第05讲(向量组的线性相关性的判定、向量组的秩)

由已知， 1 , 2 ,, n 可由1 ,2 ,,n 线性表示
1 ,2 ,,n 与 1 , 2 ,, n 等价 因此，
所以,秩 1 ,2 ,,n 与秩 1 , 2 ,, n 相等,都等于n ,
1 ,2 ,,n 线性无关。 因此，
例4 求下列向量组的一个最大无关组及向量 组的秩。 T 1T (1, 2,1,3), T (1, 2, 3, 2), (3,6, 5, 1) 2 3
推论2 在一个向量组中，它的任意两个最大
无关组所含的向量个数相等。
由此可见，一个向量组的最大无关 组虽然可以不唯一，但最大无关组所含向 量的个数总是确定的，由此引入定义：
向量组的秩
定义 向量组的最大无关组所含向量的 个数称为这个向量的秩.
推论3
等价的向量组的秩相等 .
证 设向量组A与向量组B的秩依次为 s和 r .
定理3 设
i (ai1 , ai 2 ,, air ) (i 1, 2,, m) i (ai1 , ai 2 ,, air , ai ,r 1 ) (i 1, 2,, m)
即
i 添上一个分量后得向量 i .
若向量组 A ： 1 ,2 ,, m 线性无关，
则向量组 B ： 1 , 2 ,, m 也线性无关.
练习三答案
一、 1、 3或 7 2、 2

二、 D 1
1
1
1 1 2 1
r3 r2

1 0
1
1
1 0

1
1 1
( 1)
要使方程组有非零解， 则需D 0, 即 1或 0.
2 1 1
三、 D 3
4 2 60 0 3 2 4
最大线性无关向量组
1 , 2 ,, m 定义1 一个向量组中的部分向量
若具有性质： (1) 1 , 2 ,, m线性无关; (2)向量组中任一向量都是 1 , 2 ,, m 的线性组合.
则称 1 , 2 ,, m是该向量组的一个最大线 性无关向量组，简称最大无关组.
则存在不全为零的数
使得 k11 k22 kmm
0
k1 , k2 ,, km
这与 所以
1 ,2 ,,m
k 0,
从而
线性无关矛盾。
km k1 k2 b ( )1 ( ) 2 ( ) m k k k
即 b可由
1 ,2 ,,m 线性表示.
因两个向量组等价，即 两个向量组能相互线性 表 示，故s r与r s同时成立, 所以 s r .
例3 若n维单位向量组
量组
1 ,2 ,,n
1 , 2 ,, n 可由 n维向
线性表示，则
1 ,2 ,,n
线性无关.
证:由于 1 ,2 ,,n 可由n维单位向量组线性表示,
例2
向量组E为: 1 , 2 ,, n ,则E是 R n 的一个最大线性 无关组.
全体n维向量所构成的向量组记作 R n .设n维单位
解: 因为n维单位向量组E 1 , 2 ,, n 是线性无关的. n ( a , a , , a ) 设 1 2 n 是 R 的任意一向量,则 可由 n维单位向量组 1 , 2 ,, n 线性表示. 为什么?
n 任意 n +1 个 n 维向量构成的向量组都是线性相关的 根据最大无关组的定义,向量组E是 R 的最大线性无 .
关组. 定理 2 设向量组 A : 1 , 2 ,, m 线性无关,而向 n n R 事实上 个线性无关的 n维向量都构成 R 量组 ,则向量b必能由 B : 中任意 , ,n , , b线性相关
向量组A线性表示,且表示式是唯一的.
的最大线性无关组。
1
2
m
定理5 设有两个n维向量组
A : 1 , 2 ,, r ; B : 1 , 2 ,, s .
如果向量组A可以由向量组B线性表示，
而且向量组A线性无关，则
rs
推论1
两个线性无关的等价的向量组，一定
包含相同个数的向量。
各对应分量成比例。 也即：由两个不成比例的向量构成的向量组线性无关
性质3 如果一个向量组的一部分向量线性相关， 则整个向量组就线性相关。 性质4 如果一个向量组线性无关， 则它的任意一部分向量组也线性无关。
简记：
部分向量组相关，则向量组相关。
向量组无关，部分向量组也无关。
定理2 设向量组 A : 1 , 2 ,, m 线性无关,而向
反言之,若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关.
推论 在 r 维向量组的每个向量上添加 n-r 个 分量，使之成为n维向量组。如果r维向量组 线性无关，则n维向量组也线性无关。 简言之：无关组增加分量仍无关； 相关组减少分量仍相关。 但是，无关组减少分量不一定无关； 相关组增加分量不一定相关。 例如 1 (2,4,1),2 (4,8,5) 线性无关，
但是 b1 (2,4), b2 (4,8) 线性相关.
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定理4 任意n+1个n维向量构成的向量组
都是线性相关的。 推论 设 1 ,2 ,,m 都是n维向量，如果 m n 那么 1 ,2 ,,m 必线性相关。
简言之：个数大于维数的向 量组一定线性相关
§2.3 向量组的秩
向量组的等价、 主要 向量组的秩、 内容： 向量组秩的性质
解: (筛选法)
3 1 2 2 , 1 ,2 线性无关， 对应元素不成比例 所以 1 , 2 , 3 线性相关 所以，最大无关组为 1 , 2 秩为 2 定理2 设向量组 A : 1 , 2 ,, m 线性无关,而向
2 ,3 也是最大无关组。 量组 B : 1 , 2 ,, m , b线性相关,则向量b必能由
k1 k 2 k 3 0 n个n维向量所组成的向量组构成的行列式 k 2 k 3 0 k1 k 2 k 3 0 等等。 k3 0 自己看书做题时注意总结并记录。 1 , 2 , 3线性无关 .
小结
1、 线性相关与线性无关的判定方 法—四个定理；（难点） 2、向量组的秩及其求法；
4 1 1 2 4 1 D1 11 4 2 180, D2 3 11 2 60, 11 2 2 1 4 4 3 11 4
D3 3 4 11 60 3 2 11
有唯一解 : x1 3, x2 1, x3 1.
§2.2 向量组的 线性相关性的判定
量组 B : 1 , 2 ,, m , b线性相关,则向量b必能由
向量组A线性表示,且表示式是唯一的.
证明: 因为
1 ,2 ,,m , b
线性相关，
所以存在不全为零的数 k1 , k2 ,, km , k , 使得
k11 k22 kmm kb 0
若k
0,
主要 线性相关性的判定、 内容： 线性相关性的性质
定理1:向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性相关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1 个向量线性表示．
证明： 充分性 设
1 , 2 ,, m 中有一个向量（比如 m ）
故 1 , 2 , , m 线性相关.
则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m 0.
因k1 , k 2 , , k m 中至少有一个不为0， 不妨设k1 0, 则有
k2 k3 km 1 2 3 m . k1 k1 k1
向量组与向量组之间的线性表示关系， 具有传递性。
例如 ：向量组A可由向量组B线性表示； 向量组B可由向量组C线性表示； 则向量组A可由向量组C线性表示。
向量组与向量组之间的等价关系，具有 反身性、对称性、传递性。
例如 ：向量组A与向量组B等价； 向量组B与向量组C等价； 则向量组A与向量组C等价。
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
注：向量组 1,2 ,,r (其中1 0) 线性相关
的充要条件是至少有一个向量 i (1 i r) 可由
1 ,2 ,,i 1
线性表示。---P44-45
性质
性质1 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
性质2 两个向量相关的充要条件是 它们的
（最大无关组不唯一：有三组最大无关组。） 向量组 A线性表示,且表示式是唯一的.
1 ,3 ; 同样，
设 1 1, 2 1 2 , 3 1 2 3 且 1 , 2 , 3 线性无关，证明 1 , 2 , 3 线性无关。 例5
证明
设 k , k , k , s . t . k k k 0 1 2 3 1 1 2 2 3 3 线性无关的证明方法：
例1 求下列向量组的一个最大无关组。
1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (1,1,0)
解: （筛选法） 1 , 2 线性无关， 而
3 1 2 ,
1 , 2
是一个最大无关组为
所以
1 ,3 ; 同样，
2 , 3
也是最大无关组。
说明：
（1）最大无关组不唯一； （2）一个向量组与它的最大线性无关组是等价的； （3）一个向量组的任意两个最大无关组等价； （4）一个线性无关向量组的最大无关组就是它本身. （5）一个向量组的向量都是零向量时，该向量组没 有最大无关组.
两个向量组的线性表示、等价关系 设有两个n维向量组
A : 1 , 2 ,, r ; B : 1 , 2 , , s .
若向量组A中的每个向量都可由向量组 B 中的向量线性表示，则称向量组 A 可由 向量组B线性表示。 若向量组A可由向量组B线性表示，向 量组B也可由向量组A线性表示，则称向量 组A与向量组B等价。
能由其余向量线性表示. 即有
m k11 k2 2 km1 m1
故 因
k11 k2 2 km1 m1 1 am 0
k1 , k2 ,, km1 , 1 这 m 个数不全为0，
必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关，
线性无关的定义 ( k1 k 2 k 3 ) 1 ( k 2 k 3 ) 2 k 3 3 0 向量组的等价 1 , 2 , 3 线性无关， 向量组的秩等于向量组中向量的个数
即k1 1 k 2 ( 1 2 ) k 3 ( 1 2 3 )