中考数学专题-辅助线的添加

个性化教案（内部资料，存档保存，不得外泄）

海豚教育个性化教案编号：教案正文：

辅助线的添加

【知识要点】

平面几何是中学数学的一个重要组成部分，证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里我们介绍"添加辅助线"在平面几何中的运用。

一、三角形中常见辅助线的添加

1. 与角平分线有关的

ⅰ可向两边作垂线。

ⅱ可作平行线，构造等腰三角形

ⅲ在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形

2. 与线段长度相关的

ⅰ截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可

ⅱ补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可

ⅲ倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。

ⅳ遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。

3. 与等腰等边三角形相关的

ⅰ考虑三线合一

60

ⅱ旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转

二、四边形

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.

1、和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.

ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形

ⅱ．利用两组对边平行构造平行四边形

ⅲ．利用对角线互相平分构造平行四边形

2、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. ⅰ. 作菱形的高；

ⅱ．连结菱形的对角线.

3、与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：

例2 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。

例3 如图9—5，设O 是正三角形ABC 内一点，已知∠AOB=115°，∠BOC=125°。求以线段OA ，OB ，OC 为边构成的三角形的各角。

【举一反三】

1、如图，AB=6，AC=8，D 为BC 的中点，求AD 的取值范围。

2、如图，BC>BA ，BD 平分∠ABC ，且AD=CD ，求证：∠A+∠C=180。

考点2. 四边形：

例5 如图1，已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，四边形OCDE 是平行四边形. 求证:OE 与AD 互相平分.

例6 如图3，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF.求证BF=AC.

1 2

A C

D B 图9—5

B A

C

O B

D

C

A

A B

C

D

6 8

例7如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.

【举一反三】

1. 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.

2. 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE 长.

考点3. 圆：

cm cm，则试求例10 （2010江苏泰州，18，3分）如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为2,1弦AC、BD所夹的锐角 ．

例11(2010年安徽芜湖市)如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，

∠A ＝∠B ＝60°，试求BC 的长为.

例12．（2010山东临沂）如图,AB 是半圆的直径,O 为圆心,AD 、BD 是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠.

(1)判断直线PD 是否为O e 的切线，并说明理由；

(2)如果60BDE ∠=o

，3PD =，求PA 的长。

【举一反三】

1．已知：如图12，在Rt ABC △中，90C ∠=o

，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．

（1）判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若2AD BD ==，求⊙O 的面积．

2.（天河一模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、C 、D 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。 （1）求证：AC ＝AE ； （2）求△ACD 外接圆的半径。

综合

O E D C

B A 图12

A C

B D E

1.（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不

含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证：△AMB ≌△ENB ；

⑵ ①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.

2．（广雅一模）平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC ，O 为坐标原点，A 点坐标为（10，0），C 点坐标为（0，6），D 是BC 边上的动点（与点B 、C 不重合）．如图②,将△COD 沿OD 翻折，得到△FOD ；再在AB 边上选取适当的点E ，将△BDE 沿DE 翻折，得到△GDE ，并使直线DG ，DF 重合．

（1）图①中，若△COD 翻折后点F 落在OA 边上，写出 D 、E 点坐标，并且 求出直线DE 的解析式．

（2）设（1）中所求直线DE 与x 轴交于点M ，请你猜想过点M 、C 且关于y 轴对称的抛物线与直线DE 的公共点的个数，在图①的图形中，通过计算验证你的猜想． （3）图②中，设E （10，b ），求b 的最小值．

E

A D

B C

N

M

图① 图②