中考数学试题分类等腰三角形
中考数学专题复习：等腰三角形
中考数学专题复习：等腰三角形一、选择题1. 下列命题中，属于假命题的是（）A.等腰三角形底边上的高是它的对称轴B.有两个角相等的三角形是等腰三角形C.等腰三角形底边上的中线平分顶角D.等边三角形的每一个内角都等于60∘2. 如图,在△ABC中,∠B=∠C, AB=5,则AC的长为（）A.2B.3C.4D.53. 如图：等腰直角△ABC中，若∠ACB=90∘，CD=DE=CE，则∠DAB的度数为（）A.60∘B.30∘C.45∘D.15∘4. 等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角是48∘，它的一个底角的度数是（）A.48∘B.21∘或69∘C.21∘D.48∘或69∘5. 已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A.7㎝B.9㎝C.12㎝或者9㎝D.12㎝6. 等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是（）A.25B.12.5C.10D.6.257. 如图，△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AD是角平分线，DE⊥AC于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A.2个B.3个C.4个D.5个8. 一个角是60∘的等腰三角形是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.上述都正确9. 以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；①有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；①有两个角为60∘的三角形是等边三角形①三个角相等的三角形是等边三角形其中正确的是（）A.只有①①①B.只有①①①C.只有①①①D.①①①①10. 如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC的长为（）A.8B.7C.6D.511. 等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A.30∘B.30∘或150∘C.120∘或150∘D.120∘、30∘或150∘12. 等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是( )A.140∘B.20∘或80∘C.44∘或80∘D.140∘或44∘或80∘二、填空题13. 等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则其顶角的度数为________.14. 如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC的延长线上，做DF⊥AB，垂足为F，若CD=6，则AF的长等于________.15. 如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为________．16. 如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相等的三个三角形，则CD=________．17. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是________．三、解答题18. 从①∠B=∠C；①∠BAD=∠CDA；①AB=DC；①BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：________(只填序号)，求证：△AED是等腰三角形.19. 如图，BD//AC,BD=BC，点E在BC上，且BE=AC．求证：∠D=∠ABC．20. 如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30∘，DE=4，求这个矩形的周长．21. 如图，在△ABC中，∠ACB−∠B=90∘，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD 的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．22. （1）如图①，△ABC是等边三角形，△ABC所在平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来． 25.（2）如图①，正方形ABCD所在的平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．参考答案13.【答案】30∘或150∘14.【答案】115.【答案】416.【答案】−3+3√331617.【答案】30∘或70∘18.证明：选择的条件是：①∠B=∠C①∠BAD=∠CDA（或①①，①①，①①）；证明：在△BAD和△CDA中，① {∠B=∠C,∠BAD=∠CDA,AD=DA,① △BAD≅△CDA(AAS)，① ∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，① AE=DE，△AED为等腰三角形．19.证明：∵BD//AC，① ∠EBD=∠C，BD=BC，BE=AC，① △EDB≅ABC(SAS)，① ∠D=∠ABC20.解：① 四边形ABCD是矩形，① ∠A=∠B=90∘，AD=BC．在Rt△ADE中，① ∠A=90∘，∠ADE=30∘，DE=4，① AE=12DE=2，AD=√3AE=2√3．① DE⊥CE，∠A=90∘，① ∠BEC=∠ADE=90∘−∠AED=30∘．在Rt△BEC中，① ∠B=90∘，∠BEC=30∘，BC=AD=2√3， ① BE=√3BC=6，① AB=AE+BE=2+6=8，① 矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(8+2√3)=16+4√3．21.解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：① AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，① ∠EAC=12∠BAC，∠FAC=12∠CAD，① ∠BAC+∠CAD=180∘，① ∠EAC+∠FAC=12(∠BAC+∠CAD)=90∘，即∠EAF=90∘，① ∠ACB−∠B=90∘，① ∠ACB=90∘+∠B，① ∠1=90∘−∠B=∠B+∠BAC，① ∠B=12(90∘−∠BAC)，① ∠4=∠B+∠AEF，① AE平分∠DAC，① ∠3=∠4=∠B+∠AEF，① ∠BAC+∠3+∠4=180∘，① 2(∠B+∠AEF)+∠BAC=2[12(90∘−∠BAC)+∠AEF]+∠BAC=180∘，① ∠AEF=45∘，① ∠AFE=45∘，① △AEF是等腰直角三角形．22.【解答】（1）10个，如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB．BC．CA的垂直平分线的交点：当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点每条垂直平分线上得3个交点，故具有这样性质的点P共有10个．（2）9个，如解图①．两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个，故具有这样性质的点P共有9个．。
中考数学专题复习：等腰三角形
中考数学专题复习：等腰三角形一、选择题1. 若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为( )A .40°B .50°C .60°D .65° 2. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A.40°B.50°C.60°.D.70°3. 一个等腰三角形两边的长分别为75和18，则这个三角形的周长为()A ．10 3＋3 2B ．5 3＋6 2C ．10 3＋3 2或5 3＋6 2D ．无法确定4. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝65°，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作DF ∥AB 交AC 于点E ，则∠FEC 的度数是（ ）A ．120°B ．130°C ．145°D ．150°5. 如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒6. 如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC =∠DAE =90°，BD ，CE 交于点F ，连接AF ．下列结论：①BD =CE ；②BF ⊥CF ；③AF 平分∠CAD ；④∠AFE =45°．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2个C ．3个D ．4个CE F7. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是( )A. 120°B. 125°C. 135°D. 150°8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝12，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D .设BD ＝x ，tan ∠ACB ＝y ，则()A. x －y 2＝3B. 2x －y 2＝9C. 3x －y 2＝15D. 4x －y 2＝21二、填空题9. 若等腰三角形的顶角为120°，腰长为2 cm ，则它的底边长为________ cm . 10. 如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD ＝∠ACD ②∠BAD ＝∠CAD③ AB ＋BD ＝AC ＋CD ④ AB －BD ＝AC －CD11. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，E 为AB 的中点．若BC ＝12，AD ＝8，则DE 的长为________．ECB A12. 如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若△AFC 是等边三角形，则∠B ＝________°． ABC DE F13. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．14. 如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE 的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为________．15. 如图，在直角坐标系中，点A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为1，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为__________．16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M 是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为________．MD CBA三、解答题17. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数;ODABCxy(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.18. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD=CE.求证:(1)点D在BE的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE.19. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE＝AD，连接CD，AE，延长EA交CD于点G.(1)求证：△ACE≌△CBD；(2)求∠CGE的度数．21. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，AD是BC边上的高．点P 由C出发沿CA方向匀速运动．速度为1 cm/s.同时，直线EF由BC出发沿DA 方向匀速运动，速度为1 cm/s，EF//BC，并且EF分别交AB、AD、AC于点E，Q，F，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t＜4)，解答下列问题：(1)当t为何值时，四边形BDFE是平行四边形？(2)设四边形QDCP的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t，使点Q在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出此时点F到直线PQ的距离h；若不存在，请说明理由．参考答案1. 【答案】D2. 【答案】D【解析】 根据三角形内角和定理和等腰三角形的等边对等角且AB AC =，40A ∠=，可得：70ABC ACB ∠=∠=；然后根据两直线平行内错角相等且//CD AB 可得：70BCD ABC ∠=∠=，所以选D ．3. 【答案】[解析] A 因为75＝5 3，18＝3 2.当5 3为腰长时，三角形的周长为10 3＋3 2；当5 3为底边长时，因为3 2＋3 2＝6 2＝72，72<75，所以不能构成三角形，故三角形的周长为10 3＋3 2.4. 【答案】B【解析】可利用三角形的外角性质求∠ FEC 的度数，结合等腰三角形与平行线的性质，可得∠ EDC 、∠B 均与∠C 相等．即：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝65°．∵DF ∥AB ，∴∠ EDC ＝∠B ＝65°．∴∠FEC ＝∠EDC ＋∠C ＝65°＋65°＝130°．5. 【答案】C【解析】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠， ∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒，∴1502BCG ACB ∠=∠=︒．故选C ． 6. 【答案】C【解析】∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∵∠BAD=90°+∠CAD ，∠CAE=90°+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△AEC 与△ADB 中， AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AEC ≌△ADB(SAS)，∴BD=CE ，故①正确；∴∠ADB=∠AEC ，∵∠DEF+∠AEC+∠EDA=90°，∴∠DEF+∠ADB+∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90∘，∴BD ⊥CE ，故②正确；∵作AN ⊥CE ，AM ⊥BD∵△AEC ≌△ADB(SAS)，∴AM=AN，∵AF是∠BFE的角平分线，∠BFE=90°，∴∠AFE=45°，故④正确，故③正确；因为QF≠PF，故③错误。
2023学年人教中考数学重难点题型分类 专题05 等腰三角形、等边三角形压轴题真题
专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（解析版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s 的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP ＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM ＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°2．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°，又由条件得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．（3）∠CMQ＝120°不变．∵在等边三角形中，BC＝AC，∠B＝∠CAP＝60°∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，又由条件得BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA（SAS）∴∠BPC＝∠MQC又∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°3.已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．【解答】解：（1）当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，∠BPC＝90°，所以BP＝1.5cm，所以t＝，（2）①∵∠DCQ＝120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD＝CQ，∴∠PDA＝∠CDQ＝∠CQD＝30°，∵∠A＝60°，∴AD＝2AP，∴2t+t＝3，解得t＝1（s）；②相等，如图所示：作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，∴∠G＝∠AEP，在△EAP 和△GCQ，，∴△EAP≌△GCQ（AAS），∴PE＝QG，∴△PCD和△QCD同底等高，所以面积相等．4.如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a ﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x 轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，∴a＝b＝4t，当x＝0时，y＝4t，当y＝0时，﹣x+4t＝0，解得x＝4t，∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），∴△AOB是等腰直角三角形，∵点M是AB的中点，∴OM⊥AB，∴∠MOA＝45°，∵直线BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠OND＝∠ODB，∴ON ＝OD（等角对等边）；（2）答：BD＝2AE．理由如下：延长AE交BO于C，∵BD平分∠OBA，∴∠ABD＝∠CBD，∵AE⊥BD 于点E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在△ABE≌△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE＝CE，∴AC＝2AE，∵AE⊥BD，∴∠OAC+∠ADE＝90°，又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO （对顶角相等），∴∠OAC＝∠OBD，在△OAC与△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（ASA），∴BD＝AC，∴BD＝2AE；（3）OG的长不变，且OG＝4t．过F作FH⊥OP，垂足为H，∴∠FPH+∠PFH＝90°，∵∠BPF＝90°，∴∠BPO+∠FPH＝90°，∴∠FPH＝∠BPO，∵△BPF是等腰直角三角形，∴BP＝FP，在△OBP与△HPF 中，，∴△OBP≌△HPF（AAS），∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，∴AH＝OA+AP＝OP，∴FH＝AH，∴∠GAO＝∠F AH＝45°，∴△AOG是等腰直角三角形，∴OG＝OA＝4t．5.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|a ﹣b|＝0，又∵（a﹣6）2，≥0，|a﹣b|≥0，∴a＝6，b＝6∴点A（6，6）．（2）如图1中，∵△AOB是等边三角形，点A（6，6），∴AO＝BO＝AB＝12，∠AOB＝∠ABO ＝60°＝∠A，∵∠OCP＝60°＝∠AOB，∴∠AOB＝∠QOB+∠AOQ＝∠QOB+∠PBO＝∠PCO，∴∠AOQ ＝∠PBO，且AO＝BO，∠A＝∠AOB，∴△AOQ≌△OBP（ASA），∴OP＝AQ，∴12﹣2t＝3t∴t＝2.4∴当t＝2.4时，∠OCP＝60°．（3）如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6），∴OD＝BD＝6，∠AOB ＝∠ABO＝60°，AD＝6，又∵∠DFO＝∠DEB＝90°，∴△ODF≌△BDE（AAS），∴OF＝BE，DF＝DE，∵AO＝AB，∴AO﹣OF＝AB﹣BE，∴AF＝AE，∵DF＝DE，PD＝DQ，∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL），∴PF＝EQ，∵OD＝6，∠AOD＝60°，∠DFO＝90°，∴∠ODF＝30°∴OF＝3，DF＝OF＝3，∴AF＝AO﹣OF＝9＝AE，BE＝OF＝3，∵AP+AQ＝AP+AE+EQ＝AP+PF+AE＝AF+AE＝2AF，∴2t+3t＝18∴t＝3.6，∴当t＝，3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，∵Rt△DFP≌Rt△DEQ，∴S△DFP＝S△DEQ，∴S四边形APDQ＝S四边形AFDQ＝S△AOB﹣2S△OFD＝×12×6﹣2××3×3＝27．6．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长6．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．【解答】解：（1）作∠DCH＝10°，CH交BD的延长线于H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD和△HCD中，，∴△OBD≌△HCD（ASA），∴OB＝HC，在△AOB和△FHC中，，∴△AOB≌△FHC（ASA），∴CF＝AB＝6，故答案为：6；（2）∵△ABD和△BCQ是等边三角形，∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，∴∠ABC＝∠DBQ，在△CBA和△QBD中，，∴△CBA≌△QBD（SAS），∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，∴∠PDO ＝60°，∴PD＝2DO＝6，∵PD＝DC，∴DC＝9，即OC＝OD+CD＝12，∴点C的坐标为（12，0）；（3）如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．由（2）得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP则OP的最小值为．最小，∴OP＝OF＝，7.等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B 分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．【解答】解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，∵CF⊥y轴于点F，∴∠CF A＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAF+∠BAO＝90°，∴∠ACF＝∠BAO，在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS），∴CF＝OA＝1，∴A（0，1）；（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∵CG⊥AC，∴∠ACG＝90°，∠CAG+∠AGC＝90°，∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠AGC＝∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG＝AD＝CD，∠ADB＝∠G，∵∠ACB＝45°，∠ACG＝90°，∴∠DCE＝∠GCE＝45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE＝∠G，∴∠ADB＝∠CDE；（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．∵∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABO ＝90°．∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．∵∠CEB＝∠AOB＝90°，AB＝AC，∴△CBE≌△BAO （AAS），∴CE＝BO，BE＝AO＝4．∵BD＝BO，∴CE＝BD．∵∠CEP＝∠DBP＝90°，∠CPE＝∠DPB，∴△CPE≌△DPB（AAS），∴BP＝EP＝2．8．如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵GD∥AB，∴∠B＝∠EFG，在△ABE和△GFE中，，∴△ABE≌△GFE（AAS）．（2）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠B，∴∠DFC＝∠DCF，∴DC＝DF＝1，∵DG＝3，∴FG＝DG﹣DF＝2，∵△ABE≌△GFE，∴AB＝GF＝2．（3）解：如图2中，∵AB＝AC＝2，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，∵AB∥FD，∴∠FDC＝∠BAC ＝90°，即FD⊥AC∵AC＝AB＝2，CD＝1，∴DA＝DC，∴F A＝FC，∴∠C＝∠F AC＝45°，∴∠AFC＝90°，∴DF＝DA＝DC＝1，∴AF＝，∵DH⊥CF，∴FH＝CH，∴点F与点C关于直线PD对称，∴当点P与D重合时，△P AF的周长最小，最小值＝△ADF的周长＝2+．9.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD（AAS），∴OC＝DH＝n，AO ＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．【解答】解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，∴∠AEB＝60°，故答案为：60°；②AD＝BE，证明：∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∠AEB＝90°，AE﹣BE＝2CM，证明：∵△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，∴CM＝DM＝EM＝DE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CDA＝∠CEB，∵∠CDA＝135°，∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°，∴BE＝AD，∴AE﹣AD＝DE＝2CM，∴AE﹣BE＝2CM．11.如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．【解答】（1）证明：∵△ABC和△EFC都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，AC＝BC，CE＝FC，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE与△FCB中，，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴∠A＝∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠A+∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；（2）解：△AEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB ＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝∠AGE＝60°，∴△AEG是等边三角形；（3）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（AAS），∴AD＝CM，∴AC＝AM+CM，由（1）得△ACE≌△FCB，∴BF＝AE，∴BF＝AM，∴AC＝BF+AD，∴AB＝AD+BF．12．已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E＝30°，∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，∵BH＝BD，∠B＝60°，∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，∴∠BHD＝60°，BD＝DH，∵AD＝DE，∴∠E＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，在△AHD和△DCE，，∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH＝CE，∴BD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+BD；（3）AB＝BD+AE；如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠F AE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，∴EF∥BC，∴∠EDB＝∠DEF，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEF ＝∠DAF，在△AFD和△EFD中，，∴△AFD≌△EFD（SSS），∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，∵∠EDB＝∠DEF，∴∠FDB＝∠DFB，∴DB＝BF，∵AB＝AF+FB，∴AB＝BD+AE．13．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD 交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD ＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF ＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．14．如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【解答】（1）证明：∵△ACB 为等腰三角形，∠ABC＝90°，△P AQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，在△P AB和△AQE中，，∴△P AB≌△AQE（AAS）；（2）解：∵△P AB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM中，，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴＝2；（3）解：式子的值不会变化，理由如下：过A作HA⊥AC交QF于点H，如图2所示：∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠P AD＝90°，∠AQH＝∠APD＝90°，∴∠QAH＝∠P AD，∵△P AQ为等腰直角三角形，∴AQ＝AP，在△AQH和△APD中，，∴△AQH≌△APD（ASA），∴AH＝AD，QH＝PD，∵HA⊥AC，∠BAC＝45°，∴∠HAF＝∠DAF，在△AHF和△ADF中，，∴△AHF≌△ADF（SAS），∴HF＝DF，∴＝＝＝1．15．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△P AQ是等腰直角三角形，∠P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．【解答】（1）证明：∵∠BOA＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，又∵∠BAC＝∠BAO+∠CAM＝90°，∴∠ABO＝∠CAM；（2）解：∵CM⊥y轴，∴∠AMC＝∠BOA＝90°，∵AB＝AC，∠ABO＝∠CAM，∴△AMC≌△BOA（AAS），∴CM＝AO，AM＝BO，∵BD＝BE，BD⊥BE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠BDE＝∠BED＝45°，∠EBO ＝∠DBE＝45°，∴∠EBO＝∠BEO，∴BO＝EO＝AM，∴EO﹣OM＝AM﹣OM，∴EM＝AO＝CM，∴△CME是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°；（3）解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵△P AQ是等腰直角三角形，∴P A＝QA，∠P AQ＝∠CAB＝90°，∴∠P AQ+∠QAC＝∠CAB+∠QAC，即∠P AC＝∠QAB，∵AC＝AB，∴△P AC≌△QAB（SAS），∴∠APC＝∠AQB，∵∠AKP＝∠QKN，∴∠QNK＝∠P AK＝90°，∵CM⊥y轴，∴CM∥NO，∴∠NCM＝∠KNO＝90°，在ON的延长线上截取NI＝MH，连接CI，如图3所示：∵CN＝CM，∠CNI＝∠CMH＝90°，∴△CNI≌△CMH（SAS），∴∠NCI＝∠MCH，CI＝CH，∴∠NCG+∠NCI ＝∠NCG+∠MCH＝∠NCM﹣∠GCH＝90°﹣45°＝45°＝∠GCH＝∠GCI，∴△GCI≌△GCH（SAS），∴GI ＝GH，∵GI＝IN+NG＝HM+NG＝2+3＝5，∴GH＝5．16．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．【解答】解：（1）过C 作CM⊥x轴于M点，如图1，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°则∠MAC＝∠OBA在△MAC和△OBA中，则△MAC≌△OBA（AAS），则CM＝OA＝2，MA＝OB ＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）；（2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90°∠APO+∠OAP＝90°，则∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，则△AOP≌△PDQ（AAS），∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2；（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，在△FSH和△FTG中，则△FSH≌△FTG（AAS），则GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，则﹣2﹣m＝n+2，则m+n＝﹣4．17．如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B（b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求∠AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．【解答】解：（1）∵﹣+b2+4b+8＝0，∴﹣+（b﹣4）2＝0，∴a＝4，b＝4，∴A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），故答案为（0，4），（﹣4，4），（﹣4，0）；（2）由（1）知，A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣4，0），∴AB ＝BC＝OC＝OA＝4，∴四边形OABC是菱形，∵∠AOC＝90°，∴菱形OABC是正方形，过点Q作QN⊥x轴于N，∴∠PNQ＝90°，∴∠QPN+∠PQN＝90°，∵BP⊥BQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠BPC+∠QPN＝90°，∴∠PQN＝∠BPC，由（1）知，B（﹣4，4），C（﹣4，0），∴BC＝4，BC⊥x，∴∠BCP＝∠PNQ＝90°，在△BCP和△PNQ中，，∴△BCP≌△PNQ（AAS），∴CP＝QN，BC＝PN，∴OC＝PN＝4，①当点P在x轴负半轴时，如图1、OC＝CP+OP，PN＝OP+ON，∴CP＝ON，∵CP＝QN，∴ON＝QN，∵∠PNQ＝90°，∴∠QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，②当点P在x轴正半轴时，如图2、OC＝CP﹣OP，PN＝ON﹣OP，∴CP＝ON，∵CP＝QN，∴ON＝QN，∵∠PNQ＝90°，∴∠QON＝45°，∴∠AOQ＝45°，即：∠AOQ＝45°；（3）如图2，过点Q作QN⊥x轴于N，设P（m，0）（m＞0），∵OP＝3AM，∴AM＝OP＝m，∴M（0，m+4），∵点B（﹣4，4），∴直线BM的解析式为y＝mx+m+4，由（2）知，PN＝OC＝4，∴N（m+4，0），∴Q（m+4，m+4），∵点Q在直线BM上，∴m（m+4）+m+4＝m+4，∴m＝0（舍）或m＝4，∴M（0，）．。
中考数学分类(含答案)等腰三角形
中考数学分类（含答案）等腰三角形一、选择题 1．（2010浙江宁波） 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线， 则图中的等腰三角形有(A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个【答案】A 2．（2010 浙江义乌）如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA =5，则线段PB 的长度为（ ▲ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】B3．（2010江苏无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是 （ ）A ．两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C ．有两个锐角的和等于90°D ．内角和等于180° 【答案】B4.（2010 黄冈）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．不能确定ABC DPE D CBA(第10题)第15题图 【答案】B ． 5．（2010山东烟台）如图，等腰△ ABC 中，AB=AC ，∠A=20°。
线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于 A 、80° B 、 70° C 、60° D 、50°【答案】C6．（2010江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )A ．8B ．7C ． 4D ．3【答案】B 7．（2010湖北武汉）如图，△ABC 内有一点D ，且DA=DB=DC ，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC 的大小是（ ）DA.100°B.80°C.70°D.50° 【答案】A 8．（2010山东威海）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点， 连接BD ．若BD 平分∠ABC ，则下列结论错误的是A ．BC ＝2BEADBEB ．∠A ＝∠EDAC ．BC ＝2AD D ．BD ⊥AC 【答案】C9．（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是 A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 10．（2010云南楚雄）已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是（ ）A ．55°，55° B．70°，40° C ．55°，55°或70°，40° D ．以上都不对 【答案】C 11．（2010湖北随州）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．不能确定第15题图【答案】B12．（2010湖北襄樊）已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组2-3,328,x y x y =⎧⎨+=⎩则此等腰三角形的周长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．5或4 【答案】A 13．（2010 山东东营）如图，点C 是线段AB 上的一个动点，△ACD 和△BCE 是在ABB A第8题图 C同侧的两个等边三角形，DM ，EN 分别是△ACD 和△BCE 的高，点C 在线段AB 上沿着从点A 向点B 的方向移动(不与点A ，B 重合)，连接DE ，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积变化情况为（ ）（A ）逐渐增大 (B) 逐渐减小 (C) 始终不变 (D) 先增大后变小【答案】C 14．（2010 广东汕头）如图，把等腰直角△ABC 沿BD 折叠，使点A 落在边BC 上的点E 处．下面结论错误的是（ ）A ．AB ＝BE B ．AD ＝DC C ．AD ＝DE D ．AD ＝EC【答案】B15．（2010 重庆江津）已知：△ABC 中，AB=AC=x ，BC=6，则腰长x 的 取值范围是（ ）A ．03x <<B ．3x >C ．36x <<D ．6x >【答案】B16．（2010 重庆江津）如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（ ）①45EAF ∠=︒ ②△ABE ∽△ACD ③EA 平分CEF ∠ ④222BE DC DE +=A ．１个B ．２个C ．３个D ．４个【答案】C 17．（2010广东茂名）如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是A 、15米B 、20米C 、25米D 、30米 【答案】C 18．（2010广东深圳）如图1，△ABC 中，AC=AD=BD ，∠DAC=80°。
中考数学复习 《等腰三角形》练习题含答案
中考数学复习等腰三角形一、选择题1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C )A．5B．6C．8D．10【解析】∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝AB2－AD2＝4，∴BC＝2BD＝8，故选C.,第1题图),第2题图) 2．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于( A ) A．20°B．25°C．28°D．30°3．如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( D ) A．北偏东55°B．北偏西55°C．北偏东35°D．北偏西35°,第3题图),第4题图) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( B )A．40°B．36°C．80°D．25°5．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( C )A．6 B．3 C．2.5 D．2【解析】如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC ，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG ⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF ，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－12×3×3＝2.5，故选C. 二、填空题6．等腰三角形两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为__17__．【解析】腰只能为7，故周长为7＋7＋3＝17.7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，EF ＝BF ，则∠E FC 的度数是__45°__．,第7题图) ,第8题图)8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝12BC ，等边△BEF 的顶点F 在BC 上，边EF 交AD 于点P ，若BE ＝10，BC ＝14，则PE 的长为__4__．9．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，则∠A 的度数是__12°__．【解析】设∠A ＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x .在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E .若BC ＝3，则DE 的长为__1__．【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠B ＝∠DAB ，∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠DAB ，∵∠C ＝90°，∴3∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝30°，∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，CD ⊥AC ，∴CD ＝DE ＝12BD ，∵BC ＝3，∴CD ＝DE ＝1. 三、解答题11．如图，在△ABC 中，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于E ，F 两点，∠B ＋∠C ＝60°.(1)求∠EAF 的度数；(2)若BC ＝13，求△AEF 的周长．解：(1)∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∴∠DAE ＝∠B.∵GF 是AC 的垂直平分线，∴AF ＝CF ，∴∠CAF ＝∠C.∵∠B ＋∠C ＝60°，∴∠BAE ＋∠CAF ＝60°.∵∠BAC ＝120°，∴∠EAF ＝∠BAC －(∠BAE ＋∠CAF )＝60°(2)由(1)知AE ＝BE ，AF ＝FC.∴C △AEF ＝AE ＋AF ＋EF ＝BE ＋EF ＋FC ＝BC ＝1312．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D .(1)写出图中所有的等腰三角形，不需证明；(2)请你判断AD 与BE 是否垂直，并说明理由；(3)如果BC ＝12，求AB ＋AE 的长．解：(1)△ABD ，△EAD ，△CDE ，△ABC(2)AD ⊥BE.理由：∵∠BAE ＝∠BDE ，∠ABE ＝∠DBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE (AAS )，∴AB ＝BD ，又∠ABE ＝∠DBE, AD ⊥BE(3)∵∠C ＝∠DEC ＝45°，∴CD ＝DE ，∴AE ＝DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝1214．有一面积为53的等腰三角形，它的一个内角是30°，求以它的腰长为边的正方形的面积． 解：如图1中，当∠A ＝30°，AB ＝AC 时，设AB ＝AC ＝a ，作BD ⊥AC 于D ，∵∠A＝30°，∴BD ＝12AB ＝12a ，∴12·a·12a ＝53，∴a 2＝203，∴以△ABC 的腰长为边的正方形的面积为20 3.如图2中，当∠ABC ＝30°，AB ＝AC 时，作BD ⊥CA 交CA 的延长线于D ，设AB ＝AC ＝a ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝30°，∴∠BAC ＝120°，∠BAD ＝60°，在Rt △ABD 中，∵∠D ＝90°，∠BAD ＝60°，∴BD ＝32a ，∴12·a·32a ＝53，∴a 2＝20，∴以△ABC 的腰长为边的正方形的面积为2014．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动(与A ，C 不重合)，Q 是CB 延长线上一点，由B 向CB 延长线方向运动(Q 不与B 重合)，连结PQ 交AB 于D .若两点同时出发，以相同的速度每秒1个单位运动，运动时间为t .(1)当∠PQC ＝30°时，求t 的值；(2)过P 作PE ⊥AB 于E ，过Q 作QF ⊥AB ，交AB 的延长线于F ，请找出图中在运动过程中的一对全等三角形，并加以证明；(3)在(2)的条件下，当P ，Q 在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化，请说明理由．解：(1)t＝2(2)△APE≌△BQF或△EPD≌△FQD，证明略(3)ED的长度不变，ED＝3。
2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)等腰三角形与直角三角形(共26道)(学生版)
等腰三角形与直角三角形(共26道)一、单选题1(2023·江苏徐州·统考中考真题)如图，在△ABC中，∠B=90°,∠A=30°,BC=2,D为AB的中点．若点E在边AC上，且ADAB=DEBC，则AE的长为()A.1B.2C.1或32D.1或22(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB=4，CE=10，则AG= ()A.2B.2.5C.3D.3.53(2023·北京·统考中考真题)如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB<BC，∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD，连接DE，设AB=a，BC=b，DE=c，给出下面三个结论：①a+b<c；②a+b>a2+b2；③2a+b>c；上述结论中，所有正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③4(2023·江苏无锡·统考中考真题)如图△ABC中，∠ACB=90°,AB=4,AC=x,∠BAC=α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：①若α=45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；②若α=60°，则AD的最大值为27；③若α=60°,△ABC∽△CBD，则OD的长为23；④若△ABC∽△BCD，则当x=2时，AC+CD取得最大值．其中正确的为()A.①④B.②③C.①②④D.①③④5(2023·浙江·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD=1，则CE的长是()A.2B.2C.2D.126(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使BF=DE，连结AE,AF,EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结HD，HC．下列四个结论：①AH=HC；②HD=CD；③∠FAB=∠DHE；④AK⋅HD=2HE2．其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题7(2023·湖南·统考中考真题)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为dm3．8(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．9(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．10(2023·湖北·统考中考真题)如图，△BAC ,△DEB 和△AEF 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DEB =∠AEF =90°，点E 在△ABC 内，BE >AE ，连接DF 交AE 于点G ,DE 交AB 于点H ，连接CF ．给出下面四个结论：①∠DBA =∠EBC ；②∠BHE =∠EGF ；③AB =DF ；④AD =CF ．其中所有正确结论的序号是．11(2023·山东·统考中考真题)如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点D ，E 在边BC 上，若∠DAE =30°，tan ∠EAC =13，则BD =．12(2023·山东日照·统考中考真题)如图，矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点P 在对角线BD 上，过点P 作MN ⊥BD ，交边AD ，BC 于点M ，N ，过点M 作ME ⊥AD 交BD 于点E ，连接EN ，BM ，DN ．下列结论：①EM =EN ；②四边形MBND 的面积不变；③当AM :MD =1:2时，S △MPE =9625；④BM +MN+ND 的最小值是20．其中所有正确结论的序号是．13(2023·四川遂宁·统考中考真题)如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角△ABE、△ACD，连结ED、BD、EC，过点A的直线l分别交线段DF、BC于点M、N，以下说法：①当AB=AC= BC时，∠AED=30°；②EC=BD；③若AB=3，AC=4，BC=6，则DE=23；④当直线l⊥BC时，点M为线段DE的中点．正确的有．(填序号)14(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B 分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为15(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，∠BAC=90°,AB=AC=32．过点C作CD⊥BC，延长CD，连接AE,ED．若ED=2AE，则BE=．(结果保留根号)CB到E，使BE=1316(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC,BD相交于点O．若AB=AC=5,BC=6,∠ADB=2∠CBD，则AD的长为．17(2023·湖北十堰·统考中考真题)在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC∠A=90°硬纸片剪切成如图所示的四块(其中D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点)，小明将这四块纸片重新组合拼成四边形(相互不重叠，不留空隙)，则所能拼成的四边形中周长的最小值为，最大值为．三、解答题18(2023·北京·统考中考真题)在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．19(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．20(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．21(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．22(2023·吉林长春·统考中考真题)如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且BE=2．动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t 秒．(t>0)(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为；(2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE；(3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．23(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos∠AFB的值．24(2023·重庆·统考中考真题)如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点(不与A，D重合)，连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．(1)如图1，求证：∠CBE=∠CAF；(2)如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH=FH；(3)如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB =4，直接写出PQ+QF的最小值．25(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：(1)MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．特例研讨：(2)如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．(1)求∠BCF的度数；(2)求CD的长．深入探究：(3)若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．。
2023年九年级中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练
中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练一．选择题（共10小题）1．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x-2，4x-3，7，则这个等腰三角形的周长为（）A．23 B．19.5或23C．9或23 D．9或19.5或232．已知方程x 2 -6x+8=0的根，分别是等腰三角形的底边和腰长，则该三角形的周长为（）A．6 B．10 C．8 D．124．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80°B．20°C．80°或20°D．不能确定5．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x 2 -10x+m=0的两个实数根，则m的值是（）A．24 B．25 C．26 D．24或25为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．87．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70 B．55°C．70°或55°D．60°8．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．80°、80°、20°B．80°、50°、50°C．80°、80°、20°或80°、50°、50°D．以上答案都不对9．如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°．若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别是（）A．50°，50°，50°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°二．填空题（共5小题）11．等腰三角形的三边长分别为m-2，2m+1，8，则等腰三角形的周长为________ ．12．等腰三角形的一条边长为4cm,另一条边长为6cm,则它的周长是________ ．13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P在BC上，且PB=3，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则CM=________ ．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别是边AB、AC上一点，且AF=EF．若∠CFE=72°，则∠B= ________ °．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=5，点P为△ABC内一动点．过点P作PD⊥AC于点且S △PBC = 152，则D，交AB于点E．若△BCP为等腰三角形，PD的长为________ ．三．解答题（共5小题）16．如图矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′PD为等腰三角形，求AP的长．17．（1）已知4a 2 -a-4=0，求代数式（2a-3）（2a+3）+（a-1） 2 +（1+a）（2-a）的值；（2）已知a,b满足a 2 +b 2 -10a-4b+29=0，且a,b为等腰三角形△ABC的边长．求△ABC的周长．18．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒．（1）当点P在线段AB上时，BP= ________cm.（用含t的代数式表示）（2）若△BCP为直角三角形，则t的取值范围是________ ．（3）若△BCP为等腰三角形，直接写出t的值．（4）另有一动点Q从点C开始，按B→A→C→B的路径运动，且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．请直接写出t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．19．如图，矩形ABCD，点P是对角线AC上的动点（不与A、C重合），连接PB，作PE⊥PB交射线DC于点E．已知AD=6，AB=8．设AP的长为x.（1）如图1，PM⊥AB于点M，交CD于点N．求证：△BMP∽△PNE．是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理（2）试探究：PEPB由．（3）当△PCE是等腰三角形时，请求出所有x的值．20．如图，CD是△ABC的高，CD=8，AD=4，BD=3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PE⊥AB于点E，DF=DE，FQ⊥AB于点F，交AC于点Q，连接QE．（1）若点P是BC的中点，则QE= ________ ；（2）在点P的运动过程中，①EF+FQ的值为________ ；②当点P运动到何处时，线段QE最小？最小值是多少？③当△AQE是等腰三角形时，求BE的长．。
中考数学真题分类汇编：等腰三角形
等腰三角形一.选择题1.（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为A．16 B．18C．20 D．16或20【解析】先利用等腰三角形的性质:两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边,确定三角形的第三边长,最后求得其周长.【答案】C【点评】本题将两个简易的知识点:等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起.难度较小.2．（2012江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A．20° B．50° C．60° D．80°考点：等腰三角形的性质。
分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．解答：解：∵等腰三角形的一个顶角为80°∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°．故选B．点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．3．（2012•中考）把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（）解答：解：∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，∴四边形ABDC是菱形，∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形．故选C ．点评： 本题考查了中心对称图形，等腰三角形的性质，轴对称图形，判断出四边形ABDC 是菱形是解题的关键．4.（2012荆州）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为( )A ．2 B ．．3 【解析】题目中已知了△ABC 是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一的性质。
本题中，有含有30°角的直角三角形，要想到30°角的直角边等于斜边的一半。
△ABC 是等边三角形，BD 是∠ABC 的平分线， 所以∠ABD=∠CBD=21∠ABC=30°。
等腰三角形试题含解析-中考数学真题分类汇编第一辑
等腰三角形一、选择题1．（2018?山东枣庄?3 分）如图是由8 个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上，如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ ABP为等腰直角三角形的点P 的个数是（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P 的个数是3，故选：B．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P 是解题的关键．2 （2018?山东枣庄?3 分）如图，在Rt △ABC中，∠ ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点 F 作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=9°0，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF 平分∠ CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF 平分∠ CAB，∠ ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△ BAC，∴= ，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴= ，∵FC=FG，∴= ，解得：FC= ，即CE的长为．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．3.（2018?山东淄博?4 分）如图，P 为等边三角形ABC内的一点，且P 到三个顶点A，B，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）2A ．B ．C ．D ．【考点】 R2：旋转的性质； KK ：等边三角形的性质； KS ：勾股定理的逆定理．【分析】 将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△ BEA ，根据旋转的性质得 BE=BP=4， AE=PC=5， ∠PBE=60°，则△ BPE 为等边三角形，得到 PE=PB=4，∠ BPE=60°，在△ AEP 中， AE=5，延长 BP ，作 AF ⊥ BP 于点 FAP=3， PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠ APE=90°，即可得到∠ APB 的度数，在直角△ APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长，则在直角△ ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长，进而求得三角形 ABC 的面积．【解答】 解：∵△ ABC 为等边三角形， ∴BA=BC ，可将△ BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△ BEA ，连 EP ，且延长 BP ，作 AF ⊥ BP 于点 F ．如图，∴BE=BP=4， AE=PC=5，∠ PBE=60°， ∴△ BPE 为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠ BPE=60°，在△ AEP 中， AE=5，AP=3， PE=4，2 2 2∴AE =PE+PA ，∴△ APE 为直角三角形，且∠ APE=90°， ∴∠ APB=90° +60°=150°． ∴∠ APF=30°，∴在直角△ APF 中， AF= AP= ， PF=AP=．22222∴在直角△ ABF 中， AB =BF +AF =（ 4+） +（ ） =25+12 ．则△ ABC 的面积是 ?AB = ?（ 25+12 ）=． 故选： A ．22【点评】 本题考查了等边三角形的判定与性质、 勾股定理的逆定理以及旋转的性质： 旋转前后的两个图形全等， 对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角， 对应点到旋转中心的距离相等．4.（2018?江苏扬州? 3 分）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧做等腰 Rt △ ABC 和等腰 Rt △ ADE ， CD 与 B E 、AE 分别交于点 P ， M ．对于下列结论： ①△ BAE ∽△ CAD ；② MP?MD=MA?；M ③E 2CB=CP?C ．M 其中正确的是（）A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③【分析】（ 1）由等腰 Rt △ ABC 和等腰 Rt △ ADE 三边份数关系可证；（2） 通过等积式倒推可知，证明△PAM ∽△ EMD 即可；（3）2CB 转化为 AC2，证明△ ACP ∽△ MCA ，问题可证．【解答】 解：由已知： AC=AB ， AD=AE∴∵∠ BAC=∠EAD ∴∠ BAE=∠CAD ∴△ BAE ∽△ CAD 所以①正确 ∵△ BAE ∽△ CAD ∴∠ BEA=∠CDA ∵∠ PME=∠AMD ∴△ PME ∽△ AMD∴∴MP?MD=MA?ME 所以②正确 ∵∠ BEA=∠CDA ∠PME=∠ AMD∴P 、E 、D 、 A 四点共圆 ∴∠ APD=∠EAD=90°22 ∵∠ CAE=18°0 ﹣∠ BAC ﹣∠ EAD=90°∴△ CAP ∽△ CMA ∴AC=CP?CM ∵AC=AB∴2CB=CP?CM 所以③正确故选： A ．【点评】 本题考查了相似三角形的性质和判断． 在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．5．（ 2018 ·湖南省常德 ·3 分） 如图， 已知 BD 是△ ABC 的角平分线， ED 是 BC 的垂直平分线， ∠BAC=90°， AD=3，则 CE 的长为（）A ． 6B ． 5C ． 4D ． 3【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答． 【解答】 解：∵ ED 是 BC 的垂直平分线， ∴DB=DC ， ∴∠ C=∠ DBC ，∵BD 是△ ABC 的角平分线， ∴∠ ABD=∠DBC ，∴∠ C=∠ DBC=∠ABD=30°， ∴BD=2AD=6， ∴CE=CD × cos ∠ C=3 ，故选： D ．【点评】 本题考查的是线段垂直平分线的性质、 直角三角形的性质， 掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6.（ 2018·台湾·分）如图，锐角三角形ABC 中， BC ＞ AB ＞ AC ，甲、乙两人想找一点P ，使得∠ BPC 与∠ A 互补，其作法分别如下：（甲）以 A 为圆心， AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点，则 P 即为所求；（乙）作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l ，作过 C 点且与 AC 垂直的直线，交 l 于 P 点，则 P 即为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠BPC+∠APC=18°0，根据等量代换可作判断；乙：根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．【解答】解：甲：如图1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=18°0∴∠BPC+∠ACP=18°0，∴甲错误；乙：如图2，∵ AB⊥ PB，AC⊥ PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正确，故选：D．【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．7．（2018?湖北荆门?3 分）如图，等腰Rt △ABC中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P 从点 A 运动到点 C 时，点M 所经过的路线长为（）A．B．C．1 D．2【分析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB 于F，如图，利用等腰直角三角形的性质得AC=BC= ，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=，1∠OCB=4°5 ，再证明Rt△AOP ≌△COQ得到AP=CQ，接着利用△APE和△BFQ都为等腰直角三角形得到PE= AP= CQ，QF= BQ，所以PE+QF= BC=1，然后证明MH为梯形PEFQ的中位线得到MH= ，即可判定点M到AB 的距离为，从而得到点M的运动路线为△ABC的中位线，最后利用三角形中位线性质得到点M所经过的路线长．【解答】解：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ ACB，OC=OA=OB=，1∴∠OCB=4°5 ，∵∠POQ=9°0 ，∠COA=9°0 ，∴∠AOP=∠COQ，在Rt △ AOP和△ COQ中，∴Rt △AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△ APE和△ BFQ都为等腰直角三角形，∴PE= AP= C Q，QF= BQ，∴PE+QF= （CQ+BQ）= BC= ×=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH= （PE+QF）= ，即点M到AB的距离为，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P 从点A 运动到点 C 时，点M所经过的路线长=AB=1．故选：C．【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．8.（2018?河北?3 分）已知：如图4，点P 在线段AB 外，且PA PB . 求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上. 在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不．正确的是（）A.作APB 的平分线PC 交AB 于点CB.过点P 作PC AB 于点C 且AC BCC.取AB 中点C ，连接PCD.过点P 作PC AB ，垂足为C9.(2018 四川省绵阳市) 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB 的顶点 A 在△ECD的斜边DE 上，若AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】 D【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE，∵△ ACB和△ ECD都是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=9°0 , ∠ADC=∠CAB=45°,即∠ ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，∴∠DCB=∠ACE，在△ DCB和△ ECA中，,∴△DCB≌△ECA，∴DB=EA= , ∠CDB=∠E=45°,∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt △ ABD中，∴AB= =2 ，在Rt △ ABC中，2 2∴2AC=AB=8，∴AC=BC=，2在Rt △ ECD中，2 2∴2CD=DE= ，∴CD=CE= +1，∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，∴△CAO∽△CDA，∴又∵：== CE = DE·=CH，=4-2 ，∴CH= = ，∴∴= AD·CH= ×=（4-2 ）××=3-=.，即两个三角形重叠部分的面积为3- . 故答案为： D.【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=9°0 , ∠ADC= ∠CAB=45°, 再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根据全等三角形的性质知DB=EA= , ∠CDB=∠E=45°, 从而得∠ADB=90°，在Rt △ABD中，根据勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=，2 CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积. 二. 填空题1．（2018 四川省泸州市 3 分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点 F 在边BC 上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点 D 在EG上运动，则△CDF周长的最小值为18．【分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+D，F 可得当A、D、F 共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF 的长；【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+D，F∴当A、D、F 共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵?BC?AH=12，0∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=1，0∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF= = =13，∴DF+DC的最小值为13．∴△CDF周长的最小值为13+5=18；故答案为18．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．2.（2018?广西桂林?3 分）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是【答案】 3详解：∵ AB=AC，∴△ ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD平分∠ ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=3°6，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△ BDC是等腰三角形．∴共有 3 个等腰三角形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．3.（2018·新疆生产建设兵团· 5 分）如图，△ABC 是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部的面积是．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵△ ABC 是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠ AOB=∠2 C=120°，∴阴影部分的面积是= π，故答案为：【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．4.（2018·四川宜宾· 3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S= 2 ．（结果保留根号）【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM 的长度可求出AB 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S 的值．【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ ABO为等边三角形，∵⊙O的半径为1，∴OM=1，∴BM=AM= ，∴AB= ，∴S=6S△ABO=6×××1=2 ．故答案为： 2 ．【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．5.（2018·天津·3 分）如图，在边长为 4 的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为．【答案】【解析】分析：连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.详解：连接DE，∵D、E 分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，DE= AC∵ΔABC是等边三角形，且BC=4∴∠DEB=60°,DE=2∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2∴∠F EC=30°，EF=∴∠DEG=180°-60 °-30 °=90°∵G是EF的中点，∴EG= .在Rt ΔDEG中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.6．（2018·湖北省武汉·3 分）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边AB 的中点，E 是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．【分析】延长BC至M，使CM=C，A 连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE= AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ ABC的周长，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE= AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=6°0，AN=M，N∴AN=AC?sin∠ACN= ，∴AM= ，∴DE= ，故答案为：．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．7．（2018?北京?2 分）右图所示的网格是正方形网格，BACDAE ．（填“”，“”或“”）【答案】【解析】如下图所示，EBG E DBD C AFC A△ AFG 是等腰直角三角形，∴FAG BAC 45 ，∴BAC DAE ．另：此题也可直接测量得到结果．【考点】等腰直角三角形8. （2018?江苏盐城? 3 分）如图，在直角中，，，，、分别为边、上的两个动点，若要使是等腰三角形且是直角三角形，则．16. 【答案】或【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：当△ BPQ是直角三角形时，有两种情况：∠ BPQ=90度，∠BQP=90度。
(全国120套)中考数学试卷分类汇编 等腰三角形
等腰三角形2、(2013年临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A 1 ， A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0),A 2(2,0),B 1(0,1)，B 2（0,2），分别以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A ） 3 4. (B) 1 3. (C) 23. (D) 12.答案：D解析：以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，能作4个，其中A 1B 1O ，A 2B 2O 为等腰三角形，共2个，故概率为： 1 23、(2013年武汉)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是（ ）A ．18°B ．24°C ．30°D ．36°第6题图DCBA答案：A解析：因为AB＝AC，所以，∠C＝∠ABC＝12（180°－36°）＝72°，又BD为高，所以，∠DBC＝90°72°＝18°4、（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（）A.70°B. 55°C. 50°D. 40°答案：D解析：因为AB=AC，所以∠C＝∠B=70°，∠A=180°－70°－70°＝40°5、（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（）6、（2013•攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）8、（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC 中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF 的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．9、（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标10、（2013•德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）13、（2013•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）14、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）=，，=，CD=，．15、（2013成都市）如图，在△ＡＢＣ中，B C∠=∠，AB=5,则AC的长为（）A.2B.3C.4D.5答案：D解析：由∠B＝∠C，得AC＝AB＝5（等角对等边），故选D16、（2013•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）17、（2013哈尔滨）如图，在ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为( )．(A)4 (B)3 (C) 52(D)2考点：平行四边形的性质及等腰三角形判定．分析：本题主要考查了平行四边形的性质：平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键解答：根据CECE 平分∠BCD 得∠BCE=∠ECD,AD ∥BC 得∠BCE=∠DEC 从而△DCE 为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3 故选B 18、（2013•毕节地区）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的20、（2013年广州市）如图5，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥==则tan B =（ ）A 114 D 4分析：先判断DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算．解：∵CA是∠BCD的平分线，∴∠DCA=∠ACB，又∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，∵AB⊥AC，∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），∴点F是AC中点，∴AF=CF，∴EF是△CAB的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2，在Rt△ADF中，AF==4，则AC=2AF=8，tanB===2．故选B．点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大．21、（2013台湾、31）如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE 为平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求（乙）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确考点：平行四边形的判定．分析：求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×（180°﹣108°）=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×（180°﹣54°）=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；故选C．点评：本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．22、（2013台湾、20）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC 长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为何？（）A．20 B．35 C．40 D．55考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据等边对等角求解即可．解答：解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=PC，MP=MC，∵∠PBC=70°，∴∠BCP=（180°﹣∠PBC）=（180°﹣70°）=55°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°，∴∠MPC=∠MCP=35°．故选B．点评：本题考查了矩形的四个角都是直角的性质，等腰三角形两底角相等的性质以及等边对等角，是基础题．23、（2013•滨州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B=65°．为边长的等腰三角形的周长为 5 ．25、（2013•黄冈）已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B 为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB= 6 ．AC×CO=3，AC×BC=3，AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是12°．27、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．∴∠DBC=BD==DE=BD=故答案为：△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有8 个．29、（2013•荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为80°或50°．30、（2013凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．解答：解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．点评：本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．31、（2013•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为6，4或5，5 ．32、（2013凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：动点型．分析：当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．解答：解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，∴此时点P坐标为（2，4）；（2）如答图②所示，OP=OD=5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，∴此时点P坐标为（3，4）；（3）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．点评：本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．33、（2013•牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm或cm ．==x=cm∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有（）个．35、（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=15 度．36、（2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 6 个，写出其中一个点P的坐标是（5，0）．37、（2013•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为2a ．沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．考点：平行四边形的性质；等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）．分析：如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE．又B′E是BD的中垂线，则DB′=BB′．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，∴BE=BD=1．如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．∴∠BEB′=90°，∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE=．又∵BE=DE，B′E⊥BD，∴DB′=BB′=．故答案是：．点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换（折叠的性质）．推知DB′=BB′是解题的关键．39、（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12 ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．40、(2013年江西省)如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．【答案】25°.【考点解剖】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质．【解题思路】已知两个平行四边形的周长相等，且有公共边CD,则有AD=DE,即△ADE为等腰三角形，顶角∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°,∴∠DAE=25°．【解答过程】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，∴AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°.∴∠DAE=11(180)5025 22ADE︒-∠=⨯︒=︒.【方法规律】先要明确∠DAE的身份（为等腰三角形的底角），要求底角必须知道另一角的度数，分别将∠BAD=130°转化为∠BCD=130°,∠F=110°转化为∠DCF=70°,从而求得∠ADE=∠BCF=130°.【关键词】平行四边形等腰三角形周长求角度41、（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．，即，﹣；的长为43、（2013杭州）（1）先求解下列两题：①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，求k的值．（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．考点：等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：（1）①根据等边对等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，计算即可求解；②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标，再表示出点C的坐标，然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同，从而表示出点D的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解．（2）从数学思想上考虑解答．解答：解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CB D，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，∴点B（3，），∵BC=3，∴点C（3， +2），∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴A（1， +2），∵点A也在反比例函数图象上，∴+2=k，解得，k=3；（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题．44、（13年安徽省4分、14）已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在A，处，给出以下判断：（1）当四边形A，CDF为正方形时，EF=2（2）当EF=2时，四边形A，CDF为正方形（3）当EF=5时，四边形BA，CD为等腰梯形；（4）当四边形BA，CD为等腰梯形时，EF=5。
2021中考数学真题分类专题17 等腰三角形与直角三角形(共42题含解析)
专题17等腰三角形与直角三角形（共42题）一、单选题1．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）．A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形2．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得ABC 是等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，3BD =．若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A 3B 3C ．1D 64．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）下列命题中，假命题是（ ）A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B ．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合C ．若AB BC =，则点B 是线段AC 的中点D ．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心5．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，有以下结论：2sinA sinB sinCa cb R ===（其中R 为ABC 的外接圆半径）成立．在ABC 中，若∠A =75°，∠B =45°，c =4，则ABC 的外接圆面积为（ ）A ．163πB ．643πC ．16πD ．64π 6．（2021·浙江温州市·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+7．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254D ．748．（2021·陕西中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，连接AC 、BD ，则AC BD 的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．339．（2021·安徽中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=︒，过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ，BC 的垂线，交各边于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．33+B ．223+C ．23+D ．123+10．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若120ABC ∠=︒，2AB =，则PE PF -的值为（ ）A ．32B ．3C ．2D ．5211．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在Rt ABC △纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD 的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．20712．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，()8,0A，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,613．（2021·云南中考真题）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（ ） A ．5003 B ．5035 C ．60 D ．8014．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,E F G H M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（ ）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 15．（2021·浙江温州市·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若2AE BE =，则CG BH的值为（ ）A ．32B ．2C ．3107D ．35516．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，15AB =，20BC =，把边AB 沿对角线BD 平移，点'A ，'B 分别对应点A ，B ．给出下列结论：∠顺次连接点'A ，'B ，C ，D 的图形是平行四边形；∠点C 到它关于直线'AA 的对称点的距离为48；∠''A C B C -的最大值为15；∠''A C B C +的最小值为917．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个17．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，点P 是AC 边上一个动点，连接PD ，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（ ）A ．32B ．1C ．2D ．3218．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点P 从点B 出发，沿折线BC CD -方向移动，移动到点D 停止．在ABP △形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）A ．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B ．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C ．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D ．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形二、填空题19．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，70B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，连结AP ，则BAP ∠的度数是_______．20．（2021·四川广安市·中考真题）如图，将三角形纸片ABC 折叠，使点B 、C 都与点A 重合，折痕分别为DE 、FG .已知15ACB ∠=︒，AE EF =，3DE =，则BC 的长为_______．21．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AF EF =．若72CFE ∠=︒，则B ∠=______．22．（2021·浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点），则图中A ∠的度数是_______度．23．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠，若30EBC ∠=︒，10BE =，则ABCD 的面积为________．24．（2021·云南中考真题）已知ABC 的三个顶点都是同一个正方形的顶点，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ．若ABC 的一条边长为6，则点D 到直线AB 的距离为__________．25．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AB BC BD ==．设ABC α∠=，则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．26．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB 剪开，再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒，则OBA∠的度数为______．27．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为6cm，60∠=︒，将该菱形沿AC方向BAD''''，A D''交CD于点E，则点E到AC的距离为____________cm．平移23cm得到四边形A B C D△在同一平面内，点C，D不重合，28．（2021·浙江绍兴市·中考真题）已知ABC与ABD∠=∠=︒，430ABC ABDAB=，22==CD长为_______．AC AD29．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为4，C3，P为AB边上一动点，过点P作C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．30．（2021·浙江丽水市·中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中2FM EM =，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即,AB CD 之间的距离是__________．31．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为'B ，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．32．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形∠的边BC 及四边形∠的边CD 都在x 轴上，“猫”耳尖E 在y 轴上．若“猫”尾巴尖A 的横坐标是1，则“猫”爪尖F 的坐标是___________．33．（2021·江苏宿迁市·中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图，则水深为__尺．三、解答题34．（2021·浙江温州市·中考真题）如图44⨯与66⨯的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形． （2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的5倍，画在图3中．35．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．36．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE ．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数． （2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．37．（2021·四川眉山市·中考真题）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A 处测得该建筑物顶端C 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B 处，测得顶端C 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：2sin 245≈°，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈）38．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知AB DC =，A D ∠=∠，AC 与DB 相交于点O ，求证：OBC OCB ∠=∠．39．（2021·重庆中考真题）在等边ABC 中，6AB =，BD AC ⊥ ，垂足为D ，点E 为AB 边上一点，点F 为直线BD 上一点，连接EF ．图1 图2 图3（1）将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°得到线段EG ，连接FG ．∠如图1，当点E 与点B 重合，且GF 的延长线过点C 时，连接DG ，求线段DG 的长； ∠如图2，点E 不与点A ，B 重合，GF 的延长线交BC 边于点H ，连接EH ，求证：3BE BH BF +=；（2）如图3，当点E 为AB 中点时，点M 为BE 中点，点N 在边AC 上，且2DN NC =，点F 从BD 中点Q 沿射线QD 运动，将线段EF 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EP ，连接FP ，当12NP MP +最小时，直接写出DPN △的面积．40．（2021·浙江中考真题）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,3ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =．（3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．41．（2021·江苏连云港市·中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一点，且1AE =，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图1，求CF 的长；（2）ABC 是边长为3的等边三角形，E 是边AC 上的一个动点，小亮以BE 为边作等边三角形BEF ，如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；（3）ABC 是边长为3的等边三角形，M 是高CD 上的一个动点，小亮以BM 为边作等边三角形BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；（4）正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点作正方形BFGH ，其中点F 、G 都在直线AE 上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．42．（2021·湖北随州市·中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）∠如图1，P 是边长为a 的正ABC 内任意一点，点O 为ABC 的中心，设点P 到ABC 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，连接AP ，BP ，CP ，由等面积法，易知()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△，可得123h h h ++=_____；（结果用含a 的式子表示）∠如图2，P 是边长为a 的正五边形ABCDE 内任意一点，设点P 到五边形ABCDE 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，5h ，参照∠的探索过程，试用含a 的式子表示12345h h h h h ++++的值．（参考数据：8tan 3611≈°，11tan 548≈°）（3）∠如图3，已知O 的半径为2，点A 为O 外一点，4OA =，AB 切O 于点B ，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）∠如图4，现有六边形花坛ABCDEF ，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形ABCDG ，其中点G 在AF 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G 的位置，并说明理由．2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】 专题17等腰三角形与直角三角形 试题解析（共42题）一、单选题1．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）．A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360︒ ∠选项A 不符合题意；正六边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒ ∠每一个内角为7201206︒=︒，即选项B 正确； 三个角均为60︒的三角形是等边三角形 ∠选项C 不符合题意；对角线相等的平行四边形是矩形 ∠选项D 不正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解．2．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得ABC 是等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：∠AB 为等腰直角∠ABC 底边；∠AB 为等腰直角∠ABC 其中的一条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论：∠AB 为等腰直角∠ABC 底边时，符合条件的C 点有0个； ∠AB 为等腰直角∠ABC 其中的一条腰时，符合条件的C 点有3个． 故共有3个点， 故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．3．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，BD =若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A ．33B ．32C ．1D ．62【答案】C 【分析】根据条件可知∠ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，∠ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =2AC。
九年级数学中考复习 等腰三角形中的分类讨论 专题提升训练
九年级数学中考复习《等腰三角形中的分类讨论》专题提升训练（附答案）一．选择题1．一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定2．一个等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角的度数为（）A．40°B．55°C．70°D．40°或70°3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y 轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个4．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（）个．A．6B．8C．10D．125．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（）A．22°50′B．67.5°C．22°50′或67°50′D．22.5°或67.5°6．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，7，则这个等腰三角形的周长为（）A．23B．19.5或23C．9或23D．9或19.5或23二．填空题7．已知（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，则以a，b为两边长的等腰三角形的周长为．8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，5）、（5，1），若点C在x轴上，且A，B，C三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的C点共有个．9．如图，△ABC，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF为等腰三角形，则∠A的度数为．10．等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成了12和18两部分，这个三角形的底边长为．11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝30cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动秒时，P A与△ABC的腰垂直．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连结AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝秒．13．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上的点G处，折痕为OE．在x轴正半轴上存在一点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形，则点P的坐标为．14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝7AD＝7，∠B＝45°，等腰直角三角形EMN中，含45°角的顶点E放在BC边上移动，直角边EM始终经过点A，斜边EN 与CD交于点F，若△ABE为等腰三角形，则CF的长为．三．解答题15．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．16．如图矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′PD为等腰三角形，求AP的长．17．在△ABC中，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交线段BC于点F．（1）如图1，当∠BAC＝90°，DE∥AC时．①AE和BC有怎样的位置关系，为什么？②若BF＝8，EF＝4，求线段AB的长．（2）如图2，若∠C＝3∠B，折叠后要使△DEF和△AFC，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时∠B的度数．18．如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B和点C，点A的坐标为（8，0），点P （x，y）是直线上第一象限内的一个动点．（1）求△OP A的面积S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当△OP A的面积为10时，求点P的坐标；（3）在直线BC上是否存在点M，使以O，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式．（2）E是线段BC上的动点．过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当EF的长度最大时，求E点坐标．（3）点P从点B出发沿BC以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时点Q从点O 出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，点Q到达终点B时，两点同时停止运动连接PQ，当△BPQ是等腰三角形时，请求出运动的时间．20．如图1，点C是半圆AB上一点（不与A、B重合），OD⊥BC交弧BC于点D，交弦BC 于点E，连接AD交BC于点F．（1）如图1，如果AD＝BC，求∠ABC的大小；（2）如图2，如果AF：DF＝3：2，求∠ABC的正弦值；（3）连接OF，⊙O的直径为4，如果△DFO是等腰三角形，求AD的长．参考答案一．选择题1．解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，∵2+2＝4＜5，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，故选：B．2．解：分两种情况：当等腰三角形的一个底角为70°时，另一个底角也是70°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×70°＝40°；当等腰三角形的顶角为70°时，∴等腰三角形的两个底角都＝×（180°﹣70°）＝55°；综上所述：等腰三角形的顶角的度数为40°或70°，故选：D．3．解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；（2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x 轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，因此共有8个符合条件的点．故选：D．4．解：如图：分三种情况：当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交网格线的格点为C1，C2，当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C3，C4，当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为C5，C6，C7，C8，综上所述：使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，故选：B．5．解：分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时，如图：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝67.5°，∴这个等腰三角形的底角为67.5°；当等腰三角形是钝角三角形时，如图：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝135°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝22.5°，∴这个等腰三角形的底角为22.5°；综上所述：这个等腰三角形的底角为22.5°或67.5°，故选：D．6．解：①当3x﹣2是底边时，则腰长为：4x﹣3，7，∴4x﹣3＝7，∴x＝2.5，∴3x﹣2＝5.5，∴等腰三角形的周长＝7+7+5.5＝19.5；②当4x﹣3是底边时，则腰长为：3x﹣2，7，∴3x﹣2＝7，∴x＝3，∴4x﹣3＝9，∴等腰三角形的周长＝7+7+9＝23；③当7是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3，∴3x﹣2＝4x﹣3，∴x＝1，∴3x﹣2＝1，4x﹣3＝1，∵1+1＜7，∴不能构成三角形．则三角形的周长为19.5或23．故选：B．二．填空题7．解：∵（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，∴a＝4，b＝3，分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，∴等腰三角形的周长＝4+4+3＝11；当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，∴等腰三角形的周长＝3+3+4＝10；综上所述：等腰三角形的周长为11或10，故答案为：11或10．8．解：如图：分三种情况：当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交x轴于点C1，C2，当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交x轴于点C3，C4，当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交x轴于点C5，综上所述：若点C在x轴上，且A，B，C三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的C 点共有5个，故答案为：5．9．解：当AE＝AF时，∠AFE＝∠AEF＝（180°﹣∠A），∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，∴∠AFD＝120°，∴（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，∴∠A＝40°，当AF＝EF时，∠AFE＝180°﹣2∠A，则180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，∴∠A＝50°．当AE＝EF时，点F与C重合，不符合题意，综上所述，∠A＝40°或50°，故答案为：40°或50°．10．解：如图：在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，∴AD＝DC＝AC，分两种情况：当时，解得：，∴这个三角形的底边长为14；当时，解得：，∴这个三角形的底边长为6；综上所述：这个三角形的底边长为14或6，故答案为：14或6．11．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，分两种情况：当P A⊥AC时，如图：∴∠CAP＝90°，∴CP＝2AP，∠BAP＝∠BAC﹣∠P AC＝30°，∴∠B＝∠BAP＝30°，∴BP＝AP，∴CP＝2BP，∵BC＝30cm，∴BP＝BC＝10（cm），∴t＝10÷2＝5，∴当P点移动5秒时，P A与△ABC的腰AC垂直；当AP⊥AB时，∴∠BAP＝90°，∴BP＝2AP，∠CAP＝∠BAC﹣∠P AB＝30°，∴∠C＝∠CAP＝30°，∴CP＝AP，∴BP＝2CP，∵BC＝30cm，∴BP＝BC＝20（cm），∴t＝20÷2＝10，∴当P点移动10秒时，P A与△ABC的腰AB垂直；综上所述：当P点移动5或10秒时，P A与△ABC的腰垂直，故答案为：5或10．12．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，由勾股定理得：BC＝＝＝6．当F A＝FB时，DF⊥AB，∴AD＝AB＝×10＝5，∴t＝；当AF＝AB＝10时，∠ACB＝90°，则BF＝2BC＝12，∴AB•DF＝BF•AC，即×10×DF＝×12×8，解得：DF＝，由勾股定理得：AD＝＝＝，∴t＝÷2＝；当BF＝AB＝10时，∵BF＝10，BC＝6，∴CF＝BF﹣BC＝10﹣6＝4，由勾股定理得：AF＝＝＝4，∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，∴DF＝AC＝8，∴AD＝＝＝4，∴t＝4÷2＝2；综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为或或2．故答案为：或或2．13．解：由题意得，C（0，5），N（3，0），∴ON＝3，由折叠得，OG＝OC＝5，∵∠ONG＝90°，∴NG＝＝＝4，∴G（3，4），设P（x，0），当x＜0时，如图4，由OP＝OG＝5，得x＝﹣5，∴P（﹣5，0）；当x＞0时，如图5，PO＝PG＝x，则PN＝x﹣3，∵∠PNG＝90°，∴PG2＝PN2+GN2，∴x2＝（x﹣3）2+42，解得x＝，∴P（，0）；如图6，OP＝OG＝5，∴P（5，0）；如图7，PG＝OG，∵GN⊥PO，∴PN＝ON＝3，∴OP＝6，∴P（6，0）．综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）．故答案为：（﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）．14．解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝7AD＝7，∴BM＝（BC﹣AD）＝（7﹣）＝3，∠C＝∠B＝45°，∵∠B＝45°，∴AB＝BM×＝6，①如图1，AE＝BE时，∵∠B＝45°，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝3，∴CE＝BC﹣BE＝7﹣3＝4，又∵∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CF＝CE＝4；②如图2，AB＝BE时，∵∠B＝45°，∴∠AEB＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠CFE＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE，∵BC＝7，AB＝6，∴CF＝CE＝BC﹣BE＝7﹣6；③如图3，AB＝AE时，∠AEB＝∠B＝45°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝6，∴CE＝BC﹣BE＝7﹣6＝，∴CF＝CE＝×＝2；综上所述，CF的长为4或7﹣6或2．故答案为：4或7﹣6或2．三．解答题15．（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，所以此方程是有实根．（2）①若b＝c，则此方程有两个相等实根，此时k﹣2＝0，则k＝2，原方程为：x2﹣4x+4＝0，x1＝x2＝2，∴另外两边长为2和2，②若a＝c，则a＝1是方程x2﹣（k+2）x+2k＝0的根，∴12﹣（k+2）+2k＝0，∴k＝1，原方程为x2﹣3x+2＝0，x1＝1，x2＝2，因为以1、1、2为边不能构成三角形．由①②得，三角形另外两边长2，2．16．解：设AP＝x，则PD＝4﹣x，∵PE⊥BP，∴翻折后，PE⊥BB’，∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，∴BP＝＝，①若B'P＝PD即BP＝PD，∴＝4﹣x，解得：x＝；②若B'P＝B'D，过B'作B'F⊥AD于F，则PF＝DF＝（4﹣x），又∵B'P＝BP，∠A＝∠B'FP＝90°，∠APB＝∠B'PF，∴△ABP≌△FB'P（AAS），∴AP＝PF，即x＝（4﹣x），解得：x＝；③若PD＝B'D，同②可得△ABP≌△FB'P，∴PF＝AP＝x，B'F＝AB＝2，∴FD＝4﹣2x，PD＝B'D＝4﹣x，在Rt△FB'D中，B'D2＝B'F2+FD2，即（4﹣x）2＝（4﹣2x）2+22，整理，得：3x2﹣8x+4＝0，解得：x＝2或x＝，综上所述，AP的长为或或或2．17．解：①AE垂直BC，理由如下：由折叠可知，∠B＝∠E，∵DE∥AC，∴∠E＝∠EAC，∵∠DFE＝∠AFC，∴∠EDF＝∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠E+∠EDF＝90°，∴∠DFE＝90°，∴AE⊥BC；②设BD＝x，则DF＝8﹣x，由折叠可知，DE＝BD＝x，在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2，∴x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴BD＝5，DF＝3，∵∠B＝∠E，∴tan∠E＝＝，∴AF＝6，在Rt△ABF中，AB＝＝10；（2）∵∠C＝3∠B，∴设∠B＝α，则∠C＝3α，由折叠可知，∠E＝∠B＝α，当∠DFE＝90°时，△DEF是直角三角形，则△AFC是等腰三角形，∴∠C＝45°，∴∠B＝15°；当∠FDE＝90°时，△DFE是直角三角形，则△ACF是等腰三角形，∴∠DFE＝90°﹣α，∴∠AFC＝90°﹣α，当AC＝FC时，2（90°﹣α）+3α＝180°，此时α＝0°，不符合题意，舍去；当AF＝AC时，3α＝90°﹣α，此时α＝22.5°，∴∠B＝22.5°；当AF＝FC时，3α+3α+90°﹣α＝180°，此时α＝18°，∴∠B＝18°；当∠E＝90°时，此时∠B＝90°，∠C＝270°，不成立；当∠C＝90°时，△ACF是直角三角形，此时△DEF不能是等腰三角形，否则AE与BC 边没有交点；当∠AFC＝90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠E＝45°，∴∠B＝45°，此时∠C＝135°，与题意不符合，不成立；当∠F AC＝90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠AFC＝90°﹣3α，∴∠DFE＝90°﹣3α，当DF＝EF时，α+α+90°﹣3α＝180°，此时α＝﹣90°，不成立；当DF＝DE时，90°﹣3α＝α，此时α＝22.5°，∴∠B＝22.5°；当DE＝EF时，90°﹣3α＝（180°﹣α），此时α＝0°，不成立；当DE＝EF时，∠C＝3α＝90时，α＝30°，此时△DEF是等腰三角形，△ACF是直角三角形；综上所述，∠B的值为15°、18°、22.5°、30°．18．解：（1）∵点P在直线y＝﹣x+10上，且点P在第一象限内，∴x＞0且y＞0，即﹣x+10＞0，解得，0＜x＜10，∵点A的坐标为（8，0），∴OA＝8，∴S＝•OA•y＝×8（﹣x+10），即S＝﹣4x+40，自变量的取值范围是：0＜x＜10；（2）当S＝10时，﹣4x+40＝10，解得x＝，把x＝代入y＝﹣x+10，得x＝，∴P（）；（3）存在，理由：令y＝0，则﹣x+10＝0，解得：x＝10，∴点B（10，0），点M在直线y＝﹣x+10上，设M（m，﹣m+10），点O（0，0），B（10，0），当OB＝OM时，102＝m2+（﹣m+10）2，解得：m1＝0，m2＝10（不合题意，舍去），∴M（0，10）；当OB＝BM时，102＝（10﹣m）2+（m﹣10）2，解得：，，∴M（10﹣5，5）或（10+5，﹣5）；当OM＝BM时，m2+（﹣m+10）2＝（10﹣m）2+（m﹣10）2，解得：m＝5，∴M（5，5）；综上所述，M（5，5）或（0，10）或（10﹣5，5）或（10+5，﹣5）．19．解：（1）把A（2，0），B（8，0）代入抛物线y＝ax2+bx+6，得：，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）设直线BC的函数表达式是y＝kx+6，∵直线BC过点B（8，0），∴0＝8k+6，解得，∴直线BC的函数表达式是．设点E的坐标是，∵EF⊥x轴，∴点F的坐标是，∴EF＝（﹣m+6）﹣（m+6）＝﹣3m＝﹣+6，∵﹣＜0，∴当m＝4时，EF取最大值6，此时E点坐标为（4，3）；（3）设运动的时间为t秒，则BP＝OQ＝t，∴BQ＝OB﹣OQ＝8﹣t．①当PQ＝PB时，过点P作PD⊥QB于D，如图，∵点C的坐标是（0，6），点B（8，0），∴OC＝6，OB＝8，∴CB＝＝10．∵PQ＝PB，PD⊥QB，∴BD＝BQ＝（8﹣t）．∵PD⊥OB，OC⊥OB，∴OC∥PD，∴，即，∴；②当QP＝QB时，过Q作QE⊥PB于E，如图，∵QP＝QB，QE⊥PB，∴BE＝BP＝t，∵∠EBQ＝∠OBC，∠BEQ＝∠BOC＝90°，∴△BEQ∽△BOC，∴，∴，∴；③当PB＝QB时，如图，则8﹣t＝t，解得：t＝4．综上所述，当t的值为4或或时，△PBQ为等腰三角形．20．解：（1）连接OC，如图，∵AD＝BC，∴，∴∠AOD＝∠BOC．∴∠AOC＝∠BOD．∵OD⊥BC，∴∠COD＝∠BOD，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD．∵∠COD+∠BOD+∠AOC＝180°∴∠AOC＝60°．∴∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）连接AC，如图，∵OD⊥BC，∴E是BC中点，∵OA＝OB，∴OE∥AC，AC＝2OE，∵AF：DF＝3：2，∴AC：DE＝AF：DF＝3：2．设AC＝3x，则DE＝2x，∴OE＝x，∴OD＝OB＝x．∴sin∠ABC＝OE：OB＝；（3）①当DF＝OF时，如图，∵FE⊥DO，∴DE＝OE＝OD＝1，∴AC＝2OE＝2，BE＝＝．∴CE＝BE＝．∴BC＝2BE＝2．∵OD∥AC，∴CF：EF＝AC：DE＝AF：DF＝2：1．∴EF＝CE＝．∴DF＝＝，∴AF＝2DF＝．∴AD＝AF+DF＝2；②当DF＝OD＝2时，如图，设OE＝x，则DE＝2﹣x，AC＝2x，∵OD∥AC，∴DF：AF＝DE：AC，∴AF＝．∴AD＝．过点O作OH⊥AD于H，则AD＝2DH．在△DHO和△DEF中，，∴△DHO≌△DEF（AAS）．∴DH＝DE，∴AD＝2DE，∴．解得：或（舍去），∴AD＝2DE＝﹣1．综上所述，AD长或2．。
九年级数学全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题22 等腰三角形(含解析)
等腰三角形一.选择题1. 1.（2019•浙江衢州•3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。
借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。
这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（）A. 60°B. 65°C. 75°D. 8 0°【答案】D【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵OC=CD=DE，∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，∴∠DCE=∠DEC=2x，∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，∵∠BDE=75°，∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，即x+180°-4x+75°=180°，解得：x=25°，∠CDE=180°-4x=80°.故答案为：D.【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可的求得x值，再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.2. （2019•湖南长沙•3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝60°，由中垂线性质知DA＝DB，即∠DAB＝∠B ＝30°，从而得出答案．【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，故选：B．【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．3. （2019•湖南长沙•3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（）A．2B．4C．5D．10【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE＝90°，∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH＝＝＝，∴DH＝BD，∴CD+BD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值为4．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．4. （2019•湖南怀化•4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C.既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．5. （2019•湖南邵阳•3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）A．120°B．108°C．72°D．36°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＝90°﹣∠B＝54°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝BD＝CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC ＝∠C＝54°，利用三角形内角和定理求出∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．再根据折叠的性质得出∠ADF＝∠ADC＝72°，然后根据三角形外角的性质得出∠BED＝∠BAD+∠ADF＝108°．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝36°，∴∠C＝90°﹣∠B＝54°．∵AD是斜边BC上的中线，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠B＝36°，∠DAC＝∠C＝54°，∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠C＝72°．∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∴∠ADF＝∠ADC＝72°，∴∠BED＝∠BAD+∠ADF＝36°+72°＝108°．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．6. （2019•湖南岳阳•3分）下列命题是假命题的是（）A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B．同角（或等角）的余角相等C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【分析】由平行四边形的性质得出A是假命题；由同角（或等角）的余角相等，得出B是真命题；由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C.D是真命题，即可得出答案．【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；B．同角（或等角）的余角相等；真命题；C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；故选：A．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10.二.填空题1. （2019•湖南怀化•4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为36°．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36°，故答案为：36°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2. （2019•湖南邵阳•3分）如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．【分析】作BH⊥y轴于H，如图，利用等边三角形的性质得到OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，再计算出BH，从而得到B点坐标为（2，2），然后根据关于原点对称的点的坐标特征求出点B′的坐标．【解答】解：作BH⊥y轴于H，如图，∵△OAB为等边三角形，∴OH＝AH＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝OH＝2，∴B点坐标为（2，2），∵等边△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等边三角形的性质．3. （2019•湖北天门•3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6m，则旗杆AB的高度为14.4m．【分析】作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，得出BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，求出∠ADC＝120°，证出∠CAD＝30°＝∠ACD，得出AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，由直角三角形的性质得出AE＝AD＝4.8m，即可得出答案．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图所示：则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°+30°＝120°，∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝9.6m，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8m，∴AB＝AE+BE＝4.8m+9.6m＝14.4m；故答案为：14.4．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定；正确作出辅助线是解题的关键．4(2019，四川成都，4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已知点A 的坐标为（5，0），点B 在x 轴的上方，△OAB 的面积为215，则△OAB 内部（不含边界）的整点的个数为.【解析】此题考查了三角形最值问题如图，已知OA =3，要使△AOB 的面积为215，则△OAB 的高度应为3（如图），当B 点在3 y 这条线段上移动时，点2B 处是以OA 为底的等腰三角形是包含的整点最多，在距离2B 的无穷远处始终会有4个整点，故整点个数有4个5.（2019▪贵州毕节▪5分）如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接A D ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为 34° ．【分析】根据三角形的内角和得出∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝104°，根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD ＝∠ADB ＝（180°﹣∠B ）÷2＝70°，进而根据角的和差得出∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝34°．【解答】解：∵∠B ＝40°，∠C ＝36°， ∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝104° ∵AB ＝BD∴∠BAD ＝∠ADB ＝（180°﹣∠B ）÷2＝70°， ∴∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝34°故答案为：34°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．6. （2019•南京•2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠AC B．若AD＝2，BD＝3，则AC的长．【分析】作AM⊥BC于E，由角平分线的性质得出＝＝，设AC＝2x，则BC＝3x，由线段垂直平分线得出MN⊥BC，BN＝CN＝x，得出MN∥AE，得出＝＝，NE＝x，BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．【解答】解：作AM⊥BC于E，如图所示：∵CD平分∠ACB，∴＝＝，设AC＝2x，则BC＝3x，∵MN是BC的垂直平分线，∴MN⊥BC，BN＝CN＝x，∴MN∥AE，∴＝＝，∴NE＝x，∴BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，即52﹣（x）2＝（2x）2﹣（x）2，解得：x＝，∴AC＝2x ＝；故答案为：．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．7. （2019•江苏苏州•3分）如图，一块含有45︒角的直角三角板，外框的一条直角边长为10cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm，则图中阴影部分的面积为_______cm（结果保留根号）【解答】14162+【解析】如右图：过顶点A作AB⊥大直角三角形底边由题意：2,2CD AC==∴()5222CD=-+=422-∴()()22=52422S--阴影=14162=+8.（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接B D.CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为2．D【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，可得∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4，通过证明△EDF是等边三角形，可得DE＝EF＝DF＝2，由勾股定理可求OC，BC的长．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4∵CE∥AB∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°∴∠DAO＝∠ACE＝30°∴AE＝CE＝6∴DE＝AD﹣AE＝2∵∠CED＝∠ADB＝60°∴△EDF是等边三角形∴DE＝EF＝DF＝2∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2∴OC＝＝2∴BC＝＝2【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．9. （2019•湖北武汉•3分）如图，在▱ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为21°．【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE ＝AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，得出方程，解方程即可．【解答】解：设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，∴∠DCE＝∠DEC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCA＝x，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，∴2x＝63°﹣x，解得：x＝21°，即∠ADE＝21°；故答案为：21°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．10. （2019•湖北武汉•3分）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：P A+PC＝PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是2．【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形求得证得AG＝AP，得出△AGP是等边三角形，得出∠AGC＝60°＝∠APG，即可求得∠APE＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝P A，连接EF，证得△ACE是等边三角形，得出AE＝EC＝AC，然后通过证得△APE≌△ECF（SAS），得出PE＝PF，即可证得结论；（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D.E.O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值．【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，在△ABG和△ADP中，∴△ABG≌△ADP（SAS），∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP，∵∠GAP＝∠BAD＝60°，∴△AGP是等边三角形，∴∠AGC＝60°＝∠APG，∴∠APE＝60°，∴∠EPC＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝P A，连接EF，∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，∴∠EAC＝60°，∠EPC＝60°，∵AE＝AC，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝EC＝AC，∵∠P AE+∠APE+∠AEP＝180°，∠ECF+∠ACE+∠ACB＝180°，∠ACE＝∠APE＝60°，∠AED＝∠ACB，∴∠P AE＝∠ECF，在△APE和△ECF中∴△APE≌△ECF（SAS），∴PE＝PF，∴P A+PC＝PE；（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．∵△MGD和△OME是等边三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴当D.E.O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵MG＝．∴MF＝DF＝4，∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，∴ND＝＝＝2，∴MO+NO+GO最小值为2，故答案为2，【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．11. （2019•甘肃武威•4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．12 ( 2019甘肃省兰州市) （5分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝400，则∠B＝___________. 【答案】700．【考点】等腰三角形性质.【考察能力】空间想象能力.【难度】容易【解析】∵AB＝AC，∠A＝400，∴∠B＝∠C＝700.13 (2019甘肃省陇南市)（4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝或．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．三.解答题1. （2019•湖北十堰•8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为C延长线上一点，且∠CDE＝∠BA C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ADC＝90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可；（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC，∵∠CDE＝∠BA C．∴∠CDE＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵∠ADO+∠ODC＝90°，∴∠ODC+∠CDE＝90°∴∠ODE＝90°又∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝3BD，∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，∴AD＝＝2x，∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，∴△CDE∽△DAE，∴＝，即＝＝∴DE＝4，x＝，∴AC＝3x＝14，∴⊙O的半径为7．【点评】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．2. （2019•湖北十堰•12分）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P的个数．【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．（2）可能．分三种情形①当DE＝DF时，②当DE＝EF时，③当DF＝EF时，分别求解即可．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，P B．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．【解答】解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△AEF∽△BCE∴＝＝，∴EB＝AD＝，答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，P B．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，∵﹣＜0，∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，∵＝m，∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．3 （2019•湖南长沙•10分）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．【分析】（1）令y＝0，可得ax（x+6）＝0，则A点坐标可求出；（2）①连接PC，连接PB延长交x轴于点M，由切线的性质可证得∠ECD＝∠COE，则CE＝DE；②设OE＝m，由CE2＝OE•AE，可得，由∠CAE＝∠OBE可得，则，综合整理代入可求出的值．【解答】解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①证明：如图，连接PC，连接PB延长交x轴于点M，∵⊙P过O、A.B三点，B为顶点，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BOM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE为切线，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDP＝∠CDE，∴∠ECD＝∠COE，∴CE＝DE．②解：设OE＝m，即E（m，0），由切割线定理得：CE2＝OE•AE，∴（m﹣t）2＝m•（m+6），∴①，∵∠CAE＝∠CBD，∠CAE＝∠OBE，∠CBO＝∠EBO，由角平分线定理：，即：，∴②，由①②得，整理得：t2+18t+36＝0，∴t2＝﹣18t﹣36，∴．【点评】本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、切割线定理等知识．把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键．4 （2019•甘肃武威•10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝∠B＝30°，求得∠ADC＝60°，根据三角形的内角和得到∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，于是得到AC是⊙D的切线；（2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE＝DE，∠AED＝60°，求得∠EAC ＝∠AED﹣∠C＝30°，得到AE＝CE＝2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5. （2019•广西贵港•10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D ⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．①写出旋转角α的度数；②求证：EA′+EC＝EF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接P A，PF，若AB ＝，求线段P A+PF的最小值．（结果保留根号）【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．首先证明△CF A′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF＝EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF＝PB′，推出P A+PF＝P A+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．数学【解答】（1）①解：旋转角为105°．理由：如图1中，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝90°，∵∠CA′D＝15°，∴∠A′CD＝75°，∴∠ACA′＝105°，∴旋转角为105°．②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，∴∠CEA′＝120°，∵FE平分∠CEA′，∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，∴△FOC∽△A′OE，∴＝，∴＝，∵∠COE＝∠FOA′，∴△COE∽△FOA′，∴∠F A′O＝∠OEC＝60°，∴△A′OF是等边三角形，∴CF＝CA′＝A′F，∵EM＝EC，∠CEM＝60°，∴△CEM是等边三角形，∠ECM＝60°，CM＝CE，∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，∴∠FCM＝∠A′CE，∴△FCM≌△A′CE（SAS），∴FM＝A′E，∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，∴△A′EF≌△A′EB′，∴EF＝EB′，∴B′，F关于A′E对称，∴PF＝PB′，∴P A+PF＝P A+PB′≥AB′，在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，∴B′M＝CB′＝1，CM＝，∴AB′＝＝＝．∴P A+PF的最小值为．【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．6. （2019•湖北天门•10分）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，D C．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：AB+AC＝AD；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5，BD＝4，求的值．【分析】（1）在AD上截取AE＝AB，连接BE，由条件可知△ABE和△BCD都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得DE＝AC，则AB+AC＝AD；（2）延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，证明△MBD≌△ACD，可得MD＝AD，证得AB+AC＝；（3）延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，证明△NBD≌△ACD，可得ND＝AD，∠N＝∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，可由AN＝AB+AC，求出的值．【解答】解：（1）如图①在AD上截取AE＝AB，连接BE，∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠DBE＝∠ABC，AB＝BE，BC＝BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE＝AC，∴AD＝AE+DE＝AB+AC；故答案为：AB+AC＝A D．（2）AB+AC＝A D．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM＝AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD＝45°，∴BD＝CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，∴MD⊥A D．∴AM＝，即AB+BM＝，∴AB+AC＝；（3）如图③，延长AB至点N，使BN＝AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD＝∠ACD，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝5，BD＝4，∴＝．【点评】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题．7. （2019•湖北武汉•8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD的顶点在格点上，点E是边DC与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．（1）如图1，过点A画线段AF，使AF∥DC，且AF＝D C．（2）如图1，在边AB上画一点G，使∠AGD＝∠BG C．（3）如图2，过点E画线段EM，使EM∥AB，且EM＝A B．【分析】（1）作平行四边形AFCD即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和对顶角的性质即可得到结论；（3）作平行四边形AEMB即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示，线段AF即为所求；（2）如图所示，点G即为所求；（3）如图所示，线段EM即为所求．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，平行线四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出图形是解题的关键．8 （2019•湖北孝感•8分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．【分析】由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．【解答】证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，数学在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．9 （2019•湖南衡阳•12分）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题．（3）证明DE＝AC即可解决问题．（4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），数学∴t＝3，∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴P A＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝＝3，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3﹣3，∴AB′的最小值为3﹣3．【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
中考数学试题分类等腰三角形
第23章 等腰三角形一、选择题1. 2011浙江省舟山,7,3分如图,边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,则四边形BCED 的面积为 A 32B 33C 34D 36答案B2. 2011四川南充市,10,3分如图,⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形,点B,C,D 在一条直线上,点M 是AE 的中点,下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是 A1个 B2个 C3个 D4个MEDCBA答案D3. 2011浙江义乌,10,3分如图,△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠BAC =∠DAE =90°,四边形ACDE 是平行四边形,连结CE 交AD 于点F ,连结BD 交 CE 于点G ,连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ； 一定正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个ABCDEF G 第7题A BCD E答案D4. 2011台湾全区,30如图十三,ΔABC 中,以B 为圆心,BC 长为半径画弧,分别交AC 、AB于D 、E 两点,并连接BD 、DE ．若∠A =30°,AB ＝AC ,则∠BDE 的度数为何A ． 45B ． 52．5C ． 67．5D ． 75 答案Ｃ5. 2011台湾全区,34如图十六,有两全等的正三角形ABC 、DEF ,且D 、A 分别为△ABC 、△DEF 的重心．固定D 点,将△DEF 逆时针旋转,使得A 落在DE 上,如图十七所示．求图十六与图十七中,两个三角形重迭区域的面积比为何A ．2：1B ． 3：2C ． 4：3D ． 5：4 答案Ｃ6. 2011山东济宁,3,3分如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm,那么此三角形的周长是 A ．15cm B ．16cmC ．17cmD ．16cm 或17cm 答案D7. 2011四川凉山州,8,4分如图,在ABC △中,13AB AC ==,10BC =,点D 为BC 的中点,DE DE AB ⊥,垂足为点E ,则DE 等于 A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513答案C二、填空题1. 2011山东滨州,15,4分边长为6cm的等边三角形中,其一边上高的长度为________.答案33cm2. 2011山东烟台,14,4分等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为.答案4或63. 2011浙江杭州,16,4在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC＝1,过点C作直线l∥AB,F是l上的一点,且AB＝AF,则点F到直线BC的距离为．答案3131 22 +-或4. 2011浙江台州,14,5分已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点Bˊ处,DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F,G,若∠ADF=80o ,则∠EGC的度数为答案80o5. 2011浙江省嘉兴,14,5分如图,在△ABC中,AB=AC,︒=∠40A,则△ABC的外角∠BCD＝°．答案1106. 2011湖南邵阳,11,3分如图四所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A=_______;答案80°;提示：∠A=180°-2×50°=80°;7. 2011山东济宁,15,3分如图,等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两个动点,且总使AD=BE,AE与CD交于点F,AG⊥CD于点G,则FGAF=．第14题ABC D答案128. 2011湖南怀化,13,3分如图6,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC 的角平分线交BC 边于点D,AB=5,BC=6,则AD=__________________.答案49. 2011四川乐山16,3分如图,已知∠AOB=α,在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1,连结A 1B 1,在B 1A 1、B 1B 上分别取点A2、B2,使B 1 B2= B1A2,连结A2B2…按此规律上去,记∠A2B 1B 2=1θ,∠3232A B B θ=,…,∠n+11A n n n B B θ+= 则⑴1θ= ； ⑵n θ= ;答案⑴2180α+︒ ⑵()nn 218012α+︒⋅- 10．2011湖南邵阳,11,3分如图四所示,在△ABC 中,AB=AC,∠B=50°,则∠A=_______;GFE CBA第15题D答案80°;11. 2011贵州贵阳,15,4分如图,已知等腰Rt△ABC的直角边长为1,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推直到第五个等腰Rt△AFG,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．第15题图答案错误!12. 2011广东茂名,14,3分如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG＝CD,DF＝DE,则∠E＝度．答案15三、解答题1.2011广东东莞,21,9分如图1,△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=EF=9,∠BAC＝∠DEF＝90°,固定△ABC,将△EFD绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE、DF或它们的延长线分别交BC或它的延长线于G、H点,如图2.1问：始终与△AGC相似的三角形有及；2设CG＝x,BH＝y,求y关于x的函数关系式只要求根据2的情况说明理由；3问：当x为何值时,△AGH是等腰三角形解1△HGA 及△HAB ； 2由1可知△AGC ∽△HAB∴CG ACAB BH=,即99x y =, 所以,81y x =3当CG ＜12BC 时,∠GAC=∠H ＜∠HAC,∴AC ＜CH∵AG ＜AC,∴AG ＜GH 又AH ＞AG,AH ＞GH此时,△AGH 不可能是等腰三角形；当CG=12BC 时,G 为BC 的中点,H 与C 重合,△AGH 是等腰三角形； 此时922即922当CG ＞12BC 时,由1可知△AGC ∽△HGA所以,若△AGH 必是等腰三角形,只可能存在AG=AH 若AG=AH,则AC=CG,此时x=9 综上,当x=9922,△AGH 是等腰三角形． 2. 2011山东德州19,8分如图 AB =AC ,CD ⊥AB 于D ,BE ⊥AC 于E ,BE 与CD 相交于点O ． 1求证AD =AE ；2 连接OA ,BC ,试判断直线OA ,BC 的关系并说明理由．ACEDO答案1证明：在△ACD 与△ABE 中, ∵∠A =∠A ,∠ADC =∠AEB =90°,AB =AC , ∴ △ACD ≌△ABE ．…………………… 3分 ∴ AD=AE ． ……………………4分 2 互相垂直 ……………………5分 在Rt △ADO 与△AEO 中, ∵OA=OA,AD=AE ,∴ △ADO ≌△AEO ． ……………………………………6分 ∴ ∠DAO =∠EAO ．即OA 是∠BAC 的平分线． ………………………………………7分 又∵AB =AC ,∴ OA ⊥BC ． ………………………………………8分3. 2011山东日照,23,10分如图,已知点D 为等腰直角△ABC 内一点,∠CAD ＝∠CBD ＝15°,E 为AD 延长线上的一点,且CE ＝CA ．1求证：DE 平分∠BDC ； 2若点M 在DE 上,且DC=DM , 求证： ME=BD ．答案1在等腰直角△ABC 中, ∵∠CAD =∠CBD =15o , ∴∠BAD =∠ABD =45o -15o =30o , ∴BD=AD ,∴△BDC ≌△ADC , ∴∠DCA =∠DCB =45o ．由∠BDM =∠ABD+∠BAD =30o +30o =60o , ∠EDC=∠DAC +∠DCA =15o +45o =60o , ∴∠BDM =∠EDC , ∴DE 平分∠BDC ； 2如图,连接MC ,∵DC=DM ,且∠MDC =60°,∴△MDC 是等边三角形,即CM=CD ． 又∵∠EMC =180°-∠DMC =180°-60°=120°, ∠ADC =180°-∠MDC =180°-60°=120°,ABEDO∴∠EMC =∠ADC ． 又∵CE=CA ,∴∠DAC =∠CEM =15°,∴△ADC ≌△EMC ,∴ME=AD=DB ．4. 2011湖北鄂州,18,7分如图,在等腰三角形ABC 中,∠ABC=90°,D 为AC 边上中点,过D 点作DE ⊥DF,交AB 于E,交BC 于F,若AE=4,FC=3,求EF 长．答案连结BD,证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD,求得EF=55. 2011浙江衢州,23,10分ABC ∆是一张等腰直角三角形纸板,Rt 2C AC BC ∠=∠==，.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法如图1,比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大请说明理由.图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得的正方形面积为1S ；按照甲种剪法,在余下的ADE BDF ∆∆和中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为2S 如图2,则2=S ；再在余下的四个三角形中,用同样的方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形的面积和为3S 如图3；继续操作下去…则第10次剪取时,10S = .求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积和.第23题第23题图1PN DEB CBQM第18题图BAEDF C答案1解法1：如图甲,由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙,设MN x =,则由题意,得,AM MQ PN NB MN x =====238(39PNMQ x x S ∴==∴==正方形解得又819>∴甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点D 、E 、F 分别为AB AC BC 、、的中点,112ABCCFDE S S ==正方形解法2：如图甲,由题意得AE DE EC ==，即EC=1如图乙,设,MN x AM MQ QP PN NB MN x =======则由题意得332213x x EC MN ∴==>>解得又即∴甲种剪法所得的正方形的面积更大2212S =310912S =3解法1：探索规律可知：112n n S -=‘ 剩余三角形的面积和为：()12109911112212422S S S ⎛⎫-+++=-++++= ⎪⎝⎭ 解法2：由题意可知,第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=S S -第二次剪取后剩余三角形面积和为12211122S S S -=-== 第三次剪取后剩余三角形面积和为233111244S S S -=-==…第十次剪取后剩余三角形面积和为9101091=2S S S -=6. 2011浙江绍兴,23,12分数学课上,李老师出示了如下框中的题目.A小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答： 1特殊情况,探索结论当点E 为AB 的中点时,如图1,确定线段AE 与DB 的大小关系,请你直接写出结论：AE DB 填“>”,“<”或“=”.CDD2特例启发,解答题目解：题目中,AE 与DB 的大小关系是：AE DB 填“>”,“<”或“=”.理由如下：如图2,过点E 作//EF BC ,交AC 于点F . 请你完成以下解答过程 3拓展结论,设计新题在等边三角形ABC 中,点E 在直线AB 上,点D 在直线BC 上,且ED EC =.若ABC ∆的边长为1,2AE =,求CD 的长请你直接写出结果.答案1= . 2=.方法一：如图,等边三角形ABC 中,D60,ABC ACB BAC AB BC AC ∠=∠=∠=︒==， //,EF BC60,AEF AFE BAC ∴∠=∠=︒=∠AEF ∴∆是等边三角形,,AE AF EF ∴==,,AB AE AC AF BE CF ∴-=-=即又60ABC EDB BED ∠=∠+∠=︒，60ACB ECB FCE ∠=∠+∠=︒.,,,,,.ED EC EDB ECB BED FCE DBE EFC DB EF AE BD =∴∠=∠∴∠=∠∴∆≅∆∴=∴= 方法二：在等边三角形ABC 中,60120,,,,,,//,60,180120,,ABC ACB ABD ABC EDB BED ACB ECB ACE ED EC EDB ECB BED ACE FE BC AEF AFE BAC AEF EFC ACB ABD EFC DBE DB EF ∠=∠=︒∠=︒∠=∠+∠∠=∠+∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=︒=∠∴∆∠=︒-∠=︒=∠∴∆≅∆∴=，是正三角形，而由AEF ∆是正三角形可得.EF AE = .AE DB ∴= 31或3.7. 2011浙江台州,23,12分如图1,过△ABC 的顶点A 分别做对边BC 上的高AD 和中线AE,点D 是垂足,点E 是BC 中点,规定BEDEA =λ;特别的,当点D 重合时,规定0=A λ;另外;对B λ、c λ作类似的规定;1如图2,已知在Rt △ABC 中,∠A=30o,求A λ、c λ；2在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上,画一个△ABC,使其顶点在格点格点即每个小正方形的顶点上,且2=A λ,面积也为2；3判断下列三个命题的真假;真命题打√,假命题打× ① 若△ABC 中,1<A λ,则△ABC 为锐角三角形； ② 若△ABC 中,1=A λ,则△ABC 为直角三角形； ③ 若△ABC 中,1>A λ,则△ABC 为钝角三角形； 答案解:1如图,作CD ⊥AB,垂足为D,作中线CE 、AF;∴BFCFA =λ=1 ∵ Rt △ABC 中,∠CAB=30o, ∴ AE=CE=BE ,∠CEB=60o, ∴△CEB 是正三角形,∵ CD ⊥AB ∴ AE=2DE∴AE DE c =λ=21； ∴A λ=1,c λ=21； 2如图所示：3①×；②√；③√;8. 2011浙江义乌,23,10分如图1,在等边△ABC 中,点D 是边AC 的中点,点P 是线段DC 上的动点点P 与点C 不重合,连结BP . 将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角0°＜α＜180°,得到△A 1B 1P ,连结AA 1,射线AA 1分别交射线PB 、射线B 1B 于点E 、F .1 如图1,当0°＜α＜60°时,在α角变化过程中,△BE F 与△AEP 始终存在 ▲ 关系填“相似”或“全等”,并说明理由；2如图2,设∠ABP =β . 当60°＜α＜180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF 与△AEP 全等若存在,求出α与β之间的数量关系；若不存在,请说明理由；3如图3,当α=60°时,点E 、F 与点B 重合. 已知AB =4,设DP =x ,△A 1BB 1的面积为S ,求S 关于x 的函数关系答案1 相似由题意得：∠APA 1=∠BPB 1=α AP = A 1P BP =B 1P则 ∠PAA 1 =∠PBB 1 =2902180αα-=-∵∠PBB 1 =∠EBF ∴∠PAE =∠EBF又∵∠BEF =∠AEP∴△BE F ∽△AEP 2存在,理由如下：易得：△BE F ∽△AEP若要使得△BEF ≌△AEP ,只需要满足BE =AE 即可 ∴∠BAE =∠ABE∵∠BAC =60° ∴∠BAE =30229060-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--αα ∵∠ABE =β ∠BAE =∠ABE ∴βα=- 302即α=2β+60°3连结BD ,交A 1B 1于点G ,过点A 1作A 1H ⊥AC 于点H .1图1图2图3111∵∠B 1 A 1P =∠A 1PA =60° ∴A 1B 1∥AC由题意得：AP= A 1 P ∠A =60° ∴△PAA 1是等边三角形∴A 1H=)2(23x +在Rt △ABD 中,BD =32∴BG =x x 233)2(2332-=+-∴x x S BB A 33223342111-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=∆ 0≤x ＜29. 2011广东株洲,20,6分如图, △ABC 中,AB=AC,∠A=36°,AC 的垂直平分线交AB 于E,D 为垂足,连结EC ． 1求∠ECD 的度数； 2若CE=5,求BC 长．答案1解法一：∵DE 垂直平分AC,∴CE=AE,∠ECD =∠A=36°. 解法二：∵DE 垂直平分AC ,∴AD=CD,∠ADE=∠CDE=90°, 又∵DE =DE,∴△AD E ≌△CDE,∠ECD=∠A=36°. 2解法一：∵AB=AC,∠A=36°,∴∠B=∠ACB=72°, ∵∠ECD=36°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°, ∠BEC=72°=∠B, ∴ BC=EC=5.解法二：∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠B=∠ACB=72°,∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°, ∴∠BEC=∠B, ∴BC=EC=5.10．2011重庆綦江,24,10分如图,等边△ABC 中,AO 是∠BAC 的角平分线,D 为AO 上一点,以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ,连结BE . 1 求证：△ACD ≌△BCE ；2 延长BE 至Q, P 为BQ 上一点,连结CP 、CQ 使CP ＝CQ ＝5, 若BC ＝8时,求PQ 的长.答案：1证明ABC 和△CDE 均为等边三角形, ∴AC ＝BC , CD ＝CE 且∠ACB ＝∠DCE ＝60°∵∠ACD ＋∠DCB ＝∠DCB ＋∠BCE ＝60° ∴∠ACD ＝∠BCE ∴△ACD ≌△BCE2解：作CH ⊥BQ 交BQ 于H, 则PQ ＝2HQ在Rt △BHC 中 ,由已知和1得∠CBH ＝∠CAO ＝30°,∴ CH ＝4在Rt △CHQ 中,HQ ＝3452222=-=-CHCQ∴PQ ＝2HQ ＝611. 2011江苏扬州,23,10分已知：如图,锐角△ABC 的两条高BD 、CE 相交于点O,且OB=OC, 1求证：△ABC 是等腰三角形；2判断点O 是否在∠B AC 的角平分线上,并说明理由;答案1证明：∵OB=OC ∴∠OBC=∠OCB∵BD、CE是两条高∴∠BDC=∠CEB=90°又∵BC=CB ∴△BDC≌△CEBAAS∴∠DBC=∠ECB ∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形;2点O是在∠BAC的角平分线上;连结AO.∵△BDC≌△CEB ∴DC=EB,∵OB=OC ∴ OD=OE又∵∠BDC=∠CEB=90°AO=AO∴△ADO≌△AEOHL∴∠DAO=∠EAO∴点O是在∠BAC的角平分线上;12. 2011广东省,21,9分如图1,△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=EF=9,∠BAC＝∠DEF＝90°,固定△ABC,将△EFD绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE、DF或它们的延长线分别交BC或它的延长线于G、H点,如图2.1问：始终与△AGC相似的三角形有及；2设CG＝x,BH＝y,求y关于x的函数关系式只要求根据2的情况说明理由；3问：当x为何值时,△AGH是等腰三角形解1△HGA 及△HAB ； 2由1可知△AGC ∽△HAB∴CG ACAB BH=,即99x y =, 所以,81y x =3当CG ＜12BC 时,∠GAC=∠H ＜∠HAC,∴AC ＜CH∵AG ＜AC,∴AG ＜GH 又AH ＞AG,AH ＞GH此时,△AGH 不可能是等腰三角形；当CG=12BC 时,G 为BC 的中点,H 与C 重合,△AGH 是等腰三角形； 此时922即922当CG ＞12BC 时,由1可知△AGC ∽△HGA所以,若△AGH 必是等腰三角形,只可能存在AG=AH 若AG=AH,则AC=CG,此时x=9 综上,当x=9922,△AGH 是等腰三角形． 13. 2011湖北黄冈,18,7分如图,在等腰三角形ABC 中,∠ABC=90°,D 为AC 边上中点,过D 点作DE ⊥DF,交AB 于E,交BC 于F,若AE=4,FC=3,求EF 长．答案连结BD,证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD,求得EF=5第18题图BAEDF C14. 2011湖北襄阳,21,6分如图6,点D ,E 在△ABC 的边BC 上,连接AD ,AE . ①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE .以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①. 1以上三个命题是真命题的为直接作答 ； 2请选择一个真命题进行证明先写出所选命题,然后证明.答案1①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①. ············································ 3分 2略 6分15. 2011山东泰安,29 ,10分已知：在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =900,点D 是AB 的中点,点E 是AB 边上一点; 1直线BF 垂直于CE 于点F ,交CD 于点G 如图①,求证：AE =CG ；2直线AH 垂直于CE 于,垂足为H,交CD 的延长线于点M 如图②,找出图中与BE 相等的线段,并说明;答案1证明：∵点D 是AB 中点,AC=BC,∠ACB =900 ∴CD ⊥AB ,∠ACD =∠BCD =450 ∠CAD =∠CBD =450 ∴∠CAE =∠BCG 又BF ⊥CE∴∠CBG +∠BCG =900 又∠ACE +∠BCF =900 ∴∠ACE =∠C BGE DCB A图6∴△AEC≌△CGB∴AE=CG2BE=CM证明：∵CH⊥HM,CD⊥ED∴∠CMA+∠MCH=900∠BEC+∠MCH=900∴∠CMA=∠BEC又,AC=BC,∠A CM=∠CBE=450∴△BCE≌△CAM∴BE=CM。
中考数学专题复习试题分类汇编三等腰三角形和直角三角形
中考数学专题复习试题分类汇编三等腰三角形和直角三角形学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC AB⊥；①作BAC∠的平分线AD；①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；①过点E作EP AB⊥于点P，则:AP AB=（）A．1:5B．1:2C．1:3D．1:22．如图，在ABC中，45,60,B C AD BC∠=︒∠=︒⊥于点D，3BD=．若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（）A．33B．32C．1D．623．如图，在Rt ABC△纸片中，90,4,3ACB AC BC∠=︒==，点,D E分别在,AB AC 上，连结DE，将ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD 平分EFB∠，则AD的长为（）252515204．如图，正三角形ABC的边长为3，将①ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到①A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（）A．23B．334C．332D．35．如图，在Rt①ABC中，①ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（）A．2B．2.5C．3D．46．①BDE和①FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．①ABC的周长B．①AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长7．如图，等腰直角三角形ABC中，①ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH①CP交CP的延长线于点H，连结AP，则①P AH的度数（）B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小8．已知直线m n，将一块含45︒角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n交于点D.若125∠=︒，则2∠的度数为（）A．60︒B．65︒C．70︒D．75︒9．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC CD DE==，点D，E可在槽中滑动，若75BDE∠=︒，则CDE∠的度数是（）A．60°B．65°C．75°D．80°10．在ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则（）A．必有一个角等于30B．必有一个角等于45︒C．必有一个角等于60︒D．必有一个角等于90︒评卷人得分二、填空题11．如图，在①ABC中，①ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则①AFH的周长为_____．12．如图，在ABC中，AB AC=，70B∠=︒，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则BAP∠的度数是_______．13．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____ ．评卷人得分三、解答题14．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝102（1）求证：①ABC①①ADC；（2）当①BCA＝45°时，求①BAD的度数．15．问题：如图，在①ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作①AEC，使EA＝EC，若①BAE＝90°，①B＝45°，求①DAC的度数．答案：①DAC＝45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“①B＝45°”去掉，其余条件不变，那么①DAC的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“①B＝45°”去掉，再将“①BAE＝90°”改为“①BAE＝n°”，其余条件不变，求①DAC的度数．16．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，①B＝①DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB①DE．（1）求证：△ABC①①DCE；（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．17．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂长AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，30AD =，10DM =.（1）在旋转过程中：①当,,A D M 三点在同一直线上时，求AM 的长；②当,,A D M 三点在同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90︒，点D 的位置由ABC 外的点1D 转到其内的点2D 处，连结12D D ，如图2，此时2135AD C ∠=︒，260CD =，求2BD 的长.18．如图，在76⨯的方格中，ABC 的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF （E ,F 均为格点），各画出一条即可．19．如图，在ABC中，AC AB BC.①已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：2APC B；①以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若B，求B的度数.3AQC参考答案：1．D【解析】【分析】由题意易得①BAD =45°，AB =AE ，进而可得①APE 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解．【详解】解：①AC AB ⊥，①90CAB ∠=︒，①AD 平分BAC ∠，①①BAD =45°，①EP AB ⊥，①①APE 是等腰直角三角形，①AP =PE ，①222AE AP PE AP =+=，①AB =AE ，①2AB AP =，①:1:2AP AB =；故选D ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键．2．C【解析】【分析】根据条件可知①ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，①ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =2AC 。
中考数学专题练习21《等腰三角形》
21.等腰三角形一、选择题1. (2018·宿迁)若实数,m n 满足等式20m -=，且,m n 恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则ABC ∆的周长是( )A. 12B. 10C. 8D. 62. (2018·新疆)如图，//AB CD ，点E 在线段BC 上，CD CE =.若30ABC ∠=︒，则D ∠的度数为( )A.85ºB.75ºC.60ºD.30º3. (2018·昆明)在AOC ∆中，OB 交AC 于点D ，量角器的摆放如图所示，则CDO ∠的度数为( )A. 90ºB. 95ºC. 100ºD. 120º4. ( 2018·黄冈)如图，在ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交,BC AC 于点D 和E ，60B ∠=︒，25C ∠=︒，则BAD ∠的度数为( )A. 50ºB. 70ºC. 75ºD. 80º5.(2018·湖州)如图，,AD CE 分别是ABC ∆的中线和角平分线.若AB AC =，20CAD ∠=︒，则ACE ∠的度数是( )A. 20ºB. 35ºC. 40ºD. 70º6. ( 2018·包头)如图，在ABC ∆中，AB AC =，ADE ∆的顶点,D E 分别在,BC AC 上，且90DAE ∠=︒，AD AE =.若145C BAC ∠+∠=，则EDC ∠的度数为( )A.17.5ºB. 12.5ºC. 12ºD. 10º7. (2018·台湾)如图，五边形ABCDE 中有一等边三角形ACD .若AB DE =，BC AE =，115E ∠=︒，则BAE ∠的度数为( )A. 115ºB. 120ºC. 125ºD. 130º8. (2018·福建)如图，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，则ACE ∠的度数为( )A.15ºB. 30ºC. 45ºD. 60º9. (2018·玉林)如图，60AOB ∠=︒，OA OB =，动点C 从点O 出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边三角形ACD ，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位置关系是( )A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直10. (2018·枣庄)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上.如果P 是某个小矩形的顶点，连接,PA PB ，那么使ABP ∆为等腰直角三角形的点P 的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题11. (2018·南通)一个等腰三角形的两边长分别为4 cm 和9 cm ，则它的周长为 cm.12. (1) (2018·成都)等腰三角形的一个底角为50º，则它的顶角的度数为 ;(2)(2018·淮安)若一个等腰三角形的顶角为50º，则它的底角的度数为 .13. (2018·湘潭)如图，在等边三角形ABC 中，D 是边BC 的中点，则BAD ∠的度数为 .14. (2018·长春)如图，在ABC ∆中，AB AC =，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交AC的延长线于点D ，连接BD .若32A ∠=︒，则CDB ∠的大小为 .15. (2018·桂林)如图，在止ABC ∆中，36A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，则图中等腰三角形的个数是 .16. (2018·南充)如图，在ABC ∆中，AF 平分BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，70B ∠=︒，19FAE ∠=︒，则C ∠= .17. (2018·娄底)如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，DE AB ⊥于点E ，BF AC ⊥于点F ，3DE =cm ，则BF = cm.18. (2018·遵义)如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，BD AD AC ==，E 为CD 的中点.若16CAE ∠=︒，则B ∠的度数为 .19. (2018·吉林)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k .若12k =，则该三角形的顶角的度数为 . 20.(2018·哈尔滨)在ABC ∆中，AB AC =，100BAC ∠=︒，点D 在BC 边上，连接AD .若ABD ∆为直角三角形，则ADC ∠的度数为 . 三、解答题21. (2018·武汉)如图，点,E F 在BC 上，BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，AF 与DE交于点G .求证:GE GF =.22. (2018·镇江)如图，在ABC ∆中，AB AC =，点,E F 在边BC 上，BE CF =，点D 在AF 的延长线上，AD AC =.(1)求证: ABE ACF ∆≅∆;(2)若30BAE ∠=︒，求ADC ∠的度数.23. (2018·嘉兴)如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥，DF BC ⊥，垂足分别为E ，F ，且DE DF =.求证: ABC ∆是等边三角形.24.(2018·广安)下面有4张形状、大小、完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1.请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下:(1)画一个一直角边长为4、面积为6的直角三角形;(2)画一个底边长为4、面积为8的等腰三角形;(3)画一个面积为5的等腰直角三角形;(4)画一个一边长为6的等腰三角形.25. (2018·哈尔滨)已知在四边形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点E ，且AC BD ⊥，作BF CD ⊥，垂足为F ，BF 与AC 交于点G ，BGE ADE ∠=∠.(1)如图①，求证:AD CD =.(2)如图②，BH 是ABE ∆的中线.若2,AE DE DE EG ==，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都是ADE ∆面积的2倍.26. (2018·滨州)已知在ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点.(1)如图①，若,E F 分别为,AB AC 上的点，且DE DF ⊥，求证:BE AF =.(2)若,E F 分别为,AB CA 延长线上的点，且DE DF ⊥，则BE AF =吗?请利用图②说明理由.27. (2018·绍兴)数学课上，张老师举了下面的例题:例1在等腰三角形ABC 中，110A ∠=︒，求B ∠的度数.(答案:35º)例2在等腰三角形ABC 中，40A ∠=︒，求B ∠的度数. (答案:40º或70º或100º) 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题:变式在等腰三角形ABC 中，80A ∠=︒，求B ∠的度数.(1)请你解答以上的变式题.(2)解(1)后，小敏发现，A ∠的度数不同，得到B ∠的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形ABC 中，设A x ∠=︒，当B ∠有三个不同的度数时，请你探索x 的取值范围.28. (2018·沈阳)已知ABC ∆是等腰三角形，CA CB =，090ACB ︒<∠≤︒.点M 在边AC上，点N 在边BC 上(点M ，点N 不与所在线段端点重合)，BN AM =，连接,AN BM ，射线//AG BC ，延长BM 交射线AG 于点D ，点E 在直线AN 上，且AE DE =.(1)如图，当90ACB ∠=︒时，①求证: BCM ACN ∆≅∆;②求BDE ∠的度数.(2)当ACB α∠=，其他条件不变时，BDE ∠的度数是 .(用含α的代数式表示)(3)若ABC ∆是等边三角形，AB =N 是BC 边上的三等分点，直线ED 与直线BC 交于点F ，请直接写出线段CF 的长.参考答案一、1. B 2. B 3. B 4. B 5. B 6. D 7. C 8. A 9. A10. B二、填空题11. 2212. (1) 80︒ (2) 65︒13. 30︒14. 37︒15. 316. 24︒17. 618. 37︒19. 36︒20. 130︒或90︒三、21. ∵BE CF =，∴BF CE =.在ABF ∆和DCE ∆中，AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABF DCE SAS ∆≅∆，∴GFE GEF ∠=∠，∴GE GF =.22. (1)∵AB AC =，∴B ACF ∠=∠.在ABE ∆和ACF ∆中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ACF SAS ∆≅∆.(2) 75ADC ∠=︒.23.∵DE AB ⊥，DF BC ⊥，∴90AED CFD ∠=∠=︒.∵D 为AC 的中点，∴AD DC =.在Rt AED ∆和Rt CFD ∆中，AD CD DE DF =⎧⎨=⎩， ∴()Rt AED Rt CFD HL ∆≅∆，∴A C ∠=∠，∴AB BC =.∵AB AC =，∴ABC ∆是等边三角形.24. 画法不唯一，如(1)如图①所示；(2)如图②所示；(3)如图③所示；(4)如图④所示.25. (1)∵BGE ADE ∠=∠，BGE CGF ∠=∠，∴ADE CGF ∠=∠.∵AC BD ⊥，BF CD ⊥，∴90ADE DAE ∠+∠=︒，90CGF GCF ∠+∠=︒，∴DAE GCF ∠=∠，AD CD =.(2) ACD ∆，ABE ∆，BCE ∆，BHG ∆26. (1)点拨如图①，连接AD .证明BDE ADF ∆≅∆，从而得到BE AF =.(2)点拨如图②，连接AD .证明EDB FDA ∆≅∆，从而得到BE AF =.27. (1)①若A ∠为顶角，则50B ∠=︒.②(i)若A ∠为底角，B ∠为顶角，则20B ∠=︒;(ii)若A ∠为底角，B ∠为底角，则80B ∠=︒.∴50B ∠=︒或20B ∠=︒或80B ∠=︒(2)分两种情况:①当90180x ≤<90时，A ∠只能为顶角，B ∠的度数只有一个.②当090x <<时，(i)若A ∠为顶角，则180()2x B -∠=︒; (ii)若A ∠为底角，B ∠为顶角，则(1802)B x ∠=-︒;(iii)若A ∠为底角，B ∠为底角，则B x ∠=︒. 根据题意，当18018022x x -≠-且1802x x -≠且1802x x -≠, 即60x ≠时，B ∠有三个不同的度数.综上所述，当090x <<且60x ≠时，B ∠有三个不同的度数. 28. (1)①∵,CA CB BN AM ==，∴CM CN =.在BCM ∆和ACN ∆中，CM CN BCM ACN CB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCM ACN SAS ∆≅∆.②90BDE ∠=︒(2)α或180α︒-。
全国各地中考数学试题分类汇编(第2期)专题22 等腰三角形(含解析)
等腰三角形选择题1. （2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4 B． C．3D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠DAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ABC，∵∠C=∠C，∴△CAD∽△CBA，∴=，∴=，∴CD=，BD=BC﹣CD=，∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，∴DM=，MB=BD﹣DM=，∵∠ABM=∠C=∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD，∴△ABD∽△MBE，∴=，∴BE===．故选B ．2.（2016·广西百色·3分）如图，正△ABC 的边长为2，过点B 的直线l ⊥AB ，且△ABC 与△A′BC′关于直线l 对称，D 为线段BC′上一动点，则AD+CD 的最小值是（ ）A ．4B ．32C ．23D ．2+3【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．【分析】连接CC′，连接A′C 交y 轴于点D ，连接AD ，此时AD+CD 的值最小，根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形，根据菱形的性质即可求出A′C 的长度，从而得出结论．【解答】解：连接CC′，连接A′C 交l 于点D ，连接AD ，此时AD+CD 的值最小，如图所示．∵△ABC 与△A′BC′为正三角形，且△ABC 与△A′BC′关于直线l 对称，∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形，且∠BA′C′=60°， ∴A′C=2×23A′B=23．故选C ．3.（2016·广西桂林·3分）已知直线y=﹣3x+3与坐标轴分别交于点A ，B ，点P 在抛物线y=﹣ （x ﹣ 3 ）2+4上，能使△ABP 为等腰三角形的点P 的个数有（ ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．令一次函数y=﹣x+3中x=0，则y=3，∴点A的坐标为（0，3）；令一次函数y=﹣x+3中y=0，则﹣x+3，解得：x=，∴点B的坐标为（，0）．∴AB=2．∵抛物线的对称轴为x=，∴点C的坐标为（2，3），∴AC=2=AB=BC，∴△ABC为等边三角形．令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，则﹣（x﹣）2+4=0，解得：x=﹣，或x=3．∴点E的坐标为（﹣，0），点F的坐标为（3，0）．△ABP为等腰三角形分三种情况：①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．故选A．4.（2016·贵州安顺·3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．5. （2016·湖北武汉·3分）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质【答案】A【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。
中考数学5月试卷分类汇编等腰三角形
等腰三角形一、选择题一、（ 聊城莘县模拟）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为( ).A ．B ．C ．D ．1答案：B二、( 惠州市惠城区模拟)等腰三角形两边长别离为4和8，则那个等腰三角形的周长为（ ） B.18 C. 20 D. 16或20 答案：C3、(2013浙江永嘉一模)10．如图，在△ABC 中，AB =BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，取得△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1别离交AC ，BC 于点D ，F ，下列结论：①∠CDF =α；②A 1E =CF ；③DF =FC ；④BE =BF ． 其中正确的有（ ▲ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③ 【答案】C4、（2013重庆一中一模）11．如图，在等腰ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC , D 是AC 上一点．若51tan =∠DBA ，那么AD 的长为A ． 2B ．3C ．2D ． 1【答案】A5. （2013江西饶鹰中考模拟）如图,将矩形ABCD对折，得折痕PQ ，再（第1 题图）FED C 1CBAA 1第2题图 A BD ′CDM N E C ′QF第6题C A P B D沿MN 翻折，使点C 恰好落在折痕PQ 上的点C ′处，点D 落在D ′处，其中M 是BC 的中点.连接AC ′，BC ′，则图中共有等腰三角形的个数是( ) A .1 B.2 答案：C六、（ 湖北省武汉市中考全真模拟）如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 为其底角平分线的交点，将△BCP 沿CP 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA=DP ，则∠A 的度数为( ).° ° ° °D7、 ( 江苏无锡崇安一模）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°，∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，在BC 、DE 上别离找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小，则△AMN 的最小周长为…（ ▲ ） A ．2 6 B ．27 C ．4 2D ．5答案：B二、填空题1、（ 安徽模拟二）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为 ．答案：42．（ 安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，ABC ∆为等边三角形，AQ =PQ ，PR =PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是 ．（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①AP 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④BRP ∆≌△QSP ．3、( 安徽省模拟六)如图，等边三角形ABC 中，D 、E 别离在AB 、BC 边上，且AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G .下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =1200；③⊿ADF 是正三角形；④12FG AF =.其中正确的结论是 （填所有正确答案的序号）． 答案：①②④4、( 福州市初中毕业班质量检查)如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°取得FC ，连接DF ．则在点E 运动进程中，DF 的最小值是____ .7．( 江苏无锡崇安一模）在直角△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD ＝4，则点D 到斜边AB 的距离为 ▲ .第1题图第1题第3题图 ABCDEF第4题图答案：47.（2013浙江东阳吴宇模拟题）如图，C 、D 、B 的坐标别离为（1, 0）（9, 0）（10, 0），点P （t ，0）是CD 上一个动点，在x 轴上方作等边△OPE 和△BPF ，连EF ，G 为EF 的中点。
中考数学历年各地市真题 等腰三角形
中考数学历年各地市真题等腰三角形,等边三角形（2010哈尔滨）１。
如图，AB 、AC 为⊙O 的弦，连接CO 、BO 并延长分别交弦AB 、AC 于点E 、F ，∠B ＝∠C ．求证：CE ＝BF ．（2010珠海）２。
如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD（1）用尺规作图方法，作∠DAB 的角平分线AF （只保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）若AF 交CD 边于点E ，判断△ADE 的形状（只写结果） 解：(1)所以射线AF 即为所求 (2)△ADE 是等腰三角形.（2010珠海）３．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝6,AC ＝4,D 是AB 边上一点，P 是优弧BAC 的中点，连结PA 、PB 、PC 、PD.(1)当BD 的长度为多少时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形？并证明； （2）若cos ∠PCB=55，求PA 的长.解：（1）当BD ＝AC ＝4时，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形 ∵P 是优弧BAC 的中点 ∴弧PB ＝弧PC ∴PB ＝PC∵BD ＝AC ＝4 ∠PBD=∠PCA ∴△PBD ≌△PCA∴PA=PD 即△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形（2）由（1）可知，当BD ＝4时，PD ＝PA ，AD ＝AB-BD ＝6-4＝2过点P 作PE ⊥AD 于E ，则AE ＝21AD=1 ∵∠PCB=∠PAD ∴cos ∠PAD=cos ∠PCB=55PA AE ∴PA=5（2010红河自治州）11. 如图3，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，若∠A=70°，∠B=60°， DE//BC.则∠AED 的度数是 50°.图3ED CBA（2010年镇江市）20．推理证明（本小题满分6分）如图，在△ABC 和△ADE 中，点E 在BC 边上，∠BAC=∠DAE ，∠B=∠D ，AB=AD. （1）求证：△ABC ≌△ADE ；（2）如果∠AEC=75°，将△ADE 绕着点A 旋转一个锐角后与△ABC 重合，求这个旋转角的大小.（1）∵∠BAC=∠DAE ，AB=AD ，∠B=∠D ，∴△ABD ≌△ADE.（3分） （2）∵△ABC ≌△ADE ，∴AC 与AE 是一组对应边， ∴∠CAE 的旋转角，（4分） ∵AE=AC ，∠AEC=75°，∴∠ACE=∠AEC=75°， （5分）∴∠CAE=180°—75°—75°=30°. （6分）（玉溪市2010）22. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.（1）AB 平行于CD ．如图a ，点P 在AB 、CD 外部时，由AB ∥CD ，有∠B=∠BOD ，又因∠BOD 是△POD 的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D ，得∠BPD=∠B-∠D ．如图b ，将点P 移到AB 、CD 内部，以上结论是否成立？，若不成立，则∠BPD 、∠B 、∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b 中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一定角度交直线CD 于点Q ， 如图c ，则∠BPD ﹑∠B ﹑∠D ﹑∠BQD 之间有何数量关系？（不需证明）； （3）根据（2）的结论求图d 中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数．解：（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D. 延长BP 交CD 于点E,∵AB ∥CD. ∴∠B=∠BED.又∠BPD=∠BED+∠D ，∴∠BPD=∠B+∠D. …………4分 （2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D. …………7分（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E. 又∵∠AGB=∠CGF.∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°∴∠A+∠B+∠C+∠D ∠E+∠F=360°. …………11分（桂林2010）26．（本题满分12分）如图，过A （8，0）、B （0，直线x y 3=交于点C ．平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围； （2）求S 与t 的函数关系式；（3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、O 、F 为顶点的三角形P 的坐标；若不存在，请说明理由．图a O图bO图c图d G26．(本题12 分)解（1）C（4，……………………………2分t的取值范围是：0≤t≤4 ………………………………3分（2）∵D点的坐标是（t，+，E的坐标是（t）∴DE=+=……………………4分∴等边△DEF的DE边上的高为：123t-∴当点F在BO边上时：123t-=t，∴t=3 ……………………5分①当0≤t<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-3…7分S=)23tt+-=)2t=2+………………………………8分②当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形S=1)(123)2t-…………………9分=2-+……………………10分（3）存在，P（247，0）……………………12分说明：∵FO≥FP≥OP≤4备用图1∴以P ，O ，F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO ，FP , 若FO =FP 时，t =2（12-3t ），t =247，∴P （247，0）（2010年无锡）7．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是 （ ▲ ）A ．两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C ．有两个锐角的和等于90°D ．内角和等于180° 答案 B（2010年无锡）16．如图,△ABC 中,DE 垂直平分AC 交AB 于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE= ▲ °． 答案 502010年无锡）26．（本题满分10分）（1）如图1，在正方形ABCD 中，M 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点,P 是BC延长线上一点，N 是∠DCP 的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN ． 下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明． 证明：在边AB 上截取AE=MC ，连ME ．正方形ABCD 中，∠B=∠BCD=90°， AB=BC ．∴∠NMC=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B —∠AMB=∠MAB =∠MAE ．本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ ：623300747．转载请注明！（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将(1)中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”（如图2）,N 是∠ACP 的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN 是否还成立？请说明理由． 本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ ：623300747（3）若将（1）中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD …X ”，请你作出猜想：当∠AMN = °时，结论AM=MN 仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）（第16题）EDCBAM N P D CEBA 图1答案解：（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM=1355°, ∵CN 平分∠DCP ，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°在△AEM 和△MCN 中：∵,,=CMN,AEM MCN AE MC EAM ∠=∠=∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△AEM ≌△MCN ，∴AM=MN（2）仍然成立． 在边AB 上截取AE=MC ，连接ME ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC ，∠B=∠ACB=60°， ∴∠ACP=120°． ∵AE=MC ，∴BE=BM ∴∠BEM=∠EMB=60° ∴∠AEM=120°． ∵CN 平分∠ACP ，∴∠PCN=60°， ∴∠AEM=∠MCN=120° ∵∠CMN=180°—∠AMN —∠AMB=180°—∠B —∠AMB=∠BAM ∴△AEM ≌△MCN ，∴AM=MN （3）(2)180n n-︒（2010宁波市）10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有 AA ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 18．（2010年金华）(本题6分)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是： ▲ ； （2）证明：解：（1）DC BD =(或点D 是线段BC 的中点)，ED FD =，BE CF =中任选一个即可﹒………………………………2分（2）以DC BD =为例进行证明：∵CF ∥BE ， ∴∠FCD ﹦∠EBD ．又∵DC BD =，∠FDC ﹦∠EDB ， ∴△BDE ≌△CDF ．…………………4分5．（2010年长沙）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是 C A ．3、4、5 B ．6、8、10 C2D ．5、12、13 22．（2010年长沙）在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ；于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数．答案：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45°又EC ＝EC …………………………2分 ∴△ABE ≌△ADE ……………………3分ACBD FE(第18题ACBD FE．··．（2）∵△ABE ≌△ADE ∴∠BEC ＝∠DEC＝12∠BED …………4分 ∵∠BED ＝120°∴∠BEC ＝60°＝∠AEF ……………5分 ∴∠EFD ＝60°+45°＝105° …………………………6分(2010湖北省荆门市)6．给出以下判断：(1)线段的中点是线段的重心(2)三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心 (3)平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 (4)三角形的重心是它的中线的一个三等分点 那么以上判断中正确的有( )(A)一个 (B)两个 (C)三个 (D)四个 答案D11. （2010年郴州市）如图3，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则12∠+∠= 度．答案：2703．（2010年济宁市)若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形答案：B北京3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分AB 、AC 边上，DE //BC ，若AD ：AB =3：4， AE =6，则AC 等于 (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8。
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第23章 等腰三角形一、选择题1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）36【答案】B2. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个MECA【答案】D3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交 CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ； 一定正确的结论有（第7题）A BCD EA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30∘，AB＝AC，则∠BDE的度数为何？A．45 B．52．5 C．67．5 D．75【答案】Ｃ5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为△ABC、△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在DE上，如图(十七)所示．求图(十六)与图(十七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？A．2：1 B．3：2 C．4：3 D．5：4【答案】Ｃ6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是A．15cm B．16cmC．17cm D．16cm或17cm【答案】D7. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在ABC△中，13AB AC==，10BC=，点D为BC的中点，DE DE AB⊥，垂足为点E，则DE等于（）ABCDEFGA．1013B．1513C．6013D．7513【答案】C二、填空题1.（2011山东滨州，15，4分）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.【答案】33cm2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为.【答案】4或63. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为．【答案】3131+-或4. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º，则∠EGC的度数为【答案】80º5. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC中，AB=AC，︒=∠40A，则△ABC的外角∠BCD＝°．【答案】1106. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。
（第14题）ABC D【答案】80°。
提示：∠A=180°-2×50°=80°。
7. （2011山东济宁，15，3分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则FG AF=．【答案】128. （2011湖南怀化，13，3分）如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=__________________.【答案】49. （2011四川乐山16，3分）如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连结A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2= B1A2，连结A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2=1θ，∠3232A B Bθ=，…，∠n+11An n nB Bθ+=则⑴1θ= ；⑵nθ= 。
GFECBA第15题D【答案】⑴2180α+︒ ⑵()nn 218012α+︒⋅-10．（2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。
【答案】80°。
11. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．（第15题图）【答案】31212. （2011广东茂名，14，3分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝ 度．【答案】15三、解答题1.（2011广东东莞，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？【解】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB∴CG ACAB BH=，即99xy=，所以，81 yx =（3）当CG＜12BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此时，△AGH不可能是等腰三角形；当CG=12BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；此时，922922当CG＞12BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9综上，当x=9922AGH是等腰三角形．2. （2011山东德州19,8分）如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；(2) 连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．【答案】（1）证明：在△ACD与△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，∴△ACD≌△ABE．…………………… 3分∴ AD=AE．……………………4分(2) 互相垂直……………………5分在Rt△ADO与△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴△ADO≌△AEO．……………………………………6分∴∠DAO=∠EAO．即OA是∠BAC的平分线．………………………………………7分又∵AB=AC，∴OA⊥BC．………………………………………8分3. （2011山东日照，23，10分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．【答案】（1）在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15o，∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，AB CEDOABEDO∴BD=AD ，∴△BDC ≌△ADC ， ∴∠DCA =∠DCB =45o ．由∠BDM =∠ABD+∠BAD =30o +30o =60o ， ∠EDC=∠DAC +∠DCA =15o +45o =60o ， ∴∠BDM =∠EDC ， ∴DE 平分∠BDC ； （2）如图，连接MC ， ∵DC=DM ，且∠MDC =60°，∴△MDC 是等边三角形，即CM=CD ． 又∵∠EMC =180°-∠DMC =180°-60°=120°， ∠ADC =180°-∠MDC =180°-60°=120°， ∴∠EMC =∠ADC ． 又∵CE=CA ，∴∠DAC =∠CEM =15°，∴△ADC ≌△EMC ，∴ME=AD=DB ．4. （2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．【答案】连结BD ，证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD ，求得EF=55. （2011浙江衢州，23,10分）ABC ∆是一张等腰直角三角形纸板，Rt 2C AC BC ∠=∠==，.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.第18题图BAEDF C图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为1S ；按照甲种剪法，在余下的ADE BDF ∆∆和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为2S (如图2)，则2=S ；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为3S (如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，10S = . 求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙，设MN x =，则由题意，得,AM MQ PN NB MN x =====222322,3228()9PNMQ x x S ∴==∴==正方形解得又819>∴甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得点D 、E 、F 分别为AB AC BC 、、的中点，112ABCCFDE S S ==正方形解法2：如图甲，由题意得AE DE EC ==，即EC=1如图乙，设,MN x AM MQ QP PN NB MN x =======则由题意得22322,3221,3x x EC MN ∴==>>解得又即∴甲种剪法所得的正方形的面积更大(2)212S =(3)10912S =（第23题）（第23题图1）PNDFEB ACCABQM(3)解法1：探索规律可知：112n n S -=‘ 剩余三角形的面积和为：()12109911112212422S S S ⎛⎫-+++=-++++= ⎪⎝⎭ 解法2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=S S -第二次剪取后剩余三角形面积和为12211122S S S -=-== 第三次剪取后剩余三角形面积和为233111244S S S -=-==…第十次剪取后剩余三角形面积和为9101091=2S S S -=6. (2011浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图.试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由.EABCD小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE DB （填“>”,“<”或“=”）. EA BCDEA BCD（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F .（请你完成以下解答过程）第25题图1第25题图2（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =.若ABC ∆的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）.【答案】（1）= . （2）=.方法一：如图，等边三角形ABC 中，EA B D60,ABC ACB BAC AB BC AC ∠=∠=∠=︒==， //,EF BC60,AEF AFE BAC ∴∠=∠=︒=∠AEF ∴∆是等边三角形，,AE AF EF ∴==,,AB AE AC AF BE CF ∴-=-=即又60ABC EDB BED ∠=∠+∠=︒，60ACB ECB FCE ∠=∠+∠=︒.,,,,,.ED EC EDB ECB BED FCE DBE EFC DB EF AE BD =∴∠=∠∴∠=∠∴∆≅∆∴=∴= 方法二：在等边三角形ABC 中，60120,,,,,,//,60,180120,,ABC ACB ABD ABC EDB BED ACB ECB ACE ED EC EDB ECB BED ACE FE BC AEF AFE BAC AEF EFC ACB ABD EFC DBE DB EF ∠=∠=︒∠=︒∠=∠+∠∠=∠+∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=︒=∠∴∆∠=︒-∠=︒=∠∴∆≅∆∴=，是正三角形，而由AEF ∆是正三角形可得.EF AE = .AE DB ∴= (3)1或3.7. （2011浙江台州，23,12分）如图1，过△ABC 的顶点A 分别做对边BC 上的高AD 和中线AE ，点D 是垂足，点E 是BC 中点，规定BEDEA =λ。