应用数值分析(第四版)课后习题答案第9章

第九章习题解答

1.已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。 解：,24)2(,

33)1(≤-≤-λλ

2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞， 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a

a 1λ.

解：,x Ax λ

=

∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11

j n j i i ij i ii x a

x a ∑≠==-1)(λ

j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a

x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ

∑∑≠=≠=≤≤-n

j i i ij i j n j i i ij

ii a x x a a 11λ

3.用幂法求矩阵 ⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;

A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1];

for k=1:100

y=A*z;

[c,i]=max(abs(y));

if y(i)<0,c=-c;end

z=y/c

if abs(c-d)<0.0001,break; end

d=c

end

11.0000

=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)===========

强特征值为11，特征向量为T 0.7500)

1.0000 0.5000(。

4.用反幂法求矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。

解：y=[1,1,1]';z=y;d=0;

A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1];

for k=1:100

AA=A-6*eye(3);

y=AA\z;

[c,i]=max(abs(y));

if y(i)<0,c=-c;end

z=y/c;

if abs(c-d)<0.0001,break; end

d=c

end

d=6+1/c

0.7764

=c ,0.2422) 0.5229 1.0000(z 0.7763=c ,0.2422) 0.5230 1.0000(z 0.7767 =c ,0.2421) 0.5227 1.0000(z 0.7754=c ,0.2425) 0.5236 1.0000(z 0.7794 =c ,0.2411) 0.5210 1.0000(z 0.7675 =c ,0.2457) 0.5286 1.0000(z 0.8042 =c ,) 0.2303 0.5066 1.0000 (z 0.7000= c ,0.2857) 0.5714 1.0000(z 1.1111 = c ,0.1000) 0.4000 1.0000(z 9T (9)8T (8)

7T (7)

6T (6)

5T (5)

4T (4)

3T (3)

2T (2)

1T (1)

========= 最接近6的特征值为6+1/c=7.2880，特征向量为T 0.2422)

0.5229 1.0000(。 5.设n n R A ⨯∈非奇异，A 的正交分解为A=QR ，作逆序相乘A 1=RQ ，试证明

（1） 若A 对称则A 1也对称；

（2） 若A 是上Hessenberg 阵，则A 1也是上Hessenberg 阵。

证明：（1）AQ Q AQ Q RQ A QR A T ====-11,，

111,A A AQ Q Q A Q A T T T T ∴===对称

（2）A 是上Hessenberg 阵，用Givens 变换对A 作正交分解，即

)

,1()2,1()2,1()3,2(),1()2,1()3,2(),1(,)2,1()3,2(),1(1n n R AR R R n n R AQ Q A R R n n R Q R A R R n n R T T T T --==-==- 显然A 1也是上Hessenberg 阵。

6.设矩阵⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=2111A （1）任取一非零向量作初始向量用幂法作迭代，求A 的强特征值和特征向量；

（2）用QR 算法作一次迭代，求A 的特征值；

（3）用代数方法求出A 的特征值和特征向量，将结果与（1）和（2）的结果比较。 解：（1）

2.6181

=c ,1.0000) 0.6180(z 2.6182=c ,1.0000) 0.6181(z 2.6190 =c ,1.0000) 0.6182(z 2.6250 =c ,) 1.0000 0.6190 (z 2.6667= c ,1.0000) 0.6250(z 3 = c ,1.0000) 0.6667(z 6T (6)5T (5)

4T (4)

3T (3)

2T (2)

1T (1)

====== A 的强特征值为2.6181，特征向量为T

1.0000) 0.6180(

（2）for i=1:10

[Q,R]=qr(A);

A=R*Q

end