8)数乘分配律 k ( l ) ( kl ) ; k ( ) k k ; ( k l ) k l .
a1 j a1 j ( 2)设 a j , b j , ( j 1,2, , m ) a rj a rj a r 1, j 即向量 a j 添上一个分量后得到向 量 b j .若向量
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即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
注：向量组 1,2 ,,r (其中1 0) 线性相关
的充要条件是至少有一个向量 i (1 i r) 可由
1 ,2 ,,i 1
线性表示。---P44-45
性质
性质1 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
性质2 两个向量相关的充要条件是 它们的
两个向量组的线性表示、等价关系 设有两个n维向量组
A : 1 , 2 ,, r ; B : 1 , 2 , , s .
若向量组A中的每个向量都可由向量组 B 中的向量线性表示，则称向量组 A 可由 向量组B线性表示。 若向量组A可由向量组B线性表示，向 量组B也可由向量组A线性表示，则称向量 组A与向量组B等价。
故 1 , 2 , , m 线性相关.
则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m 0.
因k1 , k 2 , , k m 中至少有一个不为0， 不妨设k1 0, 则有
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
主要 线性相关性的判定、 内容： 线性相关性的性质
定理1:向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性相关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1 个向量线性表示．
证明： 充分性 设
1 , 2 ,, m 中有一个向量（比如 m ）
向量组与向量组之间的线性表示关系， 具有传递性。
例如 ：向量组A可由向量组B线性表示； 向量组B可由向量组C线性表示； 则向量组A可由向量组C线性表示。
向量组与向量组之间的等价关系，具有 反身性、对称性、传递性。
例如 ：向量组A与向量组B等价； 向量组B与向量组C等价； 则向量组A与向量组C等价。
反言之,若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关.
推论 在 r 维向量组的每个向量上添加 n-r 个 分量，使之成为n维向量组。如果r维向量组 线性无关，则n维向量组也线性无关。 简言之：无关组增加分量仍无关； 相关组减少分量仍相关。 但是，无关组减少分量不一定无关； 相关组增加分量不一定相关。 例如 1 (2,4,1),2 (4,8,5) 线性无关，
定理3 设
i (ai1 , ai 2 ,, air ) (i 1, 2,, m) i (ai1 , ai 2 ,, air , ai ,r 1 ) (i 1, 2,, m)
即
i 添上一个分量后得向量 i .
若向量组 A ： 1 ,2 ,, m 线性无关，
则向量组 B ： 1 , 2 ,, m 也线性无关.
4 1 1 2 4 1 D1 11 4 2 180, D2 3 11 2 60, 11 2 2 1 4 4 3 11 4
D3 3 4 11 60 3 2 11
有唯一解 : x1 3, x2 1, x3 1.
§2.2 向量组的 线性相关性的判定
因两个向量组等价，即 两个向量组能相互线性 表 示，故s r与r s同时成立, 所以 s r .
例3 若n维单位向量组
量组
1 ,2 ,,n
1 , 2 ,, n 可由 n维向
线性表示，则
1 ,2 ,,n
线性无关.
证:由于 1 ,2 ,,n 可由n维单位向量组线性表示,
例2
向量组E为: 1 , 2 ,, n ,则E是 R n 的一个最大线性 无关组.
全体n维向量所构成的向量组记作 R n .设n维单位
解: 因为n维单位向量组E 1 , 2 ,, n 是线性无关的. n ( a , a , , a ) 设 1 2 n 是 R 的任意一向量,则 可由 n维单位向量组 1 , 2 ,, n 线性表示. 为什么?
由已知， 1 , 2 ,, n 可由1 ,2 ,,n 线性表示
1 ,2 ,,n 与 1 , 2 ,, n 等价 因此，
所以,秩 1 ,2 ,,n 与秩 1 , 2 ,, n 相等,都等于n ,
1 ,2 ,,n 线性无关。 因此，
例4 求下列向量组的一个最大无关组及向量 组的秩。 T 1T (1, 2,1,3), T (1, 2, 3, 2), (3,6, 5, 1) 2 3
k1 k 2 k 3 0 n个n维向量所组成的向量组构成的行列式 k 2 k 3 0 k1 k 2 k 3 0 等等。 k3 0 自己看书做题时注意总结并记录。 1 , 2 , 3线性无关 .
小结
1、 线性相关与线性无关的判定方 法—四个定理；（难点） 2、向量组的秩及其求法；
线性无关的定义 ( k1 k 2 k 3 ) 1 ( k 2 k 3 ) 2 k 3 3 0 向量组的等价 1 , 2 , 3 线性无关， 向量组的秩等于向量组中向量的个数
即k1 1 k 2 ( 1 2 ) k 3 ( 1 2 3 )
例1 求下列向量组的一个最大无关组。
1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (1,1,0)
解: （筛选法） 1 , 2 线性无关， 而
3 1 2 ,
1 , 2
是一个最大无关组为
所以
1 ,3 ; 同样，
2 , 3
也是最大无关组。
说明：
（1）最大无关组不唯一； （2）一个向量组与它的最大线性无关组是等价的； （3）一个向量组的任意两个最大无关组等价； （4）一个线性无关向量组的最大无关组就是它本身. （5）一个向量组的向量都是零向量时，该向量组没 有最大无关组.
推论2 在一个向量组中，它的任意两个最大
无关组所含的向量个数相等。
由此可见，一个向量组的最大无关 组虽然可以不唯一，但最大无关组所含向 量的个数总是确定的，由此引入定义：
向量组的秩
定义 向量组的最大无关组所含向量的 个数称为这个向量的秩.
推论3
等价的向量组的秩相等 .
证 设向量组A与向量组B的秩依次为 s和 r .
练习三答案
一、 1、 3或 7 2、 2
二、 D 1
1
1
1 1 2 1
r3 r2
1 0
1
1
1 0
1
1 1
( 1)
要使方程组有非零解， 则需D 0, 即 1或 0.
2 1 1
三、 D 3
4 2 60 0 3 2 4
最大线性无关向量组
1 , 2 ,, m 定义1 一个向量组中的部分向量
若具有性质： (1) 1 , 2 ,, m线性无关; (2)向量组中任一向量都是 1 , 2 ,, m 的线性组合.
则称 1 , 2 ,, m是该向量组的一个最大线 性无关向量组，简称最大无关组.
（最大无关组不唯一：有三组最大无关组。） 向量组 A线性表示,且表示式是唯一的.
1 ,3 ; 同样，
设 1 1, 2 1 2 , 3 1 2 3 且 1 , 2 , 3 线性无关，证明 1 , 2 , 3 线性无关。 例5
证明
设 k , k , k , s . t . k k k 0 1 2 3 1 1 2 2 3 3 线性无关的证明方法：
向量组A线性表示,且表示式是唯一的.
的最大线性无关组。
1
2mBiblioteka 定理5 设有两个n维向量组
A : 1 , 2 ,, r ; B : 1 , 2 ,, s .
如果向量组A可以由向量组B线性表示，
而且向量组A线性无关，则
rs
推论1
两个线性无关的等价的向量组，一定
包含相同个数的向量。
能由其余向量线性表示. 即有
m k11 k2 2 km1 m1
故 因
k11 k2 2 km1 m1 1 am 0
k1 , k2 ,, km1 , 1 这 m 个数不全为0，
必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关，
解: (筛选法)
3 1 2 2 , 1 ,2 线性无关， 对应元素不成比例 所以 1 , 2 , 3 线性相关 所以，最大无关组为 1 , 2 秩为 2 定理2 设向量组 A : 1 , 2 ,, m 线性无关,而向
2 ,3 也是最大无关组。 量组 B : 1 , 2 ,, m , b线性相关,则向量b必能由
但是 b1 (2,4), b2 (4,8) 线性相关.
定理4 任意n+1个n维向量构成的向量组
都是线性相关的。 推论 设 1 ,2 ,,m 都是n维向量，如果 m n 那么 1 ,2 ,,m 必线性相关。
简言之：个数大于维数的向 量组一定线性相关
§2.3 向量组的秩
向量组的等价、 主要 向量组的秩、 内容： 向量组秩的性质
各对应分量成比例。 也即：由两个不成比例的向量构成的向量组线性无关
性质3 如果一个向量组的一部分向量线性相关， 则整个向量组就线性相关。 性质4 如果一个向量组线性无关， 则它的任意一部分向量组也线性无关。
简记：
部分向量组相关，则向量组相关。
向量组无关，部分向量组也无关。
定理2 设向量组 A : 1 , 2 ,, m 线性无关,而向
量组 B : 1 , 2 ,, m , b线性相关,则向量b必能由
向量组A线性表示,且表示式是唯一的.
证明: 因为
1 ,2 ,,m , b
线性相关，
所以存在不全为零的数 k1 , k2 ,, km , k , 使得