山西太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第1章直角三角形

第一编 点击基本图形 第1章 直角三角形

直角三角形是含有内角为90︒的特殊三角形，它是一类基本图形． 直角三角形的有趣性质在处理平面几何问题中常发挥重要作用．

性质1 一个三角形为直角三角形的充要条件是两条边长的平方和等于第三条边长的平方（勾股定理及其逆定理）．

性质2 一个三角形为直角三角形的充要条件是一边上的中线长等于该边长的一半． 推论1 直角三角形的外心为斜边的中点．

性质3 ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射影为D 时，下列五个等式之一成立． （1）2AC AD AB =⋅． （2）2BC BD AB =⋅． （3）2CD AD DB =⋅．

（4）22

BC AB CD AD

=． （5）22AC AB CD DB

=

． 事实上，由2AC AD AB =⋅，有

AB AC

AC AD

=

．注意到A ∠公用，知ACB △∽ADC △．而90ADC ∠=︒，故90ACB ∠=︒．即可得（1）的充分性． 我们又由

22222BC AB BC CD AB AD

CD AD CD AD --=⇒=

22

DB DB

CD AD

⇒=，即2CD AD DB =⋅． 即可证得（4）的充分性．

其余的证明略．

推论2 非等腰ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射

影为D 时，22AC AD

BC DB

=

． 事实上，由性质3中的（1）、（2）相除或（4）、（5）相除即证．下面，另证充分性．由

222

222

AD AC AD CD DB BC CD DB +==

+， 有 2()()0CD AD DB AD DB -⋅-=．

而AD DB ≠，即有2CD AD DB =⋅．由此即可证．

性质4 ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是当C 在边AB 上的射影为点D ，过CD 中点P 的直线AP （或BP ）交BC （或AC ）于E ，E 在AB 上的射影为F 时，2EF CE EB =⋅（或2EF =

CE EA ⋅）

． 证明 必要性．如图11-，过D 作DG AE ∥交BC 于G ，则

图1-1

B

A

F

D

P

G

E

C

CE EG =，且

AD EG DB GB =，即有AD EG

AD DB EG BG

=

++， 即 AD CE

AB EB

=

． ① 又EF CD ∥，有

EF EB

CD CB

=

② 在Rt ABC △中，有

22,CD AD DB BC DB AB =⋅=⋅， ③

将③代入②2得

22

EB AD

EF AB

⋅=

④

将①代入④得

2EF CE EB =⋅．

充分性．由2EF CE EB =⋅，注意到②2及①，有

22BC AB

CD AD

=

再注意到性质3（4）即证．

对于2EF CE EA =⋅的情形也类似上述证明．

性质5 ABC △为直角三角形，且C 为直角顶点的充要条件是当D 为边AB 上异于端点的任一点时，222()()()AB CD AC BD BC AD ⋅=⋅+⋅． 证明

必要性．如图12-，作BK DC ∥交AC 的延长线于K ，则

图1-2

D

B

n

l

a A

b

C K

,AB BD

BK CD CK AC AD AD

=

⋅=⋅． 由222BK CK BC =+．将前述式代入上式化简即可证．

充分性．令,,,,,BC a AC b AB c CD l AD n DB m ======，在ABC △与ADC △中，

应用余弦定理得

22222

22m l a n l b ml nl

-+-+--=

注意到m n c +=，化简得

222cl cmn na mb ==+，

所以22222222222()()()c l c mn na mb m n mn a b b m a n +=++=+++． 而已知有222222c l b m a n =+，从而222c a b =+即证．

性质6 如图13-，在Rt ABC △中，CD 为斜边AB 上的高，1I ，2I 分别为ACD △和CDB △的内心，过1I ，2I 的直线交AC 于M ，交BC 于N ；延长1CI 交AD 于P ，延长2CI 交DB 于Q ；设I 为ABC △的内心，则

图1-3

I 2I 1D

N B

G I H

P

A

M

C

（1）45PCQ ∠=︒．

（2）,AQ AC BP BC ==．

（3）CM CD CN ==，且222

1212MI I N I I +=．

（4）三直线2PI ，1QI ，CD 共点． （5）12CI I I ⊥，且12CI I I =． （6）90PIQ ∠=︒． 证明

（1）111

45222

PCQ ACD DCB ACB ∠=∠+∠=∠=︒．

（2）由11

22

ACQ ACD DCB B DCB AQC ∠=∠+∠=∠+∠=∠，知

AQ AC =． 同理

BP BC =．

（3）由Rt ADC △∽Rt CDB △，有

12DI AC

DI BC

=

． 又121

902

I DI ADB ACB ∠=∠=︒=∠，则

12I DI △∽ACB △，

即

21I I D A ∠=∠．