线性矩阵不等式3

主要内容
LMI区域的描述 D-稳定性分析 具有区域极点约束的状态反馈控制器设计 具有区域极点约束的输出反馈控制器设计
LMI区域的描述
定义 对复平面中的区域D，如果存在一个实对称矩阵 L mm 和实矩阵 M m，m 使得
D s : L sM sM T 0
A D ，则称实矩阵A是D-稳定的。
定理4-1给定LMI区域D s : L sM sM T 0 , 则实矩阵
•
A nn 是D-稳定的充分必要条件是存在一个对称正定
实矩阵 X nn ，使得
其中：
MD A, X 0
MD A, X L X M AX M T AX T
0
h1
h2 Re
相应的特征值函数
f Dvs

s


2h1

s
0

s


s

s
0


2h2


2h1

0
0 1
2h2


s
0
0 1

s
1

0
0T 1
•L
M
如图阴影部分所示：
Im

y
Dcs s x jy
: x, y
vH Xv L + M + M T
vH XvfD
•
由MD(A,X)<0和X>0可推出 fD 0, 即 D.
由于 A 的任意性，根据D-稳定的定义，
可得矩阵A是D-稳定的（必要性的证明请见书 第102页） 。定理得证。
•
D稳定性定理的应用
Lyapunov不等式
•
二 、复平面上半径为r，中心在(-q,0)的圆盘D(r, q)
对于圆盘D(r, q)，其特征函数是
fDr
,q

s


r

q
q 0
r


s
0
1 0 0 s 0
1T 0
MD A, X L X M AX M T AX T

r

q
q r


s
0 0
1 0

s
0 0
1T 0
L
M
区域极点配置与动态性能指标之间的关系
为使闭环系统的动态性能满足一定的要求，考虑复平面上如下所
示圆盘 D q, r ：
•
阻尼比


1 q
/
r
2
1

2
Im
衰减振荡频率 d r d n 1 2 1 2
1 vH MD A, X 1 v
vH A vH
1 vH L X M AX M T AX T 1 v
L vH Xv M vH AXv M T vH AX T v
则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)。
矩阵值函数
fD s L sM sM T
称为LMI区域D的特征函数, s 是复数变量。
特征函数 fD s的取值是m m维的Hermite矩阵，
fD s 0表示矩阵 fD s是负定的。
注意： LMI区域是凸的 LMI区域是关于复平面上的实轴对称的
r -rq
Re
自然振荡频率 q r n q r
调节时间 4 q r ts 4 n 4 q r
闭环系统特征值 Dq,r n jd
D－稳定性分析
定义 对复平面中给定的LMI区域D和实矩阵 A nn , 如果实矩阵A的所有特征值都位于区域D中，即
一、 LMI区域为左半开复平面
对于左半开复平面，其特征函数是 fD s s s
则
M D A, X 1 AX 1 XAT AX XAT
由D稳定性定理，可得，矩阵A的所有特征值均在
左半开复平面的充分必要条件是存在对称正定矩阵
X，使得
AX XAT 0
证明：仅证充分性。假定存在对称阵X满足MD(A,X)<0.
设λ是矩阵A的任意特征值，v n , 且有 vH A vH.
应用Kronecker乘积的性质，可得
1.1 A A
2. A BC D AC BD
•
1 A A; A BC D AC BD
基于LMI的 区域极点配置理论
问题的提出
精确的极点配置必须以精确的数学模型为 依据
由于不确定性及各种扰动的存在，使得精 确的极点配置不可实现
精确的极点配置并非是唯一的途径，将系 统的闭环极点配置在复平面上的一个适当 区域，即可保证系统的动态特性和稳态特 性
Im
r

Re
0

S , r, x iy : x , x jy r, xtg y
, tg


x

θ
Re
相应的特征值函数
f Dcs
s

sin cos
s s
s s
cos s s
sin

s

s



s
sin cos
cos sin


s
sin cos
•
cos T
sin


复平面上半径为r，中心在(-q,0)的圆盘D(r, q)
Im
D r, q s : s qs q r2 0
r
由r>0可推出:
Re
q
sqs qr2 0
r q s
q s
r


0
•
因此，相应的特征值函数可写为：
fDr
,q

源自文库
s


r q s
qs r

常见的LMI区域
左半开复平面
Im
Re
相应的特征值函数
fD s s s
fD s 0
Res 0
•
Im
Re

•
相应的特征值函数
fD s 2 s s
fD s 0
Res
左半复平面的垂直条形区域
Im
Dvs s : h1 Re s h2
rX qX 0 AX 0 0