6高等数学-第六章 定积分及其应用

方法可以把曲边梯形的面积转化为和式的极限。这就是定积分概念的实际背景，
单从数学结构上来考虑问题，就可以抽象出定积分的定义。
定义 设函数 f (x) 在区间[a, b] 上有定义，在区间[a, b] 上任
意插入 an– 1x1个分x2 x3 xn1 xn b
点
[x0 , x1]， [x1, x2 ]
i 1
f (i )xi
其中 f (x) 称为被积函数，f (x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，[a, b] 称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限。
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第一节 定积分的概念及性质 定积分的定义：
二、定积分的定义 积分上限
b
n
a
f ( x) d x lim 0 i1
f (i )xi
（2）定义中要求积分限 a < b ，我们补充如下规定：
当 a = b b时f，(x)dx 0 a
b f；(x当)dxa > b
a
f (x)dx
a
b
时， （3）定积分的存在性（两个充分条件） 。
定理 设 f (x) 在区间 [a, b] 上连续，则 f (x) 在 [a, b] 上
可积。 定义 设 f (x) 在区间 [a, b] 上有界且只有有限个间断点，
，…[x…n1，, xn ]
区间[a, b] 分成 n 个小区间
记每个小区间的长度为 xi xi xi1 i 1, 2, ,（n
在每个小区间i
的和式：
xi1 i 上xi任取一点 （f (i )xi
n
S f (i )xi i 1
，将
[xi）1, x。i ]
），作乘积
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第一节 定积分的概念及性质
的近似值为
Si f (i )xi (i 1, 2, , n)
（3）求和
上任f取(一i )
，
把 n 个小矩形面积相加（即阶梯形面积）就得到曲边梯形面积 S 的 近似值
n
S f (1 )x1 f (2 )x2 f (n )xn f (i )xi i 1
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第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例
第一节 定积分的概念及性质
第一节 定积分的概念及性质 曲边梯形的面积：
一、定积分问题举例
设函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 上连续，且 f (x) ≥ 0，则称由直
线 x = a， x = b， y = 0 及曲线 y = f (x) 所围成的平面图形为曲边梯
形。 其中曲线弧称为曲边，x 轴上对应区间[a, y b] 的线段称为底边。
在矩形的面积公式，矩形的高是不变的，
y=f (x)
而曲边梯形在底边上各点处的高 f (x) 在区间 [a,
b] 上是变动的，因此它的面积不能直接计算。
Oa
b x
但是，由于曲边梯形的高 f (x) 在区间 [a, b] 上是连续变化的，所
以在一个很小的区间上它的变化很小，近似于不变。
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第一节 定积分的概念及性质
（4）取极限
取小区间长度的最大值
max
1in
xi
无限增大，即
n
趋于零时，近似的误差趋向于f零(，i )则和xi式 i 1
的极限就是曲边梯形面积 S 的精确值，即
，当分点数 n
n
S
lim 0 i1
f (i )xi
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第一节 定积分的概念及性质
二、定积分的定义
从上述具体问题可以看出，通过“分割、取近似、求和、取极限”的
二、定积分的定义
记
max
1in
xi
，如0 果
的极限，且这个极限值与 [a,i b] 的分割及点
时，和 S 总是趋向于确定 的取法均无关，则称函数 f
(x) 在区间[a, b] 上可积，此极限值称为函数 f (x) 在区间[a, bbf](上x)的dx定积 a
分，记作
，即
bHale Waihona Puke Baidu
n
a
f (x)dx lim 0
当所有的小矩形宽度趋于零时，这个阶梯
y=f
形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了。
(x)
确定曲边梯形面积的具体步骤如下：
（1）分割
用分a点 x0 x1 x2
xn1 xn b
Oa bx
把区间[xi[1a, x,i ]b] 任意分成 n 个小区间 xi xi xi1(，i 每1个, 2小, 区, 间n)的长度记
及 x 轴所围成的曲边梯形的面积 A 等于函数 f (x) 在区间 [a , b] 上的定
积分 。
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第一节 定积分的概念及性质
三、定积分的几何意义
如果 f (x) < 0 ，则由曲线 y = f (x) ，直线 x = a，x = b 及 x
一、定积分问题举例
所以可把该曲边梯形沿着轴方向切割成许多窄窄的长条（小曲边梯
形）。 y
y = f (x)
O
a
b
x
把每个小曲边梯形近似看作一个小矩形，用小矩形面积作为小曲边梯 形面积的近似值，所有小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值。
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第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例
分割越细，误差越小。 y
为 面积，
Si
。设 S 为曲边梯形的
为第
S
i
个S小1 曲 边S梯2形的面积，S则n
n
Si
i 1
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第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例
（2）取近似
在每个小区[x间i1, xi ](i 1, 2, , n)
i xi
点 ，以
为底，f (i )xi 为高作矩形，其面积为 Si
则得小曲边梯形的面积
定积分的概念来源于实际，自然科 学与生产实践中的许多问题，诸如平面图形 的面积、旋转体的体积、变力所做的功等都 可以归结为定积分问题。我们给出定积分的 定义，讨论它的性质、计算方法，以及广义 积分和定积分的应用。
1 定积分的概念及性质 2 微积分基本公式 3 定积分的计算 4 广义积分 5 定积分的应用
则 f (x) 在 [a, b] 上可积。
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第一节 定积分的概念及性质
三、定积分的几何意义
由定积分的定义可以知道，图
y
中曲边梯形的面积为：
y = f (x)
b
A a f ( x)dx
即
b
a f ( x)dx A
Oa
b
可见，当 f (x) ≥ 0 时，由曲线 y = f (x) ，直线 x = a，xx = b
积 分 号
积 分 下 限
被
积
被 积
积 表
分 变
积 分
（ 黎
函
达
量
和曼
数
式
式和 ）
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第一节 定积分的概念及性质 定积分定义的说明：
二、定积分的定义
（1）定积分表示一个数，它只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关，
而与积分变量采用什么字母无关，即
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du