三年高考高考数学试题分项版解析专题15不等式性质线性规划与基本不等式理

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高考数学试题分项版解析专题15不等式性质线性规划与基本不等式文含解析201811241270

专题15 不等式性质，线性规划与基本不等式文考纲解读明方向分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.分析解读不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2018年高考全景展示1.【2018年天津卷文】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45 【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2．【2018年文北京卷】设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2018年文北京卷】若,y满足，则2y−U最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

三年高考(2016-2018)数学(文)真题分类解析：专题15-线性规划与基本不等式

考纲解读明方向分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.分析解读不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2018年高考全景展示1.【2018年天津卷文】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45 【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 2．【2018年文北京卷】设集合则A. 对任意实数a ，B. 对任意实数a ，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2018年文北京卷】若,y满足，则2y−U最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

菲翔学校高考数学试题分项解析专题15 不等式性质,线性规划与基本不等式理含解析试题

墨达哥州易旺市菲翔学校专题15不等式性质，线性规划与根本不等式考纲解读明方向分析解读 1.理解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.多考察线性目的函数的最值问题,兼顾面积、间隔、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,消耗的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考察与平面区域有关的范围、间隔等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.大(小)值问题2021,9分析解读1.掌握利用根本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或者配凑因式构造根本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等〞的原那么.2.利用根本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或者填空题的形式进展考察,分值约为5分.考点内容解读要求高考例如常考题型预测热度不等式的综合应用可以灵敏运用不等式的性质求定义域、值域;可以应用根本不等式求最值;纯熟掌握运用不等式解决应用题的方法掌握2021,8;2021,13;2021课标全国Ⅰ,11选择题填空题解答题★★★分析解读不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2021年高考全景展示1．【2021年理数卷】设变量x，y满足约束条件那么目的函数的最大值为A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目的目的函数的几何意义确定函数获得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目的函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 2．【2021年理I卷】集合，那么A. B.C. D.【答案】B点睛：该题考察的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3．【2021年全国卷Ⅲ理】设，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出，得到的范围，进而可得结果。

高考数学不等式知识点解析

高考数学不等式知识点解析不等式在高考数学中占据着重要的地位，它不仅是数学知识体系中的关键组成部分，也是解决各种数学问题和实际应用问题的有力工具。

掌握不等式的相关知识，对于提高数学解题能力和思维水平具有重要意义。

一、不等式的基本性质1、对称性：若 a＞b，则 b＜a；若 a＜b，则 b＞a。

比如，5＞3，那么 3＜5。

这一性质非常直观，也很好理解。

2、传递性：若 a＞b 且 b＞c，则 a＞c。

例如，7＞5，5＞3，所以 7＞3。

传递性在比较多个数的大小时经常用到。

3、加法性质：若 a＞b，则 a ＋ c ＞ b ＋ c。

比如，因为 8＞5，那么 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2，也就是 10 ＞ 7。

4、乘法性质：若 a＞b 且 c＞0，则 ac＞bc。

若 a＞b 且 c＜0，则 ac＜bc。

例如，4＞2，当 c ＝ 3 时，4×3 ＞ 2×3，即 12 ＞ 6；当 c ＝－2 时，4×（－2) ＜ 2×（－2)，即－8 ＜－4。

这些基本性质是解决不等式问题的基础，必须牢记并能熟练运用。

二、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式称为一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（如果有分母的话）：在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数，注意当乘以一个负数时，不等号方向要改变。

2、去括号：根据乘法分配律去掉括号。

3、移项：将含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，注意移项要变号。

4、合并同类项：将同类项合并。

5、系数化为 1：在不等式两边同时除以未知数的系数，如果系数是负数，不等号方向要改变。

例如，解不等式 3x 5 ＞ 2x ＋ 1。

首先，移项得到 3x 2x ＞ 1 ＋ 5，即 x ＞ 6。

三、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0（a ≠ 0）的不等式称为一元二次不等式。

〖高考首发2019〗高考数学(理)分类专题：15-线性规划与基本不等式

考纲解读明方向分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.分析解读不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2018年高考全景展示1.【2018年天津卷文】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2．【2018年文北京卷】设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -28【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2018年文北京卷】若,y满足，则2y−U最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

高考数学(理)总复习：不等式、线性规划(解析版)

高考数学（理）总复习：不等式、线性规划题型一不等式的解法【题型要点】解不等式的常见策略(1)解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次”之间的关系，借助相应二次函数图象，确定一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负”这一符号法则，转化为一元一次不等式组求解．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解含“f ”的函数不等式，首先要确定f (x )的单调性，然后根据函数的单调性去掉“f ”转化为通常的不等式求解．(4)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)【解析】因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.【答案】 B【例2】．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【解析】当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)≥ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立．【答案】 D题组训练一不等式的解法1．若不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛-2,21，则以下结论中：①a >0；②b <0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0，正确的是( )A ．①②⑤B ．①③⑤C ．②③⑤D ．③④⑤【解析】 ax 2－bx ＋c >0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛-2,21，故a <0，且ax 2－bx ＋c ＝0的两根为－12，2.由根与系数的关系得2－12＝b a >0,2×⎪⎭⎫ ⎝⎛-21＝ca <0，故b <0，c >0.因此，②③正确，①错误．设f (x )＝ax 2－bx ＋c ，根据f (－1)<0，f (1)>0，可知a ＋b ＋c <0，a －b ＋c >0，故④错误，⑤正确．【答案】 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x －2)＝f (x ＋2)，当0＜x ＜2时，f (x )＝1－log 2(x ＋1)，则当0＜x ＜4时，不等式(x －2)f (x )＞0的解集是( )A ．(0,1)∪(2,3)B ．(0,1)∪(3,4)C ．(1,2)∪(3,4)D ．(1,2)∪(2,3)【解析】当0＜x ＜2时，x －2＜0，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＜0，f (x )＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，1－log 2(x ＋1)<0，解得1＜x ＜2，当2＜x ＜4时，x －2＞0，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，f (x )＞0，由函数f (x )是奇函数，得f (－x )＝－f (x )，又f (x －2)＝f (x ＋2)，则f (x )＝f (x －2＋2)＝f (x －2－2)＝－f (4－x )，因为0＜4－x ＜2，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，－1＋log 2(5－x )＞0，解得2＜x ＜3，则原不等式的解集为(1,2)∪(2,3)，故选D. 【答案】 D题型二简单的线性规划问题【题型要点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．【例3】已知P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4x －y ≤0x －a ≥0表示的平面区域M 内任意一点，若目标函数z ＝5x ＋3y 的最大值等于平面区域M 的面积，则a ＝________.【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝5x ＋3y 得y ＝－53x ＋z3，平移直线y ＝－53x ＋z3，由图象知当直线y ＝－53x ＋z3，经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x －y ＝0，解得x ＝y ＝2，即A (2,2)，此时z ＝5×2＋3×2＝16，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x ＝a .解得x ＝a ，y ＝4－a ，即B (a,4－a )，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＝a ，解得x ＝y ＝a ，即C (a ，a )， ∴BC ＝4－a －a ＝4－2a ，△ABC 的高为2－a ， ∴S △ABC ＝12×(2－a )(4－2a )＝(2－a )2＝16，解得a ＝－2，a ＝6(舍去)，【答案】－2【例4】．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,10]D ．[3,11]【解析】根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示．∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1，即为可行域中的任意点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率．由图象可知，当点(x ，y )为A (0,4)时，k 最大，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最大值为11，当点(x ，y )在线段OB 上时，k 最小，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为3.故选D.【答案】 D题组训练二简单的线性规划问题1．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1x ≤3x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】作出不等式组所对应的平面区域：由图象可知x ＞0，y ＞0，设z ＝x 2y ，则x 2＝zy ，对应的曲线为抛物线，由图象可知当直线y ＝x －1与抛物线相切时，此时z 取得最小值，将y ＝x －1代入抛物线x 2＝zy ，得x 2－zx ＋z ＝0，由Δ＝0⇒z ＝4，z ＝0(舍)所以选择D. 【答案】 D2．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则实数k ＝________.【解析】依题意k <0且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B ⎪⎭⎫⎝⎛--3,3k k .目标函数z ＝x ＋3y 可看作直线y ＝－13x ＋13z 在y 轴上的截距的3倍，显然当直线过点B 时截距最大，此时z 取得最大值．所以z max ＝－k3＋3×⎪⎭⎫⎝⎛-3k ＝－4k 3＝8，解得k ＝－6.【答案】－6题型三基本不等式的应用【题型要点】利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax ＋bx(ab ＞0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法．【例5】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)＞0，对于任意的实数x 都有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23B ．[2，＋∞)C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,25D ．[3，＋∞)【解析】 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＞0.又∵对于任意的实数x 都有f (x )≥0，∴a ＞0且b 2－4ac ≤0，∴b 2≤4ac ，∴c ＞0，∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a ＋c b ＋1≥2acb＋1≥2. 【答案】 B2．若正数a ，b 满足：1a ＋2b ＝1，则2a －1＋1b －2的最小值为( )A ．2B.322C.52 D ．1＋324【解析】由a ，b 为正数，且1a ＋2b ＝1，得b ＝2a a －1>0，所以a －1>0，所以2a －1＋1b －2＝2a －1＋12a a －1－2＝2a －1＋a －12≥22a －1·a －12＝2，当且仅当2a －1＝a －12和1a ＋2b ＝1同时成立，即a ＝b ＝3时等号成立，所以2a －1＋1b －2的最小值为2，故选A. 【答案】 A题组训练三基本不等式的应用1．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ＞0，b ＞0)把圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是( )A ．4B ．817C ．2D.81717【解析】由题意，圆心(－4，－1)代入直线l ：ax ＋by ＋1＝0，可得4a ＋b ＝1,4a ＋b ＝1≥4ab ，∴ab ≤116，当且仅当a ＝18，b ＝12时，ab 取得最大值，坐标原点到直线l 的距离是1164＋14＝81717，故选D.【答案】 D2．设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y 22x －1≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2 2B ．4 2C ．8D ．16【解析】依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1＝[(2x －1)＋1]2y －1＋[(y －1)＋1]22x －1≥4(2x －1)y －1＋4(y －1)2x －1≥4×22x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y 22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1y －1＝12x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y 22x －1的最小值是8，m ≤8，m 的最大值是8，选C.【答案】 C题型四 “点”定乾坤求解与线性规划有关的问题【题型要点】线性规划求目标函数的最值时，常用方法是数形结合判定所过的定点，也可以把边界端点的坐标代入目标函数，寻找最值，研究可行域与其他函数的关系时，可用边界端点确定出答案．【例7】记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．【解析】法一：作出可行域，利用可行域的上下界，建立的不等式，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝4，x ＝0得(0,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得(1,1)．区域D 的上界为(0,4)，下界为(1,1)，∴y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则有⎩⎨⎧2a ≥1a ≤4，∴12≤a ≤4. 法二：直线y ＝a (x ＋1)为经过定点P (－1,0)且斜率为a ，作出可行域后数形结合可知．不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0，直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a ，由斜率公式可知k BP ＝4，k AP ＝12，若直线y＝a (x ＋1)知区域D 有公共点，数形结合可得12≤a ≤4.【答案】 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,21题组训练四 “点”定乾坤求解与线性规划有关的问题已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线且切点分别为A ，B ，当∠P AB 最小时，cos ∠P AB ＝( )A.32B.12 C ．－32D ．－12【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示的平面区域D ，如图所示：要使∠APB 最大，则∠OPB 最大．∵sin ∠OPB ＝|OB ||OP |＝1|OP |，∴只要OP 最小即可，即点P 到圆心O 的距离最小即可．由图象可知当|OP |垂直于直线3x －4y －10＝0，此时|OP |＝|－10|32＋42＝2，|OA |＝1.设∠APB ＝α，则∠APO ＝α2，即sin α2＝OA OP ＝12，此时cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×221⎪⎭⎫⎝⎛＝1－12＝12，即cos ∠APB ＝12，∴∠APB ＝60°，∴△P AB 为等边三角形，此时对应的∠P AB ＝60°为最小，且cos ∠P AB ＝12.故选B.【答案】 B【专题训练】一、选择题1．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<311x x x 或，则f (e x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－ln 3}B ．{x |－1＜x ＜－ln 3}C ．{x |x ＞－ln 3}D ．{x |x ＜－ln 3}【解析】 f (x )＞0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-311x x则由f (e x )＞0得－1＜e x ＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x )＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}．【答案】 D2．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋1y ＝13，x ＋2y ＞m 2－2m 恒成立，则m 的取值范围是( )A ．[－6,4]B ．[－4,6]C ．(－4,6)D ．(－6,4)【解析】 ∵2x ＋1y≥22xy ，即13≥22xy，解得xy ≥72，∵2x ＋1y ＝13，∴6x ＋3y ＝1，即3x ＋6y ＝xy ，∴x ＋2y ＝13xy ≥24，∴m 2－2m ＜24恒成立，解不等式m 2－2m －24＜0 得－4＜m ＜6.故选C. 【答案】 C3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥ax －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示：可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为⎪⎭⎫⎝⎛+-21,21a a ，则a －12＋a ⎪⎭⎫⎝⎛+21a ＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2，图2虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．选B. 【答案】 B4．已知g (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)【解析】设x ＞0，则－x ＜0，所以g (－x )＝－ln(1＋x )，因为g (x )是R 上的奇函数，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x ＞0，易知f (x )是R 上的单调递增函数，所以原不等式等价于2－x 2＞x ，解得－2＜x ＜1.故选D.【答案】 D5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －5≥0，y －4≤0，若不等式a (x 2＋y 2)≥(x ＋y )2恒成立，则实数a 的最小值是________．【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部(图略)，其中A (2,4)，B (1,4)，C ⎪⎭⎫⎝⎛310,35，因此y x ∈[k OA ，k OB ]＝[2,4]，因为y x ＋x y 在[2,4]上单调递增，所以y x ＋x y ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,25，不等式a (x 2＋y 2)≥(x ＋y )2恒成立等价于a ≥()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++max222y x y x 95⇒a min ＝95. 【答案】 956．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0x ＋y －1≤0y ＋1≥0，z ＝mx ＋y 的最大值为3，则实数m 的值是( )A ．－2B ．3C ．8D ．2【解析】由实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0x ＋y －1≤0y ＋1≥0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0y ＋1＝0，解得A ⎪⎭⎫⎝⎛-1,21，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0x ＋y －2＝0，解得B (1,0)，同理C (2，－1)化目标函数z ＝mx ＋y 为y ＝－mx ＋z ，当直线z ＝mx ＋y 经过C 点时，取得最大值3； ∴3＝2m －1，解得m ＝2.故选D. 【答案】 D7．已知函数f (x )＝cosπx (0<x <2)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则1a ＋4b 的最小值为( )A.92 B ．9 C ．18D ．36【解析】函数f (x )＝cosπx (0<x <2)，轴为x ＝1，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，所以a ＋b ＝2所以1a ＋4b ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 41(a ＋b )×12＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a a b 45≥12(5＋4)＝92，当a ＝23，b ＝43时取等号，故1a ＋4b 的最小值为92，故选A. 【答案】 A8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤2，若目标函数z ＝－mx ＋y 的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，则实数m 的取值不可能是( )A ．3B ．2C ．0D ．－1【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤2作出可行域如图，联立方程组求得A (－2,2)，B (2，－2)，C (2,10)，化目标函数z ＝－mx ＋y 为y ＝mx ＋z ，若m ≥0，则目标函数的最大值为2m ＋2，最小值为－2m －2，由⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋10＝2m ＋2－2m －2＝－2m －2，可知m ＝2；若m ＝0，则目标函数的最大值为10，最小值为－2，符合题意；若m ＝－1，则目标函数的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，符合题意． ∴实数m 的取值不可能是3. 故选A. 【答案】 A9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x ＞0，－ln (－x )＋x ，x ＜0.则关于m 的不等式f ⎪⎭⎫ ⎝⎛m 1＜ln 12－2的解集为( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．(0,2)C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21∪⎪⎭⎫⎝⎛21,0 D ．(－2,0)∪(0,2)【解析】函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，∵x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理：x <0时，f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2.∴当m ＞0时，由f ⎪⎭⎫⎝⎛m 1＜ln 12－2，得f ⎪⎭⎫⎝⎛m 1＜f (2)， ∴1m ＞2，解得0＜m ＜12.根据偶函数的性质知当m ＜0时，得－12＜m ＜0. 【答案】 C10．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8时，z ＝x a ＋y b(a ≥b ＞0)的最大值为2，则a ＋b 的最小值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ．8【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝8，解得A (2,6)，化目标函数z ＝x a ＋y b 为y ＝－bax ＋bz ，由图可知，当直线y ＝－ba x ＋bz 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2a ＋6b ＝2，即1a ＋3b＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎪⎭⎫⎝⎛+b a 31 ＝4＋b a ＋3ab≥4＋2b a ·3ab＝4＋2 3. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，b ＝3a ，即a ＝3＋1，b ＝3＋3时取等号．【答案】 A11．若函数f (x )＝x 4＋4x 3＋ax 2－4x ＋1的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(3－12，＋∞) D ．(2－12，＋∞) 【解析】 x 4＋4x 3＋ax 2－4x ＋1>0恒成立，当x ＝0时，a ∈R ，当x ≠0时，a >－x 4＋4x 3－4x ＋1x 2＝－(x 2＋4x －4x ＋1x 2)＝－(t 2＋4t ＋2)＝－(t ＋2)2＋2，其中t ＝x －1x ∈R ，因为－(t ＋2)2＋2≤2，从而a >2，因此实数a 的取值范围是(2，＋∞)，选A.【答案】 A 二、填空题12．已知点M 的坐标(x ，y )满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0x －y －2≤0y －3≤0，N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，则|MN |的最小值是( )A.55B.255C.510D. 5【解析】点M 的坐标(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0x －y －2≤0y －3≤0的可行域如图：N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，则|MN |的最小值，就是两条平行线y ＝－2x ＋2与2x ＋y －4＝0之间的距离：d ＝|－2＋4|12＋22＝255，故选B.【答案】 B13．设a >b >c >0，若不等式log a b 2018＋log b c 2018≥d log ac 2018对所有满足题设的a ，b ，c均成立，则实数d 的最大值为____________．【解析】 log a b 2018＋log b c 2018≥d log a c 2018⇒lg2018lg a b ＋lg2018lg b c ≥d lg2018lg ac ，因为a >b >c >0，所以lg a b >0，lg b c >0，lg a c >0，设x ＝lg a b ，y ＝lg b c ，则lg a c ＝x ＋y ，因此d ≤(1x ＋1y )(x ＋y )的最小值，而(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋xy ≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号，从而d ≤4，即实数d 的最大值为4.【答案】 414．已知点O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，OA →·(OA →－MA →)＋1m≤0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】因为OA →＝(－1，－2)，OM →＝(x ，y )，所以OA →·(OA →－MA →)＝OA →·OM →＝－x －2y .所以不等式OA →·(OA →－MA →)＋1m ≤0恒成立等价于－x －2y ＋1m ≤0，即1m≤x ＋2y 恒成立．设z ＝x ＋2y ，作出不等式组表示的可行域如图所示，当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点D (1,1)时取得最小值，最小值为1＋2×1＝3；当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点B (1,2)时取得最大值，最大值1＋2×2＝5.所以x ＋2y ∈[3,5]，于是要使1m≤x ＋2y 恒成立，只需1m ≤3，解得m ≥13或m ＜0，即实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31【答案】 (－∞，0)∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31。

专题15不等式性质线性规划与基本不等式文含解析00

专题15 不等式性质，线性规划与基本不等式文2018年高考全景展示1.【2018年天津卷文】设变量x ，y 满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 6B. 19C. 21D. 45 2．【2018年文北京卷】设集合则（） A. 对任意实数a ，B. 对任意实数a ，（2,1）C. 当且仅当a <0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.5．【2018年文北京卷】若,y 满足，则2y −U最小值是_________.6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________． 8．【2018年全国卷II 文】若满足约束条件则的最大值为__________．2017年高考全景展示1.【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．32.【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是（）A.15-B.9-C.1 D 93.【2017课标3，文5】设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（） A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]4.【2017北京，文4】若,x y 满足3,2,,x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为（）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）95.【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是（）A.-3B.-1C.1D.36.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是（）A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+7.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 .8.【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 .9.【2017山东，文】若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 10.【2017天津，文16】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数. （I ）用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II ）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？2016年高考全景展示1. 【2016高考山东文数】若变量x，y满足2,239,0,x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x2+y2的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）122. 【2016高考浙江文数】若平面区域30,230,230x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）3. 【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件103030x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y=-的最小值为__________4. [2016高考新课标Ⅲ文数]若,x y满足约束条件210,210,1,x yx yx-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y=+-的最大值为_____________.5.【2016高考上海文科】设则不等式31x-<的解集为_______.6.【2016高考上海文科】若,x y满足0,0,1,xyy x≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y-的最大值为_______.7. 【2016高考新课标1文数】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.8.【2016高考天津文数】(本小题满分13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.。

01集合-三年高考(201-2017)数学(理)试题分项版解析含解析

1.【2017课标1,理1】已知集合A =｛x ｜x <1｝，B ={x |31x<｝，则（ )A ．{|0}AB x x =D ．AB =∅【答案】A 【解析】由31x<可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<,所以{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=.若{}1AB =，则B =(）A.{}1,3- B 。

{}1,0 C 。

{}1,3 D 。

{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1AB =得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==,{}1,3B =，故选C 。

【考点】交集运算，元素与集合的关系3．【2017课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意,结合A表示以()0,0为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合,集合B 表示直线y x=上所有的点组成的集合，圆221+=与直x y线y x=相交于两点()1,1，()--，则A B中有两个元素。

1,1故选B。

【考点】交集运算;集合中的表示方法。

【名师点睛】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4.【2017北京，理1】若集合A={x|–2〈x<1｝，B=｛x|x<–1或x〉3}，则A B=（)（A）{x|–2<x〈–1｝（B）{x|–2<x〈3｝（C）{x｜–1<x<1｝（D）｛x｜1<x<3}【答案】A【解析】利用数轴可知{}=-<<-，故选A.A B x x21【考点】集合的运算5.【2017浙江，1】已知}11|{<<-=x x P ,}20{<<=x Q ，则=Q P （）A ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1( 【答案】A【解析】利用数轴,取Q P ,所有元素,得=Q P )2,1(-．【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．6.【2017天津,理1】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ,则()AB C =（）（A ）{2} （B ）{1,2,4} （C){1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}AB C =-=，，，，，，，选B.【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 7。

高考数学最新真题专题解析—等式与不等式

高考数学最新真题专题解析—等式与不等式考向一基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II 卷【母题题文】若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A. 1x y +≤B. 2x y +≥-C. 222x y +≤D. 221x y +≥ 【答案】BC【试题解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,33x y θθθ=+=，因此2222511cos sin cos 12cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=+++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当3333x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件【得分要点】（1）对原不等式进行化简、变形；（2）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；（3）判断等号成立的条件；（4）利用“1”的合理变换是解题.考向二线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A. 2-B. 4C. 8D. 12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力．常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值。

三年高考高考数学试题分项版解析专题15 选修部分文(

三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析第十六章选修部分二、填空题1. 【 2014湖南文12】在平面直角坐标系中，曲线222 :212x tCy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）的普通方程为___________.【答案】10x y--=【解析】联立222212x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消t可得110x y x y-=⇒--=,故填10x y--=.【考点定位】参数方程【名师点睛】本题主要考查了只需的参数方程，解决问题的关键是根据直线的参数方程联立消去参数t即可，难度不大，属于基础题目，属于对基本运算能力的考查.2. 【2016高考天津文数】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.23【解析】试题分析：设CE x=，则由相交弦定理得DE CE AE BE⋅=⋅，2DEx=，又2BD DEx==，所以1AC AE==，因为AB是直径，则223122BC=-=249ADx=-BCE DAE∆∆:，则BC EC AD AE=，即222149xx=-，解得233x=考点：相交弦定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．3.【2015高考湖南，文12】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sinρθ=，则曲线C的直角坐标方程为_____. 【答案】2211x y+-=（）【考点定位】圆的极坐标方程【名师点睛】1.运用互化公式：222,sin,cosx y y xρρθρθ=+==将极坐标化为直角坐标；2.直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．4.【2014高考陕西版文第15题】（不等式选做题）设Rnmba∈,,,，且5,522=+=+nbmaba，则22nm+的最小值为______.5【解析】试题分析：由柯西不等式得：22222()()()a b m n ma nb++≥+，所以2225()5m n+≥，得225m n +≥，所以225m n +≥，故答案为5. 考点：柯西不等式.【名师点晴】本题主要考查的是柯西不等式，属于容易题,解题时关键是充分利用已知条件225,5a b ma nb +=+=，结合柯西不等式可得22222()()()a b m n ma nb ++≥+，则问题可解5. 【2014高考陕西版文第15题】（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6=BC ，以BC 为直径的半圆分别交AC AB ,于点F E ,，若AE AC 2=，则EF =_______.【答案】3 【解析】试题分析：由四边形BCFE 为圆内接四边形AEF C ⇒∠=∠，AFE B ∠=∠AEF ACB ⇒∆∆:⇒12AE EF AC BC ==，又因为6BC =，所以3EF =，故答案为3. 考点：几何证明；三角形相似.【名师点晴】本题主要考查的是几何证明，属于容易题.此类问题一般都综合了有关圆的相关定理，同时又考察相似三角形有关定理，但难度一般都不大，解题注意整合已知条件，严密推理. 凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．6. 【2014高考陕西版文第15题】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6sin(=-πθρ的距离是_______.【答案】1考点：极坐标方程；点到直线距离.【名师点晴】本题主要考查的是极坐标系与参数方程及点到直线距离，属于容易题.此类问题一般主要是极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，解题时主要是熟记有关互化公式，有的题目会考察到其中参数实际的几何意义7. 【2014高考广东卷.文.14】(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=和cos 1ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________. 【答案】()1,2.【解析】曲线1C 的极坐标方程为()22cos sin ρθρθ=,化为普通方程得22y x =,曲线2C 的普通方程为1x =,联立曲线1C 和2C 的方程得221y x x ⎧=⎨=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,因此曲线1C 和2C 交点的直角坐标为()1,2.【考点定位】本题考查极坐标与参数方程的相互转化以及曲线的交点坐标求解,属于中等题. 【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程和两曲线的交点，属于中等题．解决此类问题的关键是极坐标方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化． 8. 【2014高考广东卷.文.15】(几何证明选讲选做题)如图1,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且AE EB 2=,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆=∆的周长的周长.图1FEDCBA【答案】3【解析】由于四边形ABCD 为平行四边形,则//AB CD ,因此CDF AEF ∆∆:,由于2EB AE =,所以1133AE AB CD ==,因此3CDAE=,故3CDF CD AEF AE ∆==∆的周长的周长. 【考点定位】本题考查相似三角形性质的应用,属于中等题.【名师点晴】本题主要考查的是相似三角形的性质定理，属于中等题．解题时一定要抓住重要字眼“周长”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是相似三角形的性质定理，即相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似比．9.【2015高考广东，文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为．【答案】()2,4-【考点定位】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．【名师点晴】本题主要考查的是极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程和两曲线的交点，属于容易题．解决此类问题的关键是极坐标方程或参数方程转化为平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化．10. 【2015高考广东，文15】（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A = ．【答案】3【解析】连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE=A AE，由切割线定理得：2C E =BE⋅AE ，所以()412BE BE +=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3．【考点定位】1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．【名师点晴】本题主要考查的是切线的性质、平行线分线段成比例定理和切割线定理，属于容易题．解题时一定要注意灵活运用圆的性质，否则很容易出现错误．凡是题目中涉及长度的，通常会使用到相似三角形、全等三角形、正弦定理、余弦定理等基础知识．三、解答题1. 【2015高考陕西，文22】选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O e 于点B ，直线AO 交O e 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠ (II)若3,2AD DC BC ==，求O e 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3.试题解析：(I)因为DE 是O e 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 又AB 切O e 于点B ，得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD==，又2BC =，从而32AB =，所以224AC AB BC =-=所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅即26AB AE AD==，故3DE AE AD =-=，即O e 的直径为3.【考点定位】1.几何证明；2.切割线定理.【名师点睛】（1）近几年高考对本部分的考查主要是围绕圆的性质考查考生的推理能力、逻辑思维能力，试题多是运用定理证明结论，因而圆的性质灵活运用是解题的关键；（2）在几何题目中出现求长度的问题，通常会使用到相似三角形.全等三角形.切割线定理等基础知识；（3）本题属于基础题，要求有较高分析推理能力. 2. 【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C e的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C e 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 【答案】(I) (223x y +-=； (II) (3,0).【解析】试题分析：(I)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +-=(II)设1322P t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又C ，则PC ==0t =时，PC 取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).【考点定位】1. 极坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.【名师点睛】本题考查极坐标系与参数方程，解决此类问题的关键是如何正确地把极坐标方程或参数方程转化平面直角坐标系方程，并把几何问题代数化.本题属于基础题，注意运算的准确性.3. 【2015高考陕西，文24】选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << (I)求实数,a b 的值；(II)12at bt +. 【答案】(I) 3,1a b =-=；(II)4. 【解析】试题分析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-，由题意得24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3,1a b =-=；(II)柯西不等式得31234t t t t -+=-2222[(3)1][(4)()t t ≤+-+244t t =-+=，当且仅当43t t-=即1t =时等号成立，故()min3124t t-++=.【考点定位】1.绝对值不等式；2.柯西不等式.【名师点睛】（1）零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间.去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值；（2）要注意区别不等式与方程区别；（3）用柯西不等式证明或求值事要注意两点：一是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二是注意等号成立的条件.4. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB 是等腰三角形,∠AOB =120°.以O 为圆心,12OA 为半径作圆. (I)证明：直线AB 与e O 相切；(II)点C ,D 在⊙O 上,且A ,B ,C ,D 四点共圆,证明：AB ∥CD .ODCBA【答案】(I)见解析(II)见解析【解析】试题分析：(I)设E 是AB 的中点,先证明60AOE ∠=︒,进一步可得12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．(II) 设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ,证明'OO AB ⊥,'OO CD ⊥．由此可证明//AB CD ．试题解析：（Ⅰ）设E 是AB 的中点,连结OE ,因为,120OA OB AOB =∠=︒,所以OE AB ⊥,60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切．EO'DCO BA（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥．同文可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定文与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定文；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定文.5. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1 【解析】试题分析：⑴先把cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩化为直角坐标方程,再化为极坐标方程； ⑵2C ：()2224x y -+=,3C ：2y x =,1C ,2C 方程相减得24210x y a -+-=,这就是为3C 的方程,对照可得1a =.考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.6．【2014全国2，文22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O e外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O e 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O e 于点E .证明：（Ⅰ）BEEC =；（Ⅱ）22AD DEPB ⋅=P【解析】（Ⅰ）连接,AB AC ．由题设知，PA PD =,故PAD PDA ∠=∠．因为=PDA DAC DCA ∠∠+∠,=PAD ∠BAD PAD ∠+∠,=DCA PAB ∠∠,所以=DAC BAD ∠∠，从而⌒BE =⌒EC．因此BE EC =．（Ⅱ）由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA PD DC ==,所以2,DC PB BD PB ==，由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以22AD DEPB ⋅=．P【考点定位】基本不等式.【名师点睛】本题考查了基本不等式的性质，证明不等式的方法综合法，计算能力，逻辑推理能力，属于基础题．7. 【2014全国2，文23】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（Ⅰ）求C得参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【解析】（Ⅰ）C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤．可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数，0t π≤≤）．（Ⅱ）设(1cost,sint)D +．由（Ⅰ）知，C 是以(1,0)G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同．tan 3,3t t π==．故D 的直角坐标为(1cos,sin )33ππ+，即33(,)2．【考点定位】1.极坐标方程；2.参数方程；3.普通方程.【名师点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程的运用，学生分析解决问题的能力，正确运用参数方程是解决问题的关键．8. 【2014全国2，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （Ⅰ）证明：()2f x ≥；（Ⅱ）若(3)5f <，求a 的取值范围.【考点定位】绝对值函数及不等式.【名师点睛】本题考查了绝对值函数，绝对值的性质，解绝对值不等式的方法，计算能力，逻辑推理能力，属于基础题．9. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数()123f x x x =+--.（I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，【解析】试题分析：（I ）取绝对值得分段函数()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥,然后作图；（II ）用零点分区间法分1x -≤,312x -<<,32x ≥,分类求解,然后取并集试题解析：⑴如图所示：⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥()1f x >,当1x -≤,41x ->,解得5x >或3x <,1x -∴≤当312x -<<,321x ->,解得1x >或13x < 113x -<<∴或312x <<当32x ≥,41x ->,解得5x >或3x <,332x <∴≤或5x >综上,13x <或13x <<或5x >,()1f x >∴,解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.10.【2014全国1，文22】如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（I ）证明：D E ∠=∠；（II ）设AD 不是O e 的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.【解析】（1）由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠，由已知得CBE E ∠=∠，故D E ∠=∠.（2）设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上.又AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥.所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠.由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.考点：1.圆的几何性质;2.等腰三角形的性质【名师点睛】本题考查圆的内接四边形性质，第一问利用四边形 ABCD 是O e 的内接四边形，可得D CBE ∠=∠，由 C B CE =，可得E CBE ∠=∠，即可证明：D E ∠=∠；第二问设 BC 的中点为N ，连接MN ，证明AD BC //，可得A CBE ∠=∠，进而可得A E ∠=∠，即可证明ADE ∆ 为等边三角形，本题考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12. 【2014全国1，文23】已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:（t 为参数）（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.考点：1.椭圆的参数方程;2.直线的参数方程;3.三三角函数的有界性【名师点睛】本题考查普通方程与参数方程的互化,考查了点到直线的距离公式,熟练掌握普通方程与参数方程的互化公式是解决本题的关键，体现了数学转化思想和方法，同时考查了学生的综合分析问题的能力和计算能力. 13. 【2014全国1，文24】若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.考点：1.基本不等式的应用;2.代数式的处理【名师点睛】本题主要考查基本不等式在求函数最值中的应用,在使用基本不等式时一定要注意不等式成立的条件，要注意检验等号成立条件是否具备, 本题考查了考生的计算能力和化归和转化问题的能力.14. 【2015高考新课标1，文22】选修4-1：几何证明选讲如图AB 是e O 直径，AC 是e O 切线，BC 交e O 与点E .（I ）若D 为AC 中点，求证：DE 是e O 切线；（II ）若3OA CE =，求ACB ∠的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE =DC ，OE =OB ，利用等量代换可证∠DEC +∠OEB =90°，即∠OED =90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE =1,由3OA CE =得，AB =23设AE =x ，由勾股定理得212BE x =-，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE =g ，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小.试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，在Rt△AEC 中，由已知得DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ，连结OE ，∠OBE =∠OEB ，∵∠ACB +∠ABC =90°，∴∠DEC +∠OEB =90°， ∴∠OED =90°，∴DE 是圆O 的切线. ……5分（Ⅱ）设CE =1，AE =x ,由已知得AB =23，212BE x =-，由射影定理可得，2AE CE BE =g ，∴2212x x =-，解得x =3，∴∠ACB =60°. ……10分考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理【名师点睛】在解有关切线的问题时，要从以下几个方面进行思考：①见到切线，切点与圆心的连线垂直于切线；②过切点有弦，应想到弦切角定理；③若切线与一条割线相交，应想到切割线定理；④若要证明某条直线是圆的切线，则证明直线与圆的交点与圆心的连线与该直线垂直.15. 【2016高考新课标2文数】如图，在正方形ABCD 中，,E G 分别在边,DA DC 上（不与端点重合），且DE DG =，过D 点作DF CE ⊥，垂足为F ．(Ⅰ) 证明：,,,B C G F 四点共圆；(Ⅱ)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.（II ）由,,,B C G F 四点共圆，CG CB ⊥知FG FB ⊥，连结GB ，由G 为Rt DFC ∆斜边CD 的中点，知GF GC =,故,Rt BCG Rt BFG ∆~∆因此四边形BCGF 的面积S 是GCB ∆面积GCB S ∆的2倍，即111221.222GCB S S ∆==⨯⨯⨯=考点：三角形相似、全等，四点共圆【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．16. 【2016高考新课标2文数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）15±. 【解析】试题分析：（I ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（II ）先求直线l 的极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得到关于ρ的一元二次方程212cos 110.ρρα++=，再根据韦达定理，弦长公式求出cos α，进而求得tan α，即可求得直线l 的斜率．考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.【名师点睛】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性.17. 【2016高考新课标2文数】已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集．（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（I ）分12x <-，1122x -≤≤和12x >三种情况去掉绝对值，再解不等式()2f x <，即可得集合M ；（Ⅱ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，确定21a -和21b -的符号，从而证明不等式1a b ab +<+成立. 试题解析：（I ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-；当1122x -<<时， ()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（II ）由（I ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此|||1|.a b ab +<+考点：绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞(此处设a b <)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用||||(0)x a x b c c -+->>的几何意义：数轴上到点1x a =和2x b =的距离之和大于c 的全体，|||||()|||x a x b x a x b a b -+-≥---=-.(3)图象法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解．18. 【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12（Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ2，|MN|=1ρ－2ρ2，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 121sin 452⨯=12. 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系【名师点睛】对直角坐标方程与极坐标方程的互化问题，要熟记互化公式，另外要注意互化时要将极坐标方程作适当转化，若是和角，常用两角和与差的三角公式展开，化为可以公式形式，有时为了出现公式形式，两边可以同乘以ρ，对直线与圆或圆与圆的位置关系，常化为直角坐标方程，再解决.19. 【2015高考新课标1，文24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式f (x )>1化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将()f x 化为分段函数，求出()f x 与x 轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a 的不等式，即可解出a 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当a =1时，不等式f (x )>1化为|x +1|-2|x-1|＞1，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，所以不等式f (x )>1的解集为2{|2}3x x <<. ……5分（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >. 所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分【考点定位】含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法【名师点睛】对含有两个绝对值的不等式问题，常用“零点分析法”去掉绝对值化为若干个不等式组问题，原不等式的解集是这些不等式组解集的并集；对函数多个绝对值的函数问题，常利用分类整合思想化为分段函数问题，若绝对值中未知数的系数相同，常用绝对值不等式的性质求最值，可减少计算.20.【2014年．浙江。

高考不等式专题-讲解

变式1：解不等式
解：
的解集是{x| -7<x 3}
变式3：解不等式
解：
注：如果知道分母的正负，则可以去分母，化分式不等式为整式不等式。
（五）．解高次不等式（可分解的）
1.解高次不等式的步骤：
（1）因式分解
（2）未知数系数化正
（3）穿根（从右上角开始，奇穿偶回）
2.穿根法使用步骤：
①将不等式化为形式，并将各因式x的系数化“+”；
化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式
将分式不等式进行形如以下四类的等价变形：
（1）
（2）
（3）
（4）
3.例题讲解：解不等式： .
解法1：化为两个不等式组来解：
∵ x∈φ或，
∴原不等式的解集是 .
解法2：化为二次不等式来解：
∵ ，∴原不等式的解集是
点评：提倡用解法2，避免分类讨论，提高解题速率。
（答：）；
（2）已知，且则的取值范围是______
（答：）
（二）解一元一次不等式（组）
1．一元一次不等式
1.1定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．
注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+b<O(a≠O，步骤
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．
2. 2一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

高考理科数学第3讲不等式性质与线性规划、基本不等式

限时规范训练(三)(建议限时45分钟，实际用时________分钟)一、选择题1．已知a 1bB ．－a <－bC ．2a >2bD ．a 3>b 3解析：选A.本题考查不等式的性质．因为a 0，故A正确；因为a －b >0，－a >－b ，故B 错误；因为y ＝2x 为增函数，所以2a <2b ，故C 错误；因为幂函数y ＝x 3为增函数，所以a 31且b >1，q ：a ＋b >2且ab >1，则p 是q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.本题考查充分条件与必要条件．由“a >1且b >1”可知“a ＋b >2且ab >1”，所以p 是q 的充分条件；反之不一定成立，比如a ＝2，b ＝23，从而p 不是q 的必要条件，综上，故选A.理解充分条件与必要条件的概念是解题的关键．3．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)解析：选 A.本题考查不等式的解法．不等式x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0⇒－12<x ≤1，则不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，故选A. 4．已知实数x ，y 满足ln x >ln|y |，则下列关系式中恒成立的是( )A.1x <1yB ．2x >2yC ．sin x >sin yD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 解析：选B.本题考查函数的性质．由题意知x >|y |>0，所以y ≠0，－x <y <x .A中，当x ＝2，y ＝－12时，不等式不成立；B 中，因为x >y ，所以2x >2y ，故B 正确；C 中，当x ＝π，y ＝π2时，不等式不成立；D 中，当x ＝2，y ＝－12时，不等式不成立，故选B.5．(2019·北京卷)若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( )A ．－7B ．1C ．5D ．7解析：选 C.令z ＝3x ＋y ，画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1－y ，y ≥－1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1－y ，x ≥0，y ≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤1－y ，x ＜0，y ≥－1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C (2，－1)时，z ＝3x ＋y 取得最大值，z max ＝3×2－1＝5.故选C.6．已知直线y ＝kx －3经过不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，2x －y ≤4，y ≤4所表示的平面区域，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，74 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－72∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 解析：选 B.本题考查线性规划．在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(－2，4)，(2，0)，(4，4)为顶点的三角形及其内部，又因为直线y ＝kx －3过定点(0，－3)，所以要使直线y ＝kx －3经过不等式组表示的平面区域，则4－（－3）－2－0≥k 或k ≥0－（－3）2－0，即k ≤－72或k ≥32，故选B. 7．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，则下列不等式恒成立的是()A ．x ≥3B ．y ≥4C ．x ＋2y ≥8D ．2x －y ≥－1 解析：选 C.本题考查简单的线性规划．画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，则C (2，3)，B (2，5)，所以x ≥3，y ≥4不恒成立，作出直线x ＋2y ＝8和2x －y ＝－1的图象，由图象可知2x －y ≥－1不恒成立，恒成立的是x ＋2y ≥8，故选C.8．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －4≥0，3x －4y ＋8≥0，2x －y －8≤0，则|x －y |的最大值为()A ．0B ．2C ．4D ．8 解析：选 C.本题考查线性规划．在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(4，0)，(8，8)，(0，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，设z ＝x －y ，则由图易得当z ＝x －y 经过平面区域内的点(4，0)时，z ＝x －y 取得最大值z max ＝4－0＝4，当z ＝x －y 经过平面区域内的点(0，2)时，z ＝x －y 取得最小值z min ＝0－2＝－2，所以|x －y |的取值范围为[0，4]，最大值为4，故选C.9．已知x ＋y ＝1x ＋4y ＋8(x ，y >0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．5 3B ．9C ．4＋26D ．10解析：选B.本题考查基本不等式．由x ＋y ＝1x ＋4y ＋8得x ＋y －8＝1x ＋4y ，则(x ＋y －8)(x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4x y ＝9，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝2x 时，等号成立，令t ＝x ＋y ，所以(t －8)·t ≥9，解得t ≤－1或t ≥9，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥9，所以x ＋y 的最小值为9，故选B.10．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，6]C ．(－∞，8]D ．(－∞，8)解析：选D.本题考查基本不等式的应用．x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24＝8，当且仅当x y ＝4y x ，即x ＝4，y ＝2时等式成立．因为x ＋2y >m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m .所以m <8，故选D.11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋y －2≤0，若目标函数z ＝ax ＋y 取最小值时的最优解有无数多个，则a ＝( )A ．－12B ．12C ．－1D ．1解析：选 A.本题考查简单的线性规划问题．画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示．∵目标函数z ＝ax ＋y 取最小值时的最优解有无数多个，∴直线y ＝－ax ＋z 与直线x －2y ＝0重合，∴a ＝－12，故选A.12．如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋4y 的最小值为( )A.32B ．2 C.52 D ．92解析：选 D.本题考查平面向量共线的性质及平面向量基本定理、基本不等式的运用．由图可设AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →，AE →＝μAB →＋(1－μ)AC →，其中λ，μ∈(0，1)，则AD →＋AE →＝(λ＋μ)AB →＋(2－λ－μ)AC →.由题知，x ＝λ＋μ，y ＝2－λ－μ，所以有x ＋y ＝2，所以1x ＋4y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2 y x ×4x y ＝92，当且仅当y ＝2x ，即x ＝23，y ＝43时取等号，故选D. 二、填空题13．已知非负实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则(c －a )(c －b )的取值范围为________．解析：本题考查不等式的性质．因为a ，b ，c 为非负实数，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＝1－c ，0≤c ≤1，故|(c －a )(c －b )|＝|c －a ||c －b |≤c 2≤1，即－1≤(c －a )(c－b )≤1；又(c －a )(c －b )＝c 2－(1－c )c ＋ab ≥2(c －14)2－18≥－18.综上，有－18≤(c －a )(c －b )≤1.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1 14．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－3，则k ＝________．解析：根据题意，如图，当z ＝2x ＋y 经过点(k ，k )时，z 取得最小值－3，则2k ＋k ＝－3，k ＝－1.答案：－115．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，4x －y ≥－1，则z ＝|x |＋|y －3|的取值范围是________．解析：由可行域可知，x ≥0，y ≤3，z ＝|x |＋|y －3|＝x ＋3－y ，即y ＝x ＋3－z ，当直线过点A 时z 最大，过点C 时，z 最小，联立直线方程可得A (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，所以z max ＝5，z min ＝12＋3－3＝12，所以z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5 16．若正数a ，b ，c 满足b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋b c ＋1，则a ＋b c 的最小值是________．解：本题考查基本不等式、一元二次不等式的解法、换元法的应用．由a ，b ，c 为正数，且b ＋c a ＋a ＋c b ＝a ＋b c ＋1得b c ＋1a c ＋a c ＋1b c＝a c ＋b c ＋1，设m ＝a c ，n ＝b c ，则有m >0，n >0，上式转化为n ＋1m ＋m ＋1n ＝m ＋n ＋1，即m 2＋n 2＋m ＋n mn＝m ＋n ＋1，又由基本不等式易得m 2＋n 2≥（m ＋n ）22，mn ≤（m ＋n ）24，所以有m ＋n ＋1＝m 2＋n 2＋m ＋n mn ≥（m ＋n ）22＋m ＋n （m ＋n ）24，令t ＝m ＋n ，则t >0，上式转化为t ＋1≥t 22＋t t 24，即t 2－t －4≥0，解得t ≥1＋172，所以t ＝m ＋n ＝a c ＋b c ＝a ＋b c 的最小值为1＋172. 答案：1＋172。

高考数学理科高考试题分类汇编《不等式》

高考数学理科高考试题分类汇编：不等式E1 不等式的概念与性质 5．，，[山东卷] 已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A. 1x 2＋1＞1y 2＋1 B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C. sin x ＞sin y D. x 3＞y 35．D [解析] 因为a x ＜a y (0＜a ＜1)，所以x ＞y ，所以sin x ＞sin y ，ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)，1x 2＋1＞1y 2＋1都不一定正确，故选D.4．[四川卷] 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c b c D.a d －1c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d >－b c ＞0，所以a d <bc.故选D.E2 绝对值不等式的解法 9．、[安徽卷] 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 9．D [解析] 当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.E3 一元二次不等式的解法 2．、[全国卷] 设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2．B [解析] 因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．12．、[新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)12．C [解析] 函数f (x )的极值点满足πx m ＝π2＋k π，即x ＝m ⎝⎛⎭⎫k ＋12，k ∈Z ，且极值为±3，问题等价于存在k 0使之满足不等式m 2⎝⎛⎭⎫k 0＋122＋3<m 2.因为⎝⎛⎭⎫k ＋122的最小值为14，所以只要14m 2＋3<m 2成立即可，即m 2>4，解得m >2或m <－2，故m 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．E4 简单的一元高次不等式的解法 E5 简单的线性规划问题5．[安徽卷] x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 5．D [解析]方法一：画出可行域，如图中阴影部分所示，可知点A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2), 则z A ＝2，z B ＝－2a ，z c ＝2a －2.要使对应最大值的最优解有无数组，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z ＝y －ax 可变为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，则由题意知l 0∥AB 或l 0∥AC ，故a ＝－1或a ＝2.6．[北京卷] 若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－126．D [解析] 可行域如图所示，当k >0时，知z ＝y －x 无最小值，当k <0时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12.11．[福建卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．11．1 [解析] 作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得z min ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1.3．[广东卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．83．B [解析] 本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．当目标函数线经过点A (－1，－1)时，z 取得最小值；当目标函数线经过点B (2，－1)时，z 取得最大值．故m ＝3，n ＝－3，所以m －n ＝6.14．[湖南卷] 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k＝________.14．－2 [解析] 画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A (k ，k )处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.14．[全国卷] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤3，x －2y ≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．14．5 [解析] 如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC 的内部(包括边界), z ＝x ＋4y 的最大值即为直线y ＝－14x ＋14z 的纵截距最大时z 的值．结合题意，当y ＝－14x ＋14z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝3，可得点A 的坐标为(1，1)，所以z max ＝1＋4＝5.9．、[新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 39．B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示，设目标函数z ＝x ＋2y ，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，－1)处取得最小值，且z min ＝2－2＝0，即x ＋2y 的取值范围是[0，＋∞)，故命题p 1，p 2为真，命题p 3，p 4为假．9．[新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．29．B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.9．[山东卷] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值2 5时，a 2＋b 2的最小值为( )A. 5B. 4C. 5D. 29．B [解析] 画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A (2，1)时，z 取得最小值，即2 5＝2a ＋b ，所以2 5－2a ＝b ，所以a 2＋b 2＝a 2＋(2 5－2a )2＝5a 2－8 5a ＋20，构造函数m (a )＝5a 2－8 5a ＋20(5>a >0)，利用二次函数求最值，显然函数m (a )＝5a 2－85a ＋20的最小值是4×5×20－（8 5）24×5＝4，即a 2＋b 2的最小值为4.故选B.18．，[陕西卷] 在直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．(1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 18．解：(1)方法一：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2，2)，故|OP →|＝2 2. 方法二：∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2，2)，∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n ，2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.5．，[四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )图1-1A ．0B ．1C ．2D ．35．C [解析] 题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，2>1，故选C.2．[天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．B [解析] 画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.13． [浙江卷] 当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．13.⎣⎡⎦⎤1，32 [解析] 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A (1，0)，B (2，1)，C ⎝⎛⎭⎫1，32.当a ≤0时，0≤y ≤32，1≤x ≤2，所以1≤ax ＋y ≤4不可能恒成立；当a >0时，借助图像得，当直线z ＝ax ＋y 过点A 时z 取得最小值，当直线z ＝ax ＋y 过点B 或C 时z 取得最大值，故⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.故a ∈⎣⎡⎦⎤1，32.E6 2a b+≤16．、[辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2，当且仅当4a 21＝3b 213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2，当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.14．，[山东卷] 若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 14．2 [解析]T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫b x r＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.10．，[四川卷] 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.1010．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)，令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B. 14．，[四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．14．5 [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.∴|P A ||PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时等号成立．E7 不等式的证明方法20．[北京卷] 对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.19．、、[天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q －1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.19．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i ＝1，2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.E8 不等式的综合应用9．、[安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为() A．5或8 B．－1或5C．－1或－4 D．－4或89．D[解析] 当a≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1（x >－1），x ＋a －1⎝⎛⎭⎫－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1⎝⎛⎭⎫x <－a 2.由图可知，当x ＝－a2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8. 当a <2时，f (x )⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1⎝⎛⎭⎫x >－a2，－x －a ＋1⎝⎛⎭⎫－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1（x <－1）.由图可知，当x ＝－a 2时，f min (x )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，a 的值为－4或8.13．[福建卷] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．13．160 [解析] 设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，高为1 m 得，另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10 ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160(元)，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元． 21．，，，[陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数． (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋（k ＋1）x ，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a（1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>13，……ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1，结论得证．方法三：如图，⎠⎛0n x x ＋1d x 是由曲线y ＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝ ⎠⎛0n⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，结论得证．E9 单元综合16．、[辽宁卷] 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，3a －4b ＋5c的最小值为________．16．－2 [解析] 由题知2c ＝－(2a ＋b )2＋3(4a 2＋3b 2)．(4a 2＋3b 2)⎝⎛⎭⎫1＋13≥(2a ＋b )2⇔4a 2＋3b 2≥34(2a ＋b )2，即2c ≥54(2a ＋b )2，当且仅当4a 21＝3b213，即2a ＝3b ＝6λ(同号)时，|2a ＋b |取得最大值85c ，此时c ＝40λ2.3a －4b ＋5c ＝18λ2－1λ＝18⎝⎛⎭⎫1λ－42－2≥－2，当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，3a －4b ＋5c取最小值－2.12．、[辽宁卷] 已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12πD.18 12．B [解析] 不妨设0≤y <x ≤1.当x －y ≤12时，|f (x )－f (y )|<12|x －y |＝12(x －y )≤14.当x －y >12时，|f (x )－f (y )|＝|f (x )－f (1)－(f (y )－f (0))|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝－12(x －y )＋12<14.故k min ＝14.3．[天津卷] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．B [解析] 画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内min ＝1×1＋2×1＝3. 16．[广州七校联考] 不等式|x ＋2|＋|x －1|≤5的解集为________．16．[－3，2] [解析] 根据绝对值的几何意义，得不等式的解集为－3≤x ≤2.4．[安徽六校联考] 若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．A [解析] ∵x ＋y ≥2xy ，且x ＋y ＝2，∴2≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，∴xy ≤1，∴1xy≥1，∴1≥M ，∴M max ＝1.7．[福建宁德期末] 已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( )A.63B.23 3C.43 3D.236 7．C [解析] 由题知x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a ≥2 43＝4 33，当且仅当a ＝36时，等号成立．6．[长沙模拟] 若f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，f (2)＝0，则f （x ）－f （－x ）x＞0的解集是( )A ．(－2，0)∪(0，2)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)6．D [解析] 因为f (x )为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在区间(－∞，0)上单调递增．又f (－x )＝－f (x )，所以f （x ）－f （－x ）x >0等价于2f （x ）x>0.根据题设作出f (x )的大致图像如图所示．由图可知，2f （x ）x>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．13．[浙江六市六校联考] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋9y＝10，则x ＋y 的最大值为________．13．8 [解析] ∵1x ＋9y ＝10－(x ＋y )，∴(x ＋y )1x ＋9y ＝10(x ＋y )－(x ＋y )2.又(x ＋y )1x ＋9y＝10＋9x y ＋yx≥10＋6＝16，∴10(x ＋y )－(x ＋y )2≥16，即(x ＋y )2－10(x ＋y )＋16≤0，∴2≤x ＋y ≤8，∴x ＋y 的最大值为8.。

全国统考历年真题解析三年高考数学(文)真题分类解析：专题15-线性规划与基本不等式精品配套练习

考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景理解选择题★★☆分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度1.平面区域问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组理解选择题填空题★★★2.线性规划问题会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决理解选择题填空题★★★分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度利用基本不等式求最值①了解基本不等式的证明过程;②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题掌握选择题填空题★★☆分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.考点内容解读要求常考题型预测热度不等式的综合应用能够灵活运用不等式的性质求定义域、值域;能够应用基本不等式求最值;熟练掌握运用不等式解决应用题的方法掌握选择题填空题解答题★★★分析解读不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2018年高考全景展示1.【2018年天津卷文】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2．【2018年文北京卷】设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.4．【2018年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2018年文北京卷】若x,y满足，则2y−x的最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.6．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【2018年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

菲翔学校高考数学试题分项解析专题15 不等式性质,线性规划与基本不等式文含解析试题

墨达哥州易旺市菲翔学校专题15不等式性质，线性规划与根本不等式文考纲解读明方向分析解读 1.理解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.多考察线性目的函数的最值问题,兼顾面积、间隔、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,消耗的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考察与平面区域有关的范围、间隔等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.分析解读1.掌握利用根本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或者配凑因式构造根本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等〞的原那么.2.利用根本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或者填空题的形式进展考察,分值约为5分.考点内容解读要求常考题型预测热度不等式的综合应用可以灵敏运用不等式的性质求定义域、值域;可以应用根本不等式求最值;纯熟掌握运用不等式解决应用题的方法掌握选择题填空题解答题★★★分析解读不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2021年高考全景展示1.【2021年卷文】设变量x ，y 满足约束条件那么目的函数的最大值为A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目的目的函数的几何意义确定函数获得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目的函数z ＝ax＋by(ab ≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 2．【2021年文卷】设集合那么A.对任意实数a，B.对任意实数a，〔2,1〕C.当且仅当a<0时,〔2,1〕D.当且仅当时,〔2,1〕【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进展求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考察线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进展判断.设，假设，那么；假设，那么，.3．【2021年卷】假设满足约束条件那么的最小值是___________，最大值是___________．【答案】-28【解析】分析:先作可行域，再平移目的函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影局部所示，那么直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的本质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比较，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界处获得.4．【2021年卷文】，且，那么的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用根本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或者和为定值；三相等——等号能否获得〞，假设忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2021年文卷】假设x,y满足，那么2y−x的最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目的函数的几何意义，可知当时获得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如以下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考察线性规划，求线性目的函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.6．【2021年卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，那么的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用根本不等式求最值.点睛：在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.7．【2021年全国卷Ⅲ文】假设变量满足约束条件那么的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目的函数在直线与的交点〔2，3〕处获得最大值3，故答案为3.点睛：此题考察线性规划的简单应用，属于根底题。

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专题15 不等式性质，线性规划及基本不等式考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景理解2017山东,7;2016北京,5;2013陕西,10选择题★★☆分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.平面区域问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组理解2016浙江,3;2016山东,4;2015课标Ⅰ,15;2014课标Ⅰ,9选择题填空题★★★2.线性规划问题会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决理解2017课标全国Ⅱ,5;2017课标全国Ⅰ,14;2017课标全国Ⅲ,13;2016课标全国Ⅲ,13选择题填空题★★★分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查及平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.分析解读不等式的性质及函数、导数、数列等内容相结合,解决及不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2018年高考全景展示1．【2018年理数天津卷】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大. 2．【2018年理新课标I卷】已知集合，则A. B.C. D.【答案】B点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出，得到的范围，进而可得结果。

详解：.，，,即，又，即，故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。

4．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意及约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.5．【2018年理数天津卷】已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6．【2018年理北京卷】若x,y满足，则2y−x的最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.7．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 8．【2018年理新课标I卷】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】6【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.9．【2018年理数全国卷II】若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】9【解析】分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.详解：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.点睛：线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.2017年高考全景展示1.【2017课标II，理5】设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y=+的最小值是（）A．15- B．9- C．1 D．9【答案】A【解析】试题分析：绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：2y x z=-+，其中z表示斜率为2k=-的直线系及可行域有交点时直线的截距值，数形结合可得目标函数在点()6,3B--处取得最小值12315z=--=-，故选A。

【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大。

2.【2017天津，理2】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1（C ）32（D ）3 【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，选D. 【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题. 3.【2017山东，理4】已知x,y满足x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x ，则z=x+2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）6 【答案】C【解析】试题分析：由x y 3x y ⎧-+≤⎪+≤⎨⎪+≥⎩30+5030x 画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线3x +y 50=+及x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为3245z =-+⨯=，选C.【考点】简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．4.【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+ （C ）()21log 2aba ab b+<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+< 【答案】B【考点】1.指数函数及对数函数的性质.2.基本不等式.【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.5.【2017课标3，理9】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.6.【2017北京，理4】若x，y满足32xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，，则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y=+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C时，目标函数取得最大值max 3239z=+⨯=，故选D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y x bb=-+，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+- ；（3）斜率型：形如y bz x a-=-，而本题属于截距形式.7.【2017浙江，4】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x z 2+=的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)∞+D ．[4，)∞+【答案】D 【解析】试题分析：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值4，无最大值，选D ．【考点】简单线性规划【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0≥++C By Ax 转化为b kx y +≤（或b kx y +≥），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还y是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．8.【2017天津，理8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616- （C）[- （D）39[]16-【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)，当1x ≤时，(*)式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤，当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x --=-+≤-x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤，综上47216a -≤≤．故选A ．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围.9.【2017课标3，理13】若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y =-的最小值为__________. 【答案】1- 【解析】试题分析：绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：3144y x z =-，其中z 表示斜率为34k =的直线系及可行域有交点时直线的截距值的14- 倍，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点()1,1A 处取得最小值341z x y =-=-.【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.10.【2017天津，理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b R a b ab ∈+≥ ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，2a b ab +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.11.【2017课标1，理13】设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 . 【答案】5- 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小所以，当直线直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值所以z 取得最小值为3(1)215⨯--⨯=- 【考点】线性规划.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标1卷】若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C 【解析】试题分析：用特殊值法,令3a =,2b =,12c =得112232>,选项A 错误,11223223⨯>⨯,选项B 错误,2313log 2log 22<,选项C 正确,3211log log 22>,选项D 错误,故选C ．考点：指数函数及对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.2.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ，则│AB │=（）A ．22 B．4 C ．32 D ．6 【答案】C考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．3.【2016年高考北京理数】若x，y满足203x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】试题分析：作出如图可行域，则当yxz+=2经过点P时，取最大值，而)2,1(P，∴所求最大值为4，故选C.考点：线性规划.【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值及最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z的大小变化，得到最优解.4. 【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100【答案】D【解析】试题分析：举反例排除法：A.令10,110===-a b c，排除此选项，B.令10,100,0==-=a b c，排除此选项，C.令100,100,0==-=a b c，排除此选项，故选D．考点：不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．5. 【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足22(1)(1)2x y-+-≤，q：实数x，y满足1,1,1,y xy xy≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p是q的( )（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q中不等式组表示的平面区域ABC∆在命题p中不等式表示的圆盘内，故选A.6.【2016高考山东理数】若变量x，y满足2,239,0,x yx yx则22x y的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,22x y+表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC=,故选C.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.7.【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件20,2360,3290.x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y=+的最小值为（）（A）4-（B）6 （C）10 （D）17【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C，直线z25x y=+过点B时取最小值6，选B.考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.8. 【2016高考新课标3理数】若,x y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y=+的最大值为_____________. 【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点1(1,)2A 时取得最大值，即max 13122z =+=．考点：简单的线性规划问题．【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．9.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ① 目标函数2100900z x y =+. 二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ② 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900z y x =-+经过点M 时,z 取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.【名师点睛】本题考查充分性及必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往及函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件及结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．。