抛物线平移、旋转、对称

已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．

[解析] （1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；

（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，

可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；

（3）首先求得B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想．

如图，在直角坐标系内，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC∥x轴，AB=CD，AD=2，BC=8，AB=5，B点的坐标是（-1，5）．

（1）直接写出下列各点坐标．A（，）C（，）D（，）；

（2）等腰梯形ABCD绕直线BC旋转一周形成的

几何体的表面积（保留π）；

（3）直接写出抛物线y=x2左右平移后，经过点

A的函数关系式；

（4）若抛物线y=x2可以上下左右平移后，能否

使得A，B，C，D四点都在抛物线上？若能，请

说理由；若不能，将“抛物线y=x2”改为“抛物

线y=mx2”，试确定m的值，使得抛物线y=mx2

经过上下左右平移后能同时经过A，B，C，D四

点．

【解析】（1）易得点C的纵坐标和点B的纵坐标相等，横坐标比点B的横坐标小8，过A 作AE⊥BC于点E，那么BE=3，利用勾股定理可得AE=4，那么点A的横坐标比点B的横坐标小3，纵坐标比点B纵坐标小4，点D的纵坐标和点A的纵坐标相等，横坐标比点A 的横坐标小2；

（2）绕直线BC旋转一周形成的几何体的表面积为两个底面半径为4，母线长为5的圆锥的侧面积和一个半径长为4，母线长为2的圆柱的侧面的和，把相关数值代入即可求解；（3）设新函数解析式为y=（x-h）2，把（-4，1）代入即可求解；

（4）可把等腰梯形以y轴为对称轴放在平面直角坐标系中，确定一点，看其余点是否在y=x2上；进而设函数的解析式为y=mx2，A，B中的2点代入即可求解．

如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．

（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．

【解析】（1）本题需先根据题意把 A （-2，4）和

点B （1，0）代入抛物线y=mx2+2mx+n中，解出

m、n的值即可．

（2）本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式．

（3）本题需根据平移与菱形的性质，得到A′、B′的坐标，再过点A′作A′H⊥x轴，得出BH和A′H的值，再设菱形AA′B′B的中心点M，作MG⊥x轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标．

矩形OABC的顶点A（-8，0）、C（0，6），点D是BC边上的中点，抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，如图所示．

（1）求点D关于y轴的对称点D′的坐标及a、b的值；

（2）在y轴上取一点P，使PA+PD长度最短，求点P的坐标；

（3）将抛物线y=ax2+bx向下平移，记平移后点A的对应点为A1，点D的对应点为D1，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，求此抛物线的解析式．

【解析】（1）由矩形的性质可知B点的坐标，因为点D是BC边上的中点，所以可求出点D关于y轴对称点D′的坐标，把A点和D点的坐标代入抛物线y=ax2+bx可求出a，c的值；

（2）先设直线AD′的解析式为y=kx+n，有已知条件可求出k和n的值，再求出直线和y 轴的交点坐标即可；

（3）设抛物线向下平移了m个单位，表示出点A1，点D1的点坐标，又O是y轴上到A1、D1两点距离之和OA1+OD1最短的一点，所以可求出此抛物线的解析式．

如图1，四边形ABCD是边长为5的正方形，以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．抛物线y=ax2经过A，O，D三点，图2和图3是把一些这样的小正方形及其内部的抛物线部分经过平移和对称变换得到的．

（1）求a的值；

（2）求图2中矩形EFGH的面积；

（3）求图3中正方形PQRS的面积．

【解析】（1）根据题意可得点D的坐标，将点D的坐标代入二次函数解析式即可求得a的值；

（2）根据图形分析得：正方形IJKL沿射线JU方向平行移动15个单位长度与正方形MNUT 重合，由平行移动的性质可知EH=15，同理可得EF=10，可得矩形的面积；

（3）建立直角坐标系，设的点的坐标，根据抛物线与正方形的对称性列方程求得即可．

把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，

（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；

（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；

（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；

（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．

【解析】（1）依题意得点E在射线CB上，横坐标为4，纵坐标根据勾股定理可得点E．（2）已知∠BCD=60°，∠BCF=30°，然后可得∠α=60°．

（3）设CG=x，则EG=x，FG=6-x，根据勾股定理求出CG的值．

（4）设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a（x-4）2，把点A的坐标代入求出a值．当x=7时代入函数解析式可得解．