高中数学必修一、必修四、必修五知识点汇总

高中数学必修一、必修四、必修五知识点一、知识点梳理必修一第一单元1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合.2.特征：确定性、互异性、无序性.3.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韦恩图、语言描述法{不是直角三角形的三角形}4.常用的数集：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *.5.集合的分类：(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集φ 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝5.关系：属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等＝.6.集合的运算（1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ⋂数学表达式：{}B x A x x B A ∈∈=⋂且 性质：A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂,,（2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ⋃数学表达式：{}B x A x x B A ∈∈=⋃或 性质：A B B A A A A A A ⋃=⋃=Φ⋃=⋃,,（3）补集：已知全集I ，集合I A ⊆，由所有属于I 且不属于A 的元素组成的集合。

表示：A C I 数学表达式：{}A x I x x A C I ∉∈=且 方法：韦恩示意图, 数轴分析.注意：① 区别∈与、与⊆、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ.③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2-1, 所有非空真子集的个数是22-n。

④空集是指不含任何元素的集合。

}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

⑤符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“,⊄”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

8.函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域.①．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.②．求函数的值域的方法 : 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法9.两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则（与表示自变量和函数值的字母无关）都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.10.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.11.函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法12.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；13．一些有用的结论：(1)奇函数在其对称区间上的单调性相同； (2)偶函数在其对称区间上的单调性相反； (3)若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =15. 复合函数(1).复合函数：若y=f(u),u=g(x),x ∈(a,b),u ∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值围是g(x)的值域。

(2).复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出 (3).复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性： ①若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数； ②若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数。

简记为“同增异减” 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。

6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．必修一第二单元1．根式的概念:一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）． 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂 规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnmnm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．4.一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．5.指数函数的性质图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1） 1a 0=自左向右看， 图象逐渐上升自左向右看， 图象逐渐下降增函数减函数6.对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x =⇔=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 7.对数式与指数式的互化：x N a =log ⇔ N a x = 8.对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ；（4）对数恒等式：N aNa =log ；（5）n a na =log ．9.如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：（1）M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； （2）=NMalog M a log －N a log ； （3）na M log n =M a log )(R n ∈．10.换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．（1）b mnb a na m log log =； （2）a b b a log 1log =．11.对数函数的概念1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数。