算法课程设计资料

吉林财经大学课程设计报告

课程名称：算法课程设计

设计题目：插棒游戏

所在院系：管理科学与信息工程学院计算机科学与技术

指导教师：

职称：副教授

提交时间： 2017年4月

目录

一、题目描述与设计要求 (1)

1 题目描述与设计要求 (1)

二、问题分析 (1)

1 解空间 (1)

2 解空间结构 (2)

3 剪枝 (2)

4 回溯法的基本思想 (2)

5 回溯法的适用条件 (3)

6 回溯法的空间树 (4)

7 回溯法的基本步骤 (4)

三、算法设计 (5)

1 伪代码 (5)

四、复杂性分析 (6)

1 时间复杂度 (6)

2 空间复杂度该 (6)

五、样本测试、分析与总结 (6)

1 样本测试 (6)

2 分析 (7)

2.1、数据类型 (7)

2.2 主要函数思路 (7)

2.3 回溯 (8)

3 总结 (8)

参考文献 (9)

附录 (10)

一、题目描述与设计要求

1 题目描述与设计要求

这个类似谜题的游戏在等边三角形的板上布置了 15 个孔。在初始时候，如下图所示，除了一个孔，所有孔都插上了插棒。一个插棒可以跳过它的直接邻居，移到一个空白的位置上。这一跳会把被跳过的邻居从板上移走。设计并实现一个回溯算法，求解该谜题的下列版本：

a.已知空孔的位置，求出消去 13 个插棒的最短步骤，对剩下的插棒的最终位置不限。

b.已知空孔的位置，求出消去 13 个插棒的最短步骤，剩下的插棒最终要落在最初的空孔上。

图1

二、问题分析

1 解空间

由于棋盘的对称性，棋盘在变化的过程中会形成多个同构的状态。

例如初始状态时，空孔只有一个，共有15种基本状态。如图2 所示，任意状态与空孔位置在其它的与该空孔颜色相同的点处的状态是同构的，它们可以通过沿中位线翻转和旋转60o 互相转换。也就是说，空孔所在位置的颜色相同的个状态是同构的。如空孔位置在顶点处的三个状态，他们仅通过旋转60o的操作即可互相转换。

图2

同构的状态要么都无解，要么有相同数量的解，且他们的解可以根据同构对应变化得到。

本题所描述的问题可能无解，也可能有多个解，且同构状态的解也有一定关联。

2 解空间结构

分析整个游戏的过程，发现每合法地走出一步，棋盘上就会少一个棋子,故当该问题有解时，最后都需要走13步。如果无解，必然小于或等于13步。因此，我们的状态树的深度将达到13层，每一个点的分支数量不确定。

3 剪枝

考虑到深度确定这一点，在剪枝的时候就不能用”最短步数”这一个限制条件了。由于对称性，当一个状态被证实无解时，该状态的旋转、对称变换后的同构体也必然无解。因此，可以利用这一特性，对已经证实无解的状态不再探索而减少不必要的试探。

4 回溯法的基本思想

回溯法又称试探法，它采用试错的思想，尝试分步的去解决一个问题。在分步解决问题的过程中，当它通过尝试发现现有的分步答案不能得到有效的正确的解答的时候，它将取消上一步甚至是上几步的计算，再通过其它的可能的分步解答再次尝试寻找问题的答案。回溯法通常用最简单的递归方法来实现，在反复重

复上述的步骤后可能出现两种情况：

找到一个可能存在的正确的答案，在尝试了所有可能的分步方法后宣告该问题没有答案。

回溯法的本质是深度优先搜索，是一种组织得井井有条的、能避免不必要重复搜索的穷举式搜索算法。在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果（可能）包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法。若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

5 回溯法的适用条件

可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，x n）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，x n）∣x i∈S i，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中S i是分量x i的定义域，且 |S i| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。

解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。

我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2，…，x i）满足D中仅涉及到x1，x2，…，x i的所有约束意味着j（j<=i）元组（x1，x2，…，x j）一定也满足D中仅涉及到x1，x2，…，x j的所有约束，i=1，2，…，n。换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得（x1，x2，…，x j）违反D中仅涉及到x1，x2，…，x j的约束之一，则以（x1，x2，…，x j）为前缀的任何n 元组（x1，x2，…，x j，x j+1，…，x n）一定也违反D中仅涉及到x1，x2，…，x i 的一个约束，n≥i≥j。因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，…，x j）违反D中仅涉及x1，x2，…，x j的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，x j）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，x j，x j+1，…，