北京四中初二分式及其性质

分式及其性质

编稿：龚剑钧审稿：李岩责编:高伟

知识要点梳理

要点一：分式的概念

定义

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.

分式有意义

分式的分母不为0.

分式的值为0

分式的分母不为0且分子等于0.

要点二：分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.

即.

要点三：分式的变形

变符号法则

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变.

通分

利用分式的基本性质，不改变分式的值，把两个分式化成相同分母的分式，这样的分式变形称为通分.

约分

利用分式的基本性质：不改变分式的值约去分式的分子和分母的公因式，使分式最简洁，这样的分式变形称为约分.

显然约分和通分是一种互逆的分式变形，在进行这种变形之前，要先将分式的分子和分母进行因式分解.

最简公分母

取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，称为最简公分母.

经典例题精析

类型一：分式的概念

分式定义

1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

，，，，

思路点拨：区别整式和分式的关键是看分母中是否会含有字母.特别地，是常数.

解析：整式有：，

分式有：，，

分式有意义

2 为何值时，下列分式有意义

（1）（2）（3）（4）

思路点拨：分式有意义就是在分式分母不等于0的条件下，求字母的取值.

解析：（1）∵∴

（2）∵∴

（3）∵∴为任何数

（4）∵∴且

分式的值为0

3为何值时，下列分式的值是零.

（1）（2）（3）（4）

思路点拨：分式的值为0，需满足两个条件：

①分式的分母不等于0 ，②分式的分子等于0，且二者缺一不可.

解析：（1）∵∴

（2）∵∴

（3）∵∴

（4）∵∴

类型二：分式的基本性质

4不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项的系数化为整数.

(1)(2)(3)(4)

思路点拨：（1）利用分式的基本性质.

（2）分子、分母同乘以各系数分母的最小公倍数.

解析：(1)原式

(2)原式

(3)原式

(4)原式

类型三：分式的变形

变符号法则

5 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号.

(1)(2)(3)(4)

思路点拨：在，，中，三者变其一的符号，结果为原分式的相反数，三者变其二的符号，结果与原分式相等.

解析：(1)原式

(2)原式

(3)原式

(4)原式

6 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数.

(1)(2)(3)

思路点拨：用变符号法则时，若分子、分母为多项式时，则它们的符号指的是多项式的符号.

解析：(1)原式

(2)原式

(3)原式

总结升华：(1)根据分式的意义，分数线代表除号，又起着括号的作用.

(2)一般地，分子、分母为多项式时，要按降幂排列.

通分

7 把下列各组分式通分：

(1)，，

(2)，,

思路点拨：先确定最简公分母，再利用分式的基本性质化为同分母.

解析：(1)最简公分母为

(2)最简公分母是

约分

8 化简下列分式：

(1)(2)(3)(4)

思路点拨：先对分子、分母进行因式分解，再根据分式的基本性质，对分式进行约分.

解析：(1)原式

(2)原式

(3)原式

(4)原式

类型四：综合应用

9 已知分式，当时值为0，时无意义，求、.

解析：∵时，分式无意义

∴∴

∵时分式的值为0

∴∴

∴，

10．不改变分式的值，把分式中分子和分母的多项式各项系数化为整数且使最高次项系数为正.

解析：原式

11．(1)已知，求的值.

(2)已知，求的值.

(3)已知，求的值.

思路点拨：此类题的解法：一种是由已知条件变形，通过代入来求分式的值；另一种根据分式的基本性质对所求的分式作变形，再把已知条件整体代入，从而求出分式的值.

解析：(1)原式

∵，即

∴原式=

另解：∵∴即

∴原式

(2)∵∴

∴原式

(3)∵∴，即

∴原式

12．某文具专柜以每支(为整数)元的价格购进一批笔，决定每支加价2元销售。结帐时，售货员发现这批笔的销售总额为元.根据以上信息求出：

(1)文具专柜共购进了多少支笔？

(2)每支笔的进价是多少元？

思路点拨：由于购进的笔支，且是整数，这是解题的关键.

解析：设文具专柜共购进支笔，则有：

∵且为整数，为整数

∴是7的约数

∴或

∴或(舍)

∴时

答：文具专柜共购进400支笔，每支进价5元.