高考数学热点难点突破技巧第09讲三角函数的零点问题的处理

高考数学热点难点突破技巧三角函数的零点问题的处理

第09讲三角函数零点问题的处理【知识要点】三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.【方法讲评】方法一单调性+数形结合解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.【例1】已知向量，，设函数．（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．（1）∵函数图象关于直线对称，∴，解得：，∵，∴，∴，由，解得：，所以函数的单调增区间为．∴当或时函数有且只有一个零点．即或，所以满足条件的．【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问，左边可以取等，右边不能取等.【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。

且.（1）求的单调减区间；（2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.方法二分离参数+数形结合解题步骤先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答.【例2】已知函数的最大值为．（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在∈上有解，求实数的取值范围．【解析】（1），由，解得，所以函数的单调递增区间当时，，取最小值-3．方程在∈上有解，即 -3≤≤【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用. 【反馈检测2】已知函数的周期为.（1）若，求它的振幅、初相；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.方法三方程+数形结合解题步骤先解方程，再数形结合分析解答.【例3】已知函数.（Ⅰ）当时，求值；（Ⅱ）若存在区间(且)，使得在上至少含有6个零点，在满足上述条件的中，求的最小值.【点评】（1）本题就是先解方程，再数形结合分析解答.本题如果用前面的两种方法，也可以解答，不过比较复杂. （2）如果，所以它不是最小值.【反馈检测3】已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．高中数学热点难点突破技巧第09讲：三角函数零点问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）的单调减区间是：、；（2），且.【反馈检测1详细解析】（2）因，则.设，所以有两个不同的解，由题得. 借助函数图象可知：，即所以得：，且【反馈检测2答案】（1），；（2）详见解析；（3）当或时，函数无零点；当时，函数仅有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.【反馈检测2详细解析】（1）化为，由得，即.（1）函数的振幅是，初相为（2）列表2 0 0【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测3详细解析】(1)因为，根据题意有(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．。

高考数学专题：函数大题零点问题突破

高考数学专题突破：函数大题中的零点问题对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．对于两个函数的选择，有3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的情况最为常见．分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数()f x 的图象与x 轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．函数的凸性1．下凸函数定义设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的下凸函数．2．上凸函数定义设函数()f x 为定义在区间(),a b 上的函数，若对(),a b 上任意两点1x ，2x ，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12x x =时取等号，则称()f x 为(),a b 上的上凸函数．3．下凸函数相关定理定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的下凸函数⇔()f x '为(),a b 上的递增函数⇔()0f x ''≥且不在(),a b 的任一子区间上恒为零． 4．上凸函数相关定理定理：设函数()f x 为区间(),a b 上的可导函数，则()f x 为(),a b 上的上凸函数⇔()f x '为(),a b 上的递减函数⇔()0f x ''≤且不在(),a b 的任一子区间上恒为零．【例1】已知函数()()e ln x f x x m =-+．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（2）当2m ≤时，证明：()0f x >．【解析】（1）()1e xf x x m'=-+，由0x =是()f x 的极值点，可得()00f '=，解得1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1,-+∞，()1e 1xf x x '=-+，则()()21e 01x f x x ''=+>+，所以()f x '在()1,-+∞上递增，又因为()00f '=，所以当10x -<<时()0f x '<，当0x >时()0f x '>，所以()f x 在()1,0-上递减，在()0,+∞上递增．【证明】（2）法1：()f x 定义域为(),m -+∞，()1e xf x x m '=-+，()()21e 0x f x x m ''=+>+，于是()f x '在(),m -+∞上递增．又因为当x m +→-时，()f x '→-∞，当x →+∞时，()f x '→+∞，所以()0f x '=在(),m -+∞上有唯一的实根0x ，当0m x x -<<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,m x -上递减，在()0,x +∞上递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=可得001e 0x x m-=+，即()00ln x m x +=-，于是()()000000011e ln 2xf x x m x x m m m x m x m=-+=+=++-≥-++．当2m <时，()00f x >；当2m =时，等号成立的条件是01x =-，但显然()11e 012--≠-+，所以等号不成立，即()00f x >．综上所述，当2m ≤时，()()00f x f x ≥>．法2：当2m ≤，(),x m ∈-+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+，于是()()e ln 2x f x x ≥-+，所以只要证明()()e ln 20x x x ϕ=-+>，()2,x ∈-+∞，就能证明当2m ≤时，()0f x >．()1e 2x x x ϕ'=-+，()()21e 02x x x ϕ''=+>+，于是()x ϕ'在()2,-+∞上递增．又因为()1110e ϕ'-=-<，()10102ϕ'=->，所以()0x ϕ'=在()2,-+∞上有唯一的实根0x ，且()01,0x ∈-．当02x x -<<时，()0x ϕ'<，当0x x >时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()02,x -上递减，在()0,x +∞上递增，所以当0x x =时，()x ϕ取得最小值．由()00x ϕ'=可得001e 02x x -=+，即()00ln 2x x +=-．于是()()()0200000011e ln 2022x x x x x x x ϕ+=-+=+=>++，于是()()00x x ϕϕ≥>．综上所述，当2m ≤时，()0f x >．法3：当2m ≤，(),x m ∈-+∞时，()()ln ln 2x m x +≤+，于是()()e ln 2x f x x ≥-+，所以只要证明()e ln 20x x -+>（2x >-），就能证明当2m ≤时，()0f x >．由ln 1x x ≤-（0x >）可得()ln 21x x +≤+（2x >-），又因为e 1x x ≥+（x ∈R ），且两个不等号不能同时成立，所以()e ln 2x x >+，即()e ln 20x x -+>（2x >-），所以当2m ≤时，()0f x >．【例2】已知函数()()2e 2e x x f x a a x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）()()()()22e 2e 12e 1e 1x x x x f x a a a '=+--=+-，2e 10x +>． ①当0a ≤时，e 10x a -<，所以()0f x '<，所以()f x 在R 上递减． ②当0a >时，由()0f x '>可得1lnx a >，由()0f x '<可得1ln x a <，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增．（2）法1：①当0a ≤时，由（1）可知，()f x 在R 上递减，不可能有两个零点．②当0a >时，()min 11ln 1ln f x f a a a ⎛⎫⎡⎤==-+ ⎪⎣⎦⎝⎭，令()()ming a f x =⎡⎤⎣⎦，则()2110g a a a '=+>，所以()g a 在()0,+∞上递增，而()10g =，所以当1a ≥时，()()min 0g a f x =⎡⎤≥⎣⎦，从而()f x 没有两个零点．当01a <<时，1ln 0f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()22110e e e a a f -=++->，于是()f x 在11,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有1个零点；因为()2333333ln 1121ln 11ln 10f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+----=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且31ln 1ln a a ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有1个零点．综上所述，a 的取值范围为()0,1．法2：()2222e e 2e 0e e 2e e e x xxxxxx x x a a x a a x a ++--=⇔+=+⇔=+．令()22e e e x x xx g x +=+，则()()()()()()()()()2222222e 1e e 2e 2e e e 2e 1e 1eeeexx x x x x x x x xx xx x x g x ++-++++-'==-++，令()e 1x h x x =+-，则()e 10x h x '=+>，所以()h x 在R 上递增，而()00h =，所以当0x <时，()0h x <，当0x >时，()0h x >，于是当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(),0-∞上递增，在()0,+∞上递减．()01g =，当x →-∞时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x +→．若()f x 有两个零点，则y a =与()g x 有两个交点，所以a 的取值范围是()0,1．法3：设e 0x t =>，则ln x t =，于是()22e 2e 02ln x x a a x at at t t +--=⇔+=+⇔22ln t t a t t +=+，令()22ln t t G t t t +=+，则()()()()()222122ln 21t t t t t t G t t t ⎛⎫++-++ ⎪⎝⎭'==+ ()()()22211ln t t t tt +-+-+，令()1ln H t t t =-+，则()110H t t'=+>，所以()H t 在()0,+∞上递增，而()10H =，所以当01t <<时，()0H t <，()0G t '>，当1t >时，()0H t >，()0G t '<，所以()G t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减．()11G =，当0t +→时，()G t →-∞，当t →+∞时，()0G t +→．若()f x 有两个零点，则y a =与()G t 有两个交点，所以a 的取值范围是()0,1．法4：设e 0x t =>，则ln x t =，于是()22e 2e 02ln 0x x a a x at at t t +--=⇔+--=⇔()ln 12t a t t +-=．令()()12k t a t =+-，()ln tt tϕ=，则()f x 有两个零点等价于()y k t =与()y t ϕ=有两个交点．因为()21ln tt t ϕ-'=，由()0t ϕ'>可得0e t <<，由()0t ϕ'<可得e t >，所以()t ϕ在()0,e 上递增，在()e,+∞上递减，()1e e ϕ=，当x →+∞时，()0t ϕ+→．()y k t =是斜率为a ，过定点()1,2A --的直线．当()y k t =与()y t ϕ=相切的时候，设切点()00,P t y ，则有()000002ln 121ln t y t y a t ta t ⎧=⎪⎪⎪=+-⎨⎪-⎪=⎪⎩，消去a 和0y ，可得()000200ln 1ln 12t t t t t -=+-，即()()00021ln 10t t t ++-=，即00ln 10t t +-=．令()ln 1p t t t =+-，显然()p t 是增函数，且()10p =，于是01t =，此时切点()1,0P ，斜率1a =．所以当()y k t =与()y t ϕ=有两个交点时，01a <<，所以a 的取值范围是()0,1．法5：()()20e e 2e x x x f x a x =⇔+=+，令()()2e e x x M x a =+，()2e e x x m x =+，()2e x n x x =+，则()f x 有两个零点⇔()M x 与()n x 的图象有两个不同交点．()()002m n ==，所以两个函数图象有一个交点()0,2．令()()()2e e x x T x m x n x x =-=--，则()()()22e e 12e 1e 1x x x x T x '=--=+-，由()0T x '>可得0x >，由()0T x '<可得0x <，于是()T x 在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增，而()00T =，所以()()m x n x ≥，因此()m x 与()n x相切于点()0,2，除切点外，()m x 的图象总在()n x 图象的上方．由（1）可知，0a >．当1a >时，将()m x 图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的a 倍，就得到了()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象没有交点．当1a =时，()m x 的图象就是()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象只有1个交点．当01a <<时，将()m x 图象上每一点的横坐标固定不动，纵坐标变为原来的a 倍，就得到了()M x 的图象，此时()M x 与()n x 的图象有两个不同交点．综上所述，a 的取值范围是()0,1．法6：()()()20e e 2e e 12e x x x x x x f x a x a =⇔+=+⇔+-=，令()()e 12xp x a =+-，()ex x q x =，则()f x 有两个零点⇔()p x 与()q x 的图象有两个不同交点．()1ex xq x -'=，由()0q x '>可得1x <，由()0q x '<可得1x >，所以()q x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，当x →+∞时，()0q x +→．由（1）可知，0a >，所以()p x 是下凸函数，而()q x 是上凸函数．当()p x 与()q x 相切时，设切点为()00,P x y ，则有()00000000e 12e 1e e xx x x y a x y x a ⎧=+-⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪=⎪⎩，消去a ，0y 可得()0000021e 12e e x x x x x -+-=，即()()0002e 1e 10x x x ++-=，即00e 10x x +-=．令()e 1x W x x =+-，显然()W x 是增函数，而()00W =，于是00x =，此时切点()0,0P ，1a =．所以当()p x 与()q x 的图象有两个交点时，01a <<，所以a 的取值范围是()0,1．【例3】设函数()2e ln x f x a x =-．（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）证明：当0a >时，()22lnf x a a a≥+．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()22e x af x x'=-． ()f x '的零点的个数⇔22e x x a =的根的个数⇔()22e x g x x =与y a =在()0,+∞上的交点的个数．因为()()2221e 0x g x x '=+>，所以()g x 在()0,+∞上递增，又因为()00g =，x →+∞时，()g x →+∞，所以当0a ≤时，()g x 与y a =没有交点，当0a >时，()g x 与y a =有一个交点．综上所述，当0a ≤时，()f x '的零点个数为0，当0a >时，()f x '的零点个数为1．【证明】（2）由（1）可知，()f x '在()0,+∞上有唯一的零点0x ，当00x x <<时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x '>，所以()f x 在()00,x 上递减，在()0,x +∞上递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，且最小值为()0f x ．因为0202e 0x a x -=，所以020e 2x a x =，00ln ln 22ax x =-，所以()020000002e ln ln 22ln 2ln 2222x a a aa f x a x a x ax a a a x x a ⎛⎫=-=--=+-≥+ ⎪⎝⎭．【例4】设函数设()21n n f x x x x =+++-L ，n ∈*N ，2n ≥．（1）求()2n f '；（2）证明：()n f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭．【解析】（1）因为()112n n f x x nx -'=+++L ，所以()121222n n f n -'=+⨯++⋅L …①．由()2222222n n f n '=+⨯++⋅L …②，①-②，得()21212222n n n f n -'-=++++-⋅=L ()12212112nn n n n --⋅=---，所以()()2121n n f n '=-+．【证明】（2）因为()010f =-<，22213322211121202333913nn n f ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=-≥-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，由零点存在性定理可知()n f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点．又因为()1120n n f x x nx -'=+++>L ，所以()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内递增，因此()n f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有一个零点n a ．由于()()111n n x x f x x-=--，所以()()1101nn n n n na a f a a -=-=-，由此可得11122n n n a a +=+，即11122n n na a +-=．因为203n a <<，所以111120223n n n a ++⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以1111212022333n nn na ++⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭．【例5】已知函数()e x f x =和()()ln g x x m =+，直线l ：y kx b =+过点()1,0P -且与曲线()y f x =相切．（1）求切线l 的方程；（2）若不等式()ln kx b x m +≥+恒成立，求m 的最大值；（3）设()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有唯一零点0x ，求证：0112x -<<-．【解析】（1）设直线l 与函数()f x 相切于点()11,e x A x ，则切线方程为()111e e x x y x x -=-，即1111e e e x x x y x x =-+，因为切线过点()1,0P -，所以11110e e e x x x x =--+，解得10x =，所以切线l 的方程为1y x =+．（2）设()()1ln h x x x m =+-+，()1x m h x x m+-'=+．当(),1x m m ∈--时，()0h x '<，当()1,x m ∈-+∞时，()0h x '>，所以()h x 在1x m =-时取极小值，也是最小值．因此，要原不等式成立，则()120h m m -=-≥，所以m 的最大值是2．【证明】（3）由题设条件知，函数()1e x F x x m'=-+（x m >-），令()()H x F x '=，则()()21e 0x H x x m '=+>+，于是()H x 在(),m -+∞上单调递增．因为当x m +→-时，()F x '→-∞，当x →+∞时，()F x '→+∞，所以()0F x '=有唯一的实根，设为1x ，则当()1,x m x ∈-时，()0F x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0F x '>，于是()F x 有唯一的极小值1x ，也是最小值．当x m +→-时，()F x →+∞，当x →+∞时，()F x →+∞．因此函数()F x 有唯一零点的充要条件是其最小值为0，即()00F x =（01x x =），所以()00e ln 0x x m -+=，又因为001e x x m=+，所以00e 0x x +=．设()e x x x ϕ=+，则()e 10x x ϕ'=+>，所以()x ϕ在(),m -+∞上单调递增，又因为1211e 022ϕ-⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，()1110e ϕ-=-<，由零点存在性定理可知0112x -<<-．【例6】设函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（k 为常数，e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）．（1）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()32e 2e 21x x x f x k x xx -⎛⎫'=--+= ⎪⎝⎭ ()()32e x x kx x --．当0k ≤时，e 0x kx ->，所以当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>．所以()f x 的递减区间为()0,2，递增区间为()2,+∞．（2）函数()f x 在()0,2内存在两个极值点()0f x '⇔=在()0,2内有两个不同的根．法1：问题e 0x kx ⇔-=在()0,2内有两个不同的根．设()e x h x kx =-，则()e x h x k '=-．当1k ≤时，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上递增，所以()h x 在()0,2内不存在两个不同的根．当1k >时，由()0h x '>可得ln x k >，由()0h x '<可得ln x k <，所以()h x 的最小值为()()ln 1ln h k k k =-．e 0xkx -=在()0,2内有两个不同的根()()()()20102e 20ln 1ln 00ln 2g g k g k k k k ⎧=>⎪=->⎪⇔⎨=-<⎪⎪<<⎩，解得2e e 2k <<．综上所述，k 的取值范围为2e e,2⎛⎫⎪⎝⎭．法2：问题e x k x ⇔=在()0,2内有两个不同的根y k ⇔=与()e xg x x=在()0,2内有两个不同的交点．()()221e e e xx x x x g x x x --'==，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>．()1e g =，()2e 22g =，当0x +→时，()g x →+∞．画出()g x 在()0,2内的图象，可知要使y k =与()g x 在()0,2内有两个不同的交点，k 的取值范围为2e e,2⎛⎫⎪⎝⎭．。

三角函数零点个数解题技巧

三角函数零点个数解题技巧三角函数零点个数解题技巧一、引言在学习高中数学时，我们会接触到三角函数的概念和相关的应用。

而在解题过程中，求出三角函数的零点是非常重要的一步。

本文将介绍三角函数零点个数解题技巧，帮助大家更好地掌握这一知识点。

二、三角函数的定义及性质1. 三角函数的定义正弦函数：$y = \sin x$余弦函数：$y = \cos x$正切函数：$y = \tan x$余切函数：$y = \cot x$正割函数：$y = \sec x$余割函数：$y = \csc x$2. 三角函数的周期性对于任意实数 $x$，有以下周期性：$\sin (x + 2k\pi) = \sin x, k\in Z$ $\cos (x + 2k\pi) = \cos x, k\in Z$ $\tan (x + k\pi) = \tan x, k\in Z$ $\cot (x + k\pi) = \cot x, k\in Z$ $\sec (x + 2k\pi) = \sec x, k\in Z$ $\csc (x + 2k\pi) = \csc x, k\in Z$ 3. 三角函数的奇偶性对于任意实数 $x$，有以下奇偶性：$\sin (-x) = -\sin x$$\cos (-x) = \cos x$$\tan (-x) = -\tan x$$\cot (-x) = -\cot x$$\sec (-x) = \sec x$$\csc (-x) = -\csc x$4. 三角函数的单调性对于 $0<x<\pi$，有以下单调性：正弦函数：增函数余弦函数：减函数正切函数：增函数余切函数：减函数正割函数：减函数余割函数：增函数三、三角函数零点个数的判定方法1. 正弦和余弦的零点个数判定方法当 $f(x)=a\sin x+b\cos x$ 时，可以使用以下方法求解：令 $t=\arctan(\frac{b}{a})$，则 $f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+t)$。

【高考数学】三角函数零点问题

函数零点是近年来高考既是热点，又是重点，更是高频考点内容，在全国各个省的高考题，及各市各套模拟试卷都屡见不鲜，尤其是三角函数的零点问题，常考常新，但解答题都是通过分类讨论研究零点，分离参数划归为曲线的交点，分离函数等研究零点问题，下面就解答题加以分析：一．理论基础，解题原理对函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

1.函数零点定义：2. 等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔曲线y=g(x)与y=h(x)的交点⇔函数y=f(x)有零点； 3.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。

二例题枚举例1.（19课标1）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．解（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++，00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= 三角函数零点问题∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =， 0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-<⎪++⎝⎭，10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<，即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<，即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.例2（17山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22xg x e x x x =-+-其中 2.71828e =L 是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解：（Ⅰ）易求：222y x ππ=--（Ⅱ）由题意得 2()(c o ss i n 22)(2c o s )xh x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x xh x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0,m =所以当0x >时，()0,m x > 当0x <时，()0m x < (1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，所以当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >所以当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增；所以当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上递增，在()ln ,0a 上递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，【点睛】 1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道较难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.例3（19天津）设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明：()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明：20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.解：(Ⅰ)由已知，有()()'e cos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 递增. 所以()f x 的递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-= ⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin xg x e x x =-，从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e nx n n n x n n N πππ---∈=. 由()()20e1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y . 由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故： ()()()2e 2n n nn n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.。

函数零点问题的处理技巧

函数零点问题的处理技巧摘要：我们当今的社会对于人们的要求已经不再是要让他们简单的掌握高水平的知识，而是更加注重要让人们在实践当中养成良好的各种能力，在这样的社会大条件之下，就需要教师在开展教学任务的时候改善以往的内容和方式，在教学过程中不断地培养学生的各方面技巧，表现在数学学科当中，教师就需要在进行专业知识讲解的同时促使学生的思维能力与逻辑推理进行不断的养成，本文主要就高中数学中的一个重要的函数问题为例提出一些具体的改善措施。

关键词：函数问题零点个数具体措施我们在初中的时候就已经接触到了一些简单的函数问题，等到了高中阶段的时候，对于函数已经有了一些基本的了解，但是高中数学课本上的函数种类以及难度更大，其中涉及到的数学思维和方式也更加丰富，与此同时，高中生对于数学函数已经形成了一种特别难、自己学不会等错误思想，急需去改正，这就要求教师对于函数这一重大板块的内容进行整合。

一、教师讲解零点有关定义问题时，注重与学生的结合程度无论是学习什么内容，定义首先是必须要弄清楚的一个知识点，只有搞清楚这个知识点讲的是什么，才能够对其更加深入的理解和把握，对于函数的零点这一定义而言，它十分的抽象和专业，学生很难进行理解，这就需要教师在讲解定义的时候，一定要观察学生的表现，将有关零点问题的定义给学生讲明白。

比如教师在讲解“对于函数y= f(x)(x∈D)，我们把方程f(x)=0的实数根x 称为函数y= f(x)(x∈ D)的零点”这个定义问题时由于会遇到实数根这一名词，这就需要教师在讲解零点定义之前先把什么是实数根的概念讲解清楚，在此基础之上在进行零点定义的讲解，同时，教师在讲解完之后，可以让学生之间相互探讨，并且给学生利用多媒体或者黑板这种教学工具提供一些与定义有关的正确与错误选项，让学生进行判断，这样就可以让学生在自己实践当中更加牢固的掌握知识点。

二、教师在传授学生判定零点个数时转换以往的方式在之前的教学进程中，在让学生学会如何判定有几个零点个数之前，教师一般都会用很专业化的术语讲解一个“函数零点存在性定理”的知识点，然后让学生根据这个知识点的定义运用学到的应用函数性质等四种方法判定零点存不存在或者有几个零点的问题，这样就会使得学生在单一的、专业化很高的教学方式不能够对于知识点进行更好的掌握，所以教师在进行知识点讲解的时候要注重这类问题，帮助学生进行辨析。

三角函数零点问题解题技巧

三角函数零点问题解题技巧三角函数是初中数学中最重要的知识点之一。

在学习三角函数的过程中，我们经常会遇到求三角函数的零点问题。

所谓零点，指的是函数取零值的时候所对应的自变量值。

下面介绍几种常见的求三角函数零点的解题技巧。

技巧一：观察正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期均为360度或2π弧度。

因此，我们可以通过观察正弦函数或余弦函数的周期来推断它的零点。

例如，对于sinx=0的问题，我们可以先看作sin(x+360k)=0，其中k为整数。

如果我们找到一个x值，使得x+360k使得sin(x+360k)=0，则x+360k就是这个函数的一个零点。

同理，对于cosx=0的问题，我们可以先看作cos(x+360k)=0，其中k为整数。

如果我们找到一个x值，使得x+360k使得cos(x+360k)=0，则x+360k就是这个函数的一个零点。

技巧二：观察正切函数、余切函数的周期与奇偶性正切函数和余切函数都是周期为180度或π弧度的函数。

但是，正切函数是奇函数，余切函数是偶函数。

因此，我们在解决tanx=0或cotx=0的问题时，需要分别考虑它们的奇偶性。

对于tanx=0的问题，我们可以先看作tan(x+180k)=0，其中k为整数。

但是由于tanx是奇函数，因此x=0+180k或x=180+180k为它的零点。

对于cotx=0的问题，我们可以先看作cot(x+180k)=0，其中k为整数。

但是由于cotx是偶函数，因此x=90+180k为它的零点。

技巧三：使用三角函数的求根公式在一些特殊情况下，我们可以使用三角函数的求根公式来求解三角函数的零点。

例如，对于sinx=a的问题，我们可以先将其转化为sinx=0.5a的形式，然后利用求根公式得到x=2kπ±arcsin(0.5a)，其中k为整数。

同理，对于cosx=a的问题，我们可以先将其转化为cosx=0.5a的形式，然后利用求根公式得到x=2kπ±arccos(0.5a)，其中k为整数。

初中数学如何求解三角函数的零点性变换问题

初中数学如何求解三角函数的零点性变换问题三角函数的零点性变换问题是指通过变换函数的操作，改变三角函数的零点性质。

在本文中，我们以正弦函数为例，介绍如何求解三角函数的零点性变换问题。

1. 正弦函数的零点性特点：正弦函数sin(x)在定义域上是一个周期函数，其零点是函数图像与x轴相交的点。

在正弦函数的周期内，它有无数个零点，且这些零点是等间距分布的。

2. 求解正弦函数的零点性变换问题：要求解正弦函数sin(x)的零点性变换，我们需要找到一个变换函数，使正弦函数的零点性质发生改变。

-零点性的定义：对于任意实数x，如果函数的值为0，则x是函数的零点。

-零点性的变换规律：在零点性变换中，函数的零点性质发生改变。

-零点性变换的关键点：要求解零点性变换问题，我们需要找到一个变换函数，使函数的零点性质发生改变。

3. 具体求解零点性变换问题的方法：对于正弦函数sin(x)，我们可以通过以下步骤求解零点性变换问题：-步骤1：确定变换函数。

变换函数是对函数的零点性质进行改变的函数。

对于sin(x)，我们可以使用变换函数f(x-a)，其中a为实数。

-步骤2：确定零点性变换的定义域。

由于正弦函数的定义域为实数集合R，零点性变换后的函数的定义域仍然是实数集合R。

-步骤3：确定零点性变换的值域。

正弦函数的值域为[-1, 1]，经过零点性变换后，变换函数的值域也是[-1, 1]。

-步骤4：确定零点性变换的图像。

可以通过绘制正弦函数和变换函数的图像，来观察零点性变换的效果。

通过上述步骤，我们可以求解正弦函数的零点性变换问题。

同样的方法也可以应用于其他三角函数的零点性变换问题。

三角函数很难？3招解决全部难题！

三角函数很难？3招解决全部难题！
最近，有很多同学都来问我三角函数怎么学，有的同学说三角函数这部分的公式太多了，总是记不住，老是张冠李戴。

其实，不是同学们记不住公式，而是同学们根本就没有理解到这些公式，因为三角函数额诱导公式非常多，他们的变换都很相似，如果不去理解的话，是很难记住这些公式的。

而且就算孩子整天摇头晃脑背公式，好不容易背下来了，但是一道做题目的时候，还是什么都不会做。

其实，以前我的学生们都给我说过这样一个问题，只是现在我已经见惯不怪了。

三角函数，是高考的必考点，不仅仅是选择题、填空题，在大题里也会考，所以说如果同学们掌握不到三角函数的学习的话，数学自然就是考不出高分的。

数学，是最拉分的科目，但是也是最好提升的科目，特别是选择题和填空题，稍微有点基础的同学都应该要求自己在选择题和填空题上不能够丢分，这样的话，数学上一百三四十分，就不难了；基础稍微差一点的同学们，至少要保证自己在选择题、填空题上70分以上，这样的话，上一百一十分也就不难了。

而且选择题和填空题一定不能花太多的时间，尽量控制在半个小时之内，不然的话，不仅后面的题目没有足够的时间完成同学们也会
因为紧张而大大降低自己的答题质量。

学习不是一蹴而就的事情，高考更不是，所以说为了顺利高考，你必须在高考之前做好充分的准备。

尽快发现自己的问题，尽早解决自己的问题，只有这样，才能够让自己有最大的提升，顺顺利利地迎接高考。

方法一切割化弦
方法二统一配凑
方法三公式活用
求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。

方法一配方法
方法二化一法
方法三直线斜率法
你最想去哪个城市上大学？。

掌握高考数学中的函数方程与零点问题技巧有哪些要点

掌握高考数学中的函数方程与零点问题技巧有哪些要点函数方程与零点问题是高考数学中的一个重要考点，对于学生来说，掌握相关技巧和要点是提高数学成绩的关键。

以下是关于高考数学中函数方程与零点问题技巧的要点总结：1. 正确理解函数方程的概念：函数方程是指含有未知函数的等式。

在解函数方程时，首先需要准确理解函数的定义、性质和相关概念，如定义域、值域、单调性等。

只有建立起对函数的准确理解，才能更好地解决函数方程与零点问题。

2. 利用函数图像来分析问题：在高考数学中，经常需要通过函数图像来分析问题。

掌握函数图像的性质和形状对于解决函数方程与零点问题非常重要。

可以通过绘制函数图像、观察图像的对称性、变化趋势等来加深对函数的理解，并进一步解决函数方程与零点问题。

3. 运用函数性质求解方程：函数的性质可以帮助我们求解函数方程。

例如，奇偶性和周期性可以用来简化方程式。

利用函数的奇偶性，可以缩小方程的解的范围，快速找到部分或全部解。

利用函数的周期性，可以通过求解一个周期内的方程来得到所有解。

4. 使用二次函数相关技巧：高考数学中的二次函数常常涉及函数方程与零点问题的解答。

对于二次函数，要掌握如何求解方程和判别式的应用。

通过化简方程、配方法解方程、分析判别式的值等方法，可以快速求解二次函数的零点和方程。

5. 联立方程求解问题：在解决函数方程与零点问题时，有时需要利用联立方程的方法。

对于多元函数方程，可以通过联立相关方程来求解问题。

通过合理构建方程组、利用消元法或其他解法，可以快速求得多元函数方程的解。

6. 注意边界条件与特殊情况：在解决函数方程与零点问题时，需要特别注意边界条件和特殊情况。

边界条件是指函数的定义域和值域的限制，对于边界上的点，需要进行特殊考虑。

另外，一些特殊情况可能出现在解函数方程时，对于这些情况需要通过分析、代入等方法进行判断。

7. 多样化解题思路和方法：在解决函数方程与零点问题时，要灵活运用不同的解题思路和方法。

高考数学：函数零点问题的处理方法

高考数学：函数零点问题的处理方法唐山市开滦第一中学张智民函数零点问题是高考的热点问题，常出现涉及利用函数的导数研究函数单调性的问题中；是每年必考的知识点，要确定区间上导函数的正负，则导函数的零点是关键，比如下面的例题。

引例：（2019唐山二中高三期中试卷16）设函数a ax x e x f x+--=)12()(,1<a ,若函数存在唯一整数o x ,使得0)(0<x f ,求实数a 的取值范围解：a ax x e x f x +--=)12()(<0等价于a ax x e x -<-)12(，构造函数)1()(),12()(-=-=-=x a a ax x h x e x g x ，存在唯一整数o x ,使得0)(0<x f ，等价于存在唯一整数o x 使得)()(00x h x g <；由,210)12()(/-=⇒=+=x x e x g x当,0)(21/<-<x g x 时，,0)(21/>->x g x 时，作出两个函数的图像如下：红色的为）点的直线图像，过（的图像，黑色的为0,1)()(x h x g故此，123321)1()1()0()0(<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<⇒⎩⎨⎧-≤->a e e a a g h g h 这个题多数学生不会做。

经过了解，这个题不会做的一个原因是不会利用导函数，另外一个原因就是处理函数的零点问题不会做等价转化。

转化为什么？如何转化呢？这就有必要进行下列知识的复习与回顾了。

一、什么是函数零点？定义：对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

二、一般结论若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f(a)·f(b)≤0，则在区间[a,b]内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间[a,b]内至少有一个实数解。

【高考数学】三角函数零点问题

函数零点是近年来高考既是热点，又是重点，更是高频考点内容，在全国各个省的高考题，及各市各套模拟试卷都屡见不鲜，尤其是三角函数的零点问题，常考常新，但解答题都是通过分类讨论研究零点，分离参数划归为曲线的交点，分离函数等研究零点问题，下面就解答题加以分析：一．理论基础，解题原理对函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

1.函数零点定义：2. 等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔曲线y=g(x)与y=h(x)的交点⇔函数y=f(x)有零点； 3.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。

二例题枚举例1.（19课标1）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．解（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++，00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= 三角函数零点问题∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =， 0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-<⎪++⎝⎭，10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<，即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<，即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.例2（17山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22xg x e x x x =-+-其中 2.71828e =L 是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解：（Ⅰ）易求：222y x ππ=--（Ⅱ）由题意得 2()(c o ss i n 22)(2c o s )xh x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x xh x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0,m =所以当0x >时，()0,m x > 当0x <时，()0m x < (1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，所以当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >所以当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增；所以当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上递增，在()ln ,0a 上递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，【点睛】 1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道较难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.例3（19天津）设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明：()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明：20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.解：(Ⅰ)由已知，有()()'e cos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 递增. 所以()f x 的递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-= ⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin xg x e x x =-，从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e nx n n n x n n N πππ---∈=. 由()()20e1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y . 由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故： ()()()2e 2n n nn n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.。

[高考热点难点：两招解决含参函数零点问题...

[高考热点难点：两招解决含参函数零点问题...
[高考热点难点：两招解决含参函数零点问题]含参函数的零点问题常以超越方程，分段函数等为载体，达到考察函数性质、函数零点个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式等目的。

注意函数的零点，方程的根、不等式的解集三者之间的关系，进行彼此之间的转化是解决该类问题的关键，等价转化是这类问题的难点，解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数，方程，不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用！
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高考数学函数零点问题3类题型4种方法讲解！你觉得零点问题难吗？

高考数学函数零点问题3类题型4种方法讲解！你觉得零点问题难吗？函数零点问题的4种解题方法一、依据概念化为方程求根对于函数y=f(x)，我们把f(x)=0使的实数x叫做函数y=f(x)的零点，因此，该方法就是将函数的零点问题转化为方程f(x)=0的问题来解答。

二、由数到形实现零点交点的互化函数y=f(x)的零点，即函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。

因此，求函数的零点问题可转化为函数y=f(x)图像与x轴的交点的横坐标，或将方程f(x)=0整理成f1(x)=f2(x)形式，然后在同一直角坐标系下，画出两函数的图像，交点的横坐标即为函数的零点，交点的个数即为函数的零点个数。

注：在解题中，若遇到函数形式复杂难以作图时，则不妨先整理表达式，一般以所涉及的函数能作其图像为整理要求。

接着在同一坐标系下，规范作图，然后确定交点的位置或个数，特别在部分区间上是否存在交点，要细心对待，有时还需计算相关的函数值（函数值的趋势）来确定是否有交点。

三、依存定理凭号而论如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像时联系不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。

即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。

通常将此论述称为零点存在性定理。

因此，该解题策略就是将函数零点分布问题转化为判断不等式f(a)f(b)<0是否成立。

四、借助单调确定问题如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像时连续不断的一条具有单调性曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一零点，即存在唯一的c∈(a,b)，使得f(c)=0。

通常将此论述称为零点唯一性定理。

因此，该策略解题需要考虑两个条件：条件一是f(a)f(b)<0是否成立；条件二是否具有单调性。

题型一：已知零点个数求参数范围题型二：求零点所在区间题型三：求零点个数。

三角函数零点问题

三角函数零点问题三角函数是数学中的一个重要概念，它在各个领域有着广泛的应用。

在解三角函数的问题中，我们常常需要找到三角函数的零点，即函数取0的点。

本文将介绍三角函数零点的概念和求解方法。

1. 三角函数的定义和性质常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

它们的定义如下：•正弦函数（sin）：在直角三角形中，将一条直边的长度除以斜边的长度得到的比值。

•余弦函数（cos）：在直角三角形中，将另一条直边的长度除以斜边的长度得到的比值。

•正切函数（tan）：在直角三角形中，将一条直边的长度除以另一条直边的长度得到的比值。

这些函数都具有周期性，即有一定的重复性。

例如，正弦函数的周期是2π，即在0到2π之间反复出现相同的数值。

三角函数具有许多重要的性质，其中一条性质是：正弦函数和余弦函数在对应角度上的数值互为相反数。

例如，sin(π/6) = 1/2，cos(π/6) = √3/2，它们互为相反数。

2. 三角函数零点的概念一个函数的零点是指函数取0的点。

在三角函数中，我们需要找到满足函数取0条件的角度，即满足sin(x) = 0或cos(x) = 0的角度。

这些角度被称为三角函数的零点。

根据三角函数的周期性，我们可以知道三角函数的零点有无穷多个，且形式为x = kπ，其中k为整数。

以正弦函数为例，我们可以得到其他的三角函数的零点。

当sin(x) = 0时，我们有以下关系：cos(x) = ±1。

因此，当sin(x) = 0时，同时也有cos(x) = ±1。

这就意味着三角函数的零点和极值点可能是相同的。

3. 求解三角函数零点的方法要求解三角函数的零点，我们可以利用函数的周期性和性质来得到解析解。

以正弦函数为例，当sin(x) = 0时，我们有以下关系：x = kπ，其中k为整数。

这是因为正弦函数的周期是2π，即在0到2π之间正弦函数的值反复为0，因此在整个实数轴上都满足sin(x) = 0。

2021新高考数学通关秘籍专题09利用图象求解函数零点问题

专题09利用图象求解函数零点问题【方法点拨】1. 函数的零点就是函数图象与X 轴交点的横坐标，解决实际问题时，往往需分离函数，将零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题，将零点所在区间问题，转化为交点的横坐标所在区间问題-2. 利用图象法解决零点问题，分离函数的基本策略是：一赫一动，一直一曲，动直线、静曲线.3. 利用图象法解决零点问題时，作图时要注意运用导数等相关知识分析函数的单调性、奇偶性、以及关键点线（如渐进线），以保证图像的准确.【典型题示例】（keR ）恰有4个零点，则R 的取值范围是（x>0 x<0当此时I,如图i, 1与如=借有2个不同交点，不满足题意;例1（2020・天津・9）已知函数/（兀）【解析】注意到g （0） = 0,所以要使g （x ）恰有4个零点，只需方程|也-2|=个实根即可, 令此）=4^【答案】D点,分k = 0,k<0,k>0 :-种情况，数形结合讨论即川•得到答案-当kvO时，如图2,此时y=|滋-2|与/?匕)=辛¥恒有3个不同交点，满足题意;I x I当R>0时，如图3,当y = kx-2与y = T相切时，联立方程得F-也+2 = 0，令△ = ()得加一8 = 0,解得k = 2忑(负值舍去)，所以k>2忑综上，R的取值范闱为(—oo,0)U(2>/N+8).本题是一道由函数零点个数求参数的取值范围的问题，其基本思路是运用图象，将零点个数问题转化为两函数图象交点个数，考查函数与方程的应用、数形结合思想、转化与化归思想、导数知识、一元二次方程、极值不等式、特值等进行分析求参数的范围-fe x, x <1例2 (2020 •江苏镇江三模・13)己知函数= i ------------------- ,若函数+4x-3,l <x<3g(x) = /(x)—比卜+2|有三个零点，则实数k的取值范围是______________ .fe x,x <1【解析】作= { -------- ------- 与y = k\x-v2\图彖，[v-^2 + 4x-3,l <x<3由J-F + 4X-3 二k(x+2),k >0,x>-2得伙'+ l)x2 + (4/ -4)x+ 4疋 + 3 = 0 由厶=(4k2 -4)2 - 4(k2+ l)(4i2 + 3) = 0 得k‘= L.k>O..k =坐,15 15对应图中分界线①；由y = k(x+2),k>0,x>-2过点(l,e)得k = *对应图中分界线②；当y = k(x+2),k>Q,x>-2与y 相切于(x0,e v°)时，因为y f = e r,所以k = e x° = k(x0 + 2) R > 0 /. x0 = -l9k =-,对应图中分界线③;因为函数g(x) = /(x)-口兀+2|有三个零点，所以实数上的取值范围是(°，乎］故答案为：o.例3 (2020 •江苏南通基地校一联考・14)己知函数f(x) = x2-(m + l)x-l与g(x) = hix-2x-2m的零点分别为x Y ,x2和x3, x4. x l<x i<x2<x A,则实数加的取值范围是 _________ .【答案】(一迪―1)【分析】将问题转化为函数y = m与函数/?(%) = x一丄-1和e(x) = iliix-x交点的大小问x 2题，作出函数图像，观察图像可得结果-【解析】由f(x) = x2-(m + l)x-l = 0,得m = x---l,x对于函数h(x) = x一丄一1,在(0,+“)上单调递增，在(-oo,0)±单调递减，X由g(x) = lnx-2x-2/n = 0,得m = ^\nx-x,对于e(x) = -liix-x , y = —-一1 =-—得y = -\nx-x在(0丄［上单调递增，在2 2x 2x 2 I 2)"£,+8〕上单调递减，最大值为其图像如图，12 ) 222令x-丄一l = glnx-x得A(l,—1),要兀v^v^vq,则直线y = fn要在人点下方, x 2:.m<-l,・•・实数加的取值范围是(_8厂1)•例4 (2020 •江苏七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)三模・13)' 2k(l——),x<0 『「己知函数f(x) = l X,若函数g(x) = f(-x)+f(x)有且仅有四个不同的x2-2k, x>Q零点,则实数左的取值范围是________ .【答案】(27, +8)【解析】易知g(x) = /(-x) + /(x)是偶函数，问题可转化为g(x) = x2 + — k,x > 0有且仅有两个不同的零点- XI 2分离函数得；才=一一 + l(x>0),由图形易知Q0,K X1 ?问题进一步转化为y = —y =——+ l(x > 0)有两个交点问题.( 2 \设两个函数图彖的公切点为x0,—+1 (x0>0)2 I则彳一一+ l = -x02,解得兀=3, x n k兀〉01 2所以当T V <- —+ 1时，即A->27时，上述两个函数图彖有两个交点k X。

函数零点问题的题型归类及解题策略

函数零点问题的题型归类及解题策略一、函数零点问题的题型归类在数学中，函数零点问题是一个常见的题型，通常是要求求出一个函数的零点或根。

根据不同的函数形式和解法，可以将这些题型分为以下几类：1. 多项式函数的零点问题：多项式函数是指由一系列单项式相加或相减而成的函数，例如f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5就是一个三次多项式函数。

对于多项式函数而言，求解它的零点通常使用因式分解、配方法、牛顿迭代法等方法。

2. 三角函数的零点问题：三角函数包括正弦、余弦、正切等等，例如f(x) = sin(x) - x就是一个三角函数。

对于三角函数而言，求解它的零点通常使用周期性、奇偶性等特征来进行简化。

3. 指数和对数函数的零点问题：指数和对数函数包括指数、自然对数等等，例如f(x) = e^x - x就是一个指数和对数函数。

对于指数和对数函数而言，求解它们的零点通常需要使用到特殊技巧如换底公式、取对数等方法。

4. 分段定义的复合函数的零点问题：分段定义的复合函数是指一个函数在不同的区间内采用不同的定义方式，例如f(x) = {x^2 + 1, x < 0; x - 1, x >= 0}就是一个分段定义的复合函数。

对于这类函数，求解它们的零点通常需要将其分成不同的部分进行讨论。

二、解题策略针对以上不同类型的函数零点问题，我们可以采用以下几种解题策略：1. 因式分解法因式分解法是一种常见的求多项式函数零点的方法。

对于一个多项式函数f(x)，我们可以先将其进行因式分解，然后再求出每个因子的零点。

例如f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x可以写成f(x) = x(x-1)(x-2)，然后再求出每个因子的零点即可得到f(x)在实数范围内所有的零点。

2. 配方法配方法也是一种常见的求多项式函数零点的方法。

对于一个二次或三次多项式函数，我们可以通过配方将其转化为完全平方或完全立方形式，然后再根据完全平方或完全立方公式来求解它们的零点。

专题09 函数零点问题的解题模板-备战2021高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(解析版)

【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.【方法点评】一、零点或零点存在区间的确定使用情景：一般函数类型解题模板：第一步直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0；第二步若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】考点：零点存在定理．【变式演练1】方程220x x +-=的解所在的区间为（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，设函数()22xf x x =+-，则()()0102021,12121f f =+-=-=+-=，考点：函数的零点.【变式演练2】函数21()log f x x x=-的零点所在区间（）A．1(0,)2 B．1(,1)2 C．(1,2) D．(2,3)【答案】C试题分析：()211(1)log1110,2122f f=-=-<=-=，()()120f f∴⋅<，故函数21()logf x xx=-的零点所在区间为(1,2)．考点：函数零点的判断．二、零点的个数的确定方法1：定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步判断函数的单调性；第二步根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步得出结论.例2.函数xexf x3)(+=的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】考点：函数的零点．【变式演练3】函数3()22xf x x=+-在区间（0,1）内的零点个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】试题分析：由于函数3()22xf x x=+-在区间(0,1)内为单调递增函数，且()010,(1)10f f=-<=>，即()()010f f <，所以函数3()22xf x x =+-在区间(0,1)内只有一个零点，故选B.考点：函数的零点.【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用、函数零点的判定方法、指数函数与幂函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、本题的解答中，根据题意得出函数3()22xf x x =+-在区间(0,1)内为单调递增函数且()()010f f <是解答的关键.【变式演练4】方程3sin x x =的根的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C 【解析】4224πππ2π3π4π5π0=x 处的切线斜率得到,为本题的易错点．【变式演练5】已知函数()()ln x f x x x g x x e -==，．（1）记()()()F x f x g x =-，求证：函数()F x 在区间()1+∞，内有且仅有一个零点；（2）用{}min a b ，表示a b ，中的最小值，设函数()()(){}min h x f x g x =，，若关于x 的方程()h x c =（其中c 为常数）在区间()1+∞，有两个不相等的实根()1212x x x x <，，，记()F x 在()1+∞，内的零点为0x ，试证明：1202x x x +>．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（2）由（1）问可知()()00g x f x =，且()01 , x x ∈时，()()f x g x <，()0 , x x ∈+∞时()()g x f x <，因此()00ln , 1 , x x x x x h x xe x x -<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，其中0x 满足0000ln x x x x e -=即00ln x x e -=，（事实上()0 1 , 2x ∈），而()01 , x x ∈时，()'ln 10h x x =+>，()0 , x x ∈+∞时，()()'10x h x x e -=-<，因此()h x 在()()001 , , , x x ↑+∞↓，若方程()h x c =在区间()1 , +∞有两个不相等的实根，()1212 , x x x x <，则必有()()10201 , , , x x x x ∈∈+∞，所证⇔120201022x x x x x x x +>⇔>->，因为()h x 在()0 , x +∞单调递减，所以只需证()()2012h x h x x <-，而()()21h x h x =，所以只需证()()1012h x h x x <-，即证明：()()0121101ln 2x xx x x x e --<-，考点：（1）利用导数求函数闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性．方法2：数形结合法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题；第二步在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像；第三步观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数；第四步由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.例3. 方程31()|log |3xx =的解的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B 【解析】考点：函数与方程。

有关高考函数零点问题的求解及备考建议

有关高考函数零点问题的求解及备考建议发布时间：2021-09-03T09:34:46.400Z 来源：《中国教师》2021年9月作者：刘冰[导读] 新课标颁布后，高考中函数零点问题的考查开始作为一个新的知识考查点出现在高考数学的考察范围内。

关于函数零点问题在高考中的考察方式，一般都是以独立大体的方式进行考察的，这意味着这部分知识内容不仅在考查力度不断的加大，对于学生数学成绩的影响也是非常显著的。

因此，本文通过具体的例题分析，探讨高考题目中与函数的零点问题科学的解题方式，为科学的针对函数零点问题的备考提供帮助。

刘冰黑龙江省克东县第一中学【摘要】新课标颁布后，高考中函数零点问题的考查开始作为一个新的知识考查点出现在高考数学的考察范围内。

关于函数零点问题在高考中的考察方式，一般都是以独立大体的方式进行考察的，这意味着这部分知识内容不仅在考查力度不断的加大，对于学生数学成绩的影响也是非常显著的。

因此，本文通过具体的例题分析，探讨高考题目中与函数的零点问题科学的解题方式，为科学的针对函数零点问题的备考提供帮助。

【关键词】高考；函数零点问题；求解；备考中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2021）9-107-01引言：函数零点问题的解答，在高中阶段的数学课程教学中是非常关键的一部分教学内容。

结合具体的题目类型找到科学的解题方法，是应对高考中不同的涉及到函数零点的问题题目，做好高考备考的关键问题。

一、高中函数零点问题考查趋势从题目呈现的形式上来讲，关于零点问题的考核方式，所能够涉及到的题型是具有多样性特征的[1]。

例如函数与方程、分类讨论题目、数形结合思想指导下的题目、与化归思想相结合的题目中，都能够以函数零点问题的解决作为题目呈现形式。

可见高中课程教学中函数的零点问题的题目形式是多样的，这也从侧面反映出在新课标的背景下，高中函数的零点问题已经成为高中阶段函数课程教学中的重点内容。

初中数学如何求解三角函数的零点性变换问题

初中数学如何求解三角函数的零点性变换问题要求解三角函数的零点性变换问题，我们需要了解三角函数的图像特点和零点的变化规律。

下面以正弦函数为例，介绍如何求解三角函数的零点性变换问题。

1. 正弦函数的图像特点：正弦函数sin(x)的图像是一条周期性的曲线，它在区间[0, 2π]上是周期性的，即sin(x + 2π) = sin(x)。

正弦函数在x = 0和x = π时取得最小值0，在x = π/2和x = 3π/2时取得最大值1和-1。

在其他区间上，正弦函数的图像在0和1之间波动。

2. 求解正弦函数的零点性变换问题：现在我们要求解sin(x)的零点性变换，即要找到一组x的取值，使得sin(x)的零点发生变化。

-正弦函数的零点：正弦函数的零点是使得sin(x) = 0的x值。

根据正弦函数的图像特点，我们知道正弦函数的零点是在x = 0，π，2π，3π，...，即kπ的位置上，其中k是整数。

-零点性变换的规律：我们可以通过正弦函数的零点性变换规律来求解正弦函数的零点性变换问题。

根据正弦函数的图像特点，我们知道sin(x)的零点是周期性的，即在每个周期内的零点位置是相同的。

-零点性变换的周期性：由于正弦函数是周期性的，所以零点性的变化也是周期性的。

在每个周期内，正弦函数的零点位置是相同的，即在x = 0，π，2π，3π，...的位置上。

在其他周期内，零点性的变化也是相同的。

3. 其他三角函数的零点性变换问题：类似地，我们可以根据三角函数的图像特点和零点的变化规律来求解其他三角函数的零点性变换问题。

以余弦函数为例，余弦函数cos(x)的图像也是一条周期性的曲线，它在区间[0, 2π]上是周期性的，即cos(x + 2π) = cos(x)。

余弦函数在x = π/2和x = 3π/2时取得最小值0，在x = 0和x = π时取得最大值1和-1。

在其他区间上，余弦函数的图像在-1和1之间波动。

类似地，我们可以通过余弦函数的零点性变换规律来求解余弦函数的零点性变换问题。

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