复数的基本知识

补充复数的基本知识：

1、虚数单位

由于在实数集R 内负数不能开平方，所以在实数集内方程012=+x 无解。引入虚数，虚数单位符号为j ，并规定

（1） 它的平方等于-1，即12-=j ；

（2）j 可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成立。

性质：j j =1；12-=j ；j j -=3；14=j

一般地，对于任意整数n ，有：

14=j n ；j j n =+14；124-=+j n ；j j n -=+34

2、复数集

定义：形如),(R b a bj a ∈+的数称为复数。

通常用大写拉丁字母Z 表示一个复数，即),(R b a bj

a Z ∈+= 其中 a 称为复数Z 的实部，a Z =)Re(；

b 称为复数Z 的虚部，b Z =)Im(；

举例：j 32+，j 51-+，j 3的实部、虚部？

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≠=≠⎩⎨⎧=+)0a ()0a ()0b ()0b (非纯虚数纯虚数虚数无理数有理数实数复数bj a 3、复数的相等及共轭复数

定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即 d b c,a dj c ==⇔+=+bj a

定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为

共轭复数。

复数bj a Z +=的共轭复数记作bj a Z -=

例：3j 2j,1++的共轭复数

注：b a bj a bj a 22))((+=-+

4、复数的几何表示（复平面）

任何一个复数bj a +都可以由一对有序实数)b ,a (唯一确定；反之，任何一对有序实数)b ,a (都能唯一确定一个复数bj a +；因此，复数bj a Z +=与平面直角坐标系中的点)b ,a (Z 是一一对应关系。于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为a ，纵坐标为b 的点)b ,a (Z 表示复数bj a Z +=。

用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。

复数bj a Z +=与复平面上的点)b ,a (Z 是一一对应关系。即

复数bj a Z +=↔点)b ,a (Z

矢量（或向量）：既有大小又有方向。矢量可以用带箭头的有向线段来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如下图所示：

相等矢量：大小相等且方向相同的矢量。

(1) 矢量的大小称为矢量的模；

矢量0Z 的模r 称为复数bj a Z +=的模，记作：Z 或bj a +即:

b 22Z r +=+==a bj a

(2) 矢量的方向

以实轴的正半轴为始便，矢量0Z 所在的射线为终边的角θ，称为复数bj a Z +=的辐角。

非零复数的辐角有无穷多个值，他们彼此相差π2的整数倍。通常适合于πθπ≤<-的辐角θ称为主辐角，θ值称为辐角的主值。

规定：要用主辐角表示复数bj a Z +=的辐角。

模和主辐角可以唯一确定一个非零复数。

⎪⎩

⎪⎨⎧+==b 22r b tan ααθ αθb arctan = )sin (cos θθj r bj a Z +=+= r α

θ=cos r

b

=θsin 5、复数的指数形式

欧拉公式：θθθsin cos j e j +=

例如：3sin 3cos 3π

ππ

j e j += 对于任何一个复数：

e j r j r bj a Z θθθ=+=+=)sin (cos 称为复数的指数形式 例：e j j j 33

sin 3cos 2321πππ=+=+ e j j j 35arctan 34)34

5342(3453=+=+ 7、复数的四则运算

（1）复数代数形式（bj a Z +=）的加减法

j d b c a dj c bj a )()()(±+±=+±+

复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

（2）复数代数形式的乘法

j bc ad bd ac dj c bj a )())((++-=++

按多项式的乘法运算法则进行，把所得结果中j 2换成-1，并且把实部、虚部分别合并。

例：j j j 51)1)(32(+-=++ j j j 617)32)(34(+=+-

（3）复数代数形式的除法

分子与分母同乘以分母的共轭复数，分母实数化后，所得结果要化简。 j bc ad bd ac bj a bj a bj a dj c bj a dj c b

a b a 2222))(())((+-+++=-+-+=++ 例：j j j 13

1135231+=++ （4）复数指数形式（e j r Z θ=）的乘除运算

令e r Z j θ111=；e r Z j θ222=

则e r r e r e r Z Z j j j )21(21221121θθθθ+==•

e r r e r e r Z Z j j j )21(2

1221121θθθθ-==

例：e j j j )34arctan 4(25)43)(1(+=++π

j j

j e e j j ===-++2)44(11πππ （5）复数极坐标形式（θ∠=r Z ）的乘除运算

设复数θ111∠=r Z ，θ222∠=r Z

)(212121θθ+∠=•r r Z Z

)(212

121θθ-∠=r r Z Z 8、方程根的求解

一元二次方程根的求解。一元二次方程有两个根，可以是两个实数根，也可以是复数根（共轭复根）。

例：0672=++x x 11-=x ，61-=x ；

0222=++x x 41512,1j x ±-=

； 补充题：

1、计算下列各式，并作几何表示

（1）)21()22(j j +++

（2）)23()53(j j --+

j j j 43)21()22(+=+++ 1.5334arctan ==θ 5r = 在复平面上描述

j j j 3)23()53(=--+ 90 =θ 3r = 在复平面上描述

2、计算下列各式，并化成代数形式

（1）e e j j 6

1232ππ （2）e e j j 63212ππ-- j e e e j j j 6632324612+==πππ