高中物理竞赛培训--电磁学部分

E
O V
R
r
q 4 r ( r R ) 0 V q ( r R) 4 0 R
O
R
r
静电场的高斯定理
静电场中通过任一闭合曲面的电通量等于该曲面所包围 的所有电荷的代数和的1/o倍，即

S
E dS
1
0
q
包
.
(闭合曲面每一点的法向方向指向闭合曲面外。） 电通量：电场通过面积 S 时的电通量为 E S ；其中
0 q E 2 8 r 0 q 2 4 r 0
R
(r R) (r R) (r R)
E
O
R
r
例： 一均匀带电球面，半径为 R ，带电量为 q。求球面 上的静电表面张力系数 。
R
导体：（理论概念）
导体特征：导体内部存在大量的可自由运动的电子， 这些自由电子在常温下局限在导体内部。导体因此可 看成是充满了自由电子气的容器。
S 为 S 的与 E垂直的截面面积。电通量为穿过 S 的
电场线的条数。电通量有正负之分。
静电场的高斯定理
（a）设点电荷在球形高斯面的圆心处；因为 １、每个小面元处的电场强度大小都相同； ２、每个小面元所在平面与电场强度垂直； 所以总的电通量（由里至外） E
ES
q 4 0 R q
例： 两个正电子和两个质子分置在一个正方形的四个顶 点上。让这四个粒子从静止状态开始自由运动，问长时 间后，其中的一个正电子和一个质子的动能分别为多少？
例： 一个半径为 R 的薄球壳上带有总电量为 Q 的电荷 （可能不是均匀分布的）；求球心处的电势。
例： 导体球壳半径为 R，不接地，其上所带总电量为零。 在距球心为 d 的地方置一点电荷，电量为 q 。求导体球壳 的电势。已知 R d 。
2
dS
4 R
2
q +
R
0
.
(a)
静电场的高斯定理
（b）设点电荷在任意闭合曲面之内；因为 穿过闭合球面 S '的电通量等于穿过该闭 合 面 S 的电通量，因此总的电通量
S S'
q 4 0 R 2 q . 4 R 2
S
0
S
q + +
(b)
静电场的高斯定理
（c）设点电荷闭合曲面以外，则 总的电通量必为零。
中学物理基础知识回顾与拓展 （电磁学基础知识部分）
基本概念和知识点 一些相关的题外话 习题选讲
基本概念和知识点
物理理论
基于实验和假设建立起来的用于阐明特定物理 概念之间相互关系的数学方程(定律,laws）及 其引申结果(定理,theorems).好的理论所需的
假设少且普遍,前后没有矛盾,并能在一定范围
只有静电场才可以定义电势、电势能；感生电场 不能定义电势及电势能。 静电场中，一个点电荷从给定点出发、沿任一闭 合回路运动重新回到出发点，在这个过程中静电
力做的总功为零。
点电荷电场的电势：
q q V k r 4 0r （标量）
注意：上式已选无穷远处电势为零 注意：上式与空间中是否存在电介质、导体等无关
其厚度，则面电荷密度 是多少？如果进一步忽略其 宽度，其线电荷密度 是多少？
矢量： F ，F ，F Fxex Fyey Fzez 矢量的分量： Fx , Fy , Fz ;
依赖于坐标系的选取 有正负之分，且正负有明确的意义
2 2 2 F F F F 矢量的模(强度、大小)： x y z
静电场的高斯定理
又，根据高斯定理有

所以
2
q
0
,
q ,
4 r E
从而
0
r
R
E
q 4 0 r
2
.
(与圆心处置放点电荷 q 产生的场强一样)
静电场的高斯定理
（2）球内某点的场强 同理，对球内某点，仍有
4 r 2 E ,
但根据高斯定理，
q包
r R

0
0,
所以 E 0.
S
E
E . 2 0
静电场的高斯定理
例： 一均匀带电球面，半径为 R ，带电量为 q。求球面 内、外各点处的场强。 解： （1）球外某点的场强
设该点距离圆心为r,r>R;由于对
称性，在其所处球面上的每一点 处的场强大小都相等(设为E),方 向垂直球面。故电通量 R r
4 r 2 E.
正确解释和预言实验结果。
物理理论
基本物理理论是定量的，精确的； 理论的关键是前后一致、自成一体； 理论相对于实际应用有一定的独立性； 每个理论都有其适用范围； 每个公式都有其适用范围；
应严格区分理论问题和应用问题。
(例：点电荷，理想气体，平行板电容器， 磁场中导体棒的滑动……)
电磁相互作用存在的范围： 从微观到宏观的一切尺度 电磁学的适用范围： 通常为经典宏观系统，不包含量子力学及
如果两点电荷之间放一物体，那么这两个点电荷之间的 库仑作用力的大小 F 与 F12 相比较结果如何？其中
1 | q1q2 | F12 . 2 4 0 r
A. F F12 ; B. F F12 ;
C. F F12 ; D. 取决于所放物体
q1
q2
静电场：由静止电荷产生的电场
注意静电场与运动电荷产生的电场的区别 注意在有些问题中，可将低速运动的电荷产生的
学物理原理, 证明 g ( r1, r2 ) h( r )r , 其中 r r2 r1 ， h( r )
是一个待定函数。
例：
万有引力是否满足叠加原理？
例： 一个导体球外距离球心为 r 的地方有一个静止的点 电荷，带电量为 q 。该点电荷在导体球心处产生的电场 强度是多少？
q
例： 均匀电介质球的介电常数为 ，半径为 R 。在球 心处置一电量为 q 的自由电荷。问极化电荷是如何分布 于电介质球的？求在空间各处由自由电荷、极化电荷分 别产生的电场的场强和电势，以及由所有电荷产生的总 场强和总电势。
电场近似为静电场
注意静电场与感生电场的区别
静止的点电荷产生的电场：
q q Ek 2 r 4 0r 2
注意：与空间中是否存在电介质、导体等无关
静电场的叠加原理
E k
i 1 N
qi 1 N qi r r 3 3 i ri 4 0 i 1 ri
注意：以上两条给出了静电场的全部性质!
电势的叠加原理
V k
i 1 N
qi 1 N qi ri 4 0 i 1 ri
注意：以上两条等价地给出了静电场的全部性质
静电场的电势和场强的关系
V E
V (l l ) V (l ) El lim l 0 l
注意：静电场是简单的，因为原则上等价于一个标量 场。这是为什么静电场的电场线不能任意画的原因。
库仑定律
与空间中是否存在电介质、导体等无关！ 两电荷必须静止 ---- 理论 (低速运动时可用库仑定律估算两电荷间的作用力)
静电力的叠加原理
F kq
i 1 N
qi q r 3 ri 4 0

i 1
N
qi r 3 ri
例：
真空中两静止点电荷相距 r ，所带电量分别为 q1 和 q2 ，
相对论效应
微元：宏观小微观大 电荷、电流分布在微元上可看成是均匀的
dl dQ dS dV
线电荷分布 面电荷分布 体电荷分布
dl
dQ dl
dS dQ dS
dV
dQ dV
线分布
面分布
体分布
例：
一个长1米、宽1厘米、厚1毫米的电介质细带上均匀带
有1库仑的电荷。问其体电荷密度 是多少？如果忽略
例： 证明无穷长均匀带电直线在距离其为 d 处产生的场 强与一个半径为 d 的电荷线密度相同的半圆在圆心处产 生的场强大小相等。
例：已知球面上的电荷分布为 0 cos ，其中 0 是一 常数，球内部的场强是怎样的？（答：匀强场， ）
0 E 3 0
静电场的电势、电势能
静电场是保守场，感生电场不是保守场。
外不存在任何其它的磁场源。
库仑定律
q1q2 q1q2 F k 2 , 2 r 4 0 r
k 1 4 0 :
k 9.0 109 N m2 /C2 ,
0 8.85 1012 C2/(N m2 )
遵守牛顿第三定律：
q1
q1q2 F12 k 2 r12
q2
| F12 || F21 |
q
电场线的性质：
电场线，无论是否属于静电场，都不相交 静电场的电场线在没有电荷之处光滑连续 静电场的电场线只能起于正电荷或无穷远，
终于负电荷或无穷远
静电场的电场线不闭合
例： 两个点电荷之间的一条电场线在两个点电荷附近和 它们之间的连线所夹的角分别为 和 ，则这两个点 电荷的电量必须满足什么关系？
R
q
d
面电荷密度ห้องสมุดไป่ตู้ 的无穷大带电平面的静电场
2 0 E 0 2 0 ( x 0) ( x 0) ( x 0)
E O x
（问题：电势？）
均匀分布于半径为 R 的球面上的电荷 q 的静电场
0 q E 2 8 r 0 q 2 4 r 0 ( r R) (r R) ( r R)
点电荷
点电荷是电磁学中最基本的一个理论概念，它不仅 不是近似，恰恰相反，只有借助它，才可建立精确 的电磁学理论。
在应用问题中，在适当的情况下，可将带电体近似 为点电荷。
问题：自然界有没有点电荷？有没有静止的点电荷？
例：
点电荷在电磁场中受到的力
带电量为 q 、运动速度为 v 的点电荷任意时刻 t 在电 磁场中受到的电磁力为：
F (r , t ) qE(r , t ) qv B(r , t );
其中 qv (t ) B(t )称为洛仑兹(磁)力。
注意：此处的电场即包含电荷产生的电场，也包含感 生电场，是二者之和。
电场源
电荷和随时间变化的磁场能够产生电场，除此外不存 在任何其它的电场源。
磁场源
运动的电荷和随时间变化的电场能够产生磁场，除此
q1 sin （答案：
2

2
q2 sin
2

2
2 r 2 (1 cos ) ） ; 球冠的面积：
例： 证明均匀带电的球壳内部的电场强度为零。 例： 证明均匀带电的半球壳其开口大圆上各点处的电场
强度同向。
例： 亦可证球壳外部距离球心为 r 的某点处的场强 为E Q ，其中 Q 为球壳上的总电量， 为一常数。 2 r 例： 证明无穷大带电平面外一点处的场强与该点到带电 平面的距离无关。
例：
如果已知多个静止点电荷之间的相互作用力满足叠 加原理，且两个静止点电荷之间的相互作用力只和
q2 以及它们的位置 r1 、r2 有关，记 它们的电量 q1 、
为 f ( q1 , q2 , r1 , r2 )。证明 f ( q1 , q2 , r1 , r2 ) q1q2 g ( r1 , r2 ) ，其 中 g ( r1 , r2 )是一个待定矢量函数。进一步地，利用已
不依赖于坐标系的选取 只能取非负值 注意矢量的分量和矢量的模的区别
几个重要的近似等式：
sin tan 2 cos 1 2
（ 1+） 1+
若 | |
1；
若 | |
1.
电量及其量子化
19 基本(元)电荷： e 1.6 10 C ;
0
综合(a)、(b)、(c)，即有 S

S
E dS
1
0
q
包
.
+ q (c)
静电场的高斯定理
例： 如图，一均匀带电无限 大平面，单位面积带电量 为，求周围的电场强度。 解：由对称性分析可知如图高斯面的电通量为
2 ES ,
而
所以
q包 S ,

-E
即
S 2 ES , 0
静电场的高斯定理
（3）球上某点的场强 １、球上某点挖去一个小面元，不影响该处电场；
２、球内(外)靠近该点处的电场，为该小面元的电 场 与剩余球面电场之和；
由上述考虑可知球面上某点的场强为
E
q 8 0 R
2
.
R
静电场的高斯定理
例： 一均匀带电球面，半径为 R ，带电量为 q。求球面 内、外各点处的场强。 解： 综上，
1C 6.24 1018 e
- e: 电子， 子， 子 +e: 质子，正电子等
0e: 中子，中微子，光子
一个物体的电荷只能是基本电荷的整数倍：q ne
电荷守恒定律
在一个孤立的带电系统中，无论发生什么变化， 系统所具有的正负电荷电量的代数和保持不变。
电荷的相对论不变性
在不同参照系中观察，同一带电体的电量不变。 （与质量、时间等不同）