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2010-2019年北京高考真题导数汇编

2010-2019年北京高考导数汇编2019整体法（h(x)=f(x)-g(x)≥0，左侧当成一个成体，求最小值≥0）+讨论参数(求h(x)的导数会出现未知参数进行讨论)2018（18）（本小题13分）设函数2()[(41)43]e x f x ax a x a =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．直接讨论f(x)的性质+讨论参数201719．（13分）已知函数f （x ）=e x cosx ﹣x ．（1）求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．简单二次求导问题2016（18）（本小题13分）设函数f(x)=x a x e - +bx ，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e -1)x+4，（I ）求a,b 的值；(I I) 求f(x)的单调区间。

简单二次求导问题18．（本小题13分）已知函数()1ln1x f x x +=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．第三问结合第二问去讨论参数问题2014(18)（本小题13分）已知函数()cos sin f x x x x =-，[0,]2x ∈π（Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．构造新函数（sinx -ax>0,sinx -bx<0,再用整体法求a,b 的值）2013（18）（本小题共13分）设L 为曲线ln :x C y x=在点()1,0处的切线．（Ⅰ）求L 的方程；（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线L 的下方．位置问题用作差法（求证L -y>0）18．（2012•北京）已知函数f （x ）=ax 2+1（a ＞0），g （x ）=x 3+bx（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值；（2）当a 2=4b 时，求函数f （x ）+g （x ）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．简单讨论导数零点大小问题201118．（本小题共13分）已知函数2()()x k f x x k e =-。

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函数北京高考题二——导数1.（2011年文科18）已知函数()()x f x x k e =-，（I ）求()f x 的单调区间；（II ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值（Ⅰ）若曲线()=在它们的交点(1,)c处具有公共切线，求,a b的值；y g x=与曲线()y f x（Ⅱ）当3k上的最大值为28，求k的取值范围．a=，9b=-时，若函数()()f xg x+在区间[,2](1)若曲线()=在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求,a b的值;y g x=与曲线()y f x(2)当24a b=时,求函数()()-∞-上的最大值.f xg x+的单调区间,并求其在区间(,1]4.（2013年文科18．）已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．5.（2013年理科18．）设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．6.（2014年文科20.）已知函数3=-.()23f x x x（1）求()f x在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)=相切，求t的取值范围；P t存在3条直线与曲线()y f x（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)y f x=相切？（只需写出结论）-分别存在几条直线与曲线()A B C7．（2014年理科18.）已知函数()cos sin ,[0,2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值1.（2011年文科18）解：（I ）/()(1)x f x x k e =-+，令/()01f x x k =⇒=-；所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增；（II ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以min ()(0)f x f k ==-；当011k <-≤即12k <≤时，由（I ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1min ()(1)k f x f k e -=-=-；当11,2k k ->>即时，函数f x 在区间0,1上递减，所以2.（2012解3.（2012年文科18）解：（?）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+⎺又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（2）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26a x =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a-<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a--≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 1=已知4.（(1)f (a )．解得(2)f (x )－＋ ↘ ↗上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，(x )的最小值．当b 当b y ＝b ∞)． 5.（2013(1)(2)18．所以(2)g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．7．解：（1）证明：()()'cos sin cos sin ,f x x x x x x x =+--=-∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()'0f x …，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()0f x …．（2）一方面令()sin xg x x =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin 'x x xg x x ⋅-=，由（1）可知，()'0g x <，故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()π22πg x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故2πa …，所以m a x 2πa =．令()sin h x x bx =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'cos h x x b =-，当1b …时，()'0h x <，故()h x 在π0,x ⎛⎫∈上单调递减，从而()()00h x h <=，﹣x=）=，（）﹣，上的最大值为．k=6﹣6﹣6﹣﹣+t+3=0仅供个人学习参考。

2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案

2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案一、第一题已知函数f(x) = x^3 - 2x + 1，求f(x)的导数f'(x)。

解答过程：首先，根据导数的定义，我们知道f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。

代入f(x) = x^3 - 2x + 1，得到f'(x) = lim(h→0) [(x+h)^3 - 2(x+h) + 1 - x^3 + 2x - 1] / h。

展开并进行化简计算，得到f'(x) = lim(h→0) [3x^2h + 3xh^2 + h^3 -2h] / h。

再一次化简，得到f'(x) = lim(h→0) (3x^2 + 3xh + h^2 - 2)。

在h→0的极限下，只有常数项-2保留，得到导数 f'(x) = 3x^2 - 2。

所以，f(x)的导数为 f'(x) = 3x^2 - 2。

二、第二题已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(x)的导数f'(x)及f''(x)。

解答过程：首先，计算f(x)的导数f'(x)。

根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h。

代入f(x) = 2x^2 + 3x - 5，得到f'(x) = lim(h→0) [2(x+h)^2 + 3(x+h) -5 - (2x^2 + 3x - 5)] / h。

展开并进行化简计算，得到f'(x) = lim(h→0) [2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h - 5 - 2x^2 - 3x + 5] / h。

再一次化简，得到f'(x) = lim(h→0) (4xh + 2h^2 + 3h) / h。

化简后消去h，得到 f'(x) = lim(h→0) (4x + 2h + 3)。

(完整word版)导数大题题型全面

一、分类讨论：分类讨论复杂影响定义域，导是否有根，最高次项系数(开口方向) 例1.(大兴19)已知函数f(x) (22 m)X .x m(I)当m 1时，求曲线f (x)在点(1, f (1))处的切线方程； (n)求函数f(x)的单调区间.(2 m)(x 2m) (2 m)x 2x fW--- K (1 )当 m 0时，f(x)-.x因为f '(x)当 f'(x) 0 时，x 0,或x 0.所以函数f (x)的单调减区间为(，0),(0,)，无单调增区间(2) 当m 0时，f (x)的定义域为{xxm}.当 f'(x) 0时，x 、、 m 或.m x . m 或x 、. m ,所以函数f (x) 的单调减区间为(,j m ),( —, —),(~m, 单调增区间•(3) 当 m 0时，f'(x) (m 2)(x 2 而2x 扁).(x 2 m)2①当0 m 2时，若 f '(x) 0，则 x. m 或x . m ，(13分)解：(I)当 m 1 时，f(x)x x 2 1.因为f '(x)x 2 1 22-(x 1)所以k 所以函数f (x)在点1 1(訐(2))处的切线方程为12x 25y4(m 2)(x 2m) 2 2(x m))，无f'121 25 .因为f (2若f '(x) 0 ,贝y m x 、、m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,,m),C，m,),函数f(X)的单调增区间为(、、m,、、m).②当m 2时，f (x) 0 ,为常数函数，无单调区间•③当m 2时，若f '(x) 0，贝U 、、m x .. m，若f '(x) 0 ,则x 、、m或x m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,函数f(x)的单调增区间为(，.m),( . m,).综上所述，当m 0时，函数f (x)的单调减区间为(,0),(0,)，无单调增区间；当m 0时，函数f(x)的单调减区间为(，■-m),(、._m,, _m),(、~~m,)无单调增区间；当m 0时，①当0 m 2时，函数f (x)的单调减区间为(,x m),^ m,),函数f (x)的单调增区间为(•、一 m, •、_ m)；②当m 2时，f(x) 0 ,为常数函数，无单调区间；③当m 2时，函数f (x)的单调减区间为(、、m,-、m)，函数f(x)的单调增区间为(，吊),(、m, ) —13根与定义域，最值处需要比较例2. (2012年北京理科)已知函数f(x) ax2 1(a 0)，g(x) x3 bx -(i)若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a, b的值;2(n )当a 4b时，求函数f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间(-上的最大值解：(1 )由1, c为公共切点可得：2f (x) ax 1(a 0)，贝U f (x) 2 ax, K 2a ,3 2g(x) x bx，贝U f (x)=3x b , k2 3 b,2a 3 b ①又 f(1) a 1 , g(1) 1 b ,a 11 b ，即a b ，代入①式可得:(2) Q a 24b ,设 h(x) f(x)g(x) x 321 2 ax ax41 则 h (x) 3x 22ax 1 2a ，令 h (x)0，解得 a :x 1x ?a —;426Q a 0 ,aa26，原函数在a单调递增，在a-单调递减，在a 上单调递增22， 66，①若1< a，即a < 2时，最大值为 h(1) a 2a” ,•24②若a 1 a 即2 a 6时，最大值为 h -12 62③若1> 6时，即a >6时，最大值为h综上所述:当a 0,2时，最大值为h(1)2a ta；当 a 2 ,4时，最大值为h ?1•二、恒成立问题例3( 2014海淀一模)已知函数 f (x) xln x .(I )求 f(x)的单调区间；(n )当k 1时，求证：f (x) kx 1恒成立.(I )定义域为0,---------------------------------- 1分 f '(x) In x 1---------------------------------- 2分1令 f '(x) 0 ,得 x ----------------------------------- 3分f '(x)与f (x)的情况如下:分1 1所以f(X)的单调减区间为(0,—)，单调增区间为(―，)--------------------------- 6分e e(n )分离参数，证明1:1设g(x) ln x , x 0 ----------------------------- 7分X八1 1 X 1g(X) 2 2 ------------------------------------------- 8分X X Xg'(x)与g(X)的情况如下：所以g(x) g(1) 1，即1ln x 1在x 0时恒成立， ------------- 10 分x, 1 ,所以，当k 1时，ln x k，x所以xlnx 1 kx，即xlnx kx 1，X|k | B| 1 . c|O |m所以，当k 1时，有f (x) kx 1. -------------------- 13 分证明2：直接作差构造新函数令g(x) f (x) (kx 1) xlnx kx 1 ----------------------------- 7分g'(x) In x 1 k ----------------------------- 8分令g '(x) 0 ,得x e k 1------------------------------ 9 分g'(x)与g(x)的情况如下:2x)x证明：设g （x ）f(x)xe ^(xxX( 20)，则 g '(x)4x------------------- 10分g(x)的最小值为g(e k1) 1 e k 1--------------- 11分当 k 1 时，e k1 1，所以 1 e k1 0 故 g(x) 0----------------------- 12 分即当 k 1 时，f(x) kx 1. ------------------------------ 13 分xe 例4.（ 2015海淀期末文科20题）已知函数f （x ） .x（I ）若曲线y f （x ）在点（x 。

(完整word版)北京高考导数大题分类

导数大题分类一、含参数单调区间的求解步骤：①确定定义域（易错点）②求导函数)('x f③对)('x f 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理.④)('x f 中x 的最高次系数是否为0，为0时求出单调区间.例1：x x a x a x f ++-=23213)(，则)1)(1()('--=x ax x f 要首先讨论0=a 情况 ⑤)('x f 最高次系数不为0，讨论参数取某范围的值时，若0)('≥x f ，则)(x f 在定义域内单调递增；若0)('≤x f ，则)(x f 在定义域内单调递减. 例2：x x a x f ln 2)(2+=，则)('x f =)0(,12>+x x ax ，显然0≥a 时0)('>x f ，此时)(x f 的单调区间为),0(+∞.⑥)('x f 最高次系数不为0，且参数取某范围的值时，不会出现0)('≥x f 或者0)('≤x f 的情况求出)('x f =0的根，（一般为两个）21,x x ，判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段.若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即212121,,x x x x x x =<>. 例3:若)0(,ln )1(2)(2≠++-=a x x a x a x f ，则x x ax x f )1)(1()('--=，)0(>x 解方程0)('=x f 得a x x 1,121== 0<a 时，只有11=x 在定义域内.0>a 时,比较两根要分三种情况：1,10,1><<=a a a用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论)('x f在每个子区间内的正负，求得)(x f的单调区间。

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第三讲导数的应用研热点（聚焦突破）类型一利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x)就是曲线y＝f(x)在点(x,f(x))处的切线的斜率,即k＝f′(x)；(2)曲线y＝f(x)在点(x0,f(x))处的切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．[例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数f(x)＝a e x＋1aex＋b(a>0)．在点(2,f(2))处的切线方程为y＝32x,求a,b的值．[解析]∵f′(x)＝a e x－1 aex,∴f′(2)＝a e2－1ae2＝32, 解得a e2＝2或a e2＝－12(舍去),所以a＝2e2,代入原函数可得2＋12＋b＝3, 即b＝12, 故a＝2e2,b＝12.跟踪训练已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程；(2)若过x轴上的点(a,0)可以作曲线y＝f(x)的三条切线,求a的取值范围．解析：(1)由题意得f′(x)＝3x2－1.曲线y＝f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t),即y＝(3t2－1)·x－2t3,将点(1,0)代入切线方程得2t3－3t2＋1＝0,解得t＝1或－,代入y＝(3t2－1)x－2t3得曲线y＝f(x)的过点(1,0)的切线方程为y＝2x－2或y＝－x＋.(2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线y＝f(x)的三条切线,则方程2t3－3at2＋a＝0有三个相异的实根,记g(t)＝2t3－3at2＋a.则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．当a>0时,函数g(t)的极大值是g(0)＝a,极小值是g(a)＝－a3＋a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a>0且－a3＋a<0,即a>0且a2－1>0,即a>1；当a＝0时,函数g(t)单调递增,方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；当a<0时,函数g(t)的极大值是g(a)＝－a3＋a,极小值是g(0)＝a,要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根,需使a<0且－a3＋a>0,即a<0且a2－1>0,即a<－1.综上所述,a的取值范围是(－∞,－1)∪(1,＋∞)．类型二利用导数研究函数的单调性函数的单调性与导数的关系在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递增；如果f′(x)<0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递减．[例2] (2012年高考山东卷改编)已知函数f(x)＝(k为常数,e＝2.718 28…是自然对数的底数),曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间． [解析] (1)由f (x )＝ln x ＋kex, 得f ′(x )＝1－kx －xln xxex ,x ∈(0,＋∞)．由于曲线y ＝f (x )在(1,f (1))处的切线与x 轴平行, 所以f ′(1)＝0,因此k ＝1.(2)由(1)得f ′(x )＝(1－x －x ln x ),x ∈(0,＋∞)．令h (x )＝1－x －x ln x ,x ∈(0,＋∞), 当x ∈(0,1)时,h (x )>0；当x ∈(1,＋∞)时,h (x )<0.又e x >0,所以当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )<0.因此f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,＋∞)．跟踪训练若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间,求实数a 的取值范围．解析：由题知f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax2＋2x －1x ,因为函数f (x )存在单调递减区间,所以f ′(x )＝－ax2＋2x －1x≤0有解．又因为函数的定义域为(0,＋∞),则应有ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解．(1)当a >0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线,所以ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上恒有解； (2)当a <0时,y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线,要使ax 2＋2x －1≥0在(0,＋∞)上有实数解,则Δ＝>0,此时－1<a <0；(3)当a ＝0时,显然符合题意．综上所述,实数a 的取值范围是(－1,＋∞)．类型三利用导数研究函数的极值与最值 1．求函数y ＝f (x )在某个区间上的极值的步骤 (1)求导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根x 0； (3)检查f ′(x )在x ＝x 0左右的符号； ①左正右负⇔f (x )在x ＝x 0处取极大值； ②左负右正⇔f (x )在x ＝x 0处取极小值．2．求函数y ＝f (x )在区间[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)；(2)将y＝f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．[例3] (2012年高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0),g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,求a,b的值；(2)当a2＝4b时,求函数f(x)＋g(x)的单调区间,并求其在区间(－∞,－1]上的最大值．[解析](1)f′(x)＝2ax,g′(x)＝3x2＋b,因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1,c)处具有大众切线,所以f(1)＝g(1),且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b,且2a＝3＋b.解得a＝3,b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝14a2时,h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1,h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0,得x1＝－a2,x2＝－a6.a>0时,h(x)与h′(x)的变化情况如下：0 0所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞,－2)和(－6,＋∞)；单调递减区间为(－2,－6)．当－a2≥－1,即0<a≤2时,函数h(x)在区间(－∞,－1]上单调递增,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.当－a2<－1,且－a6≥－1,即2<a≤6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－1]上单调递减,h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.当－a6<－1,即a>6时,函数h(x)在区间(－∞,－a2)上单调递增,在区间(－a2,－a6)上单调递减,在区间(－a6,－1]上单调递增,又因为h(－a2)－h(－1)＝1－a＋14a2＝14 (a－2)2>0,所以h(x)在区间(－∞,－1]上的最大值为h(－a2)＝1.跟踪训练(2012年珠海摸底)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x3＋3x2＋1（x ≤0）eax （x>0）,在[－2,2]上的最大值为2,则a 的取值范围是( )A ．[12ln 2,＋∞)B ．[0,12ln 2]C ．(－∞,0]D ．(－∞,12ln 2]解析：当x ≤0时,f ′(x )＝6x 2＋6x ,易知函数f (x )在(－∞,0]上的极大值点是x ＝－1,且f (－1)＝2,故只要在(0,2]上,e ax ≤2即可,即ax ≤ln 2在(0,2]上恒成立,即a ≤ln 2x 在(0,2]上恒成立,故a ≤12ln 2. 答案：D析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考辽宁卷)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ,b ∈R,a ,b 为常数),曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ,b 的值；(2)证明：当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 【解析】 (1)由y ＝f (x )过(0,0)点,得b ＝－1.由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32,又y ′⎪⎪x ＝0＝(1x ＋1＋12x ＋1＋a )⎪⎪x ＝0＝32＋a ,得a ＝0.(2)证明：证法一由均值不等式,当x >0时, 2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x2＋1. 记h (x )＝f (x )－9x x ＋6, 则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54（x ＋6）2＝2＋x ＋12（x ＋1）－54（x ＋6）2<x ＋64（x ＋1）－54（x ＋6）2 ＝（x ＋6）3－216（x ＋1）4（x ＋1）（x ＋6）2.令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1), 则当0<x <2时,g ′(x )＝3(x ＋6)2－216<0. 因此g (x )在(0,2)内是递减函数．又由g (0)＝0,得g (x )<0,所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(0,2)内是递减函数．又h (0)＝0,得h (x )<0.于是当0<x <2时,f (x )<9x x ＋6. 证法二由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1－1.由均值不等式,当x >0时,2（x ＋1）·1<x ＋1＋1＝x ＋2,故x ＋1<x 2＋1.① 令k (x )＝ln(x ＋1)－x ,则k(0)＝0,k′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1<0,故k(x)<0,即ln(x＋1)<x.②由①②得,当x>0时,f(x)<32 x.记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x,则当0<x<2时,h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9<32x＋(x＋6)·(1x＋1＋12x＋1)－9＝12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(2＋x＋1)－18(x＋1)]<12（x＋1）[3x(x＋1)＋(x＋6)·(3＋x2)－18(x＋1)]＝x4（x＋1）(7x－18)<0.因此h(x)在(0,2)内单调递减．又h(0)＝0,所以h(x)<0,即f(x)<9xx＋6.【名师点睛】本题主要考查导数的应用和不等式的证明以及转化与化归能力,难度较大．本题不等式的证明关键在于构造函数利用最值来解决．考情展望高考对导数的应用的考查综合性较强,一般为解答题,着重考查以下几个方面：一是利用导数的几何意义来解题；二是讨论函数的单调性；三是利用导数研究函数的极值与最值．常涉及不等式的证明、方程根的讨论等问题名师押题【押题】已知f(x)＝ax－ln x,x∈(0,e],g(x)＝ln xx,其中e是自然常数,a∈R.(1)讨论a＝1时,f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2；(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由题知当a＝1时,f′(x)＝1－1x＝x－1x,因为当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减,当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增,所以f(x)的极小值为f(1)＝1.(2)证明因为f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1.令h(x)＝g(x)＋12＝ln xx＋12,h′(x)＝1－ln xx2,当0<x<e时,h′(x)>0,h(x)在(0,e]上单调递增,所以h(x)max＝h(e)＝1e＋12<12＋12＝1＝f(x)min,所以在(1)的条件下,f(x)>g(x)＋1 2.(3)假设存在实数a,使f(x)＝ax－ln x(x∈(0,e])有最小值3,f′(x)＝a－1x＝ax－1x.①当a≤0时,因为x∈(0,e],所以f′(x)<0,而f(x)在(0,e]上单调递减,所以f(x)min＝f(e)＝a e－1＝3,a＝4e(舍去),此时f(x)无最小值；②当0<1a <e 时,f (x )在(0,1a )上单调递减,在(1a ,e]上单调递增,所以f (x )min ＝f (1a )＝1＋ln a ＝3,a ＝e 2,满足条件；③当1a≥e 时,因为x ∈(0,e],所以f ′(x )<0,所以f (x )在(0,e]上单调递减,f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3,a ＝4e (舍去)此时f (x )无最小值．综上,存在实数a ＝e 2,使得当x ∈(0,e]时,f (x )有最小值3.知识改变命运。

2023北京高考数学导数题

2023北京高考数学导数题2023北京高考数学导数题第一部分：问题描述在2023年的北京高考数学卷子中，有一道关于导数的题目引起了广泛的讨论。

这道题目涉及到函数的导数及其在实际问题中的应用。

通过解答这道题目，考生们需要展示出对导数概念的理解以及对实际问题的抽象能力。

第二部分：题目内容题目要求考生计算某函数在给定点处的导数，并利用求导的结果来解决实际问题。

具体内容如下：设函数f(x)表示某物体从初始位置出发沿直线匀速运动，其位移与时间的关系满足f(x) = 2x^2 - 3x + 5。

求物体在时刻x=2处的速度。

第三部分：解题思路对于这道题目，考生首先需要计算出函数f(x)的导数。

根据导数的定义，导数表示函数变化的速率，可以通过求函数在某一点的切线斜率来计算。

根据导数的定义，我们可以得到f'(x) = 4x - 3。

接下来，考生需要将x=2代入导数表达式中得到相应的速度值。

第四部分：解答过程将x=2代入导数表达式，可以得到f'(2) = 4(2) - 3 = 5。

因此，物体在时刻x=2处的速度为5。

第五部分：意义解释在解答过程中，考生需要进一步解释计算出的速度值的意义。

由于题目中所给定的函数表示物体的位移与时间的关系，所以导数表示了物体的瞬时速度。

在这个特定的情境中，物体在时刻x=2处的瞬时速度为5。

第六部分：实际应用这道题目通过导数的概念和应用，将抽象的数学概念与实际问题相联系。

在现实生活中，导数有着广泛的应用领域，包括物理、经济、工程等。

例如，在物理学中，导数可以用来描述物体的速度和加速度；在经济学中，导数可以用来分析收益率和成本函数的变化率。

在解答这道题目的过程中，考生们不仅仅是在计算数字，更重要的是培养了对导数及其应用的理解和运用能力。

通过将抽象的数学知识与实际问题相结合，考生不仅能够更好地掌握相关知识，还能够培养出解决实际问题的能力。

总结：这道2023北京高考数学卷子中关于导数的题目，引发了广泛的讨论。

北京高考数学导数题

北京高考数学导数题北京高考数学导数题一、题目背景和意义北京市高考是全国各地考生争先恐后的焦点，其中数学科目一直备受关注。

在这个充满竞争的考场上，导数是一道常见而又重要的题目。

导数作为微积分的基础概念之一，具有深远的理论意义和实际应用价值。

解题数量和质量是考查学生对导数的理解和运用能力的重要指标。

二、题目描述假定某城市的人口总数P（单位：万人）与时间t（单位：年）的关系满足函数表达式为P(t)=3t^3+5t^2-t+1。

1. 求在最近的10年（即t的取值范围为[0,10]）内，该城市人口的平均增长率。

2. 若该城市人口的增长速度最大值的时刻为t=3年，求此时的人口总数。

三、题目分析和解答1. 求在最近的10年内，该城市人口的平均增长率。

根据题意和函数表达式P(t)=3t^3+5t^2-t+1，我们需要求在[0,10]范围内函数P(t)的平均增长率。

首先，计算t=0时刻和t=10时刻的人口总数，分别代入函数表达式得到P(0)=1和P(10)=3311。

其次，计算[0,10]范围内人口总数的变化量，即P(10)-P(0)=3310。

最后，计算平均增长率，即(3310/10) = 331(单位：人/年)。

因此，在最近的10年内，该城市人口的平均增长率为331人/年。

2. 若该城市人口的增长速度最大值的时刻为t=3年，求此时的人口总数。

根据题意和函数表达式P(t)=3t^3+5t^2-t+1，我们需要求在t=3时刻的人口总数。

首先，代入t=3到函数表达式中得到 P(3) = 102。

因此，在t=3时刻，该城市的人口总数为102万人。

四、题目总结本题通过考查导数的相关概念和运用，旨在培养考生对数学知识的理解和应用能力。

通过计算平均增长率和最大增长速度对应的人口总数，考察学生的计算和推理能力。

同时，这道题目也暗示了人口增长问题在城市规划和社会预测中的重要性。

要成功解答本题，学生需要熟练掌握导数的求解方法和相关定理，并能够将其应用到实际问题中。

2023北京高考数学 20题导数

2023北京高考数学 20题导数2023年的北京高考数学卷中，涉及到导数的题目达到了20道。

导数作为数学中的重要概念，在高考中一直是重点考察的内容之一。

让我们一起来看看这些20道导数相关的题目，了解一下考点和解题技巧。

第一题是一道基础的导数定义题目。

给定函数f(x) = x^2，求f'(3)的值。

这是一道直接应用导数定义的题目，根据定义直接计算即可，答案是6。

第二题是一道求导法则的题目。

给定函数f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 1，求f'(x)的值。

这是一道多项式函数求导的题目，根据求导法则逐项求导即可，答案是6x^2 - 8x + 3。

接下来的几道题目涉及到了导数的应用。

第三题是一道最值问题。

给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，在区间[-1, 2]上找出f(x)的最大值和最小值。

这是一道典型的最值问题，通过求导并找出临界点，再对端点进行计算，可以得到最大值和最小值。

第四题是一道函数图像判断题。

给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，判断f(x)的图像在[-∞, +∞]上的变化趋势。

这是一道根据函数的导数来判断函数图像的题目，根据导数的正负性可以判断出函数图像的上升和下降区间。

第五题是一道极值问题。

给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，在区间[-1, 2]上找出f(x)的极大值和极小值。

这是一道求极值的题目，通过求导并找出临界点，再进行二阶导数的判断，可以得到极值点和极值。

第六题是一道曲线的切线问题。

给定曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求曲线在点(1,1)处的切线方程。

这是一道直接应用导数求切线的题目，先求出函数的导数，再代入给定的点求出切线的斜率，最后带入切点的坐标即可得到切线方程。

第七题是一道函数的单调性问题。

给定函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，判断f(x)在[-∞, +∞]上的单调性。

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。

（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。

2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值.4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。

(完整word版)高考数学导数压轴题7大题型总结

高考数学导数压轴题7大题型总结
北京八中
高考数学导数压轴题7大题型总结
高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。

导数解答题是高考数学必考题目，今天就总结导数7大题型，让你在高考数学中多拿一分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题
01导数单调性、极值、最值的直接应用
02交点与根的分布
03不等式证明
（一）做差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
04不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离参数
（三）恒成立之讨论字母范围
05函数与导数性质的综合运用
06导数应用题
07导数结合三角函数。

北京考生专用导数大题(含答案)

(18)（本小题满分13分）已知函数22()3x af x x a+=+（0a ≠，a ∈R ）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.(18)（本小题满分13分）解：222()(3)'()(3)x a x a f x x a --+=+.令'()0f x =，解得x a =或3x a =-. ……………………………………2分（Ⅰ）当0a >时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表函数()f x 的单调递增区间是(3,)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,3)a -∞-，(,)a +∞. ……………………………………4分当0a <时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表函数()f x 的单调递增区间是(,3)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,)a -∞，(3,)a -+∞. ……………………………………6分（Ⅱ）当1a =时，由（Ⅰ）得()f x 是(3,1)-上的增函数，是(1,)+∞上的减函数.又当1x >时，21()03x f x x +=>+. ……………………………………8分所以 ()f x 在[3,)-+∞上的最小值为1(3)6f -=-，最大值为1(1)2f =.……………………………………10分所以对任意12,[3,)x x ∈-+∞，122()()(1)(3)3f x f x f f -≤--=. 所以对任意12,[3,)x x ∈-+∞，使12()()f x f x m -≤恒成立的实数m 的最小值为23. ……………………………………13分 18．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2222'()2a x a f x x x x+=+= …………1分由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；……5分（2）当0a <时'()f x =当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分（II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2ag x x x x=-++，…………9分由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x≤-在[1,2]上恒成立. …………11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分（18）（本小题共13分）已知1=x 是函数()(2)e xf x ax =-的一个极值点．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤．（Ⅰ）解：'()(2)e xf x ax a =+-， …………2分由已知得)1('=f ，解得1=a ． …………4分当1a =时，()(2)e xf x x =-，在1x =处取得极小值．所以1a =. …………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()(2)e xf x x =-，'()(1)e xf x x =-.当[]1,0∈x 时，0)1()('≤-=x e x x f ，)(x f 在区间[]0,1单调递减；当(]1,2x ∈时，'()(1)0xf x x e =->，)(x f 在区间(]1,2单调递增. …………8分所以在区间[]0,2上，()f x 的最小值为(1)e f =-，又(0)2f =-，(2)0f =，所以在区间[]0,2上，()f x 的最大值为(2)0f =. …………12分对于[]12,0,2x x ∈，有12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-．所以12()()0(e)e f x f x -≤--=. …………13分18．（本小题共14分）已知函数2()(1)2ln ,f x a x x =-+()2g x ax =,其中1a > （Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程; （Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求()h x 的单调区间. 18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当1x =时，(1)1f a =-，'2()2(1)f x a x x=-+∴'(1)2f a =，∴(1)2(1)y a a x --=-所求切线方程为210ax y a ---=__________5分（Ⅱ）2()()()(1)22ln h x f x g x a x ax x =-=--+∴[]'2(1)(1)12()2(1)2x a x h x a x a x x---=--+=，__________6分根1211,1x x a ==-，（1a >）__________8分当111a >-，即12a <<时，在()10,1,(,)1a +∞-上'()0f x >，在1(1,)1a -上'()0f x < ∴()f x 在()10,1,(,)1a +∞-上单调递增，在1(1,)1a -上单调递减；__________10分当111a ≤-，即2a ≥时，在1(0,),(1,)1a +∞-上'()0f x >，在1(,1)1a -上'()0f x <∴()f x 在()10,1,(,)1a +∞-上单调递增，在1(1,)1a -上单调递减. __________14分18.（本小题满分14分）设函数22()ln (0)a f x a x a x=+≠. （Ⅰ）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 的斜率为23a -，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有()3f x x ≥-．（18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为{|0}x x >, . ………1分222()a a f x x x'=-. ………2分根据题意，(1)23f a '=-，所以2223a a a -=-，即2210a a -+=，解得1a =. .………4分（Ⅱ）2222(2)()a a a x a f x x x x -'=-=.（1）当0a <时，因为0x >，所以20x a ->，(2)0a x a -<，所以()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. ………6分（2）当0a >时，若02x a <<，则(2)0a x a -<，()0f x '<，函数()f x 在(0,2)a 上单调递减；若2x a >，则(2)0a x a ->，()0f x '>，函数()f x 在(2,)a +∞上单调递增. …8分综上所述，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，函数()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增. ………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）可知2()ln f x x x=+. 设()()(3)g x f x x =--，即2()ln 3g x x x x=++-. 2222122(1)(2)()1(0)x x x x g x x x x x x+--+'=-+==>. ………10分当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：1x =是()g x 在(0,)+∞上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是()g x 的最小值点.可见()(1)0g x g ==最小值， .………13分所以()0g x ≥，即()(3)0f x x --≥，所以对于定义域内的每一个x ，都有()3f x x ≥-.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. （18）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分（Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，（1）当0a =时，()e xf x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分（2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+，令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤，即()2()21e 0xf x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分 3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =，方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a =-+，21x a =--，作差可知11-->-+则当1x <-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1-∞-上为单调减函数；当11x a a -+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11-+-上为单调增函数；当1x >-时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1)--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x的单调减区间为(,1a -∞-+，(1)a --+∞，函数()f x 的单调增区间为(1,1a a-+--18．已知函数,)1()(23bx x b x x f ++-=R b ∈.（Ⅰ）若函数)(x f 在点())1,1(f 处的切线与直线03=-+y x 平行，求b 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求)(x f 在区间]3,0[上的最值.18．解：（Ⅰ）b x b x x f ++-=')1(23)(2∵函数)(x f 在点())1,1(f 处的切线与直线03=-+y x 平行 ∴()()11231-=++-='b b f ,解得2=b ………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知x x x x f 23)(23+-=，263)(2+-='x x x f ，令0263)(2=+-='x x x f ，解得331,33121+=-=x x . ………………7分在区间]3,0[上，x ，)(x f '，)(x f 的变化情况如下：………………11分所以当=x 3时，6)(max =x f ；当331+=x 时，=min )(x f 932-. ………………13分(18)（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'()a x af x x x x-+=-=. ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………………………………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞.………………………………………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾.………………………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞.………………………………………13分18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，所以1a =．经检验，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．即1a =．---------------6分（Ⅱ）由题设，'322()(336)xg x e ax x ax x =-+-，又0xe >，所以，(0,2]x ∀∈，3223360ax x ax x -+-≤，这等价于，不等式2322363633x x x a x x x x ++≤=++对(0,2]x ∈恒成立．令236()3x h x x x+=+（(0,2]x ∈），则22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++，---------------------------10分所以()h x 在区间0,2]（上是减函数，所以()h x 的最小值为6(2)5h =． ---------------12分所以65a ≤．即实数a 的取值范围为6(,]5-∞．-----------------------------------13分18.（本小题共13分）已知函数321()13f x x ax =-+ ()a R ∈．（Ⅰ）若曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行，求a 的值；（Ⅱ）若a >0，函数y =f (x )在区间(a ，a 2-3)上存在极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若a >2，求证：函数y =f (x )在(0，2)上恰有一个零点． 18．解：（Ⅰ）2()2f x x ax '=-， ……………………1分(1)12f a '=-， ……………………2分因为曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x +y +1=0平行所以121a -=-， ……………………3分所以1a =． ……………………4分（Ⅱ）令()0f x '=， ……………………5分即()(2)0f x x x a '=-=，所以x =或2x a =． ……………………6分因为a >0，所以0x =不在区间(a ，a 2-3)内，要使函数在区间(a ，a2-3)上存在极值，只需223a a a <<-． ……………………7分所以3a >． ……………………9分（Ⅲ）证明：令()0f x '=，所以 0x =或2x a =．因为a >2，所以2a >4， ……………………10分所以()0f x '<在(0，2)上恒成立，函数f (x )在(0，2)内单调递减．又因为(0)10f =>，1112(2)03af -=<， ……………………11分所以f (x )在(0，2)上恰有一个零点． ……………………13分18．（本题13分）已知函数f (x )=ln x －x 2. （I ）求函数f (x )的单调递增区间；（II ）求函数f (x )在(]0,a (a ＞0)上的最大值. 18．（Ⅰ）因为函数()2ln f x x x =-，0>x所以()12.f x x x'=- 令()0f x '>，所以211220.x x x x--=>所以02x <<所以函数()f x 的单调递增区间是⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0. ………………………… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0为增函数，同理可得函数()x f 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22为减函数. ………………………… 6分所以当02a <<时，函数()x f 在(]0,a 上单调递增，所以函数()x f 的最大值为()2ln f a a a =-； ………………………… 9分当2a ≥时，函数()x f在0,2⎛ ⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()x f最大值为1.2f =-⎝⎭………………………… 12分综上所述，当0a <<时，函数()x f 的最大值为()2ln f a a a =-；当2a ≥时，函数()x f最大值为1ln .222f ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………… 13分18．（本小题满分13分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间．18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分由 (0)2f '=，得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分（Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a =，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分 ③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞． ………………13分综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a+∞单调递减；在1(,)a a-单调递增.0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）已知函数axx x x f -+=1ln )(，其中a 为常数，且+∈R a . （Ⅰ）若函数)(x f 在区间),1[+∞内调递增，求a 的取值范围；（Ⅱ）当0>a 时，求函数)(x f 在区间],1[e 上的最小值．解： 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）)0(1)(2>-='x axax x f . ……………………………2分令0)(='x f ，得ax 1=. ………………………………………………3分∴在]1,0(a 上0)(≤'x f ，在),1[+∞a上0)(≥'x f .∴)(x f 在]1,0(a 上单调递减，在),1[+∞a上单调递增. ……………………5分∵ 函数)(x f 在区间),1[+∞内调递增，∴11≤a.∵0>a ，∴1≥a . ∴所求实数a 的取值范围为),1[+∞……………………………………………7分（Ⅱ）当1≥a 时，∵在),1(e 上0)(>'x f ，)(x f 在],1[e 上为增函数，∴0)1()(min ==f x f . ……………………………………………9分当11<<a e 时，在]1,0(a 上0)(≤'x f ，在),1[+∞a上0)(≥'x f )(x f 在]1,0(a上为减函数，在),1[+∞a 上为增函数.∴a a a f x f 111ln )1()(min -+==. ……………………………………11分当ea 10≤<，在),1(e 上0)(<'x f ，)(x f 在],1[e 上为减函数.∴aeee f x f -+==11)()(min . …………………………………………13分18.（本小题共13分）设函数3221()23()3f x x ax a x a a R =-+-+∈. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的∈x (3,)a a ，都有()1f x a <+，求a 的取值范围. 18．（本小题共13分）解：（I ）∵当1=a 时，13231)(23+-+-=x x x x f ，………………………1分 34)(2-+-='x x x f …………………………………2分当3=x 时，1)3(=f ，=')3(f 0 …………………………………3分 ∴曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程为01=-y ………………………4分（II ）22()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时，()0f x '≤，(,)-∞∞是函数的单调减区间；无极值；……………6分 0a >时，在区间(,),(3,)a a -∞∞上，()0f x '<；在区间(,3)a a 上，()0f x '>，因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(,3)a a 是函数的单调增区间，函数的极大值是(3)f a a =；函数的极小值是34()3f a a a =-；………………8分 0a <时，在区间(,3),(,)a a -∞∞上，()0f x '<；在区间(3,)a a 上，()0f x '>，因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间，(3,)a a 是函数的单调增区间函数的极大值是34()3f a a a =-，函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 (III) 根据（II ）问的结论，(3,)x a a ∈时，34()()3f x f a a a <=-………………11分因此，不等式()1f x a <+在区间(3,)a a 上恒成立必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧<+≤-01343a a a a ，解之，得a ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭ ……………………13分18.(本小题满分13分)已知函数ax xx x f ++=1ln )(（a 为实数）. （I ）当0=a 时，求)(x f 的最小值；（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围.18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ) 由题意可知：0>x ……1分当0=a 时21)(xx x f -=' …….2分当10<<x 时，0)(<'x f 当1>x 时，0)(>'x f ……..4分故1)1()(min ==f x f . …….5分(Ⅱ) 由222111)(x x ax a x x x f -+=+-='① 由题意可知0=a 时，21)(xx x f -=',在),2[+∞时，0)(>'x f 符合要求 …….7分 ② 当0<a 时，令1)(2-+=x ax x g 故此时)(x f 在),2[+∞上只能是单调递减0)2(≤'f 即04124≤-+a 解得41-≤a …….9分当0>a 时，)(x f 在),2[+∞上只能是单调递增 0)2(≥'f 即,04124≥-+a 得41-≥a故0>a …….11分综上),0[]41,(+∞⋃--∞∈a …….13分18．（本小题满分14分）设函数3221()231,0 1.3f x x ax a x a =-+-+<< （I ）求函数)(x f 的极大值；（II ）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 18．（本小题满分14分）解：（I ）∵2234)(a ax x x f -+-='，且01a <<，…………………………………1分当0)(>'x f 时，得a x a 3<<；当0)(<'x f 时，得a x a x 3><或； ∴)(x f 的单调递增区间为(,3)a a ；)(x f 的单调递减区间为),(a -∞和),3(+∞a ．…………………………………3分故当3x a =时，)(x f 有极大值，其极大值为()31f a =． …………………4分（II ）∵()()2222432f x x ax a x a a '=-+-=--+，当103a <<时，12a a ->， ∴()f x '在区间[]1,1a a -+内是单调递减．…………………………………………6分 ∴[]()[]()2max min 861,21f x f a a a f x f a a ''''==-+-==-（）1-（）1+．∵()a f x a '-≤≤，∴2861,21.a a a a a ⎧-+-≤⎨-≥-⎩此时，a ∈∅．…………………………………………………………………………9分当113a ≤<时，[]()2max 2f x f a a ''==（）． ∵()a f x a '-≤≤，∴22,21,861.a a a a a a a ⎧≤⎪-≥-⎨⎪-+-≥-⎩即01,1,3a a a ⎧⎪≤≤⎪⎪≥⎨≤≤ ……11分此时，17316a ≤≤．……………………………………………………………13分综上可知，实数a的取值范围为13⎡⎢⎣⎦．…………………………………14分18．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．16. （本小题满分13分）已知函数1)(23-++=bx ax x x f 在1=x 处有极值1-．（I ）求实数b a ，的值；（II ）求函数x ax x g ln )(+=的单调区间． 16. （本小题满分13分）已知函数1)(23-++=bx ax x x f 在1=x 处有极值－1．（I ）求实数b a ，的值；（II ）求函数x ax x g ln )(+=的单调区间．解（I ）求导，得 b ax x x f ++='23)(2 ……2分由题意⎩⎨⎧='-=0)1(1)1(f f ，解得12=-=b a ，……6分（II ）函数x ax x g ln )(+=的定义域是}0|{>x x ，……9分 xx g 12)(+-='……11分解012>+-x 且}0|{>x x ，得210<<x ，所以函数)(x g 在区间)21,0(上单调递增；……12分解012<+-x 得21>x ，所以函数)(x g 在区间),21(+∞上单调递减。

北京历年高考文科数学导数题汇总(2008-2016)word版

北京历年高考文科数学导数题汇总1.（2008年北京第17题）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．2.(2009年北京18题）设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.3. (2010年北京第18题）设函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4.（Ⅰ）当a =3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。

4.（2011年北京第18题）已知函数()()e x f x x k =-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 5.(2012年北京第18题）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值；（2）当3,9a b ==-时，若函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围.6.(2013年北京第18题) 已知函数2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值；（2）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围.。

完整word版导数题型分类大全

y = f(u),u =®(x)，则 y ； = f'(X)冲'(X)如，（e sinx ）』题型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义：函数y = f （x ）在X o 处的导数是曲线 y=f （x ）上点（X o , f （X o ））处的切线的斜率.因此，如果f '（x o ）存在，则曲线y = f （X ）在点（X o , f （x o ））处的切线方程为导数题型分类（A ）题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则 △v f （x 0 + A x ） — f （x 0）（一）导数的定义：函数y = f （X ）在X o 处的瞬时变化率lim 丿=lim o o2 i x 心T O y ，即为函数y = f （X ）在X = X o 处的导数，记作f / （X o ）或y / /f （X o +&）_f （X o ）f （x o ） = lim ---------------- 如果函数y = f （x ）在开区间（a,b ）内的每点处都有导数，此时对于每一个 X 亡（a,b ），都对应着一个确定的导数 f /（X ），从而构成了一个新的函数 f /（X ）。

称这个函数f /（X ）为函数 y = f （x ）在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y /，即f^x ） = y / = ,f （x +A x ）-f （x ） lim - ------ --- -- 2 A x 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数 y = f （X ）在X o 处的导数y / X 赳，就是导函数f^x ）在X o 处的函数值，即 XzX o=f / ( X o )。

例1.函数y = f （x 在X =a 处的导数为A ,求Ijmf (a+4t )— f(a +5t ) ---------------------- 。

北京高考导数大题

1.(丰台一模) 已知函数.ln )(x a x x f += （I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值.2已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R ⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，①求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；②求函数()[()(2)]()x G x f x m x m e m -'=+++∈R 的单调区间．3 设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间.4已知函数()e (1)ax af x a x=⋅++，其中1-≥a . （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间.5已知函数2()2ln f x x a x =+. （Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；6已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零．（Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立；(Ⅲ) 若函数()()a F x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围. 7已知函数21()e ()(0)kx f x x x k k-=+-<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.8 （本小题满分14分）已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤． 9已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．10已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+；（Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.（本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln 0.5945≈≈≈11.函数R ,2)1ln()(2∈-++=b x x b x x f（I ）当23=b 时，求函数)(x f 的极值；（II ）设x x f x g 2)()(+=，若2≥b ，求证：对任意),1(,21+∞-∈x x ，且21x x ≥，都有)(2)()(2121x x x g x g -≥-.。

北京高考模块复习—导数

导数综合复习一、高考要求二、知识点梳理1.导数的有关概念（1）导数：如果当 0→∆x 时，xy∆∆有极限，就说函数)(x f y =在0x x =处可导，并把这个极限叫做)(x f在0x x =处的导数.记作)(0'x f ，即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim)(00000'.（2）导函数：如果函数)(x f 在开区间),(b a 内每一点都可导，其导数值在),(b a 内构成一个新的函数，叫做)(x f 在区间),(b a 内的导函数，记作)('x f 或'y . 2.导数的几何意义几何意义：函数 )(x f 在0x 处的导数值就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率. 3.常见函数的导数1．0='C 2．1)(-='n n nx x3．x x cos )(sin =' 4．x x sin )(cos -='5．x x e e =')( 6．1(ln )x x'=7．a a a xx ln )(=' 8．ax e x x a a ln 1log 1)(log ==' 4.导数的四则运算（1）和差：()u v u v '''±=±（2）积：v u v u uv '+'=')(（3）商： 2)(v v u v u v u '-'=')0(≠v 5.复合函数的导数运算法则:[])(x u f y =的导数为'''x u u y y ∙=. 6.利用导数的符号判断函数的单调性（1）导数的单调性)(x f 在区间),(b a 内可导，若)('x f 在),(b a 的任意子区间内都不恒等于0，则 )(0)('x f x f ⇒≥在),(b a 上单调递增. )(0)('x f x f ⇒≤在),(b a 上单调递减.7.函数的极值（1）设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(f )(0x x f =极大值；如果对0x 附近的所有点都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(f )(0x x f =极小值.（2）判断)(0x f 是极值的方法一般地，当函数)(x f 在0x x =处连续时，如果在0x 附近左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极小值. 如果在0x 附近左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值. 8.函数的最值（1）在闭区间[]b a ,上的连续函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值.（2）设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，先求)(x f 在),(b a 内的极值；再将各极值与)(a f ，)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.9.定积分概念：如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，用分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 将区间[]b a ,等分成n 个小区间，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点),3,2,1(n i i =ε作和式)()(11i ni ni i f nab x f εε∑∑==-=∆，当∞→n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分. 10.微积分基本定理：一般地，如果)(x f 在区间[]b a ,上连续，并且)()('x f x F =，那么⎰-=baa Fb F dx x f )()()(，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿-莱布尼茨公式. 11.常见求定积分公式：1. ⎰=ba b a C Cx Cdx 是常数）(| 2. )1|111-≠+=+⎰n x n dx x ba n ban （ 3. ⎰-=b ab a x xdx |cos sin 4. ⎰=baba x xdx |sin cos5. ⎰=baba x dx x|ln 1 6. ⎰=b a b a x x e dx e | 三、导数小题练习导数的概念及几何意义1. 设曲线)1ln(+-=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为x y 2=，则=a _____.2. 曲线1-=x xe y 在)1,1(处的切线斜率等于_________.3. 设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．4. 经过原点O 作函数233)(x x x f +=的图像的切线，则切线方程为_____________________________.5. 如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（）D积分的运算1.定积分⎰=+1)2(x ex__________.2.直线xy4=与曲线3xy=在第一象限内围成的封闭图形的面积为_____________.3.若dxxS⎰=2121，dxxS⎰=2121，dxeS x⎰=213，则1S，2S，3S的大小关系是__________________.4.若函数)(),(xgxf满足⎰-=11)()(dxxgxf，则称)(x f与)(x g为区间[]1,1-上的一组正交函数.下列三组函数中在区间[]1,1-为正交函数的序号是_________________.①2sin)(xxf=,2cos)(xxg=②1)(+=xxf，1)(-=xxg③xxf=)(，2)(xxg=5.定积分由直线xyyxx sin2,32,0====与π所围成的图形的面积等于___________.函数的极值、最值1. 函数()f x的导函数图象如下图所示，则函数()f x在图示区间上（）A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点2.如果函数()y f x=的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数()y f x=在区间1(3,)2--内单调递增；②函数()y f x=在区间1(,3)2-内单调递减；③函数()y f x=在区间(4,5)内单调递增；④当2x=时，函数()y f x=有极小值；⑤ 当12x =-时，函数()y f x =有极大值.则上述判断中正确的是____________．3.函数()f x 的定义域为开区间()a b ，，导函数()f x '在()a b ，内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间()a b ，内有极小值点（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是（） A ．21<<-a B ．63<<-a C ．3-<a 或6>a D ．1-<a 或2>a5.下列四个函数，在0=x 处取得极值的函数是（）①3x y = ②12+=x y ③||x y = ④x y 2= A.①②B.②③C.③④D.①③6．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 7.函数)1()(2x x x f -=在[0，1]上的最大值为（）A. 932 B. 922 C. 923 D. 838.下列说法正确的是（）A.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极大值B.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极小值C.当)(0'x f =0时，则)(0x f 为)(x f 的极值D.当)(0x f 为函数)(x f 的极值且)(0'x f 存在时，则有)(0'x f =0 单调性1．设有时则当且上可导在函数,),()(],[)(),(b x a x g x f ，b a x g x f <<'>'（）)()()()(. )()()()(. )()(. )()(. b f x g b g x f D a f x g a g x f C x g x f B x g x f A +>++>+<> 2.知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >；②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是．3.若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，)(0'x f >0,又)(a f <0,则（） A. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f >0 B. )(x f 在],[b a 上单调递增，且)(b f <0C. )(x f 在],[b a 上单调递减，且)(b f <0D. )(x f 在],[b a 上单调递增，但)(b f 的符号无法判断 4.函数y=(x+1)(x 2－1)的单调递减区间为______________________.四、含参数单调区间的求解步骤（导数问题的核心）：①确定定义域（易错点） ②求导函数)('x f③对)('x f 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理. ④)('x f 中x 的最高次系数是否为0，为0时求出单调区间. 例1：x x a x a x f ++-=23213)(，则)1)(1()('--=x ax x f 要首先讨论0=a 情况 ⑤)('x f 最高次系数不为0，讨论参数取某范围的值时，若0)('≥x f ，则)(x f 在定义域内单调递增；若0)('≤x f ，则)(x f 在定义域内单调递减.例2：x x a x f ln 2)(2+=，则)('x f =)0(,12>+x x ax ，显然0≥a 时0)('>x f ，此时)(x f 的单调区间为),0(+∞.⑥)('x f 最高次系数不为0，且参数取某范围的值时，不会出现0)('≥x f 或者0)('≤x f 的情况求出)('x f =0的根，（一般为两个）21,x x ，判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段.若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即212121,,x x x x x x =<>.例3:若)0(,ln )1(2)(2≠++-=a x x a x a x f ，则xx ax x f )1)(1()('--=，)0(>x 解方程0)('=x f 得a x x 1,121==0<a 时，只有11=x 在定义域内.0>a 时,比较两根要分三种情况：1,10,1><<=a a a用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论)('x f 在每个子区间内的正负，求得)(x f 的单调区间。