分布列和数学期望教师版(20200514102039)

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分布列和数学期望教师版

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一般来说，概率分布和数学期望是统计学中重要的概念，二者都有统一的概念，即定义随机变量取起来特定的概率。

概率分布的内容描述的是该概率大小，数学期望则对概率分布做了平均处理，描述的是统计平均值，从而给出随机变量比例和同一事件发生次数的有效参数。

首先来了解一下概率分布，概率分布表示的是某一实验事件发生可能性的大小关系，一般来说，它表示一系列不同事件发生的概率。

概率分布有几种常用的分类，可以按照要用到的变量的取值范围分类，例如离散型概率分布和连续型概率分布；根据实验中的事件分类，可以分为事件的实验型概率分布和不发生事件的实验型概率分布；也可以根据实验的类型来分类，例如抛硬币实验的贝叶斯概率分布、回报分布和条件概率分布等。

而当涉及到数学期望时，则是要研究随机变量X的总体期望，也就是把概率分布中X 取值各个概率乘以相应的数值，取平均数得出一个数值，这就是随机变量X的数学期望，也称为期望值或期望。

数学期望是衡量随机变量X发生次数大小和未来与过去的联系的参数，它是反映某一随机变量取某种值的可能性以及它取这种值时的数值的参数。

有了上面的认识，我们可以说，概率分布和数学期望是统计概念中最重要的概念，它们能够帮助我们估算实验事件发生可能性的大小关系，以及随机变量取某种值的可能性以及它取这种值时的数值。

高考数学总复习 11.1离散型随机变量的分布列、期望与方差课件人教版

2．设离散型随机变量ξ的分布列为：
ξ P
1 a
2 1 2 )
b 1 6
11 若 Eξ＝，则 3a＋b＝( 6 A．2 B．4
C．5
D．6
1 1 1 解析：由分布列的性质得 a＋＋＝1，解得 a＝， 2 6 3 1 1 1 11 所以 Eξ＝1×3＋2×2＋b×6＝ 6 ，解得 b＝3，所以 3a＋b ＝4，故选 B.
答案：D
4．一射手对靶射击，直到第一次命中或子弹打完终止射
击，若该射手每次射击命中的概率为 0.6 ，现有 4 颗子弹，则剩余子弹数目的ξ的期望为______．解析：由题意知ξ可取0,1,2,3，此时P(ξ＝0)＝0.43， P(ξ＝1)＝0.6×0.42
P(ξ＝2)＝0.6×0.4，P(ξ＝3)＝0.6
注意： (1)随机变量实际上是用变量对试验结果的一种刻画，是试验结果(即样本点)与实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的．不同的是，在函数概念中，函数f(x)的自
变量是实数 x ，但在随机变量的概念中，随机变量的自变量 ξ
所取的值代表的不是数，而是试验结果(即样本点)．
(2)概率论是以随机现象为研究对象的，相应地，不论自变量ξ还是因变量P(ξ＝xi)，它们取到某个“值”都是带有偶然性的，是不确定的．在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性．但在大量重复试验中随机变量又能按一
第一讲离散型随机变量的分布列、期
望与方差
考点
考纲要求 1.了解随机变量的意义；明确什么是离散型随机变量 2.理解离散型随机变量及其分布列的概念；了解分布列、均值对于刻画随机现象的重要性 3.理解二项分布、几何分布及其推导过程，并能进行简单应用4.能计算简单的离散型随机变量的概率，分布列以及均值

高考数学一轮复习第十章第七讲离散型随机变量的分布列期望与方差学案理含解析新人教版

第七讲离散型随机变量的分布列.期望与方差(理)知识梳理•双基自测囿函画團知识点一离散型随机变呈随着试验结果变化而变化的变量称为—泌变莹所有取值可以一一列出的随机变量, 称为一离散型一随机变量.知识点二离散型随机变呈的分布列及性质(1)一般地，若藹散型随机变量X可能取的不同值为勺，…，X”…，X” X取每一个值w(i=12…，“)的概率则表称为离散型随机变量X的—慨率分布刘_•简称为X的分布列.(2) 离散型随机变量的分布列的性质①刃上0(：=1,2,…，”)：②袒严= 〃 1 + “2 ----- H Pn一 = 1 •知识点三离散型随机变呈的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为p(x=m /=i, 2,…，札(1) 均值：称E(X)=_u“+32+…+s+…+畑—为随机变量X的均值或数学期望.(2) 方差：称D(X)=^ (x-E(X))2Pi为随机变量X的方差，其算术平方根血面为随机变M X的—标准羞(3) 均值与方差的性质①E(“X+b)=_aE(X)+b_ ・②D(aX+b)=_a2D(X)_.*(3)D(X)=E(X2)-(E(X))2.知识点四常见离散型随机变量的分布列(1) 两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为其中P=P(X=\)称为成功概率.若X服从两点分布，则E(X)=p, D(X)=p(l_p)・（2）超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取"件，苴中恰有X 件次品，则P （X=灯=一[弋•生代=0,1,2,…，加，其中 / = min{M, n],且 nWN 、MWN, “、M 、NWN+, 称随机变量X 服从超几何分布.X 0 1• • •m Pcm 打 a cid a• • •gk% a画画囿區1. 若X 是随机变量，则Y=aX-ih （a, b 是常数）也是随机变量.2. 随机变量＜所取的值分别对应的事件是两两互斥的.画圉囿画题组一走岀误区1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“ J ”或“ X ” ）（1）抛掷均匀硬币一次，出现正而的次数是随机变量.（J ）（2）在离散型随机变量的分布列中，随机变呈:取各个值的概率之和可以小于1. （ X ）（3）离散型随机变量的齐个可能值表示的事件是彼此互斥的.（V ）（4）由下列给岀的随机变量X 的分布列服从二点分布.（X ）X 25 p0.30.7（5）从4划男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布.（J ）（6）某人射击时命中的槪率为0.5,此人射击三次命中的次数X 服从两点分布.（X ）题组二走进教材2. （P 77A 组T1改编）（此题为更换后新题）设随机变量X 的概率分布列为X 123 4 P11 3 4Hl8831= l) = P(X = 2) + P(X = 4) = ^ + j = g .2. （P”A 组T1改编）（此题为发现的重题，更换新题见上题）设随机变量X 的概率分布列为1-4=则 P(IX —引=1)=+1-4由则 P （IX —引=1）=_令_.［解析］由| + /n+^ + |= l ,解得"I 二鲁,P （IX- 31= 1） = P （X = 2） + P （X = 4）=7 + 1 = T7 ・4 o 1Z3. （P49A 组Tl ）有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取岀的次品数X 的所有可能取值是Q123_ •［解析］因为次品共有3件所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0.123 . 题组三走向高考4. （2020-浙江）盒中有4个球，苴中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止•设此过程中取到黄球的个数为①则P （C=O ）= —，E ©=_L _ ・［解析］由题意知，随机变量（的可能取值为0丄2; 计算陀二0）二咅+韶詁;qc]AQAi所以 £0 = Ox|+lx| + 2x|=l .5. （2020课标III, 3）在一组样本数据中，123,4出现的频率分别为刃,皿 E 內，且Dr=h 则下而四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（B ）A ・ /?1=P4 = O.1, 〃2=P3 = 0・4B ・ Pl =04 = 0 4，P2=P3 = 0」C ・ p 】=〃4=0・2, P2=P3=O ・3CVC|陀二1）二看+C 』C|A]C|=3; D ・ ni=P4=0.3, P2=/?3 = 0.2［解析］根据均值E(X)二工w ,方差D(X)=工b 「E(X)F”，标准差最大即方差最大，由各选项对应的方差如下表选项均值E(X) 方差D(X)A 2.5 0.65B 2.5 1.85C 2.5 1.05 D2.51.45由此可知选项B 对应样本的标准差最大，故选B ・考点一离散型随机变量分布列的性质一一自主练透» 例1 (1)(2021-河南南阳联考)随机变量c 的槪率分布规律为P(X=H )=爪治^ =5 131,234),其中“为常数，则P(］＜XV 于)的值为(A. |B.C. ID.(2)(2021 •银川质检)若随机变量§的分布列如表所示，E©=1・6,则a-b=( B )0 12 3 P0.1ab0」 A. 0.2B ・一0.2C ・0・8 D. 一0・8(2)易知 a , be[OA],由 0」+</ + /? + 0」二 1，得 “ + b 二0.8 ,由 £(<) = 0X0」+ lX“ + 2Xb + 3X0.1 = 1.6 ,得 “ + 2方二 13 ,所以“二0・3 , b = 0.5 ,贝lj “ - b= -0.2 ・D ) 34 _5_= V X V 5-4 =考点突破互动探究I 解析](l)vP(X = n) = —-—(n= 123,4),n(n + 1)5-4+1-6XX(1) 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，要注意检查每个概率值均为非负数・ (2) 求随机变量在某个范围内的概率，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.〔变式训练1〕(2020-天津和平区期末)设随机变量X 的概率分布列如下表，则随机变量X 的数学期望E(X)［解析］g + 〃？ + 了 + g 二1 ,所以加二丁・所以 E(X)=lx| + 2x| + 3X^ + 4x| = | .考点二离散型随机变呈的期望与方差——多维探究 »・例2角度1期望、方差的简单计算⑴设随机变量X 的分布列为P(X=k)=$伙=1,2,345,6),则E(X)= 3)，E(2X+3)= _10_, D(X)=_||_,D(3X-1)=_^_.［解析］E(X) = X\p\ + Xipi + X3P3 + …+ X6/?6 = 3.5 ,E(2X+3)二2E(X) + 3二 10 ・D(X) =(X ］ - E(X))2p t + (x 2 - E(X))2p2 + …+ g - £(X))>6= |［(1 - 35)2 +(2 - 3 5尸 + ・.・ +(6・ 3・5円= 17.5X | = Y |.D(3X ・ 1)二 9D(X)二晋・角度2期望、方差与函数性质(2)(2019-浙江卷，7)设0<a<\.随机变量X 的分布列是9=4-则当"在(0.1)内增大时，(D )A. D(X)增大C. D(X)先增大后减小当g (0 , 时,D(X)单调递减，当x 虽，1)时，D(X)单调递增，故选D . 角度3实际问题中的期望、方差问题(3) (2021-天津红桥区期中)某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，规左：每位顾客从袋中一次性随机摸岀2个球，球上所标的而值之和为该顾客所获的奖励额.① 求顾客所获的奖励额为60元的概率； ② 求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望. ［解析］①设顾客所获取的奖励额为X, 依题意，得 P (X 二 60)二，c ：二 2，即顾客所获得奖励额为60元的概率为£ . ②依题意得X 得所有可能取值为20.60 ,P(X 二60)二*, P(X 二 20)二言二扌，即X 的分布列为X 20 60 P1 122所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为 E(X)二20X* + 60X*二40 .⑷(入座问题)有编号为1,2,3,的"个学生，入座编号为123…，〃的畀个座位, 每个学生规左坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知x= 2时，共有6种坐法.⑴求"的值：(2)求随机变量X 的数学期望和方差.［解析］(1)由题意知G 二6,解得“二4.B. D(X)减小D. D(X)先减小后增大11］ a + 1［解析］随机变量X 的期望E(X) = OX^ + t/X^+ 1X^ = —(2)X所有可能取值为0.2,34 ,又怒二0)二右二吉‘P(X二2)二务二寻二扌，8 8 1P(X=3)= A}=24=3'9 9 3P(X = 4) = Aj = 24 = 8 1.•.随机变虽X的分布列为1113D(X)二(3 ・ 0尸X 可 + (3 - 2)2 X 才 + (3 - 3)2 X了 + (3 - 4尸X §二 1 .____________________________________求离散型随机变呈的分布列、期望与方差，应按下述步骤进行：(1) 明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；(2) 利用概率的有关知识，求出随机变星取每个值的概率；(3) 按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证；(4) 根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.说明：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的槪率，在求解时, 要注意计数原理、排列组合及常见概率模型.〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021-江苏镇江调研)随机变量 < 的分布如下表，则E(5c+4)= .13..P0.4 03 0.3(2)(角度2)(2021-r 东深圳宝安区调研)设离散型随机变量X 的分布列如下，则当"在(0,寻内增大时(D )X0 12P1 一" 1 a222A ・D(X)增大 B. D(X)减小C. D(X)先减小后增大D. D(X)先增大后减小(3)如图，A 、B 两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为 234,3,2,现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总捲为：① 写出最大信息总量？的分布列： ② 求最大信息总量？的数学期望.［解析］(1)由题意知 £0 = 2X03+4X0.3= 1.8 ,；.E (5c + 4) = 5£(c) + 4= 13 •(2)由题意:E(X)二0X'^+ 1X# + 2X 号二“ + },所以 D(X)=字(0 "导 + g 1 一 “母 + §2 "少二-“2 + “ + 壬二 _ (“ -少 + *，因为*(0 , |),所以D©先增后减，故选D .(3)①由已知,$的取值为7,8,9,10 , CQ 1・.・陀二7)二言祚C 心 Cl 2 陀=9)二寸卡•工的概率分布列为陀二 8)二CP + GC1P (許10)二罟1 =To ・3 2 1②E©二*7 +斋X8 + *9+诵X10二丁二&4 .考点三.超几何分布——师生共研» 例3 (2017-山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示, 另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者加，加，和，去，加，皿和4名女志愿者b, Bi, B),从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含內但不包含Bi的概率：(2) 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.［解析］(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含川但不包含b的事件为M,Ci 5则W) =C^=18-(2)由题意知X可取的值为0,123.4 ,则P(X二0)二禹二迈，P(X二 1)二页二刃，P(X-2)~cf(j -21 , P(X-3)- c?° -21 'P(X-4)- c% —42 •因此X的分布列为［引申1］用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，则X的分布列为 ___________［解析］由题意可知X的取值为123,4.5 ,则P(X=1)=置吻’怒=2)=彎=苏赵=3)=詈=男‘ P(X = 4) =詈舞‘P(X = 5) =詈詁.因此X的分布列为［引申2］用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，则X的分布列为___________ .［解析］由题意知X可取的值为3,1 , - 1 , -3 , -5 .则怒=3）=書吻,甲=1）=警=苏P（X= -1）=普=普，P（X= -3）=警=苏P（X八5）二急諾’因此X的分布列为£桶点披1. 超几何分布的两个特点：（1）超几何分布是不放回抽样问题；（2）随机变星为抽到的某类个体的个数.2. 超几何分布的应用：超几何分布属于古典概型，主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型.〔变式训练3〕（2021-安徽省淮北市模拟）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，英中“塔山石榴”因苴青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下.现调査表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分別用"、b、c表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标Q“+b+c的值评左石榴的等级，若心4则为一级：若2W2W3则为二级；若0VW1则为三级.近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地(1) 若有石榴种植园120个,估计等级为一级的石榴种植园的数量;(2) 在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，$表示取到三级石榴种植园的数量, 求随机变量g的分布列及数学期望.［解析］(1)计算12个石榴种植园的综合指标，可得下表由上表可知等级为一级的有5个，所以等级为一级的频率为备，所以120个石榴种植园中一级种植园约有50个・(2)由题意§可以取0. 1、2 ,其中耐。

随机变量的分布列、期望、方差-2020年

专题随机变量的分布列、期望、方差2020.2【知识回顾】1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．常用ηξ、、、Y X 表示. 2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n称为离散型随机变量X 的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1 3. 离散型随机变量的期望（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ 1x 2x --- n x P1p2p---n p则称n n p x p x p x E +++=Λ2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值）,简称为期望.① 期望反映了离散型随机变量的平均水平；② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定；③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值；④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态. （2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 4. 离散型随机变量的方差（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为ξ 1x 2x --- n x P1p2p---n p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…n n p E x 2)(ξ-+为ξ 的方差.① 反映随机变量取值的稳定与波动;② 反映随机变量取值的集中与离散的程度;③ ξD 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定;④ ξD 越小，ξ取值越集中，ξD 越大，ξ取值越分散;⑤ ξD 的算术平均数ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ.注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度.（2）方差的性质： ① 0)(=C D 为常数）C (② ξξD a b a D 2)(=+ 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则npq D =ξ p q -=1其中（二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则2p qD =ξ p q -=1其中（几何分布）⑤ 22)(ξξξE E D -=【习题训练】1. 某射手射击所得环数X 的分布列为：X 45678910P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（） A. 0.28 B. 0.88 C. 0.79 D. 0.51 【答案】 C 【解析】略2. 设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －1 0 1P 0.5 1-2q 2q则q 等于（） A. 1 B.221± C.22-1 D.221+【答案】 C 【解析】略3．【2017届浙江省杭州市4月二模】已知随机变量ξ的概率分布列为：则E ξ=__________， D ξ=__________. 【答案】 112【解析】1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯= ， ()()()22211110111214242E ξ=-⨯+-⨯+-⨯= .4．【2018届浙江省宁波市5月模拟】已知随机变量的分布列如下表：若，则______；______．【答案】 0. .所以故答案为：0，.点睛：本题主要考查分布列的性质，考查随机变量的期望和方差的计算，意在考查学生离散型随机变量的分布列的基础知识的掌握能力和基本的运算能力.5．【浙江省台州市2018届高三上期末】已知随机变量X 的分布列为:X 1 2 3P12 13m 则m =___________， ()D X =__________. 【答案】16 59【解析】由题意，1111,236m m ++=∴=， 11151232363EX ∴=⨯+⨯+⨯=， ()D X = 22215151551232333639⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为（1）16，（2）59.6.【2017届浙江省台州市4月一模】已知离散型随机变量的分布列为0 1 2则变量的数学期望_________，方差____________.【答案】 17．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）红卷】已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下：当时，__________，__________．【答案】【解析】分析：由分布列的性质和数学期望的公式，求得，进而求得，又因为，所以，即可求解.详解：由题意，因为，所以，则，又因为，所以.8．【2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试】随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝（）X0 2 aP pA. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C9．【2018届浙江省杭州市第二次检测】已知，随机变量ξ 的分布列如下：ξ－1 0 1P当a 增大时，（）A. E(ξ)增大，D(ξ)增大B. E(ξ)减小，D(ξ)增大C. E(ξ)增大，D(ξ)减小D. E(ξ)减小，D(ξ)减小【答案】A10．【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知随机变量()1,2i ξ=的分布列如表所示：ξ 0 12p 13 i p 23i p -若1212023p p <<<<，则（） A. ()()()()1212,E E D D ξξξξ<< B. ()()()()1212,E E D D ξξξξ C. ()()()()1212,E E D D ξξξξ>> D. ()()()()1212,E E D D ξξξξ>> 【答案】D【解析】分析：根据定义用i p 表示出()i E ξ， ()i D ξ，根据函数单调性得出结论．详解：由题意得()24233i i i i E p p p ξ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭. ∵1212023p p <<<< ∴()()12E E ξξ> ∵()()()()2221201233i i i i i i D E p E p E ξξξξ⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-+-- ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭∴()222214122183333339i i i i i i i i D p p p p p p p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()21839f x x x =--+，则()f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. ∵1212023p p <<<< ∴()()12D D ξξ> 故选D.11.【2017届浙江省高三上学期高考模拟】已知，随机变量的分布如下：-1 0 1当增大时，（） A. 增大，增大 B. 减小，增大 C.增大，减小 D.减小，减小【答案】B【解析】试题分析：由题意得，，21)121()21()21()121()(D 222⨯-+-+-⨯+-+⨯++-=a a a a a ξ，又∵，∴故当增大时，减小，增大，故选B.12．【2017年12月浙江省重点中学期末热身】已知随机变量ξ满足()103P ξ==， ()1P x ξ==， ()223P x ξ==-，若203x <<，则（） A. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而增大 B. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而增大 C. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小 D. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而减小【答案】C【解析】∵ 随机变量ξ满足()103P ξ==， ()1P x ξ==， ()223P x ξ==- ∴()124012333E x x x ξ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=- ⎪⎝⎭∴221811139612x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭∵203x <<∴()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小故选C13．【2018年4月浙江省金华十校高考模拟】随机变量的分布列如下：-1 0 1其中，，成等差数列，则的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，，成等差数列，，.则的最大值为 .本题选择A 选项.【真题练习】【母题原题1】【2019浙江，7】设0<a<1，随机变量X 的分布列是X 0a1P31 31 31当a 在），（10内增大时， A. D （X ）增大 B. D （X ）减少 C. D(X)先增大后减小 D. D(X)先减小后增大【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 详解：313a 31131310)(+=⨯+⨯+⨯=a E ξΘ27)1(631)1313(31)313(31)0313()(D 2222+-=⨯-++⨯-++⨯-+=∴a a a a a a ξ D )D( (0,1)a 先减后增，选，ξ∴∈∴点睛：【母题原题2】【2018浙江，7】设0<p <1，随机变量ξ的分布列是ξ12P则当p 在（0，1）内增大时，A. D （ξ）减小B. D （ξ）增大C. D （ξ）先减小后增大D. D （ξ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 详解：，，，∴先增后减,因此选D.点睛：【母题原题3】【2017浙江，8】已知随机变量iξ满足P （iξ=1）=p i ，P （iξ=0）=1—p i ，i=1，2.若0<p 1<p 2<21，则A. ()1E ξ< ()2E ξ， ()1D ξ< ()2D ξB. ()1E ξ< ()2E ξ， ()1D ξ> ()2D ξC. ()1E ξ> ()2E ξ， ()1D ξ< ()2D ξD. ()1E ξ> ()2E ξ， ()1D ξ> ()2D ξ 【答案】A【解析】∵()()1122,E p E p ξξ==，∴()()12E E ξξ<，∵()()()()1112221,1D p p D p p ξξ=-=-，∴()()()()12121210D D p p p p ξξ-=---<，故选A ．。

离散型随机变量分布列和数学期望

二项分布【知识点】1.n 次独立重复试验：在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立 2.n 次独立重复试验的概率：一般地，事件A 在n 次试验中发生k 次，其有kn C 种情形，由试验的独立性知A 在k 次试验中发生，而在其余k n -次试验中不发生的概率都是kn k p p --)1(，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k次的概率为).,...2,1,0()1()(n k p p C k P kn k k n n =-=-3.二项分布:在上公式中，若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为p q -=1，那么在n次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是kn k k n q p C k X P -==)(.其中.,...2,1,0n k =于是得到X 的分布列各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为p n ,的二项分布,记作).,(~p n B X4.离散型随机变量X 的数学期望一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是,,...,,21n x x x 这些对应的概率是,,...,,21n p p p ,则n n p x p x p x X E +++=...)(2211叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望.5.二项分布的数学期望:np x E =)(【经典例题】【例1】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三．．个等级分层抽样．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望. 1、【答案】（Ⅰ）解：0.15a =，30b =. （Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. 所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为4．（Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3.【例2】甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为3，乙每次投中的概率为21，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ；（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．2.【答案】解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0,1,2,3．ξ的分布列如下表：（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件1B ，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件2B ，则2121,,B B B B A =为互斥事件．【例3】某商场一号电梯从1层出发后可以在层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在234、、层下电梯是等可能的.(Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；(Ⅱ) 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求X 的分布列和数学期望.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,41(4,)3B . 16【易错题】【例1】经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过1.0ppm ．（Ⅰ）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（Ⅱ）若从这批数量很大的鱼．．．．．．．．中任选3条鱼，记ξ表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计．．．这批数量很大的鱼的总体数据，求ξ的分布列及数学期望E ξ． 1.【答案】解：（Ⅰ）记“15条鱼中任选3条恰好有1条鱼汞含量超标”为事件A ，则0 1235567889 135567 罗非鱼的汞含量（ppm ）ξ可能取0，1，2，3.【例2】某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 2、【答案】解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. 所以 0.0125x .（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为： 0.0032200.12⨯⨯=，因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3,4.某市去年6月份30天的空气污染指数的监测数据如下：根据以上信息，解决下列问题：a b x y的值；（Ⅰ）写出下面频率分布表中,,,（Ⅱ）某人计划今年6月份到此城市观光4天，若将（Ⅰ）中的频率作为概率，他遇到空气质量为优或良的天数用X表示，求X的分布列和均值EX.频率分布表【例4】某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[) 90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．4.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．服务时间/小时随机变量ξ的分布列为【课后测试】1.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（Ⅲ）求比赛局数的分布列.（Ⅲ）解：设比赛的局数为X，则X的可能取值为4,5,6,7．2.张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有12L L ，两条路线（如图），1L 路线上有123A A A ，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；2L 路线上有12B B ，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35．（Ⅰ）若走1L 路线，求最多．．遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走2L 路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．2、【答案】解：（Ⅰ）设走1L 路线最多遇到1次红灯为A 事件，则1(3,)2B ，因为EX EY <，所以选择2L 路线上班最好．13.为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90,70,60,40,30分分分分分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:(Ⅰ),其成绩等级为“A 或B ”的概率;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3人,记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数,求X 的分布列及其数学期望EX ; (Ⅲ)从这30名学生中,随机选取2人,求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率.显然基本事件的总数为230C .不妨设m n >,当90m =时,60n =或40或30,其基本事件数为111141073()C C C C ⋅++; 当70m =时,n =40或30,其基本事件数为111673()C C C ⋅+;当60m =时,30n =,其基本事件数为11103C C ⋅;4.在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出的值；（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三．．个等级分层抽样．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值；（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望. 4.【答案】（Ⅰ）解：0.15a =，30b =.（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. 所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*=++=∈n k k k k k N ，所以n 的最小值为4．（Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3.5.为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90,70,60,40,30分分分分分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机抽取了30(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其成绩等级为“A 或B ”的概率;(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选3人,记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数,求X 的分布列及其数学期望EX ; (Ⅲ)从这30名学生中,随机选取2人,求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率.显然基本事件的总数为230C .不妨设m n >,当90m =时,60n =或40或30,其基本事件数为111141073()C C C C ⋅++; 当70m =时,n =40或30,其基本事件数为111673()C C C ⋅+;当60m =时,30n =,其基本事件数为11103C C ⋅;所以11111111141073673103230()()34()87C C C C C C C C C P M C ⋅+++⋅++⋅==. 所以从这30名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于20分的概率为3487【课后作业】1.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min 。

高考数学复习排列、组合和概率-随机变量的分布列、期望和方差名师精品教案

第90课时：第十章排列、组合和概率——随机变量的分布列、期望和方差课题：随机变量的分布列、期望和方差教学目的：1．通过本课的教学，对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的理解，在综合运用知识能力上提高一步。

2．通过对几道例题的讲解、讨论和进一步的练习，提高学生灵活运用本单元知识解决问题的能力。

教学重点、难点：对于离散型随机变量，我们关心的是它会取哪些值、取这些值的概率、取值的平均值、稳定性等．这部分内容的实用性较强，教学过程中，要重点引导学生分析、解决一些实际问题，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力．教学过程：12提出随机变量ξ的分布列的概念，总结任一离散型随机变量的分布列具有的两个简单性质在分析和研究上述例子的基础上，概括出：一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1, 2, …，i,…,为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。

离散型随机变量的分布列的两个简单性质：1 P i≥0，I=1，2，…；2 P1 P2 (1)3．讲参考例题例1 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列。

解：设黄球的个数为n ，依题意知道绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中球的总数为7n 。

71n 7n )0(P ,72n 7n 2)1(P ,74n 7n 4)1(P ===ξ==-=ξ===ξ∴例 2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止。

设分裂n 次终止的概率是）（⋯=,3,2,1n 21n 。

记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目。

求P ξ≤10。

所以 P ξ≤10= P ξ=2 P ξ=4 P ξ=8 =248=8例32000年高考题某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％。

现从一批产品中任意的连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布。

高三数学分布列和期望.

课时考点19 统计-----随机变量的分布列和期望高考考纲透析：等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标：离散型随机变量的分布列、期望和方差热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。

解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝330.60.40.28+= 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。

因而P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。

因而P （ξ＝5）＝22240.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯=所以ξ的概率分布为ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是31．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． (Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i) 求恰好摸5次停止的概率； (ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．解：(Ⅰ) 333512140333243C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(Ⅱ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-，得()50513*******P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=）随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 解法一：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 解法二：（Ⅰ）,324530)(210241614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元求：（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）；（Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）解：以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则ξ~B （5，0 2）).5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k k ξ （Ⅰ）.21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ（Ⅱ）以η表示利润，则η的所有可能取值为10，5，0，－2.328.08.0)0()10(5≈====ξηP P.410.08.02.0)1()5(4115≈⨯⨯====C P P ξη .205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη.7()2(≥=-=ξηP P的概率分布为利润的期望=10×0 328+5×（万元）[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求ξ的取值范围；（2）求ξ的数学期望E ξ.解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=-915||ξξn m n m ，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7155=====⨯==C P P ξξ .322756455964571615;64556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--==ξξE P变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。

高三数学分布列和期望

因而P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。

第12章12.1离散型随机变量的分布列期望方差精品课件大纲人教版课件.ppt

1
1
A.9
B.6
1
1
C.3
D.4
答案：C
4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为
ξ 012 P
答案：0.1 0.6 0.3
5．若 ξ～B(4，13)，则 P(ξ≥1)＝________. 答案：6851
考点探究·挑战高考
考点突破分布列的性质
故 X～B(6，13)，所以 P(X＝k)＝Ck6(13)k·(23)6－k， k＝0,1,2,3,4,5,6.
所以 X 的分布列为：
(2)EX＝np＝6×13＝2， Dξ＝np(1－p)＝6×13×23＝43，
即遇到红灯的次数的期望为 2，方差为43.
【思维总结】对于 ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝ Cknpk(1－p)n－k 也是分布列的一种形式：通项公式形式．
例4 (2010 年高考北京卷)某同学参加 3 门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成
绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p 、q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记 ξ 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率; (2)求p，q的值； (3)求数学期望Eξ. 【思路分析】 (1)利用对立事件“ξ＝0”． (2)利用ξ＝0与ξ＝1的概率建立p，q方程组． (3)求出：P(ξ＝1)．
分布列中随机变量取值的概率都在[0,1]，同时所有概率和一定等于1.
例1 设随机变量 ξ 的分布列 P(ξ＝k5)＝ak(k＝ 1,2,3,4,5)．求：(1)常数 a 的值；
(2)P(ξ≥35)；(3)P(110＜ξ＜170)．【思路分析】将分布列简写成一个通项型表达式，只是为了叙述方便，而表格形式更能直观反映每种试验可能的分布，两种形式实质内容是一致的．

2020届高三一轮复习理科数学课件离散型随机变量及其分布列与期望和方差

球，故 X＝6.
3．一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒子中任取 3
个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个
27
随机变量，则 P(X＝4)的值为 220 ．
解析事件“X＝4”表示取出的 3 个球有 1 个新球，2 个旧球，故 P(X ＝4)＝CC19C31223＝22270.
(1)均值称 E(X)＝ x1xp1＋x＋2p2…＋＋…x＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数数学学期期望望，它反映了离散型随机变量取值的平平均均水水平平．
(2)方差
n
（xi－E（x））2pi
称 D(X)＝ i＝1
为随机变量 X 的方差，它反映了随
机变量 X 与其均值 E(X)的平平均均偏偏离离程程度度，其中 D（x）为随机变量
夯实双击自主梳理
1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量随机变量，常用字母 X，Y， ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质定义：一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…， xi，…，xn，X 取每一个值 xi(i＝1，2，…，n)的概率为 P(X＝xi)＝pi，则下表：
解析由离散型随机变量的分布列的性质知，每一个变量对应的概率都非负．故正确．
(3)随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差越大，则偏离变量平均程度越小．( × )
解析随机变量的方差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差越大，则偏离变量平均程度越大；方差越小，则偏离变量平均程度越小．
2．袋中装有 10 个红球、5 个黑球．每次随机抽取 1 个球后，若取得黑

11随机变量的分布列、期望和方差

[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158)
人数
5
8
10
22
33
20
11
6
5
（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；
（2）画出频率分布直方图；
（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．
解：（1）样本的频率分布表与累积频率表如下：
区间
[122,126)
[126,130)
例10在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100。依题
意，可得ξ的分布列为
ξ
0
5
25
100
P
答：一张彩票的合理价格是0．2元．
分层抽样法，系统抽样法分层抽样法，简单随机抽样法
系求得，则．
3．设有个样本，其标准差为，另有个样本，且
，其标准差为，则下列关系正确的是（B）
4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（B）
DξB=(100-125)2×0.1+(110-125)2×0.2+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.
所以，DξA< DξB.因此，A种钢筋质量较好。
例10学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用。

分布列与数学期望

离散型随机变量的分布列与数学期望班级姓名1.已知随机变量x 的分布列如右表：则x= 。

2.两封信随机投入A B C ，，三个空邮箱，则A 邮箱的信件数x 的数学期望E x =．3.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．（1）设所选3人中女生人数为x ，求x 的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．4.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球均为黑球的概率；（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（3）设x 为取出的4个球中红球的个数，求x 数学期望．x0 1 2 p x 2 X 415、为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛. ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（I）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（II）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望. 6.（本题满分12分）分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，其中第已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12. (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望. 7．某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。

假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为21,32,32，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、分、22分、分、44分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。

第7讲分布列与数学期望(解析版)

第7讲分布列与数学期望高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型类型一：利用古典概型求概率1．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W 型号，T 型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表（Ⅰ）若在10月1日当天，从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X 表示其中W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W 型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部)满足关系34ηξ=+．若表中W 型号手机销量的方差20(0)S m m =>，试给出表中5个手机店的W 型号手机销售成本的方差2S 的值．（用m 表示，结论不要求证明）【解析】解：()I 设事件1M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机，设事件2M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机，则事件1M ，2M 相互独立，且161()6123P M ==+，262()695P M ==+， ∴抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率为13221233535355P =⨯+⨯+⨯=． ()II 由表格可知W 型号手机销售量超过T 型号手机的店有2个，故X 的可能取值有0，1，2．且33351(0)10C P X C ===，1223353(1)5C C P X C ===，2123353(2)10C C P X C ===． X ∴的分布列为：数学期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=． 20()()III D s m ξ==，34ηξ=+，2()9()9S D D m ηξ∴===．2．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）【解析】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y 的值小于60，答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为： 1535010p ==．（2）由图知：A 、C 两人指标x 的值大于1.7，而B 、D 两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x 的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2， 2411(0)6P C ξ===， 1122242(1)3C C P C ξ===，2411(2)6P C ξ===， ξ∴的分布列如下：答：121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=．（3）答：由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大．3．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和数学期望．【解析】解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P （A ）1123252332010A A A ⨯===；（2）X 的可能取值为200，300，400，222521(200)2010A P X A ====，311232323562323(300)6010A C C A P X A ++⨯⨯====， 133(400)1(200)(300)110105P X P X P X ==-=-==--=；所以X 的分布列为：数学期望为13320030040035010105EX =⨯+⨯+⨯=．类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率 4．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢．“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(1k =，2，3，4，5，6)．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．【解析】解：（Ⅰ）设事件A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为140503002008005102000+++++=部，第四类电影中获得好评的电影有：2000.2550⨯=部，∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P （A ）500.0252000==．（Ⅱ）设事件B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有：2000.2550⨯=部，第五类获得好评的有：8000.2160⨯=部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P （B ）50(800160)(20050)1600.35200800⨯-+-⨯==⨯．（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：0,1,k k k ξ⎧=⎨⎩第类电影没有得到人们喜欢第类电影得到人们喜欢，则k ξ服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：1()10.400.60.4E ξ=⨯+⨯=，221()(10.4)0.4(00.4)0.60.24D ξ=-⨯+-⨯=．第二类电影：2()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=，222()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第三类电影：3()10.1500.850.15E ξ=⨯+⨯=，223()(10.15)0.15(00.15)0.850.1275D ξ=-⨯+-⨯=．第四类电影：4()10.2500.750.25E ξ=⨯+⨯=，224()(10.25)0.25(00.25)0.750.1875D ξ=-⨯+-⨯=．第五类电影：5()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=，225()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第六类电影：6()10.100.90.1E ξ=⨯+⨯=，225()(10.1)0.1(00.1)0.90.09D ξ=-⨯+-⨯=．∴方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系为：632541D D D D D D ξξξξξξ<<=<<．5．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为X ，求0X =，1X =，2X =，3X =时的概率(0)P X =，(1)P X =，(2)P X =，(3)P X =．（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【解析】解：（1）321(0)(1)327P X ==-=，123222(1)(1)339P X C ==-=， 223224(2)()(1)339P X C ==-=，33328(3)()327P X C ===．（2）设乙同学上学期间的三天中在7:30之前到校的天数为Y ，则1(0)(0)27P Y P X ====，2(1)(1)9P Y P X ====， 4(2)(2)9P Y P X ====，8(3)(3)27P Y P X ====， 418220()(2)(0)(3)(1)927279243P M P X P Y P X P Y ∴===+===⨯+⨯=．类型三：利用条件概率公式求概率6．如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到)B ；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到)C ，当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到)D ．在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．（1）求点P 恰好返回到A 点的概率；（2）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．【解析】解：（1）投掷一次正方体玩具，因每个数字在上底面出现是等可能的，故其概率12163P ==．易知只投掷一次不可能返回到A 点．①若投掷两次质点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字，应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为2211()333P =⨯=．②若投掷三次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字，应依次为：(1，1，2)、(1，2，1)、(2，1，1)三种结果，其概率为3311()339P =⨯=． ③若投掷四次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1，1，1，1)，其概率为4411()381P ==．所以，质点P 恰好返回到A 点的概率为：23411137398181P P P P =++=++=．（2）由（1）知，质点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且ξ的可能取值为2，3，4．则1273(2)373781P ξ===，199(3)373781P ξ===，1181(4)373781P ξ===，故ξ的分布列为：所以，27918523437373737E ξ=⨯+⨯+⨯=．7．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：)mm 对工期的影响如下表：300700X <700900X<9002610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：()I 工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【解析】()I 由题意，(300)0.3P X <=，(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X <=<-<=-=，(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X <=<-<=-=，(900)10.90.1P X =-=Y 的分布列为()00.320.460.2100.13E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=∴工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8；（Ⅱ）(300)1(300)0.7P X P X =-<=，(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X <=<-<=-= 由条件概率可得(300900)0.66(6|300)(300)0.77P X P Y X P X <===．类型四：利用统计图表中的数据求概率8．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C)︒有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】解：（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500， 216(200)0.290P X +===， 36(300)0.490P X ===，2574(500)0.490P X ++===， X ∴的分布列为：（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200500n ，当300500n 时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20，25)，则63002(300)412002Y n n n =⨯+--=-；若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-， 20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=-，当200300n 时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=，若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-， 2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n ∴=⨯++-⨯=+． 300n ∴=时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．9．某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）．（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为(0，0.5]，(0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]．如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++02)k【解析】解：（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应收集手机4500.145⨯=户山区家庭的样本数据．（2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为(0.5000.3000.100)0.50.45++⨯=．（3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为(0.3000.100)0.515030+⨯⨯=户．而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：所以22150(2540580)200 3.175 2.706301201054563K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”．高考预测二：超几何分布和二项分布类型一：超几何分布10．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；()ii 设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．【解析】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X 的取值为：0，1，2，3，34337()k kC C P X k C -⋅==，0k =，1，2，3．所以随机变量的分布列为：随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； ()ii 设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B 为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C 为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A BC =，且P （B ）(2)P X ==，P （C ）(1)P X ==，故P （A ）6()(2)(1)7P B C P X P X ===+==．所以事件A 发生的概率：67． 11． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物． 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的 2.5PM 监测数据如茎叶图所示．（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天 2.5PM 日均监测数据未超标的概率；（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．【解析】解：（1）记“当天 2.5PM 日均监测数据未超标”为事件A ，因为有24+天 2.5PM 日均值在75微克/立方米以下，故P （A ）243105+==．（2）ξ的可能值为0，1，2，3．由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．363101(0)6C P C ξ===，21643101(1)2C C P C ξ===，12643103(2)10C C P C ξ===，343101(3)30C P C ξ===．ξ的分布列如下表：1131601236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．类型二：二项分布12．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为X ，求X 的分布列、数学期望和方差．【解析】解：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P．116511101037111010C C P C C =-=-=，（2）设该顾客在一次抽奖中获一等奖的概率为1P ，1145112101015C C P C C ==，故而1?(3,)5X B ．3464(0)()5125P X ∴===，1231448(1)()55125P X C ===， 2231412(2)()55125P X C ===，311(3)()5125P X ===．故X 的分布列为数学期望13()355E X ==，方差1412()35525D X ==． 13．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数(,)AirQualityIndex AQI 是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0~50为优；51~100为良；101~150为轻度污染；151~200为中度污染；201~300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI 的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良(100)AQI 的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．【解析】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为63105=，从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，基本事件总数2615n C ==，抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：2426315C p C =-=．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35，ξ∴的所有可能取值为0，1，2，3，且3~(3,)5B ξ，328(0)()5125P ξ===， 1233236(1)()55125P C ξ===， 2233254(2)()55125P C ξ===， 3327(3)()5125P ξ===，故ξ的分布列为：3~(3,)5B ξ，33 1.85E ξ=⨯=．高考预测三：概率与其他知识点交汇类型一：以其他知识为载体14．已知正四棱锥PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）．（1）求(0)P ξ=的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．【解析】解：（1）根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形， PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：0，3π，2π，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数2828n C ==种情况，当0ξ=时有2种，当3πξ=时有342420⨯+⨯=种，当2πξ=时有246+=种．21(0)2814P ξ∴===．（2）21(0)2814P ξ===． 205()3287P πξ===， 63()22814P πξ===．随机变量ξ的分布列如下表：15329()0143721484E πππξ=⨯+⨯+⨯=． 15．从集合{1M =，2，3，4，5，6，7，8，9}中抽取三个不同的元素构成子集1{a ，2a ，3}a ．（1）求对任意的i 和(1j i =，2，3，1j =，2，3，)i j ≠满足||2i j a a -的概率；（2）若1a ，2a ，3a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ．【解析】解：（1）由题意知基本事件数为3984C =，而满足条件||2i j a a -，即取出的元素不相邻，则用插空法有3735C =种，故所求事件的概率为3558412P ==；（2）分析1a ，2a ，3a 成等差数列的情况：1ξ=的情况有7种：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，{7，8，9}，2ξ=的情况有5种：{1，3，5}，{2，4，6}，{3，5，7}，{4，6，8}，{5，7，9}．3ξ=的情况有3种：{1，4，7}，{2，5，8}，{3，6，9}．4ξ=的情况有1种：{1，5，9}．故ξ的分布列如下：所以753115()1234161615168E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．类型二：构造递推关系求概率问题16．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0i p i =，1，⋯，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11(1i i i i p ap bp cp i -+=++=，2，⋯，7)，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=． ()i 证明：1{}(0i i p p i +-=，1，2，⋯，7)为等比数列； ()ii 求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【解析】（1）解：X 的所有可能取值为1-，0，1．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--，(1)(1)P X αβ==-，X ∴的分布列为：（2）()i 证明：0.5α=，0.8β=，∴由（1）得，0.4a =，0.5b =，0.1c =．因此110.40.50.1(1i i i i p p p p i -+=++=，2，⋯，7)，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即11()4()i i i i p p p p +--=-，又1010p p p -=≠，1{}(0i i p p i +∴-=，1，2，⋯，7)为公比为4，首项为1p 的等比数列；()ii 解：由()i 可得，881887761001(14)41()()()143p p p p p p p p p p --=-+-+⋯+-+==-，81p =，18341p ∴=-， 444332*********()()()()3257p p p p p p p p p p p -∴=-+-+-+-+==． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 17．从原点出发的某质点M ，按向量(0,1)a =移动的概率为23，按向量(0,2)b =移动的概率为13，设M 可到达点(0，)(1n n =，2，3，)⋯的概率为n P ．（1）求1P 和2P 的值；（2）求证：2111()3n n n n P P P P +++-=--；（3）求n P 的表达式．【解析】解：（1）123P =，22217()339P =+= （2）证明：M 点到达点(0,2)n +有两种情况 ①从点(0,1)n +按向量(0,1)a =移动 ②从点(0,)n 按向量(0,2)b =移动∴212133n n n P P P ++=+∴2111()3n n n n P P P P +++-=-- 问题得证．（3）数列1{}n n P P +-是以21P P -为首项，13-为公比的等比数列 1111211111()()()()3933n n n n n P P P P --++-=--=-=- 11()3n n n P P -∴-=-又因为111221()()()n n n n n P P P P P P P P ----=-+-+⋯+- 12111()()()333n n -=-+-+⋯+-111[1()]123n -=-- 11n n P P P P ∴=-+∴113()434n n P =⨯-+．类型三：利用导数研究概率问题18．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()()f p f p 的最大值点0p （即()f p 取最大值时对应的p 的值）．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值，已知每件产品的检验费用为3元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用 ()i 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为X 求()E X ； ()ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解析】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，则221820()(1)f p C p p =-，2182172172020()[2(1)18(1)]2(1)(110)f p C p p p p C p p p ∴'=---=--，令()0f p '=，得0.1p =，当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>，当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<， f ∴()p 的最大值点00.1p =．（2）()i 由（1）知0.1p =，令Y 表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知~(180,0.1)Y B ， 20328X Y =⨯+，即6028X Y =+，()(6028)6028()60281800.1564E X E Y E Y ∴=+=+=+⨯⨯=．()ii 如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为600元， ()564600E X =<，∴应该对余下的产品不进行检验．19．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各个水果是否为不合格品相互独立．（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为()f p ，求()f p 取最大值时p 的值0p ；（Ⅱ）现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以（Ⅰ）中确定的0p 作为p 的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a 元的赔偿费用(*)a N ∈．（ⅰ）若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【解析】解：（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格的概率为()f p ，则22810()(1)f p C p p =-，282710()[2(1)8(1)]f p C p p p p ∴'=---，由()0f p '=，得0.2p =．且当(0,0.2)p ∈时()0f p '>，当(0.2,1)p ∈时，()0f p '<， ()f p ∴的最大值点00.2p =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知00.2p =．（ⅰ）令Y 表示余下的70个水果中的不合格数，依题意~(70,0.2)Y B ，10 1.515X aY aY =⨯+=+．()(15)15()15700.21514E X E aY aE Y a a ∴=+=+=+⨯⨯=+．（ⅱ）如果对余下的水果作检验，则这箱水果的检验费为120元，由1514120a +>，得1057.514a >=，且*a N ∈， ∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．高考预测三：决策问题20．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个300元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X 的分布列；（2）若要求()0.5P X n ，试确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【解析】解：（1）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件1A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件(1i =，2，3，4)，记事件1B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件(1i =，2，3，4)，由题知134134()()()()()()0.2P A P A P A P B P B P B ======，22()()0.4P A P B ==，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22， 11(16)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=；1221(17)()()()()0.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；132231(18)()()()()()()0.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；14233241(19)()()()()()()()()0.20.20.20.20.40.20.20.40.24P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯+⨯=；243342(20)()()()()()()0.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；3443(21)()()()()0.20.20.20.20.08P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；44(22)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=．从而X 的分布列为（2）要()0.5P x n ，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++，则n 的最小值为19；（3）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当19n =时，费用的期望为193005000.210000.0815000.045940⨯+⨯+⨯+⨯=元，当20n =时，费用的期望为203005000.0810000.046080⨯+⨯+⨯=元，若要费用最少，所以应选用19n =．高考预测四：正态分布21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，⋯，16．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592≈，0.09．【解析】解：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B ．因此，16(1)1(0)10.99740.0408P X P X =-==-≈；（2）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02，162221160.212169.971591.134i i x ==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈．因此σ0.09≈．22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用 ①的结果，求EX。

第7讲分布列与数学期望(解析版)

第7讲分布列与数学期望(解析版)第7讲分布列与数学期望(解析版)在统计学中，分布列与数学期望是常用的分析工具。

它们能够帮助我们理解随机变量的分布和特征。

本文将对分布列与数学期望进行解析，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、分布列分布列是用来描述离散型随机变量的概率分布的一种方式。

对于一个具体的随机变量X，其可能取到的数值通常是有限个或可数个。

我们可以列出每个数值对应的概率，形成一张分布列。

分布列通常以表格的形式呈现，其中包括随机变量的取值和对应的概率。

举个例子，假设随机变量X表示投掷一个骰子后的点数。

在这种情况下，X可以取到1、2、3、4、5、6这六个数值。

我们可以计算出每个数值对应的概率，得到如下的分布列：| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ||-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|| P(X) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |通过分布列，我们可以清晰地看到每个点数出现的概率是相等的。

除了离散型随机变量外，连续型随机变量也可以通过分布列进行描述。

连续型随机变量的分布列变成了概率密度函数，其中表示为概率的数值变为密度。

二、数学期望数学期望是随机变量的平均值，在概率论中有着重要的意义。

数学期望反映了随机变量取值的中心位置。

对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)定义为：E(X) = ∑(x·P(X=x))其中，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示该取值的概率。

以前述的投骰子问题为例，我们可以计算出随机变量X的数学期望：E(X) = (1/6)·1 + (1/6)·2 + (1/6)·3 + (1/6)·4 + (1/6)·5 + (1/6)·6= 3.5可以看出，投骰子问题中，骰子点数的数学期望是3.5。

(新课标)高考数学一轮复习 10.4离散型随机变量的分布列、期望与方差名师课件

其中0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的③ 两点分布. 3.超几何分布列在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中含有X件次品,则事件{X=k}
发生的概率为P(X=k)=④
CkM

Cnk N M
CnN(k=0,1,2,…,m) ,其中m=min{M,n},
且n≤N,M≤N,n、M、N∈N*,称分布列
A.1 B.1.5 C.2 D.2.5
答案
B
ξ可取0,1,2,3,P(ξ=0)=
C=C36C36 36
,P1(ξ=1)=
20
=CC16C36C,52PC36 (32ξ=2390)=
C36= 1,P(ξ=2)= 9,故Eξ=0× 1+1× 9+2× 9+3× 1=1.5.
C36C36 20
20
20 20 20 20
35656
P(ξ=2)=P(A1B1)= 1 ×3 1= ,
355
P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)= 1 ×1 1+ 1 ×2 = ,
2 5 5 6 15
P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)= 1 ×3 1+ 1 ×11 = ,
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的概率分布列,简称X的分布列,具有性质: a.pi≥0,i=1,2,…,n; b.p1+p2+…+pi+…+pn=1. 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 2.如果随机变量X的分布列为

分布列和数学期望教师版(20200514102039)