中等数学1985年第4期
1985年全国统一高考数学试卷(文科)
1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（3分）的（ ）A ． 必要条件B ． 充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（ ） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）D ． y =e sin2x （x ∈R ）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L 的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）D．y=e sin2x（x∈R）A．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，y max=2；当x=0时，y min=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．解答：解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6），半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），则PP'的中点应在直线L上，故有，即3a﹣4b﹣20=0（1）又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2）解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即：x2+y2﹣8x+4y+19=0．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．考点：极限及其运算；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，S n=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值．解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，，于是==．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此当公比q＞1时，于是．因此．综合以上讨论得到点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．。
DA1985年广东数学(理工类).doc
1985年广东省高等学校招生统一考试:学（理工农医类）答案第一卷一、本题考查基础知识和基本运算，只需要直接写出结果.每一个小题，结果正确的，给2 分.10个小题的给分的和就是本题全题的给分.5. 08. -10 9. y = 2 + V9Z?(-3^%^3)10. 如图二、本题考查基础知识和基本运算.笫1〜16小题，每个小题选对给2分；第17〜20小题， 每个小题选对给3分，不选、错选或者选出的代号超过一个的，一律给0分.20个小题的 给分的和就是本题全题的给分.I. E 2. A 3. B 4. A 5. C 6. C 7. E 8. B 9. D 10. CII. C 12. B 13. D 14. C 15. D 16. D 17. C 18. A 19. E 20. B第二卷一、本题考查绝对伉不等式和三角函数的基本知识与数学归纳法的运用. 证：（1）当n 二1时，左边二|sin 沒卜右边，所以原不等式成立.（2）假没当M = 时，不等式成立，即|sin 々汐|＜々|sin 沒|.那么，当/?=々+ 1时3 1 2 1 | 96.1. {x|x^l}2.4. x 2 + y 2 -x-2y = 0| s'm(k +1)^ |=| sin k3 cos 6 + cos kd sin 6 \ sin kdcos沒 | +1 cos 々汐sin 沒 | =| sin k3\\ cos沒 | +1 cos據 || sin 沒 |sin 々汐 | +1 sin 沒 | sin 汐 | +1 sin 汐 |= (々 + l)|sin 沒 |.这就是说，原不等式对于/2 = & + 1成立. 根裾(1)和(2),原不等式对于任意自然数n 都成立.二、本题考查空间的两条直线的位罝关系，二面角人小的计算以及空间想象能力和逻辑推理 能力.(1) 证：•••/15(? — 451(?1是直三棱住，/. 丄底而y4fiC .•••C£c 平面 AfiC ，•••C£iA4I .又芯是等腰三角形/15C 底边A5的中点，/.C£丄故C£丄平而V AB, c=平面 ABB }A }t :. C£ 丄 .(2) 证：•••(?£ 丄 AS, C£ 丄 Ag,•••C£ 丄平面过£作££> 丄 AB,,垂足为 £>，£Z)c 平面？ISSA, /.C£ 丄 ££). 故££＞是C£和Ag 所在的异而直线的距离. 在 RtA/lBfijDRtA/lDE 中，ZA 公共， 人 AABB,⑺△/AD£，即 £D 二AE叫. 'BB, AB, AB,••MC 二BC 二2，ZACB 二90°,/. AB = 272, AE = -AB = y/2 .2又在RtAABB,屮，BB'=4, A AB } == Vs + 16 = 2^6 .(3)解：Y££＞丄C£丄侧而连结CZ)，依三垂线定理有CD 丄,故ZCD£是截面CAB,和侧面ABB,4所成的二而角的平面角，且力锐角.C£是RtAAfiCED2A /62^3丁(cm)的斜边上的中线，故C£ = 1/IS =人，2义 ED =，于是，在 RtACED 中，tgZCDE = — = —3ED 2故截面CAB,和侧面ABB,A,所成的较小的二面角等于arctg三、本题考查二次函数与对数函数的基本性质，不等式的证明和不等式的解法(1)证：当meM 时，有m 〉l ，从而对所有的实数x 都有 X 2 - 4A /U -+ 4m 2 + mH ——-—= (x- 2m)2+ m H ——-—m H ——-—> 0对所有的实数x 都有意义.反之，如果/00对所有的实数x 都有意义，则对所有的实数X ，都有Af^T — "2 + 1 即"__或 m-i由于上式左端的分子总是正数，所以它的分母m-1〉0,即m 〉l,从而me A/ (2)解：因为以3为底的对数函数是增函数，所以，从①式得又因为/(2m) = log:(3)证：当meAl 时，有m 〉l ，所以m-\——-—=(m-l)H ——； + 1》2' (m-1) ------- h l =32m-\ 于是，当me A/时，函数/(x) = log. x 2 - 4z?tv + 4m 2 + m +x 2 - 4/?1¥ + 4m 2 +m +m-\〉0,而当x = 2m 时，上戎变为m +"2 — 1>0 >0.f ⑽=log(x-2m)2 +m +m-\彡 log 3m-\所以，当me W 时，/⑺的最小值是log.777 +m-i卜.式两端取以3为底的对数，得log. log. 3 = 1.m-l于是，根据(2)的结果可知，对每一个me Al, /(X)的最小值都不小于1.四、本题考查二次曲线的基础知识，曲线参数方程的应用，以及逻辑推理能力和计算能力. (1)证：将曲线I ，II 的方程化为直角坐标方程(x-m)2 y 2 2 A 3^(4 3I 2)当m = 4时，椭圆I 屮心的坐标力(4,0),长轴在;v 轴上，长半轴长==短半轴长b =忑，从而，半焦距C = A /V 2 =1,焦点坐标(4士G 0)即为(5,0)和(3,0),准线方程2x = 4±f-,即为x = 8和 ％ = 0 .由抛物线II 的方程可知：该抛物线以x 轴力对称轴，开II 向右，顶点的坐标力即为x = 0.所以，椭圆I 的左焦点和左准线分别与抛物线II 的焦点和准线重合. (2)证：将曲线I ，II 的直角坐标方程联立(*)] 4 3 V / Z 2 \y 2 =6 x ——.②2那么，曲线I, II 有交点o 方程组(*)有实数解％，>，.这时，(%，y)为交点. 将②代入①，整理得%2+(8 — 2m)x + m 2—16 = 0;③又由于X-— = 1彡0,故方程组(*)有实数解<=> 方程③有不小于一的实根. 2 6 2 方程③的两个根为x, = -(4-m) + 2^/2(4 - m),=_(4 _ /zz) - 2^2(4 - ni).可见，当且仅当4一时，又2是实根，且这时x 2<0.，焦点至顶点的距离是*4,从而焦点的坐标为3 p—-------------------2 23由此可知：厕有不小于，实根㉞满足不等式组4 — m X)，-(4-m) + 2V2(4^m)彡 、 2解此不等式组的解集综合起來，即得：当且仅当时，椭圆I 与抛物线II 有交点.(3)因为椭圆I 屮心的坐标力(m ，0),所以，曲线I ，II 的交点(%，＞’)满足题设，等价于x ，y满足x 2 + y 2=(x —m)2 + y 2,即是m(m -2x) = Q, ①由(2)的证明可知，曲线I ，II 的交点横平标是将它代入①式，得知所求的m 值应满足方程解方程：由"2 = 0得叫=0,由8-爪-4^/2(4-爪)二0.即m 2 +16m — 64 = 0 ,得’712=86/^_1)6[_去，备+1) G [―，(应舍去)直接检验可知，当m 二0或8(^-1)时，曲线I, II 的交点满足题设条件，故所求的m 的 值是0和8(^ — 1).五、木题考查利用导数求函数极伉和讨论方程的不同的实根个数的能力.(1)解：f\x) = 5/ -5 = 5(/ -1) •令/W = 0,即5(/—1) = 0,这个方程的实根是x = ±l .而 /(-l) = -l + 5 + C 二 C + 4,x = (m -4) + 2^/2(4-771)，■[一丄4m[8-m-4^2(4-m)] = 0，/(l) = l-5 + C = C-4.函数/(JV)的变化怙况如下表所示:所以/(%)的极大值是/(—I) = C + 4, /(%)的极小值是/(I) = C-4.(2)证：用反证法证明.假如方程/(x) = 0的不同实根个数大于3,则至少可找到四个不同的实数七 < x2 < < x4，使得/(x,) = /(%2) = f(x3) = /(x4) = 0，根据微分中值定理，有x2),使得由式①及％2〉七，可知/(3) = 0.这表明方程/(x) = 0在区间(什易)屮至少有一个实根沒1;同理可证：方程/\x) = 0在区间(x2, %3), (%3, %4)中分别有实根巧，A .显然，有即方程/Xr) = O至少有三个不同的实根，这与(1)中所得的结果相矛盾，从而，方程/(x) = 0的不同实根的个数不大于3.。
中学数学教育期刊最新目录汇总（2019年2月出刊）
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1985年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
C. 奇数项是递增的，偶数项是递减的
D. 偶数项是递增的，奇数项是递减的
第2页 共5页
解答 0 < a < 1 ⇒ y = ax 单调递减 ⇒ a1 < aa < a0 ⇒ x1 < x2 < 1 ⇒ a1 < ax2 < ax1 ⇒ x1 < x3 < x2 ⇒ ax2 < ax3 < ax1 ⇒ x3 < x4 < x2 ⇒ ax2 < ax4 < ax3 ⇒ x3 < x5 < x4 ⇒ ax4 < ax5 < ax3 ⇒ x5 < x6 < x4 ⇒ ax4 < ax6 < ax5 ⇒ x5 < x7 < x6 ⇒ · · · ， 于是 0 < x1 < x3 < x5 < · · · < x2n−1 < · · · < x2n < · · · < x6 < x4 < x2 < 1. 从而奇数项是递增的，偶数项是递减的，所以选 C.
三、解答题 (本题满分 60 分，每小题 20 分)
11. 在直角坐标系 xOy 中，点 A(x1, y1) 和点 B(x2, y2) 的坐标均为一位正整数， OA 与 x 轴正方向的夹角大于 45◦，OB 与 x 轴正方向的夹角小于 45◦，B 在 x
轴上的射影为 B′，A 在 y 轴上的射影为 A′，△OB′B 的面积比 △OA′A 的面
解答 √
设 |P F | = x, |QF | = y ⇒ |P Q| = x + y ⇒ |M N | = (x + y)2 − (x − y)2
= 2√xy ⇒ S1 = π(x + y)2, S2 = 4πxy，所以选 C.
1985年全国高中数学联合竞赛试题及解答
46 ．
而
B1EF
在平面
A1C1
上的射影面积为
1 4
．
∴ cos 3 ，即所求角为 arccos 3 ．
46
46
D A
CA
C1
B1 C
E B
又解：设平面
B1EF
与平面
AD1 交于
FG
，( G
在
AD
上)，则由平
F A1
H
D1
面 AD1 // 平面 BC1 ，得 FG // B1E ．于是，延长 GF 、 D1A1 交于 P ，P K
7
1985*8、 方程 2x1 x2 x3 x10 3 的非负整数解共有 ◆答案：174 ★解析：当 x1 1 时， x2 x3 x10 1，共有 9 解；
组．
x1 0 时， x2 x3 x10 3 ，共有 9 A92 C93 165 解． ∴ 共有174 解．
∴ S1 S2 ，当且仅当 900 时等号成立．选 C．
1985*3、已知方程 arccos 4 arccos 4 arcsin x ，则( )
5
5
A． x 24 25
B． x 24 25
C． x 0
D．这样的 x 不存在．
◆答案：D
★解析：即 arcsin x 2 arccos 4 ．设 arccos 4 ，则 cos 4 ， sin 3 ．
C1 B1
1985 年全国高中数学联合竞赛一试 第 4 页 共 6 页
则
P
为截面与平面
A1C1 的公共点，故
PB1 为所求二面角的棱．
AG
1985年全国高等学校统一招生数学试题
1985年全国高等学校统一招生数学试题
康庄;家骏;文立
【期刊名称】《数学教学通讯》
【年(卷),期】1984(000)003
【总页数】4页(P48-51)
【作者】康庄;家骏;文立
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G6
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1985年全国普通高等学校招生统一考试数学理.pdf
学习目标： 1、认识课本附录P142——P144页常见的化学实验仪器，了解它们的主要用途和实验注意事项； 2、理解和牢记化学实验室安全规则，提高遵守实验室安全规则的自觉性。
知识点（含重点、难点）： 重点：化学实验室常见的仪器名称、用途、使用的注意事项。
难点：提高学生遵守实验室安全规则的意识。
实验准备： 试管、蒸发皿、燃烧匙、烧杯、锥形瓶、酒精灯、量筒、铁架台（带铁夹、铁圈）、试管夹、试管架、漏斗、分液漏斗、广口瓶、细口瓶、滴瓶、药匙、胶头滴管、等 板书设计： 化学实验基本技能训练（一）(第一课时) 一、认识你的实验室 二、切记实验室安全规则 ①直接加热的仪器 1、三不原则1、反应容器2、用剩药品的处理（安全环保原则） ②垫石棉网加热 3、化学危险品图标 2、加热仪器 4、烫伤 3、计量仪器 5、酸、碱灼伤 4、固定、支持仪器 6、实验台着火 5、分离物质仪器 6、存放物质的仪器 学习过程： 师生互动活动意图【创设情景引入新课】 【教师】首先我给大家讲一只烧坏的挎包的故事：在美国一所著名中学，化学实验室的陈列窗中有一只烧坏的挎包，关于这个挎包还有一个有趣的故事呢。
很多年以前，这个学校的一个学生在做实验时，看到金属钠非常神奇，就偷偷的在自己的挎包里放了一小块金属钠，打算下课后再玩，但是还没等下课他的挎包就着火了，原来金属钠的化学性质非常活泼，在他的挎包里很快就自燃了，他不遵守实验室的规则而导致了实验时的危险，为了警示以后的学生，因此学校把这个学生的挎包留了下来并陈列在橱窗里。
【学生】聆听，意识到不遵守实验室安全规则带来的危险 【过渡】今天，我们就一起走进化学实验室来了解化学实验室的有关知识。
【板书课题】化学实验基本技能训练（一） 【出示学习目标】 【教师】首先我们来了解一下本节课的学习目标， 投影：学习目标 师生明确学习的目标和具体的任务，知道学习时的重点和难点。
【学生】明确目标，知道本节课的学习任务。
1985年全国高中数学联赛试题及解答
1985年全国高中数学联赛试题第一试1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分) ⑴ 假定有两个命题：甲：a 是大于0的实数；乙：a >b 且a －1>b －1．那么( )A ．甲是乙的充分而不必要条件B ．甲是乙的必要而不充分条件C ．甲是乙的充分必要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ⑵PQ 为经过抛物线y 2=2px 焦点的任一弦，MN 为PQ 在准线l 上的射影，PQ 绕l 一周所得的旋转面面积为S 1，以MN 为直径的球面积为S 2，则下面结论中，正确的是( )A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1≥S 2D ．有时S 1>S 2，有时S 1=S 2，有时S 1<S 2⑶ 已知方程arccos 45－arccos(－45)=arcsin x ，则( )A ．x=2425B ．x=－2425C ．x=0D ．这样的x 不存在．⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程mx +ny 2=0与mx 2+ny 2=1(m ≠0，n ≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是()D.C.B.A.⑸ 设Z 、W 、λ为复数，|λ|≠1，关于Z 的方程－Z －λZ=W 有下面四个结论：Ⅰ．Z=－λW +－W1－|λ|2是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解；Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )A ．只有Ⅰ、Ⅱ正确B ．只有Ⅰ、Ⅲ正确C ．只有Ⅰ、Ⅳ正确D ．以上A 、B 、C 都不正确 ⑹ 设0<a <1，若x 1=a ，x 2=a x1，x 3=a x2，…，x n =ax n －1，……，则数列{x n }( )A ．是递增的B ．是递减的C ．奇数项递增，偶数项递减D ．偶数项递增，奇数项递减 二．填空题(本题满分24分，每小题6分)⑴ 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 的大小成等比数列，且b 2－a 2=ac ，则角B 的弧度为等于 ．⑵ 方程2x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=3的非负整数解共有 组．⑶ 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 ．⑷ 对任意实数x ，y ，定义运算x *y 为x *y=ax +by +cxy ，其中a 、b 、c 为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数都有x *d=x ，则d= ．第二试(本试共有4题，每题满分15分)1．在直角坐标系xoy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的坐标均为一位的正整数．OA与x轴正方向的夹角大于45°，OB与x轴正方向的夹角小于45°，B在x轴上的射影为B'，A在y轴上的射影为A'，△OBB'的面积比△OAA'的面积大33.5，由x1，y1，x2，y2组成的四位数x1x2y2y1=x1∙103+x2∙102+y2∙10+y1．试求出所有这样的四位数，并写出求解过程．2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1F∶F A=1∶2．求平面B1EF 与底面A1B1C1D1所成的二面角．1A13．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．4．平面上任给5个点，以λ表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：λ≥2sin54︒．1985年全国高中数学联赛试题 第一试1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分) ⑴ 假定有两个命题：甲：a 是大于0的实数；乙：a >b 且a －1>b －1．那么( )A ．甲是乙的充分而不必要条件B ．甲是乙的必要而不充分条件C ．甲是乙的充分必要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：由于a >b 且a －1>b －1成立时，必有a >0，b <0．故由乙可得甲，故选B⑵PQ 为经过抛物线y 2=2px 焦点的任一弦，MN 为PQ 在准线l 上的射影，PQ 绕l 一周所得的旋转面面积为S 1，以MN 为直径的球面积为S 2，则下面结论中，正确的是( )A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1≥S 2D ．有时S 1>S 2，有时S 1=S 2，有时S 1<S 2 解：设PQ 与x 轴夹角=θ，|PF |=ρ1，|QF |=ρ2，则|PM |=ρ1，|QN |=ρ2．则S 1=π(PM +QN )∙PQ=π(ρ1+ρ2)2，S 2=π|MN |2=π(ρ1+ρ2)2sin 2θ．∴ S 1≥S 2，当且仅当θ=90°时等号成立．选C ． ⑶ 已知方程arccos 45－arccos(－45)=arcsin x ，则( ) A ．x=2425 B ．x=－2425 C ．x=0 D ．这样的x 不存在．解：即arcsin x=2 arccos 45－π．设arccos 45=θ，则cos θ=45，sin θ=35．∴ sin2θ=2sin θcos θ=2425．即2θ为锐角．∴2θ－π<－π2．故选D ．⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程与 (m ≠0，n ≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是()D.C.B.A.解：由y 2=－m n x ，若m 、n 均为正数，则此抛物线开口向左，且mx 2+ny 2=1表示椭圆，m <n ，|mn |<1．此时抛物线与直线y=－x 的交点横坐标应>－1．故否定B 、D ．若m 、n 符号相反，则抛物线开口向右．且mx +ny 2=0图形是双曲线，m <0，n >0，m=－n ．故选A ． ⑸ 设Z 、W 、λ为复数，|λ|≠1，关于Z 的方程－Z －λZ =W 有下面四个结论：Ⅰ．Z=－λW +－W1－|λ|2是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解；Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )A ．只有Ⅰ、Ⅱ正确B ．只有Ⅰ、Ⅲ正确C ．只有Ⅰ、Ⅳ正确D ．以上A 、B 、C 都不正确 解：原式两端取共轭：Z － λZ =－W ，乘以λ再取共轭：λZ －|λ|2Z=－λW ，相加，由|λ|≠1，得方程有唯一2=2px解Z=－λW +－W 1－|λ|2．选A ．⑹ 设0<a <1，若x 1=a ，x 2=a x1，x 3=a x2，…，x n =ax n －1，……，则数列{x n }( )A ．是递增的B ．是递减的C ．奇数项递增，偶数项递减D ．偶数项递增，奇数项递减 解：作y=a x 的图象，在图象上取点x 1，x 2，x 3，x 4，由0<a <1，知x 1<x 3<x 2，即A 、B 错，C 正确．选C ．二．填空题(本题满分24分，每小题6分)⑴ 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 的大小成等比数列，且b 2－a 2=ac ，则角B 的弧度为等于 ．解：由余弦定理，b 2－a 2=c 2－2ac cos B ．故ac=c 2－2ac cos B ．即a=c －2a cos B ．⇒sin A=sin(A +B )－2sin A cos B .=sin(B －A )．∴ 由b >a ，得B >A ．⇒A=B －A ，⇒B=2A ，C=4A ． 或A +B －A=π(不可能)∴ B=27π．⑵ 方程2x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=3的非负整数解共有 组． 解：x 1=1时，x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=1，共有9解；x 1=0时，x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=3，共有9+A 29+C 39=9+72+84=165解．∴ 共有174解．⑶ 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 ．解：把这些数mod 11得1，4，－3，－1，5，－3，－1，3，－3，－1．依次累加，得：1，5，2，1，6，3，2，5，2，1．其中相等的和有7对(3对1，3对2，1对5)，这表示原数列中共有7组相邻数之和能被11整除．⑷ 对任意实数x ，y ，定义运算x *y 为x *y=ax +by +cxy ，其中a 、b 、c 为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数都有x *d=x ，则d= ．解：ax +bd +cxd=x ．取x=0，代入得，bd=0，但d ≠0，故b=0a +2b +2c=3，2a +3b +6c=4．⇒a=5，c=－1．取x=1代入，得d=4． 经验算：x *y=5x －xy ，对于一切x ，有x *4=5x －4x=x 成立．故d=4．第二试(本试共有4题，每题满分15分)1．在直角坐标系xoy 中，点A (x 1，y 1)和点B (x 2，y 2)的坐标均为一位的正整数．OA 与x 轴正方向的夹角大于45°，OB 与x 轴正方向的夹角小于45°，B 在x 轴上的射影为B '，A 在y 轴上的射影为A '，△OBB '的面积比△OAA '的面积大33.5，由x 1，y 1，x 2，y 2组成的四位数x 1x 2y 2y 1=x 1∙103+x 2∙102+y 2∙10+y 1．试求出所有这样的四位数，并写出求解过程．解：x 2y 2－x 1y 1=67．x 1<y 1，x 2>y 2．且x 1，y 1，x 2，y 2都是不超过10的正整数．∴ x 2y 2>67，⇒ x 2y 2=72或81．但x 2>y 2，故x 2y 2=91舍去．∴ x 2y 2=72．x 2=9，y 2=8．∴ x 1y 1=72－67=5．⇒x 1=1，y 1=5，∴x 1x 2y 2y 1=1985．2．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F ∶F A=1∶2．求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角．解：设AB=1，则BE=12，A 1F=13，故B 1E=52，B 1F=103，EF=616．∴ S ∆B 1EF =12·54·109－14(54+109－6136)=11246．而△B 1EF 在平面A 1C 1上的射影面积=14．∴ cos θ=346，即所求角=arc cos 346． 又解：设平面B 1EF 与平面AD 1交于FG ，(G 在AD 上)，则由平面AD 1∥平面BC 1，得FG ∥B 1E ．于是，延长GF 、D 1A 1交于P ，则P 为截面与平面A 1C 1的公共点，故PB 1为所求二面角的棱．AG=A 1H=13，A 1P=16，PB 1=376．作GH ⊥A 1D 1于H ，则GH ⊥平面A 1C 1．作HK ⊥PB 1，连GK ．则∠GKH 为所求二面角的平面角．∵ HK ∙PB 1=A 1B 1∙HP ．∴ HK=337，tan ∠GKH=373．即所求角=arc tan 373．3．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除A 市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A 市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．证明：用32个点表示这32个队，如果某两队比赛了一场，则在表示这两个队的点间连一条线．否则就不连线．由于，这些队比赛场次最多30场，最少0场，共有31种情况，现除A 城甲队外还有31个队，这31个队比赛场次互不相同，故这31个队比赛的场次恰好从0到30都有．就在表示每个队的点旁注上这队的比赛场次．考虑比赛场次为30的队，这个队除自己与同城的队外，与不同城有队都进行了比赛，于是，它只可能与比赛0场的队同城；再考虑比赛29场的队，这个队除与同城队及比赛0场、1场(只赛1场的队已经与比赛30场的队赛过1场，故不再与其它队比赛)的队不比赛外，与其余各队都比赛，故它与比赛1场的队同城；依次类推，知比赛k 场的队与比赛30－k 场的队同城，这样，把各城都配对后，只有比赛15场的队没有与其余的队同城，故比赛15场的队就是A 城乙队．即A 城乙队比赛了15场．4．平面上任给5个点，以λ表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：λ≥2sin54︒．证明 ⑴ 若此五点中有三点共线，例如A 、B 、C 三点共线，不妨设B 在A 、C 之间，则AB 与BC 必11A KGH P FABCDC 1B 1A 1D 1E有一较大者．不妨设AB ≥BC ．则ACBC≥2>2sin54︒．⑵ 设此五点中无三点共线的情况．① 若此五点的凸包为正五边形．则其五个内角都=108︒．五点的连线只有两种长度：正五边形的边长与对角线，而此对角线与边长之比为2sin54︒．② 若此五点的凸包为凸五边形．则其五个内角中至少有一个内角≥108︒．设∠EAB ≥108︒，且EA ≥AB ，则∠AEB ≤36︒，∴BE AB = sin(B +E )sin E ≥sin2E sin E=2cos E ≥2cos36︒=2sin54︒． ③ 若此五点的凸包为凸四边形ABCD ，点E 在其内部，连AC ，设点E 在△ABC 内部，则∠AEB 、∠BEC 、∠CEA 中至少有一个角≥120︒>108︒，由上证可知，结论成立．④ 若此五点的凸包为三角形ABC ，则形内有两点D 、E ，则∠ADB 、∠BDC 、∠CDA 中必有一个角≥120︒，结论成立．综上可知，结论成立．AACBCBDEC BADEB A。
04051CDAB
标准答案和评分标准制定人：______________________________年月日
任课教师：______________________________________________年月日
7、 8、点估计；区间估计；有效性；无偏性；一致性
三、计算题（4×7分+4×6分）
1、解：
易见 ----------------------------------------------------------------------1分
----------------2分
由全概率公式，得 ----------------------------------------------------4分
（2） -----------------------------------------------------------4分
（3） ------------------------------------------------------7分
4.解：（1）
当 -------------------------------------------------------------------2分
系（教研室）主任：______________________________________年月日
因为离散型随机变量的分布函数 ,得-------------------------------------------------------4分
1985年全国统一高考数学试卷(文科)
1985年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分） 1．（3分）如果正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为a ，那么四面体A′﹣ABD 的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．2．（3分）的（ ）A ． 必要条件B ． 充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分又不必要的条件 3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y ）∪Z 是（ ） A ． {0，1，2，6，8} B ． {3，7，8} C ． {1，3，7，8} D ． {1，3，6，7，8}4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（ ） A ． y =x 2（x ∈R ） B ． y =|sinx|（x ∈R ） C ． y =cos2x （x ∈R ）D ． y =e sin2x （x ∈R ）5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（ ） A ． 96个 B ． 78个 C ． 72个 D ． 64个二、解答题（共11小题，满分90分） 6．（4分）求函数．7．（4分）求圆锥曲线3x 2﹣y 2+6x+2y ﹣1=0的离心率． 8．（4分）求函数y=﹣x 2+4x ﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值． 9．（4分）设（3x ﹣1）6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0的值． 10．（4分）设i 是虚数单位，求（1+i ）6的值． 11．（14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12，… 用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n 都成立．12．（13分）证明三角恒等式．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L 的对称的圆的方程．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．1985年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：画出图形，直接求解即可．解答：解：如图四面体A′﹣ABD的体积是V=故选D．点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．2．（3分）的（）A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要的条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．解答：解：由tanx=1得，当k=1时，x=，固由前者可以推出后者，所以tanx=1是的必要条件．故选A．点评：此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（）A．{0，1，2，6，B．{3，7，8} C．{1，3，7，8} D．{1，3，6，7，8} 8}考点：交、并、补集的混合运算．分析：根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．解答：解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，故选C点评：本题考查集合的基本运算，较简单．4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（）D．y=e sin2x（x∈R）A．y=x2（x∈R） B．y=|sinx|（x∈R）C．y=cos2x（x∈R）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：压轴题．分析：根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．解答：解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（）A．96个B．78个C．72个D．64个考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，分2种情况讨论，当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，故选B．点评：本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．二、解答题（共11小题，满分90分）6．（4分）求函数．考点：函数的定义域及其求法．分析：只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．解答：解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．点评：本题考查具体函数的定义域，属基本题．7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．解答：解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，即a=1，b=∴c==2∴e==2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先配方，确定对称轴和开口，再结合着图象，找出最高点和最低点，即相应的最大值和最小值．解答：解：y=﹣（x﹣2）2+2，则开口向下，对称轴方程是x=2结合函数的图象可得，当x=2时，y max=2；当x=0时，y min=﹣2故最大值是2，最小值是﹣2．点评：二次函数仍是高中阶段研究的重点，对于含参问题的二次函数考查的尤为频繁，在解决此类问题时往往要根据开口和对称轴，结合着图象，作出解答．9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：对等式中的x赋值1求出各项系数和．解答：解：令x=1得26=a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0故a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=26点评：本题考查赋值法是求展开式的各项系数和的重要方法．10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：常规题型．分析：利用（1+i）2=2i及i的各次方的值求解即可．解答：解：因为（1+i）2=2i，故（1+i）6=（2i）3=8i3=﹣8i点评：本题考查复数的简单运算，在进行复数的运算时要注意一些常见结果的运用，如（1+i）2=2i，（1﹣i）2=﹣2i等．11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．考点：数学归纳法．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由数学归纳法的步骤，我们先判断n=1时对是否成立，然后假设当n=k时，公式成立，只要能证明出当n=k+1时，公式成立即可得到公式对所有的正整数n都成立．解答：证明：因为S n=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，即要证明12+22+32+…+n2+…+32+22+12=，（A）（Ⅰ）当n=1，左边=1，右=，故（A）式成立（Ⅱ）假设当n=k时，（A）式成立，即12+22+32+…+k2+…+32+22+12=现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1）2+k2，得12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+…+32+22+12=+（k+1）2+k2，====．即证得当n=k+1时（A）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A）式对所有的正整数n都成立，即证得点评：数学归纳法的步骤：①证明n=1时A式成立②然后假设当n=k时，A式成立③证明当n=k+1时，A式也成立④下绪论：A式对所有的正整数n都成立．12．（13分）证明三角恒等式．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：证明的思路是化简左边式子，方法是利用2倍角公式和同角三角函数的基本关系，得到式子与右边相等即可．解答：证明：左边=2sin4x+（2sinxcosx）2+5cos4x﹣cos（2x+x）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（cos2xcosx﹣sin2xsinx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣[2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx]cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x﹣（4cos3x﹣3cosx）cosx=2sin4x+3sin2xcos2x+cos4x+3cos2x=（2sin2x+cos2x）（sin2x+cos2x）+3cos2x=2sin2x+cos2x+3cos2x=2+2cos2x=2（1+cos2x）=右边点评：考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差倍分的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力．13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；（2）解不等式考点：对数函数图象与性质的综合应用；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）、根据对数的运算法则可知，由lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）得，于是解这求出结果后要根据对数函数的定义域进行验根，去除增根．（2）、由不等式可知解：．解无理不等式时要全面考虑，避免丢解．解答：（1）解：由原对数方程得，于是解这个方程，得x1=0，x2=7．检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0．（2）解：解得点评：解对数方程要注意不要产生增根；解无理不等式时要注意不要丢解．14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．考点：棱锥的结构特征．专题：常规题型；计算题．分析：先作辅助线，三棱锥的高，斜高，以及斜高在底面上的射影，从而作出侧面与底面所成角的平面角，然后，由余弦函数求得斜高在底面的射影，即底面三角形的内切圆的半径．要注意论证．解答：解：自三棱锥的顶点V向底面作垂线，垂足为O，再过O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别是E，F，G连接VE，VF，VG根据三垂线定理知：VE⊥AB，VF⊥BC，VG⊥AC因此∠VEO，∠VFO，∠VGO分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE和△VOF中，由于VO⊥平面ABC，所以VO⊥OE，VO⊥OF又因VO=VO，∠VEO=∠VFO，于是△VEO≌△VFO由此得到OE=OF同理可证OE=OG，因此OE=OF=OG又因OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥AC，所以点O是△ABC的内切圆的圆心在直角三角形VEO中，VO=h，∠VEO=β，因此OE=hcotβ．即这个三棱锥底面的内切圆半径为hcotβ．点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了几何体的高，斜高及在底面上的射影，侧面与底面所成角等问题，考查全面，属中档题．15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．考点：关于点、直线对称的圆的方程．专题：计算题；压轴题．分析：求出已知圆的圆心，设出对称圆的圆心利用中点在直线上，弦所在直线与圆心连线垂直，得到两个方程，求出圆心坐标，然后求出方程．解答：解：已知圆方程可化成（x+2）2+（y﹣6）2=1，它的圆心为P（﹣2，6），半径为1设所求的圆的圆心为P'（a，b），则PP'的中点应在直线L上，故有，即3a﹣4b﹣20=0（1）又PP'⊥L，故有，即4a+3b﹣10=0（2）解（1），（2）所组成的方程，得a=4，b=﹣2由此，所求圆的方程为（x﹣4）2+（y+2）2=1，即：x2+y2﹣8x+4y+19=0．点评：本题是基础题，考查圆关于直线对称的圆的方程，本题的关键是垂直、平分关系的应用，这是解决这一类问题的常用方法，需要牢记．16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为S n，又设T n=，n=1，2，…．求．考点：极限及其运算；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题．分析：当公比q满足0＜q＜1时，．当公比q=1时，S n=n，．．当公比q＞1时，，．综合以上讨论，可以求得的值．解答：解：当公比q满足0＜q＜1时，，于是==．当公比q=1时，S n=1+1+…+1=n，于是=．因此当公比q＞1时，于是．因此．综合以上讨论得到点评：本题考查等比数列的极限，解题时要分情况进行讨论，考虑问题要全面，避免丢解．。
1985年吉林省高考数学试卷
1985年吉林省高考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是符合题意的，请将正确答案前的字母写在答题纸上；本题共32分，每小题4分）1、已知⊙O的直径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（）A、在⊙O外B、在⊙O上C、在⊙O内D、不能确定2、已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则cose的值是（）A、0.6B、0.75C、0.8D、0.853、△ABC中，点M、N分别在两边AB、AC上，MN∥BC，则下列比例式中，不正确的是（）A、1B、2C、3D、44、既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A、1B、-1C、2D、-25、已知⊙O1、⊙O2的半径分别是1cm、4cm，O1O2=cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A、外离B、外切C、内切D、相交6、某二次函数y=ax2+bx+c的图像，则下列结论正确的是（）A、ao,b0,c0B、a0,b0,c；0C、a0,b0,c0D、a0,b0,c07、下列命题中，正确的是（）A、平面上三个点确定一个圆B、等弧所对的圆周角相等C、平分弦的直径垂直于这条弦D、与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线8、把抛物线y=-x2+4x-3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是（）A、y=-（x+3）2-2B、y=-（x+1）2-1C、y=-x2+x-5D、前三个答案都不正确二、填空题（本题共16分，每小题4分）9、已知两个相似三角形面积的比是2∶1，则它们周长的比_____。
10、在反比例函数y=中，当x0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_________。
11、水平相当的甲乙两人进行羽毛球比赛，规定三局两胜，则甲队战胜乙队的概率是_________；甲队以2∶0战胜乙队的概率是________。
12、已知⊙O的直径AB为6cm，弦CD与AB相交，夹角为30°，交点M恰好为AB的一个三等分点，则CD的长为_________cm。
1985年北京高考数学
1985年北京高考数学一、选择题（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是符合题意的，请将正确答案前的字母写在答题纸上；本题共32分，每小题4分）1、已知⊙O的直径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（）A、在⊙O外B、在⊙O上C、在⊙O内D、不能确定2、已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则cose的值是（）A、0.6B、0.75C、0.8D、0.853、△ABC中，点M、N分别在两边AB、AC上，MN∥BC，则下列比例式中，不正确的是（）A、1B、2C、3D、44、既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A、1B、-1C、2D、-25、已知⊙O1、⊙O2的半径分别是1cm、4cm，O1O2=cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A、外离B、外切C、内切D、相交6、某二次函数y=ax2+bx+c的图像，则下列结论正确的是（）A、ao,b0,c0B、a0,b0,c；0C、a0,b0,c0D、a0,b0,c07、下列命题中，正确的是（）A、平面上三个点确定一个圆B、等弧所对的圆周角相等C、平分弦的直径垂直于这条弦D、与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线8、把抛物线y=-x2+4x-3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是（）A、y=-（x+3）2-2B、y=-（x+1）2-1C、y=-x2+x-5D、前三个答案都不正确二、填空题（本题共16分，每小题4分）9、已知两个相似三角形面积的比是2∶1，则它们周长的比_____。
10、在反比例函数y=中，当x0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是_________。
11、水平相当的甲乙两人进行羽毛球比赛，规定三局两胜，则甲队战胜乙队的概率是_________；甲队以2∶0战胜乙队的概率是________。
12、已知⊙O的直径AB为6cm，弦CD与AB相交，夹角为30°，交点M恰好为AB的一个三等分点，则CD的长为_________cm。
1985年全国初中数学联赛试题及详解(1)
第二讲二次根式的化简求值［教学内容］《动态数学思维》暑期衔接版，八升九第二讲“二次根式的化简求值”.［教学目标］知识技能1.熟练掌握二次根式的运算技巧，能够对复杂的二次根式进行化简求值；2.理解分母有理化的思想方法；3.会对二次根式的大小进行比较.数学思考体会分母有理化的基本思想方法，能够举一反三，在实例中体会整体思想的妙用.问题解决经历二次根式分母有理化以及二次根式比较大小方法的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力，加强练习，提高学生的计算能力.情感态度1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界；2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.[教学重点、难点]重点：二次根式分母有理化、二次根式的化简求值以及比较大小.难点：二次根式分母有理化.[教学准备]动画多媒体语言课件.第一课时第二课时答案：【类似性问题】1. D2. B3. 64.（1）；（2）5. 解：原式===.当x=+2时，原式===.手册答案1. C2. C3. D4. C5. C6.7. 148.9. 210.11. 解：∵x>0,y>0,∴ (+2)= (6+5)，即x+2=6+5y,x-5y=4.∴原式===.12.解：（1）x==,y==.∴2x2+2y2-3xy=2(x+y)2-7xy=2［（）+（）］2-7（）（）=32-7=25. （2）∵x的小数部分为a,y的小数部分为b,∴a=2-,b=2+-3=-1,∴（a+b）2+=（2-+-1）2+|2--+1|=1+2-3=2-2.13.解：原式=（-1+-+-+…+-）（+1）=（-1）（+1）=2013-1=2012.。
1985年全国高考数学试题及答案解析
(1)解法一:由原对数方程得
因为log0.25a=-log4a,上式变成
由此得到
解这个方程,得到
x1=0,x2=7.
检验:把x=0代入原方程,左右两边都等于0;故x=0是原方程的根.但当x=7时,由于3-x<0,1-x<0,它们的对数无意义;故x=7不是原方程的根,应舍去.
当n=k+1时,可得
即
也成立.
从而不等式对所有的正整数n都成立.
证法二:直接证明.
由于不等式
对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到
又因
以及
因此不等式
对所有的正整数n都成立.
(2)由(1)及bn的定义知
于是
八、设a,b是两个实数,
解法二:设直线PA和QB的交点为M(x,y).
当点M与点P及点Q都不重合时,直线PM的方程是
(x+2)(Y-2)=(y-2)(X+2),
直线பைடு நூலகம்M的方程是
x(Y-2)=(y-2)X.
由方程组
解得直线PM和直线l的交点A的坐标为
由方程组
解得直线QM和直线l的交点B的坐标为
根据题意,线段AB两端点A,B的横坐标有如下关系:
1985年全国高考数学试题及答案解析
(理工农医类)
一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.
(1)如果正方体ABCD_A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体
A′_ABD的体积是
【】
[Key]一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)D;
1985高考数学全国卷及答案文
1985年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分（1）如果正方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇的棱长为a ，那么四面体A ＇-ABD 的体积是 （ D )6(D ) 4(C ) 3(B ) 2)(3333a a a a A （2）π==451x tgx 是的 （ A ） （A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要的条件 （3）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合Z Y X ⋃⋂)(是 （ C ） （A ）{0，1，2，6，8} （B ）{3，7，8} （C ）{1，3，7，8} （D ）{1，3，6，7，8}（4）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？ （ B ） （A ）).(2R x x y ∈= （B ）)(|sin |R x x y ∈= （C ）)(2cos R x x y ∈= （D ）)(2sin R x e y x ∈=（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 （ B ）（A ）96个 （B ）78个 （C ）72个 （D ）64个二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果） （1）求函数的定义域142--=x x y 答：}.21|{}12|{≤<⋃<≤-x x x x（2）求圆锥曲线3x 2-y 2+6x+2y-1=0的离心率答：2（3）求函数y=-x 2+4x-2在区间[0，3]上的最大值和最小值答：最大值是2，最小值是-2（4）设(3x-1)6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0 ,求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2 +a 1+a 0的值答：64（或26）（5）设i 是虚数单位，求(1+i)6的值 答：-8i.三．（本题满分14分）设S 1=12，S 2=12+22+12，S 3=12+22+32+22+12，…， S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12,…用数学归纳法证明：公式3)12(2+=n n S n 对所有的正整数n 都成立证：因为S n =12+22+32+…+n 2+…+32+22+12,即要证明12+22+32+…+n 2+…+32+22+12=3)12(2+n n ，（A ）（Ⅰ）当n=1,左边=1，右=1331=⋅，故（A ）式成立 （Ⅱ）假设当n=k 时，（A ）式成立，即12+22+32+…+k 2+…+32+22+12=3)12(2+k k现设n=k+1，在上式两边都加上（k+1)2+k 2,得12+22+32+…+k 2+(k+1)2+k 2…+32+22+12=3)12(2+k k +(k+1)2+k 2.3]1)1(2)[(1(3)342)(1(3)1(3)1)(12(33)1(32222223+++=+++=++++=++++=k k k k k k k k k k k k k 即证得当n=k+1时（A ）式也成立根据（Ⅰ）和（Ⅱ），（A ）式对所有的正整数n 都成立，即证得3)12(2+=n n S n四．（本题满分13分）证明三角恒等式)cos 1(2cos 3cos cos 52sin 43sin 22424x x x x x x +=-++证：x x x x x x x cos )cos 3cos 4(cos 5cos sin 3sin 224224--++=左边x x x x x 24224cos 3cos cos sin 3sin 2+++=右边=+=++=+++=x x x x x x x x x 222222222cos 22cos 3cos sin 2cos 3)cos )(sin cos sin 2(五．（本题满分16分）（1）解方程)12lg()1lg()3lg()3lg(+--=+--x x x x 解：由原对数方程得,121lg 33lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x 于是.12133+-=+-x x x x 解这个方程，得x 1=0,x 2=7. 检验：x=7是增根，因此，原方程的根是x=0. （2）解不等式.152+>+x x解：⎪⎩⎪⎨⎧++>+≥+≥+⎩⎨⎧<+≥+125201052010522x x x x x x x 或解得}.225|{<≤-x x 六．（本题满分15分）设三棱锥V-ABC 的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h 求这个所棱锥底面的内切圆半径解：自三棱锥的顶点V 向底面作垂线，垂足为O ，再过O 分别作AB ，BC ，CA 的垂线，垂足分别是E ，F ，G 连接VE ，VF ，VG 根据三垂线定理知：VE ⊥AB ，VF ⊥BC ，VG ⊥AC因此∠VEO ，∠VFO ，∠VGO 分别为侧面与底面所成二面角的平面角，由已知条件得∠VEO=∠VFO=∠VGO=β，在△VOE 和△VOF 中，由于VO ⊥平面ABC ，所以VO ⊥OE ，VO ⊥OF 又因VO=VO ， ∠VEO=∠VFO ， 于是△VEO ≌△VFOV A G C E O F B由此得到OE=OF 同理可证 OE=OG 因此OE=OF=OG又因OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥AC ，所以点O 是△ABC 的内切圆的圆心在直角三角形VEO 中，VO=h ，∠VEO=β，因此OE=hctg β.即这个三棱锥底面的内切圆半径为hctg β. 七．（本题满分15分）已知一个圆C ：x 2+y 2+4x-12y+39=0和一条直线L:3x-4y+5=0C 关于直线L 的对称的圆的方程解：已知圆方程可化成(x+2)2+(y-6)2=1,它的圆心为P （-2，6）， 半径为1设所求的圆的圆心为P ＇（a ,b ），则PP ＇的中点)26,22(+-b a 应在直线L 上，故有 )1(02043,05)26(4)22(3=--=++--b a b a 即 又PP ＇⊥L ，故有)2(0103414326=-+-=⋅+-b a a b 即解（1），（2）所组成的方程，得a =4,b=-2 由此，所求圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1,即：x 2+y 2-8x+4y+19=0. 八．（本题满分12分）设首项为1，公比为q(q ＞0)的等比数列的前n 项之和为S n T n =.lim .,2,1,1n n n n nT n S S →+=求解：当公比q 满足0＜q ＜1时，于是时当公比于是,111,1.1010111,1111112n S q q q S S T q q qq q S n n n n n n n n n =+++===--=--==--=+++=++-.11111,11111lim 1limlim .111121--==--=++++=>=+=+=+==++-∞→∞→∞→+n n n n n n n n n n n n n n n q q S S T q q q q q S q nn n T n nS S T 于是时当公比因此⎪⎩⎪⎨⎧>≤<==--=--=∞→+∞→+∞→∞→).1(1),10(1lim .1)1(1)1(1lim 111lim lim 11时当时当综合以上讨论得到因此q qq T q q qq q q T n n n nn n nn n n。
1985年高考数学试题及答案
1985年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考生注意：这份试题共八道大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分（1）如果正方体ABCD-A ＇B ＇C ＇D ＇的棱长为a ，那么四面体A ＇-ABD 的体积是 （ D )6(D) 4(C) 3(B)2)(3333a a a a A （2）π==451x tgx 是的 （ A ） （A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要的条件 （3）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？ （ B ） （A ）).(2R x x y ∈= （B ）)(|sin |R x x y ∈= （C ）)(2cos R x x y ∈= （D ）)(2sin R x e y x ∈=(4)极坐标方程)0(sin >θ=ρa a 的图象是 （ C ）(A) X2（5）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 （ B ）（A ）96个 （B（C （D ）64个二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）集（1）求方程16sin(2=π+x 解答：}.,6]1)1[(|{Z k k x x k ∈π--+π=（2）设1||≤a ，求)arccos(arccos a a -+的值答：π（3）求曲线64162+-=x y 的焦点答：（0，0）（4）设(3x-1)6=a 6x 6+a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0,求a 6+a 5+a 4+a 3+a 2 +a 1+a 0的值(C) O X(B) (D) a X答：64（或26）（5）设函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x 2)的定义域答：[-1，1]三．（本题满分14分）（1）解方程).12(log )1(log )3(log )3(log 25.0425.04++-=++-x x x x 解：由原对数方程得,312log 312log 13log 425.04⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x x x1)3)(1()12)(3(,031213log 4=+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅--x x x x x x x x 由此得到 解这个方程，得到x 1=0,x 2=7. 检验：x=7是增根，x=0是原方程的根（2）解不等式.152+>+x x解：⎪⎩⎪⎨⎧++>+≥+≥+⎩⎨⎧<+≥+125201052010522x x x x x x x 或 解得}.225|{<≤-x x 四．（本题满分15分）如图，设平面AC 和BD 相交于BC ，它们所成的一个二面角为450，P 为平面AC 内的一点，Q 为面BD 内的一点MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，并且M 在BC 上又设PQ 与平面BD 所成的角为β，∠CMQ=θ（00<θ<900)，线段PM 的长为a ，求线段PQ 的长解：自点P 作平面BD 的垂线，垂足为R ，由于直线MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，所以R 在MQ 上，过R 作BC 的垂线，设垂足为N ，则PN ⊥BC （三垂线定理）因此∠PNR 是所给二面角的平面角，所以∠PNR=450由于直线MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，所以∠PQR=β 在Rt △PNR 中，NR=PRctg450,所以NR=PR 在Rt △MNR 中，MR=θ=θsin 1sin 1PR NR在Rt △PMR 中，sin 11(sin 22222222θ+=θ+=+=PR PR PR MR PR a又已知00＜θ＜900，所以.sin 1sin 2θ+θ=a PR在Rt △PRQ 中，.sin 1sin sin sin 12θ+βθ=β=a PR PQ 故线段PQ 五．（本题满分15分）设O 为复平面的原点，Z 1和Z 2为复平面内的两动点，并且满足：（1）Z 1和Z 2所对应的复数的辐角分别为定值θ和-θ)20(π<θ<， （2）△OZ 1Z 2的面积为定值S求△OZ 1Z 2的重心Z 所对应的复数的模的最小值AB Q D解：设Z 1,Z 2和Z 对应的复数分别为z 1,z 2和z ，其中).sin (),sin (2211θ-θ=θ+θ=i co r z i co r z由于Z 是△OZ 1Z 2的重心，根据复数加法的几何意义，则有.sin )(cos )(3212121θ-+θ+=+=i r r r r z z z 于是θ+-=θ-+θ+θ-=θ-+θ+=22122122212212221222122212cos 4)(sin )(cos 4cos )(sin )(cos )(|3|r r r r r r r r r r r r r r z 又知△OZ 1Z 2的面积为定值S 及)20(02sin π<θ<>θ ，所以.32||,||,2sin 24)(2sin cos 8)(|3|,2sin 2,2sin 2121221222122121θ=θ==θ+-=θθ+-=θ==θSctg z z S r r Sctg r r S r r z S r r S r r 最小值且最小时故当由此即六．（本题满分15分）已知两点P （-2，2），Q （0，2）以及一条直线：L:y=x ，设长为2的线段AB 在直线L 上移动，如图PA 和QB 的交点M 的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）解：由于线段AB 在直线y=x 上移动，且AB 的长2，所以可设点A 和B 分别是（a ,a )和(a +1,a +1)，其中a 为参数YZ 2于是可得：直线PA 的方程是)1()2()2(222-≠++-=-a x a a y直线QB 的方程是)2()1(112-≠+-=-a x a a y 1.当,0,1122时即=+-=+-a a a a a 直线PA 和QB2．当0≠a 时，直线PA 与QB相交，设交点为M(x,y)，由（2）式得.2632,2232,221,)121(2+---=-+-+-=+∴+-=++-=-y x x y a y x y x a y x x a x a y 将上述两式代入（1）式，得(*)18)1(8)1(0822)2(236322222-=+-+=+-+-++---=-y x y x y x x y x x y y 即整理得当a =-2或a =-1时，直线PA 和QB 仍然相交，并且交点坐标也满足（*）式所以（*）式即为所求动点的轨迹方程注：考生没指出“a =0”及“a =-2或a =-1”时的情形不扣分七．（本题满分14分）设)2,1()1(3221 =+++⋅+⋅=n n n a n（1）证明不等式2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有的正整数n 都成立（2）设),2,1()1( =+=n n n a b n n 用定义证明.21lim =∞→n n b YXM（1）证一：用数学归纳法略证二：由不等式2122)1()1(+=++<+<k k k k k k 对所有正整数k 成立，把它对k 从1到n （n ≥1）求和，得到212252321++++<<+++n a n n 又因,2)1(21+=+++n n n 以及 .2)1(2)1(,2)1()]12(531[21212252322+<<++=+++++<++++n a n n n n n n 因此不等式 对所有的正整数n 都成立（2）由（1）及b n 的定义知nb b n n n b n n n 212121,21212121<-=-+=+<<于是 对任意指定的正数ε，要使ε<-21n b ，只要使ε<n 21，即只要使 .21ε>n 取N 是ε21的整数部分，则数列b n 的第N 项以后所有的项都满足<-21n b 根据极限的定义，证得.21lim =∞→n n b 八．（本题满分12分） 设a ,b 是两个实数，A={(x,y)|x=n,y=n a +b,n 是整数}， B={(x,y)|x=m,y=3m 2+15,m 是整数}， C={(x,y)|x 2+y 2≤144}，是平面XOY 内的点集合，讨论是否存在a 和b 使得（1）A ∩B ≠φ（φ表示空集）， （2）（a ,b)∈C 同时成立解：如果实数a 和b 使得（1）成立，于是存在整数m 和n 使得(n,n a +b)=(m,3m 2+15), 即⎩⎨⎧+=+=.153,2m b na m n 由此得出，存在整数n 使得n a +b=3n 2+15, 或写成n a +b-(3n 2+15)=0这个等式表明点P （a ,b)在直线L ：nx+y-(3n 2+15)=0上，记从原点到直线L 的距离为d ，于是12)1221(611532222≥+++=++=n n n n d 当且仅当3,12122==+n n 即时上式中等号才成立由于n 是整数，因此32≠n ，所以上式中等号不可能成立即12>d因为点P 在直线L 上，点P 到原点的距离22b a +必满足.1222>≥+d b a而（2）成立要求a 2+b 2≤144，即1222≤+b a 由此可见使得（1）成立的a 和b 必不能使（2）成立所以，不存在实数a 和b 使得（1），（2）同时成立 九．（附加题，本题满分10分，）已知曲线y=x 3-6x 2+11x-6.在它对应于]2,0[∈x 的弧段上求一点P ，使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值解：已知曲线方程是y=x 3-6x 2+11x-6，因此y ＇=3x 2-12x+11在曲线上任取一点P(x0,y0),则点P处切线的斜率是y＇|x=x0=3x02-12x0+11点P处切线方程是y=(3x02-12x0+11)(x-x0)+y0设这切线与y轴的截距为r，则r=(3x02-12x0+11)(-x0)+(x03-6x02+11x0-6)=-2x03+6x02-6根据题意，要求r（它是以x0为自变量的函数）在区间[0，2]上的最小值因为r＇=-6x02+12x0=-6x0(x0-2)当0＜x0＜2时r＇＞0，因此r是增函数，故r在区间[0，2]的左端点x0=0处取到最小值即在点P（0，-6）处切线在y轴上的截距最小这个最小值是r最小值=-6。
中等数学
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ck不等式和Finsler_Hadviger不等式新证.pdf│《中等数学》1996年总目次.pdf│一个三角不等式的加强.pdf│一道IMO预选题的简证与加强.pdf│三面角截面问题的完全解.pdf│两类特殊图论问题.pdf│关于三角形内角平分线长的一个不等式.pdf│关于李成章问题的两种新证明.pdf│关于费马点的两个不等式的加强.pdf│初中数学竞赛求值题的解题技巧.pdf│数学奥林匹克初中训练题23.pdf│数学奥林匹克问题.pdf│数学奥林匹克高中训练题23.pdf│数论存在性问题解题思路.pdf│欧拉不等式的另一种隔离.pdf│第36届IMO预选题及解答下.pdfftp上的《中等数学》杂志电子书详细列表(1997年、1998年、1999年）2008-07-25 04:25├─中等数学97│ ├─中等数学9701│ │ 1996年全国高中数学联赛第二试试题另解.pdf│ │ 1996年爱朋思杯——上海市高中数学竞赛.pdf│ │一个不等式的应用.pdf│ │一个新定理.pdf│ │一次成功的尝试.pdf│ │一道比较大小问题的推广.pdf│ │不定方程rx～2+rx=y～2的正整数解.pdf│ │五道竞赛题的统一证明.pdf│ │关于一道竞赛题的注记.pdf│ │关于外角平分线相等的三角形的两个定理.pdf│ │凸正七边形的一个充要条件.pdf│ │分类法在解竞赛题中的应用.pdf│ │四面体对棱距离的不等式.pdf│ │数学奥林匹克初中训练题24.pdf│ │数学奥林匹克问题.pdf│ │数学奥林匹克高中训练题24.pdf│ │正n角星的极坐标方程.pdf│ │省刻度尺与完美标号.pdf│ │第22届俄罗斯中学数学奥林匹克决赛.pdf│ │试解一道国际征解题.pdf│ │通过联想学解题.pdf│ ││ ├─中等数学9702│ │ 1996年世界城市际数学联赛.pdf│ │ 1996年全国高中数学联赛昆明赛区选拔赛.pdf│ │ 1996年全国高中数学联赛试题评注.pdf│ │ 1996年北京市中学生数学竞赛高一年级复试试题.pdf │ │ 1997中国数学奥林匹克.pdf│ │ WJanous猜测的再推广及其简证.pdf│ │一个三角形不等式的简证.pdf│ │三角形的一个巧合正六边形.pdf│ │关于全国高中数学联赛的改革意见.pdf│ 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Fermat和的显式表示及其它.pdf│《中等数学》1997年总目次.pdf│一个异面直线夹角公式的修正.pdf│三角形三心性质的统一推广.pdf│三角数勾股数与平方数.pdf│从平面到空间的联想.pdf│从钟针垂直问题引出的奇妙结果.pdf│关于Brocard和的上下界估计.pdf│关于三角形边长与高的一个不等式.pdf│凸函数的一个特性及其应用.pdf│四面体的体积_顶点式方程.pdf│巧用中线长定理解题.pdf│数学博弈中的胜负局分析.pdf│数学奥林匹克初中训练题29.pdf│数学奥林匹克问题.pdf│数学奥林匹克高中训练题29.pdf│斯坦纳Steiner比猜想.pdf│有趣的孪生数列.pdf│用配对策略解竞赛题.pdf│确定自然数的方法.pdf│第37届IMO第2题简证.pdf│第37届IMO预选题及解答上.pdf│韦达公式的一个代数证明.pdf│├─中等数学98│ ├─中等数学9801│ │ 1997年安徽省初中数学竞赛.pdf│ │ 1997年陕西省初中数学联合竞赛.pdf│ │ Menelaus定理的迭用.pdf│ │ n倍角正余弦公式史略.pdf│ │Канторович不等式又一初等证明.pdf│ │《学习报》第二届初三数学公开赛.pdf│ │一个不等式的几何证法.pdf│ │一道IMO题的旋转证法.pdf│ │三角形与其一个同内心有关的内接三角形面积比的不等式.pdf │ │关联正方形的一些有趣结论与数学竞赛命题.pdf│ │周界中点三角形的欧拉不等式.pdf│ │实系数高次方程根的判别条件及其应用.pdf│ │数学奥林匹克初中训练题30.pdf│ │数学奥林匹克问题.pdf│ │数学奥林匹克高中训练题30.pdf│ │构造递推式解题.pdf│ │第37届IMO预选题及解答下.pdf│ │简单的几何计数问题.pdf│ ││ ├─中等数学9802│ │ 1997加拿大数学奥林匹克.pdf│ │ 1997年高中联赛二试1题另解.pdf│ │ 1998中国数学奥林匹克.pdf│ │ cos～nA2+cos～nB2+sin～nC2的上下界.pdf│ │ Jensen不等式的加强.pdf│ │一个几何不等式的加强.pdf││一道IMO题与一道CMO题的等价性.pdf│ │一道竞赛题的简解与推广.pdf│ │与三角形的费尔马点有关的一个性质的别证.pdf 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