北京四中初二分式及其性质

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10.2分式的基本性质-北京版八年级数学上册教案

10.2 分式的基本性质-北京版八年级数学上册教案一、知识点概述分式在初中数学中是比较重要的一个概念，也是求解代数式、方程和函数的基础。

在本节课中，我们将学习分式的基本性质，包括分式的有理化、相加减、乘除等基本操作规则，以及分式的约分、通分等运算。

二、教学目标1.了解分式的定义及基本概念；2.掌握分式化简、通分、约分等运算方法；3.学会通过分式求解简单方程和实际问题。

三、教学重点和难点教学重点：1.掌握分式的有理化、相加减、乘除等基本操作规则；2.学会分式的约分、通分等运算。

教学难点：1.如何应用分式解决实际问题。

四、教学过程及方法1. 导入新知识1.提问：什么是分式？分式有哪些特点？2.引入概念：分式的定义及基本概念。

2. 分组讨论1.按照学生的不同能力水平分组，让他们互相讨论、合作解决分式的有理化、相加减、乘除等基本操作规则。

2.由老师带领讨论分式的约分、通分等运算。

3. 通过例题讲解基本规则1.参考教材例题，补充和解析其中难点较高的例题。

2.以逐步引导、示范的方式使学生理解基本规则，熟练掌握和运用。

4. 练习和巩固1.编写试卷或提供小组内练习题目，帮助学生巩固和加深学习；2.实时教师互动答疑，让学生相互交流和解决问题。

5. 扩展课程通过扩展课程，让学生应用分式解决在题目中可能遇到具体问题和实际问题。

五、教学评价1.课后作业：让学生用自己的理解，整理和归纳规律，为下一节课做好准备；2.考试：对本节课的知识点进行考试和评价，帮助教学人员及时调整教学进程。

六、教材参考1.北京版八年级上册数学教材，第10章，第2节；2.参考书目：《初中数学》，七年级（下）和八年级（下）；《初中数学辅导》，课外读物。

初二分式知识点总结

初二分式知识点总结一、分式的概念分式是指分母为非零数的两个整数的比值。

在分式中，分子和分母分别表示为a和b，通常表示为a/b。

其中，分子表示为被分的数，分母表示为分的数。

分子分母在分式中扮演着不同的角色，分子代表了分子数量，分母代表了分母数量。

二、分式的性质1. 分数的一般形式分数通常写成a/b的形式，a称为分子，b称为分母。

这里要求b≠0。

2. 相反数分式若a/b≠0，则分式-a/b=(-a)/b。

3. 分式的倒数若a/b≠0，则分式1/(a/b)=b/a。

4. 分式的乘法若a/b、c/d均存在，则a/b✖c/d=(a✖c)/(b✖d)。

5. 分式的除法若a/b、c/d均存在，则a/b÷c/d=(a/b)✖(d/c)。

6. 分式的加法和减法若a/b、c/d均存在，则a/b±c/d=(ad±bc)/(bd)。

7. 分式的消去若分式a/b与c/d相等，且b≠0，d≠0，则ad=bc。

三、分式的化简与扩展分式化简就是把分式用最简形式表示，化简分式有两个问题要关心：①分子，分母是不是能约分；②能约分，约去的公因式是什么。

分式的扩展是指通过乘法将分子或分母扩大到某一倍数。

四、分式的概念1. 添加相同数的分数若分子相同而分母不同，或分子不同而分母相同，则两个分数相加或相减时，只需将他们的分子相加或相减，同时将他们的分母保持不变。

2. 乘法的运算律分数相乘还是原分数，只是分子与分母分别相乘。

3. 除法的运算律分数相除，乘以倒数。

五、分式的应用1. 充分利用分式解决问题2. 通过实例理解分式的意义分式的应用不仅仅是在数学中，还可以应用到日常生活中。

比如在工作中计算利润分配问题、在生活中计算食材比例等。

初中分式知识点总结到此结束，希望对大家有所帮助。

初二数学分式知识点

初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念，它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。

本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例，帮助学生掌握分式相关知识点。

二、分式的定义1. 分式：形如 \(\frac{a}{b}\) 的代数式，其中 \(a\) 称为分子，\(b\) 称为分母，\(b \neq 0\)。

2. 条件：分母不能为零，因为除以零没有定义。

三、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。

2. 符号规则：分式的符号由分子和分母的符号决定，分子分母同号结果为正，异号结果为负。

3. 约分：通过找出分子和分母的最大公约数并约去，简化分式。

4. 通分：将多个分式转化为具有相同分母的分式，便于进行加减运算。

四、分式的运算规则1. 加减法：- 同分母分式相加减：分子相加减，分母不变。

- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。

2. 乘法：- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母。

3. 除法：- 分式的除法：将除数的分式取倒数，然后进行乘法运算。

4. 乘方：- 分式的乘方：分子和分母分别取方。

五、分式的解方程1. 一元一次方程：通过移项和化简分式，求解未知数。

2. 一元二次方程：在解一元二次方程时，要注意分式的化简和检验根。

六、分式的应用题1. 比例问题：利用分式表示比例关系，解决实际问题。

2. 工作问题：通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。

3. 浓度问题：使用分式计算溶液的稀释和浓缩。

七、常见题型与解题技巧1. 化简求值：熟练掌握分式的化简方法，准确求出分式的值。

2. 分式方程：注意检验解的有效性，避免出现除以零的情况。

3. 应用题：理解题意，找出等量关系，建立分式方程求解。

八、总结分式是初中数学的重要内容，掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。

通过不断的练习和应用，可以加深对分式概念的理解，提高解题能力。

分式的概念及性质(3)

分式概念及性质一、知识点聚焦： 1．分式的概念:形如)0(≠B BA 的式子称为分式，A叫做分子，B 叫做分母。

注意： ①B 不为零； ②B 中含有字母 ③A 、B 为整式。

2．题型：（1）分式有意义的条件：分母B 不等于0，即0B ≠时，分式BA 有意义。

（2）分式值为零的条件，当A=0且0B ≠时，分式BA 的值为0.3．有理式:整式和分式统称有理式。

整式与分式的区别：分式含有分母，且分母中必须含有字母，而整式也可以含有分母，但分母中不含有字母。

如：3y 是整式，而y3是分式。

4．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即)0(),0(≠÷÷=≠⋅⋅=M MB M A B A M MB M A B A5．约分：把分式的分子与分母中的公因式约去，就是分式的约分。

）是整式，且0(≠÷÷=C C CB C A B A6．通分：把几个异分母分别化成与原来的分式相等得同分母的分式，叫做分式的通分。

）是整式，且0(≠=C C BCAC B A7．最简分式：约分后，分式的分子与分母不再有公因式，这样的分式叫最简分式。

二、经典例题：例1．判断下列式子中哪些是整式，哪些是分式0，b a -2，101，502+x ，xx2，131+x例2．当x= 时，分式132-+x x 无意义；当x= 时，分式xx x -2的值为零。

例3．如果分式392--x x 的值为零，那么x= 。

例4. 化简：(1)222a ab a b+- (2)mnm nm +-222答案：例1.整式：0，b a -2，101，502+x 分式：xx2，131+x例2．31， 1例3．-3 例4.(1)ba a- (2)mn m -三、基础演练： 1．下列有理式:①yx y x +-；②132+x ；③xx 13-；④π22yxy x ++；⑤14.3--πba ；⑥xxyxy x 22-+,其中整式有 ,分式有 (只填序号).2.下列说法: ①无论x 取何数,分式()()1112+++x x x 的值不为零; ②无论x 取何数,122+-x x＜0;③abc21-不是分式,是单项式;④55+-x x 的值为零,则x=±5.其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列分式中,当y=-2时,有意义的分式是( ) ①22-+y y ②()222+-y y ③22++y y ④22--y y ⑤()()()()1222-++-y y y y ⑥()()()()1212+--+y y y yA.①②④B.②③⑥C.①⑤⑥D.①③⑥4.已知代数式1872---x x x 的值等于零,则x 的值为( )A.x=±1B.x=8C.x=-1D.x=-1或x=85.填空：(1)axyy ax 322=( ) (2)())(32b a b b a a ++-=( ) (3)22aab =( ) (4)xyzy x 932-=( )6．分式cdb c ab 2532535-的分子与分母的公因式是，约分后得 .7．(1)232123abb a -= . (2)()()x y xyy x y x --22122= . (3)()()222x y n y x m --= .答案：1. ④⑤ ①②③⑥2.A3.D4.B5.(1)32x （2）-ba 32 （3）ab 2 （4）-zx 3 6.5b 2c -dabc 5747.(1)-4ab (2)-yx 6 (3)nynx my mx -+四、能力提升：（一）选择题1．下列各式中，最简分式是( ) A.22yx y x -+ B22yx y x -- C.4422yx y x -- D.yx y x -+2．下列各式中,不是最简分式的是( ) A.yx y x ++22B.4422yx y x -+ C.3322yx y x ++ D.3322yx y x -+3．下列运算正确的是( ) A.33++=n n xxxB0=--yx y x C.ba xb x a =++ D.1-=-+-yx y x（二）化简 1.2232050mnn m 2.()()5724y x y x -- 3.()()b ac b c b a a ---+1525 4.1642--mm5.2312+++m mm 6.mm m m -+-2223 7.26322715yx y x -- 8.()pq q p 442--答案：（一）1.D 2.B 3.D （二）1．52m 2. 2（x-y ）2 3.-a 5 4.-1 5.1 6.m 2- 7.45y 8.p q -五、个性天地：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x的值．(2) 已知a 2-4a+9b 2+6b+5=0，求1a-1b的值．(3) 化简:16)(16)(8)(22-+++-+b a b a b a（4)mnm nm +-22239的分子、分母的公因式是 ,约分的结果是 .答案：（1）7 (2)27 (3)44++-+b a b a (4)3m+n,mn m -3。

八年级下册数学分式的基本性质的知识点

八年级下册数学分式的基本性质的知识点
八年级下册数学分式的基本性质的知识点
在学习中，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。

为了帮助大家更高效的学习，下面是店铺整理的八年级下册数学分式的基本性质的知识点，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。

单项式整式多项项分式
AAMAM
用式子表示为：B=BM=BM，其中M(M≠0)为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：(1)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

(2)如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的.公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

在约分时要注意：(1)如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分;(3)约分一定要把公因式约完。

【初中数学】初二数学分式的性质重要知识点

【初中数学】初二数学分式的性质重要知识点【—
初中第二天
数学分式的性质知识要领】在代数式的计算中，分式的性质知识要领运用还是很广泛的。

分数的性质
1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式
的值不变。

用式子表示为：a/b=(a*c)/(b*c)，a/b=(a÷c)/(b÷c)(a,b,c为整式，且b、
c≠0)。

2.分数缩减：一个分数的分子和分母的公因式的缩减。

这种变形称为分数缩减。

分数
约化的关键是确定分数中分子和分母的公因子。

3.分式的约分步骤：
（1）如果一个分数的分子和分母都是单个项或多个因子的乘积，则减少它们的公因子。

(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

注：公因式提取方法：系数取分子和分母系数的最大公因式，字母取分子和分母共用
的字母，索引取公因式的最小索引，这是它们的公因式。

4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

5.一般分数：将几个不同的分母分数转换成与原始分数相同的分母分数，称为分数的
一般分数。

6.分式的通分步骤：
首先找到所有分数的最简公分母，然后将所有分数的分母转换为最简公分母。

同时，
每个分数根据分母展开的倍数展开其分子。

注：最简公分母的确定方法：
系数是每个因子系数的最小公倍数、同一字母的最高幂和单个字母的幂的乘积。

分式的约分和通分是一组相反的运算过程，但其的最终目的都是一致的。

分式的定义和基本性质

分式的定义和基本性质分式是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍分式的定义和基本性质，并通过例题详细说明。

一、分式的定义在数学中，分式是指一个数的形式为a/b的表达式，其中a和b都是整数，b不等于0。

其中a称为分子，b称为分母。

分式也可以写成带分数的形式，如n（a/b），其中n是非负整数，a和b都是整数，b不等于0。

分式可以表示一个数，也可以表示一个比率或比例关系。

在代数中，分式可以用来表示一种运算，称为除法。

二、分式的基本性质1. 乘法性质：两个分式相乘，分子和分母分别相乘。

例如，(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)2. 除法性质：一个分式除以另一个分式，相当于将被除分式的倒数乘以除数分式。

例如，(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)3. 加法性质：两个分式相加，要求它们的分母相同，分子相加即可。

例如，(a/b) + (c/b) = (a + c) / b4. 减法性质：两个分式相减，要求它们的分母相同，分子相减即可。

例如，(a/b) - (c/b) = (a - c) / b5. 约分性质：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零整数。

例如，(4/8)可以约分为(1/2)，(12/18)可以约分为(2/3)。

三、例题解析1. 计算下列分式的值：(3/5) + (7/10)解：首先找到两个分式的最小公倍数，即5和10的最小公倍数为10。

将两个分式的分子和分母按照最小公倍数进行扩展，得到：(3/5) + (7/10) = (3 * 2/5 * 2) + (7 * 1/10 * 1) = 6/10 + 7/10 = 13/102. 计算下列分式的值：(2/3) * (4/5)解：直接按照乘法性质相乘，得到：(2/3) * (4/5) = (2 * 4) / (3 * 5) = 8/153. 约分下列分式：(12/18)解：分子和分母同时除以它们的最大公约数，即12和18的最大公约数为6。

分式的基本性质与运算

分式的基本性质与运算1. 分式的基本性质分式是数学中一种特殊的表示形式，由分子和分母组成，分子与分母之间用分数线分隔。

分式在代数运算中有着重要的地位，它具备以下基本性质：1.1. 分式的定义域分式的定义域是指使分式中的分母不为零的实数集合。

因为在分式运算中，分母为零的情况是不合法的，会导致分式无法计算。

所以在定义分式运算时，需要排除分母为零的情况。

1.2. 分式的约束条件分式的约束条件是指对分子和分母的进行约束，使分式保持在最简形式。

一个约束条件是分子与分母的最大公约数为1，即分子和分母没有共同的因子。

另一个约束条件是分式的分子没有负号，而负号只出现在分式的整体前面。

1.3. 分式的唯一性分式在满足定义域和约束条件的前提下，具备唯一性。

即给定一个分式，它的分子和分母确定后，分式的值也就确定了。

这个性质在分式的运算中是非常重要的，保证了分式的计算结果是确定的。

2. 分式的运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

下面分别对这四种运算进行讨论。

2.1. 分式的加法两个分式的加法可以通过通分的方式来实现。

通分是指使两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加。

通分的方法是将两个分式的分母取最小公倍数，然后分别将分子乘以相应的倍数。

最后得到的分式就是它们的和。

2.2. 分式的减法分式的减法与加法类似，也可以通过通分来实现。

通分的方法与加法相同，只是将分子相减而不是相加。

最后得到的分式就是它们的差。

2.3. 分式的乘法分式的乘法可以通过将两个分式的分子相乘，分母相乘来实现。

最后得到的分式就是它们的乘积。

2.4. 分式的除法分式的除法可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的倒数来实现。

倒数是指将分子和分母交换位置得到的新的分式。

最后得到的分式就是它们的商。

3. 分式的简化与展开在分式的运算中，有时需要将分式进行简化来得到最简形式。

分式的简化可以通过约分来实现，即将分子和分母同时除以它们的最大公约数。

北京版-数学-八年级上册-10.2 分式的基本性质(1)

*
因式分解的几种方法
1，提取公因式
2，针对异号的平方差，用平方差公式
3，针对二次三项式，用完全平方或十字相乘
4，针对四项式，用分组分解法
有同号的平方项用3加1
有公因式的两两一组，2加2 *
如何将一个分式化简成最简分式。
将分式化简成最简分式 = 1,分别对分子，分母进行因式分解 2,约去分子与分母的公因式
=
*
把一个分式的分子与分母中相同因式约
去的过程，叫做约分。
判断
下列的约分是否正确，把认为正确的编号写下。
*
概念
如果一个分式的分子与分母没有相同因式（1除外）那么这个分式叫做最简分式。
判断下列分式是最简分式的编号写下。
*
如何将一个分式化简成最简分式。
将分式化简成最简分式 = 1,找出他们的公因式 2,分子与分母同时除以公因式
分式的基本性质
复习回忆
下列分数是否相等，哪一个最简分数？
*
复习回忆
*
复习回忆
分数的基本性质
分子与分母同除以或同时乘以一个不为零的数，分数的值不变。
*
类比分式
分式也有这样的性质
分子与分母同除以或同时乘以一个不为零的整式，分式的值不变。
*
练习
填空
*
举例
3x和2xy 是如何得出的呢？？
*
概念
*
化简分式时，如果分子和分母都是单项式，约分时，约去他们系数的最大公因式，约去相同因式的最低次幂。
=
化简分式时，如果分子和分母是多项式，约分时，先分解因式，再约分。
化简分式时，必须化成最简分式或整式！
*
将分式化简成最简分式
=

北京四中八年级下册数学分式的加减(基础)知识讲解

分式的加减（基础）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．【要点梳理】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：a b a b c c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.要点三、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.要点四、分式的混合运算与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.【典型例题】类型一、同分母分式的加减1、计算：（1）22222333a b a b a b a b a b a b +--+-；（2）222422x x x x x +-+--；【答案与解析】解：（1）22222333a b a b a b a b a b a b +--+-222222333a b a b a b a a b a b ab++--+===；（2）222224242222x x x x x x x x x x +-+-+=----- ()222224222x x x x x x -+--===--【总结升华】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简．举一反三：【变式】计算：（1）22a b b a b a a b b a++----；（2）xx x x x x x x +---+--+++35223634222. 【答案】解：（1）22a b b a b a a b b a ++----22a b b a b a b a b a +=-----221a b b a b a b a b a+---===--．（2）22246225333x x x x x x x x+----+-+++ ()222462253133x x x x x x x x ++-----+===++ 类型二、异分母分式的加减2、计算：（1）21132a ab +；（2）2312224x x x x +-+--；（3）211a a a ---．【答案与解析】解：（1）原式2222323666b a b a a b a b a b +=+=；（2）原式2312224x x x x =-++--31222(2)(2)x x x x x =-++--+3(2)(2)24(2)4(2)(2)(2)(2)2x x x x x x x x x --++-===-+-++；（3）原式222222211(1)111111111a a a a a a a a a a a a a a +----+=-=-===------．【总结升华】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算．举一反三：【变式】计算：（1）212293m m ---；（2）112323x y x y ++-. 【答案】解：（1）212293m m ---122(3)(3)(3)(3)(3)m m m m m +=-+--+ 12262(3)2(3)(3)(3)(3)3m m m m m m m ---===-+-+-+．（2）()()()()112323232323232323x y x y x y x y x y x y x y x y -++=++-+-+- ()()2223234232349x y x y x x y x y x y -++==+--. 类型三、分式的加减运算的应用3、请先化简32221311x x x x x x x ----+-+，再选取一个使原式有意义而你又喜欢的数代入求值．【答案与解析】解：322221(1)(1)(1)31311(1)1x x x x x x x x x x x x x x x ---+---+=+-+-+-+ (1)31x x x x =+--+=-．当100x =时，原式100=-．【总结升华】在代入x 的值的时候要考虑它的取值范围，要注意0x ≠，1x ≠，1x ≠-．类型四、分式的混合运算4、计算：（1）22111a b a b a b ⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭；（2）22111a b a b a b ⎛⎫+÷⎪+--⎝⎭．【答案与解析】解：（1）22111a b a b a b ⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭ 1()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤-+=÷+⎢⎥+-+-+-⎣⎦ 12()()()()a ab a b a b a b =÷+-+- 1()()1()()22a b a b a b a b a a+-==+-g ．（2）22111a b a b a b ⎛⎫+÷⎪+--⎝⎭ 111()()a b a b a b a b ⎛⎫=+÷ ⎪+-+-⎝⎭ 11()()a b a b a b a b ⎛⎫=++- ⎪+-⎝⎭g 11()()()()a b a b a b a b a b a b=+-++-+-g g 2a b a b a =-++=．【总结升华】解决此类题的方法：首先观察混合运算的特点，当分式的加减法运算作为除式时，一定要先运算加减法，再参与乘除运算，当分式的加减运算作为因式或被除式时，可把乘除法统一为乘法并根据特点恰当运用运算律简化运算．。

分式及其基本性质

分式及其基本性质
分式，又称作分数，是一种数学表达式，由两个数规定了一个定量比值关系。

它是数学中重要的概念之一，深受人们的喜爱和使用，特别是在当今实际中体现广泛。

可以把分式进行简单的归纳总结，分式由一个称为分子的数字和一个称作分母的数字组成，它们之间用斜杠“/”分隔。

分式运算时，先去掉斜杠“/”，然后按照正常数学运算的规则进行，运算完成之后用斜杠“/”括起来。

另外，分数还能描述实际中的概念。

例如，可以把分式表示为人们所了解的占比关系，例如1/2，表示的是其中的一部分构成了总体的一半，它是一种常用的表达方式，而且也非常实用。

另外，分式还可以表示量的比例关系，比如说 5～7等比分式表示的是五与七之间的比值，而由于它可以描述两个不同量之间的比例关系，因此在实际应用中也十分必要。

总之，分式可以说是在数学中十分重要的概念，具有广泛的应用性，它能提供对占比和比例关系的快捷表达，而且也能简化计算难度，使计算更精准。

另外，分式还可以应用在众多的实际领域中，形成紧密的衔接。

由此可见，分式堪称一种全新的表示方式，未来必定会受到关注和推崇。

分式的概念与基本性质

分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地,如果A ，B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式,中间以分数线隔开．分式有意义的条件两个整式相除,除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时，分式无意义．分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)．注意:①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时"，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中,哪些是分式？哪些是整式？1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-,24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3πx -，323a a a +【考点】分式的基本概念【解析】根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母，由此可知1t,2211x x x -+-，24x x +，21321x x x +--，323a a a +为分式．(2)x x +，5a ,2m ，3x-为整式．【答案】1t，1x -，24x x +,21321x x x +--,3a 为分式(2)3x x +，52a ，2m ，3πx-为整式．【例2】代数式22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个 C 。

初中数学：分式的意义、性质及综合计算

1 / 19分式是不同于整式的另一类有理式，分式是代数式中重要的基本概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分．在此基础上学习分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序．在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利．与此同时借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用．一、分式的意义与基本性质： 1、分式的概念：两个整式、B 相除，即A B 时，可以表示为AB．如果B 中含有字母，那么AB叫做分式，叫做分式的分子，B 叫做分式的分母．在理解分式的概念时，注意以下三点：（1）分式的分母中必然含有字母；（2）分式的分母的值不为0；（3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．2、分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式分式的意义、性质及综合计算知识结构知识精讲内容分析无意义．例如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．3、分式值为零的条件：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．4、分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．二、分式的乘除：1、分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示为：A C ACB D BD⋅=．2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即n nnA AB B⎛⎫=⎪⎝⎭．3、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为：A C A D ADB D BC BC÷=⋅=．4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．【注意】1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．三、分式的加减：1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．2、异分母的分式加减法法则：（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．四、分式的综合运算：与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．一、选择题1. 代数式中分式有（）A 、6个B 、4个C 、3个D 、2个【难度】★ 【答案】C【解析】xx 21+，112+-x x ，y 3是分式．【总结】本题主要考查分式的概念．2. 下列判断中，正确的是（） A 、分式的分子一定含有字母B 、只要分式的分子为零，则分式的值为零C 、2x x 不是分式而是整式D 、只要分式的分母为零，则分式必无意义【难度】★ 【答案】D【解析】考查分式的概念．3. 以下分式化简：（1）；（2）；（3）；（4）．其中错误的有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【难度】★ 【答案】C【解析】（1）（2）（3）都是最简分式，不能化简．【总结】本题主要考查最简分式的概念以及如何化简分式．4. 不改变分式的值，使分式115101139x yx y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）A 、10B 、9C 、45D 、90【难度】★ 【答案】D【解析】找5，10，3，9的最小公倍数．【总结】本题主要考查分式的基本性质．22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，42226131x x x x ++=--x a ax b b +=+22x y x y x y +=++22x y x y x y-=-+5. 分式1a b +、222a a b-、bb a -的最简公分母是（）A 、()()()22a b a b b a +-－ B 、()()22a b b a +－ C 、()()22a b b a -－D 、22a b -【难度】★ 【答案】D【解析】考察最简公分母的定义．6. 化简：222m n m mn -+的结果是（）A 、2m n m -B 、m n m-C 、m nm+ D 、m nm n-+ 【难度】★ 【答案】B【解析】()()()222=m n m n m n m nm mn m m n m +---=++．【总结】本题主要考查分式的约分．7. 已知：25，a b ab +==-，则a bb a +的值等于（） A 、25-B 、145- C 、195- D 、245-【难度】★★ 【答案】B【解析】()222222101455a b ab a b a b b a ab ab +-+++====--．【总结】本题一方面考查异分母分式的加法，另一方面考查整体代入思想的运用．8. 在下列各式中：①222mn a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭；②42528m n an a b bm -⋅；③2222m nb ab a ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；④2222mn a ab m ÷．相等的两个式子是（）A 、①②B 、①③C 、②③D 、③④【难度】★★ 【答案】B【解析】①22224224mn m n a b a b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；②4223524288m n an m n a b bm a b -⋅=-；③2222222224242244m nb m n b m n ab a a b a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； ④2222222232222mn a mn m m n ab m ab a a b ÷=⋅=．【总结】本题主要考查分式的约分．9. 计算22222662x x x x x x x x --+-÷--+-的结果是（）A 、13x x --B 、19x x +-C 、2219x x --D 、2213x x ++【难度】★★ 【答案】C【解析】()()()()()()()()()()()()222222212111261623232339x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+---+--÷=⋅==--+--++-+--．【总结】本题主要考查分式的除法运算，注意要先分解因式．10. 化简：2129m -＋23m +的结果是（） A 、269m - B 、23m - C 、23m + D 、2269m m +- 【难度】★★ 【答案】B 【解析】2129m -＋()()2222323212239993m m m m m m m -+=+==+----．【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算．11. 计算22222a b a b a ba b a b ab ⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭的结果是（）A 、1a b- B 、1a b+ C 、a －b D 、a ＋b【难度】★★ 【答案】B【解析】22222a b a b a b a b a b ab ⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭()()()()()2222a b a b a b a b a b a b a b ab⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥+-+-⎢⎥⎣⎦ ()()22ab a b a b a b ab -=⨯+-1a b=+．另：本题也可以利用乘法分配律，不用先算括号里面的也可以计算．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意按照运算法则进行计算．12. 已知2519970x x --=，则代数式()()222112x x x ---+-的值为（）A 、1999B 、2000C 、2001D 、－2【难度】★★ 【答案】D 【解析】()()222112x x x ---+-22442112x x x x x -+-+-+=-242x x -+=-()222x x --=-2=-．【总结】本题主要考查分式的化简，分式的最终结果跟x 的取值并无关系．二、填空题 13. 分式()()()()1221x x x x +---有意义的条件是_________．【难度】★【答案】2≠x 且1≠x ．【解析】考察分式有意义的条件是分母不为0．14. 桶中装有液体纯农药a 升，刚好一满桶，第一次倒出8升后用水加满，第二次倒出混合药4升，则这4升混合药液中的含药量为__________升．【难度】★【答案】a a 324-．【解析】4升中含药百分比为aa 324-．【总结】本题主要考查的是含药量的问题，与浓度有关，可以选择性的讲解．15. 当x =_________时，分式231x x --的值等于1．【难度】★ 【答案】2．【解析】132-=-x x ，∴2=x ．【总结】当分式的值为1时，在分式有意义的背景下，说明分子与分母相等． 16. 若13x x +=，则221x x+=______．【难度】★ 【答案】7．【解析】2222112327x x x x ⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭．【总结】当已知互为倒数的两个数的和时，它们的平方和等于和的平法减2．17. 若269a a -+与1b -互为相反数，则式子()a b a b b a ⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭的值为__________．【难度】★★【答案】32．【解析】∵269a a -+与1b -互为相反数，∴26910a a b -++-=，即()0132=-+-b a ，∴3=a ，1=b ．∴()22123a b a b a b a b b a ab a b ab --⎛⎫-÷+=⋅== ⎪+⎝⎭．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面注意相反数的概念．18. 当x _______时，分式1111x++有意义．【难度】★★【答案】1-≠x 且2-≠x ．【解析】∵01≠+x 且0111≠++x ，∴1-≠x 且2-≠x ．【总结】本题主要考查分式有意义的条件．19. 当x _______时，分式211xx++的值为零．【难度】★★ 【答案】2-=x ．【解析】由题意，得：02=+x 且0≠x 且011≠+x，所以2-=x ．【总结】本题主要考查分式值为零的条件．20. 已知：222222M xy y x yx y x y x y--=+--+，则M =_________．【难度】★★ 【答案】2x ．【解析】因为()()()22222222x y xy y x x y x y x y x y --+=-+--，所以2M x =．【总结】本题一方面考查异分母分式的加减，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时，分子也相等．21. 若223a b ab +=，则3332211b b a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭的值等于_____________．【难度】★★★【答案】21．【解析】3332211b b a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭333333322a b b a b b a b a b a b a b ⎛⎫--⎛⎫=+÷+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭3333a b a ba b a b +-=⋅-+()()()()2222a b a b ab a ba ba b a b ab ++--=⋅+-++2222a b ab a b ab +-=++33ab ab ab ab -=+12=．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查整体代入思想的运用．22. 已知对任意x 有324231+3x A Bx Cx x x x x ++=++--+，则A =_______，B =______，C =______．【难度】★★★【答案】1；-1；-1．【解析】因为222(3)()(1)1+3(1)(3)A Bx C A x x Bx C x x x x x x x +++++-+=-+-++ 3()()(3)23A B x A B C x A C x x ++-++-=+-，又324231+3x A Bx Cx x x x x ++=++--+所以0134A B A B C A C +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得111A B C =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时，分子也相等．三、计算题23. 将下列分式化为最简分式：（1）222a ab a b +-；（2）2239m m m --；（3）2223332ab b a b ab b +++．【难度】★ 【答案】（1）b a a -；（2）3+-m m ；（3）ba +3．【解析】（1）()()()222a ab a ab aa b a b a b a b ++==-+--；（2）()()()22339333m m m m m m m m m --==--+-+；（3）()()()()22223223333322b a b b a b ab b a b ab b a bb a ab b b a b +++===++++++．【总结】本题主要面考查分式的约分．24. 计算：（1）；（2）．【难度】★ 【答案】（1）b ad 52；（2）ax103．【解析】本题考查分式的乘法．25. 计算：（1）；（2）2241222a a a a a ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭．【难度】★ 【答案】（1）1-x x ；（2）a1．【解析】（1）原式=()()11112-=-+⋅+x xx x x x x ；（2）原式=()()()()aa a a a a a a a a 12122221242=+⋅--+=+⋅--．【解析】本题主要考查分式的除法运算．22635a b cdc ab --⋅21285xyx y a÷2211x x x x+-÷26. 计算：（1）21639a a -+-；（2）231326629x x x -++--．【难度】★【答案】（1）31-a ；（2）()()332-+x x x ．【解析】（1）原式=()()()()()()31333336333-=-++=-++-+-a a a a a a a a a ；（2）原式=()()()()()()()()()()()33233243326332333233-+=-+=-++-+++-+-x x xx x x x x x x x x x x ．【解析】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意最终结果一定要化到最简．27. 计算：（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-；（2）222221211()(22x x x x x x x x --+÷÷---+．【难度】★★【答案】（1）2；（2）xx -22．【解析】（1）22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-()()()()223321(2)332x x x x x x x -+-=⋅⋅⋅-+--2=；（2）222221211()()22x x x x x x x x--+÷÷---+()()()()()222222121211x x x x x x x --=⋅⋅+-+-22x x=-．【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．28. 计算：（1） 22221244n m m n m n m mn n --+÷--+；（2）322114221x x x x x x ⎛⎫+--+⋅ ⎪-++⎝⎭．【难度】★★ 【答案】（1）nm n+3；（2）44223+-+x x x ．【解析】（1）原式()()()2122m n m n n m m n m n +--=+÷--()()()2212m n n mm n m n m n --=+⋅-+-21m n m n -=-+3nm n =+；（2）原式322214142121x x x x x x x x +---=⋅+⋅-+++ ()()()()()()()()2112211222121x x x x x x x x x x x x x +-++-+-+-=⋅+⋅-+++()()()()21212x x x x x =-+++--32244x x x =+-+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意对法则的准确运用以及方法的选择．29. 计算：（1）；（2）．【难度】★★ 【答案】（1）()()()()2423-++-x x x x ；（2）22+-a a ．【解析】（1）原式()()()()()()2232444322x x xx x x x x -+-=⋅⋅+--+-()()()()3242x x x x -+=+-；（2）原式()()()()()211221112a a a a a a a -++-=⋅⋅+-+2222a aa a --=-=++．【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．2222963441644x x x x x x x x -+-++÷⋅---22214(1)441a a a a a a --÷+⋅++-30. 已知a ，b ，x ，y 是有理数，且()20x a y b -++=，求代数式：2222a ay bxb a ax by b x y a b+-+++-÷++的值．【难度】★★【答案】21．【解析】由题意得：a x =，b y -=．所以2222a ay bx b a ax by b x y a b +-+++-÷++()222222a ab ba b a a b b a b a b+⋅--++--=÷-+()()2222a b a b a ba b a b a b+--+=÷-+()()()22a b a b a b a b a b -+=⋅-+-12=．【总结】本题一方面考查非负数的特性，另一方面考查分式的除法运算．31. 计算：()()221111a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫-÷-⎢⎥ ⎪+-⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦ 【难度】★★★ 【答案】222b a a-．【解析】原式()()()()()()()()2222a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤--+--+=÷⎢⎥⎢⎥+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()2242a b a b abb a b a b +--=⋅-+- ()()2a a b a b =+-222aa b=-．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意有括号时先算括号里面的．32. 计算：222211113256712920x x x x x x x x +++++++++++ 【难度】★★★【答案】5642++x x ．【解析】原式()()()()()()()()111112233445x x x x x x x x =+++++++++++ 1111111112233445x x x x x x x x =-+-+-+-++++++++1115x x =-++()()415x x =++2465x x =++．【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算，注意裂项法的运用．33. 计算：2222x z y x y zx xy xz yz x xy xz yz+-++--+-+++．【难度】★★★【答案】222yx y-．【解析】原式()()()()x z x y x y x z x x y z x y x x y z x y ++-+++=--+-+++()()()()x z x y x y x zx z x y x z x y ++-+++=-+-++1111x y x z x z x y ⎛⎫=+-+ ⎪-+++⎝⎭11x y x y =--+()()2yx y x y =-+222y x y =-．【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意裂项法的运用．34. 计算：222211a b a ba b a b a ab b a ab b -++---+++-+．【难度】★★★【答案】4666ab a b -．【解析】原式222211a b a ba b a ab b a b a ab b -+=-+--+++-+()()()()()()2222222222a ab b a b a ab b a b a b a ab b a b a ab b ++---+-+=+-+++-+333333ab aba b a b=--+ ()()()()3333333333ab a b ab a b ab a b +--=-+4666ab a b =-．【总结】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意立方差和立方和公式的运用， 2233()()a b a ab b a b ±+=±m ，立方差和立方和有些学校不讲，请选择运用．四、解答题35. 为何值时，分式无意义？【难度】★【答案】41-=x ．【解析】考查分式无意义的条件是分母为0．x 2141x x ++36. 求下列各分式有意义的条件：（1）；（2）；（3）．【难度】★【答案】（1）0≠x ；（2）3-≠x ；（3）b a ≠2，且0a ≠，0b ≠．【解析】考查分式有意义的条件是分母不为0．37. 当为何值时，下列分式的值为0？（1）；（2）；（3）288xx +；（4）224216136x x x x --++【难度】★【答案】（1）1-=x ；（2）21=x ；（3）0=x ；（4）7=x 或3-=x ．【解析】分式值为0的条件是分子为0且分母不为0．38. 若，的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？（1）；（2）22x yx y -+；（3）22239x y x+．【难度】★【答案】（1）不变；（2）缩小为原来的31；（3）扩大为原来的3倍．【解析】考查分式的基本性质．39. 求下列各组分式的最简公分母：（1），，；（2），，．【难度】★★【答案】（1）()()2117-+a a ；（2）()()()215++-x x x ．【解析】考查最简公分母的定义．1x 33x +2a b a b +--x 1x x+213x x -+x y x y x y+-277a -2312a a a -+211a -2145x x --232xx x ++22310x x x --40. 把下列各式通分．（1），，；（2），，．【难度】★★【答案】（1）z y x z xy y x 33221204583-=-，z y x y yz x 332312050125=，zy x x z xy 332312018203-=-；（2）()()()()()11111122+--+=-+x x x x x x x x ，()()()2221111-+-=-x x x x x x x ，()()()221112122-++=+-x x x x x x x ．【解析】考查分式的基本性质．41. 求代数式的值：236214422x x x x x x +-÷-+++-，其中6x =-．【难度】★★【答案】14-．【解析】原式()()23221222x x x x x ++=⋅---+3122x x =---22x =-，当6x =-时，原式21624==---．【总结】本题主要考查分式的化简求值，注意符号的变化．42. 已知：250m n -=，求下式的值：11n m n m m m n m m n ⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】187-．【解析】∵250m n -=，∴25=n m ． ∴52=m n ，35=-n m m ，75=+n m m ． ∴原式=18735241547552135521-=÷-=⎪⎭⎫⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．【总结】本题主要考查分式的性质，也可以先对所求值的分式进行化简再求值．238x y -3512x yz 3320xy z -1(1)x x x +-21x x -2221x x -+43. 已知21610x x --=，求331x x-的值．【难度】★★ 【答案】4144．【解析】∵21610x x --=，∴161=-xx ．∴331x x -2211++1x x x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211=+2+1x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()2=1616+3⨯=4144．【总结】本题综合性较强，一方面考查对原式的变形，另一方面考查立方差的运用．44. 已知：0a b c ++=，8abc =，求证：1110a b c++<．【难度】★★【答案】证明略，见解析．【解析】∵0=++c b a ，∴()()022222=+++++=++ac bc ab c b a c b a ．即2222220a b c ab ac bc +++++=．∴2221()2ab ac bc a b c ++=-++．∵8abc =， ∴a 、b 、c 均不为零．∴2221111=()016bc ac ab a b c a b c abc ++++=-++<．【总结】本题综合性较强，主要还是利用了异分母分式的加减以及完全平方公式．45. 已知2222233+=⨯，2333388+=⨯，244441515+=⨯，…，若21010a ab b+=⨯（a 、b 为正整数），求分式22222a ab b ab a b+++的值．【难度】★★★【答案】990109．【解析】找规律可知：10=a ，99=b ．所以()()2222221099109990990a b a ab b a b ab a b ab a b ab +++++====++．【总结】本题是一道规律题，解题时注意总结．46. 已知2210a a +-=，求222142442a a a a a a a a ---⎛⎫-÷⎪++++⎝⎭的值．【难度】★★★ 【答案】1．【解析】原式()()2212242a a a a a a a ⎡⎤--+=-⋅⎢⎥+-+⎢⎥⎣⎦()2224242a a a a a a a --++=⋅-+()12a a =+212a a =+．又2210a a +-=，所以原式=1．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面考查整体代入思想的运用．47. 已知1abc =，求111a b cab a bc b ac c ++++++++的值．【难度】★★★ 【答案】1．【解析】因为1abc =，所以a 、b 、c 均不为零．所以原式1a b cab a abc bc b ac c abc =++++++++11111b c b bc bc b c b=++++++++ 1111b bc b bc bc b bc b =++++++++11b bcb bc ++=++1=．【总结】本题综合性较强，要善于发现每一项的特征，从而利用代入法求出结果．48. 已知a 、b 、c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，那么abcab bc ca ++的值是多少？【难度】★★★ 【答案】61．【解析】∵13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+， ∴3=+ab b a ，4=+bc c b ，5=+ca c a ． ∴311=+b a ，411=+c b ，511=+c a ， ∴121112=⎪⎭⎫⎝⎛++c b a ． ∴6111=++cb a ． ∵6111=++=++cb a abc ac bc ab ，∴16abc ab bc ca =++．【总结】本题主要考查对分式之间的关系，要善于总结．49. 若111122229999199991A +=+，222233339999199991B +=+，试比较A 与B 的大小．【难度】★★★ 【答案】A B >．【解析】设11119999a =，则2+1=1a A a +，23+1=1a B a +．则B A -2322323+1+12=11(1)(1)a a a a a a a a a -+-=++++223(1)(1)(1)a a a a -=++．又111199991a =>，所以10a ->．所以0A B ->，所以A B >．【总结】本题主要考查通过换元法试原来的式子变得简洁一些，然后再通过做差比较两数大小．50. 设10x y z a b c a b c x y z ++=++=，，求222222x y z a b c++的值．【难度】★★★【答案】1．【解析】设m a x =，n b y =，t c z=．∵1x y za b c ++=， ∴1=++t n m ． ∵0=++z cy b x a ， ∴0111=++tn m ， ∴0=++mntmnmt nt ，∴0=++mn mt nt ．∴()()222222222222101x y z m n t m n t mn nt mt a b c++=++=++-++=-=．【总结】本题也是考查对换元法的理解和运用．。

北京四中-初中数学全套目

北京四中-初中数学全套目一、整数和小数整数是指正整数、负整数和零。

对于两个整数，可以进行加法、减法、乘法、除法和乘方等运算。

小数是指带有小数点的数，可以表示小于1的数。

小数可以通过有限位数和无限循环小数两种方式表示。

二、分数和百分数分数是指由分子和分母组成的数，分子表示分数的份数，分母表示每份的份数。

分数可以通过约分、通分、比较大小和四则运算等方式进行计算。

百分数是指以百分数符号%表示的分数，百分数可以通过转化为分数或小数进行计算。

三、代数式和方程式代数式是指由数字、字母和运算符号组成的式子，可以进行加减乘除和化简等运算。

方程式是指含有未知数的等式，可以通过变形和解方程的方法求解未知数的值。

四、图形的性质和计算图形是指平面上的形状，包括点、直线、线段、射线、角、三角形、四边形、多边形、圆等。

图形的性质包括边长、面积、周长、角度等概念，可以通过计算公式进行求解。

五、比例和相似比例是指两个数或者两个量之间的比值关系，可以通过等比例、逆比例和比例的性质进行计算。

相似是指具有相同形状但大小不同的图形，可以通过比较边长和角度等性质进行判断和计算。

六、几何变换和坐标几何变换是指平移、旋转、翻折和对称等操作，可以改变图形的位置和形状。

坐标是指用有序数对表示平面上的点，可以通过坐标系和坐标变换进行计算和描述。

七、统计和概率统计是指通过收集数据、整理数据和分析数据等方法来研究数据的分布和规律。

概率是指事件发生的可能性，可以通过计算概率和进行概率统计来进行分析和预测。

八、函数和方程组函数是指输入和输出之间的对应关系，可以通过函数的图象、函数的性质和函数的运算等方式进行研究和计算。

方程组是指含有多个未知数的方程的集合，可以通过消元和代入等方法求解未知数的值。

九、平面向量和解析几何平面向量是指具有大小和方向的量，可以进行向量的加法、减法、数乘和向量的分解等运算。

解析几何是指通过坐标系和向量等方法研究几何问题，可以进行直线的方程、圆的方程和曲线的方程等计算。

北京四中八年级下册数学可化为一元一次方程的分式方程(基础)知识讲解

《可化为一元一次方程的分式方程》知识讲解（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的定义，根及增根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程、根与增根1.分式方程分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.2.分式方程的根、增根及检验分式方程的解也叫作分式方程的根．在检验时只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为O，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根．要点诠释：（1）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（2）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．要点二、分式方程的解法1.解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2.分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.要点诠释：1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这五5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数）【答案】B ；【解析】A 、C 两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D 项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B 项中的方程符合分式方程的定义．【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．类型二、解分式方程 2、解分式方程（1）10522112x x +=--；（2）225103x x x x -=+-．【答案与解析】解：（1）10522112x x+=--，将方程两边同乘(21)x -，得10(5)2(21)x +-=-．解方程，得74x =．检验：将74x =代入21x -，得52102x -=≠． ∴ 74x =是原方程的根．（2）225103x x x x-=+-，方程两边同乘以(3)(1)x x x +-，得5(1)(3)0x x --+=．解这个方程，得2x =．检验：把2x =代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0．∴ 原方程的解是2x =．【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根．举一反三：【变式】解方程：21233x x x -=---．【答案】解：21233x x x-=---，方程两边都乘3x -，得212(3)x x -=---，解这个方程，得3x =，检验：当3x =时，30x -=，∴ 3x =是增根，∴ 原方程无解．类型三、分式方程的增根3、m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？【思路点拨】若分式方程产生增根，则(2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-，然后把2x =±代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值．【答案与解析】解：方程两边同乘(2)(2)x x +-约去分母，得2(2)3(2)x mx x ++=-．整理得(1)10m x -=-．∵ 原方程有增根，∴ (2)(2)0x x -+=，即2x =或2x =-．把2x =代入(1)10m x -=-，解得4m =-．把2x =-代入(1)10m x -=-，解得6m =．所以当4m =-或6m =时，方程会产生增根．【总结升华】处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解．举一反三：【变式】如果方程11322x x x-+=--有增根，那么增根是________．【答案】2x =；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母20x -=或20x -=可得2x =．所以增根是2x =．类型四、分式方程的应用4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种 60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．【答案与解析】解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种()2x +棵树．由题意可，得60662x x =+，解这个方程，得20x =．经检验20x =是原方程的根且符合题意．所以222x +=(棵)．答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含x 的分式表示甲、乙两班种树所用的时间．举一反三：【变式】两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快?【答案】解：设乙队单独施工1个月能完成工程的1x，总工程量为1．根据工程的实际进度，得1111362x++=．方程两边同时乘以6x ，得236x x x ++=．解这个方程得1x =．检验：当1x =时，6x ＝6≠0，所以1x =是原分式方程的解．由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的13，可知乙队施工速度快．答：乙队施工速度快．。

北京四中初二分式方程

分式方程撰稿：李岩审稿：龚剑钧责编：张杨【知识要求】1．了解分式方程的概念；2．会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)；会对分式方程的解进行检验；3．会运用分式方程解决简单的实际问题.【知识点及典型例题】1、分式方程定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程.1、下列方程中哪个是关于x的分式方程？(1)(2)(3)(4)解：根据定义，只有(4)是关于x的分式方程．2、分式方程的解法2、解下列方程：(1)(2)[分析]如何能把分式方程转化为整式方程呢？利用方程的同解原理，方程两边同时乘以分式的最简公分母.解：(1)去分母(方程两边同时乘以)，得(2)去分母(方程两边同时乘以)，得发现：当x=1时，分母为0，无意义，为什么会这样？原因：①方程两边同时乘了含未知数的整式；②当这个整式为0时，所得方程与原方程不同解.因为这时分式无意义.因此，x=1不是原方程的解，我们把它称为增根.解决办法：验根，即把所得的x的值代入最简公分母中，看其是否为0.若分母为0，则它不是原方程的解；若分母不为0，则它是原方程的解.【小结】解分式方程的步骤：(1)将分母因式分解，确定最简公分母；(2)去分母；(3)求解；(4)验根．3、解下列分式方程：(1)；(2)；(3)．解：(1)去分母得，经检验，x=-5是原方程的解．【注意】检验时，除了验证最简公分母是否为0之外，还应把所得的解代入原方程，看方程两边的值是否相等，即检验自己的计算是否准确.(2)去分母得，经检验，x=2不是原方程的解，原方程无解．(3)去分母得，经检验，x=1是原方程的解．4、(1)已知方程无解，求m的值．[分析]此分式方程无解，说明去分母后得到的x的值使得分式无意义，即最简公分母为0．解：去分母得，原方程无解，或当时，；当时，．的值为8或20．(2)关于x的方程的解是非负数，求a与b的关系．[分析]先求出方程的解，再令．解：去分母得，此分式方程的解是非负数，．【注】含字母系数的分式方程不要求检验.5、如果，试求A、B的值．解法1：(利用分式的加减法)解法2：去分母得，6、农机厂职工到距农机厂15千米的生产队劳动，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余人乘汽车出发，结果同时到达，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求两车的速度.解：设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度为3x千米/时．由题意得，经检验，x=15是原方程的解．(千米/时)答：自行车的速度为15千米/时，汽车的速度为45千米/时．【小结】解应用题的一般步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、答题；其中最关键的步骤是找等量关系．7、某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．解：设原计划每小时修路x m，则根据题意可得，解得，经检验，x=50是原方程的解．答：原计划每小时修路50米．8、轮船在顺水中航行20千米与在逆水中航行10千米所用时间相同，水流速度为千米/小时，求轮船的静水速度.解：设轮船的静水速度为x千米/时，则轮船的顺水速度为(x+千米/时，逆水速度为千米/时．由题意得，解得，经检验，x=是原方程的解．答：轮船的静水速度为千米/时．9、20%的盐水10公斤，需加盐多少公斤才能配成40%的盐水？[分析](1)在解决浓度问题时，注意把握哪些量变化？哪些量不变化？(2)浓度公式：浓度=．解：设需加盐x公斤由题意得，解得，经检验，是原方程的解．答：需加盐公斤才能配成40%的盐水．。