数学选修2-1测试题(含答案)

数学选修2-1 综合测评

时间：90分钟 满分：120分

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎪

⎫

13，1，1 B ．(－1，－3,2) C.⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫－12，32，－1 D ．(2，－3，－22)

解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b ≠0，a ∥b ⇔a ＝

λb ，a ＝(1，－3,2)＝－1⎝ ⎛⎭

⎪⎪

⎫－12，32，－1，故选C.

答案：C

2．若命题p ：∀x ∈⎝

⎛⎭⎪⎪

⎫－π2，π2，tan x >sin x ，则命题綈p ：( )

A ．∃

x 0∈⎝

⎛⎭⎪⎪

⎫－π2，π2，tan x 0≥sin x 0

B ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎪

⎫－π2，π2，tan x 0>sin x 0

C ．∃x 0∈⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫－π2，π2，tan x 0≤sin x 0

D ．∃

x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－π2∪⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫π2，＋∞，tan x 0>sin x 0 解析：∀x 的否定为∃x 0，>的否定为≤，所以命题綈p 为∃x 0∈

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－π2，π2，tan x 0≤sin x 0. 答案：C

3．设α，β是两个不重合的平面，l ，m 是两条不重合的直线，则α∥β的充分条件是( )

A ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥β，m ∥α

B ．l ⊂α，m ⊂β且l ∥m

C ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥m

D ．l ∥α，m ∥β且l ∥m

解析：由l ⊥α，l ∥m 得m ⊥α，因为m ⊥β，所以α∥β，故C 选项正确．

答案：C

4．以双曲线x 24－y 2

12＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程

为( )

A.x 216＋y 212＝1

B.x 212＋y 2

16

＝1

C.x 216＋y 24＝1

D.x 24＋y 2

16＝1 解析：由x 24－y 212＝1，得y 212－x 2

4＝1.

∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)， 顶点坐标为(0,23)，(0，－23)． ∴椭圆方程为x 24＋y 2

16＝1.

答案：D

5．已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB ＝60°，将这个菱形沿AC 折成60°的二面角，则B ，D 两点间的距离为( )

A.32

B.12

C.32

D.34 解析：

菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，则AC ′⊥BD ，沿AC 折叠后，有BO ⊥AC ′，DO ⊥AC ，所以∠BOD 为二面角B －AC －D 的平面角，即∠BOD ＝60°.

因为OB ＝OD ＝12，所以BD ＝12.

答案：B

6．若双曲线x 26－y 2

3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，

则r ＝( )

A. 3 B ．2 C ．3 D ．6

解析：双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±2

2x ，因为双曲线的

渐近线与圆(x －3)2

＋y 2

＝r 2

(r >0)相切，故圆心(3,0)到直线y ＝±2

2

x 的

距离等于圆的半径r ，则r ＝|2×3±2×0|

2＋4

＝ 3.

答案：A

7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )

A.83

B.38

C.43

D.34

解析：取DA →，DC →，DD 1→

分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，可求得平面AB 1D 1的法向量为n ＝(2，－2,1)．故A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|AA 1→

·n ||n |＝4

3

.

答案：C

8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2

＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )

A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8

解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4,23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a >0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所

以C的实轴长为4.

答案：C

9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点，记α为异面直线PM与D1N所成的角，则α的集合是()

A.

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

π

2

B.

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

α

⎪

⎪

⎪π

6≤α≤

π

2

C.

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

α

⎪

⎪

⎪π

4≤α≤

π

2

D.

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

α

⎪

⎪

⎪π

3≤α≤

π

2

解析：取C1D1的中点E，PM必在平面ADEM内，易证D1N⊥平面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．

答案：A

10．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆

x2

a2＋

y2

b2＝1(a>b>0)上的一点，若PF1

→

·PF2

→

＝0，tan∠PF1F2＝

1

2，则此椭圆的离心率为() A.

1

2 B.

2

3 C.

1

3 D.

5

3