辽宁师范大学数学分析2001年考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题

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2001考研数二真题及解析

2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)(1) 1x →= (2) 设函数()y f x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-所确定,则曲线()y f x =在点(0,1)处的法线方程为 . (3)()32222sin cos xx xdx ππ-+=⎰(4) 过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且满足关系式'arcsin 1y x =的曲线方程为 . (5) 设方程123111111112a x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有无穷多个解,则a = . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]{}()f f f x 等于 ( )(A)0 (B)1 (C)1,1,0,1,x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ (D)0,1,()1,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩(2) 设当0x →时,2(1cos )ln(1)x x -+是比sin nx x 高阶的无穷小,sin nx x 是比()21x e -高阶的无穷小,则正整数n 等于 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (3) 曲线22(1)(3)y x x =--的拐点个数为 ( )(A)0. (B)1. (C)2. (D)3(4)已知函数()f x 在区间(1,1)δδ-+内具有二阶导数,'()f x 严格单调减少,且(1)'(1)1,f f ==则 ( )(A)在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x <. (B)在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()f x x >.(C)在(1,1)δ-内,()f x x <.在(1,1)δ+内,()f x x >. (D)在(1,1)δ-内,()f x x >.在(1,1)δ+内,()f x x <. (5)设函数()f x 在定义域内可导,()y f x =的图形如右图所示,则导函数()y f x '= 的图形为 ( )三、(本题满分6分)求22.(21)1dxxx ++⎰四、(本题满分7分)求极限sin sin sin lim sin x t xt x t x -→⎛⎫⎪⎝⎭,记此极限为()f x ,求函数()f x 的间断点并指出其类型.五、(本题满分7分)设()x ρρ=是抛物线y x =上任一点(,)(1)M x y x ≥处的曲率半径,()s s x =是该抛物线上介于点(1,1)A 与M 之间的弧长,计算2223d d ds ds ρρρ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.(在直角坐标系下曲率公式为322"(1')y K y =+)六、(本题满分7分)设函数()f x 在[0,)+∞上可导,(0)0f =,且其反函数为()g x .若()20()f x x g t dt x e =⎰,求()f x . 七、(本题满分7分)设函数(),()f x g x 满足()(),()2()xf xg x g x e f x ''==-,且(0)0,(0)2f g ==,求20()()1(1)g x f x dx x x π⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦⎰八、(本题满分9分)设L 是一条平面曲线,其上任意一点(,)P x y (0)x >到坐标原点的距离,恒等于该点处的切线在y 轴上的的截距,且L 经过点1,0.2⎛⎫ ⎪⎝⎭(1) 试求曲线L 的方程(2) 求L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L 以及两坐标轴所围图形面积最小.九、(本题满分7分)一个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S 成正比,比例常数0K >.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的78,问雪堆全部融化需要多少小时？十、(本题满分8分)设()f x 在区间[,](0)a a a ->上具有二阶连续导数,00f =（）, (1) 写出()f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2) 证明在[,]a a -上至少存在一点η,使3()3().aaa f f x dx η-''=⎰十一、(本题满分6分)已知矩阵100011110,101.111110A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且矩阵X 满足,AXA BXB AXB BXA E +=++其中E 是3阶单位阵,求X .十二、(本题满分6分)设124,,,ααα为线性方程组0AX =的一个基础解系,112223,,t t βααβαα=+=+334441,,t t βααβαα=+=+试问实数t 满足什么关系时,1234,,,ββββ也为0AX =的一个基础解系.2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】6-【详解】21lim2x x x →+-1x →=1x →=131x x x→--+=121x x →-=1x →=-lim 2===6=-(2)【答案】 x −2y +2=0.【详解】在等式2cos()1x y e xy e +-=-两边对x 求导, 其中y 视为x 的函数,得()()22sin()0x y e x y xy xy +''++=,即2(2')sin()(')0x y e y xy y xy +⋅++⋅+=将x =0, y =1代入上式, 得(2')0e y ⋅+=,即'(0) 2.y =- 故所求法线方程斜率12k -=-12=,根据点斜式法线方程为：11,2y x -= 即 x −2y +2=0.(3)【答案】8π 【分析】根据区域对称性与被积函数的奇偶性：设()f x 在有界闭区域[],a a -上连续,则有()()()()()02,0a a aaaf x dx f x dx f x f x dx f x --⎧= ⎪⎨⎪= ⎩⎰⎰⎰为偶函数，为奇函数, 【详解】由题设知()32222sin cos xx xdx ππ-+⎰32222222cos sin cos x xdx x xdx ππππ--=+⎰⎰在区间[,]22ππ-上,32cos x x 是奇函数,22sin cos x x 是偶函数,故3222cos 0x xdx ππ-=⎰,22222202sin cos 2sin cos x xdx x xdx πππ-=⎰⎰,所以,原式32222222cos sin cos x xdx x xdx ππππ--=+⎰⎰22202sin cos x xdx π=⎰2201sin 22xdx π=⎰201(1cos 4)4x dx π=-⎰ 220011cos 44416x xd x ππ=-⎰2011sin 44216x ππ=⋅-08π=-.8π=(4)【答案】1arcsin .2y x x =- 【详解】方法1：因为()arcsin 'arcsin y x y x '=+,所以原方程'arcsin 1y x +=可改写为 ()arcsin 1,y x '=两边直接积分,得 arcsin .y x x c =+ 又由1()02y =代入上式,有 10arcsin 2x c ⋅=+,解得1.2c =- 故所求曲线方程为 1arcsin .2y x x =-方法2：将原方程写成一阶线性方程的标准形式1'.arcsin y y x+=由一阶线性微分方程()()dyP x y Q x dx+=通解公式： ()()()()P x dx P x dx f x e C Q x e dx -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 这里()()1arcsin P x Q x x==,代入上式得：1arcsin y eC e dx x -⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰ 11arcsin arcsin arcsin arcsin 1arcsin d x d x x x e C e dx x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰lnarcsin lnarcsin 1arcsin x x e C e dx x -⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰1arcsin arcsin arcsin x C dx x x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰arcsin arcsin C x x x =+ 又由1()0,2y =解得1.2C =- 故曲线方程为：1arcsin .2y x x =-(5)【答案】 -2【详解】方法1：利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有111111112a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1121,3111111aa a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦行互换 21121(-1),(-)01132301112a a a a a aa -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦行的倍分别加到，行 11223011300(1)(2)2(2)a a a a a a -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦行加到行由非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件：设A 是m n ⨯矩阵,方程组Ax b =有无穷多解()()r A r A n ⇔==<. 可见,只有当a =−2 时才有秩()()23r A r A ==<,对应方程组有无穷多个解.方法2: 设A 是m n ⨯矩阵,方程组Ax b =有无穷多解()()r A r A n ⇔=<,则方程组123111111112a x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦有无穷多解()()3r A r A ⇔=<. 从而有0A =,即111111a A a a=2222,311111a a a a a+++行分别加到行1111211211a a a a ++行提出()()1111(1)201023001a a a ⨯-+--行分别()加到，行10201a a a -+-1+1=(-1)()2(2)(1)0,a a =+-=则,12a a ==-或.当1a =时,1111111111111(1)23000011120003A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦行分别加到，行可见()1()2,r A r A =≠=原方程组无解.当2a =-时,有211112111122A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦11221312112111--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，行互换 11222103332111--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行行1122103330333--⎡⎤⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦行2加到3行 112203330000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行+2行11222(3)01110000--⎡⎤⎢⎥÷---⎢⎥⎢⎥⎣⎦行可知,()()23,r A r A ==<故当2a =-时,原方程组有无穷多解.二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】因为1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,所以在整个定义域内()0()1f x f x ==或,所以()1f x ≤,于是[]()1f f x =,从而[]{}()()11f f f x f ==(2)【答案】(B)【详解】根据高阶无穷小的定义：如果lim0βα=,就说β是比α高阶的无穷小,由题设当0x →时,2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小,所以20(1cos )ln(1)0lim sin n x x x x x →-+=22012lim nx x x x x →⋅ ⋅等价3012limn x x x → 等价301lim 2n x x -→= 从而n 应满足2n ≤；又由sin nx x 是比2(1)x e -高阶的无穷小,所以根据高阶无穷小的定义有：2sin 0lim 1nx x x x e →=-20lim nx x x x →⋅ 等价10lim n x x -→=,从而n 应满足2n ≥ 综上,故正整数2n =,故选(B)(3)【答案】(C)【详解】22(1)(3)y x x =--,所以 y '222(1)(3)2(1)(3)x x x x =--+--4(1)(2)(3)x x x =---y ''[]4(2)(3)(1)(3)(1)(2)x x x x x x =--+--+--2224564332x x x x x x ⎡⎤=-++-++-+⎣⎦2431211x x ⎡⎤=-+⎣⎦y '''[]4612x =-()242x =-令0y ''=,即2312110x x -+=,因为判别式：∆224124311b ac =-=-⋅⋅120=>,所以0y ''=有两个不相等的实根,且()2y ''23212211=⋅-⋅+10=-≠,所以两个实根不为2,因此在使0y ''=这两点处,三阶导数0y '''≠,(一般地,若()00f x ''=,且()00f x '''≠,则点()()0,x f x 一定是曲线()y f x =的拐点),因此曲线有两个拐点,故选(C)或根据y ''2431211x x ⎡⎤=-+⎣⎦是一条抛物线,且与x 轴有两个不相同的交点,所以在两个交点的左右y ''符号不相同,满足拐点的定义,因此选(C)(4)【答案】(A)【详解】方法1：令()()F x f x x =-,则()()1F x f x ''=-()()1f x f ''=-由于'()f x 严格单调减少,因此当(1,1)x δ∈-时,()()1f x f ''>,则()F x '()()1f x f ''=-0>；当(1,1)x δ∈+时,()()1f x f ''<,则()F x '()()1f x f ''=-0<,且在1x =处()()1(1)10F f f '''=-=,根据判定极值的第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续,且在0x 的某去心δ领域内可导,若()00,x x x δ∈- 时,()0f x '>,而()00,x x x δ∈ +时,()0f x '<,则()f x 在0x 处取得极大值,知()F x 在1x =处取极大值,即在在(1,1)δ-和(1,1)δ+内均有()()10F x F <=,也即()f x x <. 故选(A)方法2：排除法,取()21()2x f x x -=-+,则()()21123f x x x '=--+=-+,()20f x ''=-<,所以满足题设在区间(1,1)δδ-+内具有二阶导数,'()f x 严格单调减少,且(1)'(1)1,f f ==当1x <时或1x >时,均有()f x ()212x x -=-+x <,因此可以排除(B)、(C)、(D),选(A)(5) 【答案】(D)【详解】从题设图形可见,在y 轴的左侧,曲线()y f x =是严格单调增加的,因此当0x <时,一定有'()0f x >,对应()y f x '=图形必在x 轴的上方,由此可排除(A),(C)；又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增,所以在这一段内一定有'()0f x >,对应()y f x '=图形必在x 轴的上方,进一步可排除(B),故正确答案为(D).三【详解】作积分变量变换,令tan ,x u =则2sec ,dx udu =原式222sec (2tan 1)tan 1uduu u =++⎰ 22sec (2tan 1)sec uduu u =+⎰ 2(2tan 1)cos duu u =+⎰222sin (1)cos cos du u u u =+⎰()222cos 2sin cos cos udu u u u =+⎰ 22cos 2sin cos udu u u =+⎰2cos sin 1udu u =+⎰2sin sin 1d uu =+⎰arctan(sin )u C=+C +四【分析】应先求出()f x 的表达式,再讨论它的间断点,首先明确间断点的类型分为两大类：第一类间断点和第二类间断点,第一类间断点又可分为：可去间断点(左右极限存在且相等的间断点)和跳跃间断点(左右极限存在但不相等的间断点)；第二类间断点又可分为：无穷间断点(有一个极限为无穷的间断点)和振荡间断点(极限值在某个区间变动无限多次).【详解】由 ()f x =sin sin sin lim sin xt xt x t x -→⎛⎫⎪⎝⎭sin sin sin ln sin lim xt x t x t xe-⎛⎫ ⎪⎝⎭→=sin ln sin sin sin lim x t t x x t xe⎛⎫⎪-⎝⎭→=又 sin limln sin sin sin t xx t t x x →⎛⎫= ⎪-⎝⎭sin lim ln 11sin sin sin t x x t t x x →⎛⎫+- ⎪-⎝⎭sin sin limln 1sin sin sin t xx t x t x x →-⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭sin sin lim sin sin sin t x x t x t x x →-⎛⎫= ⎪-⎝⎭limsin t xx x →=sin xx= 所以 ()f x sin ln sin sin sin lim x t t x x t x e⎛⎫⎪-⎝⎭→=sin limln sin sin sin t x x t t x x e→⎛⎫⎪-⎝⎭=sin xxe=由()f x sin x xe =的表达式,可以看出自变量x 应满足sin 0x ≠,从而,0,1,2,x k k π≠ =±±当0x →时,sin 0lim ()lim x xx x f x e→→=0lim1sin x xxee →==e =,所以0x =为()f x 的第一类间断点(左右极限相等,又进一步可知是可去间断点)；对于非零整数k ,sin lim ()lim x xx k x k f x eππ--→→=limsin x k xxeπ-→=sin 0x → ∞,故,1,2,x k k π= =±±为()f x 的第二类间断点(无穷间断点)五【解答】由y ,有'y y ''== 抛物线在点(,)M x y 处的曲率半径3221(1')()"y x K y ρρ+===3221⎡⎤+⎢⎥=3211⎡⎤+⎢⎥=321(41).2x =+ 若已知平面曲线AM 的显式表示为()y f x =()a xb ≤≤,则弧长为as =⎰,其中()f x 在[],a b 有连续的导数.根据上述结论,所以抛物线上AM 的弧长()s sx =1=⎰1=⎰1=⎰ 故 d d dxds dsdxρρ=3211(41)2x '⎡⎤+⎢⎥⎣⎦='⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰1213(41)4x ⋅+⋅=2(41)x=+=221()d d d ds ds dx ds dx ρρ=⋅11d dx =⋅'⎛⎫⎪⎝⎭⎰===因此 2223()d d ds ds ρρρ-()(32213142x =⋅+()91436x x =+-9=六【详解】()f x 的反函数是()g x ,根据反函数的性质有(())g f x x =,()20()f x x g t dt x e =⎰两边对x 求导,有()()()20()f x x g t dt x e ''=⎰()2()2x x g f x f x x e xe '⇒=+⎡⎤⎣⎦又(())g f x x =,所以2()2x x xf x x e xe '=+()2x x f x xe e '⇒=+, (0,)x ∈+∞两边积分()()2x x f x dx xe e dx '=+⎰⎰()2x x f x xe dx e dx ⇒=+⎰⎰()2x x f x xde e ⇒=+⎰()2x x x f x xe e dx e ⇒ -+⎰分部()2x x x f x xe e e C ⇒=-++()x x f x xe e C ⇒=++.由于题设()f x 在[0,)+∞上可导,所以在0x =处连续,故()()00lim ()lim 10x xx x f f x xe e C C ++→→==++=+=, 所以1C =-,于是()1x x f x xe e =+-, [0,)x ∈+∞七【详解】由()(),()2()x f x g x g x e f x ''==-,得()()2()x f x g x e f x '''==-,即()()2x f x f x e ''+=此为二阶常系数线性非齐次方程,且右端呈()xm P x e λ型(其中()2,1m P x λ= =),对应的齐次方程为()()0f x f x ''+=,特征方程为210r +=,对应的特征值为r i =±,于是齐次方程的通解为：12cos sin y C x C x =+, 因为1λ=r ≠,所以设特解为*x y ae =(a 为实数),()*xy ae''=,代入()()2x f x f x e ''+=,2x x x ae ae e +=,所以2a a +=,即1a =,从而特解*xy e =,非齐次方程的通解为()12cos sin xf x C x C x e =++,又(0)0f =,所以,()0120cos0sin00f C C e =++=110C ⇒+=11C ⇒=-又,()12sin cos xf x C x C x e '=-++(),0(0)2fg '==,所以,()0120sin0cos0f C C e '=-++21C =+2=21C ⇒=,所以原方程的解为：()sin cos xf x x x e =-+以下计算积分,有两个方法：方法1：20()()1(1)g x f x dx x x π⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦⎰()20()1()(1)g x x f x dx x π+-=+⎰ ()20()1()()()(1)f x x f x f x g x dx x π'+-' = +⎰0()1f x dx x π'⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰0()1f x d x π=+⎰0()1f x x π=+()(0)110f f ππ=-++sin cos (0)1e f ππππ-+=-+11e ππ+=+ 方法2：20()()1(1)g x f x dx x x π⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦⎰200()()1(1)g x f x dx dx x x ππ=-++⎰⎰ 00()1()11g x dx f x dx x x ππ'⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭⎰⎰00()1()11g x dx f x d x x ππ=+++⎰⎰ 000()()()111g x f x f x dx dx x x xπππ' +-+++⎰⎰分部()000()()()()111g x f x g x g x f x dx dx x x xπππ' = +-+++⎰⎰ 0()1f x x π=+()(0)110f f ππ=-++sin cos (0)1e f ππππ-+=-+11e ππ+=+八【详解】(1)设曲线L 过点(,)P x y 的切线方程为()Y y y X x '-=-,令0X =,则Y xy y '=-+,即它在y 轴上的截距为xy y '-+,根据两点()()00,,,x y x y 距离公式d =,所以原点到点(,)P x y ,由题设(,)P x y (0)x >到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距,所以：xy y '-+= (0)x >,即yy x '=, (0)x >此为一阶齐次方程,按规范方法解之,命y ux =,则dyu xdu dx=+,代入,方程变为： du u x u dx +=⇒du x dx=dx x =-积分得dxx=-⎰(ln ln u cx⇒=-C u x ⇒+把yu x=代入上式,得y C x x +=y C ⇒+=. 由题设曲线经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭,代入得0C +=,则12C =,故所求方程为：12y +=,即21.4y x =- (2) 由(1)知214y x =-,则2y x '=-,点21(,),4P x y P x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以在点P 处的切线方程为：()2124Y x x X x ⎛⎫--=--⎪⎝⎭,分别令0X =,0Y =,解得在y 轴,x 轴上的截距分别为214x +和128x x+. 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为：()A x 21112284x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22141,064x x x=+ > 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值,记0S ,于是题中所要求的面积为：()()0S x A x S =-()220141,64x S x=+- 求最值点时与0S 无关,以下按微分学的办法求最值点.()S x '()22014164x S x '⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()222228414164x x x x ⋅+-+= ()()222228414164x x x x x ⋅+-+=()()2224112164x x x +-=令()0S x '=得x ==当0x <<时,()0S x '<；当x >时,()0S x '>, 根据极值存在的第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续,且在0x 的某去心δ领域内可导,若()00,x x x δ∈- 时,()0f x '>,而()00,x x x δ∈ +时,()0f x '<,则()f x 在0x 处取得极大值,知：x =是()S x 在0x >处的唯一极小值点,即最小值点, 于是所求切线方程为：214Y X ⎛⎫ ⎪--= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即133Y X =-+九【详解】方法1：半球形雪堆在时刻t 时设其半径为r ,则半球体积323V r π=,侧面积22S r π=. 由题设体积融化的速率与半球面面积S 成正比,知：dVkS dt=-, 由于r 是t 的函数,323dV d r dt dt π⎛⎫= ⎪⎝⎭22dr r dt π=,代入上式,得：22dr r kS dt π=-,即2222drr k r dtππ=-⋅,从而dr kdt =-,00t r r ==. 积分得r kt c =-+,把00t r r ==代入,得0c r =,所以0r kt r =-+.又半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内,融化了其体积的78,即00037188t VV V V ==-=,其中0V 表示0t =时的V . 以V 的公式代入上式,为33330212383t t t V r r ππ=====⋅将0r kt r =-+代入上式,两边约去23π,得：()330018kt r r -+=,即0012kt r r -+= 从而求得：016k r =,于是0r kt r =-+0001166t r t r r ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭,当6t =时0r =,雪融化完.方法2：半球形雪堆在时刻t 时设其半径为r ,则半球体积323V r π=,侧面积22S r π=,联立323V r π=,22S r π=消去r ,得：S =由题设体积融化的速率与半球面面积S 成正比,知：dVkS dt=-,从而推知00t dVV V dt==- =分离变量23dV V=-,积分：133V c =-+,把00t V V ==代入,1303c V =,所以,1133033V V =-.又由00037188t VV V V ==-=,代入上式1133003332V V =-得k =故 133V 1303V =-1303V =113300132V V t =-.命0V =,解得：6t =,即雪堆全部融化需6小时.十【应用定理】闭区间上连续函数的介值定理：设()f x 在[],a b 上连续,()()f a f b ≠,则对()()f a f b 与之间的任何数η,必存在c (a c b <<),使得()f c η=.【详解】(1)麦克劳林公式其实就是泰勒公式中,把函数在零点展开.()f x 的拉格朗日余项一阶麦克劳林公式为：221()()(0)(0)()(0)22f f x f f x f x f x x ξξ''''''=++=+, 其中ξ位于0和x 为端点的开区间内,[],x a a ∈-.(2)方法1：将()f x 从a -到a 积分21()(0)().2aaaaaaf x dx f xdx f x dx ξ---'''=+⎰⎰⎰ 而2(0)(0)(0)02aaa a ax f xdx f xdx f a--'''==⨯=-⎰⎰从而有21()().2aa aaf x dx f x dx ξ--''=⎰⎰ 因()f x ''在[],a a -上连续,故有()f x ''在[],a a -上存在最大值M ,最小值m (由闭区间上的连续函数必有最大值和最小值),即[,][,]min (),max (),a a a a m f x M f x --''''==易得 (),[,].m f x M x a a ''≤≤∈-因此3322111()(),22233aa a a a a a x Ma f x dx f x dx M x dx M a ξ---''=≤==-⎰⎰⎰同理223111()().223aa a aa a f x dx f x dx m x dx ma ξ---''=≥=⎰⎰⎰ 因此 33()aam f x dx M a -≤≤⎰.由连续函数介值定理知,存在[],a a η∈-,使33()()aaf f x dx a η-''=⎰,即3()3()aaa f f x dx η-''=⎰.方法2 ：观察要证的式子,做变限函数：()()xxF x f t dt -=⎰,易得(0)0F =,()()()F x f x f x '=+-(变限积分求导)()()()()()()F x f x f x f x f x '''''=+-=-- ()()()()()()F x f x f x f x f x ''''''''''=--=+-则有 (0)(0)(0)000F f f '=+-=+=(0)(0)(0)(0)(0)0F f f f f ''''''=--=-=将它展开成2阶带拉格朗日余项麦克劳林公式：2311()(0)(0)(0)()23!F x F F x F x F x ξ''''''=+++ 331100()(()())66F x f f x ξξξ'''''''=++=+-其中(0,)x ξ∈,[],x a a ∈-由于()f x ''在[],a a -上连续,则由连续函数介值定理,存在[],ηξξ∈-,使1()(()())2f f f ηξξ''''''=+- (因为[]1(()())(),,2f f f x x a a ξξ''''''+-∈∈-) 于是有,存在(),a a η∈-,使3331111()00()(()())()6323F x F x f f x f x ξξξη'''''''''=++=⨯+-=把x a =代入()F x 有：31()()3F a f a η''=,即3()()3a a a f x dx f η-''=⎰ (),a a η∈-即 3()3()aaa f f x dx η-''=⎰(),a a η∈-十一【详解】题设的关系式AXA BXB AXB BXA E +=++⇒AXA BXB AXB BXA E +--=⇒()()AXA AXB BXB BXA E -+-=⇒()()AX A B BX B A E -+-= ⇒()()AX A B BX A B E ---=⇒()()AX BX A B E --=即 ()().A B X A B E --=其中, A B -100011110101111110⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111011001--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭因为 1111101A B ---=-1111(1)1+-=-10=≠,故由n 阶矩阵A 可逆的充要条件0A ≠,知矩阵A B -可逆,用初等行变换求()1A B --：111100(,)011010001001A E E --⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭1101013010011001001-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭行分别加到1,2行 100112010011001001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2行加到1行故而 ()1112011,001A B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭于是,等式()()A B X A B E --=两边左、右乘 ()1A B -- 可得()21X A B -⎡⎤=-⎣⎦112112011011001001⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭125012.001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭十二【详解】由题设知,12,,,s βββ均为12,,,s ααα的线性组合,齐次方程组当有非零解时,解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量,所以12,,,s βββ均为0Ax =的解. 下面证明12,,,s βββ线性无关. 设 11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+代入整理得,()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++=由12,,,s ααα为线性方程组0Ax =的一个基础解系,知12,,,s ααα线性无关,由线性无关的定义,知()*中其系数全为零,即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t 122211321211211100000000000(1)ss s t t t t t t t t t t t +--*+-（）1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s st t +=+- (*（）变换：把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行,其中1,, 1.i s =-)由齐次线性方程组只有零解得充要条件,可见,当12(1)0,s st t +-≠,即12(),s s t t ≠-即当s为偶数,12;t t ≠±当s 为奇数,12t t ≠时,上述方程组只有零解120,s k k k ====因此向量组12,,,s βββ线性无关,故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时,12,,,s βββ也是方程组0Ax =的基础解系.。

2001考研数一真题及答案解析

h sin h h2
0 .因而,若
f
' (0)
(C)成立.反之若(C)成立
lim
t0
f (t) t
(即
f
' (0)
).因为只要
f (t)
有界,任有(C)成立,如
f (x) | x | 满足(C),但
f
' (0) 不 .
t
因此,只能选(B).
(4)【分析】由 | E A | 4 4 3 0 ,知矩阵 A 的特征值是 4,0,0,0.又因 A 是实对称矩阵, A
(2) lim (x) 1 .
x0
2
八、(本题满分 8 分)
设有一高度为 h(t) ( t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程 z h(t) 2(x 2 y 2 ) (设 h(t)
长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9),问高度为 130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
(2)设 r x 2 y 2 z 2 ,则 div(gradr) (1,2,2) =_____________.
0
1 y
(3)交换二次积分的积分次序: dy f (x, y)dx ＝_____________.
1
2
(4)设矩阵 A 满足 A2 A 4E 0 ,其中 E 为单位矩阵,则 ( A E)1 =_____________.
f
(1 cos h) 1 cosh
1
cos h2
h
t
1
cos
h
1 lim 2 t0
f (t) t
,
由此可知
lim
h0
1 h2

辽宁大学2001高等代数考研真题

辽宁大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题报考专业：应用数学考试科目：高等代数一、（10分）证明n 阶行列式()a b ≠11000100010000001n n a b ab a b ab a b a b a b a bab a b +++++-=-++二、（10分）求线性方程组的基础解系123451234523451234503230226054330x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩三、（15分）求正交矩阵Q 使T Q AQ 为对角行（T Q 为Q 的转置矩阵），其中1132112362112311A --⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭四、（10分）证明：如A 为正定矩阵，那么2A 必为正定矩阵五、（10分）设4P 为数域P 上的四维线性空间，设()()()()12341,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,1εεεε=⎧⎪=--⎪⎨=--⎪⎪=--⎩ ()()()()12341,1,0,12,1,3,11,1,0,00,1,1,1ηηηη=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=--⎩求：由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵六、（10分）证明：如果1234,,,αααα线性无关，而1234,,,,ααααβ线性相关，那么β可由1234,,,αααα唯一地线性表示七、（20分）设,A B 为n n ⨯矩阵，证明a ）:0TA AX =与0AX =同解，证明b)：如果0AB =，那么秩A +秩B n ≤八、（15分）设12,,,s V V V 为线性空间V 的s 个非平凡子空间，证明：V 中至少存在一向量不属于 12,,,s V V V 中任何一个。

2001考研数学二真题及答案解析

x→1
(2)【答案】 x−2y+2=0.
【详解】在等式 e2x+ y − cos(xy) = e −1 两边对x求导, 其中 y 视为 x 的函数，得
e2x+y (2x + y)′ + sin(xy) ( xy)′ = 0 ，即 e2x+y ⋅ (2 + y ') + sin(xy) ⋅ ( y + xy ') =0
= f (1) f= '(1) 1, 则
()
(A)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) < x .
❤
(B)在 (1− δ ,1) 和 (1,1+ δ ) 内均有 f (x) > x .
(C)在 (1− δ ,1) 内， f (x) < x .在 (1,1+ δ ) 内， f (x) > x .
又由 y(1) = 0, 解得 C = − 1 . 故曲线方程为： y arcsin x= x − 1 .
2
2
2
(5)【答案】 -2 【详解】方法1：利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形,有
a 1 1 1
1 1 a −2
A = 1 a 1 1
1 a
1
−2
1, 3行互换
1 a
a 1
1 1
1
1
1 1 a −2
求 f (x) .
七、(本题满分 7 分)
❤
设函数 f (x), g(x) 满足 f ′(= x) g(x), g′(= x) 2ex − f (x) ，且= f (0) 0= , g(0) 2 ，
∫ 求

2001年考研数学三真题及全面解析

2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q AL K αβ=, 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A , α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K 关于L 的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的工资总额(单位：百万元)，则t W 满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且秩(A )=3,则k = (4) 设随机变量X ,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不等式{}-6P X Y ≥≤ .(5) 设总体X 服从正态分布2(0,0.2),N 而1215,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量()221102211152X X Y X X ++=++服从___分布，参数为_______二、选择题(1) 设函数f (x )的导数在x =a 处连续,又'()lim1,x af x x a→=--则( ) (A) x = a 是f (x )的极小值点. (B) x = a 是f (x )的极大值点. (C) (a , f (a ))是曲线y = f (x )的拐点.(D) x =a 不是f (x )的极值点, (a , f (a ))也不是曲线y =f (x )的拐点.(2) 设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则g (x )在区间(0,2) 内( ) (A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中A 可逆,则1B -等于( ) (A)112A P P - (B)112P A P - (C)112P P A - (D)121P A P -.(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量.若秩0TA αα⎛⎫=⎪⎝⎭秩(A)，则线性方程组( )(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.()C 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00T AX y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C)12(D) 1三、(本题满分5 分)设u = f (x ,y ,z )有连续的一阶偏导数,又函数y =y (x )及z =z (x )分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin ,x zx t e dt t -=⎰求dudx四、(本题满分6 分)已知f (x )在(−∞,+∞)内可导,且lim '(),x f x e →∞=lim()lim[()(1)],xx x x c f x f x x c→∞→∞+=--- 求c 的值.五、(本题满分6 分)求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线y =x , y = −1及x =1围成的平面区域六、(本题满分7 分)已知抛物线2y px qx =+(其中p <0,q >0)在第一象限与直线x +y =5相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p 和q 为何值时，S 达到最大? (2)求出此最大值.七、(本题满分6 分)设f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).x f k xe f x dx k -=>⎰证明：存在ξ∈(0,1), 使得1'() 2(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7 分)已知()n f x 满足'1()()n xn n f x f x x e -=+(n 为正整数)且(1),n ef n=求函数项级数 1()ni fx ∞=∑之和.九、(本题满分9 分)设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a 的值;(2) 正交矩阵Q,使TQ AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A)=n ，ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(i ,j=1,2,…,n )，二次型1211(,,).n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1) 记12(,,),n A x x x =把1211(,,).nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2) 二次型()Tg X X AX =与()f X 的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x ) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G ={(x ,y )|1≤x ≤3,1≤y ≤3}上的均匀分布，试求随机变量U ={X −Y } 的概率密度().p u2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】αβ-【使用概念】设()y f x =在x 处可导，且()0f x ≠，则函数y 关于x 的弹性在x 处的值为()()Ey x x y f x Ex y f x ''== 【详解】由Q AL K αβ=，当1Q =时，即1AL K αβ=，有1,K AL αββ--=于是K 关于L 的弹性为：EK EL LK K'=11d A L L dLA Lαββαββ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=111A L L A Lαββαββααββ------=⋅=-(2)【答案】 11.22t W -+【详解】t W 表示第t 年的工资总额，则1t W -表示第1t -年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得t W 满足的差分方程是：11(120)2 1.22t t t W W W --=+%+=+(3)【答案】-3【详解】方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对A 进行初等变换111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11111001(1)2,3,410101001kk k k k k k ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⨯-⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦行分别加到行311101002,3,400100001k k k k +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦列分别加到1列可见只有当k =−3时，r (A )=3.故k =−3.方法2：由题设r (A )=3，故应有四阶矩阵行列式0A =.由111111111111k kA kk=11111001(1)2,3,41010101k k k k k kk --⨯-----行分别加到行311101002,3,4001001k k k k +---列分别加到1列3(3)(1)0,k k =+-=解得 k =1或k = −3. 当k =1时，1111111*********A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111100001(1)23400000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行分别加到，，行可知，此时r (A )=1，不符合题意，因此一定有k =−3. (4)【答案】112【所用概念性质】切比雪夫不等式为：{}2()()D X P X E X εε-≥≤期望和方差的性质：()E X Y EX EY +=+；()2cov(,)D X Y DX X Y DY +=++ 【详解】把X Y +看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差. 故 ()220E X Y EX EY +=+=-+=又相关系数的定义：(,)X Y ρ=则cov(,)(,(0.5)1X Y X Y ρ==-=-()2cov(,)12(1)43D X Y DX X Y DY +=++=+⨯-+=所以由切比雪夫不等式：{}{}2()316()663612D X Y P X Y P X YE X Y ++≥=+-+≥≤==(5)【答案】F ；(10,5)【所用概念】1. F 分布的定义：12Xn F Yn =其中21~()X n χ 22~()Y n χ2. 2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1)N ，则221~()ni i Z n χ=∑3. 正态分布标准化的定义：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ- 【详解】因为2(0,2)1,2,,15i X N i =，将其标准化有0(0,1)22i iX X N -=，从而根据卡方分布的定义2222221015111(10),(5),2222X X X X χχ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由样本的独立性可知，2210122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与22151122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭相互独立. 故，根据F 分布的定义()22101221102222111515112210(10,5).2225X X X X Y F X X X X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++==⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故Y 服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F 分布.二、选择题(1)【答案】 [ B] 【详解】方法1：由'()lim1,x af x x a→=--知 lim '()x af x →()'()limx af x x a x a →=⋅--()'()lim lim x a x af x x a x a →→=⋅--10=-⋅0=又函数()f x 的导数在x a =处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以()0f a '=，于是有'()'()'()"()limlim 1,x ax a f x f a f x f a x ax a →→-===--- 即()0f a '=，()10f a ''=-<，根据判定极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值. 知x a =是()f x 的极大值点，因此，正确选项为(B). 方法2：由'()lim1,x af x x a→=--及极限保号性定理：如果()0lim x x f x A →=，且0A >(或0A <)，那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >(或()0f x <)，知存在x a =的去心邻域，在此去心邻域内'()0f x x a<-.于是推知，在此去心邻域内当x a <时()0f x '>；当x a >时()0.f x '<又由条件知()f x 在x a =处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心δ领域内可导，若()00,x x x δ∈- 时，()0f x '>，而()00,x x x δ∈ +时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值，知()f a 为()f x 的极大值. 因此，选 (B).(2)【答案】(D)【详解】应先写出g (x )的表达式.当01x ≤<时， 21()(1)2f x x =+，有 ()g x ()0x f u du =⎰201(1)2x u du =+⎰3001162x x u u =+311,62x x =+当12x ≤≤时， 1()(1)3f x x =-，有0()()x g x f u du =⎰101()()x f u du f u du =+⎰⎰120111(1)(1)23x u du u du =++-⎰⎰1132010111116263x x u u u u =++-()221136x =+- 即 ()3211,0162()211,1236x x x g x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+-≤≤⎪⎩因为 311112lim ()lim 623x x g x x x --→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()211212lim ()lim 1363x x g x x ++→→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，且 ()2212(1)11363g =+-=，所以由函数连续的定义，知()g x 在点1x =处连续，所以()g x 在区间[0,2]内连续，选(D).同样，可以验证(A)、(B)不正确，01x <<时，321111()06222g x x x x '⎛⎫'=+=+> ⎪⎝⎭，单调增，所以(B)递减错；同理可以验证当12x <<时，()()2211()110363g x x x '⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，单调增，所以()()()02g g x g ≤≤，即()506g x ≤≤与选项(A)无界矛盾.(3)【答案】 (C)【详解】由所给矩阵,A B 观察，将A 的2,3列互换，再将A 的1,4列互换，可得B . 根据初等矩阵变换的性质，知将A 的2,3列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以23E ，将A 的1,4列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以14E ，即2314AE E B =，其中2310000010********E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，140001010000101000E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由题设条件知114223,P E P E ==，因此21B AP P =.由于对初等矩阵ij E 有，1ij ij E E -=，故111122,P P P P --==.因此，由21B AP P =，及逆矩阵的运算规律，有()111111211212B AP P P P A PP A ------===.(4)【答案】 ()D【详解】由题设，A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，即Tα是一维行向量，可知0TA αα⎛⎫⎪⎝⎭是1n +阶矩阵. 显然有秩0TAαα⎛⎫= ⎪⎝⎭秩()A 1,n n ≤≤+ 即系数矩阵0T Aαα⎛⎫⎪⎝⎭非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组00T A X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 【答案】A【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-，故 ()DY D n X DX =-=由方差的定义：22()DX EX EX =-，所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：cov(,)0X c = (c 为常数)；cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以 cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX =-=-=-=- 由相关系数的定义，得 (,)1X Yρ===-三【变限积分求导公式】()[()][()]()f x x ag t dt g f x f x ''=⎰【详解】根据复合函数求导公式，有.du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂ (*) 在2xye xy -=两边分别对x 求导，得()()0,xy dy dye y xy x dx dx+-+= 即.dy y dx x =- 在0sin x z xt e dt t-=⎰两边分别对x 求导，得 sin()(1),xx z dze x z dx-=⋅-- 即()1.sin()x dz e x z dx x z -=-- 将其代入(*)式，得du dx f f dy f dz x y dx z dx ∂∂∂=++∂∂∂()1.sin()x f y f e x z f x x y x z z⎛⎫∂∂-∂=-+- ⎪∂∂-∂⎝⎭四【详解】因为1lim(1)xx e x→∞+=lim()x x x c x c →∞+-2lim()xx x c c x c→∞-+=- (把x c +写成2x c c -+)222lim()x c cx c x cx x c c x c-⋅-→∞-+=- (把x 写成22x c cx c x c -⋅-) 222lim (1)cx x cx ccx c x c --→∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦(利用幂函数的性质()mnm n aa =)222ln (1)lim cxx c x cc c x c x e--⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质ln ()()f x ef x =)222ln (1)lim x c c cx c x c x c x e-⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质()ln ()()ln ()g x f x g x f x =)222limln (1)x cc x cx c x c x c e-→∞⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦= (利用x y e =函数的连续性，lim ()()lim x f x f x x ee →∞→∞=)222lim lim ln (1)x c c x x cx c x c x c e-→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦=(当各部分极限均存在时，lim ()()lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∞→∞→∞⋅=⋅)222lim ln lim (1)x c c x x cx c x c x c e -→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦= (利用ln y x =函数的连续性，lim[ln ()]ln[lim ()]x x f x f x →∞→∞=)2ln c e e ⋅= (利用1lim(1)x x e x→∞+=)2c e = (ln 1e =)又因为()f x 在(),-∞+∞内可导，故在闭区间[1,]x x -上连续，在开区间(1,)x x -内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有()(1)()[(1)](),1f x f x f x x f x x ξξξ''--=--=-<<左右两边同时求极限，于是lim[()(1)]lim '()x x f x f x f e ξ→∞→∞--==，因为1x x ξ-<<，x 趋于无穷大时，ξ也趋向于无穷大由题意，lim()lim[()(1)],x x x x c f x f x x c →∞→∞+=--- 从而2c e e =，故12c =五【详解】积分区域如图所示，可以写成11,1y y x -≤≤≤≤222211()()22[1],x y x y DDDy xedxdy ydxdy xyedxdy +++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中，111112(1);3y Dydxdy dy ydx y y dy --==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 221()2x y Dxyedxdy +⎰⎰22111()21x y yydy xedx +-=⎰⎰22111()2211()2x y yydy ed x +-=⎰⎰ 22111()22211[()]2x y yydy ed x y +-=+⎰⎰2211(1)21()y ye e dy +-=-⎰ 2211(1)2211()2y y e e dy +-=-⎰22111(1)222111122y y e dy e dy +--=-⎰⎰ 22111(1)2221111[(1)]22y y ed ye dy +--=+-⎰⎰22111(1)21112y y e e +--=-0=于是221()22[1]3x y Dy xedxdy ++=-⎰⎰六【详解】方法1：依题意知，抛物线如图所示，令2()0y px qx x px q =+=+=，求得它与x 轴交点的横坐标为：120,.q x x p==- 根据定积分的定义，面积S 为()3232203260q pq p q q p S px qx dx x x p --⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭⎰(注：111n n x dx x C n +=++⎰) 因直线5x y +=与抛物线2y px qx =+相切，故它们有唯一公共点. 由方程组25x y y px qx +=⎧⎨=+⎩求其公共解，消去y ，得2(1)50px q x ++-=，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即22(1)4(5)(1)200,q p q p ∆=+-⨯⨯-=++=解得 21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得()S q 326q p =32216[(1)]20q q =-+34200.3(1)q q =+ 根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0S q '>；3q >时，()0S q '<. 故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时，()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==方法2：设抛物线2y px qx =+与直线5x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，切点既在抛物线上，也在直线上，于是满足方程有2000y px qx =+和005x y +=.抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等. 在2y px qx =+左右两边关于x 求导，得2y px q '=+，在5x y +=左右两边关于x 求导，得1y '=-，把切点坐标00(,)x y 代入，得021x x y px q ='=+=-⇒012q x p+=-由005x y +=⇒005y x =-，将两结果代入2000y px qx =+得22000011155()()()222q q q y x px qx p q p p p+++=-=--=+=-+- 整理得21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得34200().3(1)q S q q =+根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0;S q '>3q >时，()0;S q '<故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时， ()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==七【详解】将要证的等式中的ξ换成x ，移项，并命1()()()x x f x f x xϕ-'=-问题转化为证在区间(0,1)内()x ϕ存在零点. 将1()()0x f x f x x-'-= 看成一个微分方程，用分离变量法求解. 由()1()df x x dx f x x-= 两边积分得()11(1)()df x x dx dx f x x x -==-⎰⎰⎰利用1ln dx x C x =+⎰及111nn x dx x C n +=++⎰，得 1ln ()ln f x x x C =-+⇒ln ()ln xCe f x x=⇒()x Ce f x x =，即 ()xxef x C -=，命()()x F x xe f x -=. 由110(1)(),(1)x k f k xe f x dx k -=>⎰及积分中值定理(如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使得()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰)，知至少存在一点1(0,)[0,1]kη∈⊂，使1110(1)()()x k f k xe f x dx e f ηηη--==⎰且()()F ef ηηηη-=，1(1)(1)F e f -=. 把1(1)()f e f ηηη-=代入，则111(1)(1)()()()F e f e e f e f F ηηηηηηη----====那么()F x 在[,1]η上连续，在(,1)η内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点(,1)[0,1]ξη∈⊂，使得()()()0F e f e f ξξξξξξ--''=+=即 1() (1)().f f ξξξ-'=-八【详解】由已知条件可见1()()n x n n f x f x x e -'-=，这是以()n f x 为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中1()1,()n xp x q x xe -=-=，代入通解公式()()()(())p x dx p x dxf x e q x e dx C -⎰⎰=+⎰得其通解为1(),ndxdx n x xn x f x e x e e dx C e C n --⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰由条件(1),n e f n =又1(1)n f e C n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0C =，故(),n x n x e f x n =111()n x n xn n n n x e x f x e n n∞∞∞=====∑∑∑记1(),nn x S x n ∞==∑则1na n =，111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，则其收敛半径为11R ρ==，收敛区间为(1,1)-. 当(1,1)x ∈-时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，11111()1n n n n n n x x S x x n n x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'====⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑，其中2111n x x x x =+++++-故根据函数积分和求导的关系()()f x dx f x C '=+⎰，得00()()()(0)xxS x dx S x S x S '==-⎰又由于21000(0)012n n S n ∞===++=∑，所以01()(0)()0ln(1)1xxS x S S x dx dx x x'=+=+=---⎰⎰，即有 1ln(1),(1,1)nn x x x n∞==--∈-∑ 当1x =-时， 1(1)ln 2nn n ∞=-=-∑. 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到1x =-处，即1ln(1),[1,1)nn x x x n∞==--∈-∑ 于是 1()ln(1),[1,1)x n n f x e x x ∞==--∈-∑九【详解】(1) 线性方程组AX β=有解但不唯一，即有无穷多解()()3r A r A n ⇔=<=，将增广矩阵作初等行变换，得111111112a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦21112131()01100112a a a a a aa ⎡⎤⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦行行，行行倍 11123011000(1)(2)2a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦行加到行（）因为方程组AX β=有解但不唯一，所以()()3r A r A =<，故a =−2.(2) 由(1)，有112121211A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由112121211E A λλλλ---=-+---122,312111λλλλλ-+---列加到列 1121121111λλλ-+---提出列公因子1121(1)2,303303λλλ-⨯-+--行分别加到行(3)(3)0λλλ=+-=故A 的特征值为1230,3,3λλλ==-=.当10λ=时，112(0)121211E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1121(1),20332,3033--⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行的倍分别加到行1122033000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行加到3行于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为1232320330x x x x x +-=⎧⎨-=⎩ 可见，(0)2r E A -=，可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取21x =，解得对应的特征向量为1(1,1,1)Tξ=.当13λ=时，()2123151212E A -⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1511,2212212--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行互换 151212000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行-2行151********--⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦1行加到行于是得方程组(3)0E A x -=的同解方程组为12325090x x x x -+-=⎧⎨=⎩ 可见，(3)2r E A -=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选1x 为自由未知量，取11x =，解得对应的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.当13λ=-时，()4123111214E A --⎛⎫ ⎪--=--- ⎪ ⎪--⎝⎭11112412214---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，行互换 1111(4),2036036---⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭行倍倍分别加到2,3行1112036000---⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭行加到3行于是得方程组(3)0E A x --=的同解方程组为123230360x x x x x ---=⎧⎨+=⎩ 可见，(3)2r E A --=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A ---=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取22x =，解得对应的特征向量为3(1,2,1)Tξ=--.由于A 是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将123,,ξξξ单位化，3121231231111,0,2.111ξξξβββξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥======-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎣⎦⎦⎣⎦其中，123ξξξ======令[]123,,0Q βββ==则有 1300030.000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦十【详解】(1)由题设条件，1211(,,)||n nijn i j i j A f x x x x x A ===∑∑111111n nn nij i j iijji j i j A x x x A xA A ======∑∑∑∑112211()nii i in n i x A x Ax A x A==+++∑121211(,,,)nii i in i n x x x A AA Ax =⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑121211(,,,)n i i i in i n x x x A A A A x =⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭∑ []12111121221222121(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n nn n x x x A A A x A A A x A A A Ax ⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭11121121222212121(,,,)n n n n n nn n A A A x A A A x x x x AA A A x ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥=⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1212(,,,)T n n x x A x x x Ax *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭TT A X X A *= 1()T X A X -*其中()*的理由：A 是可逆的实对称矩阵，故111()()TT A A A ---==，因此由实对称的定义知，1A -也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质A A A E *=，知1A A A *-=，因此A *也是实对称矩阵，TAA **=，故()*成立.(2) 因为()()1111TTAAA AE A ----==，所以由合同的定义知A 与1A -合同.由实对称矩阵A B 与合同的充要条件：二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数. 可知，()Tg X X AX =与()f X 有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形.十一【应用定理】(i) 期望的性质：()E X Y EX EY +=+；独立随机变量方差的性质：若随机变量X Y 和独立，则()D X Y DX DY +=+(ii)列维-林德伯格中心极限定理：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立同分布，方差存在，记22(0)u σσ<<+∞与分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数x ，恒有1lim )()ni n i P X nu x x →∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑ (通俗的说：独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这些随机变量的和以正态分布为极限分布)(iii) 正态分布标准化：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ-【详解】设(1,2,)i X i n =是装运的第i 箱的重量(单位:千克)， n 是所求箱数. 由题设可以将1,,i n X X X 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量12n n S X X X =+++是独立同分布随机变量之和.由题设，有()5i E X ==(单位:千克) 所以 1212()()50n n n E S E X X X EX EX EX n =+++=+++= 1212()()25n n n D S D X X X DX DX DX n =+++=+++=则根据列维—林德柏格中心极限定理，知n S 近似服从正态分布(50,25)N n n ，箱数n 根据下述条件确定{}5000n P S P ≤=≤ (将n S 标准化)0.977(2)≈Φ>=Φ由此得2,> 从而98.0199n <，即最多可以装98箱.十二【详解】由题设条件X 和Y 是正方形{}(,):13,13G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，则X 和Y 的联合密度为：1,13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 (二维均匀分布的概率密度为1面积) 由分布函数的定义：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤(1)当0u <时，()0F u =(因为X Y -是非负的，所以小于0是不可能事件)(2)当2u ≥时，()1F u =(因为X 和Y 最大为3，X 和Y 最小为1，所以X Y -最大也就只能为2，所以2X Y -≤是必然事件，概率为1)(3)当02u ≤<时，{}()F u P U u =≤相当于阴影部分所占的概率大小. 如图所示：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤214(2)4S u S ⎡⎤==--⎣⎦阴影面积总面积 211(2)4u =--(二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面积是用总面积减去两个三角形的面积)于是随机变量U 的概率密度为：1(2),02,()'()20, u u p u F u ⎧-<<⎪==⎨⎪⎩其他。

2001-数一真题、标准答案及解析

图形为
【】【答】应选（D）
【详解】从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y = f ( x) 是严格单调增加的，因此当 x < 0
时，一定有 f ' ( x) > 0 对应 y = f ' ( x) 图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A），（C）；
又 y = f ( x) 的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f ' ( x) 图
（A）合同且相似
（B）合同但不相似
（C）不合同但相似
（D）不合同且不相似
【答】应选(A) 【详解】因为
【】
A 是实对称矩阵，且其特征值为： λ1 = 4, λ2 = λ3 = λ4 = 0, 故存在正交矩阵 Q, 使得
⎡4 0 0 0⎤ Q−1AQ = QT AQ = ⎢⎢0 0 0 0⎥⎥
⎢0 0 0 0⎥ ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦ 可见，则 A 与 B 既合同又相似.
∑ 五、设
f
(x)
=
⎧⎪1+ x2 ⎨x ⎪⎩
arctan x, x 1, x = 0
≠
0 ，试将
f
( x) 展开成
x
的幂级数，并求级数
∞ (−1)n
n=1 1 − 4n2
的和.
∑ 【详解】
因1 1+ x2
=
∞
( −1)n
n=1
x2n , x ∈ (−1,1)
-6-
∫ ∑ 故 ar(−1)n x2n+1, x ∈[−1,1]
0
n=1 2n +1
于是
∑ ∑ f ( x) = 1+ ∞ ( ) −1 n x2n+1 + ∞ ( ) −1 n x2n+2

2001-数一真题、标准答案及解析

形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B）.
故正确答案为（D）.
（2）设函数
f
( x,
y)
在点 (0, 0)
附近有定义，且
f
' x
( 0, 0)
=
3,
f
' y
( 0, 0 )
= 1，则
| （A） dz = 3dx + dy. (0,0)
（B）曲面 z = f ( x, y) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的法向量为{3,1,1}
(5)将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相
关系数等于
（A）-1
（B）0
（C） 1 2
（D）1 【】
-5-
【答】应选（A）
【详解】设 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y = n − X ，因此 X 和Y 的相关系数为 r = −1
∫ ∫ (3)交换二次积分的积分次序：
0
dy
1−y f ( x, y)dx =
−1 2
.
∫ ∫ 【答】
2
dx
1− x
f
( x, y)dy .
1
0
【详解】因为
∫ ∫ ∫ ∫ 0 dy
1−y f ( x, y)dx = −
0
dy
2
f ( x, y)dx,
−1 2
−1 1− y
积分区域为
D = {( x, y) | −1 ≤ y ≤ 0,1− y ≤ x ≤ 2},
ex cos x 线性无关，故 b (c1 − c2 ) + cc1 = 2c2 , b (c1 + c2 ) + cc2 = −2c1 ，解得 b = −2, c = 2

2001年考研数学一试题及完全解析(Word版)

yOx2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________.(5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y'=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A ) (0,0)|3z d dx dy =+. (B ) 曲面),(y x f z=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx⎰2arctan .四、(本题满分6分) 设函数),(y x f z=在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分) 设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)【分析】我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】解本题的关键是明确X 和Y 的关系:XY n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n ∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=-+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于 12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-, 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P Xn Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。

2001年数学二试题考研数学真题及解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 在点（0，1）处的切线方程为：（）．3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（）．4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（）． 5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ；（D ）111>≤⎩⎨⎧x x ． 2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为（ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且 )1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <；（B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >；（D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <．5、（同数学一的二1）三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d dsd ρρρ-的值（曲率K ＝3)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ．若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(xf 且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、求L 的方程2、求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系，144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．。

2001考研数学一试题与答案解析

yOx2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)设222z y x r++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________. (5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则 (A ) (0,0)|3z d dx dy =+.(B ) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B )01lim(1)h h f e h →-存在. (C ) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D ) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似. (B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1.(B ) 0.(C )12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx e e xx⎰2arctan .四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2fx∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ=(,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(本题满分8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nn 的和.六、(本题满分7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内的任一0x ≠,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立; (2)01lim ()2x x θ→=.八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s ααα,,,21Λ为线性方程组0Ax =的一个基础解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+L ,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21Λ也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分) 已知3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =（x A Ax x 2,,）,求3阶矩阵B ,使1-=PBP A ;(2)计算行列式E A +.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率; (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,L ,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(的数学期望()E Y .2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】先求grad r .grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y zx r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即 2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对. 应选(D ).(2)【分析】我们逐一分析.关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在 (0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C )成立.(3)【分析】当(0)0f =时,'0()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h→-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃. 关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B :时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即YaX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y ∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=.五、【分析与求解】关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n ∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==r .于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22]333Sy z z x x y dS ------⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤. ⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤.⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()()()h t D x V t dzdxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-. ⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件.体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即 0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t 的表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】由于(1,2)i i s β=L 是12,,s αααL线性组合,又12,,s αααL 是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=L 均为0Ax =的解. 从12,,s αααL是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββL 线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=L L ,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=L .由于 12,,s αααL 线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩L(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-L L L M M M M ML , 所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====L .从而12,,s βββL 线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知A B :,那么A E B E ++:,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=L .(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=L十二、【解】易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +L 相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。

2001考研数学一真题及答案解析(统编)

2001考研数一真题及解析

2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设12(sin cos )x y e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 (2) 设222,r x y z =++则(1,2,2)()|div gradr -=(3) 交换二次积分的积分次序：112(,)ydy f x y dx --=⎰⎰(4) 设矩阵A 满足2A 40A E +-=,其中E 为单位矩阵，则()1A E --＝(5) 设随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计{}()2P X E X -≥≤二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图形如右图所示，则导函数()y f x '= 的图形为 ( )(2) 设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义，且''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==则 ( )(A)(0,0)|3.dz dx dy =+(B)曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}.(C)曲线(,)z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1, 0,3}.(D)曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0, 0, f (0,0))的切向量为{3,0,1}.(3) 设(0)0f =，则()f x 在点0x =可导的充要条件为 ( )(A)201lim(1cosh)h f h →-存在. (B)h 01lim (1)h f e h →-存在. (C)201lim (sinh)h f h h →-存在. (D)[]01lim (2)()h f h f h h→-存在.(4) 设111140011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则 ( ) (A)合同且相似 . (B)合同但不相似. (C)不合同但相似 . (D)不合同且不相似.(5) 将一枚硬币重复掷n 次，以X Y 和分别表示正面向上和反面向上的次数，则X Y 和的相关系数等于 ( )(A)-1 (B)0 (C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan xxe dx e⎰ 四、(本题满分6分)设函数(,)z f x y =在点(1,1) 处可微，且(1,1)(1,1)1,3,()(,(,)).f f x f x f x x xϕ∂===∂求31()x d x dxϕ=.五、(本题满分8分)设21arctan ,0(), 1, 0x x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩试将()f x 展开成x 的幂级数，并求级数21(1)14n n n ∞=--∑的和. 六、(本题满分7分)计算222222()(2)(3),LI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰ 其中L 是平面2x y z ++= 与柱面1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设()y f x = 在(1,1)- 内具有二阶连续导数且"()0,f x ≠试证： (1) 对于(−1,1)内的任意0x ≠, 存在唯一的()x θ∈(0,1) ，使[]()(0)'()f x f x f xx θ=+成立；(2) 01lim ().2x x θ→=八、(本题满分8分)设有一高度为()h t (t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130 厘米的雪堆全部融化需多少小时？九、(本题满分6分)设12,,,s ααα 为线性方程组0Ax = 的一个基础解系，1112221223121,,,,s s t t t t t t βααβααβαα=+=+=+ 其中12,t t 为实常数.试问12,t t 满足什么关系时，12,,,s βββ 也为0Ax =的一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3 阶矩阵A 与三维向量x , 使得向量组2,,x Ax A x 线性无关，且满足3232A x Ax A x =-(1) 记()2,,,P x Ax A x =求2 阶矩阵B , 使1;A PBP -=(2) 计算行列式.A E +十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01)P P <<，且途中下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. 十二、(本题满分7分)设总体X 服从证态分布2(,)(0),N μσσ>从该总体中抽取简单随机样本122,,,(2)n X X X n ≥，其样本均值为211,2ni i X X n ==∑求统计量()212ni n i i Y X X X +==+-∑的数学期望()E Y .2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】220y y y '''-+=.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程0y py qy '''++=的通解为12(sin cos )x y e c x c x αββ=+时，则特征方程20r pr q ++=对应的两个根为一对共轭复根：1,2i λαβ=±，所以根据题设12(sin cos )x y e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：1,1αβ==，特征根为1,2λi αβ=±1,i =± 从而对应的特征方程为：()()2(1)(1)220,i i λλλλ-+--=-+= 于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220y y y '''-+=.(2)【答案】2.3【分析】若(),,r x y z 具有连续的一阶偏导数，梯度gradr 在直角坐标中的计算公式为：r r r gradr i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂ 设()()()(),,,,,,,,A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，其中,,P Q R 具有一阶连续偏导数，散度divA 在直角坐标中的计算公式为：P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ 若(),,r x y z 具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：222222()r r rdiv gradr x y z∂∂∂=++∂∂∂【详解】本题实际上是计算222222r r rx y z∂∂∂++∂∂∂r x ∂∂222x y z x ∂++=∂22222x x y z=++222x x y z =++xr=22r x ∂∂x x r ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2r r xx r∂-∂=2xr x r x r x r r -∂ = ∂223r x r -= 类似可得 r y y r ∂=∂，22r y∂∂223r y r -=；r z z r ∂=∂，22r z ∂∂223r z r -= 根据定义有 ()div gradr 222222r r r x y z∂∂∂=++∂∂∂222222333r x r y r z r r r ---=++ 222233r x y z r ---=2233r r r -=232r r=2r =2222x y z =++于是 (1,2,2)()|div gradr -()2221,2,22x y z -=++2222231(2)2==+-+(3)【答案】211(,).xdx f x y dy -⎰⎰【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分. 但在10y -≤≤内，21y ≥-，题设的二次积分并不是(,)f x y 在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：1021211(,)(,),yydy f x y dx dy f x y dx ----=-⎰⎰⎰⎰其中{}(,)10,12,D x y y y x =-≤≤-≤≤ 再由图所示，又可将D 改写为{}(,)12,10,D x y x x y =≤≤-≤≤于是112(,)ydy f x y dx --⎰⎰0211(,)ydy f x y dx --=-⎰⎰2011(,)xdx f x y dy -=-⎰⎰211(,).xdx f x y dy -=⎰⎰(4)【答案】1(2).2A E + 【详解】要求()A E -的逆，应努力把题中所给条件化成()A EB E -=的形式.由题设240A A E +-=⇒222A A E E +-=⇒()()22A E A E E -+=Oxyx+y=1x=2 1即 ()()12,2A E A E E -⋅+= 故 ()()1122A E A E --=+.(5)【答案】12【分析】切比雪夫不等式：{}2()()D X P X E X εε-≥≤【详解】根据切比雪夫不等式有{}22()21()2222D X P XE X -≥≤==二、选择题(1) 【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在y 轴的左侧，曲线()y f x =是严格单调增加的，因此当0x <时，一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增，所以在这一段内一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义及''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==未设(,)f x y 在点(0,0)可微，也没设(,)z f x y =，所以谈不上dz ，因此可立即排除(A)；令(,,)(,)F x y z z f x y =-，则有''''',,1x x y y z F f F f F =-=-=. 因此过点(0,0,(0,0))f 的法向量为{}''',,x y z F F F ±={}'',,1x y f f ±--=±{−3,−1,1} ，可排除(B)；曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩可表示为参数形式：0,(,0)x xy z f x =⎧⎪=⎨⎪=⎩点(0,0,(0,0))f 的切向量为 {}{}'1,0,(0,0)1,0,3x f ±=±. 故正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：因为0001()()lim(1)1lim lim ln(1)ln(1)h h h x x f x f x xf e e x h x x x →→→--==⋅-- 0()ln(1)limx f x x x x x x → -- ⋅- ()()00()0()lim 0lim 0x x f x f f x f x x →→-=- =0 -()0f '=可见，若()f x 在点0x =可导，则极限01lim(1)h h f e h→-一定存在；反过来也成立. 方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.比如，()f x x =, 在0x = 处不可导，但2220001cos 11cos lim (1cos )lim limh h h h h f h h h h →→→---==22012sin 2lim h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=2201112sin lim 22h h h h h→⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12=，故排除(A)2200sin 1lim(sin )lim h h h h f h h h h →→--=30sin lim h h hh h→-=⋅ 其中，30sin lim h h h h →-30sin lim h h h h →-=201cos lim 3h h h →- 洛22012sin 2lim 3h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=22012lim 3h h h → 等16= 根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以3sinhlim0h h h h→-⋅=.故排除(C). 又如1,0()0,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处不可导，但[]00111lim (2)()lim0h h f h f h h h →→--==存在，进一步可排除(D).(4)【答案】 (A)【详解】方法1：因为A 是实对称矩阵，必相似于对角阵Λ.1111111111111111E A λλλλλ---------=--------44442,3,41111111111111λλλλλλλ----------------行分别加到行 111111111(4)111141111λλλλλ--------------行提出公因子()111110(4)00000λλλλ-行分别加到2,3,4行34λλ=-()=0 得A 的特征值为：12344,0,λλλλ====故必存在正交矩阵Q , 使得14000000000000000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A B 与相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似. 因此，A B 与也合同. 即A B 与既合同且相似.应选(A).方法 2：因为A 是实对称矩阵，故A 必相似于一对角阵Λ. 又由相似矩阵有相同的特征值,相同的秩, 知A 与Λ有相同的秩，故()()1,r r A Λ== 即Λ对角线上有3个元素为零.因此, 1230λλλ===是A 的特征值.求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知444114.iii i i a λλ=====∑∑ 故，44λ=.即A 有特征值40λλ==和(三重根)，和对角阵B 的特征值完全一致，故A ,B 相似.又由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似. 知A ,B 合同.(5)【答案】A【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-，故 ()DY D n X DX =-=由方差的定义：22()DX EX EX =-, 所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：cov(,)0X c = (c 为常数)；cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以 cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX =-=-=-=- 由相关系数的定义，得 cov(,)(,)1X Y DXX Y DX DY DX DXρ-===-三【详解】2arctan x x e dx e⎰2arctan x xe e dx -=⎰()21arctan 22x x e e d x -=--⎰ ()21arctan 2x x e d e -=-⎰()221arctan arctan 2x x x xe e e d e ----⎰分部 2221arctan 2(1)x x xxx de e e e e -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰ 222111arctan 21x x x x x e e de e e -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰ 22211arctan 21x x x x x xe e e de de e --⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭⎰⎰ ()21arctan arctan 2xx x x e e e e C --=-+++四【详解】由题设，()d x dx ϕ[](,(,))df x f x x dx=()12(,(,))(,(,))(,)f x f x x f x f x x f x x '''=+ 1212(,(,))(,(,))(,)(,)f x f x x f x f x x f x x f x x ⎡⎤''''=++⎣⎦这里1f f x ∂'=∂，2ff y∂'=∂，所以1()x d x dx ϕ={}12121(,(,))(,(,))(,)(,)x f x f x x f x f x x f x x f x x =⎡⎤''''=++⎣⎦1212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)f f f f ⎡⎤''''=++⎣⎦[]2323=+⋅+17=又 (1,1)1,f =()(,(,))x f x f x x ϕ=，所以 (1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1(1,1)f f = 1,=所以3211()()3()x x d d x x x dxdx ϕϕϕ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦21()3(1)x d x dx ϕϕ==1()(1)1,173117x d x dx ϕϕ= == ⋅⋅51=五【详解】首先将arctan x 展开.因为 ()arctan 'x =2211(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑故 ()0arctan arctan 0arctan 'xx x dx =+⎰2000(1)xn n n x dx ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑⎰2210(1)(1)21n xnnn n n x dx x n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰， ()1,1x ∈-于是 21()arctan x f x x x +=22101(1)21n n n x x x n ∞+=+-=+∑220(1)(1)21n n n x x n ∞=-=++∑ 22200(1)(1)2121n n n n n n x x n n ∞∞+==--=+++∑∑()()011210210(1)(1)(1)20121211n n n n n n x x xn n +-∞∞+==---=++⋅+++-∑∑ 12211(1)(1)12121n n n n n n x x n n -∞∞==--=+++-∑∑2211(1)(1)12121n n n nn n x x n n ∞∞==--=+-+-∑∑21111(1)2121nn n x n n ∞=⎛⎫=+-- ⎪+-⎝⎭∑221(1)2114n n n x n∞=-=+-∑， ()1,1,0x x ∈-≠ 又0lim ()x f x →2201(1)2lim 114n n x n x n ∞→=⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑1=，且(0)1f =，所以()f x 在0x =处连续，从而0x =时，()f x 221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑也成立. 进而()f x 221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑，(1,1)x ∈-，又在1x =±处级数22211(1)2(1)21414n n n n n x n n ∞∞==--=--∑∑收敛， 2111lim ()lim arctan x x x f x x x --→→+=2111lim lim arctan x x x x x--→→+=⋅242ππ=⋅=()1f =， 2111lim ()lim arctan x x x f x x x ++→-→-+=2111lim lim arctan x x x x x ++→-→-+=⋅()2142f ππ⎛⎫=-⋅-==- ⎪⎝⎭，所以()f x 在1x =处左连续，在1x =-处右连续，所以等式可扩大到1x =±，从而 221(1)2()114n nn f x x n∞=-=+-∑，[]1,1x ∈-，变形得 221(1)()1142n n n f x x n∞=--=-∑ 因此 21(1)14n n n ∞=--∑221(1)114n n n n∞=-=⋅-∑[]1(1)12f =-1122π⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦1.42π=-六【详解】方法1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)D 为S 在xoy 坐标面上的投影， {(,)| 1 }D x y x y =+={}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y xyz z z z αβγ''=--''++ 在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydz dzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分，而对于第二类曲面积分，一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算.把111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===代入上式， I [](24)cos (26)cos (22)cos Sy z z x x y dS αβγ=--+--+--⎰⎰[]1(24)(26)(22)3Sy z z x x y dS =--+--+--⎰⎰ []18463S x y z dS =---⎰⎰2(423)3Sx y z dS =-++⎰⎰ 按第一型曲面积分的算法，将S 投影到xoy ，记为σ.dS 与它在xoy 平面上的投影d σ的关系是2211cos x y dS d z z d σσγ''==++ 故3dS d σ=，将2x y z ++=代入2(423)3S I x y z dS =-++⎰⎰2[423(2)](3)3Sx y x y d σ=-++--⎰⎰ 2(6)Dx y d σ=--+⎰⎰由于D 关于y 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.D 关于x 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy =-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)其中，D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=- 方法2：转换投影法.用斯托克斯公式，取平面2x y z ++=被L 所围成的部分为S ，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ，S 在xoy 平面上的投影域记为{(,)| 1 }D x y x y =+=.由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydzdzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰由 111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===，及 {}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y xyz z z z αβγ''=--''++ 知 11cos cos dS dydz dxdy αλ==，11cos cos dS dzdx dxdy βλ==，故 22221cos 1cos 1xx yx x yz z z dydz dxdy dxdy z dxdy z z αλ'-''++'===-''++ 22221cos 1cos 1yx yy x yz z z dzdx dxdy dxdy z dxdy z z βλ'-''++'===-''++ 因为S 为2z x y =--，式子左右两端分别关于,x y 求偏导，1,1,z zx y∂∂=-=-∂∂于是 (24)(26)(26)SI y z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰{}24,26,26,,1Sz z y z z x x y dxdy x y ⎧⎫∂∂=------⋅--⎨⎬∂∂⎩⎭⎰⎰2(423)2(6)SDx y z dxdy x y dxdy =-++=--+⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰. 类似的，因为区域D 关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy =-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法3：降维法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧 (曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则) ，D 为S 在xoy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+= 把2x y z ++=代入I 中， 1L 为L 在xoy 平面上投影，逆时针.1222222((2))(2(2))(3)()L I y x y dx x y x dy x y dx dy =---+---+---⎰ 12222(42444)(324888)L y x xy x y dx y x xy x y dy =--++-+-+--+⎰ 12222(324888)(42444)[]L y x xy x y y x xy x y dxdy x y∂-+--+∂--++--∂∂⎰ 格林公式 2(6)24Dx y dxdy =--+=-⎰⎰方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则){}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y xyz z z z αβγ''=--''++ 在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Sdydz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223S dydzdzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy =--+--+--⎰⎰用逐个投影法，先计算1(24),SI y z dydz =--⎰⎰ 其中{}(,)|21yz D y z y z y =--+≤为S 在yoz 平面上的投影，分别令0,0,20,20y y y z y z ≥≤--≥--≤, 可得到yz D 的4 条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z = ；左：21y z +=；下：1z =.于是 13(3)2111(1)22(2)16z z I dz y z dy --=-+=-⎰⎰再计算2(26)SI z x dzdx =--⎰⎰，其中{}(,)|21xzD x z x x z =+--≤为S 在xoz平面上的投影，分别令0,0,20,20x x x z x z ≥≤--≥--≤, 可得到xz D 的4 条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z = ；左：21y z +=；下：1z =.于是 13(3)321211(1)22(3)(6)8z z I dz z x dx z dz --=-+=-=-⎰⎰⎰再计算3(22)DI x y dxdy =--⎰⎰，其中{}(,)|1xyDx y x y =+≤为S 在xoy 平面上的投影，因为区域关于y 轴和x 轴均对称，被积函数是关于x 和y 都是奇函数，于是 32()0SI x y dxdy =-+=⎰⎰故 12324.I I I I =++=- 方法5：参数式法.L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，是由4条直线段构成的封闭折线，将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.当0,0x y ≥≥时，1:1,2L y x z x y =-=--, 则,dy dx dz dx =-=-，x 从1 到0. 以x 为参数，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(2)][2(2)]()[3(1)]()x x y dx x y x dx x x dx =----+----+--- 22[(1)1(2)(1)]x x dx =--+--则1222222()(2)(3)L y z dx z x dy x y dz -+-+-⎰221(1)1(2)(1)x x dx ⎡⎤=--+--⎣⎦⎰7.3= 当0,0x y ≤≥, 2:1,12L y x z x =+=-, 则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1- 于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(12)][2(12)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =+--+--+-+-(24)x dx =+所以212222220()(2)(3)(24)3L y z dx z x dy x y dz x dx --+-+-=+=-⎰⎰当0,0x y ≤≤, 3:1,3L y x z =-=,则,0dy dx dz =-=，x 从1-到0，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)3][23]()[3(1)]0x dx x dx x x =--+⋅--+--⋅ 2(2226)x x dx =+-所以32222222179()(2)(3)(2226)3L y z dx z x dy x y dz x x dx --+-+-=+-=-⎰⎰ 当0,0x y ≥≤, 4:1,32L y x z x =-=-，则,2dy dx dz dx ==-，x 从0 到1，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz -+-+-222222[(1)(32)][2(32)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =---+--+---(1812)x dx =-+所以41222222()(2)(3)(1812) 3.L y z dx z x dy x y dz x dx -+-+-=-+=⎰⎰所以 123424.LL L L L I ==+++=-⎰⎰⎰⎰⎰七【分析】拉格朗日中值定理：如果()f x 满足在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立【详解】(1) 因为()y f x = 在(1,1)- 内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零(1,1)x ∈-，存在()x θ∈(0,1)，()(1,1)x x θ⋅∈-，使[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<成立.因为()f x ''在(1,1)-内连续且"()0,f x ≠ 所以()f x ''在(1,1)-内不变号，不妨设"()0,f x >则()f x '在(1,1)-内严格单调且增加，故()x θ唯一.(2)方法1：由(1)知[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<< 于是有 []'()()(0)xf x x f x f θ=-，即 []()(0)'()f x f f x x xθ-=所以[]2'()'(0)()(0)'(0)f x x f f x f f xxx θ---=上式两边取极限，再根据导数定义，得左端＝[]0'()'(0)limx f x x f xθ→-[]0'()'(0)lim()()x f x x f x x xθθθ→-=[]0'()'(0)limlim ()()x x f x x f x x xθθθ→→-=0"(0)lim ()x f x θ→=右端＝20()(0)'(0)limx f x f f x x →--0'()'(0)lim 2x f x f x →- 洛01'()'(0)lim 20x f x f x →-=-1"(0)2f 导数定义左边=右边，即01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=，故01lim ().2x x θ→=方法2：由泰勒公式得()21()(0)'(0)"(),02f x f f x f x x ξξ=++ ∈，再与(1)中的 []()(0)'()(0()1)f x f xf x x x θθ=+<<比较，所以 []21'()()(0)'(0)"(),2xf x x f x f f x f x θξ=-=+ 约去x ，有 []1'()'(0)"(),2f x x f f x θξ=+凑成[]'()'(0)1()"(),()2f x x f x f x xθθξθ-=由于 []0'()'(0)lim"(0)()x f x x f f x xθθ→-=，0lim "()lim "()"(0)x f x f f ξξ→→==所以 01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→= 故 01lim ().2x x θ→=八【详解】222222()1()0()()2x y z h t x y h t h t +=-≥⇒+≤，所以侧面在xoy 面上的投影为：()2221,:()2D x y x y h t ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭记V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则由体积公式V (),Df x y dxdy =⎰⎰Dzdxdy =⎰⎰222()()()D x y h t dxdy h t ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 化为极坐标，令cos ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤V ()22202()()h t r d h t rdr h t πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰()22022()()h t r h t rdr h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ ()()22222()()h t h t r h t rdr rdr h t π⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰()()24222()22()h t h t r r h t h t π⎛⎫ ⎪=-⎪⎪⎝⎭33()()248h t h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()4h t π=再由侧面积公式：()()22''1x y DS f f dxdy =++⎰⎰()()221xy Dz z dxdy ''=++⎰⎰22441()()Dx y dxdy h t h t ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰22216()1()Dx y dxdy h t +=+⎰⎰ 化为极坐标，令cos ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤S =()()22220161h t r d rdr h t πθ+⎰⎰()()22201621h t r rdr h t π=+⎰()()22220161h t r dr h t π=+⎰()()()()22222201616116h t h t r rd h t h t π=+⎰()()()32222202161163h t h t r h t π⎛⎫=⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭()()()32232228211163h t h t h t π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22271163h t π=⋅⋅-213()12h t π= 由题意知0.9(),dVS t dt=- 将上述()V t 和()S t 代入，得 32()13()40.912dh t h t dt ππ=-⋅223()13()()0.9412dh t h t h t dt ππ⇒=-⋅() 1.3dh t dt ⇒=- 积分解得 13()10h t t C =-+ 由 ()0130h =, 得130C =. 所以13()130.10h t t =-+ 令()0h t →，即13130010t -+→100t ⇒→ 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需要时间为100小时.九【详解】由题设知，12,,,s βββ 均为12,,,s ααα 的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以12,,,s βββ 均为0Ax =的解. 下面证明12,,,s βββ 线性无关. 设11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+ 代入整理得，()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++=由12,,,s ααα 为线性方程组0Ax =的一个基础解系，知12,,,s ααα 线性无关，由线性无关的定义，知()*中其系数全为零，即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t122211321211211100000000000(1)ss s t t t t t t t t t t t +--*+-（）1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s s t t +=+-(*（）变换：把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行，其中1,, 1.i s =- ) 由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当12(1)0,s st t +-≠，即12(),s s t t ≠-即当s 为偶数，12;t t ≠±当s 为奇数，12t t ≠时，上述方程组只有零解120,s k k k ==== 因此向量组12,,,s βββ 线性无关，故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时，12,,,s βββ 也是方程组0Ax =的基础解系.十【详解】(1)方法1：求B ，使1A PBP -=成立，等式两边右乘P ，即AP PB =成立.由题设知，AP ()2,,A x Ax A x =()23,,Ax A x A x =，又3232A x Ax A x =-，故有AP ()22,,32Ax A x Ax A x =-()2000,,103012x Ax A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭000103012P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 即如果取000103012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，此时的B 满足1A PBP -= ，即为所求.方法2：由题设条件()2,,P x Ax A x =是可逆矩阵，由可逆的定义，知有1P -使11PP P P --=()()121112,,,,P x Ax A x P x P Ax P A x ----==E =100010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即有11121000,1,0001P x P Ax P A x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由题设条件，3232A x Ax A x =-，有()131232P A x P Ax A x --=-11232P Ax P A x --=-00312001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭032⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭由1A PBP -=，得1B P AP -=()12,,P A x Ax A x -=()123,,P Ax A x A x -=()11213,,P Ax P A x P A x ---=000103012⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭(2) 由(1)及矩阵相似的定义知，A 与B 相似. 由矩阵相似的性质：若A B ，则()()f A f B ，则A E +与A E -也相似. 又由相似矩阵的行列式相等，得100113011A E B E ⎡⎤⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1001(1)0132011⎡⎤⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行加到行1113(1)11+=--4=-十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景. 它的背景是：做n 次独立重复试验，每次试验的结果只有两个(要么成功，要么失败)，每次试验成功的概率都为p ，随机变量X 表示n 次试验成功的次数，则~(,)X B n p . 在此题中，每位乘客在中途下车看成是一次实验，每个人下车是独立的，有n 个人相当于做了n 次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，不下车看成实验失败，而且每次实验成功的概率都为p ，则问题(1)成为n 重伯努利实验中有m 次成功.【详解】 (1)求在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率，相当于求条件概率{}|P Y m X n ==，由题设知，此条件概率服从二项分布，因此根据二项分布的分布律有:{}|(1),0,0,1,2m mn m n P Y m X n C P P m n n -===-≤≤=(2) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布，其实就是求{},P X n Y m ==，利用乘法公式，有 {}{}{},|P X n Y m P Y m X n P X n ======又X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，由泊松分布的分布律有{}!nP X n e n λλ-==故 {}{}{},|(1)!m mn mn ne P X n Y m P Y m X n P X n C P P n λλ--=======-⋅，其中0,0,1,2m n n ≤≤=十二【详解】记121111,n ni n i i i X X X X n n +====∑∑，则()1212X X X =+，即122X X X =+ 且 1111nin i i i EX nu E X E X u n n n ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑，211n n i i E X E X u n +=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑因此 ()()()221211()2n n i n i i n i i i E Y E X X X E X X X X ++==⎡⎤⎧⎫⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑ ()()()()22112212n i i n i n i i E X X X X X X X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑()()()()2211221112n n n i i n i n i i i i E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑因为样本方差()221111n i i S X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑是总体方差的无偏估计，则22ES σ=，即()2221111ni i ES E X X n σ=⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦∑ 所以 ()2211(1)n i i E X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑，同理 ()2221(1)n n i i E X X n σ+=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑而 ()()()()12121122n ni n i i n i i i E X X X X E X X X X ++==⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤--=--⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑()()1212ni n ii E X X XX +=⎡⎤=--⎣⎦∑()21121ni n i i n i i E X X X X X X X X ++==--+∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑由于122,,,(2)n X X X n ≥ 相互独立同分布，则2i X X 与，1n i X X +与，12X X 与也独立(1,2i n = ). 而由独立随机变量期望的性质(若随机变量,X Y 独立，且,EX EY 都存在，则EXY EXEY =)，所以2i n i i n i EX X EX EX u ++==，222i i EX X EX EX u ==211n i n i EX X EX EX u ++==，21212EX X EX EX u ==故有 ()()121n i n i i E X X XX +=⎧⎫⎡⎤--⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ ()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑()222210ni u u u u ==--+=∑即 ()()()()221122111()2n n n i i n i n i i i i E Y E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑()()()2221121n n n σσσ=-+-=-。

2001考研数一真题答案及详细解析

一、填空题(1)【答案】220y y y '''-+=.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程0y py qy '''++=的通解为12(sin cos )x y e c x c x αββ=+时，则特征方程20r pr q ++=对应的两个根为一对共轭复根：1,2i λαβ=±，所以根据题设12(sin cos )xy e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：1,1αβ==，特征根为1,2λi αβ=±1,i =±从而对应的特征方程为：()()2(1)(1)220,i i λλλλ-+--=-+=于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220y y y '''-+=.(2)【答案】2.3【分析】若(),,r x y z 具有连续的一阶偏导数，梯度gr adr 在直角坐标中的计算公式为：r r r gradr i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂设()()()(),,,,,,,,A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，其中,,P Q R 具有一阶连续偏导数，散度d ivA 在直角坐标中的计算公式为：P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂若(),,r x y z 具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：222222()r r rdiv gradr x y z∂∂∂=++∂∂∂【详解】本题实际上是计算222222r r rx y z∂∂∂++∂∂∂r x ∂∂222x y z x ∂++=∂22222xx y z=++222x x y z =++xr=2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析22r x ∂∂x x r ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2rr xx r∂-∂=2x r x r x r x r r -∂ = ∂223r x r -=类似可得r y y r ∂=∂，22r y ∂∂223r y r -=；r z z r ∂=∂，22r z ∂∂223r z r -=根据定义有()div gradr 222222r r r x y z ∂∂∂=++∂∂∂222222333r x r y r z r r r ---=++222233r x y z r ---=2233r r r-=232r r =2r =2222x y z =++于是(1,2,2)()|div gradr -()2221,2,22x y z -=++2222231(2)2==+-+(3)【答案】211(,).xdx f x y dy -⎰⎰【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分.但在10y -≤≤内，21y ≥-，题设的二次积分并不是(,)f x y 在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：1021211(,)(,),yydy f x y dx dy f x y dx ----=-⎰⎰⎰⎰其中{}(,)10,12,D x y y y x =-≤≤-≤≤再由图所示，又可将D 改写为{}(,)12,10,D x y x x y =≤≤-≤≤于是112(,)ydy f x y dx --⎰⎰211(,)ydy f x y dx --=-⎰⎰2011(,)xdx f x y dy-=-⎰⎰211(,).xdx f x y dy -=⎰⎰(4)【答案】1(2).2A E +【详解】要求()A E -的逆，应努力把题中所给条件化成()A EB E -=的形式.由题设240A A E +-=⇒222A A E E +-=⇒()()22A E A E E-+=Oxyx+y=1x=21即()()12,2A E A E E -⋅+=故()()1122A E A E --=+.(5)【答案】12【分析】切比雪夫不等式：{}2()()D X P X E X εε-≥≤【详解】根据切比雪夫不等式有{}22()21()2222D X P XE X -≥≤==二、选择题(1)【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在y 轴的左侧，曲线()y f x =是严格单调增加的，因此当0x <时，一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增，所以在这一段内一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义及''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==未设(,)f x y 在点(0,0)可微，也没设(,)z f x y =，所以谈不上dz ，因此可立即排除(A)；令(,,)(,)F x y z z f x y =-，则有''''',,1x x y y z F f F f F =-=-=.因此过点(0,0,(0,0))f 的法向量为{}''',,x y z F F F ±={}'',,1x y f f ±--=±{−3,−1,1}，可排除(B)；曲线(,)z f x y y =⎧⎨=⎩可表示为参数形式：0,(,0)x x y z f x =⎧⎪=⎨⎪=⎩点(0,0,(0,0))f 的切向量为{}{}'1,0,(0,0)1,0,3x f ±=±.故正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：因为001()()lim (1)1lim lim ln(1)ln(1)h h h x x f x f x xf e e x h x x x →→→--==⋅--0()ln(1)limx f x x x x x x → -- ⋅- ()()00()0()lim 0limx x f x f f x f x x →→-=- =0 -()0f '=可见，若()f x 在点0x =可导，则极限01lim(1)h h f e h→-一定存在；反过来也成立.方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.比如，()f x x =,在0x =处不可导，但2220001cos 11cos lim (1cos )lim lim h h h h h f h h h h →→→---==22012sin 2lim h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=2201112sin lim 22h h h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12=，故排除(A)2200sin 1lim (sin )lim h h h h f h h h h→→--=30sin lim h h h h h →-=⋅其中，30sin limh h h h →-30sin lim h h h h →-=201cos lim 3h h h →- 洛22012sin 2lim 3h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=22012lim 3h hh → 等16=根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以3sinhlim0h h h h→-⋅=.故排除(C).又如1,0()0,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处不可导，但[]00111lim (2)()lim0h h f h f h h h →→--==存在，进一步可排除(D).(4)【答案】(A)【详解】方法1：因为A 是实对称矩阵，必相似于对角阵Λ.1111111111111111E A λλλλλ---------=--------44442,3,41111111111111λλλλλλλ----------------行分别加到行111111111(4)111141111λλλλλ--------------行提出公因子()11111000(4)000000λλλλ-行分别加到2,3,4行34λλ=-()=0得A 的特征值为：12344,0,λλλλ====故必存在正交矩阵Q ,使得14000000000000000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A B 与相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似.因此，A B 与也合同.即A B 与既合同且相似.应选(A).方法2：因为A 是实对称矩阵，故A 必相似于一对角阵Λ.又由相似矩阵有相同的特征值,相同的秩,知A 与Λ有相同的秩，故()()1,r r A Λ==即Λ对角线上有3个元素为零.因此,1230λλλ===是A 的特征值.求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知444114.iii i i a λλ=====∑∑故，44λ=.即A 有特征值40λλ==和(三重根)，和对角阵B 的特征值完全一致，故A ,B 相似.又由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似.知A ,B 合同.(5)【答案】A【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-，故()DY D n X DX=-=由方差的定义：22()DX EX EX =-,所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：c ov(,)0X c =(c 为常数)；c ov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以c ov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX=-=-=-=-由相关系数的定义，得c ov(,)(,)1X Y DX X Y DX DYDX DXρ-===-三【详解】2a rctan x x e dx e⎰2a rctan x x e e dx -=⎰()21arctan 22x xe e d x -=--⎰()21arctan 2x x e d e -=-⎰()221arctan arctan 2x x x xe e e d e ----⎰分部2221arctan 2(1)x x xx x de e e e e -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰222111arctan 21x x x x x e e de ee -⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰22211arctan 21x x x x x x e e e de de e --⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭⎰⎰()21arctan arctan 2xx x x e e e e C --=-+++四【详解】由题设，()d x dx ϕ[](,(,))df x f x x dx=()12(,(,))(,(,))(,)f x f x x f x f x x f x x '''=+1212(,(,))(,(,))(,)(,)f x f x x f x f x x f x x f x x ⎡⎤''''=++⎣⎦这里1f f x ∂'=∂，2ff y∂'=∂，所以1()x d x dx ϕ={}12121(,(,))(,(,))(,)(,)x f x f x x f x f x x f x x f x x =⎡⎤''''=++⎣⎦1212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)f f f f ⎡⎤''''=++⎣⎦[]2323=+⋅+17=又(1,1)1,f =()(,(,))x f x f x x ϕ=，所以(1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1(1,1)f f = 1,=所以3211()()3()x x d d x x x dxdx ϕϕϕ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦21()3(1)x d x dx ϕϕ==1()(1)1,173117x d x dx ϕϕ= == ⋅⋅51=五【详解】首先将a rctan x 展开.因为()a rctan 'x =2211(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑故()0arctan arctan 0arctan 'xx x dx =+⎰2000(1)xn n n x dx ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑⎰22100(1)(1)21n xnnn n n x dx x n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰，()1,1x ∈-于是21()arctan x f x x x +=22101(1)21n n n x x x n ∞+=+-=+∑220(1)(1)21n n n x x n ∞=-=++∑22200(1)(1)2121n n n n n n x x n n ∞∞+==--=+++∑∑()()011210210(1)(1)(1)20121211n n n n n n x x x n n +-∞∞+==---=++⋅+++-∑∑12211(1)(1)12121n n n n n n x x n n -∞∞==--=+++-∑∑2211(1)(1)12121n n n nn n x xn n ∞∞==--=+-+-∑∑21111(1)2121nn n x n n ∞=⎛⎫=+-- ⎪+-⎝⎭∑221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑，()1,1,0x x ∈-≠又0lim ()x f x →2201(1)2lim 114n n x n x n ∞→=⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑1=，且(0)1f =，所以()f x 在0x =处连续，从而0x =时，()f x 221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑也成立.进而()f x 221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑，(1,1)x ∈-，又在1x =±处级数22211(1)2(1)21414n n n n n x n n ∞∞==--=--∑∑收敛，2111lim ()lim arctan x x x f x x x --→→+=2111lim lim arctanx x xx x --→→+=⋅242ππ=⋅=()1f =，2111lim ()lim arctan x x x f x x x ++→-→-+=2111lim lim arctan x x xx x ++→-→-+=⋅()2142f ππ⎛⎫=-⋅-==- ⎪⎝⎭，所以()f x 在1x =处左连续，在1x =-处右连续，所以等式可扩大到1x =±，从而221(1)2()114n n n f x x n ∞=-=+-∑，[]1,1x ∈-，变形得221(1)()1142n n n f x x n∞=--=-∑因此21(1)14n n n ∞=--∑221(1)114n n n n ∞=-=⋅-∑[]1(1)12f =-1122π⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦1.42π=-六【详解】方法1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)D 为S 在x oy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+={}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdx dxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分，而对于第二类曲面积分，一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算.把111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===代入上式，I [](24)cos (26)cos (22)cos Sy z z x x y dSαβγ=--+--+--⎰⎰[]1(24)(26)(22)3Sy z z x x y dS =--+--+--⎰⎰[]18463S x y z dS =---⎰⎰2(423)3Sx y z dS =-++⎰⎰按第一型曲面积分的算法，将S 投影到x oy ，记为σ.d S 与它在x oy 平面上的投影d σ的关系是2211cos x y dS d z z d σσγ''==++故3dS d σ=，将2x y z ++=代入2(423)3S I x y z dS =-++⎰⎰2[423(2)](3)3Sx y x y d σ=-++--⎰⎰2(6)Dx y d σ=--+⎰⎰由于D 关于y 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.D 关于x 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy=-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)其中，D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法2：转换投影法.用斯托克斯公式，取平面2x y z ++=被L 所围成的部分为S ，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，S 在x oy 平面上的投影域记为{(,)| 1 }D x y x y =+=.由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰ Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰由111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===，及{}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++知11cos cos dS dydz dxdy αλ==，11cos cos dS dzdx dxdy βλ==，故22221cos 1cos 1xx yx x yz z z dydz dxdy dxdy z dxdy z z αλ'-''++'===-''++22221cos 1cos 1yx yy x yz z z dzdx dxdy dxdy z dxdy z z βλ'-''++'===-''++因为S 为2z x y =--，式子左右两端分别关于,x y 求偏导，1,1,z zx y∂∂=-=-∂∂于是(24)(26)(26)SI y z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰{}24,26,26,,1S z z y z z x x y dxdyx y ⎧⎫∂∂=------⋅--⎨⎬∂∂⎩⎭⎰⎰2(423)2(6)SDx y z dxdy x y dxdy=-++=--+⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.类似的，因为区域D 关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy=-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法3：降维法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，D 为S 在x oy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+=把2x y z ++=代入I 中，1L 为L 在x oy 平面上投影，逆时针.1222222((2))(2(2))(3)()L I y x y dx x y x dy x y dx dy =---+---+---⎰ 12222(42444)(324888)L y x xy x y dx y x xy x y dy =--++-+-+--+⎰ 12222(324888)(42444)[]L y x xy x y y x xy x y dxdy x y ∂-+--+∂--++--∂∂⎰ 格林公式2(6)24Dx y dxdy =--+=-⎰⎰方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则){}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰ Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdx dxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰用逐个投影法，先计算1(24),SI y z dydz =--⎰⎰其中{}(,)|21yz D y z y z y =--+≤为S 在y oz 平面上的投影，分别令0,0,20,20y y y z y z ≥≤--≥--≤,可得到y z D 的4条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z =；左：21y z +=；下：1z =.于是13(3)2111(1)22(2)16z z I dz y z dy --=-+=-⎰⎰再计算2(26)SI z x dzdx =--⎰⎰，其中{}(,)|21xzD x z x x z =+--≤为S 在xoz 平面上的投影，分别令0,0,20,20x x x z x z ≥≤--≥--≤,可得到x z D 的4条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z =；左：21y z +=；下：1z =.于是13(3)321211(1)22(3)(6)8z z I dz z x dx z dz --=-+=-=-⎰⎰⎰再计算3(22)D I x y dxdy =--⎰⎰，其中{}(,)|1xyDx y x y =+≤为S 在xoy 平面上的投影，因为区域关于y 轴和x 轴均对称，被积函数是关于x 和y 都是奇函数，于是32()0SI x y dxdy =-+=⎰⎰故12324.I I I I =++=-方法5：参数式法.L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，是由4条直线段构成的封闭折线，将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.当0,0x y ≥≥时，1:1,2L y x z x y =-=--,则,dy dx dz dx =-=-，x 从1到0.以x 为参数，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(2)][2(2)]()[3(1)]()x x y dx x y x dx x x dx =----+----+---22[(1)1(2)(1)]x x dx=--+--则1222222()(2)(3)L y z dx z x dy x y dz-+-+-⎰221(1)1(2)(1)x x dx ⎡⎤=--+--⎣⎦⎰7.3=当0,0x y ≤≥,2:1,12L y x z x =+=-,则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1-于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(12)][2(12)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =+--+--+-+-(24)x dx=+所以212222220()(2)(3)(24)3L y z dx z x dy x y dz x dx --+-+-=+=-⎰⎰ 当0,0x y ≤≤,3:1,3L y x z =-=,则,0dy dx dz =-=，x 从1-到0，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)3][23]()[3(1)]0x dx x dx x x =--+⋅--+--⋅2(2226)x x dx=+-所以32222222179()(2)(3)(2226)3L y z dx z x dy x y dz x x dx --+-+-=+-=-⎰⎰ 当0,0x y ≥≤,4:1,32L y x z x =-=-，则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(32)][2(32)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =---+--+---(1812)x dx=-+所以412222220()(2)(3)(1812) 3.L y z dx z x dy x y dz x dx -+-+-=-+=⎰⎰ 所以123424.LL L L L I ==+++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 七【分析】拉格朗日中值定理：如果()f x 满足在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立【详解】(1)因为()y f x =在(1,1)-内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零(1,1)x ∈-，存在()x θ∈(0,1)，()(1,1)x x θ⋅∈-，使[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<成立.因为()f x ''在(1,1)-内连续且"()0,f x ≠所以()f x ''在(1,1)-内不变号，不妨设"()0,f x >则()f x '在(1,1)-内严格单调且增加，故()x θ唯一.(2)方法1：由(1)知[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<于是有[]'()()(0)xf x x f x f θ=-，即[]()(0)'()f x f f x x xθ-=所以[]2'()'(0)()(0)'(0)f x x f f x f f xxx θ---=上式两边取极限，再根据导数定义，得左端＝[]0'()'(0)limx f x x f x θ→-[]0'()'(0)lim ()()x f x x f x x x θθθ→-=[]0'()'(0)limlim ()()x x f x x f x x xθθθ→→-=0"(0)lim ()x f x θ→=右端＝20()(0)'(0)limx f x f f x x →--0'()'(0)lim2x f x f x →- 洛01'()'(0)lim 20x f x f x →-=-1"(0)2f 导数定义左边=右边，即01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=，故01lim ().2x x θ→=方法2：由泰勒公式得()21()(0)'(0)"(),02f x f f x f x x ξξ=++ ∈，再与(1)中的[]()(0)'()(0()1)f x f xf x x x θθ=+<<比较，所以[]21'()()(0)'(0)"(),2xf x x f x f f x f x θξ=-=+约去x ，有[]1'()'(0)"(),2f x x f f x θξ=+凑成[]'()'(0)1()"(),()2f x x f x f x xθθξθ-=由于[]0'()'(0)lim "(0)()x f x x f f x xθθ→-=，00lim "()lim "()"(0)x f x f f ξξ→→==所以01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=故01lim ().2x x θ→=八【详解】222222()1()0()()2x y z h t x y h t h t +=-≥⇒+≤，所以侧面在x oy 面上的投影为：()2221,:()2D x y x y h t ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭记V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则由体积公式V (),Df x y dxdy =⎰⎰Dzdxdy =⎰⎰222()()()D x y h t dxdy h t ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰化为极坐标，令c os ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤V ()22202()()h t r d h t rdr h t πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰()22022()()h tr h t rdr h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰()()22222()()h t h t r h t rdr rdr h t π⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰()()24222()22()h t h t r r h t h t π⎛⎫ ⎪=-⎪⎪⎝⎭33()()248h t h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()4h t π=再由侧面积公式：()()22''1x y DS f f dxdy =++⎰⎰()()221xy Dz z dxdy''=++⎰⎰22441()()Dx y dxdy h t h t ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰22216()1()D x y dxdy h t +=+⎰⎰化为极坐标，令c os ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤S =()()22220161h t r d rdr h t πθ+⎰⎰()()22201621h t r rdr h t π=+⎰()()22220161h t r dr h t π=+⎰()()()()22222201616116h t h t r r d h t h t π=+⎰()()()32222202161163h t h t r h t π⎛⎫=⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭()()()32232228211163h t h t h t π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22271163h t π=⋅⋅-213()12h t π=由题意知0.9(),dVS t dt =-将上述()V t 和()S t 代入，得32()13()40.912dh t h t dt ππ=-⋅223()13()()0.9412dh t h t h t dt ππ⇒=-⋅() 1.3dh t dt ⇒=-积分解得13()10h t t C =-+由()0130h =,得130C =.所以13()130.10h t t =-+令()0h t →，即13130010t -+→100t ⇒→因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需要时间为100小时.九【详解】由题设知，12,,,s βββ 均为12,,,s ααα 的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以12,,,s βββ 均为0Ax =的解.下面证明12,,,s βββ 线性无关.设11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+ 代入整理得，()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++= 由12,,,s ααα 为线性方程组0Ax =的一个基础解系，知12,,,s ααα 线性无关，由线性无关的定义，知()*中其系数全为零，即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t122211321211211100000000000(1)ss s t t t t t t t t t t t +--*+-（）1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s s t t +=+-(*（）变换：把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行，其中1,, 1.i s =- )由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当12(1)0,sst t +-≠，即12(),sst t ≠-即当s 为偶数，12;t t ≠±当s 为奇数，12t t ≠时，上述方程组只有零解120,s k k k ==== 因此向量组12,,,s βββ 线性无关，故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时，12,,,s βββ 也是方程组0A x =的基础解系.十【详解】(1)方法1：求B ，使1A PBP -=成立，等式两边右乘P ，即AP PB =成立.由题设知，AP ()2,,A x Ax A x =()23,,Ax A x A x =，又3232A x Ax A x =-，故有AP ()22,,32Ax A x Ax A x =-()2000,,103012x Ax A x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭000103012P ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭即如果取000103012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，此时的B 满足1A PBP -=，即为所求.方法2：由题设条件()2,,P x Ax A x =是可逆矩阵，由可逆的定义，知有1P -使11PP P P --=()()121112,,,,P x Ax A x P x P Ax P A x ----==E =100010001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭即有11121000,1,0001P x P Ax P A x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题设条件，3232A x Ax A x =-，有()131232P A x P Ax A x --=-11232P Ax P A x --=-00312001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭032⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭由1A PBP -=，得1B P AP -=()12,,P A x Ax A x -=()123,,P Ax A x A x -=()11213,,P Ax P A x P A x ---=000103012⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭(2)由(1)及矩阵相似的定义知，A 与B 相似.由矩阵相似的性质：若A B ，则()()f A f B ，则A E +与A E -也相似.又由相似矩阵的行列式相等，得100113011A E B E ⎡⎤⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1001(1)0132011⎡⎤⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行加到行1113(1)11+=--4=-十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景.它的背景是：做n 次独立重复试验，每次试验的结果只有两个(要么成功，要么失败)，每次试验成功的概率都为p ，随机变量X 表示n 次试验成功的次数，则~(,)X B n p .在此题中，每位乘客在中途下车看成是一次实验，每个人下车是独立的，有n 个人相当于做了n 次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，不下车看成实验失败，而且每次实验成功的概率都为p ，则问题(1)成为n 重伯努利实验中有m 次成功.【详解】(1)求在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率，相当于求条件概率{}|P Y m X n ==，由题设知，此条件概率服从二项分布，因此根据二项分布的分布律有:{}|(1),0,0,1,2m mn m n P Y m X n C P P m n n -===-≤≤=(2)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布，其实就是求{},P X n Y m ==，利用乘法公式，有{}{}{},|P X n Y m P Y m X n P X n ======又X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，由泊松分布的分布律有{}!nP X n en λλ-==故{}{}{},|(1)!m mn mn neP X n Y m P Y m X n P X n C P P n λλ--=======-⋅，其中0,0,1,2m n n ≤≤=十二【详解】记121111,n n i n i i i X X X X n n +====∑∑，则()1212X X X =+，即122X X X =+且1111nin i i i E Xnu E X E X u n nn ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑，211n n i i E X E X u n +=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑因此()()()221211()2nn i n i i n i i i E Y E X X XE X X X X ++==⎡⎤⎧⎫⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑()()()()22112212n i i n i n i i E X X X X XX X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑()()()()2211221112n n ni i n i n i i i i E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑因为样本方差()221111n i i S X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑是总体方差的无偏估计，则22ES σ=，即()2221111ni i ES E X X n σ=⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦∑所以()2211(1)ni i E X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑，同理()2221(1)nn i i E X X n σ+=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑而()()()()12121122n n i n i i n ii i E X X X X E X X XX ++==⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤--=--⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑()()1212ni n ii E X X XX +=⎡⎤=--⎣⎦∑()21121ni n i i n i i E X X X X X X X X ++==--+∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑由于122,,,(2)n X X X n ≥ 相互独立同分布，则2i X X 与，1n i X X +与，12X X 与也独立(1,2i n = ).而由独立随机变量期望的性质(若随机变量,X Y 独立，且,E X EY 都存在，则E XY EXEY =)，所以2i n i i n i EX X EX EX u ++==，222i i EX X EX E X u ==211n i n i E X X E X EX u ++==，21212E X X E X E X u ==故有()()121n i n i i E X X XX +=⎧⎫⎡⎤--⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑()22221ni u u u u ==--+=∑即()()()()221122111()2n n n i i n i n i i i i E Y E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑()()()2221121n n n σσσ=-+-=-。

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准

2001 年 • 第 3 页
不妨设 f (x) 0 ，则 f (x) 在 (1,1) 内严格单调递增，故 (x) 唯一.
……3 分
(2) 由泰勒公式得 f (x) f (0) f (0)x 1 f ( )x2, 2
(5) 设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P{ X E(X ) 2} 1 . 2
二、选择题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
(1) 设函数 f (x) 在定义域内可导， y f (x) 的图形如右图所示，
则导函数 y f (x) 的图形为
（D）
(2)
设函数
f
(x, y) 在点 (0, 0) 附近有定义，且
f
x
(0,
0)
3,
f y(0,0) 1，则
(C)
(A) dz |(0,0) 3dx dy
(B) 曲面 z f (x, y) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的法向量为{3,1,1}
(C)
曲线
z y
f 0
x,
y 在点(0,0,
(2) lim (x) 1 .
x0
2
证法一：(1) 任给非零 x (1,1) ，由拉格朗日中值定理得
f (x) f (0) xf ( (x)x) (0 (x) 1) .
……1 分
因为 f (x) 在 (1,1) 内连续且 f (x) 0 ，所以 f (x) 在 (1,1) 内不变号.
n1 2n 1
n0 2n 1
n1 2n 1
n1 2n 1
1
n1
(1)n 2 1 4n2
x2n ,
x [1,1] ,
……6 分

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析

2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)1、设ye某(ain某bco某)(a,b为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________.【分析】这是二阶常系数线性齐次微分方程求解的逆问题，主要考查二阶常系数线性齐次微分方程特征方程与特征根的概念以及由通解形状要能看出对应的特征根。

由于二阶常系数线性齐次方程由其特征方程唯一确定，因此由通解表达式得到对应的特征值后，确定方程，从而得到待求微分方程。

【详解】根据二阶常系数线性齐次方程特征根与通解的对应关系可得：特征根为121i，于是特征方程为(1i)(1i)0，即2220。

故对应齐次微分方程为：y2y2y0。

2、r某2y2z2，则div(gradr)(1,2,2)=_____________.【分析】考查散度与梯度公式与计算。

直接套用公式即可。

【详解】由于gradr{某某yz222,y某yzy某yz222222,zz某yzz222}所以div(gradr)某某某2y2z2yy2z2(某yz)2223某yz某2y2222某2z2(某yz)2223(某yz)22232某yz(1,2,2)222因此div(gradr)233、交换二次积分的积分次序：01dy1y2f(某,y)d某＝_____________.【分析】考查直角坐标系下交换积分次序。

由于某的积分下限大于积分上限，无法画出积分区域的草图，只需先交换一下先积的定积分的上下限即可。

【详解】由于01dy21y2f(某,y)d某dy1021yf(某,y)d某对二次积分01dy1y21y0，于是f(某,y)d某对应的二重积分的积分域为D:1y某201某01dy21yf(某,y)d某d某1f(某,y)dy。

从而01dy1y2f(某,y)d某d某1201某f(某,y)dy。

4、设AA4E0，则(AE)1=_____________.【分析】考查矩阵的简单运算。

2001年数学分析专题研究试题

2001年数学分析专题研究试题一、填空题1．集合X 中的关系R 同时为反身的、对称的、（），则称关系R 为等价关系。

2．一个集合若不能与其一个真子集建立一个（），则称该集合为有限集。

3．函数)(x f 在点a 的邻域内有定义，若（），则称函数)(x f 在点a 处连续。

4．设)(x ϕ是从),0(+∞到R 上的连续函数，满足： 1）（）；，2）对于,1,0≠>a a 有1)(=a ϕ,则)(x ϕ是以a 为底的对数。

5．若函数)(),(t c t s 是定义在R 上的连续函数，且满足： 1）（）； 2）0>∃λ，当),0(λ∈t 时，0)(,0)(>>t s t c ；3）1)()0(==λs c ,则分别称)(),(t c t s 是正弦函数与余弦函数。

6．设F 为从集合X 到集合Y 中的关系，若X x ∈∀,有唯一的Y y ∈，使（），则称F 为（从X 到Y 中的）映射。

二、单项选择题1．.)(A B B A -⋃ A ．= B ． ≠ C ．⊂ D ．⊃ 2．实数集R 是（）A ．有限集B ．可列集C ．不可列集D ．空集3．f 是从X 到Y 的映射，且X A ⊂，X B ⊂，则)()())((B f A f B A f ⋂⋂A ．=B ． ≠C ．⊃D ．⊂4．函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在点0=x 处（） A ．间断 B ．连续 C ．可导 D ．取得极小值5．函数)(x f 与)(x ϕ在],[b a 上有界，且0)(≠x ϕ，则)()(x x f ϕ在],[b a 上（）。

A ．有界B ．无界C ．有下界而无上界D ．结论不定 6．下面结论（）是正确的。

A ．若)(x f 是单调函数，)(t x ϕ=也是单调函数，则))((t f ϕ 是单调函数。

B ．若)(x f 在数集A 上可导，且)(x f '有界，则)(x f 在A 上有界C ．若)(x f 是周期函数，)(t x ϕ=，则))((t f ϕ 是周期函数D ．若)(x f 在数集A 上有界且可导，则)(x f '在A 上有界三、计算题1．求过抛物线342+=x y 上的点)19,2(M 的切线方程。

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