巴特沃斯低通滤波器的设计方法

最大衰减用ap表示，阻带内允许的最小衰减用as表示，ap和as分别 定义为:
H (e j0 ) a p 2 0 lg H ( e j p ) d B
(5.1.3)
H (e j0 ) a s 2 0 lg H ( e j s ) d B
(5.1.4)
如将|H(ej0)|归一化为1,(5.1.3)和(5.1.4)式则表示成:
ap 20lg H(ejp ) dB as 20lg H(ejs ) dB
2021/2/11
(5.1.5)
(5.1.6)
6
3. 数字滤波器设计方法概述
回想控制器设计问题 IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是不同,IIR滤波器 设计需要借助于模拟滤波器来完成
Specifications
Butterworth, Chebyshev, elliptic, Bessel, etc.
2021/2/11
11
2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法
幅度平方函数:
Ha
(
j)
2
1(
பைடு நூலகம்
1
)2N
c
(5.2.6) 两个参数:N, Ωc
2021/2/11
12
将|Ha(jΩ)|2写成s的函数:
Ha(s)Ha(s) 1(
1 s
)2N
jc
(5.2.7)
N阶Butterworth滤波器,|Ha(jΩ)|2=Ha(s)Ha(-s)有2N个极点，极点sk为:
ap：通带最大衰减系数
as：阻带最小衰减系数
ap 10lg
Ha( j) 2
2
(5.2.1)
Ha( jp)
as
10lg
Ha( j) 2 Ha( js ) 2
(5.2.2)
将Ω=0处幅度已归一化到1,即|Ha(0)|=1,得到
2
ap10lgHa(jp) (5.2.3)
as 10lgHa(js)2 (5.2.4)
cN (s sk )
LHP
(5.2.10)
例:设N=3,极点有6个，它们分别为
j2
j2
s0 ce3 s1c s2 ce 3
j1
j1
s3ce 3 s4 c s5 ce3
取s平面左半平面的极点s0, s1, s2组成Ha(s):
Ha(s)
3 c
j2
j2
(sc)(sc3 )(sc 3 )
2021/2/11
2021/2/11
8
H a (jΩ)
H a (jΩ)
低通
高通
0
Ω0
Ω
H a (jΩ)
H a (jΩ)
带通
c
Ω0
带阻 Ω
图5.2.1 各种理想模拟滤波器的幅频特性
2021/2/11
9
1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法
模拟低通滤波器的设计指标有ap, Ωp,as和Ωs。
Ωp:通带截止频率
Ωs：阻带截止频率
1
sk ( 1) 2 N ( j c )
j ( 1 2 k 1 )
ce 2 2N
(5.2.8)
|Ha(jΩ)|2的2N个 极点均匀分布在 半径为Ωc的圆上
2021/2/11
三阶巴特沃斯滤波器极点分布 13
为形成稳定的滤波器,2N个极点中只取s平面左半平面的N个 极点构成Ha(s)，
Ha (s)
14
归一化:
——由于各滤波器的幅频特性不同,为使设计统一，需要将所 有的频率归一化
——这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha(s)表示
为
1
Ha(s)
N 1
(
s
sk )
k0 c c
(5.2.11)
令归一化复变量p=s/Ωc，pk=sk/Ωc，得到归一化巴特沃斯的传
输函数
Ha ( p) N1 1
优点:
高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活,不要求阻抗匹配，可 实现特殊滤波功能
2021/2/11
2
1.数字滤波器的分类
(1)总体分类: 经典滤波器,信号与干扰分占不同频带： ——选频滤波器 现代滤波器，信号与干扰频带重叠： ——维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等
(2)滤波特性： ——低通、高通、带通、带阻等
(3)网络结构： ——IIR、FIR
M
brzr
N1
H(z)
r0 N
H(z) h(n)zn
2021/2/11
1 akzk
n0
3
k1
低通
2π
π
高通
H (e j )
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带通
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
2π
2π
π
0
π
2π
理想低通、高通、带通、带阻数字滤波器幅度特性
2021/2/11
10
技术指标给定后,设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数 满足给定的指标ap和as。
一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此
H a (j )2 H a ( s ) H a ( s )s j H a (j ) H a (j ) (5.2.5)
注意: 1. 从数学上讲,有无限多种Ha(s)能满足指标 2. 实际中，针对结构给定的Ha(s) （如：Butterworth, Chebyshev, Elliptic等），选取合适的参数
2021/2/11
4
2.数字滤波器的技术指标
我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤 波器的传输函数H(ejω)用下式表示:
H(ej)H(ej)ej()
通带纹波幅度 阻带纹波幅度 通带截止频率 3dB通带截止频率 阻带截止频率
数字低通滤波器的技术要求
2021/2/11
5
通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示,通带内允许的
( p pk )
(5.2.12)
k 0
2021/2/11
15
式中,pk为归一化极点，用下式表示:
pk skcej(1 222 kN 1),k0,1,,N1
2021/2/11
脉冲响应不变法 阶跃响应不变法 双线性变换法
Desired IIR
7
5.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟, 且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯 (Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭 圆(Elliptic)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤 波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计 人员使用。
第5章 数字滤波器的设计
5.1 数字滤波器的基本概念 5.2 模拟滤波器的设计 5.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 5.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 5.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计
2021/2/11
1
5.1 数字滤波器的基本概念
数字滤波器:
是指输入输出均为数字信号,通过一定运算关系改变输入信 号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。