江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试卷含答案
2020-2021学年第一学期10月份第一次月考试卷答案
2020-2021学年第一学期10月份第一次月考试卷高一数学试卷参考答案2020.10考试范围：人教A 版必修第一册第一、二章考试时间：120分钟一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 解析：由(6)(1)0x x -+<，得16x -<<，从而有{}16B x x =-<<，所以{}14A B x x ⋂=-<<，故选：D .2．B 解析：集合{}0,1,2,3,4,5A =，{{}2B x y x x ===≥，所以{}U 2B x x =<ð.图中阴影部分表示的集合为(){}U 0,1A B ⋂=ð.故选：B 3．A 解析：因为甲是乙的充要条件，所以乙⇔甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙．综上，丙⇒甲，但甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A .4．A 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>”．故选A ．5．B 解析：对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c >，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确.故选B .6．B 解析：0a > ，0b >，且21a b +=，120b a ∴=->，解得102a <<．∴12122(1)1212122(1)(2321111a a a a a a a a b a a a a a a a a ---+=+=+-=+-+-=++-+----11+=+ ，当且仅当1a =，3b =-时取等号．∴12aa a b++有最小值1+．故选：B ．7．C 解析：解：不等式210x mx -+<的解集为空集，所以0∆≤，即240m -≤，解得22m -≤≤．故选：C ．8．B 解析：依题意2() 4.914.717h t t t =-++234.928.0252t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，故当32t =时，()max 28.02528m h t =≈.故选B .二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．ABD 解析：由于M N ⊆，即M 是N 的子集，故M N M ⋂=，M N N ⋃=，从而M M N ⊆⋂（），()M N N ⋃⊆.故选ABD .10．AC 解析：对于选项A ，由327x =-得293x x =-⇒=，但是3x =适合29x =，推出32727x =≠-，故A 正确；对于选项B ，在ABC ∆中，222AB AC BC ABC +=⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形222AB AC BC ⇒+=或222AB BC AC +=或2221BC AC AB +=，故B 错误；对于选项C ，由220,a b a b +≠⇒不全为0，反之，由a ，b 不全为2200a b ⇒+≠，故D 正确；对于选项D ，结论“四边形是菱形”推不出条件“四边形是正方形”，因此必要条件不成立.故选：AC .11．AB 解析：对A ,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B ,22a b a b a b =+++++=≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C ,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误.对D ,()222121a b a ab b +=⇒++=≤2a +()222a b b ++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误.故选：AB 12．ABD 解析：由23344x x b -+≤得23121640x x b -+-≤，又1b <，所以()4810b ∆=-<，从而不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅，故A 正确.当1a =时，不等式23344a x x ≤-+就是2440x x -+≥，解集为R ，当4b =时，不等式23344x x b -+≤就是240x x -≤，解集为{}04x x ≤≤，故B 正确.由23344a x x b ≤-+≤的解集为{}x a x b ≤≤，知min a y ≤，即1a ≤，因此当x a =，x b =时函数值都是b .由当x b=时函数值是b ，得23344b b b -+=，解得43b =或4b =.当43b =时，由2343443a a b -+==，解得43a =或83a =，不满足1a ≤，不符合题意，故C 错误.当4b =时，由233444a ab -+==，解得0a =或4a =，0a =满足1a ≤，所以0a =，此时404b a -=-=，故D 正确.故选：A B D三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13．4解析：由题得满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 有：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}.所以集合A 的个数为4.故答案为414．充分非必要解析：令命题:2p x y +≠-，命题:q x ，y 不都为1-；:2p x y ⌝+=-，:q x ⌝，y 都是1-，则当x ，y 都是1-时，满足2x y +=-，反之当1x =，3y =-时，满足2x y +=-，但x ，y 都是1-不成立，即q ⌝是p ⌝充分非必要条件，则根据逆否命题的等价性知p 是q 的充分非必要条件，故答案为：充分非必要．15．16解析：0a >，1b >且210a b b +=⇒->且()11a b +-=∴()()91919111010616111b a a b a b a b a b -⎛⎫+=++-=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭当且仅当()911b a a a -=-取等，又2a b +=，即34a =，54b =时取等号，故所求最小值16．故答案为：1616．0解析：由根与系数的关系可知()11{0,01m m m b b m m a++=∴==+=四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）若1A ∈，则210,1m m -+=∴=1a ∉ ，∴实数m 的取值范围为：{}1m m ∈≠R ……………4分（2）选①：若A =∅，则关于x 的方程2210mx x -+=没有实数解，所以0m ≠，且440m ∆=-<，所以1m >……………10分选②：若A 恰有两个子集，则A 为单元素集，所以关于x 的方程2210mx x -+=恰有一个实数解，讨论：①当0m =时，12x =，满足题意；②当0m ≠时，Δ440m =-=，所以1m =.综上所述，m 的集合为{}0,1……………10分选③：若1,22A ⎛⎫⋂≠∅ ⎪⎝⎭，则关于x 的方程221mx x =-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解，等价于当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2221111m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的值域，所以](0,1m ∈……………10分18．解：（1）122x x +>-等价于()()12220x x x ⎧+->⎨-≠⎩，解得25x <<:25p x ∴<<，由p ⌝为真知：2x ≤或5x ≥……………6分（2）q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件.故2:50q x ax -+>对于任意25x <<恒成立，故5a x x<+，由基本不等式可知5x x+≥x =a <……12分19．解：（1）因为0x >，0y >，所以x y +≥，由2x y xy +=，得2xy ≥1≥，1xy ≥，当且仅当1x y ==时，等号成立……………6分（2）由2x y xy +=得112x y+=.2111223222x x x y y y x x x x y x x ⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪⎝⎭.当且仅当2x y x=，且0x <时，两个等号同时成立.即当且仅当12x =-且14y =，2y x x +的最小值是32……………12分20．（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤，所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x =+-，由基本不等式可得200200y x ≥=（元），当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立，因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低……………6分（2）()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭400600x ≤≤ ，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==-.所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损……12分21．解：(1)()()2210⎡⎤-+-=---≤⎣⎦x x a a x a x a ，当1a a <-（12a <）时，不等式解集为{|1}x a x a ≤≤-；当1a a >-（12a >）时，不等式解集为{|1}x a x a -≤≤；当1a a =-（12a =）时，不等式解集为1{|}2x x =.所以，当1 2a <时，不等式解集为{|1}A x a x a =≤≤-；当1 2a =时，不等式解集为12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当1 2a >时，不等式解集为{|1}A x a x a =-≤≤……………8分(2)由上(1)，1 2a >时，() {|1}1,1A x a x a =-≤≤⊆-，所以111a a ->-⎧⎨<⎩，得1a <，所以，实数a 的取值范围112a <<……………12分22．解：(1)函数24y x mx =++的图象开口向上，对称轴为2m x =-，在区间[]1,2上的最大值，分两种情况：①322m -<（3m >-）时，根据图象知，当2x =时，函数取得最大值82max y m =+；②322m -≥（3m ≤-）时，当1x =时，函数取得最大值5max y m =+.所以，当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+……………7分(2)[] 1,20x y ∈<，恒成立，只需在区间[]1,2上的最大值0max y <即可，所以(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，得45m m <-⎧⎨<-⎩，所以实数m 的取值范围是5m <-……………12分。
2020-2021学年苏教版高一数学上学期第一次月考检测试题及答案解析
（新课标）最新苏教版高中数学必修一高一（上）9月月考数学试卷一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填写在题中横线上）1．下列所给关系正确的个数是．①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|﹣4|∉N*．2．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M= ．3．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B= ．4．已知f（x）=，则f[f（0）]= ．5．函数f（x）=+的定义域为．6．函数，使函数值为5的x的值是．7．设A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，则A∩B= ．8．若函数f（x）在实数集R上是增函数，且f（x）＞f（1﹣x），则x的取值范围是．9．满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数是．10．已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有个．11．已知集合A={x|1≤x＜5}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．若C∩A=C，则a的取值范围是．12．已知全集U=R，函数y=+的定义域为集合A，函数y=的定义域为集合B．则集合（∁U A）∩（∁U B）= ．13．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：则满足f（g（x））=g（f（x））的x值为．x 1 2 3 4f（x） 1 3 1 3x 1 2 3 4g（x） 3 2 3 214．函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，则f（1）= ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．集合A={﹣2}，B={x|ax+1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值．16．求下列函数的值域（1）y=﹣，x∈[﹣3，0）∪（0，1]；（2）y=x2+4x+1，x∈[﹣3，0]．17．已知集合M是由三个元素﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4组成，若2∈M，求x．18．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，求f（x）及f（2）．19．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（0，+∞）上是单调增函数．20．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f （x）+f（y）﹣1，且f（4）=5．（1）求f（2）的值；（2）解不等式f（m﹣2）≤3．参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填写在题中横线上）1．下列所给关系正确的个数是 2 ．①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|﹣4|∉N*．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系进行判断．【解答】解：对于①π∈R：R是一切实数集，π是一个元素，所以π∈R是正确的，故A对．②∉Q：无理数，Q是有理数集，所以∉Q是正确的，故B对．③0∈N*：N*是大于0的正整数集，所以0∉N*，故C不对．④|﹣4|∉N*：N*是大于0的正整数集，|﹣4|=4∈N*，故D不对．综上所述：①②正确．故答案为：2．2．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M= {3，5，6} ．【考点】补集及其运算．【分析】题目是用列举法给出了两个数集，直接利用补集运算进行求解．【解答】解：因为集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}．故答案为：{3，5，6}．3．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B= {x|﹣1＜x＜3} ．【考点】并集及其运算．【分析】利用交集性质直接求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．4．已知f（x）=，则f[f（0）]= ﹣5 ．【考点】函数的值．【分析】根据定义域的范围代值计算即可．【解答】解：由题意，f（x）=，当x=0时，则f（0）=﹣1，那么f[f（0）]=f（﹣1），当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣5．即f[f（0）]=f（﹣1）=﹣5故答案为﹣55．函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）6．函数，使函数值为5的x的值是﹣2 ．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】根据分段函数的分段标准进行分类讨论，分别建立方程，求出满足条件的x即可．【解答】解：①当x≤0时，x2+1=5解得x=﹣2②当x＞0时，﹣2x=5解得x=﹣（舍去）综上所述，x=﹣2，故答案为﹣27．设A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，则A∩B= {（1，2）} ．【考点】交集及其运算．【分析】直接联立方程组，求出方程组是解，就是A与B的交集．【解答】解：由题意可知A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，所以解得，所以A∩B={（1，2）}．故答案为：{（1，2）}．8．若函数f（x）在实数集R上是增函数，且f（x）＞f（1﹣x），则x的取值范围是（，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】直接利用函数在R上是增函数，f（x）＞f（1﹣x）转化为x＞1﹣x求解即可．【解答】解：由题意：函数f（x）在实数集R上是增函数，由f（x）＞f（1﹣x），可得：x＞1﹣x，解得：x故答案为（，+∞）．9．满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数是8 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据已知中M满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，列举出所有满足条件的集合M，可得答案．【解答】解：若M满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，则M可能为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个，故答案为：810．已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有9 个．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】由题意知，函数的定义域中，1和﹣1至少有一个，2和﹣2中至少有一个．【解答】解：∵一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，∴函数的定义域可以为{1，2}，{﹣1，2}，{1，﹣2}，{﹣1，﹣2}，{1，﹣1，2}，{﹣1，1，﹣2}，{1，2，﹣2}，{﹣1，2，﹣2}，{1，﹣1，﹣2，2}，共9种可能，故这样的函数共9个，故答案为9．11．已知集合A={x|1≤x＜5}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．若C∩A=C，则a的取值范围是a≤﹣1 ．【考点】交集及其运算．【分析】由C∩A=C，得C⊆A，然后分C是空集和不是空集分类求解实数a的取值范围．【解答】解：由C∩A=C，得C⊆A，∵A={x|1≤x＜5}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．当﹣a≥a+3，即a时，C=∅，满足C⊆A；当C≠∅时，有，解得：﹣＜a≤﹣1．综上，a的取值范围是a≤﹣1．故答案为：a≤﹣1．12．已知全集U=R，函数y=+的定义域为集合A，函数y=的定义域为集合B．则集合（∁U A）∩（∁U B）= {x|x＜﹣2} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】分别求出集合A，B，再求补集，即可得到交集．【解答】解：A={x|}={x|x≥2}，A={x|x＜2}．UB={x|}={x|x≥﹣2且x≠3}，B={x|x＜﹣2或x=3}，U则（∁U A）∩（∁U B）={x|x＜﹣2}．故答案为：{x|x＜﹣2}．13．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：则满足f（g（x））=g（f（x））的x值为2，4 ．x 1 2 3 4f（x） 1 3 1 3x 1 2 3 4g（x） 3 2 3 2【考点】函数的值．【分析】结合表格，先求出内涵式的函数值，再求出外函数的函数值；分别将x=1，2，3，4代入f[g（x）]，g[f（x）]，判断出满足f[g（x）]=g[f（x）]的x．【解答】解：x=1时，f（g（1））=f（3）=1；g（f（1））=g（1）=3，不满足f（g（x））=g（f（x））；x=2时，f（g（2））=f（2）=3；g（f（2））=g（3）=3，满足f（g（x））=g（f（x））；x=3时，f（g（3））=f（1）=1；g（f（3））=g（1）=3，不满足f（g（x））=g（f（x））；x=4时，f（g（4））=f（2）=3；g（f（4））=g（3）=3，满足f（g（x））=g（f（x））；故答案为：2，414．函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，则f（1）= ﹣3 ．【考点】二次函数的性质．【分析】利用当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，得到2是函数的对称轴，然后求出m，直接代入求f（1）即可．【解答】解：函数f（x）=2x2﹣mx+3的对称轴为．∵当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，∴x=2是函数f（x）=2x2﹣mx+3的对称轴，即，解得m=8．∴f（x）=2x2﹣8x+3，即f（1）=2﹣8+3=﹣3．故答案为：﹣3．二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．集合A={﹣2}，B={x|ax+1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】由A∩B=B即得，B⊆A，所以B的可能情况为：B=∅，或B={﹣2}，所以得到a=0，或．【解答】解：∵A∩B=B；∴B⊆A；∴B=Ø或B={﹣2}；当B=Ø时，方程ax+1=0无解，此时a=0；当B={﹣2}时，﹣2a+1=0，∴；∴a=0，或．16．求下列函数的值域（1）y=﹣，x∈[﹣3，0）∪（0，1]；（2）y=x2+4x+1，x∈[﹣3，0]．【考点】函数的值域．【分析】（1）可看出函数在[﹣3，0），（0，1]上都是增函数，从而根据单调性求出该函数的值域；（2）只需配方便可求出该函数的最大、最小值，从而得出该函数的值域．【解答】解：（1）在[﹣3，0），（0，1]上都是增函数；∴﹣3≤x＜0时，，0＜x≤1时，y≤﹣4；∴该函数值域为；（2）y=x2+4x+1=（x+2）2﹣3；∴x=0时，y取最大值1，x=﹣2时，y取最小值﹣3；∴该函数的值域为[﹣3，1]．17．已知集合M是由三个元素﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4组成，若2∈M，求x．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】集合M由3个元素组成，﹣2是其中一个，若2也是M中元素，需讨论3x2+3x﹣4=2和x2+x﹣4=2两种情况，根据集合的互异性，正确选取合适的答案即可．【解答】解：∵2∈M，当3x2+3x﹣4=2时，即x2+x﹣2=0，则x=﹣2或x=1．经检验，x=﹣2，x=1均不合题意，违反了集合的互异性．当x2+x﹣4=2时，即x2+x﹣6=0，则x=﹣3或2．经检验，x=﹣3或x=2均合题意．故答案为：x=﹣3或x=2．18．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，求f（x）及f（2）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】设f（x）=ax+b，a≠0，代入已知式子，比较系数可得a、b的方程组，解之可得解析式及f（2）．【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，a≠0∵f[f（x）]=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a2x+ab+b又f[f（x）]=4x﹣1，∴a2x+ab+b=4x﹣1比较系数可得解得或．∴f（x）=2x﹣，或f（x）=﹣2x+1，f（2）=4﹣=，或f（2）=﹣4+1=﹣3．19．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（0，+∞）上是单调增函数．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】首先，设两个自变量，然后，比较它们函数值的大小，最后，得到结论．【解答】解：任设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）==，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴在区间（0，+∞）上是单调增函数．20．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f （x）+f（y）﹣1，且f（4）=5．（1）求f（2）的值；（2）解不等式f（m﹣2）≤3．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【分析】（1）令x=y=2，通过f（4）=5以及f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1即可求f（2）的值；（2）利用（1）的结果，通过函数的单调性的性质，直接求解不等式f（m﹣2）≤3．【解答】解：（1）对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且f（4）=5，令x=y=2，则f（4）=f（2+2）=2f（2）﹣1=5，解得f（2）=3．（2）由f（m﹣2）≤3，f（2）=3，得f（m﹣2）≤f（2）．∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，m﹣2≤2且m﹣2＞0；⇒m≤4且m＞2 ∴2＜m≤4．不等式的解集为：{m|2＜m≤4}．2017年1月10日。
2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)_5 2)
2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.（其中第1-11小题是单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；第12题是多选题，少选得3分，错选得0分）1. 下列因式分解错误的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的方法确定分解错误的选项.【详解】A选项，利用提公因式法可知，所以A选项正确.B选项，利用平方差公式可知，所以B选项正确.C选项，由于，所以C选项错误.D选项，由十字相乘法可知，所以D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查因式分解，属于基础题.2. 如图，观察①、②、③的变化规律，则第④张图形应为（）①②③④______A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据逆时针旋转确定正确选项.【详解】由①、②、③可知，图形是逆时针方向旋转，所以第④张图形应C.故选：C【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.3. 已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6【答案】A【解析】【分析】设另一根为t，结合韦达定理即可求解【详解】设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，属于基础题4. 在平面直角坐标系中直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有个公共点，则m的取值范围是（）A. B.C. D. 或【答案】D【分析】先用判别式求得，然后用判别式列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】由于直线与反比例函数的图象有唯一公共点，即有唯一解，消去得，.直线与反比例函数的图象有个公共点，即由两个不同的解，消去得，，，解得或.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图象交点个数求参数，属于基础题.5. 已知二次函数（其中），关于这个二次函数的图像有如下说法：①图像的开口一定向上；②图像的顶点一定在第四象限；③图像与轴的交点至少有一个在轴的右侧.以上说法正确的个数为（）A. B. C. D.【解析】【分析】①根据判断；②根据判断；③根据，判断；【详解】①因为，所以图像的开口一定向上，故正确；②因为，所以，所以图像的顶点一定在第三象限，故错误；③因为开口向上，对称轴，所以图像与轴的交点至少有一个在轴的右侧，故正确；故选：C.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，还考查分析求解问题的能力，属于基础题.6. 下面给出的四类对象中，构成集合的是( )A. 某班个子较高的同学B. 大于2的整数C. 的近似值D. 长寿的人【答案】B【解析】【分析】由集合的确定性进行一一判断即可.【详解】“某班个子较高的同学”不能构成集合，因为描述的对象不确定，多高才算高个子没有规定，所以不能构成集合；“大于2的整数”可以构成集合，它是一个明确的数集，集合中的元素都是大于2的整数；“的近似值”不能构成集合，因为没有明确哪些数才是的近似值，没有给出精确的程度，所以不能构成集合；“长寿的人”不能构成集合，因为年龄多大才算长寿没有一个明确的标准，所以不能构成集合.故选：B【点睛】本题主要考查了判断用自然语言描述的对象是否构成集合，关键是利用集合的确定性进行判断，属于基础题.7. 若，则A. B. 或 C. D.【答案】C【解析】【详解】由，解得所以.故选C.【点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．8. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系、交集等知识确定正确选项.【详解】①，是集合，所以错误.②，空集是任何集合的子集，所以正确.③，集合是集合本身的子集，所以正确.④，空集没有元素，所以错误.⑤，是元素，是集合，所以错误.故错误的有个.故选：C【点睛】本小题主要考查元素与集合、集合与集合的关系、交集等知识.9. 已知非空集合，则满足条件的集合的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】求得集合，再根据非空集合，得到，即可求解.【详解】由题意，集合，因为，可得所以满足条件的集合的个数是1个.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合间的关系及应用，其中解答中正确求解集合，再结合集合间的包含关系求解是解答的关键，属于基础题.10. 已知全集，，，则（）A. 或B.C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据全集，，利用补集的运算求得，然后由，利用并集的运算求解.【详解】因为全集，，所以或，又，所以或，故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.11. 已知集合中有个元素，中有个元素，全集中有个元素，.设集合有个元素，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集、并集、补集的知识确定正确选项.【详解】依题意集合中有个元素，中有个元素，全集中有个元素，，所以至少有个元素，最多有个元素（即）.所以至多有个元素，最少有个元素（即）.而，所以至少有个元素，最多有个元素，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集，属于基础题.12. 已知集合中至多有一个元素，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，由此确定正确选项.【详解】当时，，符合题意.当时，，所以符合.故选：ACD【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的个数求参数.第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.13. 解不等式组，则该不等式组的最大整数解是______.【答案】【解析】【分析】解不等式组求得的取值范围，由此求得的最大整数解.【详解】依题意，所以的最大整数解为.故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的解法，属于基础题.14. 已知三角形的三边长为满足，则此三角形为______三角形.(填写形状)【答案】直角【解析】【分析】通过计算得到，由此判断三角形为直角三角形.【详解】依题意，所以，故为直角.所以三角形是直角三角形.故答案为：直角【点睛】本小题主要考查三角形形状的判断.15. 已知集合，若，则实数的值为_____________ .【答案】或【解析】【分析】根据以及集合元素的互异性求得的值.【详解】依题意，当时，，，符合题意.当时，，，不满足互异性，错误.当，（舍去）或，时，，符合题意.综上所述，实数的值为或.故答案为：或【点睛】本小题主要考查元素与集合，属于基础题.16. 设集合，若非空集合满足：①；②（其中表示集合中元素的个数，表示集合中的最小元素），则称为的一个好子集，的所有好子集的个数为____________.【答案】【解析】【分析】利用列举法求得所有好子集.【详解】依题意是非空集合，且是的子集.是否好子集122233341223121综上所述，好子集有个.故答案为：【点睛】本小题主要考查集合新定义，考查子集的知识，属于基础题.三、解答题：满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，非空集合，若，求实数的取值范围.【答案】【解析】分析】先由非空集合，得到，即，然后根据是的子集，由求解.【详解】，非空集合，所以，即，所以，因为是的子集，故，解得，故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查集合基本关系的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.18. 已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）根据并集的定义计算；（2）对分类，分两类：和，对再根据交集的定义求解．【详解】解：（1）当时，，，因此，；（2）∴①当时，即，；②当时，则或，解得或.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查集合的运算，掌握交集、并集的定义是解题关键．在交集为空集时要注意分类讨论．19. 现学校需要从名女生和名男生中随机选择校园广播员，如果选名校园广播员，请用树状图或列表法求出名校园广播员恰好是男女的概率.【答案】作图见解析；概率为.【解析】【分析】利用树状图列举出基本事件的总数，再从中找出恰好是男女的基本事件数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】如图所示：共有种等可能的结果，名主持人恰好男女的情况有种，名主持人恰好男女的概率.【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，属于基础题. 20. 如图，圆的直径与弦相交于点，若，求圆的半径长.【答案】【解析】【分析】过点作于，连接，在中，根据，列出方程，即可求解.【详解】过点作于，连接，如图所示，因为所以在中，可得，即，解得，或（舍去），所以的半径为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆的弦的性质，以及勾股定理的应用，其中解答中熟练应用圆的弦的性质，结合勾股定理，列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.21. 某地电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任意选择其中一种：第一种是计时制，元/分；第二种是包月制，元/月（限一部个人住宅电话上网）.此外，每一种上网方式都得加收通讯费元/分.（1）若小明家一个月上网的时间为小时，用含的代数式分别表示出两种收费方式下，小明家一个月应该支付的费用；（2）若小明估计自家一个月内上网的时间为小时，你认为他家采用哪种方式较为合算？【答案】（1）采用计时制应付的费用为：元，采用包月制应付的费用为：元；（2）采用包月制合算.【解析】【分析】（1）采用计时制根据元/分和加收通讯费元/分求解；采用包月制根据元/月和加收通讯费元/分求解.（2）由（1）建立的函数模型，将小代入求值比较即可.【详解】（1）采用计时制应付的费用为：元，采用包月制应付的费用为：元.（2）若一个月内上网的时间为小时，则计时制应付的费用为（元）包月制应付的费用为（元），采用包月制合算.【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用，还考查了建模和解模的能力，属于基础题.22. 如图，已知二次函数的图象经过、、三点.（1）求该二次函数的解析式；（2）点是该二次函数图象上的一点，且满足（是坐标原点），求点的坐标；（3）点是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接分别交、轴于点、，若的面积分别为、，求的最大值.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）由已知条件得到可求得答案；（2）求得直线过且，直线解析式与抛物线方程联立可得答案；（3）设，求出表达式，然后配方求最值.【详解】（1）由题意可得，解得，抛物线解析式为；（2）当点在轴上方时，过作交抛物线于点，如图，图1、关于对称轴对称，、关于对称轴对称，四边形为等腰梯形，，即点满足条件，；当点在轴下方时，，，，可设直线解析式为，把代入可求得，直线解析式为，可设直线解析式为，把代入可求得，直线解析式为，联立直线和抛物线解析式可得解得或，；综上可知满足条件的点的坐标为或；（3）设，，，，，且，，当时，有有最大值，最大值为.【点睛】本题考查抛物线的图象与性质，直线与抛物线的位置关系，需要有较强的理解了、计算能力.2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.（其中第1-11小题是单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；第12题是多选题，少选得3分，错选得0分）1. 下列因式分解错误的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的方法确定分解错误的选项.【详解】A选项，利用提公因式法可知，所以A选项正确.B选项，利用平方差公式可知，所以B选项正确.C选项，由于，所以C选项错误.D选项，由十字相乘法可知，所以D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查因式分解，属于基础题.2. 如图，观察①、②、③的变化规律，则第④张图形应为（）①②③④______A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据逆时针旋转确定正确选项.【详解】由①、②、③可知，图形是逆时针方向旋转，所以第④张图形应C.故选：C【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.3. 已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A ﹣3 B. ﹣2 C. 3 D. 6【答案】A【解析】【分析】设另一根为t，结合韦达定理即可求解【详解】设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，属于基础题4. 在平面直角坐标系中直线与反比例函数的图象有唯一公共点，若直线与反比例函数的图象有个公共点，则m的取值范围是（）A. B.C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先用判别式求得，然后用判别式列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】由于直线与反比例函数的图象有唯一公共点，即有唯一解，消去得，.直线与反比例函数的图象有个公共点，即由两个不同的解，消去得，，，解得或.故选：D【点睛】本小题主要考查函数图象交点个数求参数，属于基础题.5. 已知二次函数（其中），关于这个二次函数的图像有如下说法：①图像的开口一定向上；②图像的顶点一定在第四象限；③图像与轴的交点至少有一个在轴的右侧.以上说法正确的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】①根据判断；②根据判断；③根据，判断；【详解】①因为，所以图像的开口一定向上，故正确；②因为，所以，所以图像的顶点一定在第三象限，故错误；③因为开口向上，对称轴，所以图像与轴的交点至少有一个在轴的右侧，故正确；故选：C.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，还考查分析求解问题的能力，属于基础题.6. 下面给出的四类对象中，构成集合的是( )A. 某班个子较高的同学B. 大于2的整数C. 的近似值D. 长寿的人【答案】B【解析】【分析】由集合的确定性进行一一判断即可.【详解】“某班个子较高的同学”不能构成集合，因为描述的对象不确定，多高才算高个子没有规定，所以不能构成集合；“大于2的整数”可以构成集合，它是一个明确的数集，集合中的元素都是大于2的整数；“的近似值”不能构成集合，因为没有明确哪些数才是的近似值，没有给出精确的程度，所以不能构成集合；“长寿的人”不能构成集合，因为年龄多大才算长寿没有一个明确的标准，所以不能构成集合.故选：B【点睛】本题主要考查了判断用自然语言描述的对象是否构成集合，关键是利用集合的确定性进行判断，属于基础题.7. 若，则A. B. 或 C. D.【答案】C【解析】【详解】由，解得所以.故选C.【点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．8. 下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系、交集等知识确定正确选项.【详解】①，是集合，所以错误.②，空集是任何集合的子集，所以正确.③，集合是集合本身的子集，所以正确.④，空集没有元素，所以错误.⑤，是元素，是集合，所以错误.故错误的有个.故选：C【点睛】本小题主要考查元素与集合、集合与集合的关系、交集等知识.9. 已知非空集合，则满足条件的集合的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】求得集合，再根据非空集合，得到，即可求解.【详解】由题意，集合，因为，可得所以满足条件的集合的个数是1个.故选：A.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合间的关系及应用，其中解答中正确求解集合，再结合集合间的包含关系求解是解答的关键，属于基础题.10. 已知全集，，，则（）A. 或B.C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据全集，，利用补集的运算求得，然后由，利用并集的运算求解.【详解】因为全集，，所以或，又，所以或，故选：D【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.11. 已知集合中有个元素，中有个元素，全集中有个元素，.设集合有个元素，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集、并集、补集的知识确定正确选项.【详解】依题意集合中有个元素，中有个元素，全集中有个元素，，所以至少有个元素，最多有个元素（即）.所以至多有个元素，最少有个元素（即）.而，所以至少有个元素，最多有个元素，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集，属于基础题.12. 已知集合中至多有一个元素，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，由此确定正确选项.【详解】当时，，符合题意.当时，，所以符合.故选：ACD【点睛】本小题主要考查根据一元二次方程根的个数求参数.第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上.13. 解不等式组，则该不等式组的最大整数解是______.【答案】【解析】【分析】解不等式组求得的取值范围，由此求得的最大整数解.【详解】依题意，所以的最大整数解为.故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的解法，属于基础题.14. 已知三角形的三边长为满足，则此三角形为______三角形.(填写形状)【答案】直角【解析】【分析】通过计算得到，由此判断三角形为直角三角形.【详解】依题意，所以，故为直角.所以三角形是直角三角形.故答案为：直角【点睛】本小题主要考查三角形形状的判断.15. 已知集合，若，则实数的值为_____________ .【答案】或【解析】【分析】根据以及集合元素的互异性求得的值.【详解】依题意，当时，，，符合题意.当时，，，不满足互异性，错误.当，（舍去）或，时，，符合题意.综上所述，实数的值为或.故答案为：或【点睛】本小题主要考查元素与集合，属于基础题.16. 设集合，若非空集合满足：①；②（其中表示集合中元素的个数，表示集合中的最小元素），则称为的一个好子集，的所有好子集的个数为____________.【答案】【解析】【分析】利用列举法求得所有好子集.【详解】依题意是非空集合，且是的子集.是否好子集122233341223121综上所述，好子集有个.故答案为：【点睛】本小题主要考查集合新定义，考查子集的知识，属于基础题.三、解答题：满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，非空集合，若，求实数的取值范围.【答案】【解析】分析】先由非空集合，得到，即，然后根据是的子集，由求解.【详解】，非空集合，所以，即，所以，因为是的子集，故，解得，故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查集合基本关系的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.18. 已知集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）根据并集的定义计算；（2）对分类，分两类：和，对再根据交集的定义求解．【详解】解：（1）当时，，，因此，；（2）∴①当时，即，；②当时，则或，解得或.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查集合的运算，掌握交集、并集的定义是解题关键．在交集为空集时要注意分类讨论．19. 现学校需要从名女生和名男生中随机选择校园广播员，如果选名校园广播员，请用树状图或列表法求出名校园广播员恰好是男女的概率.【答案】作图见解析；概率为.【解析】【分析】利用树状图列举出基本事件的总数，再从中找出恰好是男女的基本事件数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】如图所示：共有种等可能的结果，名主持人恰好男女的情况有种，名主持人恰好男女的概率.【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，属于基础题.20. 如图，圆的直径与弦相交于点，若，求圆的半径长.【答案】【解析】【分析】过点作于，连接，在中，根据，列出方程，即可求解.【详解】过点作于，连接，如图所示，因为所以在中，可得，即，解得，或（舍去），所以的半径为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆的弦的性质，以及勾股定理的应用，其中解答中熟练应用圆的弦的性质，结合勾股定理，列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.21. 某地电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任意选择其中一种：第一种是计时制，元/分；第二种是包月制，元/月（限一部个人住宅电话上网）.此外，每一种上网方式都得加收通讯费元/分.（1）若小明家一个月上网的时间为小时，用含的代数式分别表示出两种收费方式下，小明家一个月应该支付的费用；（2）若小明估计自家一个月内上网的时间为小时，你认为他家采用哪种方式较为合算？【答案】（1）采用计时制应付的费用为：元，采用包月制应付的费用为：元；（2）采用包月制合算.【解析】【分析】（1）采用计时制根据元/分和加收通讯费元/分求解；采用包月制根据元/月和加收通讯费元/分求解.（2）由（1）建立的函数模型，将小代入求值比较即可.【详解】（1）采用计时制应付的费用为：元，采用包月制应付的费用为：元.（2）若一个月内上网的时间为小时，则计时制应付的费用为（元）包月制应付的费用为（元），采用包月制合算.【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用，还考查了建模和解模的能力，属于基础题.22. 如图，已知二次函数的图象经过、、三点.（1）求该二次函数的解析式；（2）点是该二次函数图象上的一点，且满足（是坐标原点），求点的坐标；（3）点是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接分别交、轴于点、，若的面积分别为、，求的最大值.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）由已知条件得到可求得答案；（2）求得直线过且，直线解析式与抛物线方程联立可得答案；（3）设，求出表达式，然后配方求最值.【详解】（1）由题意可得，解得，抛物线解析式为；（2）当点在轴上方时，过作交抛物线于点，如图，图1、关于对称轴对称，、关于对称轴对称，四边形为等腰梯形，，即点满足条件，；当点在轴下方时，，，，可设直线解析式为，把代入可求得，直线解析式为，可设直线解析式为，把代入可求得，直线解析式为，联立直线和抛物线解析式可得解得或，；综上可知满足条件的点的坐标为或；（3）设，，，，，且，，当时，有有最大值，最大值为.【点睛】本题考查抛物线的图象与性质，直线与抛物线的位置关系，需要有较强的理解了、计算能力.。
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
D．f（x）的最小值为 2
【答案】BC
【分析】通过
f
6
f
6
可判断 A；通过
f
x
f
x 可判断 B；通过
5
f
2
x
f
2
x
可判断
C；通过当
x
0 时，
f
x
0
可判断
D.
【详解】对于命题
A，
f
6
1 2
2
5 2
，
f
6
1 2
2
5 2
，则
f
6
f
6
，
所以，函数 f x 的图象不关于 y 轴对称，命题 A 错误；
【分析】先由幂函数的定义求出 m 0 或 m 3 ，再检验得解. 【详解】依题意得 m2 3m 1 1 ，解得 m 0 或 m 3 ．
当 m 0 时， f x x ，其图像经过原点，不符合题意； 当 m 3 时， f x x2 ，其图像不经过原点，符合题意，
因此实数 m 的值为 3． 故答案为 3 【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14． 2 lg 5 2 lg 8 lg 5 lg 20 lg2 2 =___________ 3
【答案】3 【分析】由题意结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意结合对数的运算法则有：
2 lg 5 2 lg 8 lg 5 lg 20 lg2 2 3
2 lg 5 2 lg 2 lg 5 2 lg 2 lg 5 lg 22
1 标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到函数 g(x) 的图象，则函数 g( x) 3sin(2x ) ，
江苏省南京金陵中学2020—2021学年高一第一学期第一次月考数学试卷(含答案)
D．( − ，﹣4)
6．已知 x＞2，则函数 y = 4 + 4x 的最小值是 x−2
A．6
B．8
C．12
(4， + )
D．16
7．设全集 U＝R，M＝ x x −2或x 2 ，N＝ x 1 x 3 ．如图所示，则阴影部分所表
示的集合为
A．x −2 x 1 B．x −2 x 3
3
21．（本小题满分 12 分）
已知 y = −3x2 + a(6 − a)x +12 ．
（1）若不等式 y＞b 的解集为(0，3)，求实数 a，b 的值；
（2）若 a＝3 时，对于任意的实数 x，都有 y 3x + 9m2 − 6m ，求 m 的取值范围．
22．（本小题满分 14 分）
设函数 y = ax2 + x − b (aR，bR)．
三、填空题（本大题共 5 小题， 每小题 5 分，共计 25 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上）
12．集合 A＝ x x2 − 8x +15 = 0 ，B＝ x x2 − ax + b = 0 ，若 A B＝{2，3，5}，A
B＝{3}，则 ab＝
．
13．若关于 x 的不等式 ax + b 0 的解集为(1， + )，则 a − 1 +1 的最小值为
已知加工此农产品还要投入成本 3(w + 3 ) 万元（不包括推广促销费用），若加工后的每 w
件成品的销售价格定为 (4 + 30) 元/件． w
（1）试将该批产品的利润 y 万元表示为推广促销费 x 万元的函数；（利润＝销售额﹣成 本﹣推广促销费）
（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？
南京市金陵中学高一数学12月月考试卷 (1)
19.（12 分）已知函数 y = f(x) 定义域为 D，对于定义域 D 上的任意不等实数 x1，x2， 试比较下列
函数中的 f(x1) + f(x2) 与f x1 + x2 的大小关系.
被用来构造“同族函数”的是
()
A. y = x)
B. y = x + 1 x
C. y = 2x − 2−x
D. y = log0.5 x
7.
函数 f(x) =
ex + 1 ex − 1
cos x 的部分图像大致为
y
y
y
()
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A.
B.
C.
D.
8.
定义在 R 上的函数 f(x) 满足：f(x + 1) =
实数 a 的取位范围.Robin 老师告诉该同学“函数:g(x) = ex − x − 1 的单调区间是 [0， + ∞) 和
(−∞，0], 且函数 h(x) = x − 3 ln x 在 (1， + ∞) 有零点”. 根据 Robin 老师的提示，可求得问题中
实数 a 的取值范围是
.
四、解答题：共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
()
6. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”. 例如：函
数 y = x2，x ∈ [1，2] 与函数 y = x2, x ∈ [−2， − 1] 即为“同族函数”. 下面函数解析式中也能够
2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题 (I)
2020-2021学年高一数学上学期第一次月考试题 (I)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}1,2,3,4,0,1,2,3,M N ==则（ ）.A M N ⊆ .B N M ⊆ {}.1,2,3C MN = {}.1,2,3D M N =2.函数的定义域是 （ ）A.B.C.D.3．下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）.3x A y = 13.log B y x = 1.C y x =- 2.(1)D y x =+4．函数的零点所在的区间是 （ ）A.B.C.D.5．在同一直角坐标系中，当1a >时，函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭和log a y x =的大致图像（ ）y xyxyxyxDCBA1O1O1O1O11116．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ( )A.圆柱B. 圆台C.圆锥D. 棱台俯视图侧视图正视图7. 直线320x y -+=的倾斜角的大小为 （ ）A.B.C.D.8. 已知球的直径是4cm ，则它的表面积是（ ）（单位：2cm ）16.3A π 32.3B π.8C π .16D π9.圆心在轴上，并且过点和的圆的方程为 ( )A. B. C.D.10．已知直线b a ,与平面γβα,,，下列条件中能推出βα//的是（ ） A ．ββαα//,//,,b a b a ⊂⊂ B ．γβγα⊥⊥且C ．b a b a //,,βα⊂⊂D ．βα⊥⊥a a 且11. 若直线x+2y+1=0与直线ax+y ﹣2=0互相垂直，那么a 的值等于（ ） A ．﹣2 B ．﹣． C.﹣D ．112．圆221:4C x y +=和222:(3)(4)49C x y -++=的位置关系是（ ）.A 相交 .B 相离 .C 内切 .D 外切二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知幂函数αx y =的图象过点)2,2(，这个函数的表达式为______.14. 已知函数，则（ ）15．直线:0l x y k ++=与圆：2)1()2(22=++-y x 相切，则k 的值为_____________. 16. 直线02=--y mx 与直线012=-+y x 平行，则m 的值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U=R ，集合A={x | x+1≥1且x ﹣3≤0}，B={x| a≤ x ≤ a+2，a ∈R}． （1）当a = 1时，求A∩B；（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，求实数a 取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数)1(log )1(log )(x x x f a a --+=其中(01)a a >≠且． （1）求函数)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （5，﹣1）， B （7，3），C （2，8）． （1）求直线AB 的方程；（2）求AB 边上高所在的直线l 的方程；20. （本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，,AB AD =点P 为的1DD 中点. (1) 若12,6,AB DD ==求三棱锥的体P ACD V -; (2) 求证：1//BD PAC 直线面; (3) 求证：1PAC BDD ⊥平面平面.P DAA 1BCC 1D 1B 121. （本小题满分12分）有一个几何体的三视图如下图所示，主视图（正视图）和左视图（侧视图）均为边长为3的等边三角形，俯视图是边长为3的正方形，求这个几何体的表面积和体积.22．（本小题满分12分）已知圆C经过点A（2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x上．（1）求圆C的方程；（2）已知斜率为k的直线m过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线m的方程．高一年级数学试题答案1-12:CDACDB BDADAC13:x y = 14:8 15:-3或1 16：-2三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知全集U=R ，集合A={x | x+1≥1且x ﹣3≤0}，B={x| a≤ x ≤ a+2，a ∈R}． （1）当a = 1时，求A∩B；（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，求实数a 取值范围． 解：（1）当a=1时，由题可解得A=[0，3]，B=[1，3]，… A∩B=[1，3]…（2）当集合A ，B 满足A B ⊆时，由得实数a 的取值范围是[0，1] 18．（本小题满分12分）已知函数)1(log )1(log )(x x x f a a --+=其中(01)a a >≠且． （1）求函数)(x f 的定义域； （2）判断)(x f 的奇偶性，并说明理由； 解（1）所以所求定义域为{}11x x -<<. （2）是奇函数.19. （本小题满分12分） 【解答】解：（1）∵K AB ==2，∴直线AB 的方程是：y+1=2（x ﹣5），即2x ﹣y ﹣11=0； （2）∵AB⊥l，∴K AB •K l =﹣1，解得：K l =﹣，∴过C （2，8），斜率是﹣的直线方程是：y ﹣8=﹣（x ﹣2）， 即x+2y ﹣18=0；20. （本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，,AB AD =点P 为的1DD 中点. (1) 若12,6,AB DD ==求三棱锥的体积P ACD V -; (2) 求证：1//BD PAC 直线面; (3) 求证：1PAC BDD ⊥平面平面.P DAA 1C 1D 1B 1证明：（1）若12,6,AB DD ==则3,PD PD ACD =⊥平面，∴11232P ACD V PD AD DC -=⨯⨯⨯⨯=，……3分 （2）设AC 和BD 交于点O ，连接PO ，……4分 ∵,P O 分别是1,DD BD 的中点，∴1//PO BD ，……………………6分又PO AC ⊂平面P ，1BD AC ⊄平面P ，……7分 ∴1//BD PAC 直线面；……………8分（3）在长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD =， ∴底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，…………………………………9分 又1DD ABCD AC ABCD ⊥⊂面，面， ∴1DD AC ⊥，又1DD BD D =，…………………………………11分∴1AC BDD ⊥面，又AC AC ⊂面P ，…………………………………13分 ∴1PAC BDD ⊥平面平面.…………………………………14分21.解：该几何体为底边为3、侧面斜高为3的正四棱锥. 故这个几何体的表面积4S S S =+表侧三角形底143333272=⨯⨯⨯+⨯=正四棱锥高为22333322h =-=四棱锥（）故这个几何体的体积为1393333322V =⨯⨯⨯=四棱锥22．已知圆C 经过点A （2，﹣1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=﹣2x 上． （1）求圆C 的方程；（2）已知斜率为k 的直线m 过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线m 的方程． 解：（1）由题意设圆心的坐标为C （a ，﹣2a ），…（1分） ∵圆C 经过点A （2，﹣1），直线x+y=1相切， ∴=，…（3分）化简得a 2﹣2a+1=0，解得a=1，…（4分） ∴圆心C （1，﹣2），半径r=|AC|==∴圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y+2）2=2 （2）设直线m 的方程为y=kx ，俯视图左视图主视图OPDAA 1BCC 1D 1B 1由题意得解得k=，…（11分）∴直线m的方程为．【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。
2021-2022学年高一上学期10月月考数学试卷(解析版)(江苏省南京市金陵中学集团人民中学)
金陵中学集团·人民中学高一年级月考试卷数学(满分：150分考试时间：120分钟)2021．10一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列集合表示正确的是()A．{2，4}B．{2，3，3}C．{2，2，3}D．{高个于男生}【答案】A【考点】集合的表示【解析】由题意可知，选项B、C不满足集合的互异性，选项D不满足集合的确定性，故答案选A．2．已知非零实数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是()A．a＋b＞0B．a2＞b2C．1a＜1bD．a2＋b2＞2ab【答案】D【考点】不等关系的判断【解析】由题意可知，因为a＞b，所以a2＋b2－2ab＝(a－b)2＞0，故答案选D．3．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z)，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}，集合之间的关系是()A．S M P B．S＝P M C．S P＝M D．P＝M S【答案】C【考点】集合间的关系【解析】由题意可知，集合M、P表示的是被3整除余1的整数集，集合S表示的是被6整除余1的整数集，故答案选C．4．已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z|－1≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k＋1，k∈N*}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有()A．2个B．3个C．4个D．无穷多个【答案】B【考点】集合的图示法应用【解析】由题意可知，集合M＝{x∈Z|－1≤x－1≤2}＝{x∈Z|0≤x≤3}＝{0，1，2，3}，N ＝{x|x＝2k＋1，k∈N*}，所以阴影部分表示的集合为(C U N)∩M＝{0，1，2}，则有3个元素，故答案选B．5．使不等式x2－x－6＞0成立的充分不必要条件是()A．－2＜x＜0B．－3＜x＜2C．0＜x＜5D．－2＜x＜4【答案】A【考点】逻辑用语中条件的判断【解析】由题意可知，不等式x2－x－6＞0的解为－2＜x＜3，则(－2，0) (－2，3)，即不等式的充分不必要条件是为－2＜x＜0，故答案选A．6．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了个“半衰期”．【提示：1290.00195】A．10B．9C．11D．8【答案】A【考点】新情景问题下的指对数运算【解析】由题意可设生物组织内原有的碳14含量为x，需要经过n个才能被测到碳14，则x 12n ＜11000x，即12n＜0.001，由参考数据可知，129＝0.00195＞0.001，1210＝0.00195×12＝0.000975＜0.001，所以n＝10，故答案选A．7．已知不等式ax2＋5x＋b＞0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2－5x＋a＜0的解集是()A．{x|x＜－3或x＞－2}B．{x|x＜－12或x＞－1 3 }C ．{x |－12＜x ＜－13}D ．{x |－3＜x ＜－2}【答案】B【考点】三个“二次”关系的转化与应用【解析】由题意可知，2，3为方程ax 2＋5x ＋b ＝0＋3＝－5a ×3＝b a＝－1＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a ＜0可化为－6x 2－5x －1＜0，即(2x ＋1)(3x ＋1)＞0，解得x ＜－12或x＞－13，故答案选B ．8．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最大值是()A ．63B ．－233C ．433D ．－433【答案】D【考点】三个“二次”的转化、基本不等式的应用【解析】由题意可得，x 1，x 2为方程x 2－4ax ＋3a 2＝0的两个根，所以由根与系数的关系，可得x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，所以x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a，因为a ＜0，所以－4a －13a≥2(－4a )·(－13a )＝433，当且仅当－4a ＝－13a ，即a ＝－36时等号成立，所以4a ＋13a≤－433，故答案选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9．下列运算结果中，一定正确的是()A ．a 3·a 4＝a 7B ．(－a 2)3＝a6C ．8a 8＝aD ．5(－π)5＝－π【答案】AD【考点】指数幂的运算【解析】由题意可知，对于选项A ，a 3·a 4＝a3＋4＝a 7，故选项A 正确；对于选项B ，(－a 2)3＝－a 6，故选项B 错误；对于选项C ，当a 为负数时，结果为－a ，故选项C 错误；对于选项D ，5(－π)5＝－π成立，故选项D 正确；综上，答案选AD ．10．下列四个不等式中解集为R 的是()A ．－x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－25x ＋5＞0C ．－2x 2＋3x －4＜0D ．x 2＋6x ＋10＞0【答案】CD【考点】一元二次不等式的解【解析】由题意可知，对于选项A ，－x 2＋x ＋1≥0可化为x 2－x －1≤0，其解集为1－52≤x ≤1＋52，故选项A 错误；对于选项B ，不等式x 2－25x ＋5＞0，因为∆＝(25)2－4×5＞0，则其解集不为R ，故选项B 错误；对于选项C ，不等式－2x 2＋3x －4＜0可化为x 2＋32x＋2＞0，所以(x －34)2＞－2316，则原不等式的解集为R ，故选项C 正确；对于选项D ，不等式x 2＋6x ＋10＞0可化为(x ＋3)2＞－1，则原不等式的解集为R ，故选项D 正确；综上，答案选CD ．11．下列结论正确的是()A ．若函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)不存在零点，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R B ．不等式ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)在R 上恒成立的条件是a ＜0且∆＝b 2－4ac ≤0C ．若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则a ≤－14D ．不等式1x ＞1的解为x ＜1【答案】BC【考点】不等式的综合应用【解析】由题意，对于选项A ，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)不存在零点，则∆＜0，而不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集：①当a ＞0时，解集为R ，②当a ＜0时，解集为x ≠ ，故选项A 错误；对于选项B ，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)在R 上恒成立的条件是a ＜0且∆＝b 2－4ac ≤0，故选项B 正确；对于选项C ，关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则①当a ＝0时，x ≤1，不满足条件，②当a ＜0时，∆＝1＋4a ≤0，解得a ≤－14，故选项C 正确；对于选项D ，1x ＞1，整理得1－x x ＞0，即x －1x ＜0，解得0＜x ＜1，故选项D 错误；综上，答案选BC ．12．设全集为U ，则下面四个命题中是“A ⊆B ”的充要条件的是()A ．A ∩B ＝AB ．( U A ) ( U B )C ．( U B )∩A ＝D ．( U A )∩B ＝【答案】ABC【考点】集合的关系判断、充要条件的判断【解析】由A ∩B ＝A ，可得A B ，由A B ，可得A ∩B ＝A ，故“A ∩B ＝A ”是“A B ”的充要条件，故选项A 满足条件；由( U A ) ( U B )，可得A B ，由A B ，可得( U A ) ( U B )，故“( U A ) ( U B )”是“A B ”的充要条件，故选项B 满足条件；由( U B )∩A ＝ ，可得A B ，由A B 可得( U B )∩A ＝ ，故“( U B )∩A ＝ ”是“A B ”的充要条件，故选项C 满足条件；由( U A )∩B ＝ ，可得B A ，不能推出A B ，故“( U A )∩B ＝ ”不是“A B ”的充要条件，故选项D 不满足条件；综上，答案选ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋3＞0”的否定是．【答案】∃x ∈R ，x 2－x ＋3≤0【考点】全称量词命题的否定为∃x ∈R ，x 2－x ＋3≤0．【解析】由题意，全称量词命题的否定为14．计算(－9.6)0－(338)－23＋(1.5)－2＝．【答案】1【考点】指数幂的运算【解析】由题意，(－9.6)0－(338)－23＋(1.5)－2＝1－(278)－23＋(23)2＝1－[(23)3]23＋(23)2＝1－(23)2＋(23)2＝1．15．若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋1＝0}中只含有一个元素，则a 值为；若A 的真子集个数是3个，则a 的取值范围是．(第一空2分，第二空3分)【答案】0或94；{a |a ＜0或0＜a ＜94}【考点】双空题：集合与元素的关系【解析】由题意可知，集合A ＝{x |ax 2－3x ＋1＝0}中只含有一个元素，则a ＝0≠0＝9－4a ＝0，解得a ＝0或a ＝94；若A 的真子集个数是3个，则方程ax 2－3x ＋1＝0有两个实数根，所以≠0＝9－4a ＞0，解得a ＜0或0＜a ＜94，所以a 的取值范围是{a |a ＜0或0＜a ＜94}．16．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是．【答案】[10，30]【考点】二次函数的实际问题应用【解析】设矩形的另一边长为y m ，由相似三角形的性质可得：x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，(0＜x ＜40)，所以矩形的面积S ＝x (40－x )，因为矩形花园的面积不小于300m 2，所以x (40－x )≥300，化为(x －10)(x －30)≤0，解得10≤x ≤30，满足0＜x ＜40，故其边长x (单位：m)的取值范围是[10，30]，故答案为[10，30]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分10分)(1)试比较(x ＋1)(x ＋5)与(x ＋3)2的大小；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0．【考点】不等关系的判断与证明【解析】(1)由题意，(x ＋1)(x ＋5)－(x ＋3)2＝x 2＋6x ＋5－x 2－6x －9＝－4＜0，所以(x ＋1)(x ＋5)＜(x ＋3)2；(2)证明：因为1a ＜1b ，所以1a －1b ＜0，即b －aab＜0，而a ＞b ，所以b －a ＜0则ab ＞0．得证18．(本题满分12分)化简或计算下列各式：(1)(a 23b 12)×(a 12b 13)÷(a 16b 56)；(2)已知m ＝lg2，10n ＝3，计算103m －2n 2的值．【考点】指数幂的运算、指对数综合运算【解析】(1)(a 23b 12)×(a 12b 13)÷(a 16b 56)＝(a 23×a 12÷a 16)(b 12×b 13÷b 56)＝a 23＋12－16b 12＋13－56＝a 1b 0＝a ；(2)因为m ＝lg2，所以10m ＝2，所以103m －2n2＝(103m÷102n )12＝[(10m )3÷(10n )2]12＝(8÷9)12＝223．19．(本题满分12分)已知集合A ＝{x |x ＋63－x≥0}，集合B ＝{x |x 2≤16}，集合C ＝{x |3x ＋m ＜0}．(1)求A ∪B ，A ∩B ， R (A ∪B )；(2)若x ∈C 是x ∈A 的必要条件，求m 的取值范围．【考点】集合的运算、必要条件的应用【解析】(1)解不等式x ＋63－x ≥0，即x ＋6x －3≤0，解得－6≤x ＜3，则A ＝{x |－6≤x ＜3}，B ＝{x |x 2≤16}＝{x |－4≤x ≤4}，所以A ∪B ＝{x |－6≤x ≤4}，A ∩B ＝{x |－4≤x ＜3}，因此， R (A ∪B )＝{x |x ＞4或x ＜－6}；(2)因为C ＝{x |3x ＋m ＜0}＝{x |x ＜－m3}，由于x ∈C 是x ∈A 的必要条件，则A C ，所以－m3≥3，解得m ≤－9，因此，实数m 的取值范围是(－∞，－9]．20．(本题满分12分)已知关于x 的不等式ax 2－(2a 2＋1)x ＋2a ＜0，a ∈R ．(1)若a ＝－1，求不等式的解集；(2)若关于x 的不等式解集为{x |x ＞1a 或x ＜2a }，求a 的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法、含参的一元二次不等式的应用【解析】(1)若a ＝－1，则不等式可化为－x 2－3x －2＜0，即x 2＋3x ＋2＞0，解得x ＞－1或x ＜－2，则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(－1，＋∞)；(2)原不等式可化为(ax －1)(x －2a )＜0，因为不等式解集为{x |x ＞1a 或x ＜2a }，所以1a ＞2a ，且a ＜0，所以－22≤a ＜0，则m 的取值范围为[－22，0)．21．(本题满分12分)在①A ∩B ＝B ；②A ∩B ＝ ；③B R A 这三个条件中任选一个，补充在下列问题(2)中，若实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A ＝{x |x －2x －8＜0}，集合B ＝{x |x 2－(a 2＋a ＋2)x ＋a 3＋2a ≤0}．(1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)当时，求实数a 的取值范围．(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分)【考点】结构不良题：集合的运算与应用【解析】(1)当a ＝3时，B ＝{x |x 2－(a 2＋a ＋2)x ＋a 3＋2a ≤0}＝{x |3≤x ≤11}，又因为A ＝{x |x －2x －8＜0}＝{x |2＜x ＜8}，所以A ∩B ＝[3，8)；(2)选①，在B 中，(x －a )(x －a 2－2)≤0，对应的方程的根为x 1＝a ，x 2＝a 2＋2.因为a 2＋2－a ＝(a －12)2＋74＞0，a 2＋2＞a ，此时B ＝[a ，a 2＋2]，由A ∩B ＝B 知，B A所以a ＞2，且a 2＋2＜8，解得2＜a ＜6，则实数a 的取值范围为(2，6)．选②在B 中，(x －a )(x －a 2－2)≤0对应的方程的根为x 1＝a ，x 2＝a 2＋2．因为a 2＋2－a ＝(a －12)2＋74＞0，所以a 2＋2＞a ，这样B ＝[a ，a 2＋2]．由A ∩B ＝ 知，所以a ≥8或a ＝0，则实数a 的取值范围为{a |a ≥8或a ＝0}．选③，在B 中，(x －a )(x －a 2－2)≤0对应的方程的根为x 1＝a ，x 2＝a 2＋2．因为a 2＋2－a ＝(a －12)2＋74＞0，所以a 2＋2＞a ，这样B ＝[a ，a 2＋2]， R A ＝(－∞，2]∪[8，＋∞)．因为B R A ，所以a ≥8或a 2＋2≤2，解得：a ≥8或a ＝0则实数a 的取值范围为{a |a ≥8或a ＝0}．22．(本题满分12分)中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家铁路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为3m ，底面积为12m 2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两面墙的长度均为x m(2≤x ≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a (1＋x )3元(a ＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．【考点】基本不等式的实际问题应用【解析】(1)设甲工程队的总报价为y 元，则y ＝3×(150×2x ＋400×12x )＋7200＝900(x ＋16x )＋7200(2≤x ≤6)．因为900(x ＋16x)＋7200≥900×2×x ·16x＋7200＝14400，当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取“＝”，所以当左右两面墙的长度为4m 时，甲工程队的报价最低，为14400元．(2)由题意可得900(x ＋16x )＋7200＞900a (1＋x )3对任意的2≤x ≤6恒成立，即(x ＋4)2x ＞a (1＋x )3，所以(x ＋4)2x ＋1＞a ，即x ＋1＋9x ＋1＋6＞a 恒成立，又x ＋1＋9x ＋1＋6≥2(x ＋1)·9x ＋1＋6＝12，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时取“＝”，所以a 的取值范围是{a |0＜a ＜12}．。
【月考试卷】2020-2021学年上学期高一年级数学第一次月考试卷含答案(内容：必修1)
15 ． 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 当
时，
,则 __________． 16．已知集合 A {x | ax 1 0}，且 2 A，3 A，则 a 的取值范围是
xa
_______.
三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)设集合 A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a －1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数 a 的值．
18．(本小题满分 12 分)
已知集合
.
（1）若 （2的取值范围.
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19．(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x. (1)求出函数 f(x)在 R 上的解析式； (2)画出函数 f(x)的图象．
围是 ( )
A. a 0 B. a 0 C. a 10 D. a 10 9．下面四个函数：
x, x 0,
① y 3x ② y
1 x2 1
③
y
x2
2x
10
④
y
{
1
,
x
0.
.其中值域为
x
R 的函数有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10．已知函数 f x { 2x,x 0 ，若 f a f 1 0，则实数 a 的值等
A. {x|0＜x＜2}
B. {x|1＜x≤2}
C. {x|0≤x≤1，或 x≥2} D. {x|0≤x≤1，或 x＞2}
4．已知 f(x)=
,则 f[f(3)]= ( )
2021-2022学年高一上学期10月月考数学试卷(江苏省南京市金陵中学集团人民中学)
金陵中学集团·人民中学高一年级月考试卷数学(满分：150分 考试时间：120分钟)一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列集合表示正确的是( )A ．{2，4}B ．{2，3，3}C ．{2，2，3}D ．{高个于男生}2．已知非零实数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋b ＞0B ．a 2＞b 2C ．1a ＜1bD ．a 2＋b 2＞2ab 3．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z )，P ＝{y |y ＝3n ＋1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m ∈Z }，集合之间的关系是( )A ．S ≠⊂M ≠⊂PB ．S ＝P ≠⊂MC ．S ≠⊂P ＝MD ．P ＝M ≠⊂S 4．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ∈Z |－1≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈N *}的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．无穷多个5．使不等式x 2－x －6＞0成立的充分不必要条件是( )A ．－2＜x ＜0B ．－3＜x ＜2C ．0＜x ＜5D ．－2＜x ＜46．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位，大约每经过5730年一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 个“半衰期”．【提示：129＝0.00195】 A ．10 B ．9 C ．11 D ．87．已知不等式ax 2＋5x ＋b ＞0的解集是{x |2＜x ＜3}，则不等式bx 2－5x ＋a ＜0的解集是( )A ．{x |x ＜－3或x ＞－2}B ．{x |x ＜－12或x ＞－13} C ．{x |－12＜x ＜－13} D ．{x |－3＜x ＜－2}8．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值是( )A ．63B ．－233C ．433D ．－433 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9．下列运算结果中，一定正确的是( )A ．a 3·a 4＝a 7B ．(－a 2)3＝a 6C ．8a 8＝aD ．5(－π)5＝－π10．下列四个不等式中解集为R 的是( )A ．－x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－25x ＋5＞0C ．－2x 2＋3x －4＜0D ．x 2＋6x ＋10＞011．下列结论正确的是( )A ．若函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)不存在零点，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为RB ．不等式ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)在R 上恒成立的条件是a ＜0且∆＝b 2－4ac ≤0C ．若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则a ≤－14D ．不等式1x＞1的解为x ＜1 12．设全集为U ，则下面四个命题中是 “A ⊆B ”的充要条件的是( )A ．A ∩B ＝A B ．(C U A ) ⊇(C U B ) C ．(C U B )∩A ＝∅D ．(C U A )∩B ＝∅三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋3＞0”的否定是 ．14．计算(－9.6)0－(338)－23＋(1.5)－2＝ ． 15．若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋1＝0}中只含有一个元素，则a 值为 ；若A 的真子集个数是3个，则a 的取值范围是 ．(第一空2分，第二空3分)16．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分10分)(1)试比较(x ＋1)(x ＋5)与(x ＋3)2的大小；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0．18．(本题满分12分)化简或计算下列各式：(1)(a 23b 12)×(a 12b 13)÷(a 16b 56)；(2)已知m ＝lg2，10n ＝3，计算103m －2n 2的值．19．(本题满分12分)已知集合A ＝{x |x ＋63－x≥0}，集合B ＝{x |x 2≤16}，集合C ＝{x |3x ＋m ＜0}． (1)求A ∪B ，A ∩B ，C R (A ∪B )；(2)若x ∈C 是x ∈A 的必要条件，求m 的取值范围．20．(本题满分12分)已知关于x 的不等式ax 2－(2a 2＋1)x ＋2a ＜0，a ∈R ．(1)若a ＝－1，求不等式的解集．(2)若关于x 的不等式解集为{x |x ＞1a或x ＜2a }，求a 的取值范围．21．(本题满分12分)在①A ∩B ＝B ；②A ∩B ＝∅；③B ⊆C R A 这三个条件中任选一个，补充在下列问题(2)中，若实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A ＝{x |x －2 x －8＜0}，集合B ＝{x |x 2－(a 2＋a ＋2)x ＋a 3＋2a ≤0}． (1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)当 时，求实数a 的取值范围．(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分)22．(本题满分12分)中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家铁路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设．目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为3m ，底面积为12m 2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两面墙的长度均为x m(2≤x ≤6)．(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低；(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为900a (1＋x )3元(a ＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围．。
江苏省南京市2020-2021学年高一上学期数学月考试题
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
11. 已知集合=A {x ax +=1 0} ， B = {−1,1} ，若 A B = A ，则实数 a 的所有可能取值的集合
为
．
12. 函数 f ( x) = 1 的定义域是
1− x 13. 函数=y x2 − 4x 的单调递减区间为
A. {1, 2,3, 4}
B. {2,3, 4}
C. {2,3}
D. {1,3, 4}
2. 一元二次不等式 x2 − 2019x − 2020 < 0 的解集为（ ）
A. (−1, 2020)
B. (−2020,1)
C. (−∞, −1) (2020, +∞)
D. (−∞, −2020) (1, +∞)
= D. M {= 2,3}, N {(2,3)}
2. 下列图象表示函数图象的是（ ）
y
y
x O
x O
y
x O
y
x O
A.
B.
C.
D.
{ } 3. 设集合 A = {1, 2, 4} ， B= x x2 − 4x + m= 0 ．若 A B = {1} ，则 B = （ ）．
A. {1,3}
B. {1,0}
C. {1, −3}
D. {1,5}
4.
函数
f
(x)
=
2x − x2 (0 ≤ x ≤ 3)
x
2
+
6x
( −2
≤
x
<
0)
的值域是（
）．
A. R
B. [−8,1]
C. [−9，+∞)
江苏省南京市金陵中学2021-2022高一数学上学期10月月考试题（含解析）.doc
江苏省南京市⾦陵中学2021-2022⾼⼀数学上学期10⽉⽉考试题（含解析）.doc江苏省南京市⾦陵中学2021-2022⾼⼀数学上学期10⽉⽉考试题（含解析）⼀、单选题：本⼤题共 12⼩题，每题 4 分，共 48 分． 1.集合A ={1,2,3},B ={2,3,4},则A B =()A. {1,2,3,4}B. {2,3}C. {2,3,4}D. {1,3,4}【答案】B 【解析】【分析】先观察两集合中的公共元素，再求交集即可得解. 【详解】解：因为集合{}1,2,3A =,{}2,3,4B =, 所以{}2,3A B ?=，故选B.【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.2.⼀元⼆次不等式2201920200x x --<的解集为（）. A. (1,2020)- B. (2020,1)- C. (,1)(2020,)-∞-+∞ D.(,2020)(1,)-∞-+∞【答案】A 【解析】【分析】根据⼀元⼆次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.【详解】由2201920200x x --<得(1)(2020)0+-【点睛】本题主要考查解不含参数的⼀元⼆次不等式，熟记⼀元⼆次不等式的解法即可，属于基础题型.3. 下列各函数在其定义域中，既是奇函数，⼜是增函数的是（） A. y ＝x ＋1 B. y ＝－x 3 C. 1y x=-D. y ＝x|x|【答案】D 【解析】试题分析：A 中函数是增函数但不是奇函数；B 中函数是奇函数但不是增函数；C 中函数是奇函数但不是增函数；D 中函数既是奇函数⼜是增函数考点：函数奇偶性单调性4.若集合A ＝｛x ｜mx 2＋2x ＋m ＝0，m ∈R ｝中有且只有⼀个元素，则m 的取值集合是 A. ｛1｝ B. ｛1-｝ C. ｛0，1｝ D.｛1-，0，1｝【答案】D 【解析】【分析】分类讨论0m =及0m ≠时0?=．【详解】当0m =时，{}{|20}0A x x ===，满⾜题意；当0m ≠时，2440m ?=-=，解得1m =±．综上m 的取值集合是{1,0,1}-．点睛：集合的元素具有互异性，当⼆次⽅程的两根相等时，⽅程的解集只有⼀个元素，另外⼀元⼀次⽅程有解也最多只能有⼀个解．5.函数1()2f x x =+的定义域是（） A. [3,)-+∞ B. [3,2)--C. [3,2)(2,)--?-+∞D. (2,)-+∞【答案】C 【解析】分析：根据定义域求法即可. 详解：由题可得：30{320x x x +≥?≥-+≠且2x ≠-，故选C.点睛：考查函数的定义域，属于基础题.6.已知函数23,0(),0x x f x x x ≥?=?，则((2))f f -的值为（）.A. 4B. 12C. 16D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，由内到外逐步代⼊，即可得出结果.【详解】因为23,0(),0x x f x x x ≥?=?故选：B【点睛】本题主要考查求分段函数值，由内到外逐步代⼊即可求解，属于基础题型. 7.若对任意的[1,3]x ∈，不等式230x x m --<都成⽴，则实数m 的取值范围为（）. A. (2,)-+∞ B. 9(,)4-+∞C. 9(,0)4-D. (0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】先由题意得到23m x x >-在[1,3]x ∈恒成⽴，记2()3g x x x =-，根据⼆次函数求出2()3g x x x =-的最⼤值，即可得出结果.【详解】由题知，23m x x >-在[1,3]x ∈恒成⽴，记2()3g x x x =-，则函数()g x 开⼝向上，对称轴为32x =；⼜[1,3]x ∈，所以函数()g x 在31,2??上单调递减，在3,32上单调递增；因为(1)132=-=-g ，(3)990=-=g ，所以max ()(3)0g x g ==；所以0m >. 故选：D【点睛】本题主要考查由不等式恒成⽴求参数的问题，熟记⼆次函数的性质即可求解，属于常考题型.8.已知{2A x x =<-或}3x >，{}21B x a x a =≤≤-，若A B A ?=，则实数a 的取值范围为（）.A. 1(,)(3,)2-∞-+∞B. (,1)(3,)-∞+∞C. 1(,)(1,)2-∞-?+∞ D. (,1][3,)-∞+∞【答案】B 【解析】【分析】根据A B A ?=得B A ?，分别讨论B =?和B ≠?两种情况，即可求出结果. 【详解】因为A B A ?=，所以B A ?. 若B =?，则21a a >-，解得1a <；若B ≠?，则1212a a ≥??-<-?或13a a ≥??>?，解得3a >；综上，实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞.故选：B【点睛】本题主要考查由集合的并集结果求参数的问题，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型.9.若2()(3)1f x ax a x =++-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为（）. A. [1,)-+∞ B. [1,0]-C. [0,1]D. [0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】当0a =时，得到()31f x x =-满⾜题意；当0a ≠时，根据⼆次函数性质，得到0312a a a>??+?-≤??，求解，即可得出结果.【详解】若0a =，则()31f x x =-，符合题意；若0a ≠，由2()(3)1f x ax a x =++-在区间(1,)+∞上是增函数，可得：0312a a a>??+?-≤??，解得0a >.综上，a 的取值范围为[0,)+∞. 故选：D【点睛】本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数的问题，熟记⼆次函数性质，灵活运⽤分类讨论的思想即可，属于常考题型. 10.已知函数()y f x =是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x <时，函数的图像如图所⽰，则不等式()0xf x >的解集为（）.A. (2,1)(1,2)--?B. (2,1)(0,1)(2,)--??+∞C. (,2)(1,0)(1,2)-∞--D. (,2)(1,0)(0,1)(2,)-∞--+∞【答案】A 【解析】【分析】先由题意，以及函数图像，得到0x <时，不等式的解集；再由函数奇偶性，即可求出结果. 【详解】当0x <时，由()0xf x >得()0f x <；由函数图像可知，(2,1)x ∈--；由函数()y f x =是定义在(,0)(0,)-∞+∞上奇函数，所以当(1,2)x ∈时，()0f x >，此时也满⾜()0xf x >；综上，不等式()0xf x >的解集为(2,1)(1,2)--?. 故选：A【点睛】本题主要考查由函数奇偶性解不等式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.11.设3()2kf x x x=++，其中k 为参数，k ∈R .若函数()y f x =在区间[2,1]--上的最⼤值为4，则函数()y f x =在区间[1,2]上有（）.A. 最⼩值2-B. 最⼩值0C. 最⼩值4D. 最⼤值2【答案】B 【解析】【分析】先设3()kg x x x=+，则()()2g x f x =-，根据题意得到()g x 在区间[2,1]--上的最⼤值为2，再判断函数()g x 是奇函数，求出()g x 在区间[1,2]上的最⼩值为2-，即可得出结果.【详解】设3()kg x x x=+，则()()2g x f x =-，因为函数()y f x =在区间[2,1]--上的最⼤值为4，所以()g x 在区间[2,1]--上的最⼤值为2.⼜3()()-=--=-kg x x g x x，所以()g x 是奇函数，所以()g x 在区间[1,2]上的最⼩值为2-，此时()()2f x g x =+有最⼩值0. 故选：B【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数最值，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.12.已知266,0()34,0x x x f x x x ?-+≥=?+，若互不相等的实数123,,x x x 满⾜123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（）.A. 11(,6)3B. 18(,)33-C. 11(,6]3D. 18(,]33-【答案】A 【解析】【分析】先作出函数图像，由题意得互不相等的实数123,,x x x 满⾜123()()()===f x f x f x k ，根据函数图像确定34-<(,0)3x ∈-，进⽽可求出结果.【详解】作出函数266,0()34,0x x x f x x x ?-+≥=?+若互不相等的实数123,,x x x 满⾜123()()()===f x f x f x k ，由图像可得：34-<不妨设123x x x <<，则236x x +=，由13344-<+(,0)3x ∈-；所以123x x x ++的取值范围为11(,6)3. 故选：A【点睛】本题主要考查函数与⽅程的综合应⽤，根据转化与化归的思想，将问题转化为函数交点问题，利⽤数形结合的⽅法即可求解，属于常考题型. ⼆、填空题：本⼤题共 4⼩题，每题 4 分，共 16 分． 13.若21{2,}x x ∈+，则实数x 的值为________.【答案】1 【解析】【分析】分别讨论21x +=和21x =两种情况，即可得出结果.【详解】若21x +=，则1x =-，所以21x =，此时22x x =+，不符合集合中元素的互异性；若21x =，则1x =±，当1x =时，223+=≠x x ，满⾜题意；综上，1x =. 故答案为：1【点睛】本题主要考查由元素与集合间的关系求参数的问题，熟记元素的特征即可，属于基础题型.14.若定义运算2,,a a b a b b a b≥??=?值域为________.【答案】[1,)+∞ 【解析】【分析】先由题意得到2,1()(2),1x x f x x x ≥?=?-【详解】因为2,,a a b a b b a b ≥??=?，所以22,2,1()(2)=(2),2(2),1x x x x x f x x x x x x x x ≥-≥??=?-=?-<--，当1x ≥时，()1=≥f x x ；当1x <时，2()(2)=-f x x 单调递减，所以()(1)1f x f >=；综上，所求函数值域为[1,)+∞. 故答案为：[1,)+∞【点睛】本题主要考查求分段函数的值域，熟记⼀次函数以及⼆次函数的性质即可，属于常考题型.15.若函数2()()1f x a a x =++在区间[,1]a a +上的最⼤值与最⼩值的差为2，则实数a 的值为________. 【答案】1或2- 【解析】【分析】先由题意得到20a a +≠，推出()f x 为⼀次函数，所以有()(1)2f a f a -+=，求解，即可得出结果.【详解】因为函数2()()1f x a a x =++在区间[,1]a a +上的最⼤值与最⼩值的差为2，所以20a a +≠，因此()f x 为⼀次函数，则()(1)2f a f a -+=，即()()()221112++-++-=a a a a a a ，即22+=a a ，所以22+=±a a ，解得1a =或2-. 故答案为：1或2-【点睛】本主要考查由函数最值的差求参数的问题，熟记函数单调性即可，属于常考题型.16.已知函数21()21f x x x =--+，若(2)(2)f a f a ≤-，则实数a 的取值范围为________. 【答案】2[2,]3-【解析】【分析】先由奇偶性的定义，判断函数()f x 为偶函数，再由0x >时，21()21f x x x =--+，根据⼆次函数与反⽐例函数的单调性，得出21()21f x x x =--+单调递增，进⽽原不等式可化为：22a a ≤-，求解即可得出结果.【详解】因为21()21f x x x =--+，所以21()2()1-=--=+f x x f x x ，因此函数21()21f x x x =--+为偶函数，⼜当0x >时，21()21f x x x =--+，显然单调递增；所以(2)(2)f a f a ≤-等价于22a a ≤-，解得2[2,]3a ∈-.故答案：2[2,]3-【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性，以及基本初等函数的单调性即可，属于常考题型.三、解答题：本题共 6⼩题，共 56 分． 17.在实数范围内解下列不等式或⽅程.（1）2340x x -->；（2）3210x x -+=【答案】（1）4(,1)(,)3-∞-?+∞ （2）1231,x x x ===. 【解析】【分析】（1）根据⼀元⼆次不等式的解法，直接求解，即可得出结果；（2）先由3210x x -+=得到2(1)(1)0x x x -+-=，推出1x =或210x x +-=，进⽽可求出结果.【详解】（1）由2340x x -->得(1)(34)0x x +->，解得43x >或1x <-；所以不等式的解集为：4(,1)(,)3-∞-?+∞. （2）由3210x x -+=，得2(1)(1)0x x x -+-=，所以1x =或210x x +-=，解得1x =或12x -=或12x -+=；因此原⽅程的解为：1231,x x x ==. 【点睛】本题主要考查解不含参数的⼀元⼆次不等式，以及三次⽅程，熟记不等式的解法，以及因式分解的⽅法即可，属于常考题型.18.已知集合{}2870A x x x =-+<，{}22220B x x x a a =---<. （1）当4a =时，求AB ；（2）若A B B ?=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}16x x <<；（2）(,5][7,)a ∈-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）先化简集合A ，根据4a =，化简集合B ，再由交集的概念，即可求出结果；（2）先由A B B ?=，则A B ?，将原问题化为对任意(1,7)x ∈，2222a a x x ->-恒成⽴，令2()2g x x x =-，根据⼆次函数性质，求出2()2g x x x =-在(1,7)x ∈上的最⼤值，解不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为{}{}287017A x x x x x =-+<=<<，当4a =时，{}{}{22240(6)(4)046}B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，所以{}16A B x x ?=<<；（2）若A B B ?=，则A B ?.所以对任意(1,7)x ∈，2222a a x x ->-恒成⽴.令2()2g x x x =-，则函数2()2g x x x =-开⼝向上，对称轴为1x =，⼜因为(1,7)x ∈，所以2()2g x x x =-单调递增，因此2()2(1,35)=-∈-g x x x ，所以只需2235a a -≥，解得(,5][7,)a ∈-∞-+∞.【点睛】本题主要考查集合交集的运算，以及由集合的包含关系求参数的问题，熟记集合交集的概念，以及集合间的基本关系即可，属于常考题型.19.如图，OAB ?是边长为2的正三⾓形，记OAB ?位于直线()0x t t =>左侧的图形的⾯积为()f t ，试求函数()f x 的解析式，并画出函数()y f t =的图象.【答案】2()23f t =,图象见解析. 【解析】【分析】分三种情况讨论，在求()f t 的解析式时,关键是要根据图象,对t 的取值进⾏恰当的分类,然后分类讨论,给出分段函数的解析式后,再根据解析式画出函数的图象.【详解】当01t <≤时,如图,设直线x t =与OAB 分别交于C 、D 两点,则|Ot|=t , ⼜3,||3CD BCCD t OC OE==∴= 2113()||||322f t OC CD t t ∴=== (2)当12t <≤时,如图,设直线x t =与OAB 分别交于M 、N 两点,则||=2AN t -,⼜|||33,||3(2)||||MN BE MN t AN AE ==∴=- 221133()23||||3)23322f t AN MN t t ∴==-=+(3)当2t >时,()3f t =综上所述223,0123()233,123,2t f t t t t <≤=+<≤??>,图象如图，【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的图象，意在考查综合运⽤所学知识解答问题的能⼒，属于中档题. 20.设函数()af x x x=+，其中0a >. （1）证明：函数()y f x =在a 上是单调减函数，在,)a +∞上是单调增函数；（2）若函数()y f x =在区间(0,]a 上的最⼩值为4，求实数a 的值. 【答案】（1）证明见解析（2）4a = 【解析】【分析】（1）先设120x x <<，作差法得到12121212()()()--=-x x af x f x x x x x ，分别讨论120x x a <<≤12a x x ≤<两种情况，根据函数单调性的定义，即可得出结论；（2）分别讨论01a <≤，1a >两种情况，根据（1）的结论，结合函数最⼩值，即可得出结果.【详解】（1）设120x x <<，则211212121212121212()()()()()a x x x x a a af x f x x x x x x x x x x x x x ---=+-+=-+=-，若120x x <<≤120x x -<，且12所以12())0(f x f x ->，因此函数()y f x =在上是单调减函数，12x x ≤<，则120x x -<，且1212,0x x a x x a >->，所以12())0(f x f x -<，因此函数()y f x =在上是单调增函数；综上，函数()y f x =在上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数；（2）若01a <≤，则a ≤1）可得：()f x 在(0,]a 上单调减，所以min ()()14f x f a a ==+=，解得3a =，不合题意，舍去；若1a >，则a 1）得()f x 在上单调减，)+∞上单调增，所以min ()4f x f ===，解得4a =，经检验，符合题意. 综上，4a =.【点睛】本题主要考查由单调性的定义判断函数单调性，以及由函数最值求参数，熟记函数单调性的定义，灵活运⽤分类讨论的思想即可，属于常考题型.21.已知函数()()22,*f x ax x c a c N =++∈，满⾜①()15f =；②()6211f <<．（1）求a ，c 的值．（2）设()()231g x f x x x =--+-，求()g x 的最⼩值．【答案】（1）1，2；（2）14-．【解析】【分析】（1）根据条件列不等式与⽅程，根据正整数的限制条件求a ，c 的值．（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，再根据各段单调性求各段最⼩值，最后⽐较两个最⼩值得函数最⼩值.【详解】（1）()125f a c =++=，()()2446,11f a c =++∈，⼜523c a a =--=-，∴443a a ++-()376,11a =+∈，∴1433a -<<，⼜*a N ∈，∴1a =，2c =．（2）()222f x x x =++，∴()()231g x f x x x =--+-222231x x x x =++--+- 211x x =+--，1x ≥时，()22g x x x =+-，此时()g x 在[]1,+∞上单调递增，∴()()min 11120g x g ==+-=，1x <时，()2g x x x =-，()g x 在1,2-∞ ??上单调递减，在1,12上单调递增，∴()min 11112424g x g ??==-=-，⼜104-<，∴()min 1124g x g ??==-．【点睛】本题考查⼀元⼆次函数解析式以及单调性应⽤，考查基本分析求解能⼒. 22.函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数，且1(1)3f =.（1）确定()f x 的解析式；（2）判断并证明()f x 在(2,2)-上的单调性；（3）解不等式(1)()0f t f t -+<. 【答案】(1)2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-；(2) ()f x 是(2,2)-上增函数，证明见解析；(3)1(1,)2-. 【解析】试题分析：（1）若奇函数在x=0处有定义，则f （0）=0，代⼊即可得b ，再由1(1)3f =代⼊即可得a 值；（2）因为函数为奇函数，故只需判断x ＞0时函数的单调性即可，利⽤单调性定义即可证明；（3）利⽤函数的单调性和奇偶性将不等式中的f 脱去，等价转化为关于t 的不等式组，解之即可. 试题解析：(1)由函数2()4ax bf x x -=-是定义在(2,2)-上的奇函数知(0)04b f -==，所以0b =，经检验，0b =时2()4axf x x=-是(2,2)-上的奇函数，满⾜题意. ⼜21(1)413a f ==-，解得1a =，故2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-. (2) ()f x 是(2,2)-上增函数.证明如下：在(2,2)-任取12,x x 且12x x <，则210x x ->，1240x x +>，2140x ->，2240x ->，所以2121122122222121()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----0>，即21()()f x f x >，所以()f x 是(2,2)-上增函数.(3) 因为()f x 是(2,2)-上的奇函数，所以由(1)()0f t f t -+<得，(1)()()f t f t f t -<-<-，⼜()f x 是(2,2)-上增函数，所以1,212,22,t t t t -<-??-<-解得112t -<<，从⽽原不等式的解集为1(1,)2-.试题点睛：本题综合考查了函数的奇偶性和函数的单调性，奇函数的性质，函数单调性的判断⽅法，利⽤函数性质解不等式.。
2020-2021学年南京金陵中学高一上数学10月第一次考试卷+答案(解析版)
注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 3 页，包含单项选择题（第 1 题~第 8 题）、多项选择题（第 9 题～第 11 题） 填空题（第 12 题～第 16 题）、解答题（第 17 题～第 22 题）四部分。
本试卷满分 150分，考试时间为 120 分钟。
考试结束后，请将答题卡上交。
2. 考生在作答时必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
2020 级高一年级第一学期阶段性测试数学命题人 高一数学备课组一､选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集 U ＝{0，1，2，3，4}，M ＝{0，1，2}，N ＝{2，3}，则(∁U M )∩N 等于( ▲ )．A ．{2，3，4}B ．{3}C ．{2}D ．{0，1，2，3，4}答案 B2．设 P (x ，y )，则“x ＝2 且 y ＝－1”是“点 P 在一次函数 y ＝－x ＋1 的图象上”的( ▲ )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A3.设 a ＞b ，c ＞d ，则下列不等式中一定成立的是( ▲ )． A ．a －c ＞b －d B ．ac ＞bd C ．a ＋c ＞b ＋dD ．a ＋d ＞b ＋c答案C4.已知集合 A ＝ x －40，x ∈Z }，B ＝{m ，2，8}，若 A ∪B ＝B ，则 m ＝( ▲ )． x －1 A ．1B ．2C ．3D ．5答案 C5.若不等式 x 2＋ax ＋4＜0 的解集为空集，则 a 的取值范围是( ▲ ) A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)答案 A6．已知 x ＞2，则函数 y ＝ 4＋4x 的最小值是( ▲ )．x －2A ．6B ．8C ．12D ．16答案 D{x |＜［ ， 7．设全集U ＝R ，M ＝{x |x ＜－2 或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( ▲ )．A ．{x |－2≤x ＜1}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x ≤2 或 x ＞3}D ．{x |－2≤x ≤2}答案 A8. 定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集，记为 P (A )，用 n (A )表示有限集 A 的元素个数，给出下列命题:①对于任意集合 A ，都有 A ⊆P (A )；②存在集合 A ，使得 n [P (A )]＝3；③若 A ∩B ＝ ∅，则 P (A )∩P (B )＝∅；④若 A ⊆B ，则 P (A )⊆P (B )；⑤若 n (A )－n (B )＝1，则 n [P (A )]＝2×n [P (B )]．其中正确的命题个数为( ▲ )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 D二､选择题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全 部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分．9. 下列命题中是真命题的是( ▲ )．A ．∀x ∈R ，2x 2－3x ＋4＞0B ．∀x ∈{1，－1，0}，2x ＋1＞0C ．∃x ∈N ，使 x ≤xD ．∃x ∈N *，使 x 为 29 的约数答案 ACD10. 已知 p ：x 2＋x －6＝0；q ：ax ＋1＝0．若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的值可以是( ▲ )．A ．－2B 1C 1D 1答案 BC．－2．3 ．－311. 已知函数 y ＝x 2＋ax ＋b (a ＞0)有且只有一个零点，则( ▲ )．A ．a 2－b 2≤4B. a 2 1 4＋b ≥C. 若不等式 x 2＋ax －b ＜0 的解集为(x 1，x 2)，则 x 1x 2＞0D. 若不等式 x 2＋ax ＋b ＜c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则 c ＝4答案 ABD三､填空题:本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．12．集合 A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0}，若 A ∪B ＝{2，3，5}，A ∩B ＝{3}，则 ab ＝ ▲．答案30．13．若关于 x 的不等式 ax ＋b ＞0 的解集为(1，＋∞)，则 a 11 的最小值为 ▲ ．答案 3 14x －m ＋1 －b ＋1 1．若不等式 ＜0 成立的一个充分不必要条件是 ＜x ＜ ，则实数 m 的取值范围是 ▲ ．x －2m3 2 答案: 1 44 3⎧a 2＝ma －1，15. 若存在两个互不相等的实数 a ，b ，使得⎨ 2 成立，则实数 m 的取值范围是 ▲．⎩b ＝mb －1．答案:(－∞，－2)∪(2，＋∞)．16. 已知正实数 x ，y 满足 5x 2＋4xy －y 2＝1，则 12x 2＋8xy －y 2 的最小值为 ▲．答案 73］．2 1 2 1 2 1 1 2 2 ＜2四､解答题:本题共 6 小题，共 70 分． 17．(本小题 10 分)44 1(1) 计算＋ 0.062 5＋⎛ ⎫－2；(2)解不等式 6－2x ≤x 2－3x ＜18．⎝25⎭ 25 27 1625 1 4 15 3 1 5 解 (1)原式＝( )2－( )3＋( )4＋⎛ ⎫－2＝－ ＋ ＋＝4 .................................................... 4 分 4 8 10000 ⎝25⎭2 2 2 2⎧⎪6－2x ≤x 2－3x ， (2) 原不等式等价于⎨ ⎪⎩x 2－3x ＜18， ⎧⎪x ≤－2或x ≥3，⎧⎪x 2－x －6≥0，即⎨ ⎪⎩x 2－3x －18＜0， ⎧⎪(x －3)(x ＋2)≥0，因式分解，得⎨⎪⎩(x －6)(x ＋3)＜0， 所以⎨ ⎪⎩－3＜x ＜6，…………………………8 分所以－3＜x ≤－2 或 3≤x ＜6．所以原不等式的解集为{x |－3＜x ≤－2 或 3≤x ＜6}． ................... 10 分 评分说明：两个不等式如果只解对一个得两分18．(本小题 10 分)若 x 1 和 x 2 分别是函数 y ＝2x 2＋4x －3 的两个零点．(1)求|x 1－x 2|的值；(2)求 x 3＋x 3的值．12解:由题知 x 1，x 2 即为方程 2x 2＋4x －3＝0 的两根x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－3． ................................................ 2 分(1)|x 1－x 2|＝ (x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ 10． ..................................... 5 分(2)x 3＋x 3＝(x ＋x )(x 2－x x ＋x 2) ................................................................................ 7 分＝(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2－3x 1x 2]＝－17． .................................. 10 分评分说明:如果学生直接求出 x 1､x 2，再代入求值，按相应小问给分． 19．(本小题 12 分)设集合 A ＝{x |－1≤x ≤2}，非．空．集合 B ＝{x |2m ＜x ＜1}． (1) 若“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的必要条件，求实数 m 的取值范围； (2) 若 B ∩(∁R A )的元素中只有两个整数，求实数 m 的取值范围．解 (1)∵B ≠∅∴2m ＜1，解得 m 1………………………………………2 分若“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的必要条件，则 B ⊆A ， .......................... 4 分∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴2m ≥－1 1 m 1 ，解得－2≤ ＜2，⎡ 1 1⎫综上所述，实数 m 的取值范围是⎣－2，2⎭． ............................. 6 分 (2)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ＜－1 或 x ＞2}， ........................................ 8 分 B ＝{x |2m ＜x ＜1}，若(∁R A )∩B 中只有两个整数，则必为－2，－3,所以－4≤2m ＜－3， ............................................. 10 分得－2≤m 3＜－2；⎡－23⎫ 综上，实数 m 的取值范围是⎣ ，－2⎭． ............................ 12 分2 2 2 2 20．(本小题 12 分)精准扶贫是巩固温饱成果､加快脱贫致富､实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品x ＋3销售量 w 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费 x 万元之间的函数关系为 w ＝ 2 (其中推广促销费不能超过 5 万元)．已知加工此农产品还要投入成本 3⎛w ＋3⎫万元(不包括推广促销费用)，若加工后的每件成品⎛4 30⎫⎝ w ⎭ 的销售价格定为⎝ ＋ w ⎭元/件．(1) 试将该批产品的利润 y 万元表示为推广促销费 x 万元的函数；(利润＝销售额－成本－推广促销费)(2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大?最大利润为多少?⎛4 30⎫⎛ 3⎫ 解 (1)由题意知 y ＝⎝ ＋ w ⎭w －3⎝w ＋w ⎭－x＝w ＋30 9x－w －63 x 18 ＝ 2 －2－ ，........................................... 4 分 x ＋3∴y 63 x 18 ＝ － － x ＋3 (0≤x ≤5)．........................................ 6 分 (2)∵y 63 x18 ，＝ － － x ＋3 ∴y 63 1⎛x36 ⎫ ＝ 2 －2⎝ x ＋3⎭＝331⎡(x ＋3) 36 ⎤ 8 分 －2⎣ x ＋3⎦……………………………………… ≤33 1 －2＝27．当且仅当 x ＝3 时，上式取“＝”．∴当 x ＝3 时，y max ＝27． ............... 11 分 答:当推广促销费投入 3 万元时，此批产品的利润最大为 27 万元． ............ 12 分 评分说明：自变量的取值范围不写扣两分，若写成 0＜x ≤5 不扣分；没有答扣 1 分.＋ ＋⎨ ≥321．(本小题 12 分) 已知 y ＝－3x 2＋a (6－a )x ＋12．(1) 若不等式 y ＞b 的解集为(0，3)，求实数 a ，b 的值；(2) 若 a ＝3 时，对于任意的实数 x ，都有 y ≤3x ＋9m 2－6m ，求 m 的取值范围． 解 (1)∵y ＞b 的解集为(0，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋12－b ＝0 的两根为 0，3，⎧3＝a (6－a )，⎪ 3∴ 12－b………………………………………2 分 ⎪⎩0＝－3 ，⎧⎪a ＝3， 解得⎨⎪⎩b ＝12，………………………………………4 分∴经检验：a ，b 的值分别为 3，12 时不等式 y ＞b 的解集为(0，3)． ......... 5 分(2) 法一：当 a ＝3 时，y ＝－3x 2＋9x ＋12，由 y ≤3x ＋9m 2－6m 恒成立得 －3x 2＋6x ＋12≤9m 2－6m即 x 2－2x －4＋3m 2－2m ≥0 恒成立...................................... 7 分 又二次不等式对应的函数 y ＝x 2－2x －4＋3m 2－2m 开口向上所以 △＝4－4（－4＋3m 2－2m ）≤0 ...................................................................... 10 分 化简得：3m 2－2m －5≥0解得：m ≤－1 或 m 5≥3综上，m 的取值范围为(－∞，－1]∪ 5) .......................................................... 12 分 法二：[3，＋∞ 当 a ＝3 时，y ＝－3x 2＋9x ＋12，由 y ≤3x ＋9m 2－6m 恒成立得 9m 2－6m ≥－3x 2＋6x ＋12即 3m 2－2m ≥－x 2＋2x ＋4 恒成立 ......................................... 7 分 又－x 2＋2x ＋4＝－(x －1)2＋5，即 3m 2－2m ≥5， ....................................................... 10 分 解得 m ≤－1 或 m 5综上，m 的取值范围为(－∞，－1]∪ 5) .......................................................... 12 分 [3，＋∞2 22．(本小题 14 分)设函数 y ＝ax 2＋x －b (a ∈R ，b ∈R )． (1) 若 b ＝a 5 {x |y ＝0}中有且只有一个元素，求实数 a 的取值集合；－4，且集合(2) 求不等式 y ＜(2a ＋2)x －b －2 的解集；(3) 当 a ＞0，b ＞1 时，记不等式 y ＞0 的解集为 P ，集合 Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }．若对于任意正数 t ，P∩Q ≠∅ 1 1，求a －b 的最大值． 解 (1) 当 b ＝a 5 y ＝ax 2＋x －a 5－4时， ＋4因为集合{x |y ＝0}中有且只有一个元素， ①当 a ＝0 时，x 5 0，得 x 5＋4＝ ＝－4，此时满足题意；②当 a ≠0 时，令 y ＝0，得 ax 2＋x －a 5 0，Δ＝1＋4a (a 5 ＝0，解得 a ＝1 1＋4＝ －4) 或4综上:a 的取值集合为{0 11} .............................................................................. ３分，4，(2) 由 y ＜(2a ＋2)x －b －2 得 ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0，即(ax －1)(x －2)＜0． ⎛x 1⎫(Ⅰ)当 a ＞0 时，不等式可以化为⎝ －a ⎭(x －2)＜0．1 1 ⎛2 1⎫①若 0＜a ＜2，则a ＞2，此时不等式的解集为⎝ ，a ⎭；②若 a 1(x －2)2＜0，不等式的解集为∅；＝2，则不等式为 1 1 ⎛1 ⎫③若 a ＞2，则a ＜2，此时不等式的解集为⎝a ，2⎭． ........................... ６分(Ⅱ)当 a ＝0 时，不等式即－x ＋2＜0，此时不等式的解集为(2，＋∞)． ......... ７分 ⎛x 1⎫ ⎛ 1⎫(Ⅲ)当 a ＜0 时，不等式可以化为⎝ －a ⎭(x －2)＞0，解集为⎝－∞，a ⎭∪(2，＋∞)．８分 综上所述， ⎛ 1⎫当 a ＜0 时，不等式的解集为⎝－∞，a ⎭∪(2，＋∞)；当 a ＝0 时，不等式的解集为(2，＋∞)；1 ⎛2 1⎫当 0＜a ＜2时，不等式的解集为⎝ ，a ⎭；当 a ＝1时，不等式的解集为∅；1 ⎛1 ⎫ 当 a ＞2时，不等式的解集为⎝a ，2⎭． ...................................... 9 分 (3) 集合 Q ＝{x |－2－t ＜x ＜－2＋t }，对于任意正数 t ，－2∈Q ，又 P ∩Q ≠∅，所以满足当 x ＝－2 时，函数 y ≥0，即 4a －2－b ≥0，所以 4a ≥b ＋2＞3， ................................ 11 分 1 1 4 1 3b －2 t ＋2 a －b ≤ －b ＝ ，记 t ＝3b －2＞1，此时 b ＝ 3 ，b ＋2 b (b ＋2) 1 1 4 1 3b －2 9t 9 1 则a －b ≤ －b ＝ ＝ ＝ 16 ≤2，b ＋2 b (b ＋2) (t ＋2)(t ＋8)t ＋ t ＋10⎧a ＝1， 1 1 1当且仅当 t ＝4，即⎨ 时，a －b 有最大值2． ....................... 14 分⎩b ＝2． 评分说明：第二小问综上不写扣 1 分.。
【数学】20-21学年金陵中学高一10月月考数学试卷及答案
四､解答题:本题共 6 小题，共 70 分． 17．(本小题 10 分)
(1)计算: 245－ 3 338＋4 0.062 5＋245－12 ；(2)解不等式 6－2x≤x2－3x＜18．
18．(本小题 10 分)若 x1 和 x2 分别是函数 y＝2x2＋4x－3 的两个零点． (1)求|x1－x2|的值；(2)求 x31＋x32的值．
A．1
B．2
C．3
D．5
5．若不等式 x2＋ax＋4＜0 的解集为空集，则 a 的取值范围是( ▲ )
A．[－4,4]
B．(－4,4)
C (－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
6．已知 x＞2，则函数 y＝x－4 2＋4x 的最小值是( ▲ )．
A．6
B．8
C．12
D．16
7．设全集 U＝R，M＝{x|x＜－2 或 x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( ▲ )．
B．－12
C．13
D．－13
11．已知函数 y＝x2＋ax＋b(a＞0)有且只有一个零点，则( ▲ )． A．a2－b2≤4 B．a2＋1b≥4 C．若不等式 x2＋ax－b＜0 的解集为(x1，x2)，则 x1x2＞0 D．若不等式 x2＋ax＋b＜c 的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则 c＝4
2020 级高一年级第一学期阶段性测试 数学
命题人 高一数学备课组
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 3 页，包含单项选择题（第 1 题~第 8 题）、多项选择题（第 9 题～第 11 题）
填空题（第 12 题～第 16 题）、解答题（第 17 题～第 22 题）四部分。本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡上交。 2．考生在作答时必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3} 2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣1＜0B．∃x0∈R，x02﹣1≤0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜03．（5分）函数y＝+的定义域为（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（）A．3B．2C．2D．15．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，﹣]B．[，4]C．[﹣3，4]D．[3，]7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题：①0是任何“理想数集”的元素；②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”；④集合T＝{x|x＝a+b，a，b∈Z}是“理想数集”．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．（5分）以下说法中正确的有（）A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）”B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f （x2）”C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若，则a＞bC．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞dD．若，则a＜b11．（5分）下列说法中不正确的有（）A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝BB．函数y＝与y＝为同一个函数C．函数y＝+的最小值为2D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数12．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0；②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有＜0则称函数f（x）为“颜值函数”．下列函数中，是“颜值函数”的有（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为．16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（10分）计算：（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2；（2）π0﹣（8）﹣2+×（4）﹣1．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|＜0}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B和（∁U A）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）．（1）求b，c的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值．20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为L/h．已知A，B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？21．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．（1）求实数a的值；（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若a＝﹣1，b＝5，且______．（①存在t∈[﹣3，2]；②对任意t∈[﹣3，2]），不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围；请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{2，3}．故选：B．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣1＜0B．∃x0∈R，x02﹣1≤0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜0【分析】根据特称命题的否定形式进行判断【解答】解：命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是∀x∈R，x2﹣1＜0，故选：D．【点评】本题考查了命题的否定，属于基础题．3．（5分）函数y＝+的定义域为（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]【分析】可看出，要使得原函数有意义，需满足，然后解出x的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且x≠﹣1，∴原函数的定义域为：．故选：D．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，区间的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（）A．3B．2C．2D．1【分析】先研究函数在每一段的单调性，分别求出它们的最值，然后求解函数的最值，就是大中取大，小中取小．【解答】解：对于函数函数f（x）＝，当x≤1时，f（x）＝x2﹣2x+3．在（﹣∞，1]上递减；所以此时y min＝f（1）＝2，当x＞1时，f（x）＝x+≥2＝2，当且仅当x＝，取等号，综上可知原函数的最小值为：2．故选：C．【点评】本题考查分段函数的性质，一般来讲分段函数的处理原则：分段函数，分段处理．如本题求最值，应先在每一段上求它们的最大（小）值，最后大中取大．小中取小．5．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除A，C，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除D，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．6．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，﹣]B．[，4]C．[﹣3，4]D．[3，]【分析】根据分段函数的单调性的判断方法建立不等式组，即可求解．【解答】解：要满足已知题意，只需，解得，故选：B．【点评】本题考查了分段函数的单调性，考查了学生解不等式的能力，属于基础题．7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）【分析】讨论a＝0、a＜0和a＞0时，求出不等式有解时a的取值范围．【解答】解：a＝0时，不等式为2x+1＜0，有实数解，满足题意；a＜0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，不等式对应的二次函数开口向下，所以有实数解；a＞0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，应满足△＝4﹣4a＞0，解得a＜1；综上知，a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：D．【点评】本题考查了不等式有解的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题：①0是任何“理想数集”的元素；②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”；④集合T＝{x|x＝a+b，a，b∈Z}是“理想数集”．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用已知条件中理想数集的定义判断命题的真假，题目中给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证．【解答】解：对于①，设a＝b∈G，显然有a﹣a∈G，即0∈G，故0是任何“理想数集”的元素，故①正确；对于②：当a＝b时，显然有，则1+1，2+1，…，N+1∈M，所以N*∈M，故②正确；对于③：易知2∈P，而，故③错误；对于④：a，b∈Z，故1+2∈T，而，故④错误．故选：B．【点评】本题考查学生对于新定义题型的理解和把握能力，理解“理想数集”的定义是解决该题的关键，题目着重考察学生的构造性思维，属于难题．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．（5分）以下说法中正确的有（）A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）”B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f （x2）”C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件【分析】根据偶函数的定义即可判断A；由增函数的定义即可判断B；由子集的定义即可判断C；由充分必要条件的定义即可判断D．【解答】解：对于A，“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“对任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（x）”，故A错误；对于B，“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”，故B正确；对于C，由子集的定义可知C正确；对于D，若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，若f（x）是定义在R上的函数，且f（0）＝0，不能得出f（x）为奇函数，例如f（x）＝x2，故“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查函数奇偶性单调性的定义，考查子集的定义，充要条件的定义，属于中档题．10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若，则a＞bC．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞dD．若，则a＜b【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：对于A，若ac2＞bc2，则a＞b，故A正确；对于B，若＜0＜，则a＜0＜b，故B错误；对于C，取a＝9，b＝1，c＝2，d＝3，满足a＞b＞0，ac＞bd＞0，但c＜d，故C错误；对于D，若，则﹣＝＞0，则b＞a，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．11．（5分）下列说法中不正确的有（）A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝BB．函数y＝与y＝为同一个函数C．函数y＝+的最小值为2D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数【分析】由集合的基本运算即可判断A；判断定义域与解析式是否相同即可判断B；利用换元及对勾函数的性质即可判断选项C；由函数的奇偶性的定义即可判断D．【解答】解：对于A，设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝B，故A正确；对于B，函数y＝＝|x|，函数y＝＝x，两函数定义域相同，解析式不同，故不是同一函数，故B错误；对于C，令t＝≥，则y＝+t在[，+∞）上单调递增，所以当t＝时，取得最小值为，所以函数y＝+的最小值为，故C错误；对于D，函数y＝g（x）＝xf（|x|），g（﹣x）＝﹣xf（|﹣x|）＝﹣xf（|x|）＝﹣g（x），所以函数y＝xf（|x|）是奇函数，故D正确．故选：BC．【点评】本题主要考查即可得基本运算，同一函数的判断，函数最值的求法，以及函数奇偶性的判断，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0；②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有＜0则称函数f（x）为“颜值函数”．下列函数中，是“颜值函数”的有（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的减函数，由此判断各选项是否同时具备两个性质即可．【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f （x）为定义域上的减函数，对于A，f（x）＝为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故A不是“颜值函数”；对于B，f（x）＝x2为定义域上的偶函数，故B不是“颜值函数”；对于C，函数f（x）＝的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故C是“颜值函数”．对于D，f（x）＝﹣2x为定义域上的奇函数，且是定义域上的减函数，故D是“颜值函数”．故选：CD．【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的必要且不充分条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要且不充分条件，即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要且不充分条件故答案为：必要且不充分．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝2．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1），即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，又由函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为1．【分析】由已知可转化为函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|的图象只有一个交点，利用函数的图象性质即可求解．【解答】解：由已知可令a＝|x﹣a|+2﹣a，可得：2a﹣2＝|x﹣a|，可看成函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|图象只有一个公共点，而函数y＝|x﹣a|是以x＝a为对称轴，最小值为0的函数，所以要满足题意只需令2a﹣2＝0，即a＝1，故答案为：1【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题．16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为16．【分析】由＝+++＝++（+）（x+2y），利用基本不等式即可求得最小值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝2，∴＝+++＝++（+）（x+2y）＝++4≥4+2＝16，当且仅当＝时，取得最小值16．故答案为：16．【点评】本题考查了利用基本不等式性质求最值问题，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（10分）计算：（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2；（2）π0﹣（8）﹣2+×（4）﹣1．【分析】（1）利用对数的运算性质求解．（2）利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答】解：（1）原式＝2lg5+2lg2+lg5•lg20+（lg2）2＝2+lg5•（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg5）2+2lg5•lg2+（lg2）2＝2+（lg5+lg2）2＝2+1＝3．（2）原式＝1﹣+×＝1﹣16+2＝﹣13．【点评】本题主要考查了对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质，是基础题．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|＜0}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B和（∁U A）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．【分析】（1）可以求出集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，然后进行交集、并集和补集的运算即可；（2）根据B∩C＝C可得出C⊆B，然后讨论C是否为空集：C＝∅时，m﹣1＞2m；C≠∅时，，然后解出m的范围即可．【解答】解：（1）A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，U＝R，∴A∩B＝{x|3≤x＜5}，∁U A＝{x|﹣2＜x＜3}，（∁U A）∪B＝{x|﹣2＜x＜5}；（2）∵B∩C＝C，∴C⊆B，①C＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1；②C≠∅时，，解得；综上得实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）．（1）求b，c的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值．【分析】（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c＝0的解，然后结合方程的根与系数关系可求；（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝，然后结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论可求．【解答】解：（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c ＝0的解，故，解得，b＝﹣2，c＝﹣3，（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝，（i）即a≥2时，函数g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）min＝g（2）＝﹣2a ﹣3＝﹣4，解得，a＝（舍），（ii）即a≤﹣2时，函数g（x）在[0，2]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝﹣3≠﹣4，（舍），（iii）当0即﹣2＜a＜2时，函数g（x）在[0，2]上先减后增，g（x）min＝g （）＝﹣3﹣＝﹣4，解得，a＝4（舍）或a＝0，综上，a＝0．【点评】本题主要考查了二次函数与二次不等式的相互转化关系的应用及二次函数闭区间上最值的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为L/h．已知A，B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？【分析】设车速为xkm/h，用x表示出油耗和行车时间，得出总费用关于x的函数，根据基本不等式求出费用最小值．【解答】解：设车速为xkm/h，耗油率m（x）＝kx2，则由题意可得m（100）＝10000k ＝，∴k＝＝．∴从A地到B地消耗汽油的价钱为，司机的工资为＝，故从A地到B地的总费用f（x）＝≥2＝300元．当且仅当，即x＝80∈[60，120]时取等号．∴从A地到B地的车速是80km/h时，转运一次的总费用最低为300元．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查函数解析式求解，函数最值的计算，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．（1）求实数a的值；（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）为奇函数，结合奇函数的定义代入可求；（2）结合单调性定义，设2≤x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（3）结合（2）中单调性即可求解函数最值．【解答】解：（1）因为f（x）＝为奇函数，x≠0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以，整理可得，ax＝0，所以a＝0，（2）证明：由（1）可得f（x）＝＝x+，设2≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+，＝x1﹣x2+＝（x1﹣x2）（1﹣）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）由（2）可得f（x）＝x在[2，4]上单调递增，故f（x）max＝f（4）＝5，f（x）min＝f（2）＝4，若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，所以1≤m2﹣2m﹣2，解得m≥3或m≤﹣1．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用及判断，还考查了函数单调性在求解最值中的应用．22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若a＝﹣1，b＝5，且______．（①存在t∈[﹣3，2]；②对任意t∈[﹣3，2]），不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围；请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．【分析】（1）令x＝y＝0，可得f（0），再令y＝﹣x，结合奇偶性的定义，即可得到结论；（2）分别选①②，将原不等式转化为﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立或恒成立，结合参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；（3）考虑g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，求得b＝3，再由g（x）≤0的解集，结合判别式的符号和因式分解，可得所求范围．【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），即f（0）＝0，再令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为R上的奇函数；（2）①存在t∈[﹣3，2]．f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0），由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0，也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立，y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝﹣1时取得最小值4，则﹣m＞3，即m＜﹣3；选②任意t∈[﹣3，2]，f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0），由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0，也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4在任意t∈[﹣3，2]恒成立，y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝2时取得最大值12，则﹣m＞12，即m＜﹣12；（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，可得g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，可得g（0）＝3，即b＝3，g（x）＝x2+ax+3≤0，可得△＝a2﹣12≥0，即a≥2（a≤﹣2舍去），又g（g（x）﹣3＝（x2+ax+3）2+a（x2+ax+3）+3﹣3＝（x2+ax+3）（x2+ax+3+a），由题意可得x2+ax+3+a≥0恒成立，可得△＝a2﹣4（a+3）≤0，解得﹣2≤a≤6，又a＞0，可得0＜a≤6，综上可得2≤a≤6．【点评】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立和成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020-2021学年江苏省南京一中、金陵中学、海安中学高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年江苏省南京一中、金陵中学、海安中学高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（2+i）z＝1﹣2i，其中i为虚数单位（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i2．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|x2﹣x＞0}，则∁U M＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|x＜0或x＞1}D．{x|x≤0或x≥1} 3．（5分）在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列n}，则a50＝（）A．289B．295C．301D．3074．（5分）重阳节，农历九月初九，二九相重，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（）A．35B．40C．50D．705．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛．高三（1）班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是（）A．15B．17C．21D．267．（5分）克罗狄斯托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，A为直径延长线上的一点，OA＝2，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC 的长取最大值时（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）已知双曲线的焦点为F1、F2，其渐近线上横坐标为的点P满足，则a＝（）A．B．C．2D．4二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）下列四个函数中，以π为周期，且在区间（）A．y＝|sin x|B．y＝cos2x C．y＝﹣tan x D．y＝sin|2x| 10．（5分）若（2x﹣）n的展开式中第6项的二项式系数最大，则n的可能值为（）A．9B．10C．11D．1211．（5分）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，则（）A．B．C．D．a2﹣b2＞﹣112．（5分）我们知道，任何一个正实数N都可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z）．定义：W（N）＝如W（1.2×102）＝3，W（1.23×10）＝2，W（3×10﹣2）＝2，W（3.001×10﹣1）＝1，则下列说法正确的是（）A．当n＞0，M＞1，N＞1时，W（M•N）＝W（M）+W（N）B．当n＜0时，W（M）＝﹣nC．若N＝2100，lg2≈0.301，则W（N）＝31D．当k∈N*时，W（2k）＝W（2﹣k）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上横坐标为1的点到焦点的距离为，则p＝．14．（5分）已知某品牌的新能源汽车的使用年限x（年）与维护费用y（千元）之间有如表数据：使用年限x（年）24568维护费用y（千元）3 4.5 6.57.59x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为（a为常数）．据此估计，使用年限为7年时，维护费用约为千元．（参考公式：线性回归方程中的系数＝，＝﹣）15．（5分）如图，水平广场上有一盏路灯挂在10m长的电线杆上，记电线杆的底部为点A 把路灯看作一个点光源，然后从点D出发，沿着以BD为对角线的正方形走一圈（视为一点）的影子所围成封闭图形的面积为m2．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，且P A＝PB＝PC＝1，以P为球心，．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知公比q大于1的等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2＝4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝______，求数列{b n}的前n项和S n．请在①n•a n；②|2log2a n﹣9|；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上18．（12分）在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且（c﹣b）（a﹣b）（sin A+sin B）．（1）求A；（2）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，AB＝AD＝1，CD＝2（1）求证：BC⊥平面PBD；（2）已知PD＝2，点E为棱PB的中点，求直线AE与平面DCE所成角的正弦值．20．（12分）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%．为试验一种新药，在有关部门批准后，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效；否则，则认为该药无效．（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X；（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p （参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）设F为椭圆C的右焦点，直线l与椭圆C相切于点P（点P在第一象限），过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q，求出定值；若不是22．（12分）已知函数f（x）＝ae x+1，，其中a＞0．（1）若d＝1，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O分别作函数y＝f（x）（x）的图象的切线l1，l2.求l1，l2的斜率之积；（2）若f（x）≥g（x）在区间（0，+∞），求a的最小值．2020-2021学年江苏省南京一中、金陵中学、海安中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（2+i）z＝1﹣2i，其中i为虚数单位（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：复数z满足（2+i）z＝1﹣3i，所以z＝＝＝﹣i．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．2．（5分）已知全集U＝R，集合M＝{x|x2﹣x＞0}，则∁U M＝（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|x＜0或x＞1}D．{x|x≤0或x≥1}【分析】求出M中不等式的解集确定出M，根据全集U＝R求出M的补集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：x（x﹣1）＞0，解得：x＜4或x＞1，即M＝{x|x＜0或x＞6}，∵全集U＝R，∴∁U M＝{x|0≤x≤1}，故选：B．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（5分）在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列n}，则a50＝（）A．289B．295C．301D．307【分析】在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1的数为2n﹣1，被3除余1的数为3n﹣2，由此得到在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1，且被3除余1的数为a n＝6n﹣5，由此能求出结果．【解答】解：在1，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被2除余1的数为3n﹣1，被3除余5的数为3n﹣2，∴在7，2，3，…，2020这2020个自然数中将能被7除余1a n＝6n﹣8，∴a50＝6×50﹣5＝295．故选：B．【点评】本题考查等差数列的第50项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）重阳节，农历九月初九，二九相重，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（）A．35B．40C．50D．70【分析】六位学生分配到两个敬老院，每所敬老院至少两人，则对六名学生进行分组分配即可．【解答】解：六名学生分成两组，每组不少于两人的分组，或每组3人，所以不同的分配方案为：C A+C，故选：C．【点评】本题考查了排列组合，简单计数原理，分组分配，属于基础题．5．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．【解答】解：设y＝f（x）＝，函数的定义域为（﹣∞，∴f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，当x→+∞时，f（x）→0，故选：A．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题．6．（5分）某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛．高三（1）班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是（）A．15B．17C．21D．26【分析】设两项比赛都参加的人数为a，只参加投篮比赛的人数为b，则只参加定点射门比赛的人数为20﹣b，作出韦恩图求出a＝6，0≤b≤20．由此能求出结果．【解答】解：设两项比赛都参加的人数为a，只参加投篮比赛的人数为b，则只参加定点射门比赛的人数为20﹣b，则由题意得：a+b+20﹣b+19＝45，解得a＝6，0≤b≤20．当b＝4时，参加投篮人数为15，当20﹣b＝9时，参加投篮人数为17，∴两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是15，有可能是17；当b＝5时，加投篮人数为11，两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数可能是21；当b＝8时，加投篮人数为6，两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数可能是26．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）克罗狄斯托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，A为直径延长线上的一点，OA＝2，以AB为一边作等边三角形ABC，则当线段OC 的长取最大值时（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】利用制作弦表原理，OC•AB≤OA•BC+OB•AC，可得到OC的最大值，进而确定∠AOB的大小，确定三角形ABC的边长，在三角形AOC中解出∠AOC．【解答】解：由制作弦表原理，OC•AB≤OA•BC+OB•AC，OC•AB≤2AB+AB＝3AB，∴OC≤3，当且仅四边形OACB的当对角互补时取等号，∵∠ABC＝60°，∴∠AOB＝120°，在三角形AOB中，AB2＝24+12﹣2×2×1×cos120°＝8，在三角形AOC中，OC＝3，OA＝3，，∴∠AOC＝60°，故选：C．【点评】本题考查了四边形中的新定义，三角形中的余弦定理，属于中档题8．（5分）已知双曲线的焦点为F1、F2，其渐近线上横坐标为的点P满足，则a＝（）A．B．C．2D．4【分析】求出P的坐标，利用已知条件列出方程组，化简求解a即可．【解答】解：双曲线的焦点为F1（﹣c，6），F2（c，0），渐近线上横坐标为的点P，可得P（，）满足PF1⊥PF2，所以+＝4c4，…①c2＝a2+b4，…②解①得1+＝4c2，代入②可得：4+，解得a＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）下列四个函数中，以π为周期，且在区间（）A．y＝|sin x|B．y＝cos2x C．y＝﹣tan x D．y＝sin|2x|【分析】由题意利用三角函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：∵y＝|sin x|的最小正周期为＝π上单调递减．∵y＝cos6x的最小正周期为＝π上单调递增．∵y＝﹣tan x的最小正周期为π，且在区间，故C满足条件．∵y＝sin|8x|没有周期性，故D不满足条件．故选：AC．【点评】本题主要考查三角函数的周期性和单调性，属于中档题．10．（5分）若（2x﹣）n的展开式中第6项的二项式系数最大，则n的可能值为（）A．9B．10C．11D．12【分析】根据选项分别令n＝9，10，11，12进行讨论，进而可以求解．【解答】解：当n为偶数时，若n＝10时，B正确，若n＝12时，第7项的二项式系数最大，当n为奇数时，若n＝9时，满足题意，若n＝11时，第2项或第7项的二项式系数最大，C正确，故选：ABC．【点评】本题考查了二项式展开式的二项式系数的最值问题，属于基础题．11．（5分）已知a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，则（）A．B．C．D．a2﹣b2＞﹣1【分析】根据条件可知0＜a＜1，0＜b＜1，然后设a＝sinα，b＝cosα，其中α∈，将各选项中的式子转化后，利用三角函数的图象与性质，得到各式的范围，再判断即可．【解答】解：根据a＞0，b＞07+b2＝1，可知2＜a＜1，设a＝sinα，其中α∈．A．a+b＝sinα+cosα＝，∴，∴当时，的最大值为，∴；B．a﹣b＝sinα﹣cosα＝，∴，∴，∴a﹣b∈（﹣1，∴，故B正确；C.，∵α∈，∴2α∈（7，∴，∴，即，故C错误；D．a2﹣b5＝，∵α∈，π），∴﹣cos4α∈（﹣1，1）5﹣b2＞﹣1，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了不等式的基本性质，对数的运算，二倍角公式和三角函数的图象与性质，考查了转化思想，属中档题．12．（5分）我们知道，任何一个正实数N都可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z）．定义：W（N）＝如W（1.2×102）＝3，W（1.23×10）＝2，W（3×10﹣2）＝2，W（3.001×10﹣1）＝1，则下列说法正确的是（）A．当n＞0，M＞1，N＞1时，W（M•N）＝W（M）+W（N）B．当n＜0时，W（M）＝﹣nC．若N＝2100，lg2≈0.301，则W（N）＝31D．当k∈N*时，W（2k）＝W（2﹣k）【分析】先要通过列举，搞清W（N）的意义，N∈[10n，10n+1），（n∈N）时，N的整数部分的位数为n+1，当N∈[10n，10n+1），（n＝﹣1，﹣2，﹣3，…），N的非有效数字0的个数为n，然后通过举例可以否定A，通过一般性论证判定B，借助对数指数运算和不等式的性质判断CD．【解答】解：当x∈[0，100）时，当N∈[100，N的整数部分位数为3，一般地N∈[10n，10n+5），（n∈N）时，当x∈[0.1，5）时，当x∈[0.01，N的非有效数字0的个数为8，一般地，当N∈[10n，10n+1），（n＝﹣1，﹣7，N的非有效数字0的个数为n．取M＝102，N＝10，则W（M）＝2，W（M•N）＝W（103）＝4，而W（M）+W（N）＝4，∴W（M•N）≠W（M）+W（N），所以选项A错误，当n＜0时，∵1≤a＜10﹣n，∈[10﹣n，10﹣n﹣6），W（M）＝W（a×10n）＝﹣n，所以选项B正确，∵N＝2100，lg2≈6.301，∴lg2100＝100lg2≈30.8，n＝3030≤N＜1031，∴W（N）＝31，所以选项C正确，当k∈N*时，根据定义k为正整数，且不可能是10的倍数，∴存在m∈N，使得10m＜2k＜10m+1，此时W（4k）＝m+1，而10﹣（m+1）＜6﹣k＜10﹣m，W（2﹣k）＝m+1，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查新定义问题，涉及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，难度较大，必要的时候通过具体实例理解新定义函数的意义是重要的思维途径．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上横坐标为1的点到焦点的距离为，则p＝3．【分析】由抛物线方程求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义列式求得p值．【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞8）的准线方程为x＝﹣，由题意结合抛物线的定义可得，1+．故答案为：4．【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查抛物线定义的应用，是基础题．14．（5分）已知某品牌的新能源汽车的使用年限x（年）与维护费用y（千元）之间有如表数据：使用年限x（年）24568维护费用y（千元）3 4.5 6.57.59x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为（a为常数）．据此估计，使用年限为7年时，维护费用约为8.2千元．（参考公式：线性回归方程中的系数＝，＝﹣）【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，在线性回归方程中，取x＝7求得的值得答案．【解答】解：，，则样本点的中心的坐标为（5，6.6），得，则．取x＝8，可得．∴使用年限为7年时，维护费用约为8.2千元．故答案为：8.2．【点评】本题考查线性回归方程的求法，是基础的计算题．15．（5分）如图，水平广场上有一盏路灯挂在10m长的电线杆上，记电线杆的底部为点A 把路灯看作一个点光源，然后从点D出发，沿着以BD为对角线的正方形走一圈（视为一点）的影子所围成封闭图形的面积为m2．【分析】根据题意可知，女孩头顶影子的轨迹所围成的图形是一个对角线长为3的正方形，则答案可求．【解答】解：如图，设女孩在点B、D两处头顶E、N，则EF＝BD＝4，BE＝DF＝1.5，由三角形相似，对应边成比例可得：，，得AM＝，∵女孩在运动过程中的比例关系不变，∴女孩走一圈时头顶的影子所围成封闭图形是对角线长为的正方形，∴女孩走一圈时头顶的影子所围成封闭图形的面积为m2．故答案为：．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查运算求解能力，是中档题．16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，且P A＝PB＝PC＝1，以P为球心，．【分析】根据题意判断球面与三棱锥表面的交线，是各侧面内以P为圆心，以为半径3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC内切圆，由此求出交线的长度之和即可．【解答】解：如图所示，设BC、CA、E、F，P在平面ABC内的射影为O1，所以O1是正三角形ABC的中心；因为三棱锥P﹣ABC中，P A，PC两两垂直，所以AB＝BC＝CA＝，PD＝PE＝PF＝，O8D＝O1E＝O1F＝××＝；以P为球心，为半径的球面与该三棱锥表面的交线，是各侧面内以P为圆心，以为半径3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC内切圆；所以交线的长度之和为7××+2π×＝．故答案为：．【点评】本题考查了几何体的结构特征与计算问题，也考查了运算求解能力和空间想象能力，是难题．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知公比q大于1的等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2＝4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝______，求数列{b n}的前n项和S n．请在①n•a n；②|2log2a n﹣9|；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上【分析】（1）由题设求得等比数列{a n}的公比q与首项a1，即可求得其通项公式；（2）当选条件①时：先由（1）求得b n，再利用错位相减法求得其前n项和即可．当选条件②时：先由（1）求得b n，再对n分n≤4与n≥5两种情况分别求得其前n项和即可．当选条件③时：先由（1）求得b n，再利用裂项相消法求得其前n项和即可．【解答】解：（1）由题设可得：，解得：或，∴a n＝2n；（2）当选条件①时：由（1）可得：b n＝n•2n，则S n＝3×21+2×22+…+n•7n，又2S n＝1×32+…+（n﹣1）•5n+n•2n+1，两式相减得：﹣S n＝5+22+…+2n﹣n•2n+1＝﹣n•2n+7，整理得：S n＝（n﹣1）•2n+5+2．当选条件②时：由（1）可得：b n＝|2log8a n﹣9|＝|2n﹣7|，当n≤4时，S n＝7+7+…+9﹣2n＝＝n（8﹣n）；当n≥5时，S n＝7+5+3+6+1+3+…+8n﹣9＝16+＝n2﹣8n+32，∴S n＝．当选条件③时：由（1）可得：b n＝＝＝2（﹣），∴S n＝2（﹣+﹣+…+﹣﹣）＝3﹣．【点评】本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且（c﹣b）（a﹣b）（sin A+sin B）．（1）求A；（2）若b＝2，且△ABC为锐角三角形，求△ABC的面积S的取值范围．【分析】（1）由正弦定理把角化为边，利用余弦定理求出cos A和A的值；（2）由题意求出角C的取值范围，利用正弦定理求得c，再计算△ABC的面积，求出面积S的取值范围．【解答】解：（1）△ABC中，（c﹣b）sin C＝（a﹣b）（sin A+sin B），由正弦定理得（c﹣b）c＝（a﹣b）（a+b），整理得c2+b2﹣a8＝bc，所以cos A＝＝＝；又A∈（0，π），所以A＝；（2）由△ABC为锐角三角形，且A＝，所以，解得，因为b＝2，由正弦定理得＝＝，所以c＝，所以△ABC的面积为S＝bc sin A＝×＝＝，由tan C＞tan＝，所以∈（0，），所以+∈（，所以∈（，2）；即△ABC面积S的取值范围是（，8）．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，解题时应注意有关定理的转化作用和逻辑推理、数学运算等数学核心素养，是中档题．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，AB＝AD＝1，CD＝2（1）求证：BC⊥平面PBD；（2）已知PD＝2，点E为棱PB的中点，求直线AE与平面DCE所成角的正弦值．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明BC⊥BD，根据PD⊥平面ABCD得出PD⊥BC，于是BC⊥平面PBD；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CDE的法向量，计算和的夹角得出直线AE 与平面DCE所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面PBD，∴PD⊥BC，∵AB⊥CD，AB∥CD，又AB＝AD＝1，∴BD＝，∠BDC＝45°，又CD＝2，∴BC＝＝，∴BD2+BC8＝CD2，∴BC⊥BD，又PD∩BD＝D，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD．（2）解：以D为原点，以DA，DP为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，2，0），2，6），1，0），8，2），∵E是PB的中点，∴E（，，∴＝（﹣，，＝（0，2，＝（，，设平面CDE的法向量为＝（x，y，则，即，令z＝1可得＝（﹣2，2，∴cos＜，＞＝＝＝，所以直线AE与平面DCE所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算，属于中档题．20．（12分）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%．为试验一种新药，在有关部门批准后，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效；否则，则认为该药无效．（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X；（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p （参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）【分析】（1）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，根据计数原理和概率乘法公式求解即可；（2）根据概率公式计算即可得到p＜0.05，故说明实验合理．【解答】解：（1）X的取值为0，1，6，则P（X＝0）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝2）＝＝， 则分布列为： X01 8 P 则数学期望为E（X）＝0×+1×＝5，（2）通过实验却认定新药无效的概率为p，则p＝C100（）0（）10+C101（）1（）9＝＜0.05，故实验合理．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）设F为椭圆C的右焦点，直线l与椭圆C相切于点P（点P在第一象限），过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q，求出定值；若不是【分析】（1）由题意可得，解得即可，（2）设P（x0，y0），可得直线l的方程为x0x+2y0y＝2，求出直线直线PF的方程为y0x ﹣（x0﹣1）y﹣y0＝0，联立方程组，求出点P的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出．【解答】解：（1）由题意可得，解得a6＝2，b2＝2，c2＝1，∴椭圆C的方程为+y2＝6；（2）设P（x0，y0），直线l的方程为x3x+2y0y＝4，过原点O且直线l的平行线的方程x0x+2y8y＝0，则直线PF的方程为y0x﹣（x2﹣1）y﹣y0＝8，联立，解得x＝，y＝﹣，∴Q坐标为（，﹣），∴|PQ|＝＝＝＝＝为定值．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，点与点的距离，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝ae x+1，，其中a＞0．（1）若d＝1，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O分别作函数y＝f（x）（x）的图象的切线l1，l2.求l1，l2的斜率之积；（2）若f（x）≥g（x）在区间（0，+∞），求a的最小值．【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，求出切线的斜率，作积即可；（2）问题转化为xe x+1≥（ln﹣1）＝（ln﹣1）•（*）恒成立，令F（x）＝xe x+1，得到F（x）≥F（ln﹣1），结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝e x+1，g（x）＝lnx﹣5，设过坐标原点的直线分别切f（x），g（x）于点P1（x1，y5），P2（x2，y3），f′（x）＝e x+1，g′（x）＝，∴＝，＝，且，解得：，∴•＝e2•＝1；（2）由ae x+1≥ln﹣3在（0，得a＞0时，e x+6≥ln﹣，xe x+2≥（ln﹣1）•，令F（x）＝xe x+1，∴F（x）≥F（ln﹣6），①当ln﹣1≤0时，右边≤6，②当ln﹣1＞0x+7＞0，∴F（x）在（0，+∞）递增﹣2⇒a≥，令φ（x）＝，φ′（x）＝，得：0＜x＜4时，φ（x）递增，当x＞1时，φ′（x）＜0，故φ（x）max＝φ（1）＝，∴a≥．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．。
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A．{2，3，4}B．{3}C．{2}D．{0，1，2，3，4}
2．设P(x，y)，则“x＝2且y＝﹣1”是“点P在一次函数y＝﹣x＋1的图像上”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设a＞b，c＞d，则下列不等式中一定成立的是
A． B． C． D．
4．已知集合A＝ ，B＝{m，2，8}，若A B＝B，则m＝
A．1B．2C．3D．5
5．若不等式 的解集为 ，则a的取值范围是
A．[﹣4，4] B．(﹣4，4)
C．( ，﹣4] [4， )D．( ，﹣4) (．6B．8C．12D．16
7．设全集U＝R，M＝ ，N＝ ．如图所示，则阴影部分所表示的集合为
A． B．
C． D． 第7题
江苏省南京金陵中学2020—2021学年第一学期第一次月考
高一数学试卷
2020．10
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}，N＝{2，3}，则( M) N等于
A．5B．4C．3D．2
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列命题中是真命题的是
A． ， B． {1，﹣1，0}，2x＋1＞0
C． ，使 D． ，使x为29的约数
10．已知p： ；q： ．若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是
20．（本小题满分12分）
精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w万件（生产量与销售量相等）与推广促销费x万元之间的函数关系为 （其中推广促销费不能超过5万元）．
A．﹣2B． C． D．
11．已知函数 (a＞0)有且只有一个零点，则
A．
B．
C．若不等式 的解集为( ， )，则
D．若不等式 的解集为( ， )，且 ，则c＝4
三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
12．集合A＝ ，B＝ ，若A B＝{2，3，5}，A B＝{3}，则ab＝．
已知加工此农产品还要投入成本 万元（不包括推广促销费用），若加工后的每件成品的销售价格定为 元/件．
（1）试将该批产品的利润y万元表示为推广促销费x万元的函数；（利润＝销售额﹣成本﹣推广促销费）
（2）当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？
21．（本小题满分12分）
已知 ．
（1）若不等式y＞b的解集为(0，3)，求实数a，b的值；
（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有 ，求m的取值范围．
22．（本小题满分14分）
设函数 (a R，b R)．
（1）若b＝a﹣ ，且集合 中有且只有一个元素，求实数a的取值集合；
（2）求不等式 的解集；
（3）当a＞0，b＞1时，记不等式y＞0的解集为P，集合Q＝ ．若对于任意正数t，P Q≠ ，求 的最大值．
17．（本小题满分10分）
（1）计算： ；
（2）解不等式： ．
18．（本小题满分12分）
若 和 分别是函数 的两个零点．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
19．（本小题满分12分）
设集合A＝ ，非空集合B＝ ．
（1）若“x A”是“x B”成立的必要条件，求实数m的取值范围；
（2）若B ( A)的元素中只有两个整数，求实数m的取值范围．
13．若关于x的不等式 的解集为(1， )，则 的最小值为．
14．若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数m的取值范围是．
15．若存在两个互不相等的实数a，b，使得 成立，则实数m的取值范围是
．
16．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
参考答案
1．B2．A3．C4．C5．A6．D7．A8．D
9．ACD10．BC 11．ABD
12．3013．314．[ ， ]15．( ，﹣2) (2， ) 16．
17．
18．
19．
20．
21．
22．