如何求非齐次线性方程组Axb的通解
一阶非齐次微分方程的通解公式
一阶非齐次微分方程的通解公式
我们要找出一阶非齐次微分方程的通解公式。
首先，我们需要理解一阶非齐次微分方程的基本形式和它的通解。
一阶非齐次微分方程的一般形式是：
y' = f(x) + g(x)y' = f(x) + g(x)y'=f(x)+g(x)
其中 f(x) 和 g(x) 是已知函数，y 是未知函数。
通解是满足方程的所有可能的 y(x)y(x)y(x)。
为了找到通解，我们通常使用常数变易法。
常数变易法的基本思想是：
1. 先解对应的齐次方程 y' = f(x)y' = f(x)y'=f(x)。
2. 然后将任意常数 C 替换为待求的 y，得到非齐次方程的特解。
3. 最后，将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到非齐次方程的通解。
根据常数变易法，一阶非齐次微分方程的通解公式为：
y = e−∫g(x)dx[∫f(x)e∫g(x)dxdx+C]y = e^{- \int g(x) \, dx} \left[ \int f(x) e^{\int g(x) \, dx} \, dx + C \right]y=e−∫g(x)dxdx∫f(x)e∫g(x)dxdx+C
其中 C 是任意常数。
非齐次方程通解
非齐次方程通解在数学中，非齐次方程是一类常见且重要的方程。
与齐次方程不同，非齐次方程的解不仅包括通解，还包括特解。
在本文中，我们将着重讨论非齐次方程的通解。
非齐次方程的一般形式可以表示为：y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)，其中p(x)，q(x)和g(x)是已知函数。
我们的目标是找到这个方程的通解。
我们需要解决齐次方程的问题。
齐次方程可以表示为：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0。
为了解决这个方程，我们可以使用特征方程的方法。
通过假设y=e^(mx)，我们可以得到特征方程m^2 + p(x)m + q(x) = 0。
解这个特征方程，我们可以得到齐次方程的通解。
接下来，我们需要找到非齐次方程的一个特解。
我们可以使用待定系数法来找到特解。
假设特解为y = u(x)，将其代入非齐次方程中，我们可以得到关于u(x)的方程。
通过适当选择u(x)的形式，我们可以解出这个方程，从而得到特解。
特解得到之后，非齐次方程的通解可以表示为齐次方程的通解加上特解。
即y = y_homogeneous + y_particular。
通过这种方法，我们可以解决各种形式的非齐次方程。
无论是常系数非齐次方程还是变系数非齐次方程，我们都可以使用相同的方法来找到它们的通解。
非齐次方程的通解在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，非齐次方程可以用来描述振动系统、电路和弹性体的运动。
在工程学中，非齐次方程可以用来模拟各种工程问题，如电力系统、控制系统和结构力学问题。
非齐次方程的通解是解决非齐次方程问题的关键。
通过找到齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解，我们可以得到非齐次方程的通解。
这个通解可以应用于各种实际问题中，帮助我们解决各种工程和物理问题。
非齐次方程的通解是数学中的一个重要概念，对于理解和应用数学知识都具有重要意义。
非齐次方程的通解
定理 3 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y p y q y f 1 ( x ) f 2 ( x )
而
y* 1
与
y* 2
分别是方程,
y p y q y f 1 ( x )
y p y q y f 2 ( x )
的特解,
那么
y* 1
y
* 2
就是原方程的特解.
要
注 意
设原方程的特解为 y* (a cos x bsin x) x,
将 y*, ( y* ) 代入原方程得
2bcos x 2a sin x cos x
2b 1
2a 0
a0 b 1
2
原方程的一个特解为 y* x sin x
2
故os x C2 sin x 2 sin x
对应的齐次方程的通解为 Y C1e4x C2e2x .
设原方程的特解为 y* k ,
代入原方程得：0－0－8 k =24
k=- 3
原方程的一个特解为 y* 3
故原方程的通解为 y C1e4x C2e2x 3.
例2.求通解 y 2 y 8 y x
解：特征方程 r2 2r 8 0, 特征根 r1 4, r2 2,
(6a x 2b)e x 12 x e x
6a 12
2b 0
a2
b0
原方程的一个特解为 y* 2 x 3 e x,
故原方程的通解为 y (C1 C2 x) e x 2 x 3e x 例6.求 y y cos x
解： 特征方程 r2 1 0,
特征根 r i,
对应的齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x.
1 8
线性方程组的通解
2
(2)若R(A)R(B) 则进一步把B化成行最简形 而对于齐次线性方程组 则把系数矩阵A化成行 最简形 (3)设R(A)R(B) r 把行最简形中 r 个非零 行的首非零元所对应的未知数取作非自由未 知数 其余nr个未知数取作自由未知数 并
令自由未知数分别等于c1 c2 cnr 由B
的行最简形 即可写出含nr个参数的通解
a22 x2
a2n xn 0
(2)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
或用矩阵方程方程组(1)表示为: Ax 0
齐次线性方程组 Ax0 有非零解的判断与求解步骤： (1)对于齐次线性方程组 把它的系数矩阵A 化成行阶 梯形 从A的行阶梯形可同时看出R(A) 若R(A)n , 则齐次线性方程组只有零解
并求一般解。
解：
1 2 5 1
B
3 2
1 0
5 2
2
1 2 5 1
0
5
10
5
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 4 8 －2
1 2 5 1
0
1
2
1
0 0 0 2
2 时方程组有解。
8
1 2 5 1
B
~
0 0
1 0
2 0
01
1 0 1 －1
15
第三章 矩阵的初等变 换与线性方程组
第六讲 线性方程组的通解
一、非齐次线性方程组的通解 二、齐次线性方程组的通解
1
一、非齐次线性方程组的通解
对于方程组（其中有n个未知数，m个方程）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rxБайду номын сангаас
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组Axb的通解
如何求非齐次线性方程组A x=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。
一阶非齐次线性方程的通解
一阶非齐次线性方程的通解
如今，大数据、云计算正在发力，助力互联网的发展与改变。
一阶非齐次线性方程也作为一种重要的解决复杂算法问题的数学模型，被广泛应用在日常的计算过程中。
一阶非齐次线性方程定义为：ax + b = 0，该方程组有一个形如x=`-b/a`的解，a、b均为实数，a ≠ 0。
它是一个相对简单的一阶线性方程，意味着方程中只有一个未知数x，且对应一次阶，因其只含一个未知量，所以只有一个解。
一阶非齐次线性方程经常被用来解决多种数学方法的计算问题，而且调用起来也可以比较快捷，提高计算效率。
例如该方程可以用来确定特定的上涨速度，根据实际数据设定方向下降点，便可着手处理复杂的优化问题。
此外，一阶非齐次线性方程的求解过程也相对简单，只要将所有的参数封装入恰当的初始值中，可求得该方程的解，从而通过指定精确的值来完成解决这一复杂计算问题。
可见，一阶非齐次线性方程在互联网行业有着重要的应用价值，它能够快速解决各种复杂的计算问题，并对对网络安全也起着重要作用。
因此，熟练掌握一阶非齐次线性方程，对于现代互联网行业来说，势在必行而易之。
如何求非齐次线性方程组Ab的通解
如何求非齐次线性方程组
A b的通解
The following text is amended on 12 November 2020.
如何求非齐次线性方程组Ax=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。
常系数非齐次线性微分方程的几种解法
常广东广州 华南师范大学（郑海珍20052201323 李璇20052201333）『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它在自然科学领域里有比较广泛的应用。
本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。
以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。
『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解；『正文』：常系数非齐次线性微分方程形如：)()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1)的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组)(),(),(21t x t x t x n ，再设法求出方程（1）的一个特解)(~t x ，则方程（1）的通解易得为),(~)()(1t x t x c t x ni i i +=∑=n i c i ,,2,1, =为任意常数。
一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。
下面将一一介绍几种求方程(1)的特解的方法。
首先给出本文常用符号：n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ为方程（1）的特征方程。
k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为k u u u ,,21。
)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。
一、 常数变易法 [ 1 ]可设方程（1）的特解形如：)()()()()()()(~2211t x t c t x t c t x t c t x n n +++= ………………… （1.1）其中n i c i ,,2,1, =是待定常函数。
将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21)1(1)2(2)2(21)2(122112211t f t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x n n n n n n n n n n n n n n………………（*）解方程组（*）得到)(,),(),(21t c t c t c n ''' 的表达式，对它们分别进行积分，从而得n i c i ,,2,1, =，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解)(~t x 。
线性代数解题技巧及典型题解析01-求解线性方程组_16
解 方程组中未知量个数 n 3，又方程组 AX 0 有惟一零解，
所以 r ( A) n，故 r ( A) 3.
例3 设 n 元非齐次线性方程组 AX b 有解，其中 A 为(n 1) n 矩阵，求|A|.
解 因为 AX b 有解，故 r ( A ) r ( A) n n 1，从而 | A | 0.
求axb的通解特殊方程组的求解与方程组的基本理论有关的问题含参数的方程组与向量组的线性表示有关的问题与方程组有关的证明题1写出系数矩阵a并对其作初等行变换化为行最简形式同时得到ra这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数
线性方程组的主要内容——求解线性方程组
1. 求 AX=O 的通解或基础解系 2. 求 AX=b 的通解 特殊方程组的求解 与方程组的基本理论有关的问题 含参数的方程组
1 (1, 2,1, 0)T , 2 (1, 1, 0,1)T .
方程组的通解为 * k11 k22 , k1 , k2 为任意常数.
1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为行最 简形式，这样有利于求解. 2. 若根据同解方程组（1）式写导出组的基础解系一定不要将常 数加进去.因此一般建议写出导出组的同解方程组（2）求基础解 系.
a=0
1 2 1 2 设A 0 1 t t , 且方程组 AX 0 的基础解系含有两个解向量, 求 AX 0 的通解. 1 t 0 1
1 1 a 1 设A 1 a 1 , 1 ，若线性程组AX 有解但不唯一. a 1 1 2 求：(1)a的值； (2)方程组AX 的通解.
A (n+1)a n .
特殊方程组的求解最重要的是分析出其解的结构来！
3.5 非齐次线性方程组
2 x1 x2 x3 1 a 1时，方程组为 x1 x2 x3 2 4 x 5 x 5 x 1 2 3 1
不再是含参数 的方程组了。
4 2 x1 5 x2 x3 1 4 a 时，方程组为 4 x x x 2 1 2 3 5 5 4 x1 5 x2 5 x3 1
x1 x2 x4 1/ 2 ( x2 , x4为自由未知量） x3 2 x4 1 / 2
令x2 x4 0得一个特解为
X 0 (1/ 2, 0,1/ 2, 0)T
第3步：写出导出组的一般解，求得一个基础解系。 导出组的一般解为
x1 x2 x4 ( x2 , x4为自由未知量） x3 2 x4
b可由1 ,2 ,,n线性表出 秩{1,2 ,,n，b} 秩{1, 2 ,, n}
秩( A, b)
另一思路： Am×n X = b 有解
秩( A)
(A,b)经初等行变换化得的阶梯矩阵(C,d)“无尾巴”
秩(C, d) 秩(C)
秩( A, b)
秩( A)
二、非齐次线性方程组的解的结构 1. 解的性质
不再是含 参数的方 程组了。
x1 x2 x3 x4 0 例2.为何值时，方程组 x1 x2 x3 3x4 1 有解？ x x 2 x 3x 2 3 4 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 A 1 1 1 3 1 0 0 2 4 1 1 1 2 3 0 0 1 2
A 1 b, A 2 b A(1 2 ) O
• 非齐次方程组AX=b的解与其导出组AX=0的解的和是非 齐次方程组AX=b的解。
10第十次课 非齐次线性方程组教程
有无穷多解 R A R A n ( b 能被1 , , n 线性表示,且表示形式不唯一)
2018年10月6日星期六 3
三、AX=b 解的性质
性质 1：1 ,2 是 AX b的解，
(P109性质4.2.1)
则1 2 是对应的 AX 0的解
化、判、化、扩 例5
问 a , b 为何值时，线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 x 2 2 x 3 2 x4 1 x 2 a 3 x 3 2 x4 b 3 x1 2 x2 x3 ax4 1
1>：无解；2>：存在唯一解； 3>：有无穷多解，并求其通解。
例1
1 2 3 1 1 增广矩阵A A b 3 1 5 3 2 2 1 2 2 3 1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 因为R A 2 R A 3 0 0 0 0 2 所以方程组无解
+
基础解系
化、判、化、扩
2018年10月6日星期六
11
化、判、化、扩 例3 (P110例4.2.1) 求解方程组
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3 x4 2 x x 2 x 3 x 1 2 3 4 1
2018年10月6日星期六
理解非齐次线性方程组解的结构及通解等概念 掌握用行初等变换求方程组通解的方法 重 点
线性方程组解的判定定理及通解的求解 难 点 线性方程组解的结构的论证
b1 a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 一、形式 b a x a x a x b 2 21 1 22 2 2n n 2b 1、一般形式： bm a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 a1n a11 a12 x AX b a 2、矩阵形式： a22 a2 n 2 21 X A 3、向量形式： x1 amn xn x am 1 am 2 2 1 , 2 , , n x11 x22 xnn b 1 2 n 2 2018年10月6日星期六 x n
非齐次线性微分方程的通解
非齐次线性微分方程的通解
y1,y2,y3是二阶微分方程的三个解，则：y2-y1,y3-y1为该方程的两个线性无关解，因此通解为：y=y1+c1(y2-y1)+c2(y3-y1)。
方程通解为：y=1+c1(x-1)+c2(x^2-1)
二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。
自由项f(x)为定义在区间i上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。
若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。
特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。
常微分方程在高等数学中尚无古老的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以稳步维持着行进的动力。
二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占据关键地位，在工程技术及力学和物理学中都存有十分广为的应用领域。
比较常用的解方法就是未定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。
二阶常系数非齐次微分方程的通解
二阶常系数非齐次微分方程的通解
二阶常系数非齐次微分方程是指形如y''+ay'+by=f(x)的微分方程，其中a、b均为常数，f(x)为已知函数。
对于这类微分方程，我们可以通过以下步骤求出其通解：
1. 先求出对应的齐次方程y''+ay'+by=0的通解y_h(x)。
这个步骤的具体方法可以参考《二阶齐次线性微分方程的解法》。
2. 然后我们需要找到一个特解y_p(x)。
具体的方法可以根据f(x)的形式分别进行求解：
- 如果f(x)是常数，我们可以猜测y_p(x)也是常数，然后代入微分方程中求解得到y_p(x)的值。
- 如果f(x)是指数函数、正弦函数或余弦函数，我们可以猜测y_p(x)也是同类函数，然后代入微分方程中求解得到y_p(x)的值。
- 如果f(x)是多项式函数，我们可以猜测y_p(x)是与f(x)同次数的多项式函数，然后代入微分方程中求解得到y_p(x)的系数。
3. 将y_h(x)和y_p(x)相加，即可得到非齐次微分方程的通解y(x)=y_h(x)+y_p(x)。
需要注意的是，在求解特解y_p(x)时，如果猜测的形式不适用于f(x)，那么我们需要采用其他方法，比如常数变易法等。
- 1 -。
二阶微分方程非齐次通解的求法
二阶微分方程非齐次通解的求法二阶微分方程听起来就像是数学里的黑魔法，但别担心，今天咱们轻松聊聊非齐次通解的求法。
想象一下，一个神秘的任务出现了，你得找到一个方程的解，像侦探找线索一样。
我们要找的非齐次方程就像是一道谜题，里面有点“加法”的味道。
二阶微分方程通常写成 (y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x))。
好吧，看到这儿可能有人头疼了，不过没关系，咱们一点点来解锁。
咱们先来看看这个 (g(x))，它就像是外来的访客，打破了方程的平衡。
先别急，解决非齐次方程，得从它的齐次方程入手。
把 (g(x)) 忘掉，专心去解 (y'' + p(x)y' + q(x)y = 0)。
这一步就像做数学的热身操，越熟练越好。
你可以用特征方程、常数变易法，甚至是待定系数法来找出它的通解。
这个过程就像是打怪升级，随着每一个方程的解锁，自己的技能也在不断提升。
找到齐次方程的通解后，接下来就该对付那个讨厌的 (g(x)) 了。
这时候，你可能会想，怎样才能把这个家伙搞定呢？这里就要用到所谓的“特解”了。
想象一下，特解就像是个小助手，专门来解决 (g(x)) 的问题。
方法很多，像是试探法、变换法，甚至可以用拉普拉斯变换，真是各显神通。
比如，试探法就是找个函数，像是猜谜一样，看哪个能让方程成立。
你可能会试试多项式、指数函数，甚至三角函数，这就看 (g(x)) 的“长相”了。
说到这里，肯定有人会问：“那我怎么知道哪个函数合适呢？”这个嘛，真的是得靠经验和感觉。
直觉就像是个小神灯，指引你找到合适的特解。
记得多试几次，失败了也没关系，科学就是不断试错的过程。
比如说，你发现用三角函数的尝试总是打水漂，那就换个思路，试试指数函数，搞不好就能找到意想不到的结果。
找到特解后，就差最后一步了。
把齐次解和特解合在一起，就得到了非齐次方程的通解。
这一步其实很简单，就像做菜，把不同的食材混合在一起，最后变成一盘美味的佳肴。
非齐次线性微分方程通解的证明
非齐次线性微分方程通解的证明问题重述如果是区间上的连续函数，是区间上齐次线性微分方程（5.21）的基本解组，那么，非齐次线性微分方程(5.28)的满足初值条件的解由下面公式给出（5.29） 这里是的朗斯基行列式，是在中的第k 行代以后得到的行列式，而且（5.28）的任一解u(t)都具有形式，（5.30） 这里是适当选取的常数。
公式（5.29）称为（5.28）的常数变易公式。
我们指出，这时方程（5.28）的通解可以表示为证明考虑n 阶线性微分方程的初值问题（5.6）其中是区间上的已知连续函数，，是已知常数，我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题：12(),(),...,(),()n a t a t a t f t a t b ≤≤12x (),x (),...,x (),n t t t a t b ≤≤()(n-11()+...+()x=0n n x a t x a t +）()(n-11()+...+()x=()n n x a t x a t f t +）0n 12k 112[x (),x (),...,x ()]()=x (){}()[x (),x (),...,x ()]t k n k t n W s s s t t f s ds W s s s ϕ=∑⎰12[x (),x (),...,x ()]k n W s s s 12x (),x (),...,x ()n s s s 12[x (),x (),...,x ()]k n W s s s 12[x (),x (),...,x ()]n W s s s (0,0,...,0,1)T 1122()()()...()()n n u t c x t c x t c x t t ϕ=++++12,,...,n c c c ()111112()...()()(),(),(),...,(),n n n n n o o o n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩12(),(),...,(),()n a t a t a t f t a t b ≤≤0[,]a b t ∈12,,...,n ηηη（5.7）其中事实上，令这时而且 现在假设）（t ψ是在包含的区间上（5.6）的任一解，由此，我们得知）（）（）（t ,...,t ,t n ψψψ'在上存在、连续、满足方程（5.6）且令 其中那么，显然有，此外，我们还得到在此处键入公式。
第九讲 求解非齐次线性方程组
中基础解系向量个数为
9.1 复习
以上例说明： 令
为主变量，
分别得
的解为
则
为自由变量.
9.2 求特解
这次课，考虑求解一般线性方程组
已知：(1)
有解
(2)设 是
的一特解，则
是方程全部解.
9.2 求特解
例
一个特解
则原方程组解集
从图像上看，
和
是两条平行直线.
9.2 求特解
如何求特解？ 例 解：考虑增广矩阵
§9 求解非齐次线性方程组
9.1 复习
设是
阶矩阵，考虑
行变换
行变换
(阶梯形)
主变量：主列对应的变量. 主列个数 主元个数 主变量个数
秩 无关行向量个数 无关列向量个数
列对换
9.1 复习
(1) 中主列设为第
列，则 中
列线性无关
(称为 中主列)，且 中其余列均是这些主列的线性组合.
例:
容易看出
则
(2)
则 是可逆的.
有唯一解
9.3 解的一般性讨论
则 有唯一解(特解).
只有零解，此时
例：
的列数. 考虑
无解或
有解
9.3 解的一般性讨论
则 行消去得到 个主元，即
列对换
则
变为
此时自由变量有
故这种情况下
(同解). 个.
有无穷多解.
总有特解
9.3 解的一般性讨论
有解
有解.
满足
若有解，则有无穷解
有无穷解.
9.3 解的一般性讨论
注记：
列满秩.
即 有左逆 行满秩.
即 有右逆
9.3 解的一般性讨论
已知非齐次线性方程组
已知非齐次线性方程组
常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。
非齐次线性方程组的表达式为：ax=b非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a, b)（否则为无解）。
含n-r个参数的通解。
求解的存有性
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。
非齐次线性方程组存有无穷多求解的充要条件就是rank(a)\ucn。
（rank(a)则表示a
的秩）
解法
非齐次线性方程组ax=b的解步骤：
（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。
若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。
（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。
（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余
n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于c1，c2，..-r，即可写出。
4_2_2非齐次线性方程组解的性质和结构内容
非齐次线性方程组解的性质：
1.非齐次线性方程组的任意两个解的差是它的导出组的解；
2.如果η是非齐次线性方程组的解，ξ是它的导出组的解，那么 η+ ξ 是方程组的解；
3.如果0η是非齐次线性方程组的某个解，那么的任意解η都可以表示为
,0ξηη+=
其中ξ是导出组的一个解.
非齐次线性方程组解的结构：
对n 元非齐次线性方程组，设r (( A M β )) = r (A ) = r . 如果0η是它的某个解，ξ1 , ξ2 , . . . , ξn-r 是对应的齐次方程组的一个基础解系，那么它的全部解为
r n r n c c c −−++++ξξξηL 22110，
其中c 1, c 2 , . . . , c n-r 是任意常数.
上式称为非齐次线性方程组的通解（或一般解）. 0η称为的一个特解.。
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如何求非齐次线性方程组
A x b的通解
The following text is amended on 12 November 2020.
如何求非齐次线性方程组A x=b的通解
解答：由非齐次线性方程组的解的结构知识,只要求出它的一个解和对应的齐次线性方程组的基础解系,其具体步骤如下:
(1)用初等行变换将增广矩阵化为行最简形矩阵;
(2)写出同解方程组(用自由未知量表示所有未知量的形式);
(3)读出右端常数项(即自由未知量全部取零),则求出Ax=b的一个解;
(4)读出自由未知量的系数(相当于一个自由未知量取1,其余自由未知量取0),则求出Ax=0的基础解系;
(5)写出所求通解.。