北师大数学必修二新素养应用案巩固提升：第一章662 垂直关系的性质 含解析

6．2 垂直关系的性质

1．直线与平面垂直的性质定理

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如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行

⎭

⎪⎬⎪

⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 2.平面与平面垂直的性质定理

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两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂

直

⎭

⎪⎬⎪

⎫α⊥βα∩β＝l

a α

a ⊥l

⇒a ⊥β

1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一个平面的两条直线互相平行．( )

(2)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．( ) (3)若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α⊥平面γ.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)×

2．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )

A ．α⊥β，且m

α

B ．m ∥n ，且n ⊥β

C ．α⊥β，且m ∥α

D ．m ⊥n ，且n ∥β

解析：选B.

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⎪⎬⎪

⎫m ∥n n ⊥β⇒m ⊥β，故选B. 3．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在平面ABC 上的射影H 必在直线________上．

答案：AB

1．线面垂直的其他性质

(1)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．

(2)过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面．

(5)如果平面外的一条直线与该平面的垂线垂直，那么这条直线与此平面平行．

2．对面面垂直的性质定理的两点说明

(1)定理可简记为“面面垂直，则线面垂直”，该定理可以作为判断线面垂直的判定方法，即只要两个平面垂直，那么在其中一个平面内作交线的垂线便得线面垂直．

(2)应用面面垂直的性质定理时，要注意以下几点：

①两个平面垂直；

②直线必须在一个平面内；

③直线必须垂直于两个平面的交线．

线面垂直的性质的应用

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.

[证明]如图，连接AB1、B1C、BD、B1D1.

因为DD1⊥平面ABCD，

AC平面ABCD.

所以DD1⊥AC.

又因为AC⊥BD.

且BD∩DD1＝D，

所以AC⊥平面BDD1B1.

因为BD1平面BDD1B1，

所以BD1⊥AC.

同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，

所以BD1⊥平面AB1C.

因为EF⊥A1D，A1D∥B1C，

所以EF⊥B1C，又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，

所以EF⊥平面AB1C，

所以EF∥BD1.

在本例中，若AC与BD的交点为O，DD1的中点为G，证明：GO⊥平面ACB1.

证明：在△BDD1中，O是DB的中点，G是DD1的中点，所以GO∥BD1.

又由例题解析可知，BD1⊥平面ACB1，

所以GO⊥平面ACB1.

(1)直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线线、线面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．

(2)当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑线面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．

1.

如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE .

证明：取CE 的中点G ，连接FG 、BG 、AF (图略)． 因为F 为CD 的中点，所以GF ∥DE 且GF ＝1

2DE .

因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， 所以AB ∥DE ，所以GF ∥AB . 又AB ＝1

2

DE ，所以GF ＝AB .

所以四边形GF AB 为平行四边形，则AF ∥BG . 因为△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， 所以AF ⊥CD .

因为DE ⊥平面ACD ，AF

平面ACD ，所以DE ⊥AF .

又CD ∩DE ＝D ，故AF ⊥平面CDE . 因为BG ∥AF ，所以BG ⊥平面CDE . 因为BG

平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE .

面面垂直的性质的应用

如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，AF ∥BE ，AF ⊥EF ，AF ＝EF ＝1

2

BE .求证：EA ⊥平面ABCD .

[证明] 设

AF＝EF＝a，则BE＝2a.

过A作AM⊥BE于M.

因为AF∥BE，所以AM⊥AF.

又因为AF⊥EF，所以AM∥EF，

所以四边形AMEF是正方形．

所以AM＝a，EM＝MB＝a，

所以AE＝AB＝2a，所以AE2＋AB2＝EB2，所以AE⊥AB.

又因为平面ABCD⊥平面ABEF，

平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AE平面ABEF，所以EA⊥平面ABCD.

利用面面垂直性质定理应注意的问题

若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．

2.

如图，△ABC是边长为2的正三角形，若AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD ＝CD，且BD⊥CD.

求证：AE∥平面BCD.

证明：如图，取BC的中点M，