边界元法与无网格法-无网格法概论
自适应无网格及网格和无网格混合算法
在地质工程领域，自适应无网格及网格和无网格 混合算法可以用于模拟地质体的变形和破坏过程 ，为地质灾害防控提供技术支持。
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由于无网格算法是基于点的计算方法，可 以更好地处理复杂形状和边界条件。
适用于动态问题
无网格算法适用于处理动态问题，例如流 体动力学、结构动力学等。
无网格算法的发展历程
无网格算法的研究始于20世纪90年代，最初是为了解着计算机技术的发展，无网格算法逐渐成为研究的热点，并被广泛应用于工程 和科学领域。
自适应无网格及网格和无网格混合算法在其他领域中的应
用前景
自适应无网格及网格和无网格混合算法也可以应 用于其他领域，如固体物理、生物医学工程、地 质工程等。
在固体物理领域，自适应无网格及网格和无网格 混合算法可以用于研究材料的力学性能和物理性 质，如弹性模量、热导率等。
在生物医学工程领域，自适应无网格及网格和无 网格混合算法可以用于模拟生物组织的力学性能 和药物传递过程，为药物开发和组织工程提供有 效的工具。
广泛的应用前景。
网格与无网格混合算法在流体动力学中的应用
在流体动力学领域，网格与无网格混合算法结合了传统有限元素法和无 网格法的优点，能够更好地处理流场的运动和变化。
网格与无网格混合算法可以有效地解决边界层流动、分离流动和湍流等 复杂流动问题，提高计算精度和效率。
网格与无网格混合算法在航空航天、汽车和船舶等领域具有广泛的应用 前景，可以用于气动性能评估、流体控制和流体传动等方面的研究。
与传统的网格算法不同，无网格算法不需要对计算域进行网 格划分，因此可以避免网格生成、更新和修复等繁琐过程， 提高了计算效率。
无网格算法的优点
无需网格生成
无网格算法的最大优点是无需进行繁琐的 网格生成，节省了大量时间和人力。
无网格法的理论及应用
为了验证该方法的有效性和可行性，我们进行了一系列实验。实验过程中采 用了某稠油油田的实际数据集，包括地层压力、温度、渗透率等参数。同时，采 用了可视化评估指标，以便直观地评估计算结果的准确性。实验结果表明，该方 法在稠油热采数值模拟过程中具有较高的计算精度和计算效率，可为稠油热采技 术的优化提供有力支持。
1、算法开发：针对稠油热采的物理化学过程，开发相应的数值模拟算法， 如有限元法、有限差分法等。
2、软件架构：设计并实现数值模拟软件的架构，包括前后处理、求解器等 模块，以便用户进行快速高效的计算。
3、数据处理：针对稠油热采数值模拟过程中产生的大量数据，开发相应的 数据处理技术，如数据压缩、可视化等。
无网格法的数值积分采用移动最小二乘法（Moving Least Squares，MLS） 来实现。该方法通过对节点进行加权，构造一个局部近似函数来逼近真实的解。 数值积分通过在节点上建立局部近似函数，然后对该函数进行求导和积分来计算。 无网格法的数值积分具有高精度和高效性，同时避免了传统网格法中的网格生成 和数据处理问题。
1、结构分析
无网格法在结构分析中具有广泛的应用，可以处理各种复杂形状和材料属性 的结构。例如，桥梁、建筑物和飞机等结构分析中，无网格法能够适应复杂的几 何形状和非均匀的材料属性，同时提高计算效率和精度。此外，无网格法在疲劳 分析和振动分析中也得到了广泛应用。
2、流体分析
无网格法在流体分析中也有着广泛的应用，可以处理各种复杂的流体流动问 题。例如，无网格法可以应用于计算流体动力学（CFD）中的复杂流场模拟、燃 烧模拟以及噪声辐射模拟等。无网格法能够适应复杂的几何形状和流场特性，提 高计算精度和效率。
参考内容
稠油热采是一种重要的石油开采方法，具有提高采收率、降低开采成本等优 势。随着计算机技术的不断发展，数值模拟已成为稠油热采领域的重要工具。本 次演示旨在探讨稠油热采数值模拟自适应网格法计算软件的开发研究及实例应用。
地震波模拟中的边界元法应用研究
地震波模拟中的边界元法应用研究地震波模拟是地震工程领域研究的重要内容之一，它可以用于预测地震波在地下传播的路径、振幅和速度等参数，对于地震灾害的预测和防控具有重要意义。
边界元法是一种常用的地震波模拟方法，本文将从其原理、应用和研究进展三个方面进行探讨。
边界元法，又称边界积分方程法，是一种基于边界条件的动态数值计算方法。
它的原理是将问题的边界分割成若干小面元，通过面元上的边界条件推导波动方程的边界积分方程，然后利用边界积分方程求解问题的边界上的波动场。
与有限差分法等传统数值计算方法相比，边界元法更适用于复杂边界形状和大规模问题。
在地震波模拟中，边界元法的应用主要包括三个方面。
首先，边界元法可以用于计算地面运动的传播特性。
通过在地面边界上设置小面元，可以计算出地震波在地下的传播路径和振幅分布，进而预测地震波对建筑物和结构物的影响。
其次，边界元法可以用于评估地震波对地下水的影响。
地震波传播会引起地下水位的变化，导致地下水的流动和压力变化，边界元法可以用于计算地震波对地下水位和水流速度的影响。
最后，边界元法还可以用于地震波的反演和早期预警。
通过将实测地震波记录与边界元法模拟的地震波进行对比，可以对地震源参数和地下介质进行反演，从而实现地震预警和灾害评估。
目前，边界元法在地震波模拟中的应用研究已取得一些进展。
一方面，研究人员通过改进边界元法的数值算法，提高了计算效率和精度。
例如，引入高效的积分方法和优化的网格划分算法，可以减少计算量和提高计算精度。
另一方面，研究人员还开展了与其他方法的比较研究。
与有限差分法、有限元法等传统方法相比，边界元法在计算非均匀介质和复杂边界条件时更具优势。
此外，研究人员还将边界元法与其他地震波模拟方法进行耦合，形成多尺度、多物理场耦合的综合模拟方法，提高了地震波模拟的全面性和准确性。
然而，边界元法在地震波模拟中仍面临一些挑战和问题。
首先，边界元法需要对地震源和地下介质进行较为准确地描述，但地震源和地下介质的复杂性导致模型参数估计的难度增加。
无网格法介绍
无网格法是在建立问题域的系统代数方程时，不需要利用预定义的 无网格法是在建立问题域的系统代数方程时， 网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、 网格信息，或者只利用更容易生成的更灵活、更自由的网格进行域 离散的方法。（刘桂荣，2009） 离散的方法。（刘桂荣，2009） 。（刘桂荣
无网格法概述
无网格法求解过程 FEM对比 对比） （与FEM对比）
导出无网格法公式
基于弱强式的无网格法
• MFree弱-强式法 弱 强式法 强式法(NWS)的核心思想是针对某一问题同时采用强式和 的核心思想是针对某一问题同时采用强式和 局部弱式建立起离散系统方程式，即对不同组别的节点根据其不同 局部弱式建立起离散系统方程式， 条件分别形成不同类型的方程，其中局部弱式被用于位于或接近导 条件分别形成不同类型的方程， 数边界条件的所有节点，强式被用于除此之外的其他节点。 数边界条件的所有节点，强式被用于除此之外的其他节点。 • 代表方法：MWS 代表方法： • MWS特点。MWS法使用最少数量的背景网格用于积分，对各类力学 特点。 法使用最少数量的背景网格用于积分， 特点 法使用最少数量的背景网格用于积分 问题均可得到稳定而精确的解，是目前近乎理想的无网格法。 问题均可得到稳定而精确的解，是目前近乎理想的无网格法。
构造无网格形函数
PIM形函数性质
• 一致性 如果单项式的完备阶数是p，则该形函数具有 C p 一致性 如果单项式的完备阶数是 ， • 再生性 PIM基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数。 基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数。 基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数 • 线形独立性 PIM基函数在支持域上是线性独立的 基函数在支持域上是线性独立的 • δ 函数性
目
无网格方法的研究现状和发展
无 网格 方 法 的研 究 现 状 和 发 展
曾
摘
媛戴木Leabharlann 香 要： 通过有限元法和无 网格法的对比分析 ， 总结 出无 网格方法 的特 点及优势 ， 讲述 了无网格方法的发展 历史， 在此基
础上介绍 了无 网格方法在 国内外 的研 究现状 ， 并对 无网格方法 中的难 点和存在 的问题进 行 了探讨。 关键词 ： 无网格方法， 限元法 ， 有 数值模拟 ， 研究现状
维普资讯
第３ ４卷 第 ２ ７期 ２０ ０８ 年 ９ 月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥ ｒＵ＝Ｅ Ｒ
Ｖｏ ． ４ ＮＯ． ７ １３ ２
Ｓｐ ２ ０ ｅ． ０８
・１７ ・ １
文章 编 号 ：０ ９６ ２ （０ ８ ２ —１７０ １ ０ —８ ５ ２ ０ ）７０ １—２
１对 ２无 动 模拟分析 方法对 网格 的依赖性 ， 底或部 分地 消除 网格 ， 彻 抛开 网 向 ： ） 无 网 格 法 理 论 方 面 的进 一 步 研 究 ； ） 网 格 法 在 碰 撞 、 金属 加工成 型等领域 中的应用 。根 据选取基 函数 和 格的初始划分 和网格 重构 的一种 很有发 展前 途 的数 值模 拟分 析 态裂纹扩展 、
中图 分 类 号 ： Ｕ３ １ Ｔ １ 文 献标 识 码 ： Ａ
０ 引言
常见的数值模拟分析方法按其适 用范围可 以分为 两大类 ： 一
类方法才开始引起众 多学者 和研究 人员 的重视 和研 究兴趣 。无
网格发展 至今 已有 十余 种 ， 国外 ， 早提 出的一种 无 网格方法 在 最
就可以得 到不同的无 网格 方法 。 方 法 。 因此 ， 网格 法 在 涉 及 网格 畸 变 、 格 移 动 等 问题 中显 示 权函数 以及积分方式的不 同， 无 网 Ｂ ｌｔ ｈ ｏ等提出的无 单元 Ｇ ｌ ｋｎ法 ， 出了误差 分析 ， ｅ ｓ ｋ ｙｃ ａ ｒｉ ｅ 给 并 出了明显的优 势 ， 目前 国内外计算力学界 的热点研究领域。 是 掀起 了无 网 无网格方法和有限元法 的主要区别是 ： 它在 建立近似 函数 时 成功地应用于动态裂纹 扩展数值 以及三 维撞击分析 ， 同时 ，ｅ ｔ ｈ ｏ Ｂ ｌ ｓ ｋ 等也 对无单 元 Ｇａ ｒ ｎ法 中 ｙｃ ｌｌ ｅｄ 不需要网格 、 于函数逼近近似而非插值 、 基 采用不 同的形 函数等 。 格法的研究新 高潮 ， 的数值积分方案以及近似函数的计算方法 进行 了深入 的研究 ， 并 无网格方法 和经典加权残值法 的主要 区别是 ： 采用定 义在离散节 克服 了有 限元方法在模拟裂 点上（ 通常具有紧支特性 ） 的一组权 函数 和基 函数来构 造 近似 函 重新 用于动态 裂纹 扩展的数值模拟 ， Ｌｕ等将 无单 元 数， 而不用定义在全域上的级数展开形式 。无 网格方法 的特点 与 纹扩展时 需 要不 断进 行 网格 重新 划 分 的缺 点 ； ｉ ａ ｒ ｉ法和边界 元 法相耦 合 ， 于 固体 的应 力 分析 ； ｄ ｔ ｈ ｏ ｅ 用 Ｂ ｙｓ ｋ ｃ 优势 主要表现在 ： ） 近似函数对 网格没 有依赖 。２ 其基 函数可 Ｇ ｌ ｋｎ １其 ） 以包含能够反映奇异性 等特 殊性质 的 函数系列 。３ 与有 限元法 和 Ｄ 等将无单元 Ｇａ ｒ ｎ ） ｕ ｌ ｌ 法用 于三 维撞 击和流体 晃动分析 。 ｅｄ 类似 ， 采用 紧支 函数 的无 网格 方 法具 有 带状 稀疏 系数 矩 阵 的特 析 。５前 处理简单等。 ） Ｂ ｂｓａ ａｕｋ 等将单位分解 与 有限元相 结合 ， 出 了单 位分解 有 提 够反 映待求边值 问题特性 的函数 ， 并将这 些特殊 函数 与单位分解 该法在标准 有限元空 问中加 入一系列能 点， 适用 于求解大 型的科学 与工 程问题 。４ 适合 进行 自适 应性 分 限元法 和广义 有限元法 ， ） 因此无 网格方法 已在众 多领域获得 了应用 ， 如水下爆 炸仿 真 函数相乘后和原有 的有 限元 形 函数一起 构成 了新 的增广协 调有 模拟 、 高速碰撞等材料 动态 响应 的数值 模拟 、 动态 裂纹扩 展数 值 限元空 间。用该方法求解动态裂纹 扩展 问题 时 ， 可以处理任意裂 模拟 、 三维撞击分析和大变形等 问题 中。下面让我们 回顾一下 无 纹状态 ， 并且不需 要重新划分 网格 。刘欣 等将单位分解 法用于求
无网格方法的研究应用与进展
第24卷第4期(总第109期)机械管理开发2009年8月Vol.24No．4(SUM No．109)MECHANICAL MANAGEMENT AND DEVELOPMENT Aug．20090引言有限元法（FEA）是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，但FEA是基于网格的数值方法，在分析涉及特大变形（如加工成型、高速碰撞、流固耦合）、奇异性或裂纹动态扩展等问题时遇到了许多困难。
同时，复杂的三维结构的网格生成和重分也是相当困难和费时的。
近年来，无网格得到了迅速的发展，受到了国际力学界的高度重视。
与有限元的显著特点是无网格法不需要划分网格，只需要具体的节点信息，采用一种权函数（或核函数）有关的近似，用权函数表征节点信息。
克服了有限元对网格的依赖性，在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明显的优势。
1无网格方法的概述无网格方法（Meshless Method）是为有效解决有限元法在数值模拟分析时网格带来的重大问题而产生的，其基本思想是将有限元法中的网格结构去除，完全用一系列的节点排列来代之，摆脱了网格的初始化和网格重构对问题的束缚，保证了求解的精度[1]。
是一种很有发展的数值模拟分析方法。
目前发展的无网格方法有：光滑质点流体动力学法（SPH）、无网格枷辽金法（EFGM）、无网格局部枷辽金法（MLPGM）、扩散单元法（DEM）、Hp－clouds无网格方法；有限点法（FPM）、无网格局部Petrov－Galerkin 方法（MLPG）、多尺度重构核粒子方法（MRKP）、小波粒子方法（WPM）、径向基函数法（RBF）、无网格有限元法（MPFEM）、边界积分方程的无网格方法等。
这些方法的基本思想都是在问题域内布置一系列的离散节点，然后采用一种与权函数或核函数有关的近似，使得某个域上的节点可以影响研究对象上的任何一点的力学特性，进而求得问题的解。
2无网格方法国内外研究的进展无网格法起源于20世纪70年代。
边界元法课件
模拟算例
耦合轧制接触模型－边界元法
陈一鸣在肖宏和黄庆学等人基础上 给出3维弹塑性摩擦接触边界元法及滚动轧
制FORTRAN源程序 将板带的弹塑性变形同轧辊弹性变形耦联
起来，“同时”、“并行”模拟轧制过 程 给出了9组不同轧制参数、宽厚比为200板 带冷轧过程数值模拟结果 带材边部出现了明显的“猫耳”形凸峰
弹塑性BEM
陈政清博士给出弹塑性大变形边界元法 完成了拉伸试件颈缩定量数值模拟
肖宏博士建立三维弹塑性有限形变边界元 法和轧制过程模拟边界元法源程序
给出板带轧制过程变形－面力－应力场 很好的处理奇异问题
规模局限性
典型边界元法计算结构（边界积分方程－影响系 数数值积分－矩阵方程及消去法求解）局限性
系数积分计算和方程组的求解时间长，占用大量 的计算机内存和主机CPU的时间
裂纹的生成及扩展 流体运动 骨骼生长
接触问题等研究领域
Байду номын сангаас
国内简史
在国内，1978年起步 杜庆华院士
率先推动工程中边界元法
冯康、胡海昌、何广乾院士等 加入到边界元法的研究者行列
我国边界元法研究得到了迅速的发展
研究起点和热点
我国大部分工程中边界元法 固体力学方面开始
后迅速转入非线性问题领域 出版自然边界元法1993
户泽－石川轧制模型
柳本－木内轧制模型
20世纪90年代初 柳本潤和木内学给出拉格朗日乘数3维刚塑性有
限元法和流线速度接触弹性有限元法耦合计算 宽厚比为15和238 给出变形区内三维6个应力分量分布 单位轧制压力分布图中看到 “猫耳”形凸峰趋
势 显出变形区入口和出口单位轧制压力不等于零 （刚塑性有限元法模拟带钢变形的结果）
流体仿真知识点总结
流体仿真知识点总结流体仿真是指利用计算机模拟流体力学问题，通过数值方法研究流体的运动规律和流场性质。
它是一种重要的科学计算手段，广泛应用于航空航天、水利工程、环境工程、汽车工程、海洋工程等领域。
本文将对流体仿真的基本概念、数值方法、常见模型以及实际应用进行总结，以帮助读者全面了解流体仿真的知识体系。
一、基本概念1. 流体的基本性质流体是一种特殊的物质状态，具有不固定的形状和容易流动的特性。
其主要物理性质包括密度、压力、温度、速度、粘度等。
在流体力学中，通常将流体分为不可压缩流体和可压缩流体两种类型，分别对应于马赫数小于0.3和大于0.3的情况。
2. 流体力学基本方程流体力学基本方程包括连续方程、动量方程和能量方程。
其中连续方程描述了流体的质量守恒，动量方程描述了流体的动量守恒，能量方程描述了流体的能量守恒。
这些方程是描述流体运动规律的基础，也是流体仿真的数学模型基础。
3. 边界条件和初值条件流体力学问题的边界条件和初值条件对解的精度和稳定性有着重要影响。
边界条件指流场与固体边界的交界处的物理条件，通常包括速度、压力、温度等。
初值条件指初始时刻各物理量的数值分布。
确定合适的边界条件和初值条件是流体仿真的关键步骤之一。
二、数值方法1. 有限差分法有限差分法是一种基本的离散数值方法，它将求解区域分割成有限个离散点，通过差分逼近连续微分方程，将微分方程转化为代数方程组进而进行数值求解。
有限差分法在流体力学中得到了广泛应用，如Navier-Stokes方程、能量方程和扩散方程等都可以通过有限差分法进行离散求解。
2. 有限体积法有限体积法是将求解区域分割成有限个控制体，通过对控制体内部进行积分得到平均值，进而将微分方程转化为代数方程组。
有限体积法在流体力学中得到了广泛应用，特别适用于非结构网格和复杂流场的数值模拟。
3. 有限元法有限元法是一种通过拟合局部基函数的方法，将微分方程转化为代数方程组进而进行数值求解。
有限元、边界元、无网格法的比较
首先，从五个方面进行有限元和无网格方法比较，分别是网格划分、形函数的产生、边界条件、系统离散方案、系统方程的求解：1、网格划分有限元方法：连续体被划分成由有限个称作单元的小网格组合而成的离散结构。
单元划分是前处理过程中非常重要的部分, 通常占整个分析过程中大部分时间。
由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模拟几何形状复杂的求解域。
无网格方法：问题域由一系列任意分布的节点来代替, 不需要用单元或网格来进行场变量插值, 也无须描述节点之间的关系。
节点的生成可完全由计算机自动完成, 这大大节省了分析人员的时间, 也相对较容易在分析过程中对节点进行重新划分。
几何体边界是由节点替代(而非离散) , 如图1所示，两个节点之间的任意一点可由近似函数插值。
(a)有限元法中光滑曲线边界由三角形直线边代替(b)无网格法中光滑边界由节点替代图1 网格-节点示意图2、形函数的产生：有限元法和无网格法都可从哈密尔顿原理推出, 它们之间最关键的区别是形函数的构造。
有限元法：形函数是定义于单元的局部近似函数，因此函数的连续性、光滑性在网格的分界处必然受到限制，计算后还需要进一步的后处理。
形函数可以直接插值得到，故相对较容易构造且相同类型的单元具有相同的形函数。
无网格方法：形函数是围绕每一个节点建立插值函数构成的，不同的点具有不同的形函数，形函数定义于全域，具有较好的连续性和光滑性，不需要后处理过程。
3、边界条件有限元法：施加边界条件并不很困难, 通常在网格划分时使网格形式满足边界条件特点, 本质边界条件可直接加在节点上。
无网格方法：本质边界条件不仅依赖边界点，而且也与内部点有关，无网格法不能直接施加本质边界条件都是用离散的点来代替连续的边界值，这样会给本质边界条件的精确实现造成困难。
，拉格朗日乘子法和罚函数法是两种基本的方法。
4、系统离散方案有限元法是建立在虚功原理上的。
若给出控制微分方程，对于固体结构或流体, 都可以从加权残值法推出更普遍意义上的有限元公式，其可以得到一个对称的刚度矩阵。
计算机辅助工程(CAE)
CAE方法体系—数值分析工具箱
• 有限差分法：最早的数值分析方法，使用结构化网格，不 需要域积分，建模、计算简单。适于分析几何形状简单的问 题，尤其是流动性问题。商业软件很少。
CAE方法体系—数值分析工具箱
• 有限体积法：一种特殊形式的有限元法（欧拉结构化网 格）。多用于分析流体动力学问题。被大多数商业流体分析 软件采用，如FLUENT,CFX…
CAE的未来—虚拟工程Biblioteka CAE方法体系—数值分析工具箱
• 边界元法：仅在分析域的边界上划分网格，适于分析无界、 连续介质问题，如声学问题和波的传播问题。商业软件很少。
CAE方法体系—数值分析工具箱
• 无网格法：是一种最新的数值分析方法。多用于分析受网 格划分的限制，采用有限元法而不易解决的问题。如大变形、 裂纹扩展、爆炸等，商业软件很少。
什么是计算机辅助工程（CAE）
• CAE系统的核心思想是结构的离 散化，即将实际结构离散为有限 数目的规则单元组合体，实际结 构的物理性能可以通过对离散体 进行分析，得出满足工程精度的 近似结果来替代对实际结构的分 析，其基本过程是将一个形状复 杂的连续体的求解区域分解为有 限的形状简单的子区域，通过将 连续体离散化，把求解连续体的 场变量（应力、位移、压力和温 度等）问题简化为求解有限的单 元节点上的场变量值。
CAE的未来
• CAD /CAE /CAM /PLM 的软件被广泛应用，其价格低 廉（“CAE计算器”） • 每个工程师都具备CAE的知识和能力 • 大规模、多尺度、多场耦合分析，虚拟工程 • CAE全球化（如中国、印度的工程师承接美国的CAE 项目） • 在线分析：基于新一代的高速因特网实现软件共享， 协同分析 • 打好基础，做好准备，适应未来发展的需要
边界元法
∂φ (
−
q )φ *dΓ
−
(φ − φ ) ∂φ * dΓ
Ω
Γ2 ∂n
Γ1
∂n
（2.3a）
上式中最后一项是用边界 Γ1 上的条件加权得到的。对上式中的关于区域 Ω 内的积分项，进
行两次分部积分运算后，得到
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (∇2φ * )φ ds = φ ∂φ * dΓ − ∂φ φ *dΓ + φ ∂φ * dΓ − qφ *dΓ
边界元法有直接法和间接法两种。直接法通常是用格林恒等式或加权残值理论来表述， 采用的变量物理意义明确，并能通过边界积分方程数值离散后直接求解，是边界元法的主要 方法。间接法则是利用位势理论来推导公式，使用的变量物理意义不太清楚。当然，间接法 仍有它的可取优点。
本章将介绍这两种方法的主要思想和实现过程。
ε →0 Γε ∂n
ε →0 Γε ∂n 4πε
ε →0 Γε ∂n 4π
（2.10a）
∫ ∫ lim
ε →0
φ ∂ ( 1 )dΓ = − lim
Γε ∂ε 4πε
ε →0
Γε
φ
1 4πε
2
dΓ
=
−
θi 4π
ui
（2.10b）
上式中利用了 d Γ = ε 2 dθ ，θi 表示鼓起部分球面对点 i 所张的立体角。当 ε → 0 时，部分 球面收缩于点 i 时，边界 Γ′ 趋向于原来的 Γ 。对于二维问题，可以类似地进行处理。
最后，（2.9）可以表示为
∫ ∫ ciφi =
∂φ φ *dΓ − Γ ∂n
φ ∂φ * dΓ Γ ∂n
（2.11）
并且
ci
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
无网格法介绍
函数性 MLS形函数不具备 函数性，本质边界条件不易施加
18
目
录
1
无网格法概述 无网格法分类 构造无网格形函数 导出无网格法公式
2
3 4 5
无网格法研究主要进展及参考文献
19
导出无网格法公式
基于全局弱式的无网格法
MFree全局弱式法中，控制偏微分方程连同其边界条件通过各种技术 转化为一组积分方程，再利用建立在问题域上的全局背景网格进行 数值积分操作而将其弱式转化为一组代数系统方程。 代表方法：无单元Galerkin法(EFG)，无网格径向基点插值法 (MRPIM) EFG特点。优点：具有很好的精度和收敛性，对点的分布不敏感； 缺点：需要背景网格，应用本质边界条件困难，计算效率低。 MRPIM特点。优点：本质边界条件容易施加，插值稳定；缺点：径 向基参数不好确定，计算效率较低，形状函数难于满足全域的相容 性条件。
在移动最小二乘近似（MLS）中，系数a(x)的选取使近 似函数 u h ( x) 在计算点x的邻域内待求函数u(x)在某种最 小二乘意义下的最佳近似。近似函数在节点 xi 处的误差 加权平方和为
令J取最小值，解得待定系数a(x),即可得最小二乘形函数。
17
构造无网格形函数
MLS形函数性质
一致性 如果单项式的完备阶数是p，则该形函数具有 C p 一致性 再生性 PIM基函数可再生包含在其基函数当中的任意函数 单位分解性
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目
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1
无网格法概述 无网格法分类 构造无网格形函数 导出无网格法公式
2
3 4 5
无网格法研究主要进展及参考文献
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构造无网格形函数
无网格插值技术分类 分类 积分表达式 无网格近似技术 光滑粒子动力学法（SPH） 再生核粒子法（RKPM）
固体力学中的无网格方法
• • • • • 无网格方法的概述 无网格方法的近似方案 不连续性近似 离散化实现 基本边界条件的实现
无网格方法的概述
无网格法是在建立问题域的系统代 数方程时，不需要利用预定义的网 格信息，或者只利用更容易生成的 更灵活、更自由的网格进行域离散 的方法。（刘桂荣，2009）
无网格方法的概述
最近几年，Duarte和Oden等人提出了单位分解法， 并且认识到基于移动最小二乘法的近似方法实际上是 单位分解法的一种特例，从而将这类近似方法加以扩 展；Liu等人也对此类方法做了大量的研究工作，并对 其收敛性给以证明。
无网格方法的概述
无网格法求解过 程（与FEM对比）
无网格方法的概述
无网格方法模拟裂纹扩展
无网格方法的近似方案
• 核函数近似方法 • 移动最小二乘近似(MLS) • 单位分解法
无网格方法的近似方案
核函数近似方法
核函数近似方法最初主要用于SPH方 法。它对函数u（x）利用核函数进行近 似 u ( x ) x y , h u ( y ) d x y , h 被称为核函数或权函数，h是紧 支集尺寸的一个度量。
无网格方法的概述
一条构造无网格方法的途径是采用 移动最小二乘法（moving least square approximation method，简记为MLS）进 行近似。Nayroles等人最早将移动最小二 乘近似用于Galerkin方法，并将之称为扩 散单元法（difflnse elernent methods，简 称DEM）。Belytschko等人提出了无单元 的Galerkin法（element free galerkin method，简称EFG）。这类方法具有较 好的协调性及稳定性。
03_控制方程的离散化方法
03_控制方程的离散化方法控制方程的离散化方法是将连续的控制方程转化为离散形式，以便进行数值求解。
离散化方法的选择对于求解的精度和计算成本都有重要影响。
下面将介绍几种常见的离散化方法。
1. 有限差分法（Finite Difference Method）：有限差分法是最为常用的一种离散化方法。
它将连续的导数转化为差分形式，使用有限差分逼近连续控制方程中的导数项。
有限差分法的核心思想是将求解区域划分为一系列离散的点，然后使用函数在这些点上的值来近似函数的导数。
通过将导数项从连续形式转化为离散形式，可以将控制方程转化为一个代数方程组，从而进行数值求解。
有限差分法简单易懂，计算效率高，但精度一般较低。
2. 有限体积法（Finite Volume Method）：有限体积法是一种广泛应用的离散化方法。
它将求解区域划分为一系列离散的控制体（control volume），然后通过对控制体应用质量守恒和动量守恒等原理，将控制方程表达为离散形式。
有限体积法以控制体为基本单元进行离散，因此它更适合处理复杂几何结构的问题，如不规则网格等。
3. 有限元法（Finite Element Method）：有限元法是一种基于变分原理的离散化方法。
它将求解区域划分为一系列离散的网格单元（element），然后在每个网格单元内使用试函数（trial function）来近似原方程。
通过将方程在整个求解区域内积分，然后使用试函数的线性组合来逼近积分方程，将控制方程转化为离散形式。
有限元法适用于求解具有复杂边界条件和几何结构的问题，如弹性力学、热传导等。
4. 边界元法（Boundary Element Method）：边界元法是一种将控制方程转化为边界上的积分方程进行求解的离散化方法。
它把求解区域划分为内域和边界两部分，控制方程在区域内域精确成立，但在边界上仅在积分形式成立。
边界元法通过将控制方程在边界上积分，然后使用试函数来逼近积分方程，将控制方程转化为离散形式。
结构声辐射计算的边界无网格法
（ ｃ ａ ｉ ｌ ｎ ｉｅｒ ｇＤｅａｔ ｎ， ｖ ｌ ｉｅｓｙｏ Ｅ ｇｎ ｅｉｇ Ｗｕ ａ ，４ ０ ３ ． ｈｎ ） Ｍｅｈ ｎｃ ｇｎ ｅｉ ｐ ｒ ａＥ ｎ ｍｅｔ Ｎａ ａＵｎｖ ｒｉ ｆ ｎ ｉｅｒ ， ｈ ｎ ３ ０ ３ Ｃ ｉａ ｔ ｎ
ｏ ｂ ｕ ｄ ｒ ｅ ｈ ｅ ｓ ｔ ｏ ｅｆｃ ｎ ｔｕ ｔ ｄ ａ ｅｍｏ ｅ ｆ ｘ ｂ ｅａ ｄ ｏ ｈ ｇ ｅ ｃ ｕ ａ ｙ ｏ ｉ ｔｒ ｏ ａｉ ｎ ａ ｄ ｃ ｌｕ ａｉ ｎ ｆ ｏ ｎ ａ ｙｍ ｓ ｌ ｓ ｈ ｄｓ ｌ ｏ ｓｒ ｃｅ ｒ ｒ ｅ ｉ ｌ ｎ ｆ ｉｈ ｒ ｃ ｒ ｃ ｆ ｎ ｅｐ ｌ ｔ ａ ｃ ｌｔ ． ｍｅ － ｌ ａ ｏ ｎ ｏ
ａ ｄｔｅｃ ｍｐ ｒｓ ｎｂ ｔ ｅ ｅｒｓ ｌ ｆ ｕ ｒｃ ｌ ｏ ｕａｉｎ ａ ｄｔａ ｆ ａｙ ｉ ｈ ｗｓｔａ ｅｉｔｒｏａｉｇｆｎ ｔ ｎ ｎ ｏ ａｉｏ ｅｗｅ ｎｔ ｅｕ ｔ ｏ ｍｅ ａ ｍｐ ｔｔ ｎ ｔ ｌｓｓｓ ｏ ｔ ｅ ｌｔ ｃｉ ｓ ｈ ｈ ｓ ｎ ｉ ｃ ｏ ｈ ｏ ａ ｎ ｈ ｔ ｎ ｐ ｈ ｎ ｕ ｏ
传输模型进行声场计算 ， 计算声场值与解析值相对 比的结果表 明， 由于边界无 网格法插值形 函数根据求解情况 自行构
建， 因此 更灵活 ， 具有更高的插值和计算精度 。
关 键 词 ： 学 ； 算 声 场 ； 辐 射 传 输 模 型 ； 界 无 网格 法 ； 值 形 函 数 ； 权 余 量 声 计 声 边 插 加
ｍ ｅｈ ｄ ａ ｄ ｔ ｅ ｅｄ ｓ ｒｔ ｕ ｅ ｃ ｅ ｐ ｅ ｓｏ ｆａ ｏ ｓ ｃｒ ｄａ ｉ ｇ ａ ｄｔａ ｓｅ ｒ ｇ ｍｏ ｅ ｓｏ ｔ ｉ ｅ ． ｎ ｔ ｅｅ ａ ｌ ， ｔ ｏ ， ｎ ｎ ｔ ｉｃ ｅｅ ｎ ｍ ｒ ｘ ｒ ｓ ｉｎ ｏ ｃ ｕ ｔ ａ ｉｔ ｎ ｎ ｆ ｒｉ ｄ ｌ ｈ ｈ ｉ ｉ ｎ ｒ ｎ ｗａ ｂ ａｎ ｄ Ｉ ｘ ｍｐ ｅ ｈ ａ ｏ ｓｉ ｆ ｌ ｓｃ ｌｕ ａ ｅ ｙ ｔ ｅ ａ ｏ ｓｉ ａ ａ ｉ ｇ ａ ｄ ｔ ｎ ｆ ｒｉ ｇ ｍｏ ｅ ｈ ｔｏ ｔ ｉ ｅ ｈ ｏ ｇ ｏ Ｍ Ｌ ｎ ｃ ｕ ｔ ｅ ｄ ｗａ ａｃ ｌｔｄ ｂ ｃ ｕ ｔ ｒ ｄ ｔ ｎ ａ ｓｅ ｒ ｄ ｌ ａ ｂ ａ ｎ ｄ ｔ ｒ ｕ ｈ ｂ ｔ Ｂ ｃｉ ｈ ｃ ｉ ｎ ｒ ｎ ｔ ｈ Ｍ ａ ｄ ＢＥＭ ，
弹塑性断裂力学的J积分理论
弹塑性断裂力学的J积分理论
目录
断裂力学背景 J积分理论应用 全文总结
一、背景
断裂力学
线弹性断裂 弹塑性断裂
Dugdale理论
J理论
COD理论
有限元法
边界元法
无网格法
小波数值法
对材料和结构的安全性评估
一、背景
理论发展
1960年Dugdale 运用 Muskhelishvil i的方法，研究 了裂纹尖端的 塑性区 (D-M模型)
一、背景
计算理论4：
小波理论作为一种新的数学工具正在迅速的发展起来，被广泛应 用于信号处理、图像压缩、模式识别、微分方程求解等。他以同时 在时频两空间具有良好的局部化性质而优于傅立叶分析，并可以随 着小波空间的提高聚焦到对象的任意细节，这对奇异性分析具有重 要的意义，小波分析已用于奇异性探测、微分方程数值求解等方面。 小波数值方法是一种较新的数值方法，目前用于断裂力学问题的研 究还处于初始阶段。
一、背景
计算理论3：
无网格法起源于20世纪80年代，现在已经得到工程界的广泛关 注。该方法将整个求解域离散为独立的节点，而无须将节点连成单 元，它不需要划分网格，从而克服了有限元法在计算过程中更新网 格很麻烦的缺陷。另外，无网格法只需要计算域的几何边界点及计 算点，不需要单元信息，因此具有边界元的优点，而且无网格法的 基本方程和数学基础与有限元法相同，所以它又具有有限元法的优 点，还具有比边界元法更广泛的应用范围。
二、J积分理论应用
高组配焊接接头表面裂纹积分试验研究
试验原理：
1.焊接表面裂纹本质上属于三维裂纹体，积分公式如下：
2.对于半椭圆的表面裂纹，其最深点最有最大的J积 分值，即最容易引起裂纹和扩展。 3.理论表明：裂纹最深点的JA和JГ 积分相比较小。
简支梁缺口冲击强度的计算方法(一)
简支梁缺口冲击强度的计算方法(一)简支梁缺口冲击强度的计算方法引言简支梁是工程中常见的结构形式之一，而缺口是指材料或结构中存在的任何断面形状突变。
缺口对结构的冲击强度产生明显影响，因此计算简支梁缺口冲击强度的方法成为重要的研究领域。
传统方法传统方法主要包括以下几种：•应力集中系数法：通过计算缺口区域应力集中系数，进而得出缺口处的强度公式。
这种方法简单易行，适用于简单结构。
但在复杂结构中存在不确定性，并且难以考虑动态效应。
•有限元法：利用有限元分析软件对简支梁进行模拟，计算出缺口处的应力和应变分布。
这种方法可以考虑结构的复杂性和动态效应，但计算量较大，在一些特殊情况下可能存在误差较大的问题。
•实验测试方法：通过对简支梁进行实验测试，测量缺口处的应力和变形，进而得出冲击强度。
这种方法直观可靠，但成本较高且操作复杂。
基于数值模拟的方法随着计算机技术的发展，基于数值模拟的方法逐渐兴起，并在简支梁缺口冲击强度计算中得到广泛应用。
主要包括以下几种方法：•离散元法：将结构离散为多个小颗粒，通过模拟颗粒之间的相互作用来计算结构的响应。
离散元法适用于考虑结构的复杂性和变形过程，但需要大量计算资源。
•网格法：将结构划分为网格，通过求解网格节点上的运动方程和力平衡方程来计算结构的响应。
网格法适用于各种结构类型，但由于网格划分的精细度影响计算结果，需要进行合适的网格优化。
•边界元法：将结构边界离散为多个有限元，通过求解边界上的应力和位移来计算结构的响应。
边界元法适用于边界条件复杂的结构，但对模型的边界要求较高。
•模型约简法：将结构的细节部分进行适当的约化，降低计算复杂度，同时保证计算结果的准确性。
模型约简法适用于大型结构，并能够有效地减少计算时间和资源开销。
结论在计算简支梁缺口冲击强度的方法中，传统方法和基于数值模拟的方法各具特点，可以根据具体需求选择合适的方法。
传统方法简单易行，而基于数值模拟的方法能够更好地考虑结构的复杂性和动态效应。
等几何边界元法阅读笔记
《等几何边界元法》阅读笔记1. 1 内容概览《等几何边界元法》一书由著名学者XXX撰写，深入探讨了等几何分析在边界元方法中的应用。
本书从理论基础到实际应用，全面阐述了等几何边界元法的原理、算法及其在各领域的应用。
书中首先介绍了等几何分析的基本概念，包括等几何域等几何元素等，并详细阐述了等几何边界元法的基本原理和求解过程。
通过对比传统有限元方法，本书展示了等几何边界元法在提高计算效率和精度方面的优势。
本书还结合作者的教学和实践经验，列举了大量典型的算例和评注，帮助读者更好地理解和掌握等几何边界元法的应用技巧。
书中也探讨了等几何边界元法在工程、物理、力学等领域中的广泛应用前景。
《等几何边界元法》是一本系统全面介绍等几何边界元法的学术著作，适合相关领域的研究人员和工程技术人员阅读参考。
通过阅读本书，读者可以深入了解等几何边界元法的理论精髓和应用价值，为未来的科学研究和工程实践奠定坚实的基础。
1.1 研究背景随着计算机技术的飞速发展，数值分析方法在处理各种工程问题中扮演着日益重要的角色。
等几何边界元法（Isogeometric Boundary Element Method，简称IGBEM）作为数值分析领域的一种新兴技术，得到了广泛关注与研究。
它的研究背景涉及以下几个方面：在工程领域，特别是在复杂结构设计、流体动力学分析、电磁场模拟等方面，对于精度和效率的需求日益增长。
传统的数值方法如有限元法（FEM）虽然广泛应用于各种工程问题的求解，但在处理某些问题时存在计算量大、精度不高、模型准备复杂等局限性。
寻求一种能够兼顾计算效率和精度的数值方法成为迫切需求。
等几何学的兴起。
它允许设计者直接在计算机图形界面上创建和分析复杂的几何形状，无需在几何造型和数值分析之间转换，从而大大提高了设计效率和精度。
边界元法（Boundary Element Method，简称BEM）是一种在边界上离散化求解偏微分方程的数值技术，与等几何学的结合为工程问题分析提供了新的思路和方法。
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N ( x1 ) N ( x2 )
T ( x1 ) 1 ( x1 ) 2 ( x1 ) T ( x2 ) 1 ( x2 ) 2 ( x2 ) A T ( xN ) 1 ( x N ) 2 ( x N )
无网格法概论
无网格法的研究历史 全域插值函数 典型无网格法
点插值法
函数逼近：
u ( x ) ai pi ( x ) { p( x )}T {a}
h i 1
m
线性函数： pT ( x ) [1, x, y, z], m 4
T 2 2 2 二次函数： p ( x ) [1, x, y, z, x , xy, y , yz, z , xz], m 10
径向基函数
一类以点x到节点xI的距离dI为自变量的函数，也称为距离 函数
( x xI ) — 中心位于节点xI的距离基函数
MQ： RMQ： TPS：
I ( x) (c2 dI2 )1/ 2
I ( x) (c2 dI2 )1/ 2
I ( x) dI2 log dI
网格法 （有限元法、边界元）
无网格法
对某些特殊问题，无网格法很有效。
无网格法概论
无网格法的研究历史 全域插值函数 典型无网格法
无网格法的研究历史
七十年代：非规则网格有限差分法 1977年：Smoothed particle hydrodynamics SPH 归一化光滑函数算法 — 分片试验 不稳定的起因及稳定化方案 克服零能模态的具体方案 MLSPH 水下爆炸仿真模拟、高速碰撞等
N I ( x ) w( x xI )
w( x x )
I 1 I
N
如果在MLS近似中将权函数在域内取为1，在域外取为0， 则MLS近似退化为标准的最小二乘近似 MLS近似可以精确重构包含在基底中的任何函数pi(x)，即
N ( x) p ( x ) p ( x)
I 1 I i I i
I
a ( x ) b p ( x ) u
J 1 N J J I i 1 i i I
N
m
I 1,2,
,N
a
J 1
J
pi ( x J ) 0 i 1,2,
,m
如果p中包含常数基和线性基，则插值具有一阶一性； Wang等采用局部形式 — 径向基点插值法
Hermite型径向基函数插值 Nb N k ( x) h u ( x) akk ( x) bk x k 1 k 1
n
对于裂纹扩展问题，基函数可以取为 pT ( x) [1, x, y, r cos , r sin , r sin sin , r cos sin ]
2 2 2 2
移动最小二乘近似
近似函数
u ( x, x ) pi ( x )ai ( x) pT ( x )a( x)
h i 1
m
pi ( x ) — 基函数（多项式或其它已知函数）
ai ( x ) — 待定系数
线性基： pT ( x ) [1, x, y, z], m 4 二次基： pT ( x ) [1, x, y, z, x2 , xy, y 2 , yz, z 2 , xz], m 10
移动最小二乘近似 — 待定系数的确定
有限元法 — 令uh(x)在单元节点i处等于函数u(x)在该节点 处的函数值ui 待定系数的个数必须等于单元自由度 uh(xi) = u(xi) — 具有插值特性 依赖于网格 MLS — 使uh(x)在节点处的误差在加权最小二乘意义下取 极小值 精度高，并且可具有高阶连续性 能够精确重构基中的任何函数 计算量大 uh(xi) ≠ u(xi) — 不具有插值特性 (拟合)
2003年：伽辽金配点无网格法
2004年：边界弱形式配点法 2005年：物质点有限元法
2006年：质点积分无网格伽辽金法
2009年：冲击爆炸三维物质点法数值仿真软件MPM3D®
无网格法活动
1996年 Computer Methods in Engineering Mechanics and Engineering 出版了无网格法专辑（139卷） 2000年 Computational Mechanics 出版了无网格法专辑 （25卷，2-3期） 近年来许多著名数值方法国际会议都设置了无网格法的主 题会。 许多著名有限元专家，如Zienkiewicz、Belytscho、Atluri、 WK Liu、KJ Bathe等都对无网格法进行了深入研究。
u ( x ) u h ( x ) u h ( x, x )
xx
N ( x )u
N ( x ) N ( x, x ) x x = p T ( x ) A1 ( x ) B ( x )
移动最小二乘近似
当基函数中最高阶完备多项式的阶数k = 0时，MLS形函数 退化为为Shepard函数
移动最小二乘近似
h J wI ( x ) u ( x, xI ) u ( xI ) wI ( x ) pi ( xI ) ai ( x ) uI I 1 I 1 i 1
N 2 N m 2
N J m 2 wI ( x) pi ( xI ) ai ( x) uI p j ( xI ) 0 a j ( x) I 1 i 1
无网格法的研究历史
1992年：Diffuse element (Nayroles等) 1994年：Element Free Galerkin (Belytschko) 动态裂纹扩展数值模拟 三维撞击、流体晃动分析 板壳分析 节理岩体 2000 EFG和有限元、边界元法耦合 边界条件 2001 相变问题；扩散问题 质点积分 2006 1995年：Reproducing Kernel Particle Method （W K Liu） 多尺度分析、自适应分析 结构动力学、流体动力学 动态断裂和局部化 金属加工成形 中厚梁板、微电子机械系统 纳米管起皱
A( x)a( x) B( x)u
N I 1
a( x) A1 ( x) B( x)u
A( x ) wI ( x ) p( xI ) pT ( x I ) B [ w1 ( x ) p( x1 ) w2 ( x ) p( x2 ) wN ( x ) p( x N )]
u h ( x, x) pT ( x) A1 ( x) B( x)u = N ( x, x )u N ( x, x ) = pT ( x ) A1 ( x) B( x)
实质上与EFG等价！
无网格法的研究历史
1996年：Finite Point Method（Onate等） 流体动力学 弹塑性分析 1996年：Hp Clouds (Oden等) 铁摩辛柯梁问题 厚板的弯曲问题 基于云团法的新型hp有限元 Hp无网格云团法 1996年：PUFEM和GFEM（Babuska等） 动态裂纹扩展问题 1998年：Local boundary integral equation method (LBIE) 和 Meshless local Petrov-Galerkin法(MLPG) (Atluri, Sladek)
无网格法的研究历史
将无网格法的思想引入有限元法中 PUFEM — Babuska，1996 动态裂纹扩展 GFEM — Duarte 节理岩体 XFEM — Belytschko 应变局部化 流形元法（石根华）
网格连续 近似函数不连续
无网格法类型
2000年：紧支径向基函数配点法 2001年：最小二乘配点无网格法 2001年：加权最小二乘无网格法 2003年：伽辽金最小二乘无网格法
cd I2
Gaussians： ( x ) e I
4th order spline radial basis function：
I ( x) 1 6d I2 8d I3 3d I4
紧支性： I ( x) 0 当
dI R / SA 1
径向基函数
T 1 u h ( x ) aJ J ( x ) T ( x ) a ( x ) A u J 1 N ( x )u uh ( xI ) uI N ( x) T ( x) A1
有限元法存在的某些困难
冲压成型：网格畸变 裂纹动态扩展：网格重分 高速碰撞：网格畸变 奇异性问题：解析函数 自适应问题：网格重分(h)、近似函数(p) 应变局部化：网格重分 薄壳问题：近似函数高阶连续性问题 复杂三维结构有限元网格的生成
无网格法
直接利用分布在求解域中的离散点来构造近似函数的一种 求解偏微分方程的数值方法。不需要借助于网格。
无网格法概论
Introduction to Meshless Methods
高效伟 大连理工大学 航空航天学院
参考文献
张雄，刘岩. 无网格法，清华大学出版社，2004 刘更，刘天祥，谢琴. 无网格法及其应用. 西北工业大学出 版社，2005 . G.R.Liu, Y.T. Gu (王建明、周学军). 无网格法理论及程序 设计, 山东大学出版社，2007. S.N. Atluri, S.P.Shen. The Meshless Local Petrov-Galerkin Method, Tech Science Press, 2002.