第七章(3-7) 线性离散系统的分析与校正
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7-3. Z变换理论（记忆）
线性连续系统 可用拉氏变换分析动态及稳态性能。 线性离散系统可用Z变换分析动态及稳态性能。 Z变换是从拉氏变换直接引申出来的变换方法，实 际上是采样函数拉氏变换的变形，故又称采样拉氏 变换。
1. Z变换定义 2. Z变换的求法 3. Z变换性质 4. Z反变换
1. Z变换定义
所谓零初始条件，是指在 t 0 时，输入脉冲序列各采样值 r (T ), r (2T ),... 以 及输出脉冲序列各采样值 c(T ), c(2T ),... 均为零。 上式表明，如果已知 R( z ) 和 G ( z ) ，则在零初始条件下，线性定常离散系统 的输出采样信号为
c* (t ) Z 1[C( z)] Z 1[G( z)R( z)]
(3) 差分方程的解法： 迭代法
Z变换法
迭代法(递推法)：从初值出发，按照差分方程一步一步递推出输出序列。 7-16
Z变换法
7-17
3. 脉冲传递函数 —— 离散系统复域数学模型
差分方程的解可以提供离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特性， 但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响。因此，研究脉冲传递函数。
( z )
C ( z) G1 ( z )G2 ( z ) R( z ) 1 G1 ( z ) HG2 ( z )
例7-23 设闭环离散系统结构如图,试求其输出采样信号的z变换函数
解：由图可得 离散化有 取Z变换有
C ( s) G( s) E ( s)
E ( s) R( s) H (s)C (s)
n 0
（3） 脉冲传递函数的求法 定义法是一种求法，另外若已知连续系统或元件的传递函数 G ( s) ， 如何求 其离散化后系统的脉冲传递函数 G ( z )？
两种方法： 第一种，先求 G ( s) 的拉氏反变换，得到脉冲响应函数K (t ) ，再将按采样周期离散化， 得加权序列 K (nT ) ；最后将 K (nT ) 进行 z 变换，求出G ( z ) 。
2阶后向差分
n阶后向差分
2e(k ) e(k ) e(k 1) e(k ) 2e(k 1) e(k 2) ne(k ) n1e(k ) n1e(k 1)
e( k ) de( t ) T 0 T dt
1阶前向差分
e(k ) e(k 1) e(k )
由于离散系统的时域性能指标只能按采样周期整数倍的采样值来计算，所以是近似的。
2. 采样器和保持器对动态性能的影响
采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，仅影响开环脉冲传 递函数的零点。但是，对闭环系统而言，开环脉冲传递函数零点的变化， 必然引起闭环脉冲传递函数极点的改变。因此采样器和保持器会影响闭 环离散系统的动态性能。
采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能性，因此闭环离散系统没有唯 一的结构图形式。下图是一种比较常见的误差采样闭环离散系统结构图。图中， 虚线所示的理想采样开关是为了便于分析而虚设的，输入采样信号 r * (t ) 和反馈 采样信号 b* (t ) 事实上并不存在。图中所有理想采样开关都同步工作，采样周期 为T 。
E( z) : 像 * e (t ) : 原像
注：
z 变换只对离散信号而言。 E(z) 只对应唯一的e*(t)，不对应唯一的e (t)。
Байду номын сангаас
2. Z变换的求法
级数求和法（定义法） 查表法（部分分式展开法） 留数法（反演积分法）
E ( z ) e( nT ) z n
n 0
1 此题，也可直接查表获得， 可简写做 E ( z ) Z [ E (s)] P322，常用时间函数的Z变换表如表7-2所示。
2）离散系统的型别与静态误差系数法
采样器不影响脉冲传递函数的极点
a).
b).
c).
教材P358 表7-5
（熟记）
7-6. 离散系统的动态性能分析
时域法、根轨迹法和频域法 ，其中 时域法最简单。本章介绍时域法。
1.离散系统的时间响应 2.采样器和保持器对动态性能的影响 3.闭环极点与动态响应的关系
lim
前向差分
2阶前向差分
n阶前向差分
2e(k ) e(k 1) e(k ) e(k 2) 2e(k 1) e(k ) ne(k ) n1e(k 1) n1e(k )
e( k ) de( t ) T 0 T dt
(2) 差分方程
离散系统在采样瞬时的稳态误差
注： 如果希望求出其他结构形式离散系统的稳态误差，或者 希望求出离散系统在扰动作用下的稳态误差，只要求出系统 误差的z 变换函数 E ( z ) 或 En ( z) ，在离散系统稳定的情况下， 同样可以应用Z变换的终值定理算出系统的稳态误差。
采用定义法计算离散系统的稳态误差仍有一定的计算量， 因此希望把连续系统静态误差系数法推广到离散系统中来。
7-19
4. 开环系统脉冲传递函数
开环离散系统由几个环节串联组成时，其脉冲传递函数的求法与连续系 统情况不完全相同。即使两个开环离散系统的组成环节完全相同，但由于采 样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也截然不同。
离散系统特有的现象
（重点，必考）
7-21
这个结论很有用
5. 闭环系统脉冲传递函数
很多实际系统，输出往往是连续信号 c(t ) ，而不是采样信号 c* (t ) ，此时， 可以在输出端虚设一个理想采样开关，它与输入采样开关同步工作，并具有 相同的采样周期。如系统的实际输出比较平滑，且采样频率较高，则可用 c(t ) * 近似描述 c (t )。虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能 c(t ) c* (t ) 。 描述的，只是输出连续函数 在采样时刻上的离散值
第二种，查表法（较实用，掌握）。 把 z 变换表7-2中的时间函数e(t ) 看成 K (t ) ，那么表中的 E ( s) 就是 G ( s) ，而 E ( z ) 则 相当于 G ( z ) 。因此，根据 z 变换表7-2，可以直接从 G ( s) 得到 G ( z ) 。 若 G ( s)为较高次的有理分式，需要进行部分分式法分解，然后逐项查出相应的 G ( z )
C (s) GR (s) GH (s)C (s)
RG ( z ) C ( z) 1 GH ( z )
无法分离出 R( z ) 得不到脉冲传递函数
7-5. 离散系统的稳定性与稳态误差
1.S域到Z域的映射 2.离散系统稳定性的充分必要条件 3.离散系统的稳定性判据 4.采样周期与开环增益对稳定性的影响 5.离散系统的稳态误差
1. S域到Z域的映射
2.离散系统稳定性的充分必要条件
7-27
3.离散系统的稳定性判据
连续系统稳定要求系统特征方程的根都在S平面的左 边，而离散系统稳定要求特征根都在Z平面的单位圆内。 是否能引入一种Z域到W域的线性变换，使得Z平面上 的单位圆内区域，映射成W平面上的左半平面？
（3）朱利稳定判据——直接在Z域中的稳定性判据 对于线性定常离散系统，除了采用W变换，在W域中利用劳斯判据 判断系统的稳定性外，还可以在Z域中直接应用朱利判据判断离散系统 的稳定性。
1.离散系统的数学定义 2.线性常系数差分方程及其解法 3.脉冲传递函数 4.开环系统脉冲传递函数 5.闭环系统脉冲传递函数
1. 离散系统的数学定义
2. 线性常系数差分方程及其解法
(1) 差分定义 e(kT) 简记为 e(k)
1阶后向差分
e(k ) e(k ) e(k 1)
lim
后向差分
离散系统输入输出变量及其各阶差分的等式
含义： 对于一般的线性定常离散系统， k 时刻的输出 c(k ) ，不仅与 k 时刻的输入 r (k ) 有关，还与 k 时刻以前的输入 r (k 1), r (k 2),... 有关，同时还与 k 时刻以前的输 出 c(k 1), c(k 2),... 有关。 回忆线性定常连续系统数学模型
C ( s) G2 ( s)G ( s) E ( s) E ( s) R( s) H ( s)C ( s) 考虑到
则
1
考试、考研题型，若 在 G2 (s) 前 加入零阶 保持器呢？
R( s) H ( s)G2 ( s)G1 ( s) E ( s)
离散化有 即
E ( s) R ( s) HG2 ( s)G1 ( s) E ( s)
z E ( z ) ResE ( s ) Ts z e s si i 1
l
3. Z变换的性质（基本定理）
（熟记）
4. Z反变换
7-4. 离散系统的数学模型
离散系统的数学模型有：差分方程、脉冲传递函数和离散状态 空间表达式等。 连续系统的数学模型有：微分方程、传递函数、状态空间表达 式、方框图、信号流图、频率响应特性（图）。
通过综合除法，将 C ( z ) 展成无穷幂级数
C( z) 0.368z 1 z 2 1.4z 3 1.4z 4 1.147 z 5 0.895z 6 0.8021.4 z 7 0.868z 8 ...
基于Z变换的定义，由上式求得系统在单位阶跃外作用下的输出序列 c(nT ) 为
4.采样周期与开环增益对稳定性的影响
7-30
5.离散系统的稳态误差（离散系统在采样瞬时的稳态误差）
连续系统稳态误差最基本的求法：定义法与静态误差系数法。这两种方法， 在一定条件下可推广到离散系统。
1）定义法求离散系统的稳态误差
（熟记）
因为 G ( z )与 R( z ) 都与T 有关。
7 31
实际开环离散系统
（2）脉冲传递函数意义
传递函数的含义：传递函数 G ( s) 是系统脉冲响应K (t ) 的拉氏变换。
脉冲传递函数的含义：脉冲传递函数G ( z ) 等于系统单位脉冲响应序列 K (nT ) 的 z 变换。
G( z ) Z [ K (nT )] K ( z ) K (nT ) z n
？
可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数。但只要
误差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号r*(t)就不存在，此时不能写出
闭环系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换函 数C(z)。
对于采样开关在闭环系统中具有各种配置的闭环离散系统典型结构图，
及其输出采样信号Z变换函数C(z)可参见P343表7-3。
1. 离散系统的时间响应
T=1S 7-32
闭环脉冲传递函数
( z )
G( z ) 0.368 z 0.264 2 1 G ( z ) z z 0.632
将
R( z )
z z 1
代入上式，求出单位阶跃序列响应的Z变换
0.368 z 1 0.264 z 2 C ( z ) ( z ) R( z ) 1 2 z 1 1.632 z 2 0.632 z 3
E ( s) R (s) 1 G1 ( s ) HG 2 ( S )
输出信号的采样拉氏变换 进行Z变换，证得
G2 ( s)G1 ( s) R ( s) C ( s) G2 ( s)G ( s) E ( s) 1 G1 ( s) HG2 ( S )
1
例7-22 设闭环离散系统结构如图所示，试证其闭环脉冲传函为 ( z )
G1 ( z )G2 ( z ) 1 G1 ( z ) HG2 ( z )
证明：由图可得 C ( s) G2 ( s) E1 ( s)
E1 (s) G1 (s) E (s)
对E1(s)离散化，有 E1 ( s) G1 ( s) E ( s)
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) d m r (t ) d m1r (t ) dr (t ) a0 a a a c ( t ) b b b bm r (t ) 1 n 1 n 0 1 m 1 dt n dt n 1 dt dt m dt m1 dt
线性连续系统 可用拉氏变换分析动态及稳态性能。 线性离散系统可用Z变换分析动态及稳态性能。 Z变换是从拉氏变换直接引申出来的变换方法，实 际上是采样函数拉氏变换的变形，故又称采样拉氏 变换。
1. Z变换定义 2. Z变换的求法 3. Z变换性质 4. Z反变换
1. Z变换定义
所谓零初始条件，是指在 t 0 时，输入脉冲序列各采样值 r (T ), r (2T ),... 以 及输出脉冲序列各采样值 c(T ), c(2T ),... 均为零。 上式表明，如果已知 R( z ) 和 G ( z ) ，则在零初始条件下，线性定常离散系统 的输出采样信号为
c* (t ) Z 1[C( z)] Z 1[G( z)R( z)]
(3) 差分方程的解法： 迭代法
Z变换法
迭代法(递推法)：从初值出发，按照差分方程一步一步递推出输出序列。 7-16
Z变换法
7-17
3. 脉冲传递函数 —— 离散系统复域数学模型
差分方程的解可以提供离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特性， 但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响。因此，研究脉冲传递函数。
( z )
C ( z) G1 ( z )G2 ( z ) R( z ) 1 G1 ( z ) HG2 ( z )
例7-23 设闭环离散系统结构如图,试求其输出采样信号的z变换函数
解：由图可得 离散化有 取Z变换有
C ( s) G( s) E ( s)
E ( s) R( s) H (s)C (s)
n 0
（3） 脉冲传递函数的求法 定义法是一种求法，另外若已知连续系统或元件的传递函数 G ( s) ， 如何求 其离散化后系统的脉冲传递函数 G ( z )？
两种方法： 第一种，先求 G ( s) 的拉氏反变换，得到脉冲响应函数K (t ) ，再将按采样周期离散化， 得加权序列 K (nT ) ；最后将 K (nT ) 进行 z 变换，求出G ( z ) 。
2阶后向差分
n阶后向差分
2e(k ) e(k ) e(k 1) e(k ) 2e(k 1) e(k 2) ne(k ) n1e(k ) n1e(k 1)
e( k ) de( t ) T 0 T dt
1阶前向差分
e(k ) e(k 1) e(k )
由于离散系统的时域性能指标只能按采样周期整数倍的采样值来计算，所以是近似的。
2. 采样器和保持器对动态性能的影响
采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，仅影响开环脉冲传 递函数的零点。但是，对闭环系统而言，开环脉冲传递函数零点的变化， 必然引起闭环脉冲传递函数极点的改变。因此采样器和保持器会影响闭 环离散系统的动态性能。
采样器在闭环系统中可以有多种配置的可能性，因此闭环离散系统没有唯 一的结构图形式。下图是一种比较常见的误差采样闭环离散系统结构图。图中， 虚线所示的理想采样开关是为了便于分析而虚设的，输入采样信号 r * (t ) 和反馈 采样信号 b* (t ) 事实上并不存在。图中所有理想采样开关都同步工作，采样周期 为T 。
E( z) : 像 * e (t ) : 原像
注：
z 变换只对离散信号而言。 E(z) 只对应唯一的e*(t)，不对应唯一的e (t)。
Байду номын сангаас
2. Z变换的求法
级数求和法（定义法） 查表法（部分分式展开法） 留数法（反演积分法）
E ( z ) e( nT ) z n
n 0
1 此题，也可直接查表获得， 可简写做 E ( z ) Z [ E (s)] P322，常用时间函数的Z变换表如表7-2所示。
2）离散系统的型别与静态误差系数法
采样器不影响脉冲传递函数的极点
a).
b).
c).
教材P358 表7-5
（熟记）
7-6. 离散系统的动态性能分析
时域法、根轨迹法和频域法 ，其中 时域法最简单。本章介绍时域法。
1.离散系统的时间响应 2.采样器和保持器对动态性能的影响 3.闭环极点与动态响应的关系
lim
前向差分
2阶前向差分
n阶前向差分
2e(k ) e(k 1) e(k ) e(k 2) 2e(k 1) e(k ) ne(k ) n1e(k 1) n1e(k )
e( k ) de( t ) T 0 T dt
(2) 差分方程
离散系统在采样瞬时的稳态误差
注： 如果希望求出其他结构形式离散系统的稳态误差，或者 希望求出离散系统在扰动作用下的稳态误差，只要求出系统 误差的z 变换函数 E ( z ) 或 En ( z) ，在离散系统稳定的情况下， 同样可以应用Z变换的终值定理算出系统的稳态误差。
采用定义法计算离散系统的稳态误差仍有一定的计算量， 因此希望把连续系统静态误差系数法推广到离散系统中来。
7-19
4. 开环系统脉冲传递函数
开环离散系统由几个环节串联组成时，其脉冲传递函数的求法与连续系 统情况不完全相同。即使两个开环离散系统的组成环节完全相同，但由于采 样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也截然不同。
离散系统特有的现象
（重点，必考）
7-21
这个结论很有用
5. 闭环系统脉冲传递函数
很多实际系统，输出往往是连续信号 c(t ) ，而不是采样信号 c* (t ) ，此时， 可以在输出端虚设一个理想采样开关，它与输入采样开关同步工作，并具有 相同的采样周期。如系统的实际输出比较平滑，且采样频率较高，则可用 c(t ) * 近似描述 c (t )。虚设的采样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能 c(t ) c* (t ) 。 描述的，只是输出连续函数 在采样时刻上的离散值
第二种，查表法（较实用，掌握）。 把 z 变换表7-2中的时间函数e(t ) 看成 K (t ) ，那么表中的 E ( s) 就是 G ( s) ，而 E ( z ) 则 相当于 G ( z ) 。因此，根据 z 变换表7-2，可以直接从 G ( s) 得到 G ( z ) 。 若 G ( s)为较高次的有理分式，需要进行部分分式法分解，然后逐项查出相应的 G ( z )
C (s) GR (s) GH (s)C (s)
RG ( z ) C ( z) 1 GH ( z )
无法分离出 R( z ) 得不到脉冲传递函数
7-5. 离散系统的稳定性与稳态误差
1.S域到Z域的映射 2.离散系统稳定性的充分必要条件 3.离散系统的稳定性判据 4.采样周期与开环增益对稳定性的影响 5.离散系统的稳态误差
1. S域到Z域的映射
2.离散系统稳定性的充分必要条件
7-27
3.离散系统的稳定性判据
连续系统稳定要求系统特征方程的根都在S平面的左 边，而离散系统稳定要求特征根都在Z平面的单位圆内。 是否能引入一种Z域到W域的线性变换，使得Z平面上 的单位圆内区域，映射成W平面上的左半平面？
（3）朱利稳定判据——直接在Z域中的稳定性判据 对于线性定常离散系统，除了采用W变换，在W域中利用劳斯判据 判断系统的稳定性外，还可以在Z域中直接应用朱利判据判断离散系统 的稳定性。
1.离散系统的数学定义 2.线性常系数差分方程及其解法 3.脉冲传递函数 4.开环系统脉冲传递函数 5.闭环系统脉冲传递函数
1. 离散系统的数学定义
2. 线性常系数差分方程及其解法
(1) 差分定义 e(kT) 简记为 e(k)
1阶后向差分
e(k ) e(k ) e(k 1)
lim
后向差分
离散系统输入输出变量及其各阶差分的等式
含义： 对于一般的线性定常离散系统， k 时刻的输出 c(k ) ，不仅与 k 时刻的输入 r (k ) 有关，还与 k 时刻以前的输入 r (k 1), r (k 2),... 有关，同时还与 k 时刻以前的输 出 c(k 1), c(k 2),... 有关。 回忆线性定常连续系统数学模型
C ( s) G2 ( s)G ( s) E ( s) E ( s) R( s) H ( s)C ( s) 考虑到
则
1
考试、考研题型，若 在 G2 (s) 前 加入零阶 保持器呢？
R( s) H ( s)G2 ( s)G1 ( s) E ( s)
离散化有 即
E ( s) R ( s) HG2 ( s)G1 ( s) E ( s)
z E ( z ) ResE ( s ) Ts z e s si i 1
l
3. Z变换的性质（基本定理）
（熟记）
4. Z反变换
7-4. 离散系统的数学模型
离散系统的数学模型有：差分方程、脉冲传递函数和离散状态 空间表达式等。 连续系统的数学模型有：微分方程、传递函数、状态空间表达 式、方框图、信号流图、频率响应特性（图）。
通过综合除法，将 C ( z ) 展成无穷幂级数
C( z) 0.368z 1 z 2 1.4z 3 1.4z 4 1.147 z 5 0.895z 6 0.8021.4 z 7 0.868z 8 ...
基于Z变换的定义，由上式求得系统在单位阶跃外作用下的输出序列 c(nT ) 为
4.采样周期与开环增益对稳定性的影响
7-30
5.离散系统的稳态误差（离散系统在采样瞬时的稳态误差）
连续系统稳态误差最基本的求法：定义法与静态误差系数法。这两种方法， 在一定条件下可推广到离散系统。
1）定义法求离散系统的稳态误差
（熟记）
因为 G ( z )与 R( z ) 都与T 有关。
7 31
实际开环离散系统
（2）脉冲传递函数意义
传递函数的含义：传递函数 G ( s) 是系统脉冲响应K (t ) 的拉氏变换。
脉冲传递函数的含义：脉冲传递函数G ( z ) 等于系统单位脉冲响应序列 K (nT ) 的 z 变换。
G( z ) Z [ K (nT )] K ( z ) K (nT ) z n
？
可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数。但只要
误差信号e(t)处没有采样开关，则输入采样信号r*(t)就不存在，此时不能写出
闭环系统对于输入量的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信号的Z变换函 数C(z)。
对于采样开关在闭环系统中具有各种配置的闭环离散系统典型结构图，
及其输出采样信号Z变换函数C(z)可参见P343表7-3。
1. 离散系统的时间响应
T=1S 7-32
闭环脉冲传递函数
( z )
G( z ) 0.368 z 0.264 2 1 G ( z ) z z 0.632
将
R( z )
z z 1
代入上式，求出单位阶跃序列响应的Z变换
0.368 z 1 0.264 z 2 C ( z ) ( z ) R( z ) 1 2 z 1 1.632 z 2 0.632 z 3
E ( s) R (s) 1 G1 ( s ) HG 2 ( S )
输出信号的采样拉氏变换 进行Z变换，证得
G2 ( s)G1 ( s) R ( s) C ( s) G2 ( s)G ( s) E ( s) 1 G1 ( s) HG2 ( S )
1
例7-22 设闭环离散系统结构如图所示，试证其闭环脉冲传函为 ( z )
G1 ( z )G2 ( z ) 1 G1 ( z ) HG2 ( z )
证明：由图可得 C ( s) G2 ( s) E1 ( s)
E1 (s) G1 (s) E (s)
对E1(s)离散化，有 E1 ( s) G1 ( s) E ( s)
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) d m r (t ) d m1r (t ) dr (t ) a0 a a a c ( t ) b b b bm r (t ) 1 n 1 n 0 1 m 1 dt n dt n 1 dt dt m dt m1 dt