习题课(数轴穿根法,不等式恒成立问题)

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含参不等式恒成立问题例题

含参不等式恒成立问题例题在数学的世界里，有一种“含参不等式恒成立”的问题，听起来有点复杂，但实际上就像生活中的一些小窍门，掌握了就能轻松应对。

想象一下，数学就像一场舞会，里面有各种各样的舞步，有的简单易学，有的则需要你慢慢去摸索。

这些含参不等式就像那些你在舞会里需要学的舞步，只要掌握了，你就能在任何场合中游刃有余。

先说说什么是“含参不等式”。

简单来说，就是不等式中有参数，这些参数就像是调味料，放多少，怎么放，都会影响最终的结果。

参数就像是调皮的小孩子，让不等式变得难以捉摸。

可是，只要你找到合适的调味方式，不论参数怎么变化，不等式都能保持“和谐”的状态，听起来是不是很神奇？拿一个简单的例子来说吧，想象一下你在做饭，盐、糖、醋，每一样都要掌握好分量，才能做出美味的菜肴。

如果你在一道菜里放了太多盐，那就惨了，味道会让人皱眉；可是如果放得刚刚好，哇，绝对让人回味无穷。

这就是不等式的精髓，参数调得好，一切都能顺理成章。

在这道问题中，我们会遇到一些技巧，比如要学会“化简”。

有些东西，表面上看起来复杂，实际上只要你用对了方法，往往就能简单明了。

就像你在穿衣服的时候，挑选一件合适的外套，有时候那件看似简单的衣服，搭配得当，反而能让你瞬间提升气场。

其实数学也有同样的道理，化繁为简，才能找到最优解。

还有一些不等式的常用形式，比如“阿莫尔不等式”，听起来很高大上，其实就像在说：“伙计，学会了这招，你就能在不等式的海洋中畅游无阻。

”它帮助我们理解不同参数之间的关系，打下坚实的基础。

就好比你在乐队里，如果每个人都能把自己的乐器演奏得当，那整个乐队就会和谐得像一首动人的交响曲。

哦，咱们得聊聊例子了。

举个例子吧，假如有一个不等式 (a + b geq 2sqrt{ab)，听上去像是个难题，但实际上它是在说：只要你把 (a) 和 (b) 搞得好，它们的和总是大于等于它们的几何平均。

这就像你和朋友一起出去玩，不论你们买了多少东西，只要快乐是最重要的。

2.3 习题课不等式恒成立、能成立问题

≤
0，解得a≥13；
故实数a的取值范围是a≥13.
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学霸笔记： (1)不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝ 0时，b＝0，c>0；当a≠0时，ቊaΔ><00，. (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝ 0时，b＝0，c<0；当a≠0时，ቊaΔ<<00，.
解析：由题意得，k<x2−5xx+4在x>0上恒成立，令y＝x2−5xx+4，只需k<ymin即可，由基本不等式得g(x)＝x＋4x－5≥2 4－5＝－1，当且仅当x＝4x，即x＝2时等号成立．所以k<－1，则k的取值范围是{k|k<－1}．
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学霸笔记：(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题． ①当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. ②当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. (2)用分离参数法转化为相应二次函数的最值或用基本不等式求最值．
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02.课后检测案（17）
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基础强化 1.(5分)若命题“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是( ) A．－16≤a≤0 B．－16<a<0 C．－4≤a≤0 D．－4<a<0
答案：A
解析：因为∀x∈R，x2＋ax－4a≥0，所以a2－4×1×(－4a)＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故实数a的取值范围是－16≤a≤0.

不等式习题课-解含参不等式,根的分布问题,含参不等式恒(能)成立问题,求最值(或范围)

a－2 综上所述可知：当 a＜0 时，原不等式的解集为( ，2)； a－1 当 a＝0 时，原不等式的解集为 Ф； a－2 当 0＜a＜１时，原不等式的解集为(2， )； a－1 a－2 当 a＞１时，原不等式的解集为(－∞， )∪(2，＋∞)。 a－1
返回3
作业 1．解关于x的不等式：(ax－1)(x－a)＞0 2．解关于x的不等式：x2＋ax＋4≥0 ．
答案6
答案7
作业
1．解：记 f(m)＝(x－1)m＋x2－4x＋3，则
f(0)＝x －4x＋3＞0 由题得 x＜－1 或 x＞3． f(4)＝x2－1＞0
2 2
返回2
Δ＝4t2－4(t2－1)＝4＞0 －2＜t＜4 2 2 解法一：记 f(x)＝x 2tx＋t 1，则 f(－2)＝t2＋4t＋3＞0 f(4)＝4t2－8t＋15＞0 1＜t＜3．
解法二：x22tx＋t21＝0[x－(t－1)][x－(t＋1)]＝0 x＝t－1 或 x＝t＋1，则由题有
返回2
a－2 (a－1)(x－ ) a－1 a－2 解：原不等式等价于＞0(a－1)(x－2)(x－ )＞0(*) x－2 a－1
a－2 a－2 a－2 1 1° a＞１时，有＝1－＜1，∴(*)(x－2)(x－ )＞0x＜或 x＞2， a－1 a－1 a－1 a－1
a－2 a－2 a 2° a＜１时，(*)(x－2)(x－ )＜0，又 2－＝， a－1 a－1 a－1 a－2 a－2 ①当 0＜a＜１时，有＞2，∴2＜x＜； a－1 a－1 a－2 a－2 ②当 a＜0 时，有＜2，∴ ＜x＜2； a－1 a－1 a－2 ③当 a＝0 时，当＝2，∴(*)(x－2)2＜0x∈Ф a－1

考点练习(必修五)：不等式的恒成立问题(附答案)

不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)2. 已知不等式22230ax ax a -++>的解集为R,则a 的取值范围是（）A.a ≥0B.a ＞0C.a ≥－3D.a ＞－33. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.4. 若关于x 的不等式2224< 24ax ax x x +-+对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是____．5. 若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．6. 若不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)7. 若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]8. 已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对一切x ∈R ，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．9. 已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．10. 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．11. 若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．12. 定义在R 上的运算：()*1x y x y =-，若不等式()()*1x y x y -+<对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是______．13. 设0πα≤≤，不等式()288sin cos20x x αα-+≥对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 .14. 已知函数)()lgf x x x =+，若不等式()()33920x x x f m f ⋅+--<对任意x ∈R恒成立，求实数m 的取值范围.二、转化为函数最值问题1. 若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．32. 当x ∈(1,2)时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是_______________.3. 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．4. 对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．5. 已知函数()221f x x ax =-+对任意0 1]x ∈（，恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[1 +∞，）B ．[1 2∞-+，）C ．1] -∞（，D ．12]∞--（，6. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）.A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--7. 已知()()()()23 22x f x m x m x m g x =-++=-，．若任意() < 0x R f x ∈，或()< 0g x ，则m 的取值范围是________．三、变更主元1. 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ≥0恒成立，求x 的取值范围．2. 已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．3. 对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)4. 已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．5. 设函数21f x mx mx =--（）（1）若对一切实数() < 0x f x ，恒成立，求m 的取值范围．（2）若对一切实数 2 [ 2]m ∈-，，()< 5f x m -+恒成立，求x 的取值范围．四、存在问题1. 存在实数x ，使得243< 0x bx b -+成立，则b 的取值范围是________．2. 若不存在整数x 使不等式()()2440kx k x <---成立，则实数k 的取值范围是____．3. 关于x 的不等式()21< 0x a x a -++的解集中恰有3个整数解，则a 的取值范围是________．4. 已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．5. 已知函数f(x)＝2kxx2＋6k(k＞0)．(1)若f(x)＞m的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求不等式5mx2＋kx＋3＞0的解集；(2)若存在x＞3，使得f(x)＞1成立，求k的取值范围．参考答案不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 解析：选C ①当m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不符合题意．②当m ≠－1时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311，符合题意．故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－1311. 2. 【答案】A 【解析】由题意可知当时,符合题意；当时，要求解得.综上所述a 的取值范围是a ≥0.. 3.【解析】当时，不等式变形为，解集为，符合题意；当时，依题意可得，综上可得．4. 【答案】]2 2-（，【解析】不等式2224< 24ax ax x x +-+，可化为()()22224< 0a x a x -+--，当20a -=，即2a =时，恒成立，合题意．当20a -≠时，要使不等式恒成立，需020a ∆<⎧⎨-<⎩，解得2< < 2a -．所以a 的取值范围为]2 2-（，．故答案为：]2 2-（，5. 解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 6. 解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋m2>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.7. 解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．8. [解] 由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.故a 的取值范围是(0,4)．9. 已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f (x )＝mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的m .10. 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)11. 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立．∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0. 解得－1＜a ＜0. 答案：(－1,0) 12.【答案】13 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由已知()()()()*11x y x y x y x y -+=---<对一切实数x 恒成立，所以2210x x y y --++>对一切实数x 恒成立，所以()21410y y ∆=--++<，所以1322y -<<． 13. 分析根据开口向上的二次函数定义域为R 时函数值非负的条件()0∆≤列式直接运算求解.解析由题意，要使()288sin cos20x x αα-+≥对x ∈R 恒成立，需264sin32cos20∆αα=-≤，化简得1cos 22α≥.又0πα≤≤，所以π5π0222π33αα或≤≤≤≤，解得π5π0π66αα或≤≤≤≤. 答案：0,π5π⎡⎤⎡⎤,π⎢⎥⎢⎥66⎣⎦⎣⎦. 14. 略二、转化为函数最值问题1. 解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3. 2. (],5-∞-3. 解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1. 因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67.4. 解析：当x ＝0时，不等式恒成立，当x ≠0时，将问题转化为－a ≤1|x |＋|x |，由1|x |＋|x |≥2，故－a ≤2，即a ≥－2.所以实数a 的取值范围为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)5. 【答案】C【解析】解法一：依题意可得2440a ∆=-≤，或0(0)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≤≥⎪⎪⎩或1(1)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≥≥⎪⎪⎩，解得11a ≤≤-，或01 1 10a a a ><-⎧≥⎪≤⎪⎨⎩或或111 1 a a a a ><-⎧≤⎪≥⎪⎨⎩或，即有11a ≤≤-，或1a <-或a ∈∅，故实数a 的取值范围是：1] -∞（，．解法二：()221f x x ax -=+对任意0 1]x ∈（，恒有()0f x ≥成立，即有12a x x≤+在0 1]x ∈（，恒成立，由于12x x+≥，当且仅当1x =取最小值2，则22a ≤，即有1a ≤．故选C ． 6. 略7.【答案】()4 0-，【解析】因为()22x g x =-，当1x ≥时，()0g x ≥，又因为任意x R ∈，()< 0f x 或()< 0g x ，所以此时()()()230f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立．若()0 0m f x ==，恒成立，不符合，0m ≠故，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的左面则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，所以40m -<<．故答案为： 4 0-（，）．三、变更主元1. 解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．2. 解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数．要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ g＜0，g －＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4＜0，x 2－10x ＋4＜0. 因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立． 3. 解析：选B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ g ＝x 2－3x ＋2>0，g－＝x 2－5x ＋6>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2，x <2或x >3⇔x <1或x >3. 4. 解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立；当m ≠0时，由二次函数的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4mm －，解得m <1－2，综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－2)．(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1. 故x 的取值范围是(0,1)．5. 【答案】（1）]( 4 0-，；（2）()1 2-，．【解析】（1）当0m =时，()211f x mx mx =--=-，对一切实数x ，()< 0f x 恒成立；当0m ≠时，若对一切实数x ，()< 0f x 恒成立，则有2040m m m <⎧⎪⎨+<⎪⎩，所以4< < 0m -，综上，m 的取值范围是]( 4 0-，．（2）因为()< 5f x m -+，所以21< 5mx mx m ---+，所以()216< 0x x m -+-，因为对一切实数 2 [ 2]m ∈-，，()< 5f x m -+恒成立，且21>0x x -+，所以只需()2216< 0x x -+-，解得1< < 2x -．所以x 的取值范围是()1 2-，．四、存在问题1. 【答案】3> < 04b b 或【解析】因为存在实数x ，使得243< 0x bx b -+成立的等价说法是：存在实数x ，使得函数243y x bx b =-+的图象在x 轴下方，即函数与x 轴有两个交点，故对应的()23443>0< 0>4b b b b ∆=--⨯⇒或．故答案为：< 0b 或3>4b ．2. 【答案】14k ≤≤【解析】设原不等式的解集为A ，当0k =时，则>4x ，不合题意，当>0k 且2k ≠时，原不等式化为[]44< 0x k x k -+-（）（），因为4>4k k+，所以44 ()A k k =+，，要使不存在整数x 使不等式()()244< 0kx k x ---成立，需45k k+≤，解得：14k ≤≤；当2k =时，A =∅，合题意；当< 0k 时，原不等式化为44>[]0x k x k-+-（）（），所以44 A k k=-∞++∞（，）（，），不合题意，故答案为：14k ≤≤．3. 【答案】 3 2 ]4 [5--，）（，【解析】由()21< 0x a x a -++，得()()1< 0x x a --，若1a =，则不等式无解．若>1a ，则不等式的解为1< < x a ，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为 2 3 4x =，，，则45a <≤．若1a <，则不等式的解为1a x <<，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个整数解为0 1 2x =--，，，则3< 2a -≤-．综上，满足条件的a 的取值范围是 3 2 ]4 [5--，）（，．故答案为： 3 2 ]4 [5--，）（，．4. 解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足⎩⎪⎨⎪⎧f－＜0，f ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧25－6a ＜0，1＋2a ＜0，解得⎩⎨⎧a ＞256，a ＜－12.这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．5. 解：(1)由不等式f (x )＞m ⇔2kxx 2＋6k＞m ⇔mx 2－2kx ＋6km ＜0，∵不等式mx 2－2kx ＋6km ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}， ∴－3，－2是方程mx 2－2kx ＋6km ＝0的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k m ＝－5，6k ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－25，故有5mx 2＋kx ＋3＞0⇔2x 2－x －3＜0⇔－1＜x ＜32， ∴不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32. (2)f (x )＞1⇔2kxx 2＋6k＞1⇔x 2－2kx ＋6k ＜0⇔(2x －6)k ＞x 2.存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，即存在x ＞3，使得k ＞x 22x －6成立．令g (x )＝x 22x －6，x ∈(3，＋∞)，则k ＞g (x )min .令2x －6＝t ，则x ＝t ＋62，则t ∈(0，＋∞)，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋622t＝t 4＋9t＋3≥2 t 4·9t＋3＝6，当且仅当t 4＝9t ，即t ＝6时等号成立．当t ＝6时，x ＝6，∴g (x )min ＝g (6)＝6，故k 的取值范围为(6，＋∞)．。

专题06 不等式恒成立问题(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数

专题6 不等式恒成立问题函数与导数一直是高考中的热点与难点,利用导数研究不等式恒成立问题一直是高考命题的热点,此类问题一般会把函数、导数及不等式交汇考查,对能力要求比较高,难度也比较大,常见的题型是由不等式恒成立确定参数范围问题,常见处理方法有：①构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围．②分离变量,把问题转化为函数的最值问题．(一) 与不等式恒成立问题有关的结论①. ∀x ∈D ,均有f (x )>A 恒成立,则f (x )min >A ；②. ∀x ∈D ,均有f (x )﹤A 恒成立,则 f (x )ma x <A ；③. ∀x ∈D ,均有f (x ) >g (x )恒成立,则F (x )= f (x )- g (x ) >0,∴ F (x )min >0；④. ∀x ∈D ,均有f (x )﹤g (x )恒成立,则F (x )= f (x )- g (x ) <0,∴ F (x ) ma x <0；⑤. ∀x 1∈D , ∀x 2∈E ,均有f (x 1) >g (x 2)恒成立,则f (x )min > g (x )ma x ；⑥. ∀x 1∈D , ∀x 2∈E ,均有f (x 1) <g (x 2)恒成立,则f (x ) ma x < g (x ) min .【例1】（2024届天津市河西区高三下学期质量调查三）已知函数()22ln f x a x x =--,()()221ln g x ax a x x=-+-,其中a ÎR ．(1)若()20f ¢=,求实数a 的值(2)当0a >时,求函数()g x 的单调区间；(3)若存在21,e e x éùÎêúëû使得不等式()()f x g x £成立,求实数a 的取值范围．【解析】（1）因为()22ln f x a x x =--,则()222a f x x x =-¢+,由()20f ¢=可得222022a -+=,解得12a =.（2）函数()()221ln g x ax a x x=-+-的定义域为()0,¥+,且()()()()222221212212ax a x ax x a g x a x x x x -++--+=-+=¢=,当0a >时,令()0g x ¢=,可得10x a=>或2x =,①当12a =,即12a =时,对任意的0x >,()0g x ¢>,()g x 的单调递增区间为()0,¥+．②当102a <<,即12a >时,()0g x ¢>,得10x a<<或2x >,()0g x ¢<,得12x a <<,()g x 的单调递增区间为10,a æöç÷èø和()2,¥+,单调递减区间为1,2a æöç÷èø③当12a >,即102a <<时()0g x ¢>,得02x <<或1a ；()0g x ¢<,得12x a <<,()g x 的单调递增区间为()0,2和1,a ¥æö+ç÷èø,单调递减区间为12,a æöç÷èø,综上所述,12a =时,函数()g x 的单调增区间为()0,¥+；12a >时,函数()g x 的单调增区间为10,a æöç÷èø和()2,¥+,单调减区间为1,2a æöç÷èø；102a <<时,函数()g x 的单调增区间为()0,2和1,a ¥æö+ç÷èø,单调减区间为12,a æöç÷èø.（3）由()()f x g x £,可得ln 0ax x -³,即ln x a x ³,其中21,e e x éùÎêúëû,令()ln x h x x =,21,e e x éùÎêúëû,若存在21,e e x éùÎêúëû,不等式()()f x g x £成立,则()min a h x ³,21,e e x éùÎêúëû,()21ln xh x x-¢=,令()0h x ¢=,得e x =,当1e e x £<时,()0h x ¢>,当2e e x <£时,()0h x ¢<,所以函数()h x 在1,e e éùêúëû上递增,在(2e,e ùû上递减,所以函数()h x 在端点1ex =或2e x =处取得最小值．因为1e e h æö=-ç÷èø,()222e e h =,所以()1e e h h æö<ç÷èø,所以()min 1e e h x h æö==-ç÷èø,所以e a -≥,因此,实数a 的取值范围是[)e,¥-+．【例2】（2024届重庆市九龙坡区高三下学期5月第三次质量抽测）已知函数()213ln 22f x x x ax =+-+,()0a >.(1)当[)1,x ¥Î+时,函数()0f x ³恒成立,求实数a 的最大值；(2)当2a =时,若()()120f x f x +=,且12x x ¹,求证：122x x +>；(3)求证：对任意*N n Î,都有()2112ln 1ni i n n i =-æö++>ç÷èøå.【解析】（1）当1x ³时,()213ln 022f x x x ax =+-+³恒成立,即ln 1322x a x x x £++恒成立,只需min ln 1322x a x xx æö£++ç÷èø即可,令()ln 1322x g x x x x =++,1x ³,则()22221ln 132ln 1222x x x g x x x x ---=-¢+=,令()22ln 1h x x x =--,1x ³,则()22222x h x x x x=¢-=-,当1x ³时,()0h x ¢³恒成立,()h x 在[)1,x ¥Î+单调递增,所以()()10h x h ³=,所以()0g x ¢³在[)1,x ¥Î+恒成立,()g x 在[)1,x ¥Î+单调递增,所以()()min 12g x g ==,所以2a £,即实数a 的最大值为2.（2）当2a =时,()213ln 222f x x x x =+-+,0x >,所以()()21120x f x x x x-=+=¢-³,()f x 在()0,x ¥Î+上单调递增,又()10f =,()()120f x f x +=且12x x ¹,不妨设1201x x <<<,要证122x x +>,即证明212x x >-,因为()f x 在()0,x ¥Î+上单调递增,即证()()212f x f x >-,因为()()120f x f x +=,即证()()1120f x f x +-<,设()()()()()()2213132ln 2ln 22222222F x f x f x x x x x x x =+-=+-++-+---+()()()2ln 221ln 221x x x x x x x x éùéù=-+-+=---+ëûëû,01x <<,令()2t x x =-,则01t <<,则()ln 1t t t j =-+,()111tt t t j -=-=¢,由01t <<可得()0t j ¢>,()t j 在()0,1单调递增,所以()()10t j j <=,即()()()20F x f x f x =+-<,所以()()1120f x f x +-<成立,所以122x x +>.（3）由（2）可知当2a =时,()f x 在()1,¥+单调递增,且()()10f x f >=,由213ln 2022x x x +-+>得22ln 430x x x +-+>,即()22ln 21x x +->,令1n x n +=,则2112ln 21n n n n ++æö+->ç÷èø,即2112ln 1n n n n +-æö+>ç÷èø,所以22112ln 111-æö+>ç÷èø,23122ln 122-æö+>ç÷èø,24132ln 133-æö+>ç÷èø,…,2112ln 1n n n n +-æö+>ç÷èø,相加得()2112ln 1ni i n n i =-æö++>ç÷èøå.(二)把函数单调性问题转化为不等式恒成立问题若给出函数单调性,求参数范围,可把问题转化为恒成立问题,若可导函数()f x 在(),a b 上是增（减）函数,则(),x a b Î时()0f x ¢³（或()0f x ¢£）恒成立.【例3】（2024届湖北省黄冈中学高三5月模拟）已知函数()()1ln 2f x x x ax =+-+.(1)当1a =时,求()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()f x 在()1,¥+上单调递增,求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时,()()1ln 2f x x x x =+-+,()0x >,()1ln f x x x=¢+,()11f ¢=,()11f =,所以()f x 的图象在1x =处的切线方程为：y x =.（2）()1ln 1f x x a x=++-¢,若函数()f x 在()1,¥+上单调递增,则()0f x ¢³对于()1,x ¥Î+恒成立,即1ln 1a x x£++对于()1,x ¥Î+恒成立,令()()1ln 1,1g x x x x =++>,当1x >时,()210x g x x-¢=>,则函数()g x 在()1,¥+上单调递增,所以()()12g x g >=,故2a £. (三)把二元不等式恒成立问题转化为函数单调性问题对于形如12x x >时不等式()()()()1221f x g x f x g x +>+恒成立问题,可构造增函数()()f x g x -来求解.基本结论：(1)“若任意210x x >>,()()1212f x f x kx kx ->-,或对任意12x x ¹,()()1212f x f x k x x ->-,则()y f x kx =-是增函数；(2) 对任意12x x ¹,()()1212121f x f x x x x x ->-,则()1y f x x=+是增函数；【例4】（2024届山西省吕梁市高三三模）已知函数()()22ln ,f x x x a x a =-+ÎR .(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的()1212,0,,x x x x Î+¥¹,使()()2112120x f x x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围.【解析】（1）()f x 的定义域为()()2220,,22a x x ax f x x x x¥-+Î+=-+=¢,令()222g x x x a =-+,又Δ48a =-Q ,1o ,当Δ0£,即12a ³时,()0g x ³,此时()()0,f x f x ¢>在()0,¥+上单调递增2o ,当Δ0>,即12a <时,令()0g x =,解得12x x =其中,当102a <<时()()()1212,0,0,,,0x x x x x g x ¥<ÎÈ+,()()12,0x x x g x Î<，，所以()f x 在()()120,,,x x ¥+单调递增,在()12,x x 单调递减；当0a <时,()()()()12220,0,,0,,,0x x x x g x x x g x ¥<<ÎÎ+,故()f x 在()20,x 单调递减,()2,x ¥+单调递增.综上：()1,2a f x ³在()0,¥+上单调递增；()10,2a f x <<在,¥æö+ç÷ç÷èø上单调递增；()0,a f x£在æççè上单调递减,在¥ö+÷÷ø上单调递增.（2）()()()()()()12122112121200f x f x x x x f x x f x x x x x éùéù-->Û-->êúëûëû.令()()ln 2f x a xg x x xx==-+,则只需()g x 在()0,¥+单调递增,即()0g x ¢³恒成立,()()221ln x a x g x x ¢+-=,令()()21ln h x x a x =+-,则()0h x ³恒成立；又()222a x ah x x x x=¢-=-,①当0a =时,()()2,h x x h x =在()0,¥+单调递增成立；②当0a <时,()()0,h x h x ¢>在()0,¥+单调递增,又()0,x h x ¥®®-,故()0h x ³不恒成立.不满足题意；③当0a >时,由()0h x ¢=得()x h x =在æççè单调递减,在¥ö+÷÷ø单调递增,因为()0h x ³恒成立,所以min 3()3ln 022a h x h æö==-³ç÷èø,解得302e a <£,综上,3[0,2e ]a Î.(四)形如“若x m ³,则()()f x f m ³”的恒成立问题求解此类问题的思路是：先确定是使()0f x ¢³的参数a 的取值范围A ,当a A Î,由()f x 为增函数及x m ³可得()()f x f m ³恒成立,当a A Ï时确定存在0x m >,使得()0,x m x Î,()0f x ¢<,()f x 递减,即()0,x m x Î时()()f x f m <,故原不等式不恒成立.【例5】函数()e sin x f x x a =+-的图像与直线20x y -=相切.(1)求实数a 的值；(2)当[0,)x Î+¥时,()sin 2f x m x ³,求实数m 的取值范围.【解析】 (1)()e sin ()e cos x x f x x a f x x ¢=+-Þ=+,设切点为00(,)x y ,所以有000()e cos x f x x ¢=+,因为20x y -=是切线,所以有0000e cos 220x x x y ì+=ïí-=ïî,设()e cos 2()e sin x x h x x h x x ¢=+-Þ=-,显然当0x >时,()0,()h x h x ¢>单调递增,所以有()(0)0h x h >=,当0x >时,e 1,cos 1x x <£,所以e cos 20x x +-=无实数根,因此当R x Î时,方程()e cos 20x h x x =+-=有唯一实数根,即0x =,于是有0000x y =Þ=,因此有0e sin 001a a +-=Þ=；(2)令()e sin sin 21x g x x m x =+--,则()0g x ³在[0,)+¥恒成立()e cos 2cos 2x g x x m x =+-¢.(0)22g m=-¢若220m -³,即1m £时,当π02x ££时,由cos cos 2x x ³得()0g x ¢³,所以()g x 在0,2p éö÷êëø单调递增,又(0)0g =,所以()0g x ³在π0,2éö÷êëø恒成立；当2x p >时,π2e e 3x >>所以()3sin sin 210g x x m x >---³.所以()0g x ³在π,2éö+¥÷êëø恒成立.若220m -<即1m >时,(0)220g m =¢-<,则存在00x >,使得()g x 在()00,x 单调递减,则当()00,x x Î时,()(0)0g x g <=矛盾,舍，综上所述,m 的取值范围时(,1]-¥.(五)根据不等式恒成立求整数参数的最值此类问题通常可分类参数,把问题转化为()m f x <（()m f x >）,m ÎZ 的形式,()f x 有最小（大）值,但无法求出,只能引入导函数的隐零点0x ,估计()0f x 的范围,再确定整数m 的最大（小）值.【例6】（2024届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三上学期第二次质量检测）已知函数32()23(1)6(R)f x x m x mx x =+++Î.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()11f -=,函数()2()()ln 10f x g x a x x =+-£在()1,+¥上恒成立,求整数a 的最大值.【解析】（1）根据题意可得()()2()66(1)661f x x m m x x m x ¢=+++=++,若1m =,()2()610f x x ¢=+³在x ÎR 上恒成立,此时函数()f x 在R 上单调递增；若1m >,此时1m -<-,当(),x m Î-¥-()1,¥È-+时,满足()0f x ¢>,此时函数()f x 在(),m -¥-,()1,-+¥上单调递增；当(),1x m Î--时,满足()0f x ¢<,此时函数()f x 在(),1m --单调递减；若1m <,此时1m ->-,当(),1x Î-¥-(),m ¥È-+时,满足()0f x ¢>,此时函数()f x 在(),1-¥-,(),m -+¥上单调递增,当()1,x m Î--时,满足()0f x ¢<,此时函数()f x 在()1,m --单调递减；综上可知,1m =时,()f x 在R 上单调递增；1m >时,()f x 在(),m -¥-和()1,-+¥上单调递增,在(),1m --单调递减；1m <时,()f x 在(),1-¥-和(),m -+¥上单调递增,在()1,m --单调递减；（2）由()11f -=可得23(1)61m m -++-=,解得0m =；所以32()23f x x x =+,则()()ln 123g x a x x =+--,易知()1,x Î+¥时,ln 10x +>,若函数()2()()ln 10f x g x a x x =+-£在()1,+¥上恒成立,等价成23ln 1x a x +£+在()1,x Î+¥上恒成立；令()()23,1ln 1x h x x x +=+>,则()()()()()22132ln 1232ln ln 1ln 1x x x x x h x x x +-+×-¢==++；令()()32ln 1x x x x j =->,则()2230x x xj ¢=+>在()1,x Î+¥上恒成立,即函数()x j 在()1,x Î+¥上单调递增,易知()33ln16ln e 22ln 222j -=-=,由于33e 2.719.683=>,所以()20j <,而3525ln ln e 55622ln 2255j æö-ç÷æöèø=-=ç÷èø,且55335232273e 2æö=ç÷èø>>=>,所以502j æöç÷èø>；因此()h x ¢在()1,x Î+¥有且仅有一个零点0x ,满足0032ln x x =,且052,2æöÎç÷èøx ；所以当()01,x x Î时,()0h x ¢<,当()0,x x Î+¥时,()0h x ¢>；因此函数()()23,1ln 1x h x x x +=+>在()01,x 上单调递减,在()0,x +¥上单调递增；所以()h x 的最小值为()000000232323ln 112x x h x x x x ++===++,显然()024,5x Î,因此()024,5a x £Î,又a 是整数,所以a 的最大值为4. (六)通过构造函数求最值解决不等式恒成立问题①该方法一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性,由函数的单调性确定其最值,或把其最值用含有参数的式子来表示,再根据所给不等式列出关于参数的不等式,②注意如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数,再想办法解决其符号.③有时所构造的函数的最值不易求出,可以引入导数的隐零点,把函数最值用导数的隐零点表示.④在考虑函数最值时,除了依靠单调性,也可根据最值点的出处,即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.【例7】设函数()1ln a xf x x+=,其中R a Î.(1)当0a ³时,求函数()f x 的单调区间；(2)若()2f x x £,求实数a 的取值范围.【解析】 (1)1ln ()(0)a x f x x x +=>,22(1ln )1ln ()a a x a a xf x x x -+--¢==.当0a =时,22(1ln )1()0a a x f x x x -+¢==-<恒成立,则()f x 在()0,¥+上为减函数,当0a >时,令()0f x ¢>,可得1ln 0a a x -->,则1ln a x a-<,解得10e a a x -<<,令()0f x ¢<,解得1ea ax ->,综上,当0a =时,()f x 的减区间为()0,¥+；当0a >时,()f x 的单调递增区间为10,e a a -æöç÷èø,单调递减区间为1e ,a a -æö+¥ç÷èø.(2)由2()f x x £,可得3ln 10x a x --³设3()ln 1(0)g x x a x x =-->,则323()3a x ag x x x x-¢=-=.①当0a £时,()0g x ¢>,()g x 单调递增,而117ln 1ln 20828g a a =--=-+<,所以不满足题意,②当0a >时,令33()0x ag x x -¢==,解得x =当x æÎççè时,()0g x ¢<,()g x 为减函数,当x öÎ+¥÷÷ø时,()0g x ¢>,()g x 为增函数,所以111()ln 3ln 1333g x g a a a æö³=+--ç÷èø.令111()ln 3ln 1(0)333h a a a a a æö=+-->ç÷èø,1111()ln 3(ln 1)(ln 3ln )3333h a a a ¢=+-+=-,当()0,3a Î时,()0h a ¢>,()h a 为增函数,当()3,a Î+¥时,()0h a ¢<,()g x 为减函数,所以()()30h a h £=,又()()0g x h a ³³.则()0h a =,解得3a =,所以实数a 的取值范围是{}3.(七) 通过分类参数把不等式恒成立问题转化为求不含参数的函数的最值①分类参数法就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量,另一个视为参数）,可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围,转化为求函数的最值问题.②一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母（一般为所求）视为参数.③要注意分类参数法不是万能的,已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法.此外参数分离后,要注意变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值）,若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值）,则也无法用分离法解决问题.【例8】（2024届四川省绵阳市江油市高三下学期模拟）已知函数2()ln ()2m f x x x x m R =--Î.(1)当2m =时,求函数()f x 的单调区间；(2)若0x ">,不等式2()f x x >恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】（1）函数2()ln 2m f x x x x =--的定义域为(0,)+¥,当2m =时,2()ln f x x x x =--,所以1(21)(1)()21x x f x x x x+-¢=--=,当(0,1)x Î时,()0f x ¢<,()f x 在(0,1)上为减函数,当(1,)x Î+¥时,()0f x ¢>,()f x 在(1,)+¥上为增函数,综上所述：()f x 在(0,1)上为减函数,在(1,)+¥上为增函数；（2）若0x ">,不等式2()f x x >恒成立,则21ln 12m x x x >++对0x >均成立,所以max 21ln (12m xx x>++令21ln ()1xg x x x=++,则22223312ln 112ln 12ln ()()x x x x x x g x x x x x x ----¢=-+=-+=,令()12ln h x x x =--,显然()12ln h x x x =--为(0,)+¥上的减函数,又(1)12ln110h =--=,所以(0,1)x Î,()0h x >,()0g x ¢>则()g x 在(0,1)上为增函数,当(1,)x Î+¥时,()0h x <,()0g x ¢<则()g x 在(1,)+¥上为减函数,所以max 1ln1()(1)1211g x g ==++=,所以22m>,所以4m >,所以实数m 的取值范围为(4,)+¥.(八) 先用特殊值确定或缩小参数范围,求解不等式恒成立问题此类问题通常是先在自变量允许值范围内取一个特殊值代入,缩小参数范围,然后在该范围内求解,减少讨论,也有可能该范围就是所求范围,此时只需证明在该范围内不等式恒成立即可.【例9】（2024届江苏省苏州市八校高三三模）已知函数()2()cos ,()2f x x g x a x ==-.(1)1a =时,求()()()F x f x g x =-的零点个数;(2)若()()f x g x ³恒成立a 的最大值;(3)求证:)21sin 2(R)3ni k n k k i p =æö->-Îç÷èøå.【解析】（1）当1a =时,2()2g x x =-,则2()()()cos 2F x f x g x x x =-=-+,所以()sin 2F x x x ¢=-+,令()sin 2h x x x =-+,则()cos 20h x x ¢=-+>,所以()sin 2h x x x =-+在R 上单调递增,即()sin 2F x x x ¢=-+在R 上单调递增,当0x >时,()0F x ¢>,所以()F x 在(0,)+¥上为增函数,当0x <时,()0F x ¢<,所以()F x 在(),0¥-上为减函数,又(0)1F =-,(2)(2)cos 220F F =-=+>,且x ®-¥时,()®+¥F x ,则存在()10x Î-¥，,()20,2x Î,使得12()0,()0F x F x ==,所以()F x 有两个零点.（2）令2()cos 2,m x x a ax =-+由(0)0m ³,得12a £,令2211()cos 1cos (2),22h x x x x x =-+=+-所以()sin h x x x ¢=-+,令()sin x x x j =-+,可得()cos 10x x j ¢=-+³,所以()sin x x x j =-+在(0,)+¥上为增函数,所以()sin sin 000x x x j =-+>+=,所以()0h x ¢>,所以2211()cos 1cos 010022h x x x =-+>-+´=,所以()h x 在[0,)+¥上单调递增,所以()(0)0h x h ³=,即211s 2co x x >-,所以()()f x g x ³恒成立,所以实数a 的最大值是实数12；（31cos 2sin 2cos 3233k k k k k i i i i i p p p p æöæöæöæö-+-+-=-=ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø,由（2）可得211s 2co x x >-,所以21cos 1()2kk i i >-,所以21111]2(cos )2()3n n ni i i k k k n i i ip ===æö-+³>-ç÷èøååå,所以211()3nni i k k n i ip ==æö->-ç÷èøå,又22222221111111111((1)(11)22322331ni k k k k in n n ==++++<+-+-+++-<-åL L ,所以)21sin 2(R)3ni k n k k i p =æö->-Îç÷èøå.【例1】（2024届高考全国甲卷真题）已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时,求()f x 的极值；(2)当0x ³时,()0f x ³,求a 的取值范围．【解析】（1）当2a =-时,()(12)ln(1)fx x x x =++-,故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x+¢=++-=+-+++,因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,¥-+上为增函数,故()f x ¢在()1,¥-+上为增函数,而(0)0f ¢=,故当10x -<<时,()0f x ¢<,当0x >时,()0f x ¢>,故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =,无极大值.（2）()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x+-=-+¢+-=-+->++,设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+,则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++¢+,当12a £-时,()0s x ¢>,故()s x 在()0,¥+上为增函数,故()()00s x s >=,即()0f x ¢>,所以()f x 在[)0,¥+上为增函数,故()()00f x f ³=.当102a -<<时,当210a x a+<<-时,()0s x ¢<,故()s x 在210,a a +æö-ç÷èø上为减函数,故在210,a a +æö-ç÷èø上()()0s x s <,即在210,a a +æö-ç÷èø上()0f x ¢<即()f x 为减函数,故在210,a a +æö-ç÷èø上()()00f x f <=,不合题意,舍.当0a ³,此时()0s x ¢<在()0,¥+上恒成立,同理可得在()0,¥+上()()00f x f <=恒成立,不合题意,舍；综上,12a £-.【例2】（2024届天津高考数学真题）设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ³在()0,x Î+¥时恒成立,求a 的值；(3)若()12,0,1x x Î,证明()()121212f x f x x x -£-．【解析】（1）由于()ln f x x x =,故()ln 1f x x ¢=+.所以()10f =,()11f ¢=,所以所求的切线经过()1,0,且斜率为1,故其方程为1y x =-.（2）设()1ln h t t t =--,则()111t h t t t-¢=-=,从而当01t <<时()0h t ¢<,当1t >时()0h t ¢>.所以()h t 在(]0,1上递减,在[)1,+¥上递增,这就说明()()1h t h ³,即1ln t t -³,且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--,则()((ln 1f x a x x x a x x a x g æö-=-=--=×ç÷øè.当()0,x Î+¥时()0,¥+,所以命题等价于对任意()0,t Î+¥,都有()0g t ³.一方面,若对任意()0,t Î+¥,都有()0g t ³,则对()0,t Î+¥有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t æö£=--=-+£-+-=+--ç÷èø,取2t =,得01a £-,故10a ³>.再取t =得2022a a a £-=--=-,所以2a =.另一方面,若2a =,则对任意()0,t Î+¥都有()()()212ln 20g t t t h t =--=³,满足条件.综合以上两个方面,知a 的值是2.（3）先证明一个结论：对0a b <<,有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -³,故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a--=+=+<+---,且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a ab b a a b b b a b b a a a a a a b a b a bbæö---ç÷--èø=+=+>+=+----,所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a -+<<+-,即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ¢=+,可知当10e x <<时()0f x ¢<,当1ex >时()0f x ¢>.所以()f x 在10,e æùçúèû上递减,在1,e ¥éö+÷êëø上递增.不妨设12x x £,下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211e x x ££<时,有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<结论成立；情况二：当1210ex x <££时,有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,ecæùÎçúèû,设()ln lnx x x c cj=-则()ln1x xj¢=+由于()xj¢单调递增,且有11110j¢=<=-=,且当2124ln1x cc³-æö-ç÷èø,2cx>时,2ln1c³-可知()2ln1ln1ln102cx xcjæö=+>+=--³ç÷èø¢.所以()xj¢在()0,c上存在零点x,再结合()xj¢单调递增,即知0x x<<时()0xj¢<,x x c<<时()0xj¢>.故()xj在(]00,x上递减,在[],x c上递增.①当0x x c££时,有()()0x cj j£=；②当00x x<<时,112221e ef fcæö=-£-=<ç÷èø,故我们可以取1,1qcöÎ÷ø.从而当21cxq<<-时,>可得()1ln ln ln ln0x x x c c c c c c qcjö=-<-<--=-<÷ø.再根据()xj在(]00,x上递减,即知对0x x<<都有()0xj<；综合①②可知对任意0x c<£,都有()0xj£,即()ln ln0x x x c cj=-£.根据10,ecæùÎçúèû和0x c<£的任意性,取2c x=,1x x=,就得到1122ln ln0x x x x-£.所以()()()()12121122ln lnf x f x f x f x x x x x-=-=-情况三：当12101ex x<££<时,根据情况一和情况二的讨论,可得()1f x f-£(1ef fæö-£ç÷èø.而根据()f x的单调性,知()()()1211ef x f x f x fæö-£-ç÷èø或()()()1221ef x f xf f xæö-£-ç÷èø.故一定有()(1f x f-成立.综上,结论成立.【例3】（2024届湖南省岳阳市汨罗市高三下学期5月月考）函数()()2ln ,2f x x g x x x m ==--+．(1)若e m =,求函数()()()F x f x g x =-的最大值；(2)若()()()22e xf xg x x x +£--在2(]0,x Î恒成立,求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为()2ln e 2F x x x x =-++-,可知()F x 的定义域为()0,¥+,且1(21)(1)()21x x F x x x x+-¢=-+=-,由()0F x ¢>,解得01x <<；由()0F x ¢<,解得1x >．可知()F x 在(0,1)内单调递增,在(1,)+¥内单调递减,所以函数()()()F x f x g x =-的最大值为()1e 2F =-．（2）因为2()()(2)e x f x g x x x +£--在2(]0,x Î恒成立,等价于(2)e ln 2x m x x x ³-+-+在2(]0,x Î恒成立．设()(2)e ln 2x h x x x x =-+-+,2(]0,x Î,则()11()(1)e 11e xx h x x x x x æö=-+-=--çè¢÷ø,当1x >时,则10x ->,且1e e,1xx><,可得1e e 10x x->->,所以()0h x ¢>；当01x <<时,则10x -<,设1()e ,01x u x x x=-<<,则21()e 0xu x x ¢=+>,可知()u x 在(0,1)递增,且120,(1)e 102u u æö==-ç÷èø．则01,12x æö$Îç÷èø,使得()00u x =．当()00,x x Î时,()0u x <；当()0,1x x Î时,()0u x >．当()00,x x Î时,()0h x ¢>；当()0,1x x Î时,()0h x ¢<．可知函数()h x 在()00,x 递增,在()0,1x 递减,在(1,2)递增．由()0001e 0x u x x =-=,得001e x x =,且00ln x x =-．可得()()()0000000000112e ln 222232xh x x x x x x x x x æö=-+-+=--+=-+ç÷èø,且01,12x æöÎç÷èø,则()00h x <,又因为(2)ln 20h =>,可知当2(]0,x Î时,()max ()2ln 2h x h ==,所以m 的取值范围是[ln 2,)+¥．【例4】（2024届河南省信阳市高三下学期高考考前押题）已知函数()ln f x x x =,())()10h x x x =->．(1)试比较()f x 与()h x 的大小；(2)若()()()11f x x ax a £--+恒成立,求a 的取值范围．【解析】（1）因为()())ln 1ln f x h x x x x x x æ-=-=çè,构建()ln 0F x x x =>,则()0F x ¢=£在()0,¥+内恒成立,可知()F x 在()0,¥+内单调递减,且()10F =,则有：若01x <<,则()0F x >,即()()f x h x >；若1x =,则()0F x =,即()()f x h x =；若1x >,则()0F x <,即()()f x h x <.（2）若()()()11f x x ax a £--+恒成立,则1ln 120a ax x a x--++-³,构建()1ln 12,0a g x ax x a x x-=-++->,原题意等价于()0g x ³在()0,¥+内恒成立,则()()()221111x ax a a g x a x x x -+--¢=--=,1.若0a £,则10ax a +-<，当01x <<时,()0g x ¢>；当1x >时,()0g x ¢<；可知()g x 在()0,1内单调递增,在()1,+¥内单调递减,则()()10g x g £=,不符合题意；2.若0a >,则有：（ⅰ）若1a ³,则10ax a +->,当01x <<时,()0g x ¢<；当1x >时,()0g x ¢>；可知()g x 在()0,1内单调递减,在()1,+¥内单调递增,则()()10g x g ³=,符合题意；（ⅱ）若01a <<时,令()0g x ¢=,解得1x =或110x a=->,①若111a ->,即102a <<时,当111x a<<-时,()0g x ¢<,可知()g x 在11,1a æö-ç÷èø内单调递减,此时()()10g x g <=,不合题意；②若111a -=,即12a =时,则()()22102x g x x -¢=³,可知()g x 在()0,¥+内单调递增,当()0,1x Î时,此时()()10g x g <=,不合题意；③若111a -<,即112a <<时,则()21011a a a-<-<<,由（1）可知：当01x <<时,ln x >=则()1112ln 12a a g x a x ax a ax x x --=--++<--++,可得()()()()()222211112112011a g a a a a a a a a a -æö-<----+-+=-<ç÷-èø-,不合题意；综上所述：a 的取值范围为[)1,+¥.【例5】（2024届河北省保定市九县一中三模）已知函数()()ln 1f x ax x =++.(1)若2a =-,求()f x 的单调区间；(2)若()0f x £恒成立,求a 的取值集合.【解析】（1）由2a =-,得()()2ln 1f x x x =-++,定义域为()1,¥-+,则()121211x f x x x --=¢-=+++,当11,2x æöÎ--ç÷èø时,()0f x ¢>,当1,2x ¥æöÎ-+ç÷èø时,()0f x ¢<,故()f x 的单调递增区间为11,2æö--ç÷èø,单调递减区间为1,2¥æö-+ç÷èø.（2）由()()ln 1f x ax x =++,()1,x ¥Î-+,得()11f x a x =++¢,若0a ³,则显然()22ln30f a =+>,不符合题意,若0<a ,令()0f x ¢=,解得11a x a+=->-,则当11,a x a +æöÎ--ç÷èø时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,当1,a x a ¥+æöÎ-+ç÷èø时,()0f x ¢<,()f x 单调递减,()()max 11ln a f x f a a a +æö=-=----ç÷èø,则()1ln 0a a ----£,即()1ln 0a a ++-³,令()()1ln g a a a =++-,则()111a g a a a¢+=+=,当(),1x ¥Î--时,()0g a ¢>,()g a 单调递增,当()1,0x Î-时,()0g a ¢<,()g a 单调递减,所以()()max 10g a g =-=,当满足()0g a ³时,1a =-,所以a 的取值集合为{}1-.1．（2024届青海海西格尔木三校高三第三次联考）已知函数()32f x x x ax =-+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)令()()ln 2ag x f x x x x=+--,若()0g x ³恒成立,求实数a 的取值范围.2．（2024届陕西省富平县高三第二次模拟）已知函数()ln f x x x =,2()1()f x g x x x x=-+.(1)求函数()g x 的单调区间；(2)若当0x >时,2()e x m x x mf -£恒成立,求实数m 的取值范围.3．（2024届重庆市高三第三次联合诊断）已知函数()e .x f x x a=+(1)当1a =时,求()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间()0,¥+上单调递增,求实数a 的取值范围.4．已知2()e ln ,()ln x f x a x g x x x a ==+(1)当1a =时,求()f x 在1x =处切线方程；(2)若()()f x g x <在(0,1)x Î恒成立,求a 的取值范围；(3)求证：411111322222123e e e e ln(1)234(1)n n n n +×+×+×++×<++L ．5．（2024届青海省部分学校高三下学期协作考试）已知函数()21e 2axf x x ax =+-（R a Î）.(1)当1a =时,求()f x 的最值；(2)当[]1,1a Î-时,证明：对任意的1x ,[]22,2x Î-,都有()()212e 1f x f x --≤.6．（2024届北京市十一学校高三下学期三模）已知函数()()()ln 11f x x k x =+++．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()1f x £-恒成立,求实数k 的取值范围；(3)求证：()21ln 14ni n n i i =-<+å．（n ÎN 且2n ³）7．（2024届广东省茂名市高州市高三第一次模拟）设函数()e sin xf x a x =+,[)0,x Î+¥.(1)当1a =-时,()1f x bx ³+在[)0,¥+上恒成立,求实数b 的取值范围；(2)若()0,a f x >在[)0,¥+上存在零点,求实数a 的取值范围.8．（2024届四川省绵阳南山中学高三下学期高考仿真演练）已知函数()e cos x f x k x =-,其中k 为常数.(1)当1k =时,讨论函数()f x 在()0,¥+上的单调性；(2)若0,2πx æö"Îç÷èø,()1f x >,求实数k 的取值范围.。

高中数学新教材同步必修第一册第2章习题课不等式恒成立、能成立问题

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是
√A.{a|－4≤a≤4}
C.{a|a≤－4或a≥4}
B.{a|－4<a<4} D.{a|a<－4或a>4}
解析由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为
√A.{a|－1≤a≤4}
C.{a|a≥4或a≤－1}
B.{a|－1<a<4} D.{a|－4≤a≤1}
解析由题意知，－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解， ∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9.∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围.
解由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>;x2－1 x，
1234
4.定义运算ac
db＝ad－bc，则不等式a1x
1 x＋1<0
对任意
x∈R
恒成立，
则实数 a 的取值范围是_－__4_<_a_≤__0__.
解析原不等式为ax(x＋1)－1<0，即ax2＋ax－1<0，a＝0时，不等式为－1<0，符合题意，当 a≠0 时，有aΔ<＝0，a2＋4a<0 ⇒－4<a<0，综上所述，a的取值范围是－4<a≤0.

数轴标根法及习题

数轴标根法及习题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-数轴穿根法一、概念简介1.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法”2.准确的说，应该叫做“序轴标根法”。

序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。

序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。

3.是高次不等式的简单解法4.为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”二、方法步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。

（注意：一定要保证x前的系数为正数）例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。

例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。

例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。

第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。

x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。

例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。

在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。

即：-1<x<1或x>2。

（如下图所示）三、奇过偶不过就是当不等式中含有单独的x偶数幂项时，如(x^2)或(x^4)时，穿根线是不穿过0点的。

但是对于X奇数幂项，就要穿过0点了。

还有一种情况就是例如：（X-1)^2.当不等式里出现这种部分时，线是不穿过1点的。

但是对于如（X-1)^3的式子，穿根线要过1点。

数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法

数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法第一篇：数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法数轴标根法、解分式不等式、绝对值不等式的解法一、数轴标根法解不等式例1.解下列不等式1.（x-1）（x-2）(x+3)>02.（x-1）（x-2）(x+3)<03.（1-x）（x-2）(x+1)≤04.（x-1）2（x-2）3(x+1)≥0用穿根法解的步骤如下：（1）整理——原式化为标准型把f(x)进行因式分解，并化简为下面的形式：f(x)=(x-x1)m1(x-x2)m2…(x-xn)mn >0（或<0），mi∈N*(i=1,2,…,n)（2）标根——在序轴上标根将f(x)=0的n个不同的根x1,x2,……xn按照大小顺序标在序轴上，将序轴分为n+1个区间。

（3）画线——画穿根线从最大根右上方开始，按照大小顺序依次经过每个根画一条连续曲线，作为穿根线。

遇奇次根穿过序轴，遇偶次根弹回，即“奇穿偶不穿”。

（4）选解——写出解集如例图，在序轴上方的曲线对应的区间为f(x)>0解集，在序轴下方的曲线对应的区间为f(x)<0解集。

二．分式不等式思考（1）x-3x-2>0与(x-3)(x-2)>0解集是否相同，为什么？（2）x-3x-2≥0与(x-3)(x-2)≥0解集是否相同，为什么？解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。

方法2：在分母不为0的前提下，两边同乘以分母的平方。

通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1）f(x)>0⇔f(x)⋅g(x)>0（2）f(x)≥0⇔⎪⎧f(x)⋅g(x)≥0gx gx⎨⎪⎩g(x)≠0例2.解下列不等式1.x-3≥02.12-xx≤13.2x-1x+3>14.x2-3x+2x-2x-3≤05.x(x-3)129-x2≤06.0<x-x<1三、含绝对值的不等式的解法|x|>a(a>0)⇔________________|x|0)⇔________________例3:解下列不等式1.2x-≤32.x-(x+1)≥03.|x2-2x|>x 2.4.x-(x+1)>0巩固练习1.解不等式2x2+3x+13x+13x2-7x+2>02.解不等式3-x>-13.不等式2x-12x-1的解集是x>x.（2012 山东理）若不等式kx-4≤2的解集为{x≤x≤3}，则实数k=__________.5.解不等式（2x-1）2（x-2）3(x+1)≥06.解不等式（3-x）2（x-2）(x+1)7≤046第二篇：分式和绝对值不等式的解法（一）分式不等式：f(x)f(x)为整式且ϕ（x）的不等式称为分式不等式。

专题05 不等式之恒成立问题(填空题)(解析版))2021年新高考数学考前压轴冲刺(新高考地区专用)

专题05 不等式之恒成立问题2021年新高考填空题考点预测新高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.若不等式|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x ﹣2|﹣|x +2|≤4，然后由不等式恒成立可得a 的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x ﹣2|﹣|x +2|≤|（x ﹣2）﹣（x +2）|＝4，当且仅当（x ﹣2）（x +2）≤0，即﹣2≤x ≤2时取等号，∵|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题2.已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为．【分析】设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，讨论4a ﹣2≥0，不符题意；4a﹣2＜0，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），将B的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值．【解答】解：设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，由△＝a2+＞0，可得y＝x2+ax﹣的图象与x轴有两个交点，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，可得4a﹣2≥0，不满足题意；则4a﹣2＜0，即a＜，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），即有（4a﹣2）x2+＝0，即x2＝，代入x2+ax﹣＝0，化为48a2﹣40a+7＝0，解得a＝或a＝＞（舍去），故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题3.若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为．【答案】[25，57]【分析】由题意不等式恒成立化为﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]，求出f（x）的值域，根据一次函数的性质转化为，即；设，求出a、b的表达式，把目标函数z＝|a|+|a+b+25|化为关于y、x的解析式，利用线性规划的知识求出z的取值范围，即可得出结论．【解答】解：对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]；可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，可得f（2）时取得最小值4，f（1）＝f（4）时取得最大值5，所以f（x）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于，（y＝af（x）为f（x）的一次函数，最大值与最小值都在端点处）即，设，则，所以，所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，画出不等式组表示的平面区域，如图所示；当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，所以x＝0，y＝0时z min＝25，x＝4，y＝5时z max＝57；当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，所以x＝0，y＝0时为临界值z min＝25，x＝4，y＝4时z max＝53；综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．故答案为：[25，57]．【知识点】不等式恒成立的问题专项突破一、填空题（共14小题）1.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．【分析】分类讨论，（1）a＝1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．【解答】解：（1）a＝1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝（a﹣1）x﹣1：令y＝0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2＝x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2＝x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a＝，或a＝0（舍去）．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题2.若存在实数b使得关于x的不等式|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4恒成立，则实数a的取值范围是﹣．【答案】[-1，1]【分析】运用正弦函数的值域可得2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，讨论a＝0，a ＞0，a＜0，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．【解答】解：|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4，即为|a（sin2x+4sin x+4）+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），即有|a（2+sin x）2+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），由2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，当a＝0时，显然成立；当a＞0，可得a（2+sin x）+∈[6a，10a]，﹣2﹣b≤a（2+sin x）+≤2﹣b，可得﹣2﹣b≤6a且2﹣b≥10a，可得﹣2﹣6a≤b≤2﹣10a，即﹣2﹣6a≤2﹣10a，可得0＜a≤1；当a＜0，可得a（2+sin x）+∈[10a，6a]，可得﹣2﹣b≤10a且2﹣b≥6a，可得﹣2﹣10a≤b≤2﹣6a，即﹣2﹣10a≤2﹣6a，可得﹣1≤a＜0；综上可得a的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【知识点】不等式恒成立的问题3.若不等式≥a对x＜2恒成立，则a的最大值是﹣【分析】设t＝2﹣x，得出x＝2﹣t，其中t＞0，把化为f（t），利用基本不等式求出f（t）的最小值，由此求出a的最大值．【解答】解：不等式≥a对x＜2恒成立，设t＝2﹣x，则x＝2﹣t，其中t＞0，所以化为f（t）＝＝+t﹣3≥2﹣3＝2﹣3，当且仅当＝t，即t＝时取“＝”，∴f（t）的最小值为2﹣3；∴不等式≥a对x＜2恒成立时，a的最大值是2﹣3．故答案为：2﹣3．【知识点】不等式恒成立的问题4.若不等式|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，则实数a的最大值为．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x﹣2|﹣|x+2|≤4，然后由不等式恒成立可得a的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x﹣2|﹣|x+2|≤|（x﹣2）﹣（x+2）|＝4，当且仅当（x﹣2）（x+2）≤0，即﹣2≤x≤2时取等号，∵|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题5.已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a（x﹣2）+b对一切正实数x恒成立，则当a+b取最小值时，b的值为﹣．【分析】由题意可得只要考虑直线y＝a（x﹣2）+b与y＝lnx相切，设出切点（m，lnm），运用导数的几何意义，可得a，b，m的方程，再由x＝3时，a+b取得最小值，结合构造函数法，运用导数求得最小值，即可得到所求b的值．【解答】解：设y＝lnx的图象与直线y＝a（x﹣2）+b相切的切点为（m，lnm），由y＝lnx的导数为y′＝，可得a＝，lnm＝a（m﹣2）+b，可得b＝2a﹣lna﹣1，由x＝3时，可得a+b≥ln3，可得a+b的最小值为ln3，即有2a﹣lna﹣1＝ln3﹣a，即3a﹣lna＝1+ln3，由y＝3x﹣lnx的导数为y′＝3﹣，可得0＜x＜时，函数y＝3x﹣lnx递减，在x＞时，函数y＝3x﹣lnx递增，可得x＝处函数y取得最小值1+ln3，则3a﹣lna＝1+ln3的解为a＝，即有b＝ln3﹣．故答案为：ln3﹣．【知识点】不等式恒成立的问题6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，若对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则实数λ的取值范围是．【分析】根据等比数列前n项和公式，求得a n，即可求得t的值，代入根据函数的单调性即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：由题意可知：2S n＝3n+1+t，当n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝3n+1+t﹣3n﹣t＝2×3n，∴a n＝3n，由数列{a n}为等比数列，则a1＝3，当n＝1，则a1＝S1＝＝3，则t＝﹣3，∴S n＝（3n﹣1），对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5），即3n+1λ≥27（n﹣5），∴λ≥＝，n∈N*，由对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则λ≥（）max，由函数f（x）＝在[1，+∞），f′（x）＝＝，令f′（x）＝0，则x＝+5，则f（x）在[1，+5）单调递增，在（+5，+∞）单调递减，由n∈N*，f（5）＝0，f（6）＝，∴当n＝6时，取最大值，最大值为，∴实数λ的取值范围[，+∞），故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题、利用导数研究函数的单调性7.已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是﹣【分析】根据题意，分段讨论x≤1和x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，去掉绝对值，利用函数的最大、最小值求得a的取值范围，再求它们的公共部分．【解答】解：函数f（x）＝，当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y＝﹣x2+x﹣3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最大值为﹣；由y＝x2﹣x+3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最小值为，则﹣≤a≤；…①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y＝﹣（x+）≤﹣2＝﹣2（当且仅当x＝＞1）取得最大值﹣2；由y＝x+≥2＝2（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2；…②由①②可得，﹣≤a≤2；综上，a的取值范围是﹣≤a≤2．故答案为：﹣≤a≤2．【知识点】不等式恒成立的问题8.若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．【分析】当x＞0时a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，g（x）﹣=，求得y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数和符号，即可得到所求a的范围．【解答】解：不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，即有a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，由y=lnx﹣x+1的导数为y′=﹣1=，x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得y=lnx﹣x+1的最大值为0，即lnx≤x﹣1，则g（x）﹣=，由y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数为y′=2（1+ln（x+1））﹣2（x+1）=2[ln（x+1）﹣x]，由ln（x+1）＜x，即ln（x+1）﹣x＜0，（x＞0），可得g（x）﹣＜0，即g（x）＜，可得a≥，则a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题9.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．【解答】解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题10.设a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，则a的取值范围为．【答案】3【分析】利用基本不等式，确定x的最小值，即可求得a的最小值．【解答】解：∵a＞0，x＞1，∴x＝（x﹣3）+3≥2+1∵a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，∴2+3≥9．∴a≥3∴a的最小值为3．故答案为：3．【知识点】不等式恒成立的问题11.不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】[2，6）【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2＝0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a＝2时，原不等式即为1＞0，原不等式恒成立，即a＝2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，必须解得，2＜a＜6．综上所述，a的取值范围是2≤a＜6，故答案为：[2，6）．【知识点】不等式恒成立的问题12.若对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，则实数x的取值范围是﹣∞﹣【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【分析】通过变换主元，利用函数恒成立转化为不等式组求解即可．【解答】解：由题意对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，即为a（x2+x）﹣x﹣1＞0对任意a∈[1，2]恒成立，所以，解得x＜﹣1或x＞1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题13.若不等式2kx2+kx+＜0对于一切实数x都成立，则k的取值范围是﹣∞﹣．【答案】（-∞，-2）【分析】根据不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，讨论k＝0和k≠0时，即可求出k的取值范围．【解答】解：不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，k＝0时，不等式化为＜0不成立，k≠0时，应满足，解得k＜﹣2．综上，不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【知识点】二次函数的性质与图象、不等式恒成立的问题14.若关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b的最小值为．【答案】0【分析】设f（x）＝（x2﹣a）（2x+b），x∈（a，b），讨论a＞0和a≤0时，利用f（x）≥0在x∈（a，b）恒成立，即可求出2a+b的最小值．【解答】解：关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，当a＞0时，b＞a＞0，f（x）＝（x2﹣a）（2x+b）的三个零点分别为±，﹣；显然有＞﹣，＞﹣；则f（x）在（a，b）上是单调增函数，f（x）≥0在（a，b）上恒成立，则f（a）＝（a2﹣a）（2a+b）＝a（a﹣1）（2a+b）≥0，即或；则2a+b≥0或无最小值；当a≤0时，x2﹣a≥0恒成立，f（x）≥0时只需2x+b≥0恒成立，又x∈（a，b），∴2a+b≥0；综上所述，2a+b的最小值为0．故答案为：0．【知识点】不等式恒成立的问题。

2019年人教版高中数学必修五考点练习：不等式的恒成立问题(含答案解析)

不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.D.∪(1，＋∞)(－∞，－1311)(－∞，－1311)2. 已知不等式的解集为R,则a 的取值范围是（）22230ax ax a -++>A.a ≥0 B.a ＞0C.a ≥－3 D.a ＞－33. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________.4. 若关于的不等式对一切恒成立，则的取值范围是____．x 2224< 24ax ax x x +-+x R ∈a 5. 若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．6. 若不等式x 2＋mx ＋>0恒成立，则实数m 的取值范围是( )m2A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2)7. 若不等式2kx 2＋kx －<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )38A ．(－3,0) B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]8. 已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，如果对一切x ∈R ，f (x )＞0恒成立，求实数a 的取值范围．9.已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．10. 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．11. 若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．12.定义在上的运算：，若不等式对一切实数恒成立，则R ()*1x y x y =-()()*1x y x y -+<x 实数的取值范围是______．y 13. 设，不等式对恒成0πα≤≤()288sin cos20x x αα-+≥x ∈R 立，则的取值范围为 .α14.已知函数，若不等式对任意x ∈R 恒)()lgf x x x =+()()33920x x x f m f ⋅+--<成立，求实数m 的取值范围.二、转化为函数最值问题1. 若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．32. 当x ∈(1,2)时，不等式恒成立，则m 的取值范围是_______________.240x mx ++<3.设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．4. 对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．5.已知函数对任意恒有成立，则实数的取值范围是（ ()221f x x ax =-+0 1]x ∈（，()0f x ≥a ）A ．B ．[1 +∞，）[12∞-+，）C ．D ．1]-∞（，12]∞--（，6. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）.[2,1]x ∈-32430ax x x -++≥a A ． B ． C ． D ．[]5,3--96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦[]6,2--[]4,3--7. 已知．若任意或，则()()()()23 22x f x m x m x m g x =-++=-，() < 0x R f x ∈，()< 0g x 的取值范围是________．m三、变更主元1. 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ≥0恒成立，求x 的取值范围．2. 已知函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，试求x 的取值范围．3. 对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)4. 已知不等式mx 2－2x ＋m －2<0.(1)若对于所有的实数x 不等式恒成立，求m 的取值范围；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围．5. 设函数21f x mx mx =--（）（1）若对一切实数恒成立，求的取值范围．() < 0x f x ，m （2）若对一切实数，恒成立，求的取值范围．2 [ 2]m ∈-，()< 5f x m -+x 四、存在问题1. 存在实数，使得成立，则的取值范围是________．x 243< 0x bx b -+b 2. 若不存在整数使不等式成立，则实数的取值范围是____．x ()()2440kx k x <---k3.关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是________x ()21< 0x a x a -++a ．4.已知f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，是否存在实数a ，使得对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．若存在求出a 的取值范围；若不存在说明理由．5. 已知函数f (x )＝(k ＞0)．2kxx 2＋6k (1)若f (x )＞m 的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，求不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集；(2)若存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，求k 的取值范围．参考答案不等式恒成立问题一、利用根的判别式1. 解析：选C ①当m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不符合题意．②当m ≠－1时，则Error!解得m <－，符合题意．1311故实数m 的取值范围为.(－∞，－1311)2. 【答案】A【解析】由题意可知当时,符合题意；当时，要求解得.综上所述a 的取值范围是a ≥0.. 3.【解析】当时，不等式变形为，解集为，符合题意；当时，依题意可得，综上可得．4. 【答案】]2 2-（，【解析】不等式，可化为，2224< 24ax ax x x +-+()()22224< 0a x a x -+--当，即时，恒成立，合题意．当时，要使不等式恒成立，20a -=2a =20a -≠需，解得．所以的取值范围为．故答案为：020a ∆<⎧⎨-<⎩2< < 2a -a ]2 2-（，]2 2-（，5. 解析：由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥.43答案：[43，＋∞)6. 解析：选D ∵不等式x 2＋mx ＋>0，对x ∈R 恒成立，∴Δ<0即m 2－2m <0，∴0<m <2.m27.解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －<0对一切实数x 都成立，38则Error!解得－3<k <0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．388.[解]　由题意可知，只有当二次函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象与直角坐标系中的x 轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x 2＋2(a －2)x ＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a －2)2－16＜0，解得0＜a ＜4.故a 的取值范围是(0,4)．9.已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f (x )＝mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞，不满足题意；12当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即Error!不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的m .10. 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)11. 解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x ∈R 恒成立．∴Δ＝(－2a )2＋4a ＜0.解得－1＜a ＜0.答案：(－1,0)12.【答案】13 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】由已知对一切实数x 恒成立，()()()()*11x y x y x y x y -+=---<所以对一切实数x 恒成立，所以，所以2210x x y y --++>()21410y y ∆=--++<．1322y -<<13. 分析根据开口向上的二次函数定义域为时函数值非负的条件列式直接运算求解.R ()0∆≤解析由题意，要使对恒成立，()288sin cos 20x x αα-+≥x ∈R 需，化简得.又，264sin32cos 20∆αα=-≤1cos 22α≥0πα≤≤所以，解得.π5π0222π33αα或≤≤≤≤π5π0π66αα或≤≤≤≤答案：.0,π5π⎡⎤⎡⎤,π⎢⎥⎢⎥66⎣⎦⎣⎦ 14. 略二、转化为函数最值问题1.解析：选C 由已知可得m ≤x 2－4x 对一切x ∈(0,1]恒成立，又f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－3，∴m ≤－3.2. (],5-∞-3. 解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m 2＋m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．(x －12)34有以下两种方法：法一：令g (x )＝m2＋m －6，x ∈[1,3]．(x －12)34当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0.所以m ＜，则0＜m ＜.6767当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪.(0，67)法二：因为x 2－x ＋1＝2＋＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜.(x －12)346x 2－x ＋1因为函数y ＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m ＜即可．6x 2－x ＋16(x －12)2＋346767因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪.(0，67)4.解析：当x ＝0时，不等式恒成立，当x ≠0时，将问题转化为－a ≤＋|x |，由＋|x |≥2，故－1|x |1|x |a ≤2，即a ≥－2.所以实数a 的取值范围为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)5. 【答案】C【解析】解法一：依题意可得，或或，2440a ∆=-≤0(0)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≤≥⎪⎪⎩1(1)0202f a ∆>⎧⎪-⎪-⎨≥≥⎪⎪⎩解得，或或，11a ≤≤-011 10a a a ><-⎧≥⎪≤⎪⎨⎩或111 1 a a a a ><-⎧≤⎪≥⎪⎨⎩或即有，或或a ∈∅，故实数a 的取值范围是：．11a ≤≤-1a <-1] -∞（，解法二：对任意恒有成立，即有在()221f x x ax -=+0 1]x ∈（，()0f x ≥12a x x≤+0 1]x ∈（，恒成立，由于，当且仅当取最小值2，则，即有．故选C ．12x x+≥1x =22a ≤1a ≤6. 略7.【答案】()4 0-，【解析】因为，当时，，又因为任意，或，()22x g x =-1x ≥()0g x ≥x R ∈()< 0f x ()< 0g x 所以此时在时恒成立．()()()230f x m x m x m =-++<1x ≥若恒成立，不符合，，()0 0m f x ==，0m ≠故则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与轴交点都在（1，0）的左面x 则，所以．故答案为：．03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩40m -<< 4 0-（，）三、变更主元1. 解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴Error!解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．2. 解：原函数可化为g (a )＝2xa ＋x 2－4x ＋4，是关于a 的一元一次函数．要使对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立，只需满足Error!即Error!因为x 2－2x ＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4，对任意a ∈[－3,1]，y ＜0恒成立．3. 解析：选B 设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔Error!⇔Error!⇔x <1或x >3.4.解：(1)对所有实数x ，都有不等式mx 2－2x ＋m －2<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x ＋m －2的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，－2x －2<0，显然对任意x 不能恒成立；当m ≠0时，由二次函数的图象可知有Error!解得m <1－，2综上可知，m 的取值范围是(－∞，1－)．2(2)设g (m )＝(x 2＋1)m －2x －2，它是一个以m 为自变量的一次函数，由x 2＋1>0，知g (m )在[－2,2]上为增函数，则只需g (2)<0即可，即2x 2＋2－2x －2<0，解得0<x <1.故x 的取值范围是(0,1)．5. 【答案】（1）；（2）．](4 0-，()1 2-，【解析】（1）当时，，对一切实数，恒成立；0m =()211f x mx mx =--=-x ()< 0f x 当时，若对一切实数，恒成立，则有，所以，0m ≠x ()< 0f x 2040m m m <⎧⎪⎨+<⎪⎩4< < 0m -综上，的取值范围是．m ](4 0-，（2）因为，所以，所以，()< 5f x m -+21< 5mx mx m ---+()216< 0x x m -+-因为对一切实数，恒成立，且，2 [ 2]m ∈-，()< 5f x m -+21>0x x -+所以只需，解得．所以的取值范围是．()2216< 0x x -+-1< < 2x -x ()1 2-，四、存在问题1. 【答案】3> < 04b b 或【解析】因为存在实数，使得成立的等价说法是：存在实数，使得函x 243< 0x bx b -+x 数的图象在轴下方，即函数与轴有两个交点，故对应的243y x bx b =-+x x ．故答案为：或．()23443>0< 0>4b b b b ∆=--⨯⇒或< 0b 3>4b 2. 【答案】14k ≤≤【解析】设原不等式的解集为，当时，则，不合题意，A 0k =>4x 当且时，原不等式化为，因为，所以>0k 2k ≠[]44< 0x k x k -+-（）（）4>4k k+，要使不存在整数使不等式成立，需，解44 ()A k k =+，x ()()244< 0kx k x ---45k k+≤得：；14k ≤≤当时，，合题意；当时，原不等式化为，2k =A =∅< 0k 44>[]0x k x k-+-（）（）所以，不合题意，故答案为：．4 4 A k k=-∞++∞ （，）（，）14k ≤≤3. 【答案】 3 2 ]4 [5-- ，）（，【解析】由，得，若，则不等式无解．()21< 0x a x a -++()()1< 0x x a --1a =若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个>1a 1< < x a 整数解为，则．2 3 4x =，，45a <≤若，则不等式的解为，此时要使不等式的解集中恰有3个整数解，则此时3个1a <1a x <<整数解为，则．0 1 2x =--，，3< 2a -≤-综上，满足条件的的取值范围是．故答案为：．a 3 2 ]4 [5-- ，）（， 3 2 ]4 [5-- ，）（，4. 解：若对任意，x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立，则满足题意的函数f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a 应该满足Error!即Error!解得Error!这样的实数a 是不存在的，所以不存在实数a 满足：对任意x ∈[－3,1]，f (x )＜0恒成立．5. 解：(1)由不等式f (x )＞m ⇔＞m ⇔mx 2－2kx ＋6km ＜0，2kxx 2＋6k ∵不等式mx 2－2kx ＋6km ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，∴－3，－2是方程mx 2－2kx ＋6km ＝0的根，∴Error!解得Error!，故有5mx 2＋kx ＋3＞0⇔2x 2－x －3＜0⇔－1＜x ＜，32∴不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集为.(－1，32)(2)f (x )＞1⇔＞1⇔x 2－2kx ＋6k ＜0⇔(2x －6)k ＞x 2.2kx x 2＋6k 存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，即存在x ＞3，使得k ＞成立．x 22x －6令g (x )＝，x ∈(3，＋∞)，则k ＞g (x )min .x 22x －6令2x －6＝t ，则x ＝，则t ∈(0，＋∞)，y ＝＝＋＋3≥2 ＋3＝6，t ＋62(t ＋62)2t t 49t t 4·9t 当且仅当＝，即t ＝6时等号成立．当t ＝6时，x ＝6，∴g (x )min ＝g (6)＝6，t 49t 故k 的取值范围为(6，＋∞)．。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专题(17例题+15练习题+答案与解析)

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例2、已知(),22x ax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln)(44>-+=xcbxxaxxf在1=x处取得极值3c--，其中a、b为常数.（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数)(xf的单调区间；（3）若对任意0>x，不等式22)(cxf-≥恒成立，求c的取值范围。

2、主参换位法例5、若不等式a10x-<对[]1,2x∈恒成立，求实数a的取值范围例6、若对于任意1a≤，不等式2(4)420x a x a+-+->恒成立，求实数x的取值范围例7、已知函数323()(1)132af x x x a x=-+++，其中a为实数．若不等式2()1f x x x a'--+＞对任意(0)a∈+∞，都成立，求实数x的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f xλ≥（或()()g f xλ≤）恒成立的形式；（2）求()f x在x D∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max()g f xλ≥(或()()ming f xλ≤)，得λ的取值范围。

不等式及恒成立经典例题

不等式及恒成立经典例题例1 已知f(x)=x 2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切x ∈R ，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围.(2)如果对x ∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求实数a 的取值范围.解：f(x)的图像开口向上.(1)对一切实数x ，f(x)＞0，则△＜0，即(a-2)2-4＜0，∴0＜a ＜4；(2)当x ∈〔-3，1〕时，f(x)＞0，对称轴2-a 可在区间内，也可在区间外， ∴ 或或解得- ＜a ＜4例2 设A=｛x ｜-2＜x ＜-1,或x ＞1｝，B=｛x ｜x 2+ax+b≤0｝，已知A ∪B=｛x ｜x ＞-2｝，A∩B=｛x ｜1＜x≤3｝，试求a,b 的值.分析在本题求解时要正确利用图形进行分析.解：如图所示，设B=｛x ｜α≤x≤β｝设想集合B 所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B“覆盖”住集合｛x ｜-1≤x≤3｝，才能使A∩B=｛x ｜1＜x≤3｝∴“α≤-1且β≥1”，并且α≥-1及β=3.∴α=-1,β=3.因此B=｛x ｜-1≤x≤3｝，根据二次不等式与二次方程的关系，可知-1与3是方程x 2+ax+b=0的两根.∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3.解恒成立问题常用方法1 分离参数法例3：设()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n ≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。

解：由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得：()0121>+-+++a n n x xx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->⇔x x x n n n a 1121 ，由指数函数单调性知上式右边的函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x n n n x 1121 ϑ的最大值是()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n 1211 ϑ＝()n -121 故 a>()n -121 例 2：已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意R x ∈求实数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。

不等式恒成立问题专题训练

不等式恒成立问题专题训练 6.15方法提炼：(1) f (x) = ax b(a =0)f (x)》0在xw h n】上恒成立 u f(x) <0在x^m,n】上恒成立 u(2) 设f (x) =ax2 bx c(a =0)f (x) >0在x亡R上恒成立仁f (x) < 0在x^ R上恒成立u(3) a»f(x)恒成立 u a<f(x)恒成立 u例题讲解：例1.(1)对任意x在［0,1］，不等式x2 - (2a十3)x十a2十3a < 0恒成立，求a的取值范围。

(2)对任意a^［0,1］，不等式x2 - (2a+3)x-6a <0恒成立，求x的取值范围。

例 2.已知f(x)=x2+ (3-a) x+3.(1) x^R, f(x)芝a恒成立，求a的取值范围，(2) 当x w 0,4】时，f(x)芝a恒成立，求a的取值范围例3.已知a >1,b >1, a+b十3 =ab，不等式a十bZm对于a,b恒成立，则m的取值范围是例4.对任意实数x,不等式x+1芝kx恒成立，贝U k的取值范围为课堂练习：1. 若f (x) =mx +2m -1 ,当xw [—1,1 M f (x) <0恒成立，贝U m的取值范围是 .2. 若f (x) =(m+1)x2—mx + m-1 a0的解集为R,则m的取值范围是.3. 已知关于x的不等式x+^^芝5，在xw(a +X上恒成立，贝U实数a的最小值是.x —a4. 关于x的不等式2x2-9x+m<0在区间2,3】上恒成立，贝U m的取值范围是 .5. 函数y =ax+2a+1 (-1壬x苴1 )的值有正有负，贝U a的取值范围是 .26. 若命题R, 2x —3ax+9 <0”为假命题，贝u实数a的取值范围为 .x7. -------------------------------------------- 若对任意x>0 , 「<afe成立，贝U a的取值氾围是 .x 3x 18. 函数y =1+2x+a4x,x在(-°°,1 ],若y》0恒成立，贝U a的取值范围是 .x22x a9. 已知函数f (x) = , x€ [ 1, +8 ) .右对任意x€ [ 1, +8 ) , f (x) >0fe成x立，实数a的取值范围是.10. 对于任意x在R,不等式x2 -aJx2+1 +5>0恒成立，求实数a的取值范围.11."对火击0,2】，不等式0壬x2—mx十4《6恒成立”是真命题.求m的取值范围★让结局不留遗憾，让过程更加完美课后作业:2 2,1. 已知函数y = lg［x +(a—1)x+a ］的定义域为R,求实数a的取值范围 .一_ ，.一…(1 a\ — - ________2. 已知a,x,y》0，右不等式(x+y)\—+—>9fe成立，贝U a的最小值是 .3. _________________________________________________________________________________ 已知x >0, y》0，且2+ 1=1，若x+2y >m2+2m恒成立，则实数m的取值范围为____________________x y4. 已知a》0,b》0,a +b +2 =ab ,不等式a +b Z m对于a,b恒成立，则m的范围是.5. 已知函数f (x) = ax—/4x —x2,x w (0,4］时f(x)< 0恒成立，贝U a的范围是.Y 1一， (2)6. 已知a》0且a#1, f(x)=x -a，当x在(一11 )时恒有f (x^-，则a的范围是.. 一(1\7. 右不等式3x —log a x<0在x w 0,［内恒成立，求实数a的取值范围.I 3J….一….2 . . ■- —. ,一8. 若对一切p壬2，不等式(log2x) + plog2x + 1》2log2x+p恒成立，求实数x的取值范围2x 4, 一，，2 〜21 ,,9. 设f(x)= x ，求证：对任意的实数a,b不等式f(a)<b -3b+ 一恒成立.4x8 ' 410.对任意a,bw R, a2+舄b2芝b(a+b)恒成立，求实数人的取值范围.11.若不等式3x2- log a x < 0在x ,0,1]< 3J［内恒成立，求实数a的取值范围.12.设f (x) = v'-x2 _4x , g (x)4 」=一x 1 —a ,3若恒有f (x) < g(x)成立，求实数a的取值范围.在[-1,1]13. 已知f(x) 是定义yd。

一元二次不等式数轴穿根法

一元二次不等式数轴穿根法一元二次不等式，这听起来像个让人抓狂的数学概念，它就像那种初恋的心情，复杂却又充满期待。

咱们今天就来聊聊这玩意儿，别紧张，听我慢慢道来。

不等式的“穿根法”就像是寻找宝藏的冒险，咱们要在数轴上找到那些“根”。

想象一下，你站在一条宽广的数轴上，左边是负无穷，右边是正无穷，中间那条线就像是你的人生，充满了未知。

当我们有了一个一元二次不等式，比如说 ( ax^2 + bx + c < 0 )，这可不是一件简单的事儿。

你得找到这个不等式对应的方程 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的根。

根就像是你在游戏里找到的两个关键道具，没有它们，你就没法往下走。

一般来说，求根的方法多着呢，最常用的就是求根公式，虽然看上去有点复杂，但其实也不难。

你只要记住那神奇的公式 ( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a )，就能得到两个根，真是个神奇的公式，对吧？然后，我们来看看这些根在数轴上的表现。

根把数轴分成了几个区域，每个区域就像是不同的派对，热闹得很。

你要做的就是确定哪些区域能让你的不等式成立。

比如，假设你的两个根是 ( r_1 ) 和 ( r_2 )，那么数轴被分成了三部分：左边的 ( (infty, r_1) )，中间的 ( (r_1, r_2) )，和右边的 ( (r_2, +infty) )。

每个部分都有可能是解的区域，也都有可能不是。

咱们就要进行“试水”了，选择每个区域里的一个点代入原不等式，看看哪个区域符合要求。

这个过程就像在选菜，尝一尝，觉得不错的就放进购物车。

比如，你在 ( (infty, r_1) ) 这个区域随便挑一个点，比如说 ( x = r_1 1 )，代入不等式，看看结果。

如果这个结果小于零，恭喜你，这个区域就可以了。

然后继续到中间的区域和右边的区域重复这个动作。

你就能找出哪些区域是符合不等式的，真是简单又有趣。

有的时候，遇到那些特殊情况，比如说判别式 ( b^2 4ac = 0 )，这时候根就重合了，数轴上的情况就变得特别。

20-21版：习题课　不等式恒成立、能成立问题（创新设计）

习题课不等式恒成立、能成立问题题型一数形结合法解决恒成立问题【例1】当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围. 解令y ＝x 2＋mx ＋4.∵y <0在[1，2]上恒成立，∴x 2＋mx ＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2.如图，得⎩⎨⎧1＋m ＋4<0，4＋2m ＋4<0，即⎩⎨⎧m ＋5<0，2m ＋8<0，解得m <－5. ∴m 的取值范围是(－∞，－5).规律方法结合函数的图像将问题转化为函数图像的对称轴，区间端点的函数值或函数图像的位置(相对于x 轴)关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.【训练1】 (1)已知不等式kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，求实数k 的取值范围；(2)若不等式－x 2＋2x ＋3≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)当k ＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.当k ≠0时，令y ＝kx 2＋2kx －(k ＋2)，∵y <0恒成立，∴其图像都在x 轴的下方，即开口向下，且与x 轴无交点.∴⎩⎨⎧k <0，4k 2＋4k （k ＋2）<0，解得－1<k <0. 综上，实数k 的取值范围是(－1，0].(2)原不等式可化为x 2－2x ＋a 2－3a －3≥0，∵该不等式对任意实数x 恒成立，∴Δ≤0，即4－4(a 2－3a －3)≤0，即a 2－3a －4≥0，解得a ≤－1或a ≥4，∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞).题型二分离参数法解决恒成立问题【例2】设函数y ＝mx 2－mx －1，x ∈[1，3]，若y <－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 y <－m ＋5恒成立，即m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立，∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在1≤x ≤3上的最小值为67，∴只需m <67即可. ∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67. 规律方法通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.【训练2】已知函数y ＝x 2＋2x ＋a x对于任意x ≥1有y >0恒成立，求实数a 的取值范围.解 x ≥1时，y ＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立，即a >－(x 2＋2x )恒成立，即a >[－(x 2＋2x )]max .令y 1＝－(x 2＋2x )，则当x ≥1时，y 1＝－(x 2＋2x )＝－(x 2＋2x ＋1)＋1＝－(x ＋1)2＋1≤－3.∴实数a 的取值范围为{a |a >－3}.题型三主参换位法解决恒成立问题【例3】已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，求x 的取值范围.解把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记y ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由y >0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立，将a ＝－1和a ＝1代入，解不等式组⎩⎨⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，得x <1或x >3. ∴x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞).规律方法转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解.【训练3】对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，试求x 的取值范围.解不等式x 2＋px >4x ＋p －3恒成立，即(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)>0，设y ＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)是以p 为自变量的一次函数，则0≤p ≤4时y >0恒成立，即⎩⎨⎧（x －1）·0＋x 2－4x ＋3>0，4（x －1）＋x 2－4x ＋3>0，解得x >3或x <－1.∴x 的取值范围是{x |x >3或x <－1}.题型四转化为函数的最值解决能成立问题【例4】若存在x ∈R ，使得4x ＋m x 2－2x ＋3≥2成立，求实数m 的取值范围. 解 ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴4x ＋m ≥2(x 2－2x ＋3)能成立，∴m ≥2x 2－8x ＋6能成立，令y ＝2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴m ≥－2，∴m 的取值范围为[－2，＋∞).规律方法能成立问题可以转化为m >y min 或m <y max 的形式，求出y 的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围.【训练4】已知函数y ＝|2x ＋1|－|x |.(1)求不等式y >0的解集；(2)若存在x ∈R ，使得y ≤m 成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由y >0，得|2x ＋1|>|x |，两边同时平方，得3x 2＋4x ＋1>0，解得x <－1或x >－13.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－13. (2)存在x ∈R ，使得y ≤m 成立，故m ≥y min .当x <－12，y ＝－x －1；当－12≤x <0，y ＝3x ＋1；当x ≥0，y ＝x ＋1.当x ＝－12时，y 取得最小值为－12.∴m ≥－12，即m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.。