经济数学方法
经济学中的数学应用
经济学中的数学应用经济学作为一门社会科学，旨在研究资源的分配和利用，以及经济行为的原理和规律。
而数学作为一种工具，被广泛应用于经济学中，用于构建和分析经济模型、实证研究、决策分析等方面。
本文将介绍经济学中数学应用的几个方面。
一、微积分在经济学中的应用微积分是数学的一个重要分支，也是经济学中最常用的数学工具之一。
通过微积分的理论和方法，可以描述和分析经济学中的变化和增长，以及相关的边际效应。
例如，通过微积分可以计算出边际成本、边际效用、边际收益等概念，从而帮助经济学家做出决策。
二、线性代数在经济学中的应用线性代数是数学中的一门重要分支，它研究向量、矩阵和线性变换等内容。
在经济学中，线性代数被广泛应用于构建和求解经济模型，以及进行经济计量分析等方面。
例如，线性回归模型就是经济学中常用的模型之一，通过线性代数的方法可以对回归模型进行建模和求解，从而进行经济数据的分析和预测。
三、概率论与统计学在经济学中的应用概率论与统计学是经济学中不可或缺的数学工具，它们用于描述和分析经济现象中的不确定性和随机性。
概率论研究随机事件的规律和性质，而统计学则研究如何通过样本数据来进行推断和决策。
在经济学中，概率论与统计学可以用于进行经济数据的分析和推断，帮助经济学家理解和解释经济现象，并进行经济政策的评估和决策。
四、优化理论在经济学中的应用优化是数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，使目标函数达到最优值。
在经济学中，优化理论被广泛应用于经济决策和资源配置等问题的分析和求解。
例如，最优化理论可以帮助经济学家确定最优的生产方案、消费方案、投资方案等，从而提高资源利用效率和经济绩效。
总之，数学在经济学中发挥着重要的作用，通过数学的方法和工具，可以更加准确地描述和分析经济现象和经济行为。
微积分、线性代数、概率论与统计学以及优化理论等数学学科在经济学中的应用，使经济学家能够更加科学地研究和解决经济问题，为经济发展和社会进步做出贡献。
经济数学知识点总结
经济数学知识点总结一、函数与极限1、函数11 函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数x∈D，按照一定的法则f，变量y 总有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。
111 函数的定义域：使函数有意义的自变量取值的集合。
112 函数的值域：函数值的集合。
113 函数的性质：有单调性、奇偶性、周期性、有界性等。
114 基本初等函数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
115 复合函数：设 y ＝ f(u)，u ＝φ(x)，则称 y ＝fφ(x)为复合函数。
116 反函数：设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
对于y∈R，在 D 中存在唯一确定的 x 与之对应，这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f^（－1)（y)。
2、极限21 数列的极限：对于数列{xn}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜xn A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列{xn}的极限，记作lim(n→∞） xn ＝ A。
211 函数的极限：当自变量 x 趋于某个值 x0 （或趋于无穷大）时，函数 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当 x 趋于x0 （或趋于无穷大）时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A 或lim(x→∞）f(x) ＝ A 。
212 极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。
213 极限的运算法则：包括四则运算、复合函数的极限法则。
二、导数与微分1、导数11 导数的定义：设函数 y ＝ f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx （点 x0 ＋Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy ＝ f(x0 ＋Δx) f(x0) ；如果Δy 与Δx 之比当Δx→0时的极限存在，则称函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数，记作 f'（x0) 。
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
经济数学·线性代数：解题方法技巧归纳
常见的解题方法技巧：
1.高斯消元法：用于解决线性方程组的方法，通过
消去未知数的系数，使方程组的每一行的未知数
只有一个。
2.高斯-约旦消元法：用于解决线性方程组的方法，
通过消去未知数的系数，使方程组的每一行的未
知数只有一个，并通过交换方程的顺序来解决无
解或多解的情况。
3.矩阵消元法：用于解决线性方程组的方法，将方
程组写成矩阵形式，通过消去未知数的系数，使
矩阵的每一行的未知数只有一个。
4.高斯-约旦分解法：用于解决线性方程组的方法，
通过将方程组写成两个矩阵的乘积的形式。
5.广义逆矩阵法：用于解决线性方程组的方法，通
过求出矩阵的广义逆（也叫做伪逆），将方程组写
成矩阵的形式，求解未知数的值。
6.矩阵的特征值与特征向量：用于解决矩阵的本征
值问题的方法，通过求解矩阵的特征方程，求得
矩阵的特征值与特征向量，并利用它们来求解其
他问题。
7.奇异值分解：用于解决矩阵的奇异值分解问题的
方法，将矩阵分解为三个矩阵的乘积的形式，并利用它们来求解其他问题。
8.广义逆矩阵的求法：用于求解矩阵的广义逆（也叫做伪逆）的方法，包括计算机辅助的方法和数学计算的方法。
经济数学微积分函数的最大值和最小值及其在经济中的应用
dR(Q ) dC (Q ) dQ dQ dR(Q ) dC (Q ) 表示边际收益， 表示边际成本 dQ dQ
显然，为使总利润达到最大，还应有
d 2 R(Q ) C (Q ) 0, ( R(Q ) C (Q ) 0) 2 dQ d 2 ( R(Q )) d 2 C (Q ) 即 , ( R(Q ) C (Q )) 2 2 dQ dQ
L(Q ) (d b) 2(e a )Q
由L(Q) 0， 得唯一驻点 Q0 (d b) / 2(e a ) 又L 2(e a ) 0, 故 Q Q0 (d b) / 2(e a ) 时利润最大 , 最大值为 L(Q0 ) L(a b) / 2(e a ) (d b) / 4(e a ) c
例 5 设某商品的单价为 P 时， 售出的商品数量 Q 可表示为
Q a c ，其中 Pb
a,b,c 均为正数，且 a>bc.
（1） 求 P 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少？ （2） 要使销售额最大，P 应取何值，最大销售额是多少？
a c ) 解 (1)销售额 R( P ) PQ P ( Pb c ( P b) 2 ab R( P ) 2 ( P b) ab b 令R( P0 ) 0, 得P0 b ( a bc ) c c P 2 16160 P 649000 L( P ) 160 P 16160 令L( P ) 0得P 101且是唯一极值点， 又因L(101) 160 0, 故当P 101元时， L( P )有最大值，且最大值为
L(101) 167080 (元)
x 2
解 (1) R( x ) P x 10x e
经济学中的数学与统计方法
经济学中的数学与统计方法经济学是研究人类资源配置和决策过程的一门社会科学，它运用数学和统计方法来解决经济问题，并深刻影响了整个经济学领域。
数学和统计方法在经济学中的应用，不仅仅使经济模型的建立更加准确和可靠，还在经济决策、经济政策制定和经济预测等方面发挥着重要作用。
一、经济学模型中的数学应用经济学模型是描述和分析经济现象的理论框架，通过数学表达可以更加精确地描述经济关系和行为规律。
微观经济学中最常用的数学方法包括微积分和最优化原理。
微积分可以帮助经济学家研究经济个体的供给和需求关系、市场的均衡价格，以及市场供求失衡时的调整过程。
最优化原理则是研究经济个体如何选择最优决策，如最大化效用或利润。
这些数学方法帮助经济学家建立了各种经济学模型，如供需模型、消费者行为模型和企业生产模型等。
另外，在宏观经济学中，数学方法也发挥着重要的作用，特别是动态随机一般均衡模型（DSGE）。
DSGE模型通过微分方程和差分方程等数学工具，分析宏观经济系统中的稳定性、经济波动和经济政策效果等。
数学方法的应用使得宏观经济学可以更加深入地研究宏观经济问题，并对经济政策提出更具说服力的建议。
二、经济数据的统计分析经济学是一门实证科学，统计方法为经济学家提供了分析经济数据的重要工具。
经济学家通过收集和整理大量的经济数据，运用统计方法来研究经济现象和进行经济预测。
统计学提供了一系列描述和分析数据的方法，如中心位置度量、离散程度度量和相关系数等。
通过这些统计方法，经济学家可以了解经济变量的平均水平、变化范围和相互关系。
同时，统计学还提供了假设检验和回归分析等方法，让经济学家能够进行经济假设的验证和经济关系的建模。
这些统计方法帮助经济学家从大量的经济数据中提取出有用的信息，并对经济问题做出科学的分析和判断。
三、实证经济学中的计量经济学方法计量经济学是运用统计工具来估计经济关系和检验经济理论的方法学。
计量经济学方法为经济学家提供了评估经济政策和经济理论有效性的工具。
经济数学模型的理论与方法课程设计
经济数学模型的理论与方法课程设计摘要本文主要介绍了经济数学模型的理论与方法。
经济数学模型是经济学中研究经济现象的一种工具，它可以帮助人们研究经济规律，预测经济运行趋势，制定经济政策等方面。
本文将从数学模型的基本概念、构建与求解方法、应用和局限性四个方面来对经济数学模型进行探讨。
正文数学模型的基本概念数学模型是指将现实社会中的问题抽象成数学形式来进行研究的一种工具。
数学模型包括数学公式、方程和图表等形式。
数学模型的方法是通过数学公式和方程式来表述社会现象，使人们能够将经济学中的现象和过程描述成数学问题，并且通过数学方法进行求解和分析，得出适当的经济结论。
经济数学模型是在经济学领域中建立的一种数学模型。
它可将经济学现象、经济规律和经济行为，基于数学的方法表达出来，以此为基础能够准确的分析和预测经济状况。
经济数学模型的构建和研究，是经济学研究中的重要工具之一。
数学模型的构建与求解方法经济数学模型的构建和研究，需要遵循一定的数学规律和一些基本的经济现象。
根据经济现象的不同，经济数学模型可分为微观经济模型和宏观经济模型。
前者主要研究个体行为和市场表现，后者则主要研究整个经济体制的表现和预测。
经济数学模型的构建过程中，需要解决的首要问题是确定被研究的问题和需要表示的经济现象。
然后选择合适的数学模型进行建模。
数学模型的建立需要确定变量、函数、假设和数据等，建模者需要根据基本经济规律及经验和已知数据，分析各种可能性，寻找相应的数学表达式。
数学模型建好以后，要选取合适的方法对经济模型进行求解，比如微积分、矩阵论和最优化理论等。
数学模型的应用经济数学模型的应用面非常广泛，它可以用来进行国民经济发展预测的模拟计算、政策评估计算、产业结构优化分析等。
由于经济数学模型的精度和模拟效果比较可靠，因此经济数学模型在经济学中得到了广泛的应用。
在银行金融领域，经济数学模型可以用于分配信贷、拟定投资方案等；在制造业、农业中经济数学模型可以用于企业的决策、城市规划等；在管理领域中，经济数学模型可以用于人力资源管理、生产与运营管理等方面。
数理经济学的基本方法
数理经济学是一门研究经济问题的综合性学科，它结合了数学、经济学和计算机科学的方法，以及其他社会科学的理论和技术，旨在分析、研究和解决经济问题。
下面介绍数理经济学的基本方法。
一、数理经济学的抽象模型数理经济学采用抽象模型来描述经济系统的运作，这些模型可以帮助我们理解经济系统的运作机制，从而更好地解决实际的经济问题。
抽象模型的基本构成是经济变量、经济关系和经济机制。
经济变量是指经济系统中的可测量变量，如价格、收入、利润等；经济关系是指经济变量之间的关系，如供求关系、收入和消费之间的关系等；经济机制是指经济变量之间的相互作用，如市场竞争机制、政府干预机制等。
抽象模型可以采用数学方法来表达，如线性规划、动态规划等，也可以采用计算机模拟的方法来表达，如智能体模型、混合模型等。
通过这些模型，可以更清晰地描述经济系统的运作机制，从而解决实际经济问题。
二、数理经济学的实证分析实证分析是数理经济学的重要方法，它是通过实证研究，利用实际观测数据，建立经济模型，以及对模型进行验证和检验，以探索经济现象的规律，从而解决实际的经济问题。
实证分析的基本步骤包括：首先，确定研究的目的和研究的对象；其次，收集有关的观测数据；然后，建立实证模型；最后，对模型进行验证和检验，以探索经济现象的规律。
实证分析的方法可以分为统计分析和计量分析两大类。
统计分析是指利用统计方法，如回归分析、卡方检验、协方差分析等，来探索经济现象的规律；而计量分析是指利用计量经济学的方法，如模型拟合、概率分析等，来探索经济现象的规律。
三、数理经济学的模拟分析模拟分析是数理经济学的另一种重要方法，它是通过模拟经济系统的运作机制，以及模拟经济系统中的各种经济变量，来探索经济现象的规律，从而解决实际的经济问题。
模拟分析的基本步骤包括：首先，确定研究的目的和研究的对象；其次，建立模拟模型；然后，模拟经济系统的运作机制；最后，模拟经济系统中的各种经济变量，以探索经济现象的规律。
专科大一经济数学知识点
专科大一经济数学知识点经济数学是应用数学与经济学的交叉学科，是研究经济问题的数学方法和技术。
对于专科大一经济学专业的学生来说，学好经济数学，掌握相关的知识点是非常重要的。
本文将介绍几个专科大一经济数学的重要知识点，供学生们参考学习。
一、微积分微积分是经济数学的基础，是研究物理、经济、社会等问题的一种重要工具。
在经济学中，微积分可用于分析边际效应、弹性、最优化等经济现象。
学生们需要掌握微积分的基本概念、导数和积分的计算方法，以及微分方程的应用等。
1. 导数导数是函数在某一点处的变化率，描述了函数的瞬时变化情况。
在经济学中，导数常常代表着边际效应。
学生们需要掌握导数的基本概念和计算方法，能够理解边际效应的概念和应用。
2. 积分积分是导数的逆运算，表示累积变化量。
在经济学中，积分常常用于计算总量，如总利润、总收益等。
学生们需要掌握积分的基本概念和计算方法，能够进行相关经济问题的积分计算。
3. 微分方程微分方程是描述变量之间关系的数学方程，经济学中许多经济模型可以用微分方程来描述。
学生们需要学习常见的线性微分方程，能够利用微分方程进行经济问题的建模和求解。
二、线性代数线性代数是应用数学中的一个重要分支，用于描述多个变量之间的线性关系。
在经济学中，线性代数常常用于解决多元方程组、矩阵运算等问题。
1. 线性方程组线性方程组是多个线性方程的组合，用于描述多个变量之间的线性关系。
学生们需要学习线性方程组的解法，包括高斯消元法、矩阵法等，以解决经济学中的多元方程组问题。
2. 矩阵和行列式矩阵和行列式是线性代数中的基本概念，用于表示线性方程组和线性变换。
在经济学中，学生们需要学习矩阵的基本运算规则、矩阵的逆、矩阵的秩等，以应用于经济学问题的求解和分析。
三、概率论与数理统计概率论与数理统计是研究不确定性和随机现象的数学分支，在经济学中应用广泛。
学生们需要学习概率论的基本概念和计算方法，以及数理统计的基本理论和应用。
1. 概率分布概率分布是描述随机变量取值的概率规律的数学函数。
经济数学微积分任意项级数的绝对与条件收敛
注意：
1.莱布尼茨判别法是判定级数收敛的充分而非 必要条件；
2.判定
的方法
二、绝对收敛与条件收敛
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
问题 如何研究任意项级数的敛散性问题？ 任意项级数的各项取绝对值
任意项级数
绝对值级数—正项级数
任意项级数的敛散性的情形：
定理 若
证明
收敛，则 收敛.
收敛，由比较审敛法， 收敛.
经济数学——微积分
6.3 任意项级数的绝对与条件收敛 一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结
一、交错级数及其审敛法
定义 正、负项相间的级数称为交错级数.
定理 （莱布尼兹审敛法）
如果交错级数
满足下列两个条件：
则交错级数
收敛，且它的和
证明
解 ∴由莱布尼兹审敛法，级数收敛.
解 原级数收敛.
思 路
敛 （绝对收敛与条件收敛）
法 （5）级数收敛的必要条件
解 由比较审敛法 故由定理知原级数收敛.
例4 判别下列级数的敛散性
解 （1）其绝对值级数发散
而
由莱布尼兹审敛法，级数条件收敛.
（2）
发散，
Hale Waihona Puke 故级数发散.解三、小结
任 （1）级数收敛和发散的定义
意 （定义判别法）
审
项 （2）级数的性质
敛
法
级 （3）交错级数
选
数 （莱布尼兹审敛法）
择
审 （4）绝对值级数
经济数学第一章极限与连续
3x 1,
例
2 设函数
f
(x)
1,
2 x ,
x0 x 0 ，求定义域和函数值 f (1) 、 f (0) 、 f (4) ， x0
并作出此函数的图像．
解 函 数 的 定 义 域 D ,， f (1) 3 1 1 2 ， f (0) 1，
f (4) 24 16 ．图像如图 1.2 所示．
关系相同，那么它们就是相同的函数，与自变量和因变量用什么字母表示无关．
2.分段函数
有些函数对于定义域内的自变量 x 的不同的值，不能用一个统一的解析式表示出来，而
要用两个或两个以上的解析式来表示，这种在自变量的不同取值范围内用不同的解析式表示
的函数，称为分段函数．
例 1 我国寄到国内（外埠）信函的邮资标准是：首重 100 克内，每重 20 克（不足 20
y 按照某种对应关系，都有唯一确定的值与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记作
y f (x), x D,
其中 x 叫做自变量， y 叫做因变量． x 的取值范围 D 称为函数的定义域，而数集
f (D) y | y f (x), x D
称为函数 y f (x) 的值域．当 x x0 时，与 x0 相对应的 y 值称为函数值，记作 y xx0 或 f (x0 ) ．
第一章 极限与连续
函数是现代数学最基本的概念之一．它不仅是初等数学的主要内容，也是高等数学研究 的主要对象．微积分学是研究函数关系的一门数学学科．极限方法是微积分学的基本方法， 微积分学中的许多概念都是在极限概念的基础上建立的．连续性是函数的重要性态，微积分 学是以连续函数作为主要研究对象的．
本章在中学的基础上，进一步学习函数的有关内容和经济问题中的常见函数，学习函数 极限的概念及其运算，讨论函数的连续性，为学习微积分打下基础.
经济学论文容易用的模型
九个基本经济数学模型：1、边际分析模型：边际成本：设成本函数为：C=C(q) (q是产量)则边际成本：表示产量为q时生产1个单位产品所花费的成本。
边际收益：设需求函数为P=P(q) (q是产量，P是价格)则收益函数为：R=R(q)=q﹒p(q)边际收益为：表示销售量为q时销售1个单位产品所增加的收入。
边际利润：设利润函数L=L(q)=R (q)-C(q) 则边际利润ML=L’(q)= 边际利润ML=L’(q)表示销售量为q时销售点1个单位产品的所增加的利润。
2、弹性分析模型：需求价格弹性：设需求函数q=q(p)，q是需求量，P是价格。
则需求价格弹性：当价格上升百分之一时，需求量减少百分之一；当价格下降百分之一时，需求量上升百分之一需求收入弹性：需求量是收入的（单增）函数，q=q(R),q是需求量，R是收入，则需求收入弹性当收入增加百分之一时，需求量增加百分之；当收入减少百分之一时，需求量减少百分之3、最大利润模型：设总利润L=L(q)=R(q)-C(q)L(q)取得最大利润的必要条件：L(q)取得最大利润的充分条件：4、最优批量模型：（其中：T总成本，Q为每批产量，S为产品的调整准备成本，A为全年产量）得5、线性回归方程：模型设变量x与y存在线性关系，y=ax+b，对n 项实验得n对数据（x1、y1）, （x2、y2）,………(xn、yn)。
可求出则y=ax+b6、线性规划数学模型：1 2 1式称为目标函数，2式称为约束条件x1、x2………, xn称为决策变量，满足2式的一组变量值称为线性规划问题的可行解，使1式达到最大（小）值的可行解称为最大解。
7、投入产出数学模型：投入产出表(略)产出分配平衡方程：（i=1,2,…...,n）投入构成平衡方程：（j=1,2,…...,n）是直接消耗系数设则投入产出数学模型完全消耗系数: 有：8、风险型决策数学模型：1期望值准则如果用A表示各行动方案的集合，N表示各自然状态的集合，P是各状态出现的概率向量，M 是益损值的矩阵，即这时，则决策实质就是求向量E（A）的最大元或最小元对应的行动方案。
经济数学方法-教学大纲
《经济数学方法》教学大纲课程编号：课程类型：（专业课）总学时：48 讲课学时：48 实验（上机）学时：0学分：2适用对象：经济学（实验班）先修课程：微积分、线性代数、初等概率论、微观经济学一、课程的教学目标本课程是经济学实验班的专业基础课，在现代经济学课程体系中具有重要位置，是进一步学习中级和高级微观经济学、宏观经济学及其它专业课的基础。
通过本课程的学习，学生应当知道什么是优化目标，什么是约束条件，什么是优化模型。
了解非线性规划的拉格朗日模型及最优解，影子价格，最大值函数，凸集及分离定理，凹规划，最优性二阶条件，不确定性及动态规划初步。
能够建立初步经济学优化模型，能够读懂经济学经典文献。
二、教学基本要求本课程重点是前八章，即消费者和生产者行为部分。
关于动态和随机部分的第9章到第11章是拓展部分。
本课程虽然讲授经济学的基本数学方法，但是教学重点始终围绕着对经济现象的理解而不是数学证明。
给出的数学证明也为了引起学生对经济学的兴趣和进行进一步的应用。
这是教学过程中必须始终坚持的基本原则。
如何既保持数学的严谨性又不失学生对经济学的兴趣是本课程教学的难点。
因此，本课程讲授中重点讲概念、意义、经济应用等。
我们会不间断地开展课堂讨论，以增加趣味性。
课后学生应当做一些作业以及自学要求的一些文献；课程的考核方式建议采用一些新颖形式，比如面试等（本课程平时成绩占30%，期末考试成绩占70%）。
三、各教学环节学时分配教学课时分配四、教学内容第一章Introduction本章以消费者选择理论为例，通过对需求的局部变化的套利分析，得出最优性条件。
并推广到多商品和多约束情形。
第一节引言第二节套利讨论第三节相切性条件第四节角解第五节收入的边际效用第六节多商品和多约束情形第七节不起作用约束（no-binding constraints）教学重点和难点：微观经济学基本概念，包括边际效用、需求的微观变化、收入的微观变化、价格等概念及约束条件的微观数学解释，并从套利角度理解最优性条件。
经济数学微积分-极限存在准则两个重要极限
边形面积 所构成数
2、
n
…
10
102 103 104 105
…
…
…
数列{xn}是数值不超过3的单调增加数列, 由极限存在准则Ⅱ 可知，该数列存在极限，
其极限就是无理数e=2.71828…
推广形式：
为某过程中的无穷大量 为某过程中的无穷小量
例6 解
例7 解
三、利用无穷小等价替换定理进行极限计算
例1 解
由夹逼定理得
2、单调有界收敛准则
单调增加 单调数列
单调减少
几何解释:
例2 求数列 解
的极限.
由数学归纳法，数列{xn}单调递增. 数列{xn}单调有界
二、两个重要的极限
1、
即
又
当
时，
推广形式：
□为自变量某个变化过程中的无穷小.
例3 求 解 原式= 例4 解
例5 求圆的内接正 列的极限值.
常用等价无穷小:
证明：
例8 解
因此，
例9 解
因此，
例10 解
若分式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可 对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷 小替换，而不会改变原式的极限．
例11 解
注意： 不能滥用等价无穷小替换.一般可 对分子或分母中乘积形式作等价无穷小替 换，对于和差形式中各无穷小一般不能分 别替换.
经济数学——微积分
1.7 极限存在准则两个重要极限
一、极限存在准则 二、两个重要极限 三、利用无穷小替换定理计算极限 四、连续复利 五、小结
一、极限存在准则
1、夹逼准则
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则 I和准则 Iˊ称为夹逼准则.
经济数学微积分极限运算法则
二、求极限方法举例
x3 1 例1 求 lim 2 . x2 x 3 x 5
2 lim x 3 x lim 5 解 lim( x 3 x 5) x 2 lim x2 x2 2 x2
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
x x0
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
x 1
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x2 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
x 2＋ax b 例4 设 lim 2 2, 求a、b. x 1 x 2 x 3 , 而商的极限存在 . 解 x 1时, 分母的极限是零
则 lim( x 2 ax b) 1 a b 0.
第四节
极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0
n
x x0
a0 x0 a1 x0
n 1
a n f ( x0 ).
大一经济数学知识点总结归纳
大一经济数学知识点总结归纳经济数学作为经济学专业中必修的一门基础课程，是为了培养学生运用数学工具解决经济问题的能力而设置的。
在大一的学习过程中，我们通过学习经济数学，逐渐掌握了一些基本的数学方法和技巧。
接下来，我将对大一经济数学的知识点进行总结和归纳。
一、微积分基础知识1. 函数及其图像：函数的定义及其性质，包括奇偶性、周期性等。
函数图像的性质和画法。
2. 极限与连续：极限的概念与性质，包括左极限、右极限及无穷大与无穷小的概念。
连续性的定义及其判定方法。
3. 导数与微分：导数的定义与计算方法，包括常用的求导法则、高阶导数、隐函数求导等。
微分的概念及其应用。
4. 积分与不定积分：不定积分的定义与性质，包括常用的积分法则、分部积分法、换元积分法等。
二、线性代数基础知识1. 行列式与矩阵：行列式的定义与计算方法，包括二阶、三阶行列式的求解。
矩阵的定义、性质及其运算法则。
2. 线性方程组：线性方程组的解的判定方法，包括齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解法。
3. 向量与向量空间：向量的定义与性质，包括向量的线性组合与线性相关性的判定。
向量空间的定义与性质。
三、概率论与数理统计基础知识1. 随机事件与概率：随机事件的概念与性质，包括条件概率、独立事件、全概率公式和贝叶斯定理。
2. 随机变量与概率分布：随机变量的概念及其分类，包括离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布。
3. 数理统计：样本与总体的概念，样本统计量与总体参数的估计方法，包括点估计与区间估计。
四、最优化理论基础知识1. 函数的极值：函数的极值的定义与判定方法，包括极大值点、极小值点及鞍点的判定。
2. 一元函数的优化：一元函数的最大值与最小值的求解方法，包括一元函数的一阶条件与二阶条件的判定。
3. 多元函数的优化：多元函数的最大值与最小值的求解方法，包括多元函数的一阶条件与二阶条件的判定。
五、微分方程基础知识1. 常微分方程：常微分方程的基本概念与解法，包括一阶常微分方程与二阶常微分方程的求解方法。
大一经济数学知识点
大一经济数学知识点大一经济学专业的学生，需要学习一些基础的经济数学知识，这些知识在日后的经济分析和决策中具有重要的作用。
本文将介绍大一经济学专业中的一些重要的数学知识点。
1.微积分微积分是经济学中最基础的数学工具之一。
在经济学领域，我们经常需要进行函数的求导和积分运算。
求导可以帮助我们研究函数的变化率，而积分则可以帮助我们计算函数的面积、求和等。
大一学习微积分的主要内容包括函数的极限、导数和积分运算等。
在经济学中，求导和积分在很多应用中发挥着重要的作用。
例如，求解最优化问题时，我们需要通过求导来确定函数的最大值或最小值。
在计算经济学模型中，我们经常需要进行积分运算来计算变量的累积效果。
2.线性代数线性代数是经济学中另一个重要的数学分支。
线性代数主要研究向量、矩阵和线性变换等概念。
在经济学中，线性代数常用于解决多个变量之间的线性关系。
例如，在经济学模型中，我们经常需要解一个线性方程组来求解多元线性函数的最优解。
线性代数还可以帮助我们理解经济学中的优化理论、投入产出模型等。
3.概率论与数理统计概率论与数理统计是经济学中的另一门重要数学学科。
概率论用于描述随机事件的发生规律，而数理统计则用于分析和推断经济数据的特征和规律。
在经济学中，我们经常使用概率论来进行风险分析和决策评估。
例如，通过概率分布来描述股票价格的变动，或者通过概率模型来评估金融风险。
数理统计则可以帮助我们对经济数据进行抽样、估计和假设检验等。
4.微分方程微分方程是经济学中的一种数学工具，用于描述经济模型中的动态变化过程。
在经济学中，很多经济现象都可以用微分方程来描述。
例如，经济增长模型中的马尔萨斯模型、动态投资模型和经济周期模型等，都是基于微分方程的建模方法。
通过解微分方程，我们可以分析经济变量随时间的变化趋势和稳定状态。
总结：大一经济学专业的学生需要学习一些基础的经济数学知识。
包括微积分、线性代数、概率论与数理统计以及微分方程等。
这些数学知识在经济学中具有广泛的应用，能够帮助我们进行经济分析和决策，并深入理解经济现象的本质和规律。
经济数学导数知识点总结
经济数学导数知识点总结导数的概念导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
具体来说，对于一个函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：\[f'(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}\]其中，\(\Delta x\)表示自变量x的增量。
导数的定义可以解释为在点x处，函数f(x)的变化率。
导数的几何意义是函数在某一点的切线的斜率，也就是说，它描述了函数在该点上的局部线性近似。
导数的应用导数在经济数学中有着广泛的应用。
首先，导数可以帮助我们分析函数的极值。
对于一个函数f(x)，如果f'(x)=0，那么x就是f(x)的极值点。
这样，我们就可以利用导数来判断函数的极大值和极小值，从而进行优化问题的求解。
在经济学中，很多问题都可以被转化成寻找最优解的问题，比如生产成本最小化、利润最大化等问题，这时导数就可以派上用场。
其次，导数可以帮助我们理解经济现象。
经济学中，有一些变量之间存在着一定的关系，比如需求和价格、供给和价格等。
这些关系可以通过函数的导数来加以描述和分析。
比如，如果我们知道某个商品的需求函数，我们就可以通过导数来判断需求的弹性，从而了解价格对需求的影响。
导数还可以帮助我们理解和分析一些经济现象中的特殊现象，比如边际效用递减、边际成本递增等。
最后，导数还可以帮助我们解决一些微分方程。
微分方程在经济学中有着广泛的应用，比如消费函数、投资函数、产出函数等，它们都可以被描述成微分方程。
通过导数的概念，我们可以对这些微分方程进行求解，从而得到一些重要的经济学结论。
导数的计算方法导数的计算方法有很多种，其中最基本的是利用导数的定义进行计算。
对于一个函数y=f(x)，我们可以通过极限的定义来计算它的导数。
除此之外，还有一些基本的导数公式，比如常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、三角函数的导数等。
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經濟數學方法壹、 矩陣與行列式◎定義: m n ⨯-階矩陣為一包括n 列和m 行的數字的方形排列，若以A 代表此矩陣，則m n a a a a a a a a a a A ij nm n n m m ⨯=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(212222111211ΛM ΛM M ΛK例:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=11133111,531321213102B A 分別為43⨯和24⨯矩陣◎定義: 若m n ij m n ij b B a A ⨯⨯==)(,)( 則 m n ij m n ij ij C b a B A ⨯⨯=+=+)()( =C m n ij a A ⨯=)(αα例: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=315212,112312B A 則⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++++-=+227520311152231122B A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+=-84513412315212551015510)1(55B A B AA A A 21123122224624112312112312=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+◎ 定義:若A=()ij a 為m n ⨯矩陣，B=()ij b 為k m ⨯矩陣，則A 和B 的 乘積AB 為k n ⨯矩陣C例: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=130112001,102210B A 求AB 及BA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=130112*********AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅+++++⋅⋅+-⋅+++++1.1)1(00.23.11.00.20.12.01212)1(10.03.21.10.00.22.11.0 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡132172 BA 無法計算 33⨯Θ 32⨯◎ 行列式: Cramer's Rule 已知 1212111b X a X a =+ 2222121b X a X a =+⇒ 2112221112222122211211222121*1a a a a a b a b a a a a a b a b X --==2112221112121122211211221111*2a a a ab a b a a a a a b a b a X --==例:解下列聯立方程式: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--025312121111321X X X⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-⇒032225321321321X X X X X X X X X 9439312121111310122115*1==----=X 923932121151*2-=-=X 1*39219012221511±-=-=X貳、微分◎ 微分公式: )(X f Y =dXdY X x f X X f X f X Y X =∆-∆+='=∆∆→∆)()(lim )(0)(2222X f dX Yd X Y ''==∆∆ ◎ 若R X nX X f R X X X f n n ∈∀='⇒∈∀=-,)(,)(1 ◎ 設)(X f '與)(X g '皆存在:{}dXX dg dX X df X g X f dX d)()()()(±=± {}dXX df X g dX X dg X f X g X f dX d)()()()()()(+=⋅ []乘法公式0)(,)()()()()()()(2≠'-'=⎭⎬⎫⎩⎨⎧X g X g X g X f X g X f X g X f dX d []除法公式 ◎ 鏈鎖律(chain rule): 設函數f 與g 皆可微分)())(())((X g X g f X g f dXd'⨯'=⇒◎ 反函數 (inverse function):設函數f 與g 滿足 f(g(Y))=Y ⇔函數g 為f 之反函數 g(f(X)=X 且g=f 1-⇒ ⎩⎨⎧==--XX f f YY f f ))(())((11◎ 偏微分: ),(),(211121X X f X yX X f y =∂∂⇒= ),(),(212221X X f X yX X f y =∂∂⇒= 例:X Y X dXd6232=+ ◎ 全微分: ),(21X X f y =2211dX X y dX X y dy ∂∂+∂∂= 例: TE=P ⨯QP dQ dP dTE ⨯+⨯=⇒2 ◎ 自然對數(e)與自然指數(ln):性質: (1) 0lim 1)0()(=⇒=⇒=∞→X X x e f e X f 、∞=∞→X X e lim-∞=⇒=⇒=-∞→X f X X f X ln lim 0)1(ln )(、∞=∞→X X ln lim(2)X Xe e dXd = (3)設f '存在)()()()(X fe e dXdX f X f '⋅=⇒(4) R Y X e e e Y X Y X ∈∀⋅=+,, (5) X X ee 1=- (6)0,1ln >∀=X XX dX d x y e x lnx 1 1(7)0,1≠∀=X X X n dx d (8) )(()(X f X f X f n dX d '= (9) Y X Y X ln ln ln +=⋅ (10) Y X YXln ln ln-= (11) X Y X Y ln ln =(12) X e X =ln 且X e X =ln (13) Y X X e Y ln =◎ 切線與射線:給定切線上任一點(X, Y))()(00X f X X X f y '=--⇒射線角度值tan X y =α◎函數的高階導數:⎭⎬⎫⎩⎨⎧=dX dY dX d dX Y d 22、⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2233dX Y d dX d dX y d XX f X X f X X X f X f X f X X X ∆'-∆+'=-'-'=''>∆→)()(lim )()(lim)(00000000◎函數的臨界點及反曲點:(一) 若，不有在X f 或X f ，函數定義域Df X ))((0)()(000'='∈ 則0X X =為函數f 之臨界點(二)函數f 在[]b a ,為嚴格遞增(x 0,y 0)y=f(x) αyxf /(x)>0 f(x 2) Y)()(2121X f X 則f X X <⇒函數f 在[]b a ,為嚴格遞減)()(2121X f X 則f X X >⇒(三)0)(>''X f [][]為上凹b a 函數f在b a X ,,⇔∈∀ 0)(<''X f [][]為下凹b a 函數f在b a X ,,⇔∈∀ ⇔故⇒'f 函數遞增遞減性，⇒''f 函數凹性(四)第一導數檢驗定理:0)(='C f 或不存在C f )(' X<C X>C 切記f ' - + f(C)為局部極小值f ' + - f(C)為局部極大值 f ' - -f ' + + f(C)為非局部極值第二導數檢驗定理: 0)(='C f為局部極小值C f C f )(0)(⇒>'' 為局部極大值C f C f )(0)(⇒<''0)(=''C f 本定理失敗參、積分(一) 不定積分(Indefinite integral)⎰積分值積分函數、dX X 積分符號、f ::)(:⇒ ⎰dX X f )(: 而⇒=')()(X f X F f 為F 之導函數、F 為f 之xyf(C 1)f(C 2)C 2 局部 最小值C 1 局部 最大值反導數故F 為f 之反導數⇒⎰+=)()()(常數K X F dX X f ◎ 性質: {}⎰⎰⎰±=±dX X g dX X f dX X g X f )()()()(⎰C ⎰=dX X f C dX X f )()({})()(X f dX X f dXd=⎰C X f dX X f dXd+=⎰)()( ◎ C X n dX X+=⎰1(二) 定積分 (definite integral)◎ 性質:C b a ⎰ )(a b C dX -=C b a ⎰dX X f C dX X f ba )()(⎰={}dX X g dX X f dX X g X f ba b a b a )()()()(⎰⎰⎰±=± {})()()()()(錯dX X g dX X f dX X g X f b a b a b a ⎰⎰⎰⋅=⋅ []b a C dX X f dX X f dX X f bc c a b a ,,)()()(∈+=⎰⎰⎰f 在X=a 被定義0)(=⇒⎰dX X f a adX X f dX X f ab b a )()(⎰⎰-=0)(0)(≥⇒≥⎰dX X f X 設f b axy f(x)a b ⎰dx x f b a )(肆、齊次函數與尤拉定理(一) n 階齊次函數 (homogeneous function of degree n) ◎ 定義: ),(21X X f y =若0),,(),(2121>∀=λλλλX X f X X f n 則稱為n X X f y ),(21=階齊次函數(二) 尤拉定理 (Euler Theorem)◎定義:若n D O 為H X X f y ...),(21=則211XfX X f ny ∂∂+∂∂=2X ◎ 証明: ),(),(2121X X f X X f n λλλ= 對入微分: ),(2112211X X f n X X f X X f n -=∂∂∂∂+∂∂∂∂λλλλλλλ 令:1=λ),(:212211X X f n X XfX X f =∂∂+∂∂ (三) 齊序函數 (同位函數) (homothetic function)◎ 定義: (一階齊次函數的正單調上升轉換稱之)若 ),(21X X g 為H.O.D 1 且0>='dgdff ),()),((2121X X h x xg f 則y ==稱之。
例: 若有齊次偏好，所得1000元，買40本書，60張CD, 當所得為1500時，而書，CD 價格不變，會買60本書，90張CD伍、古典規劃分析:最適化(Optimization)(一) 未受限制下的極大與極小◎ 單變數函數(X)1. 極大: Max )(X f y =...0)(C O F dX X f dy →='=0)(='=→X f dX dY⇒ ⎩⎨⎧==判斷選一個C O 由S X 個解求得C O 由F X ...2...*2*1 ...02C O S Y d →<→MaxY X X f dXY d dX X f Y d =⇒<''=⇒<''=→*1122220)(0)( 2. 極小:Min )(X f y = ⎩⎨⎧>''='0)(...0)(...X f C O S X f C O F(二) 多變數函數(),21X X 1. ),(21)(X X f Y Max Min =...C O F 0=dY0),(),(2211211=+dX X X f dX X X f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∂∂===∂∂*22122*12111),(00),(0X X X f X Y X X X f X Y...C O S正定Min 全為正Matrix Hession Y d 負定Max 負正相間MatrixHessianY d ⇒⇒<⇒⇒>)(0)(022 0,0222112111122211211>→=><f f f f f f f f f H◎ 有限制條件下之極值分析:Max method LagrangeX X f y →=),(21()Min..t S C X X g =),(21Max Step :1 []C X X g X X f X X L --=),(),(),,(212121λλ ...:2C O F Step01=∂∂X L0),(),(211211=-X X g X X f λ =*1X02=∂∂X L 0),(),(212212=-X X g X X f λ =*2X0=∂∂λL[]0),(21=--C X X g =*λ ...:3C O S Step → L d 2 0><Boarder ⇒ Hessian Matrix⇒正負相間(Max) 全為正 (Min)21222221221112121111g g g g f g f g g f g f F --------=λλλλ陸、古典規劃分析應用:Optimization(1) max )()(Q C PQ Q -=πQ(2) min C=W k r L ⋅+⋅[]K L , 3個主要問題類型),(..L K F Q t s = (3) max f(x)max U(x, y) x or {}y x ,0,0)(≥≥x x g s.t I y p x p y x =+◎ The Structure of an Optimization Problem Max f(x) f(X)=objective function s x ∈ X: choice variables S: feasible set solutions: *X S x x f x f ∈∀≥)()(*Important general problems about the solutions to any optimizationproblem:(1) Existence of SolutionsPropositions: An optimization problem always has a solution if (1) the objective function is “ continuous” (2) the feasible set is “nonempty, close and bounded”(2) Local and Global Optima⎪⎩⎪⎨⎧∈∀≥∈∀≥)(),()(:),()(:*****x Be x x f x f Solution Local S x x f x f Solution GlobalPrepositions: A local maximum is always a global maximum if (1) the objective function is quasiconcave.(2) the feasible set is convex.(3) Uniqueness of SolutionPropositions: Given an optimization problems in which the feasible set is convex and the objective function is nonconstant and quasiconcave, a solution is unique if:(1) the feasible set is strictly convex, or (2) the objective function is strictly quasiconcave, or(3) both(4) Interior and Boundary Optima(5) Location of the Optimum minmax f(x) F.O.C0)(=dxx df X ∈R S.O.C (max )0(min)0)(22<>dx x f d(多變數) 21x x◎ Multivarial Case)(21x x f Y =F.O.C ://2121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇f f x f x f f Gradient vector of fS.O.C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n f fn f f H ........1.........111 Hessian of f j iij x f f ∂∂= now, max f(),21x x C O F .. 01=∂∂x f{}21,x x 02=∂∂x fS.O.C 0212<∂∂x f011<f(負定)0222>∂∂x f(0)()()22211211212222212>⇒∂∂∂>∂∂⋅∂∂f f f f 即x x fx fx f212121*********)(0f f f f f f f >⇒>-⇒212)(f◎ Quadratic Forms and their Signs⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a aa a A 1111 symmetric:ji ij a a =X A X=(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m nn n n m X X a a a a X X 111111..........................)........ =∑∑==ni nt j j i ij x x a 1(1) Negative SemidefiniteR X AX X ''∈∀≤',0 (2) Negative definite 0,0≠∀<'X AX X (3) Positive Semidefinite R X AX X ''∈∀≥',0(4) Positive definite0,0≠∀<'X AX X ex n=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='212221121121)(x x a aa a X X AX X =2222211221112x a x x a x a ++=)()2(2222222112122221112122111122111X a X a a X a a x x a a x a +-++++=221122211211221112111)(X a a a a a x a ax a ++-Negative definite 011<a and022211211>a a a a- Positive definite: 011>a and 022211211>a a a a⇒續 Hessian;H is negative definite if 212121111,0f f f f >< 022<fH is positive definite if 212121111,0f f f f >> 022<fGeneral CaseX ' A X =(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n nn n n n x x a aa a X X i ........................).. (11111)Negative definite:011<a022211211>a a a a…….nnninn a a a a ...............)1(111-Positive definite:011>a022211211>a a a a0................1111>nnn na a a a◎ Optimizations: The unconstrained case I. may f()x MinF.O.C ............)(11⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂=n n f f X f X f x x f Df Gradient VeotorS.O.C ......... (22)21112112⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅==nn ntn f f f ff f f f D H Hessian Matrix Necessary conditions ⎪⎩⎪⎨⎧=isH C O S Df C O F ..0..te semidefini negativepositiveSufficient conditions Df=0H is definitenositivenegative→f is concave (dx)1-H(dx)<0convex >0 ex 1. )()(max q c q p q q-=∆F.O.CMC P dpd =⇒=0∆S.O.C 002222>⇒<dq Cd dq d ∆ 2. x w x pf x q*)()(max -=∆F.O.C00*=-∂∂⇒=∂∂Wi Xifp xi ∆ Wi VMPi =⇒ S.O.C H is negative definite ⇒f is concave. II. The Constrained Casexmax )(x fs.t g()x =b ⇒ 在有限制下，求最大點dxi Xig.....0=∂∂∑⇒Lagrangian Function:max L ())(()(),b x g x f x --=λλ x ,λ constraint gualification: U xix g ≠∂∂)(0=∂∂Xi L 0)(,,,2,1=∂∂-∂∂⇒=XigXi x f n I λ F.O.C xj gxi gxj f xi f ∂∂∂∂-∂∂⇒)()(0)(=-=∂∂x g b LλD 222)()(x d x L d x L =S.O.C 0))(()(2≤dx x L D x d Tx d ∀ s.t. Dg(0)=x d x 全微分◎ Bordered Hessian)(...........................),(2222212212112212222x L D x L x x L x L x x L x L g x L x L x LL x L D H n in n nn →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==λλλλλλ S.O.C. for max (min)The naturally ordered principled mincrs of the bordered(all be negative)⇒guaslconcaveHessianmatrix alternate in sign, the sign of the firstbeing positivei.e0000232232132332222212223122122121321222122221222121<∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂∂∂---->∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂---x L x x Lx x Lg x x Lx L x x Lgx x Lx x Lx L g g g g x Lx x L g x x Lx L g g g ex min w xxt s .. g x f =)(⇒Lagrangian funotion: ))((),(*g x f x w x L --=λλ λx maxF.O.C. MRTS xj fxi fwj win I xi x f wi x xi L =∂∂∂∂=⇒=⇒=∂∂-=∂∂,...2,10)(),(***λλ0)(),(**=-=∂∂x f g x L λλ◎xf s .. )(xg b ≤ 0)(≤x g x 0≥ 0≤-xF.O.C 0)(***=∂∂xi x f X i0*≥i X0)(2≤∂∂xix f Max f(x)xl s .⇒Langrangian Function:)()(),(1∑=-=ni x igi x f x L λλMax ),,,(1n X X f Ex nx x t s ...1.. b x g ≤)(0,.......0,021≤-≤-≤-u x x x),,,,,,,,,,(2121n n u u u x x x L λ⇒=)...))()(2211n n x u x u x u b x g x f -++++--λ F.O.C01111=+∂∂-∂∂=∂∂u x gx f x L λ02=+∂∂-∂∂=∂∂u x gx f x L nn n λ 0,0**≥=∂∂λλλL0,0,011111≥≥=∂∂=x u u Lx u 因有ineguediy, …. 所以要多考慮這些可能,0,0≥≥=∂∂=nnnnnxuuLxuex“☆” min2211xwxw+s.t yxx=+211≥x02≥x22112122112121)(),,,,(XMXMyxxxwxwMMXXL---+-+=λλF.O.C⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-+-=∂∂=--=∂∂=--=∂∂=022112122111,0)3.....()()2.....(2)1.(..........XMXMyxxLMwXLMwXLλλλ檢查這些條件是否都符合∥∥11=∂∂ULμ022=∂∂⋅ULμ,021≥≥XX∴共有四種組合,021=⇒==yXX (0,22=xμ代入 (2) 式),0,021>=XX step2222,0WW=→=-=⇒λλμ())1(,0,11式代入x=μstep211112,≥-=→+==μλμλWwyx.....21WW≥⇒用第2種生產要素Case 3 ....,0,01221WWXX≥⇒=>用第1種生產要素Case 4 λμμ==⇒==⇒>>212121,0,0WWXXEx {}yWyWyWWC2121,m in),,(=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=><====212121122121WWyWyWCWWyWyWCWWifyWyWCKuhn-Tucker Formulation⎩⎨⎧≥≤0)(..)(.)(min)(maxXgt sXgt sXfXf))(()(),(b X g X f X L --=⇒λλ Kuhn-Tucker Conditions⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂≥≥∂∂=∂∂≥≤∂∂≤≥0,0,00,0(max ),01(min)1λλλL L X L X X X Li i i i i2211m inX W X W + 21,x xs.t. y X X =+21 0,021≥≥X X)(212211y X X X W X W L -+-+=λ (K-T conditions):0,0,011111=∂∂≥≥-=∂∂X LX X W X L λ 0,0,022222=∂∂≥≥-=∂∂X LX X W X Lλ021=-+=∂∂Y X X L λ 0≥λ 0=∂∂λλL Utility Maximization Problem max u(x, y)x, ys.t I y P x P y X ≤⋅+⋅0,00,0≤≤-⇒≥≥y x y x Comparative StaticsF.O.C ).....(.....,,0)...................(0)....,........(21**2*1212121211m i j n m n n m n a a a 且x X X X 可求得equations n x x x x x x F x x x f ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==M ααα → Implicit FunctionsImplicit Functions Theorem If D=01111≠nn nn f f f f *j X =)......(m i h αα之影響為正或負a 受即X aj xi m i .....0*1**α<>∂∂-totally differentiating the system0 (21)111112111=+++++++m m n n n n a d f d f dx f dx f dx f α11112211....αd f f dx f dx f dx f n nn n n n n n +++++++0...=+++am d mn f n⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++m n m n n n m n n m n m n n n m m n n n n n n n d d f f f f d f da f d f d f dx dx f f f f ααααα1111111111111111.......).....()......(................... ∥ ∥ ∥ ∥ D i dx ij D j d α222//xf x f D D x j d D D dx ij j i iji ∂∂∂∂==∂∂⇒=⇒αααα <Cramer's Rule>(無限制式) ex max 221121),(.X W X W X X f P --=⨯π F.O.C⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂===∂∂=0011111111w pf x w pf x ππππTotally differentiate F.O.C with respect to :1W⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅∂∂⋅=-∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅∂∂⋅01011*2221*1121*2211*11w x x f P w x x f P w x x f P w x x f P ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂⇒011*2221*1211*2121*111w x pf w x pf w x pf w x pf ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒22211211Pf PfPf Pf ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂011*21*1w x w x By Cramer's Rule0)(012122211222221121122121*1<⊕Θ⊕-Θ==∂∂f f f p f pf pf pf pf pf pf w x 0)(012122211212221121112111*2<⊕Θ⊕-⊕-==∂∂f f f p f pf pf pf pf pf pf w x同理 0)(2122211112*2<⊕-Θ=∂∂f f f p f w x 0)12()(2122211122*1<-=⊕-Θ-=∂∂f sign f f f p f w x (有限制式)max 1121)(X W X X pf -=π 21x x22οX X =s.t.)()(21121X X X W X X P L -+-⋅=⇒ολ F.O.C)(),(000211*22211*1122111X P W X X X P W X X pf X L w pf X L ==⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-=∂∂=-=∂∂λ0220=-=∂∂X X L λ),(0211*X P W λλ= S.O.C 1X L ∂∂∂λ 2X L ∂∂∂λ=H 2222122212121210x x x x g X X XL xx gx gx g ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ππππ=222112110110010pf pf pf pf --- = 011>-pf (p )011<p >0 <000..011max >⇒⎭⎬⎫><∴H C 又又O F f TL ΘFrom⎝⎛=-=-=-=∂∂=∂∂=∂∂00)(0)(202**2*121*2*1121X X W X X Pf W X X Pf L X L X Lλ1..對W C O F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂+∂∂=-∂∂+∂∂0011*1*2221*1211*2121*111w w x pf w x pf w x pf w x Pf λtotally differentiating with respect to w1:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0101010101001*11*11*22211211w x wx w pf pf pf pf λ By the Cramer's Rule:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>Θ-⊕=∂∂=-=∂∂<Θ-=∂∂0/0/00/111211*111*111*pf f w x pf w x pf w x1121)(x w x x pf -=π),,()),,(),,,((021*11021021*1*x p w x w x p w x p w x pf -=π 把和x *1*2x 算出，代入利潤函數中，即可得:…*profit FunctionBut 此題中022X X 可直接代入π為one decision 的問題，不需如此 麻煩。