离散数学--第五章 集合论初步

Dr Chen Guangxi
注意该例子 的方法
容斥原理 (principle of inclusion-exclusion)

设A1，A2，…，An是n个集合，则A A A A
i i 1 i 1 i i j i
n
n
j

i j k
A A
i
j
Ak
(1) n 1 A1 A2 An
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子集(subset)
1）设A，B是两个集合,若A的每个元素都是B的元素, 则称A是B的子集,也称B包含A,或A包含于B,记作A B 或B A 。 2）若AB,且AB，则称A是B的真子集(proper subset), 也称B真包含A,或A真包含于B,记作AB,或B A 。 3）若A B且A B,称A和B相等,记作A=B。 定义符号化为:
任意集合S,
定义S+ = SS
称S+为S的后继。
自然数 无穷公理

0= ,1=0+,2=1+, n+1=n+



0,1,2,…,可看作是自然数符号，也是用空集与后继表示的 集合。 自然数集是利用后继定义的无穷集合。 用N表示自然数集。


这是一种归纳性质。 称集合A是归纳集，若A具有如下性质: Ax(xAx+A) 无穷公理: 存在一个归纳集。 A(Ax(xAx+A))
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续
可考虑文氏图方法解决。
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罗素悖论(Russell’s paradox)

1.
2.
设集合S={A|A是集合，且AA} 若SS，则S是集合S的元素，则根据 S的定义，有S S，与假设矛盾； 若SS，则S是不以自身为元素的集合， 则根据S的定义，有SS，与假设矛盾；
称为包含排斥原理，简称容斥原理。
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证明思路
1)
2)
3)
任取一个xA1… An,讨论x在右边计 算的次数。 假设x只在k个集合中出现，于是在 |Ai|被计算Ck1次；在|Ai Aj|被计算 Ck2次；…,在k+1个以上的交集肯定不 含x了，计算0次； 按照右边计算，总次数为: Ck1－Ck2＋…＋(－1)k-1Ckk =Ck0－(Ck0－Ck1+Ck2＋…＋(－1)kCkk) =1－(1－1)k =1.
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续
A B ( A B) ( A B) ( A B) ( A B)
( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) ( A B)

谓词描述
用谓词表示集合中元素的性质
A={x|x是偶数}
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集合的表示

文氏图Venn Diagram 用一个大的矩形表示全集，在矩形内画一些圆 或其它的几何图形来表示集合，也可用一些点 来表示集合中的特定元素。
A
E
常见集合: N Q R C Z I Q+ R+ Q- R- Nm Zm Im E(全集) 空集： 不含任何元素的集合称为空集。
AB且BA。

集合与集合之间是包含与否，元素与集合之 间是属于与否。
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有限集、幂集power set




称含有限个元素的集合为有穷集。用|A| 表示A中的元素个数。若|A|=n，则称A为 n元集。(集合元素个数也叫基数、势) n元集合的k元子集有几个? 设A为一个集合，称A的全部子集组成的 集合为的幂集, P(A) 或 2A n元集合A的幂集有多少元素?
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例


例5.1.1 设A={{}，0，1}，计算A的幂集。 解：P(A)= {, {{}},{0},{1}, {0,{}},{1,{}},{0,1}, {{},0,1} } 例5.1.2 证明AB的充要条件P(A)P(B)。 证明:


充分性。 xA，有{x}A。由P(A)P(B)有{x}B，所以xB， 即 AB。 必要性。 CP(A)，有CA。因为AB，所以CB。因此CP(B)。 即 P(A)P(B)。
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集合的元素
Member / Element
组成一个集合的那些成员称为这个集合的 元素。 用a, b, c,…表示集合中的元素
Belong to
a是集合A的元素，记以aA； a不是集合A的元素，则记以aA。
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集合的表示

列举
将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素 以反映集合中元素的特征。 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} B={a,aa,aaa,aaaa,…}

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例题




例: AB= AC B=C 证明 xB希望证明xC。分两种情况： (1) xA。所以有xAB，所以 xAB。 由已知而得xAC。由此有xC (否则若xC,得 xA-CxAC，矛盾)。 BC (2) xA。所以xB-AxAB，由已知 AB=AC,所以xAC xA-C或xC-A 因xA,xA-C,于是xC-AxC。BC 同理，xC，类似可证xB，CB 因此B=C。


3种语言都学过的人数为多少？ 只学过日语，只学过法语，只学过英语的人数各为多少？ 至少学过以上3种语言中的两种语言的人数为多少？ 只学过日语和法语，只学过日语和英语，只学过法语和英 语的人数各为多少？
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例(续)
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例(续)
其余两种情形类似，课堂练习！
3.
理发师的趣事
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克罗内克 自然数
上帝创造了自然数，其余一切都是人创造的。
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冯•诺依曼 自然数
0:= 1:={}=0{0} 2:={,{}}=1 {1} 3:={,{},{,{}}}=2{2} …
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数学归纳法原理

数学归纳法原理:如果自然数集N的子集S满足

1),0S 2),对任意元素aN由aSa+S,则S=N。

用数学归纳法证明所有自然数具有性质P时,推 理步骤如下:


1)归纳基础：证P(0)真，即证明数0有性质P。 2)归纳过程：对任意k(≥0)假设P(k)真时，推出 P(k＋l)真。 3)结论：所有自然数具有性质P。
B A x( x B x A) B A x( x B x A) x( x A x B) B =A ⇔ x( x ∈B ↔ x ∈ A) ∀
B不等于A如何符号化?
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例

1) 设A={2,4,6,8} ，B= {x|x是正偶数}，
C={x|x是整数},则有A B，B C，
AC,并且A B，B C，A C 。

2) A如上定义, A有几个子集?
Dr Chen Guangxi
重要结论

对任意集合A, 有A A。

空集是任意集合的子集，且空集是唯一的。
(如何证明?)

对于任意两个集合A、B，A=B的充要条件是
A
B
A
- B={x| xA x B}
Dr Chen Guangxi
对称差
A
B
AB={x| (xA x B) ( xB x A)}
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绝对差(余集 Complement)
A
~A = {x| x A}
Dr Chen Guangxi
广义交集、广义并集

学习建议:


Dr Chen Guangxi
康托
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罗素
(G. Cantor，1845-1918) （B. Russel，1872-1970）
Dr Chen Guangxi
集合是什么? Set “所要讨论的一类对象的整体” “具有同一性质单元的集体” “一些事物汇聚在一起” 常用大写的英文字母A, B, C,……表示 1. 教室里所有的学生 2. 13路公交车 3. 桂电的年轻教师 ??
Dr Chen Guangxi
例

例5.1.5 见教材。 例5.1.6 对100名技术人员的调查结果表明，有32人 学过日语，20人学过法语，45人学过英语。又其中 有15人既学过日语又学过英语，7人既学过日语又 学过法语，10人既学过法语又学过英语。30人没学 过这3门语言的任何一种。

离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第五章: 集合论初步

目标:


掌握集合基本概念 熟练运用集合定律
对比中学数学中关于集合的各种性质 注意结合其他课程关于集合、数列、归纳法 等的应用 注意逻辑与形式化描述方法 勤做练习
Dr Chen Guangxi
良序 归纳法

自然数集合的任意非空子集都有最小元素。
例5.2.1 定义集合 An={mN|nm}. 定义J={An|nN}{}. 则任意多个An的并运 算在J上是封闭的。 证明: 显然ik时有AiAk.于是 对J中任取若干元 素，设下标构成集合为M。由于M是自然数集 的子集，因此存在最小元素，设为p. 于是M中 任意元素k,都有pk.因此 ApAk 从而,下标在M中的所有集合之并= ApJ.