2021届高考数学二轮复习专题5解析几何第1讲直线与圆课件人教版.pptx

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高考数学二轮复习第1部分专题5 第1讲直线与圆课件理

5－－1 又kBD＝＝－1， 1－7 ∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②
2x－y＝0，由①②得 x＋y－6＝0， x＝2， ∴ y＝4，
∴M(2,4)．
【答案】
(1)C
(2)(2,4)
若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0和x轴相切，则圆C的标准方程是( A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－1)2＋(y－2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1 )
5．(圆的方程)(2013· 江西高考)若圆C经过坐标原点和点 (4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
【解析】因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过
点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)．又因为圆与直线y＝1 相切，所以 4－22＋0－m2 ＝|1－m|，所以m2＋4＝m2－
【答案】 C
R2－d2 ＝2，故直
4．(两直线的位置关系)已知直线l1：x－2my＋3＝0，直线l2的方向向量为a＝(1,2)，若l1⊥l2，则m的值为________．
【解析】由直线l2的方向向量为a＝(1,2)，知直线l2的
1 斜率k2＝2，∵l1⊥l2，∴直线l1的斜率存在，且k1＝2m， 1 由k1· k2＝－1，即2m· 2＝－1，得m＝－1. 【答案】－1
32 25 3 2 2m＋1，解得m＝－，所以圆的方程为(x－2) ＋y＋2 ＝ . 2 4
【答案】
(x－2)
2
32 25 ＋y＋2 ＝ 4
(1)(2013· 济南调研)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )

《导学教程》高三数学二轮复习教案专题五解析几何第一讲直线与圆(2021年整理)

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专题五解析几何第1讲直线与圆自主学习导引真题感悟1．(2012·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1:ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行"的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析先求出两条直线平行的充要条件，再判断．若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1）－2×1＝0,即a ＝－2或a ＝1,所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．答案 A2．(2012·福建）直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于A ．2错误!B ．2错误! C.错误! D ．1解析利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋错误!y －2＝0的距离d ＝错误!＝1，半径r ＝2,∴弦长｜AB |＝2r 2－d 2＝2错误!＝2错误!. 答案 B考题分析圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主,难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点．网络构建高频考点突破考点一：直线方程及位置关系问题【例1】(2012·江西八所重点高中联考）“a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1）x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [审题导引］求出l 1∥l 2的充要条件,利用定义判定．［规范解答］当a ＝0时,l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0，此时l 1∥l 2，所以“a ＝0"是“直线l 1与l 2平行"的充分条件；当l 1∥l 2时，a （a ＋1）－2a 2＝0，解得a ＝0或a ＝1.当a ＝1时，l 1:2x ＋y －3＝0，l 2:2x ＋y －3＝0，此时l 1与l 2重合，所以a ＝1不满足题意，即a ＝0。

2021届高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆课件理

－2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积的取值范围是( )
A.[2，6]
B.[4，8]
C.[ 2，3 2]
D.[2 2，3 2]
解析由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径 r＝ 2，圆心到直线 x＋y＋2＝0 的距离
d＝ |21＋＋21| ＝2 2，所以圆上的点到直线的最大距离是 d＋r＝3 2，最小距离是 d－r
但m＝－1时，直线l1与l2重合.
当m＝－7时，l1的方程为2x－2y＝－13，直线l2：2x－2y＝8，此时l1∥l2.
∴“m＝－7或m＝－1〞是“l1∥l2〞的必要不充分条件.
(2)设 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)，则1a＋2b＝1. ∵a>0，b>0，∴1a＋2b≥2 a2b.则 1≥2 a2b， ∴ab≥8(当且仅当1a＝2b＝12，即 a＝2，b＝4 时，取“＝”). ∴当a＝2，b＝4时，△OAB的面积最小. 此时 l 的方程为2x＋4y＝1，即 2x＋y－4＝0. 答案 (1)B (2)A
m2＋9 2.
故圆在 y 轴上截得的弦长为 2 r2－m2 2＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
热点二圆的方程【例 2】 (1)圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得
的弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为________. (2)(2017·天津卷)设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________. 解析 (1)设圆心a，a2(a>0)，半径为 a. 由勾股定理得( 3)2＋a22＝a2，解得 a＝2. 所以圆心为(2，1)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

高考数学二轮复习专题5 第1讲直线与圆课件(文、理)

A．x＋y－2＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0
D．x－y＋3＝0
[答案] D
[解析] 圆心(0,3)，又知所求直线斜率为1，∴直线方程
为x－y＋3＝0.
(理)(2014·安徽文，6)过点P(－ 3 ，－1)的直线l与圆x2＋y2
＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. (0，π6]
2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．
命题热点突破
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
(文)已知直线l1与圆(x－a)2＋y2＝1相切，l1关于直线y＝x的对称直线为l2：y＝ 3x－1，则a的值为( )
A.
3或－
3 3
B．1
C．－
3 3
[答案] D
D．1或－3
[分析] 由l1与l2关于直线y＝x对称可求出l1的方程，再由l1与圆相切求a.
几何法：根据d＝
方法位置关系
|Aa＋A2B＋b＋B2C|与r的大小
关系
相交
d<r
相切
d＝r
相离
d>r
Ax＋By＋C＝0 代数法：x－a2＋y－b2＝r2 消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
(4)圆与圆的位置关系
表现形式几何表现：圆心距d
位置关系
与r1、r2的关系
适合所有的直线
(3)两直线的位置关系
方程约束条件位置关系
l1：y＝k1x＋b1 l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行相交重合
k1＝k2，且 b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且 B1C2 －B2C1≠0

专题五解析几何直线与圆教学课件2021届新高考数学二轮复习

故|MA|·|MB|≤225(当且仅当|MA|＝|MB|＝5 2 2时取“＝”).
答案
(1)A
25 (2) 2
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【例 2】 (1)(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中
提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且
不等于 1 的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭
建三座 5G 信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现 5G 商用，已知甲、
解析 (1)由题意知m(1＋m)－2×1＝0，解得m＝1或－2，当m＝－2时，两直线重合，舍去；当m＝1时，满足两直线平行，所以m＝1.
(2)由题意可知，直线 l1：kx－y＋4＝0 经过定点 A(0，4)，直线 l2：x＋ky－3＝0 经过定点 B(3，0)，注意到直线 l1：kx－y＋4＝0 和直线 l2：x＋ky－3＝0 始终垂直，点 M 又是两条直线的交点，则有 MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.
热点三直线(圆)与圆的位置关系
角度 1 圆的切线问题
【例 3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)若直线 l 与曲线 y＝ x和圆 x2＋y2＝15都相切，则 l 的方程
为( ) A.y＝2x＋1
B.y＝2x＋12
C.y＝12x＋1
D.y＝12x＋12
(2)(多选题)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)

高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆课件

故两圆相交．
(2)如图，把圆的方程化成标准形式得 x2＋(y－1)2＝1，
12/11/2021
所以圆心为(0，1)，半径为 r＝1，四边形 PACB 的面积 S＝2S△PBC，所以若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 S△PBC 的最小值为 1. 而 S△PBC＝12r·|PB|，即|PB|的最小值为 2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线 kx＋y＋4＝0 的距离 d，此时 d＝ k|25＋| 1＝ 12＋22＝ 5，即 k2＝4，因为 k>0，所以 k＝2. 【答案】 (1)B (2)D
所以|MN|＝4 6.
12/11/2021
3．(2019·宁波镇海中学高考模拟)已知圆 C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0 上存在两点关于直线 l：x＋my＋1＝0 对称，经过点 M(m，m)作圆 C 的切线，切点为 P，则 m＝________； |MP| ＝________．解析：因为圆 C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0 上存在两点关于直线 l：x＋my＋1＝0 对称，所以直线 l：x＋my＋1＝0 过圆心 C(1，2)，所以 1＋2m＋1＝0.解得 m＝－1.
第2部分高考热点专题突破
专题五解析几何第1讲直线与圆
12/11/2021
数学
01 02 03 04 05
12/11/2021
考点1 考点2 考点3 考点4 专题强化训练
直线方程
[核心提炼] 1．三种距离公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离： |AB|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2. (2)点到直线的距离：d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|(其中点 P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0)． (3)两平行直线间的距离：d＝ |CA2－2＋CB1|2(其中两平行线方程分别为 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2： Ax＋By＋C2＝0)．

高考数学二轮复习专题五第1讲直线与圆课件理

0 的对称点仍在圆上，且圆与直线 x－y＋1＝0 相交的弦长为
2 2，则圆的方程是________.
解析设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点的对称点仍在圆上，说明圆心在直线 x＋2y＝0 上，即有
a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线 x－y＋1＝0 相交
考点整合
1.两直线平行或垂直 (1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在且l1与l2不重合时，l1∥l2. (2)两条直线垂直：对于两条直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l1⊥l2.
2.圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为 r. (2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为－D2 ，－E2，半径为 r＝ D2＋2E2－4F；对于二元二次方程 Ax2 ＋ Bxy ＋ Cy2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 B＝0， A＝C≠0， D2＋E2－4AF＞0.
探究提高 (1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式. (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理.
[微题型3] 与圆有关的弦长问题【例 1－3】 (2015·泰州调研)若圆上一点 A(2，3)关于直线 x＋2y＝
5.直线与圆中常见的最值问题 (1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值. (2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值. (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值. (4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题. (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.

高考数学统考二轮复习第二部分专题5 解析几何第1讲直线与圆(教师用书)教案理

学习资料解析几何专题5第1讲直线与圆直线的方程授课提示：对应学生用书第44页考情调研考向分析以考查直线方程的求法、两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以选择题，填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点。

1。

求直线的方程．2。

判断两直线的位置关系．3.直线恒过定点问题。

［题组练透］1．过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0解析：设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，，把点(2，1）代入可得4＋3＋m＝0，解得m ＝－7。

故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选B.答案：B2．(2020·淮南模拟）设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0,此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×（1－λ）＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验,两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋（λ－1）y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的充分不必要条件,故选A。

答案：A3．已知直线l:ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是（)A．1 B．－1C．2或1 D．－2或1解析：当a＝0时，直线方程为y＝2,显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0时，得到直线在x轴上的截距是错误!，令x＝0时，得到直线在y轴上的截距为2＋a，根据题意得错误!＝2＋a，解得a＝－2或a＝1,故选D。

答案：D4．（2020·保定模拟）设点P为直线l:x＋y－4＝0上的动点,点A（－2，0)，B（2,0），则｜P A｜＋|PB|的最小值为（）A．210 B.26C．2错误! D.错误!解析:依据题意作出图象如下:设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1（a,b）,则它们的中点坐标为错误!，且｜PB|＝｜PB1｜.由对称性可得错误!，解得a＝4,b＝2.所以B1(4,2)．因为｜P A｜＋｜PB｜＝|P A｜＋｜PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，｜P A｜＋｜PB|最小．此时最小值为｜AB1|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝2错误!.故选A.答案：A［题后悟通］1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1）与P2(x2，y2）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组错误!，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决圆的方程授课提示：对应学生用书第45页考情调研考向分析考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1。

高考数学大二轮复习专题5解析几何第1讲直线与圆课件(文科)

＝－7.故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选 B.
答案：B
2．(2019·淮南模拟)设 λ∈R，则“λ＝－3”是“直线 2λx＋(λ－1)y＝1 与直线 6x＋(1－ λ)y＝4 平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：当 λ＝－3 时，两条直线的方程分别为 6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则 2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以 λ＝－3 或 λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线 2λx＋(λ－1)y＝1 与直线 6x＋(1－λ)y＝4 平行” 的充分不必要条件，故选 A.
是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填 2.利用待定系数法求圆的方程．
空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时 3.借助圆的方程研究圆的简单性质.
也会在解答题中出现.
[题组练透]
1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2 的圆心和半径分别是( )
A．(－2,3)，1
B．(2，－3)，3
C．(－2,3)， 2
答案：A
3．已知直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是( )
A．1
B．－1
C．2 或 1
D．－2 或 1
解析：当 a＝0 时，直线方程为 y＝2，显然不符合题意，当 a≠0 时，令 y＝0 时，得到直线在 x 轴上的截距是2＋a a，令 x＝0 时，得到直线在 y 轴上的截距为 2＋a，根据题意得2＋a a＝2＋a，解得 a＝－2 或 a＝1，故选 D. 答案：D
C．－1 或 3
D．3 或 5
解析：由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝3，所以圆心为(－1,2)，半径为 3.所以圆心到直线的距离为 32－12＝|－1－22＋a|，∴a＝1 或 5.故选 B.

2021届高考数学二轮复习第1讲直线与圆考点突破课件新人教版

因为
x02＋3y20＝4，所以
y0＝±
33 9.
故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，
此时点 P 的坐标为53，± 933.
题型三圆的方程
【例 3】 (2010·全国Ⅰ)已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点 K(－1, 0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D. (1)证明：点 F 在直线 BD 上； (2)设F→A·F→B＝89，求△BDK 的内切圆 M 的方程．解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，－y1)，l 的方程为 x＝my－1(m≠0)． (1)证明：将 x＝my－1 代入 y2＝4x 并整理得 y2－4my＋4＝0，从而 y1＋y2＝4m，y1y2＝4.①
故 8－4m2＝89，解得 m＝±43.
所以 l 的方程为 3x＋4y＋3＝0,3x－4y＋3＝0.
又由①知 y2－y1＝± 4m2－4×4＝±43 7，
(2)掌握解决解析几何综合问题的思想方法高考解析几何综合试题主要考查解决直线与圆锥曲线位置关系、轨迹方程和探索型等问题的思想方法．为此，我们应掌握圆锥曲线的定义、性质，明确解决直线与圆锥曲线位置关系的思想方法，把握曲线轨迹方程的各种求法，沟通知识间的横纵联系，借助方程理论、不等式性质，向量工具和数形结合、化归转化等思想方法，就能从容应对高考．解析几何试题里蕴藏着函数思想、方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类讨论思想的应用，是高考的常考点．我们应理解和掌握这些思想方法的含义，对于提高数学素养，指导我们正确地分析问题和解决问题具有重要意义．
3．直线的方程 (1)点斜式：y－y0＝k(x－x0)，不能表示与 x 轴垂直的直线． (2)斜截式：y＝kx＋b，不能表示与 x 轴垂直的直线． (3)两点式：yy2－－yy11＝xx2－－xx11，不能表示与坐标轴垂直的直线． (4)截距式：xa＋by＝1，不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A、B 不同时为零)．

高考数学二轮复习专题五解析几何第一讲直线与圆课件理

∴直线方程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0.
12/11/2021
考点一直线方程与应用
1．求直线方程时易忽视斜率 k 不存在情形． 2．利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形． 3．有关截距问题易忽视截距为零这一情形．
12/11/2021
考点二圆的方程及应用
[悟通——方法结论] 1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ，其中 D2 ＋ E2 － 4F>0 ，表示以－D2 ，－E2 为圆心、 D2＋2E2－4F为半径的圆．
C．ab＝＝x21＋，3，(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－ 3)2＝4
所以所求圆的圆心坐标为(1， 3)，半径为 2.
从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝4.
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考点二圆的方程及应用
[全练——快速解答]
抛物线 x2＝4y 的焦点为(0,1)， 3即．(圆20心18为·广(0州,1)模，拟)若一个圆的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦点，且该设圆该与圆直的线标y准＝方x＋程3是相x切2＋，(则y－该1)圆2＝的r2标(r＞准0方)，程是_x_2＋__(_y_－__1_)_2＝ ___2．因为该圆与直线 y＝x＋3 相切，所以 r＝|－1＋2 3|＝ 2，故该圆的标准方程是 x2＋(y－1)2＝2.
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数学建模、逻辑推理及数学运算的核心素养.
考情分析明确方向
年份卷别考查角度及命题位置

(新课标)高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆学案理新人教A版

（新课标）高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆学案理新人教A 版第1讲直线与圆[做真题]题型一圆的方程1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析：选A ．由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.答案：(x －32)2＋y 2＝2543．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 题型二直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A ．圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：选C ．设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝46，故选C ．3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即||3m －3m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.答案：4[明考情]1．近两年圆的方程成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．直线的方程 [考法全练]1．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C ．2±52D ．2＋52或0解析：选A ．因为平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，所以k AB ＝k AC ，即a 2＋a2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.故选A ．2．若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则m 的值为( ) A ．7 B ．0或7 C ．0D ．4解析：选B ．因为直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，所以m (m －1)＝3m ×2，所以m ＝0或7，经检验，都符合题意．故选B ．3．已知点A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m的取值范围是( )A ．[－2，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，6]C ．[－2，－1]∪[3，6]D ．[－2，0)∪(0，6]解析：选C ．由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以⎝⎛⎭⎪⎫m －6m－2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C ．4．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝05．(一题多解)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于直线l 对称，则直线l 2的方程是________．解析：法一：l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任意一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上的一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，故可得l 2的方程为x －2y －1＝0.法二：设l 2上任一点为(x ，y )，其关于l 的对称点为(x 1，y 1)，则由对称性可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12－y ＋y 12－1＝0，y －y1x －x 1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ＋1，y 1＝x －1.因为(x1，y 1)在l1上，所以2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即l2的方程为x－2y－1＝0.答案：x－2y－1＝0(1)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．(2)轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A·x1＋x22＋B·y1＋y22＋C＝0.y2－y1x2－x1·⎝⎛⎭⎪⎫－AB＝－1，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决圆的方程[典型例题]在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．【解】由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则AC→·BC→＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－12.由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋y 2＝1716.(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0，整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.求圆的方程的2种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2，0)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析：选D ．若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.2．经过原点且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4解析：选A ．设圆心的坐标为(a ，b )，则a 2＋b 2＝r 2①，(a －2)2＋b 2＝r 2②，ba －2＝1③，联立①②③解得a ＝1，b ＝－1，r 2＝2.故所求圆的标准方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选A ．3．(2019·安徽合肥模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )A ． 5B ． 6C ．7D ．2 2解析：选C ．圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－a (a <1)，圆心M (1，0)，则|OM |＝1，因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2＝－6，所以r 2＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7，故选C ．直线与圆、圆与圆的综合问题[典型例题]命题角度一切线问题已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C ．⎝⎛⎭⎪⎫34，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 【解析】因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．所以圆心C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－m ，m 2，且半径的平方r 2＝(4－2m )2＋m24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝(4－2m )2＋m 24，①又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.故选B ．【答案】 B过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k (k ≠0)，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存在时，设切线斜率为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．命题角度二弦长问题已知圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．【解】 (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即(a ＋2)2＋(a －0)2＝(a －0)2＋(a －2)2＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1. 又|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12|PQ |·|MN |＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－4(d 21＋d 2)＋d 21d 2 ＝212＋d 21d 2≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7.求解圆的弦长的3种方法关系法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r 2＝d 2＋l 24(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)公式法根据公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→； (3)求证：|AN |·|BM |为定值．【解】 (1)易知圆心C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上，故可设C (a ，a )，圆C 的半径为r .因为直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为23，且r ＝a 2＋(a －2)2，所以C (a ，a )到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|7a ＋5|5＝r 2－3＝2a 2－4a ＋1，所以a ＝0或a ＝170.又圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，所以a ＝0，此时r ＝2，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)将y ＝x ＋1代入x 2＋y 2＝4得2x 2＋2x －3＝0. 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－32.所以BA 1→·BA 2→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3.(3)证明：当直线PA 的斜率不存在时，|AN |·|BM |＝8. 当直线PA 与直线PB 的斜率都存在时，设P (x 0，y 0)，直线PA 的方程为y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 02－y 0，0.直线PB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 02－x 0. 所以|AN |·|BM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 02－x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2x 02－y 0＝4＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0x 0－2＋x 0y 0－2＋x 0y 0(x 0－2)(y 0－2)＝4＋4×y 20－2y 0＋x 20－2x 0＋x 0y 0(x 0－2)(y 0－2)＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 0(x 0－2)(y 0－2)＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 04－2y 0－2x 0＋x 0y 0＝8，综上，|AN |·|BM |为定值8.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．[对点训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D ．由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D ．2．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝255，则直线l 的方程为________．解析：直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2，3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，由R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22，得1＝(2k －2)2k 2＋1＋15，解得k ＝2或12，故所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1.答案：y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与y 轴相切，且过点M (1，3)，N (1，－3)． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且直线OA 与直线OB 的斜率之积为－2.求证：直线l 恒过定点，并求出定点的坐标．解：(1)因为圆C 过点M (1，3)，N (1，－3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线上，即在x 轴上，故设圆心为C (a ，0)，易知a >0，又圆C 与y 轴相切，所以圆C 的半径r ＝a ，所以圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2. 因为点M (1，3)在圆C 上，所以(1－a )2＋(3)2＝a 2，解得a ＝2. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)记直线OA 的斜率为k (k ≠0)，则其方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y ，得(k 2＋1)x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4k 2＋1. 所以A ⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋1，4k k 2＋1.由k ·k OB ＝－2，得k OB ＝－2k，直线OB 的方程为y ＝－2kx ，在点A 的坐标中用－2k 代替k ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2k 2＋4，－8k k 2＋4.当直线l 的斜率不存在时，4k 2＋1＝4k 2k 2＋4，得k 2＝2，此时直线l 的方程为x ＝43.当直线l的斜率存在时，4k2＋1≠4k2k2＋4，即k2≠2.则直线l的斜率为4kk2＋1－－8kk2＋44k2＋1－4k2k2＋4＝4k(k2＋4)＋8k(k2＋1)4(k2＋4)－4k2(k2＋1)＝3k(k2＋2)4－k4＝3k2－k2.故直线l的方程为y－4kk2＋1＝3k2－k2⎝⎛⎭⎪⎫x－4k2＋1.即y＝3k2－k2⎝⎛⎭⎪⎫x－43，所以直线l过定点⎝⎛⎭⎪⎫43，0.综上，直线l恒过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫43，0.一、选择题1．已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为( )A．(3，3) B．(2，3)C．(1，3) D．⎝⎛⎭⎪⎫1，32解析：选C．直线l1的斜率k1＝tan 30°＝33，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－1k1＝－3，所以直线l1的方程为y＝33(x＋2)，直线l2的方程为y＝－3(x－2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y＝33(x＋2)，y＝－3(x－2)，解得⎩⎨⎧x＝1，y＝3，即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，3)．2．圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A、B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为( )A．(x－1)2＋(y－2)2＝2B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4D．(x－1)2＋(y－2)2＝4解析：选A．由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，故选A．3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B ．圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(2019·皖南八校联考)圆C 与直线2x ＋y －11＝0相切，且圆心C 的坐标为(2，2)，设点P 的坐标为(－1，y 0)．若在圆C 上存在一点Q ，使得∠CPQ ＝30°，则y 0的取值范围是( )A ．[－12，92]B ．[－1，5]C ．[2－11，2＋11]D ．[2－23，2＋23]解析：选C ．由点C (2，2)到直线2x ＋y －11＝0的距离为|4＋2－11|5＝5，可得圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.若存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，∠CPQ ≥30°，可得sin ∠CPQ ＝CQ CP＝5CP≥sin 30°，即CP ≤25，则9＋(y 0－2)2≤25，解得2－11≤y 0≤2＋11.故选C ．5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D ．由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D ．6．(一题多解)(2019·河南郑州模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C ．法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM →＝OA →＋OB →，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4(k 2＋1)2＋4k 2(k 2＋1)2＝4，解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0.二、填空题7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－338．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－(－2)×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.答案：－2 5三、解答题10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意得(x ＋1)2＋y 2＝3·(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－(t －2)22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2(x －x 22)，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m2)2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，所以设圆心C 为(a ，2a －4)，又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋(2a －4＋1)2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。

新高考数学二轮课件：专题5 第1讲直线与圆

6 [假设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦
为AB，∵圆的半径r＝
10，圆心到直线的距离d＝
5 －32＋42
＝1，
∴弦长|AB|＝2× r2－d2＝2 10－1＝2×3＝6.]
5．[一题多解]经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的方程为 ________．
2．(借助待定系数法求圆的方程)已知圆C关于y轴对称，经过点 A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为 ________．

x2＋y±
332＝43
[因为圆C关于y轴对称，
所以圆心C在y轴上，可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
(x－1)2＋y2＝4 [法一：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0，将A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得
1－D＋F＝0，

9＋3D＋F＝0， 1＋4＋D＋2E＋F＝0，
解得D＝－2，E＝0，F＝－3，所以圆的
方程为(x－1)2＋y2＝4. 法二：(几何法)根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0与圆x2＋y2 ＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若 |AB|＝2 3，则|CD|＝________.
4 [由直线l：mx＋y＋3m－ 3 ＝0知其过定点(－3， 3 )，圆心 O到直线l的距离为d＝|3mm－2＋13|.
上，设圆心坐标O(1，a)，则圆的半径r＝ 4＋a2 ＝|a－2|，所以a＝ 0，r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.]

2021届高考数学(新课改版)二轮专题五解析几何第1讲直线与圆课件

（4＋2）2＋（2－0）2＝2 10.故选A.
答案：A
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5．(多选)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是
用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无
限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决
数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2
＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶
0，则下列说法正确的是
()
A．圆A的半径为2
B．圆A截y轴所得的弦长为2 3
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
(2)(多选)(2020·淄博模拟)已知圆C过点M(1，－2)且与两
坐标轴均相切，则下列叙述正确的是
()
A．满足条件的圆C的圆心在一条射线上
方程为 xa ＋－ya ＝1，由该直线过点(1，2)可得 1a － 2a ＝1，解
得a＝－1，则该直线的方程为x－y＋1＝0.综上可知，该
直线的方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0，故选D.
答案：D
返回
4．设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2，0)，
B(2，0)，则|PA|＋|PB|的最小值为
答案：C
返回
3．过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0，则该直
线的方程为
()
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0或x＋y－3＝0
D．2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析：当直线过原点时，可得其斜率为
2－0 1－0
＝2，故该直
线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不过原点时，设其
B．满足条件的圆C有且只有一个

高考数学二轮复习第一部分专题篇专题五解析几何第一讲直线与圆课件文

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考点(kǎo diǎn)三
试题
解析
圆 C：x2＋y2－2ay－2＝0 化为标准方程是 C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
考点(kǎo diǎn) 所以圆心 C(0，a)，半径 r＝ a2＋2.|AB|＝2 3，点 C 到直线 y＝x
一
考点(kǎo diǎn)
＋2a
即
x－y＋2a＝0
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考点(kǎo diǎn)一
试题
解析(jiě
[自主突破·提速练]
考点(kǎo diǎn) 1．(2016·重庆一中检测)若直线 l1：(a－1)x＋y－1＝0 和直线 l2：
一
考点二
3x＋ay＋2＝0 垂直，则实数 a 的值为( D )
1
3
考点三
A.2
B.2
C.14
D.34
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考点
试题通解
优解
(kǎo diǎn)二
设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
考点(kǎo diǎn)
1＋D＋F＝0， ∴3＋ 3E＋F＝0，
一考点(kǎo diǎn)
7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2，
∴E＝－4
3
3，
F＝1，
二
考点三
∴△ABC
外接圆的圆心为1，2
考点三
×1＝－1，即 x＋y＋12＝0(2)，联立(1)(2)解得 x＝－2，y＝23，又两
圆半径相等，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋y－232＝54，选 A.
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考点
(kǎo diǎn)二
试题