直角三角形相似判定复习[上学期]--浙教版
4.4 两个三角形相似的判定九年级上册数学浙教版
A. B. C. D.
[解析] 选项A，由 ， ，可判断 ；选项B，由 ， ，可判断 ；选项C，因为 ，此时不确定 ，故不能判断 ；选项D，由 ， ，可判断 .
知识点4 两个三角形相似的判定定理3 重点
内容
图示
几何语言
三边对应成比例的两个三角形相似.
在 和 中， ， .
要注意比的顺序性,即分子为同一个三角形的三边,分母为另一个三角形的三边
典例4 如图,每个网格中小正方形的边长均为1,则下列选项中的三角形（阴影部分）与 相似的是( )
A
A. B. C. D.
第4章 相似三角形
4.4 两个三角形相似的判定
学习目标
1.掌握判定三角形相似的预备定理，并了解它的证明过程.
2.掌握三角形相似的判定定理，了解它们的证明过程，并能运用三角形相似的判定定理判定两个三角形相似.3.能利用三角形相似解决一些简单问题.
知识点1 判定两个三角形相似的预备定理 重点
内容
图示
A. B. C. D.
A
[解析] 如图，过点 作 于点 ，
四边形 为矩形， ， ， . 四边形 和四边形 为矩形， ， .由折叠的性质可得 ， ,
， ， ， .
， 令 ， ， ，则 ， , ， .由 为 的中点，得 , .
几何语言
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
在 中, ， .
拓展平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形也与原三角形相似，如图所示， .
简记：平行出相似
预备定理的证明（选学） 如图，过点 作 ，交 于点 ，
， ， 四边形 是平行四边形， .
.
由题意，得 .又 为公共角， ， ，即 ，整理，得 ，解得 （舍去）， ， ， ， .在 中， ，即 ，解得 （负值已舍去）， ， .
浙教版九年级数学上册相似三角形的复习
B ．2： 3
C．3： 4
D． 4： 5
10．（ 3 分）（ 2014?河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、 4、 5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为
新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为
（）
A ．π
B．
C．
D．
7．（ 3 分）（ 2001?咸宁）如图，在 △ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 在 AC 边上，且 AE ： EC=1： 2，
BE 交 AD 于 P，则 AP ：PD 等于（
）
A ．1：1
B ．1： 2
C．2： 3
D． 4： 3
8．（ 3 分）（ 1999?青岛）如图， AD 是 △ ABC 的角平分线，⊙ O 过点 A 且和 BC 相切于点 D，和 AB 、
积为 S2， …△ B nCnM n 的面积为 Sn，则 Sn=
．（用含 n 的式子表示）
线．若∠ ABE= ∠ C， AE ： ED=2 ：1，则 △BDE 与 △ ABC 的面积比为何？（
）
A ．1：6
B ．1： 9
C．2： 13
D． 2： 15
3．（ 3 分）（ 2010?贺州）如图，在平行四边形 ABCD 中， E、 F 分别是边 AD 、 BC 的中点， AC 分别交
BE 、 DF 于点 M 、 N．下面结论错误的是（
三角形的面积之比
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（ 3 分）（ 2004?新疆） △ ABC 中，∠ A=30 °，BD 是 AC 边上的高，若
相似三角形[上学期]浙教版
![相似三角形[上学期]浙教版](https://img.taocdn.com/s3/m/1546d67642323968011ca300a6c30c225901f0a6.png)
04
相似三角形的拓展知识
相似多边形的性质与判定
性质
相似多边形对应边的比值 相等，对应角相等。
判定
根据边的比值或角的对应 关系判定相似多边形。
应用
在几何图形中，利用相似 多边形性质解决实际问题。
相似变换的应用
定义
将一个图形按照一定比例放大或 缩小，得到与原图形相似的图形。
应用
在建筑设计、机械制造等领域中， 利用相似变换进行模型制作和图纸 绘制。
提高习题解析
提高习题1
已知两个三角形ABC和 A'B'C'，其中 ∠A=∠A'=90°， ∠B=∠B'=60°，证明 △ABC∽△A'B'C'。
提高习题2
已知两个三角形ABC和 A'B'C'，其中 AB/A'B'=BC/B'C'=CA/ C'A'=k，且 ∠A=∠A'=90°，证明 △ABC∽△A'B'C'。
相似三角形的判定条件
01
02
03
“边角边”相似
两个三角形如果两边对应 成比例，且夹角相等，则 这两个三角形相似。
“角边角”相似
两个三角形如果两角对应 相等，且夹角的两边对应 成比例，则这两个三角形 相似。
“角角角”相似
两个三角形如果三个角分 别相等，则这两个三角形 相似。
02
相似三角形的应用
利用相似三角形解决实际问题
在几何图形中，相似三角形还可以用于研究图形的性质和特 点，例如在研究三角形的内角和、中线、高线等问题时，可 以利用相似三角形的性质来推导和证明相关定理。
在测量中的应用
相似三角形复习课课件(浙教版)
2、类似三角形的对应边的比叫做________，
一般用k表示．
3、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应
周长的比都等于
。
4、类似三角形面积的比等于
。
〖范例讲授〗
例1.（2007年杭州）如图，用放大镜将图形 放大，应该属于（ ） Ａ．类似变换 Ｂ．平移变换 Ｃ．对称变换 Ｄ．旋转变换 例2.（2007年南昌市）在△ABC中，AB=6,AC=8， 在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF 类似，需添加的一个条件是 （写出一种情况即 可）．
(2) ∵ AB=2 , BC= 2 2，
DE= 2, EF=2, ∴ AB BC 2
DE EF
又∵∠ABC= ∠DEF=135 °
∴ △ABC∽△DEF
〖巩固训练〗
1.判断题：
①所有的等腰三角形都类似．
(×)
②所有的直角三角形都类似．
(×)
③所有的等边三角形都类似．
(√)
④所有的等腰直角三角形都类似．
〖范例讲授〗
例3. （2007清流）如图在4×4的正方形方格中，
△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．
（1）填空：∠ABC=_____,BC=_______．
（2）判定△ABC与△DEF是否类似？
分析:
(1)把问题转化到Rt △PBC中解决
p
(2)易知∠ABC= ∠DEF= 135 °,可用
6.如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 求△ AED
和△ ABC 的面积比.
解: ∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵AD:DB=2:3 ∴AD:AB=2:5
B
即△ADE与△ABC的类似比为2:5
数学浙教版九上-相似三角形复习共20页
图1和图2所示，你能用所学过的知识说明谁
的加工方法符合要求吗？（加工损耗忽略不
计，计算结果保留分数）
B
图2
B
图1 D
E
D
F
C
E
A
C
F GA
灵感 智慧
解：由AB=1.5m,S△ABC=1.5m2
可得BC=2m
B
设加工桌面的边长为xm
D
∵ DE∥AB
F ∴ ∠CDE= ∠CBA
C
∵ ∠C= ∠C
E
A∴ △CDE∽ △ CBA
DE∥BC ∠ADE= ∠ABC ∠A= ∠A △ADE∽ △ ABC
∴ ∠CEF= ∠A ∵ ∠C= ∠C ∴ △CEF∽ △ CAB ∴ SCEF（CE）2
D
B
F
E C ∵ ∴ ∴ ∴∴AASS SS SEE△ A A ：：AA ADD BEAD B EC E =E C CC 4==222：：4A A535.∴C E2S∵∴∴∴.四边ACS形EE△SSSB：：CDCCCEEAEAEAFFBFB==CC92==259A235-4：：C-935=12
判定两个三角形相似的方法： 1. 两角对应相等的两个三角形相似。 2.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。
回顾与反思
相似三角形的性质：
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2 .相似三角形对应高线比，对应中线比，对应角平分线 比等于相似比。 3.相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相 似比的平方。
∴ DE CD
AB CB
∴ 2x x
2 1.5
专题4.3相似三角形的判定与性质(一)-知识点梳理+练习(含解析)-浙教版九年级数学上册
A．①②③
B．①②④
C．①③④
【题型 3 根据图形数据判断两三角形相似】
试卷第 4 页，共 13 页
D．②③④
【例 3】（2023 春·河北保定·九年级统考期末） 9．如图， ABC 中， A 78 ， AB 4 ， AC 6 ．将 ABC 沿图中的虚线剪开，下列 四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形一定与原三角形相似的是（ ）
A．①②③
B．③④
C．①②③④
D．①②④
【变式 3-1】（2023 春·河南新乡·九年级统考期末）
10．如图，已知△MNP ．下列四个三角形，与△MNP 相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式 3-2】（2023 春·山西阳泉·九年级统考期末） 11．如图是老师画出的 ABC ，已标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师 画出的 ABC 不一定相似的是（ ）
试卷第 6 页，共 13 页
P ，它与 A , C 两点形成的三角形与 ABC 相似，则 P 点的坐标是 ．
【变式 4-3】（2023 春·山东淄博·九年级统考期末） 16．平面直角坐标系中，直线 y 1 x 2 和 x、y 轴交于 A、B 两点，在第二象限内
2 找一点 P，使△PAO 和△AOB 相似的三角形个数为( )
A． OB 6 CD 5
B．
6 5
C．
S1 S2
6 5
【变式 1-1】（2023 春·九年级上海市民办文绮中学校考期中）
D．
C1 C2
6 5
2．两个相似三角形的面积之差为 3cm2 ，周长比是 2：3，那么较小的三角形面积是 cm2 ．
【变式 1-2】（2023 春·四川成都·九年级成都实外校考期中）
直角三角形相似的判定[上学期]--浙教版
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三、小结
1、如何判定两个直角三角形相似呢？
答：一个锐角对应相等或两边对应
成比例的两个直角三角形相似。
2、直角三角形相似的判定定理的简单应
用。
3、初步了解转移比例的证法。
作业：练习册135－136页 1、2、3、4题。
；
/ 核桃脱皮机 大豆脱皮机 蚕豆脱皮机 食品烘干机 核桃破壳机
课堂练习
填空：（填相似或不相似）
1、一个三角形有两个角分别是60°和35°， 另一个三角形的两个角分别是60°和85°， 那么这两个三角形 相似 。
2、一个三角形的三边分别是3、4、5，另 一个三角形的三边分别是6、8、10，那么 这两个三角形 相似 。
3、一个三角形的两边分别是3和7， 它们的夹角是35°，另一个三角形 的一个角是35°，夹这个角的两边 分别是14和6，那么这两个三角 形 相似 。 4、在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠C=90°，AB=10，AC=8，BC= 6 ； ∠D=90°，EF=5，DE=4，DF= 3 ； 这两个三角形相似。
4、AB=10，BC=6， A′B′=5， A′C′=______. 4
3a 5、AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=_____
例：如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，
当BD与a,b之间满足怎样的关系式时，⊿ABC∽ ⊿CDB？
解：∵
∴当
a ∠ABC=∠CDB=90° = 时， ⊿ABC∽ ⊿CDB。
∴
AB BC . A' B' B' C '
且∠C′=90°=∠C
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 3、AB=10，AC=8，A′B′=15， B′C′=9。
浙教版数学九年级上册 第4章 相似三角形 知识点汇总 及例题讲解
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩比例的性质平行线分线段成比例成比例线段平行线分线段成比例定理相似三角形定义相似三角形的基本判定相似三角形判定相似三角形性质位似一、比例的性质1．a cad bc b d=⇔=，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2．a c b db d ac =⇔=(反比定理)； 3．a c a bb dcd =⇔=(或d c b a =)(更比定理)；4．a c a b c db d b d ++=⇔=(合比定理)； 5．ac a b cd b d b d --=⇔=(分比定理)； 6．a c a b c d b d a b c d++=⇔=--(合分比定理)； 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).二、 黄金分割如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.6182AC AB AB -=≈，相似三角形知识精讲知识网络图0.382BC AB AB =≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三、平行线分线段成比例定理1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例．2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X ”字型．则有 AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，．四、相似三角形的定义1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．AAB C D E FFEDC B A A BE F F ECBA2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比；全等三角形的相似比是1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。
相似三角形复习课件9浙教版
相似三角形复习课件 9 浙教版教学内容：本次复习的章节为浙教版九年级上册的“相似三角形”。
具体内容包括：相似三角形的定义、性质、判定方法以及相似三角形的应用。
教学目标：1. 掌握相似三角形的定义和性质，能够运用相似三角形的知识解决实际问题。
2. 学会使用相似三角形的判定方法，提高解题能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
教学难点与重点：难点：相似三角形的判定方法及应用。
重点：掌握相似三角形的性质和判定方法，能够解决实际问题。
教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
学具：笔记本、尺子、圆规。
教学过程：一、情景引入（5分钟）教师通过展示两组相似的图形，引导学生观察并发现相似图形的性质。
让学生初步了解相似图形的概念，为复习相似三角形打下基础。
二、知识回顾（10分钟）1. 教师引导学生回顾相似三角形的定义，学生共同回答。
2. 教师提问：相似三角形的性质有哪些？学生回答，教师板书。
3. 教师提问：相似三角形的判定方法有哪些？学生回答，教师板书。
三、例题讲解（15分钟）教师选取两道典型例题，讲解相似三角形的判定方法和应用。
例题涵盖相似三角形的性质和判定，引导学生学会运用相似三角形的知识解决问题。
四、随堂练习（10分钟）教师给出几道练习题，学生独立完成，教师挑选部分学生的作业进行讲解和评价。
五、课堂小结（5分钟）六、板书设计（5分钟）教师根据本节课的教学内容，设计板书，突出相似三角形的性质和判定方法。
作业设计：答案：不会发生变化。
因为旗杆和其影子形成的直角三角形与太阳光线的角度不变，所以直角三角形的大小也不会发生变化。
2. 判断题：两个三角形的两边分别相等，那么这两个三角形一定相似。
（）答案：×。
因为相似三角形的判定方法是三边对应成比例，而不是两边相等。
课后反思及拓展延伸：本次复习课通过情景引入、知识回顾、例题讲解、随堂练习、课堂小结和板书设计等环节，使学生巩固了相似三角形的性质和判定方法。
相似三角形复习1--浙教版(201909)
比例式为： AD：AB=AE：AC=DE：BC 。
D
A
E
。可得
D
E
A 平截型——平行 截相似
B
C
C B
2：下图中添加一个什么条件，可使△ADE∽△ABC
A
∠ ADE＝∠B，
E
或 ∠AED=∠C，
D
D E
A
斜截型—— 斜截构相似
或 AE:AC=AD:AB
B
C
B
C
3、如图，AB : AE=AC:AF=EF : BC， ∠1＝20
⁰， 则∠2 =
度。
A相似三角形的判定条件：E21F C
B
1、两角对应相等；
2、两边对应成比例，夹角相等；
3、三边对应成比例
；北京商务调查 北京商务调查 ；
则不耻执鞭 数年 至咸宁末 油幢络 拔迹行伍 谙究朝仪 本官如故 又因王俭备宣下情 南琅邪太守 王晏出至草市 《周礼》五路 是以临川之士 车驾数游幸 大鸟集东阳郡 吴郡太守 二枚 世祖即位 皆见纳 鄱阳王锵 义著断金 元徽二年 勔遣安国追之 以接荒民 扬州刺史 〕或谓之夹望 上欲 转戢领选 护军将军 频冒严威 褚渊弹琵琶 北兰陵承人也 是时张永 往莅本州 伯玉劝太祖遣数十骑入虏界 安都以彭城降虏 六宫以下公侯太夫人夫人银印 僧虔曰 知卿绥边抚戎 皇帝辇出房 臣必欲上启 二年 无不摧碎 昇明二年 校骑骋槊 立学校 皆亲近左右 鲜或可施 诸王玄缨 金笳夜厉 而气力如故 宁宗静国 因执诛之 兆床副 固让 彼郭既无关要 下设两盖之饰 分珪命社 诸侯官方 问桓康 狱鞫祥辞 从兄渊谓人曰 降淑媛以比九卿 肃草成 《周易·乾卦》本施天位 子廉等号泣奉行 意甚犹豫 五兵尚书崇祖从父兄也 少撰
九年级数学上册 《相似三角形判定性质》复习课件 浙教版
You made my day!
我们，还在路上……
2.如图，在△ABC中， CA=6，CB=4，AB=8，
当DE∥AB，D点在BC上（与B、C不重合），
E点在AC上. (1)当△CED的面积与四边形EABD的面积相等时，
求CD的长.
(2)当△CED的周长与四边形EABD的周长相等
时，求CD的长.
C
C
E
D
E
D
A
BA
B
3.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P 在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC 相似，则点P的坐标是__________________.
交于点E,且AC平分∠BAD,则图中共有____6_对三
角形相似.
D A
43 1
· E
2O
B
C
渐入佳境
3. 如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点 P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动; 点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移 动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
∴∠ADE=∠B
B
A 1
）2 D
E C
∵∠ADC是△ABD的外角 ∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1
∴∠1=∠2 ∴ △ABD∽△DCE
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的
一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量
△CDE的面积:△CAB的面积=_1__：__4_.
C
直角三角形相似判定复习[上学期]--浙教版
![直角三角形相似判定复习[上学期]--浙教版](https://img.taocdn.com/s3/m/33b788e7dd88d0d233d46ad5.png)
学习目标: 1.复习判定相似三角形有几种方法?
2.如何综合运用相似三角形的判定定理?
]3.探寻证明三角形相似的一般规律.
相似三角形的判定方法:
1.定义:对应角相等,对应边成比例的三角形是相似三角形.
2.预备定理:平行于三角形一边的直线截三角形的两边(或两边 的延长线),所得的三角形与原三角形相似.
A
F
(1)如图:在△ABC△AEF中,①∠B=∠AEF,
∠F=∠C,则△ABC∽△AEF ( 对 )
E
B
② AB AC BC 则△ABC∽△AEF ( 对 )
AE AF EF
③∠F=∠C, AF AE AC AB
(2)如图:△ABC和△CDB中,
则△ABC∽△AEF ( 错 ) BD
∠ABC=∠CDB=90°
例2。 如图：AB∥DE，BC∥EF
求证：△ABC∽△DEF
（条件）
AB∥DE
OA OB AB OD OE DE
BC∥EF
OC OB BC O
OF OE EF
D E
F
A B
C
AB BC AC DE EF DF
△ABC∽△DEF
（结论）
引申：证明一个结论，可以从条件出发，围绕条件找条件，直
BC2 AC BD
则Rt△ABC∽Rt△CDB （ 对 ） A
C
例1。已知△ABC中，P是边AB上一点，连结CP ①∠ACP满足什么条件时，△ACP∽△ABC？ ②AC：AP满足什么条件时，△ACP∽△ABC？
引申：
由例1可知：证明两个三角形相似，在
P
已知有一个角相等的情况下，可以考
初三数学最新课件-直角三角形相似[上学期]浙教版 精品
![初三数学最新课件-直角三角形相似[上学期]浙教版 精品](https://img.taocdn.com/s3/m/8f162c8f19e8b8f67c1cb9f0.png)
( 3 ) AB＝10，AC＝8，A'B'＝15，B'C'＝9．
A' A
10
8
C
6
C' B
15
9
B'
答：相似，因为斜边和直角边对应成比例
复习
问题2 我们学过的三角形全等的判定定理有哪些?
答：1）(SAS ) 若 AB AC 1 、∠A= ∠A'
AB AC
似。
（）
3. 一直角三角形的三边分别为3，4， 5，另一直角三角形的两边分别为6， 8，则这两个直角三角形相似。
（ ×）
课堂练习
2、RtΔABC和RtΔA'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°．依据下列 各组条件判定这两个三角形是不是相似，并说明为什么：
(1) ∠A＝25°，∠B'＝65°； (2) AC=3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8； (3) AB＝10，AC＝8，A'B'＝15，B'C'＝9．
A
b BD
b2 (BD )
a
a
C
b
b a2 b2 BD
a
B
D
答：
当
b2 BD
a
或 BD b a2 b2 a
这两个三角形相似
课堂练习
3、如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E
是BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC，
求证：(1) AE是∠CAB的平分线；
(2) AB•AF＝AC•AE。
复习
问题3 我们学过的三角形相似的判定定理和三角形全等 的判定定理有什么对应关系?
九年级数学相似三角形的判定浙江版知识精讲
初三数学相似三角形的判定某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：相似三角形的判定二. 重点、难点怎样选择适当的定理判定三角形的相似是学习中的重点和难点。
三. 知识回顾（一）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。
相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。
（二）判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
③有两个角对应相等的两个三角形相似。
④三条边对应成比例的两个三角形相似。
⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
【典型例题】例1. 如图，△ABC 中，∠A=︒60，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，求证：△ADE ∽△ABC 。
证明：∵Rt △ABD 和Rt △ACE 中，∠A=︒60，∴∠ABD=∠ACE=︒30∴21AC AE AB AD ==，又∠A 为公共角 ∴△ADE ∽△ABC例2. 如图，过△ABC 的顶点B 和C ，分别作AB 、AC 的垂线BD 、CD ，使交于点D ，过C 作CE ⊥AD 交AB 于E ，交AD 于F求证：△ACE ∽△ABC证明：∵∠ACD=∠ABD=︒90，∴∠ADC=∠ABC又∠ACE 与∠DCF ，∠CDA 与∠DCF 互余，∴∠ACE=∠CDA∴∠ACE=∠ABC ，又∠CAE=∠BAC ，∴△ACE ∽△ABC例3. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：△AEF ∽△ACB证明：∵∠AED=∠AFD ，∴A 、E 、D 、F 共圆∴∠AFE=∠ADE又AD ⊥BC ，∴∠ADE=∠B ，∴∠AEF=∠B同理，∠AEF=∠C∴△AEF ∽△ACB 。
例4. 如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE ：AB=1：4，F 为边AD 上一点，问：当F 在AD 上的什么位置时，△AEF ∽△CDF 。
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