趣谈黄金分割

趣 谈 黄 金 分 割

邻水县九龙中学 任贤德 2006.6

物体的形体之美有两种，对称美和不对称美。对称是一种美，稳定、庄重、和谐；不对称更是

一种美，奇异、变化、多样。对称美中最美的平面图形是圆，最美的立体图形是球。不对称现象中，最美的是符合“黄金分割律”的形体。古希腊以来的美学家有一条公认的美学定律：符合黄金分割的平面图形或几何体最美。例如：底边和腰长之比等于黄金比的三角形是最美的三角形，称为黄金三角形；宽与长之比为黄金比的矩形是最美的矩形，称为黄金矩形。

黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯所发现，后来古希腊哲学家、美学

家柏拉图将此称为黄金分割。

黄金分割实际上是一个数学比例关系。把长为一的线段分成两部分，使较长一部分恰好是全长

与较短部分的比例中项即：1：x = x ：1- x ，x 2 + x +1 = 0，解得：x =()

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1+-618.0≈，0.618：1称为黄金分割比，0.618称为黄金分割数，c 点称为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点。此分割在课本上被称为黄金分割。

传说有一次毕达哥拉斯路过一个铁匠铺，听到叮叮当当的悦耳敲击声，简直把他给迷住了，似

乎这声音中隐藏着什么秘密，他走进作坊，东听听，西量量，发现铁锤和铁砧之间有一种神秘的比例关系，就是0.618，这令他惊叹不已。当铁锤和铁砧达到这一和谐的比例关系时，发出的声音就最优美。用琴弦演奏音乐时，把琴弦的千斤放在0.618处，这时它发出的声音就悦耳动听，也是这个道理。

黄金分割是一个古老的数学问题，它的神秘莫测，令人们不断地研究它，发现它，并在实践中

运用其服务于我们的生活。它的各种神奇的作用和魔力，至今还没有明确的解释。但随着黄金分割奇妙性质逐渐被发现，它在实际生活中发挥着越来越多的甚至是我们意想不到的作用。

黄金分割在数学、建筑、艺术、科学技术、工农业生产、军事、日常生活及社会的各个方面都

有广泛的应用，让我们大开眼界，哇！它真是太神奇了。下面我们来归纳它的一些奇妙的性质和它的一些重要应用。

一.黄金分割与数学

1. 黄金分割数的性质：黄金分割数G （G=()

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1+-618.0≈）的倒数是1+G ，1+G 的倒数是G 。 黄金分割数是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618，这是一个十分有趣的数字，我

们以0.618来近似，通过简单计算就可以发现1/0.618=1.618，1/1.618=0.618。它的奇妙之处就

在于其比例与其倒数是一样的，即1.618与1：0.618是一样的。

2.黄金三角形：底边和腰长之比等于黄金比的三角形叫做黄金三角形，它

是最美的三角形。正五边形、正五角星是非常美丽的，正五边形对角线连满后，

出现的所有三角形都是黄金三角形，我们的国旗上就有五颗五角星，许多国家

的国旗上都有五角星，因为五角星中可以找到的所有线段的长度关系都符合黄

金分割比，它是最美丽的图形。由于五角星的顶角是036，这样也可以得出黄金

分割的比值为2sin180=()5121+-618.0≈，线段上有两个这样的点，利用线段的两个黄金分割点可作出正五角星和正五边形。

3.黄金矩形：如果短边与长边之比满足x ：y = x + y ：x 的关系，这样

的矩形叫做黄金矩形。如果设x =1，解上述比例式得y = 0.618 ，此即黄金

比例。如我们的书本、报刊杂志、黑板、标语、火柴盒、电视屏幕、门窗、

信封、名片、明信片等其长宽之比都是0.618，它们都是黄金矩形。因为黄金矩形是最美的矩形。

4.黄金螺旋：将黄金矩形依黄金比例的长宽比往外扩张，然后将正方形顶点连接起来所形成的

图形，叫做黄金螺旋。它是最美的螺旋。

利用菲波那契数列画一条螺旋线是很容易的，如图所示，我们可以按照菲波那契数先画若干个

正方形，他们的相对边长按从小到大的次序是：1、1、2、3、5、8、13，即菲波那契数列的前几项。

画这些正方形并不难，首先确定单位长度并依此长度画两个并排的正方形，再利用这两个正方形组

成的长方形的长边（长度为2）画一个正方形，此时的图形轮廓是长为3宽为2的

长方形。再利用长边做一个边长为3的正方形，形成一个长为5宽为3的长方形。

以后都是利用当时的长方形的长边画正方形。唯需注意的是要按固定的方向，或顺

时针或逆时针。以下的工作就是在每一个正方形内画四分之一圆。首先在最小的两

个正方形内做一个半圆，以后依次在逐个增大的正方形内画四分之一圆就可以了。

由这些四分之一圆组成的螺旋线是"平滑"的，因为在任何两个四分之一圆的连接处，两条曲线的切

线是重合的。这样的画法还很容易把螺旋线延长，以图为例，只需以正方形其中一点为圆心，以边

长为半径，做一个四分之一圆就可以了。而且螺旋线越长它所对应的长方形就越漂亮，因为其宽边

与长边的比值更接近黄金分割比，这是菲波那契数列的性质。

５.黄金分割与斐波那契数列

那契在《算盘1228年，意大利数学家斐波书》的修订本中提出「兔子问题」，导致斐波那契数

列（也叫黄金数列）：1，1 ，2，3，5，8，13，21，34，……，分别求算相邻两数的比值（前项当

分母）也就是1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666..., 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13

= 1.61538... 依此类推，比值趋近 1.61804 （黄金分割比值）

，它的每一项与后一项比值的极限

就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。﹝即设F1 =1，F2 =1，F n = F n-2 + F n-1，

n≧3，则﹞。

二. 黄金分割与建筑：

在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩，而在摩天大楼的黄金分割处布臵腰线或装饰物，则可使楼群变得雄伟雅致，古代雅典的巴特农神殿，当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。埃及的金字塔、巴黎圣母院、印度的秦姬陵、上海的东方明珠电视台等都是按照黄金分割来设计的。

三.黄金分割与艺术

在艺术方面，油画“蒙娜丽莎的微笑”是达〃芬奇最著名的作品之一，它的构图就完美地体现了黄金分割在油画艺术上的应用，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面的位臵完美地体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美，使它成为一幅传世名作，古希腊最经典的作品雕像维纳斯女神，它的上半身与下半身之比率正好是0.618。

黄金分割比至今是各种乐器制造的科学依据，如：二胡、笛子的设计等。音乐家们发现，将手指放在琴弦的黄金分割点处，乐声就越发洪亮，音色就更加和谐。节目主持人报幕，独唱演员演唱，绝对不会站在舞台中央，而是总是站在舞台的1/3处，站在舞台上侧近于0.618的黄金分割点的位臵，此时，看起来最美观、声音传播也最好。姿态优美、身材苗条的时装模特和翩翩起舞的舞蹈演员，他们的腿和身材的比值也近似0.618的比值。凡是具有这种比例的图样，看上去会感到和谐、平衡、舒适，有一种美的感觉。人是万物之灵，人体的曲线美是美中之极品。若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点即肚脐，即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比例、或上半身的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给人一种美的感觉。但是很可惜，一般人的这个比值大约只有0.58到0.610左右（腿长的人有较高的比值）。由此可见，芭蕾舞演员踮起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美感。现实生活中，这样的例子也很多。比如：女性穿高跟鞋让人体看起来更美些，这大概是爱美的女性喜欢穿高跟鞋和跳舞要掂起足尖的内在奥妙吧。

再来谈谈人体美艺术吧，人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和２个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。黄金点：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节：肚脐－足底之分