边界元法与无网格法-无网格法概论
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N
a (x ) u
J 1 J J I
N
I
( I 1,2,
, N)
Aa u
a A1u
N ( x1 ) N ( x2 )
T ( x1 ) 1 ( x1 ) 2 ( x1 ) T ( x2 ) 1 ( x2 ) 2 ( x2 ) A T ( xN ) 1 ( x N ) 2 ( x N )
I
a ( x ) b p ( x ) u
J 1 N J J I i 1 i i I
N
m
I 1,2,
,N
a
J 1
J
pi ( x J ) 0 i 1,2,
,m
如果p中包含常数基和线性基，则插值具有一阶一性； Wang等采用局部形式 — 径向基点插值法
Hermite型径向基函数插值 Nb N k ( x) h u ( x) akk ( x) bk x k 1 k 1
移动最小二乘近似
近似函数
u ( x, x ) pi ( x )ai ( x) pT ( x )a( x)
h i 1
m
pi ( x ) — 基函数（多项式或其它已知函数）
ai ( x ) — 待定系数
线性基： pT ( x ) [1, x, y, z], m 4 二次基： pT ( x ) [1, x, y, z, x2 , xy, y 2 , yz, z 2 , xz], m 10
有限元法存在的某些困难
冲压成型：网格畸变 裂纹动态扩展：网格重分 高速碰撞：网格畸变 奇异性问题：解析函数 自适应问题：网格重分(h)、近似函数(p) 应变局部化：网格重分 薄壳问题：近似函数高阶连续性问题 复杂三维结构有限元网格的生成
无网格法
直接利用分布在求解域中的离散点来构造近似函数的一种 求解偏微分方程的数值方法。不需要借助于网格。
网格法 （有限元法、边界元）
无网格法
对某些特殊问题，无网格法很有效。
无网格法概论
无网格法的研究历史 全域插值函数 典型无网格法
无网格法的研究历史
七十年代：非规则网格有限差分法 1977年：Smoothed particle hydrodynamics SPH 归一化光滑函数算法 — 分片试验 不稳定的起因及稳定化方案 克服零能模态的具体方案 MLSPH 水下爆炸仿真模拟、高速碰撞等
A( x)a( x) B( x)u
N I 1
a( x) A1 ( x) B( x)u
A( x ) wI ( x ) p( xI ) pT ( x I ) B [ w1 ( x ) p( x1 ) w2 ( x ) p( x2 ) wN ( x ) p( x N )]
u h ( x, x) pT ( x) A1 ( x) B( x)u = N ( x, x )u N ( x, x ) = pT ( x ) A1 ( x) B( x)
无网格法概论
Introduction to Meshless Methods
高效伟 大连理工大学 航空航天学院
参考文献
张雄，刘岩. 无网格法，清华大学出版社，2004 刘更，刘天祥，谢琴. 无网格法及其应用. 西北工业大学出 版社，2005 . G.R.Liu, Y.T. Gu (王建明、周学军). 无网格法理论及程序 设计, 山东大学出版社，2007. S.N. Atluri, S.P.Shen. The Meshless Local Petrov-Galerkin Method, Tech Science Press, 2002.
无网格法的研究历史
1992年：Diffuse element (Nayroles等) 1994年：Element Free Galerkin (Belytschko) 动态裂纹扩展数值模拟 三维撞击、流体晃动分析 板壳分析 节理岩体 2000 EFG和有限元、边界元法耦合 边界条件 2001 相变问题；扩散问题 质点积分 2006 1995年：Reproducing Kernel Particle Method （W K Liu） 多尺度分析、自适应分析 结构动力学、流体动力学 动态断裂和局部化 金属加工成形 中厚梁板、微电子机械系统 纳米管起皱
N I ( x ) w( x xI )
w( x x )
I 1 I
N
如果在MLS近似中将权函数在域内取为1，在域外取为0， 则MLS近似退化为标准的最小二乘近似 MLS近似可以精确重构包含在基底中的任何函数pi(x)，即
N ( x) p ( x ) p ( x)
I 1 I i I i
N N wI ( x) pi ( xI ) p j ( xI ) ai ( x) wI ( x) p j ( xI )uI i 1 I 1 I 1 m
移动最小二乘近似
N N wI ( x) pi ( xI ) p j ( xI ) ai ( x) wI ( x) p j ( xI )uI i 1 I 1 I 1 m
无网格法概论
无网格法的研究历史 全域插值函数 典型无网格法
点插值法
函数逼近：
u ( x ) ai pi ( x ) { p( x )}T {a}
h i 1
m
线性函数： pT ( x ) [1, x, y, z], m 4
T 2 2 2 二次函数： p ( x ) [1, x, y, z, x , xy, y , yz, z , xz], m 10
移动最小二乘近似
h J wI ( x ) u ( x, xI ) u ( xI ) wI ( x ) pi ( xI ) ai ( x ) uI I 1 I 1 i 1
N 2 N m 2
N J m 2 wI ( x) pi ( xI ) ai ( x) uI p j ( xI ) 0 a j ( x) I 1 i 1
N ( x N )
u u1 , u2 ,
, uN
T
径向基函数
增加多项式基后，MQ插值正定
u ( x ) aJJ ( x ) bi pi ( x)
h J 1 i 1
N
m
T ( x ) a p T ( x )b
pT ( x ) [1, x, y, z], m 4
移动最小二乘近似 — 待定系数的确定
有限元法 — 令uh(x)在单元节点i处等于函数u(x)在该节点 处的函数值ui 待定系数的个数必须等于单元自由度 uh(xi) = u(xi) — 具有插值特性 依赖于网格 MLS — 使uh(x)在节点处的误差在加权最小二乘意义下取 极小值 精度高，并且可具有高阶连续性 能够精确重构基中的任何函数 计算量大 uh(xi) ≠ u(xi) — 不具有插值特性 (拟合)
实质上与EFG等价！
无网格法的研究历史
1996年：Finite Point Method（Onate等） 流体动力学 弹塑性分析 1996年：Hp Clouds (Oden等) 铁摩辛柯梁问题 厚板的弯曲问题 基于云团法的新型hp有限元 Hp无网格云团法 1996年：PUFEM和GFEM（Babuska等） 动态裂纹扩展问题 1998年：Local boundary integral equation method (LBIE) 和 Meshless local Petrov-Galerkin法(MLPG) (Atluri, Sladek)
径向基函数
一类以点x到节点xI的距离dI为自变量的函数，也称为距离 函数
( x xI ) — 中心位于节点xI的距离基函数
MQ： RMQ： TPS：
I ( x) (c2 dI2 )1/ 2
I ( x) (c2 dI2 )1/ 2
I ( x) dI2 log dI
无网格法的研究历史
将无网格法的思想引入有限元法中 PUFEM — Babuska，1996 动态裂纹扩展 GFEM — Duarte 节理岩体 XFEM — Belyห้องสมุดไป่ตู้schko 应变局部化 流形元法（石根华）
网格连续 近似函数不连续
无网格法类型
2000年：紧支径向基函数配点法 2001年：最小二乘配点无网格法 2001年：加权最小二乘无网格法 2003年：伽辽金最小二乘无网格法
cd I2
Gaussians： ( x ) e I
4th order spline radial basis function：
I ( x) 1 6d I2 8d I3 3d I4
紧支性： I ( x) 0 当
dI R / SA 1
径向基函数
T 1 u h ( x ) aJ J ( x ) T ( x ) a ( x ) A u J 1 N ( x )u uh ( xI ) uI N ( x) T ( x) A1
n
对于裂纹扩展问题，基函数可以取为 pT ( x) [1, x, y, r cos , r sin , r sin sin , r cos sin ]
2 2 2 2
m
配点： u h ( xI ) ai pi ( xI ) uI
i 1
I=1,2, …, n
[ P]{a} {u}
MLS拟合（n > m）：
[ P] [ P]{a} [ P] {u}
T T
{a} [ P] [ P] [ P]T {u}
T 1
紧支试函数
函数u(x)可以近似为 u( x) u ( x) N I ( x)uI N ( x) u
u ( x ) u h ( x ) u h ( x, x )
xx
N ( x )u
N ( x ) N ( x, x ) x x = p T ( x ) A1 ( x ) B ( x )
移动最小二乘近似
当基函数中最高阶完备多项式的阶数k = 0时，MLS形函数 退化为为Shepard函数
h I 1 n
大多数无网格法形函数不满足插值特性，即
uh ( xI ) uI , N I ( xJ ) IJ
移动最小二乘法 (Moving Least Square) 核函数近似 (Kernel approximation) 重构核近似(Reproducing Kernel approx.) 单位分解法 (Partition of Unity) 径向基函数（Radial basis functions） 点插值法（Point interpolation method） 自然邻接点插值 Kriging插值 非均匀有理B样条（NURBS）
2003年：伽辽金配点无网格法
2004年：边界弱形式配点法 2005年：物质点有限元法
2006年：质点积分无网格伽辽金法
2009年：冲击爆炸三维物质点法数值仿真软件MPM3D®
无网格法活动
1996年 Computer Methods in Engineering Mechanics and Engineering 出版了无网格法专辑（139卷） 2000年 Computational Mechanics 出版了无网格法专辑 （25卷，2-3期） 近年来许多著名数值方法国际会议都设置了无网格法的主 题会。 许多著名有限元专家，如Zienkiewicz、Belytscho、Atluri、 WK Liu、KJ Bathe等都对无网格法进行了深入研究。
a (x ) u
J 1 J J I
N
I
( I 1,2,
, N)
Aa u
a A1u
N ( x1 ) N ( x2 )
T ( x1 ) 1 ( x1 ) 2 ( x1 ) T ( x2 ) 1 ( x2 ) 2 ( x2 ) A T ( xN ) 1 ( x N ) 2 ( x N )
I
a ( x ) b p ( x ) u
J 1 N J J I i 1 i i I
N
m
I 1,2,
,N
a
J 1
J
pi ( x J ) 0 i 1,2,
,m
如果p中包含常数基和线性基，则插值具有一阶一性； Wang等采用局部形式 — 径向基点插值法
Hermite型径向基函数插值 Nb N k ( x) h u ( x) akk ( x) bk x k 1 k 1
移动最小二乘近似
近似函数
u ( x, x ) pi ( x )ai ( x) pT ( x )a( x)
h i 1
m
pi ( x ) — 基函数（多项式或其它已知函数）
ai ( x ) — 待定系数
线性基： pT ( x ) [1, x, y, z], m 4 二次基： pT ( x ) [1, x, y, z, x2 , xy, y 2 , yz, z 2 , xz], m 10
有限元法存在的某些困难
冲压成型：网格畸变 裂纹动态扩展：网格重分 高速碰撞：网格畸变 奇异性问题：解析函数 自适应问题：网格重分(h)、近似函数(p) 应变局部化：网格重分 薄壳问题：近似函数高阶连续性问题 复杂三维结构有限元网格的生成
无网格法
直接利用分布在求解域中的离散点来构造近似函数的一种 求解偏微分方程的数值方法。不需要借助于网格。
网格法 （有限元法、边界元）
无网格法
对某些特殊问题，无网格法很有效。
无网格法概论
无网格法的研究历史 全域插值函数 典型无网格法
无网格法的研究历史
七十年代：非规则网格有限差分法 1977年：Smoothed particle hydrodynamics SPH 归一化光滑函数算法 — 分片试验 不稳定的起因及稳定化方案 克服零能模态的具体方案 MLSPH 水下爆炸仿真模拟、高速碰撞等
A( x)a( x) B( x)u
N I 1
a( x) A1 ( x) B( x)u
A( x ) wI ( x ) p( xI ) pT ( x I ) B [ w1 ( x ) p( x1 ) w2 ( x ) p( x2 ) wN ( x ) p( x N )]
u h ( x, x) pT ( x) A1 ( x) B( x)u = N ( x, x )u N ( x, x ) = pT ( x ) A1 ( x) B( x)
无网格法概论
Introduction to Meshless Methods
高效伟 大连理工大学 航空航天学院
参考文献
张雄，刘岩. 无网格法，清华大学出版社，2004 刘更，刘天祥，谢琴. 无网格法及其应用. 西北工业大学出 版社，2005 . G.R.Liu, Y.T. Gu (王建明、周学军). 无网格法理论及程序 设计, 山东大学出版社，2007. S.N. Atluri, S.P.Shen. The Meshless Local Petrov-Galerkin Method, Tech Science Press, 2002.
无网格法的研究历史
1992年：Diffuse element (Nayroles等) 1994年：Element Free Galerkin (Belytschko) 动态裂纹扩展数值模拟 三维撞击、流体晃动分析 板壳分析 节理岩体 2000 EFG和有限元、边界元法耦合 边界条件 2001 相变问题；扩散问题 质点积分 2006 1995年：Reproducing Kernel Particle Method （W K Liu） 多尺度分析、自适应分析 结构动力学、流体动力学 动态断裂和局部化 金属加工成形 中厚梁板、微电子机械系统 纳米管起皱
N I ( x ) w( x xI )
w( x x )
I 1 I
N
如果在MLS近似中将权函数在域内取为1，在域外取为0， 则MLS近似退化为标准的最小二乘近似 MLS近似可以精确重构包含在基底中的任何函数pi(x)，即
N ( x) p ( x ) p ( x)
I 1 I i I i
N N wI ( x) pi ( xI ) p j ( xI ) ai ( x) wI ( x) p j ( xI )uI i 1 I 1 I 1 m
移动最小二乘近似
N N wI ( x) pi ( xI ) p j ( xI ) ai ( x) wI ( x) p j ( xI )uI i 1 I 1 I 1 m
无网格法概论
无网格法的研究历史 全域插值函数 典型无网格法
点插值法
函数逼近：
u ( x ) ai pi ( x ) { p( x )}T {a}
h i 1
m
线性函数： pT ( x ) [1, x, y, z], m 4
T 2 2 2 二次函数： p ( x ) [1, x, y, z, x , xy, y , yz, z , xz], m 10
移动最小二乘近似
h J wI ( x ) u ( x, xI ) u ( xI ) wI ( x ) pi ( xI ) ai ( x ) uI I 1 I 1 i 1
N 2 N m 2
N J m 2 wI ( x) pi ( xI ) ai ( x) uI p j ( xI ) 0 a j ( x) I 1 i 1
N ( x N )
u u1 , u2 ,
, uN
T
径向基函数
增加多项式基后，MQ插值正定
u ( x ) aJJ ( x ) bi pi ( x)
h J 1 i 1
N
m
T ( x ) a p T ( x )b
pT ( x ) [1, x, y, z], m 4
移动最小二乘近似 — 待定系数的确定
有限元法 — 令uh(x)在单元节点i处等于函数u(x)在该节点 处的函数值ui 待定系数的个数必须等于单元自由度 uh(xi) = u(xi) — 具有插值特性 依赖于网格 MLS — 使uh(x)在节点处的误差在加权最小二乘意义下取 极小值 精度高，并且可具有高阶连续性 能够精确重构基中的任何函数 计算量大 uh(xi) ≠ u(xi) — 不具有插值特性 (拟合)
实质上与EFG等价！
无网格法的研究历史
1996年：Finite Point Method（Onate等） 流体动力学 弹塑性分析 1996年：Hp Clouds (Oden等) 铁摩辛柯梁问题 厚板的弯曲问题 基于云团法的新型hp有限元 Hp无网格云团法 1996年：PUFEM和GFEM（Babuska等） 动态裂纹扩展问题 1998年：Local boundary integral equation method (LBIE) 和 Meshless local Petrov-Galerkin法(MLPG) (Atluri, Sladek)
径向基函数
一类以点x到节点xI的距离dI为自变量的函数，也称为距离 函数
( x xI ) — 中心位于节点xI的距离基函数
MQ： RMQ： TPS：
I ( x) (c2 dI2 )1/ 2
I ( x) (c2 dI2 )1/ 2
I ( x) dI2 log dI
无网格法的研究历史
将无网格法的思想引入有限元法中 PUFEM — Babuska，1996 动态裂纹扩展 GFEM — Duarte 节理岩体 XFEM — Belyห้องสมุดไป่ตู้schko 应变局部化 流形元法（石根华）
网格连续 近似函数不连续
无网格法类型
2000年：紧支径向基函数配点法 2001年：最小二乘配点无网格法 2001年：加权最小二乘无网格法 2003年：伽辽金最小二乘无网格法
cd I2
Gaussians： ( x ) e I
4th order spline radial basis function：
I ( x) 1 6d I2 8d I3 3d I4
紧支性： I ( x) 0 当
dI R / SA 1
径向基函数
T 1 u h ( x ) aJ J ( x ) T ( x ) a ( x ) A u J 1 N ( x )u uh ( xI ) uI N ( x) T ( x) A1
n
对于裂纹扩展问题，基函数可以取为 pT ( x) [1, x, y, r cos , r sin , r sin sin , r cos sin ]
2 2 2 2
m
配点： u h ( xI ) ai pi ( xI ) uI
i 1
I=1,2, …, n
[ P]{a} {u}
MLS拟合（n > m）：
[ P] [ P]{a} [ P] {u}
T T
{a} [ P] [ P] [ P]T {u}
T 1
紧支试函数
函数u(x)可以近似为 u( x) u ( x) N I ( x)uI N ( x) u
u ( x ) u h ( x ) u h ( x, x )
xx
N ( x )u
N ( x ) N ( x, x ) x x = p T ( x ) A1 ( x ) B ( x )
移动最小二乘近似
当基函数中最高阶完备多项式的阶数k = 0时，MLS形函数 退化为为Shepard函数
h I 1 n
大多数无网格法形函数不满足插值特性，即
uh ( xI ) uI , N I ( xJ ) IJ
移动最小二乘法 (Moving Least Square) 核函数近似 (Kernel approximation) 重构核近似(Reproducing Kernel approx.) 单位分解法 (Partition of Unity) 径向基函数（Radial basis functions） 点插值法（Point interpolation method） 自然邻接点插值 Kriging插值 非均匀有理B样条（NURBS）
2003年：伽辽金配点无网格法
2004年：边界弱形式配点法 2005年：物质点有限元法
2006年：质点积分无网格伽辽金法
2009年：冲击爆炸三维物质点法数值仿真软件MPM3D®
无网格法活动
1996年 Computer Methods in Engineering Mechanics and Engineering 出版了无网格法专辑（139卷） 2000年 Computational Mechanics 出版了无网格法专辑 （25卷，2-3期） 近年来许多著名数值方法国际会议都设置了无网格法的主 题会。 许多著名有限元专家，如Zienkiewicz、Belytscho、Atluri、 WK Liu、KJ Bathe等都对无网格法进行了深入研究。