(完整版)概率的定义及其确定方法
概率的基本概念
概率的基本概念概率是数学中一个重要的概念，用于描述某个事件发生的可能性大小。
它在统计学、信息论、金融等多个领域都具有广泛的应用，帮助我们理解和分析随机现象。
本文将介绍概率的基本概念，包括概率的定义、性质以及应用。
一、概率的定义概率是衡量某个随机事件发生可能性的数值。
用P(A)表示事件A 发生的概率，其取值介于0到1之间，0表示事件不会发生，1表示事件必然发生。
在概率论中，我们使用样本空间S来表示所有可能发生的结果，事件A是样本空间的一个子集。
二、概率的性质1. 非负性：概率始终为非负数，即P(A) ≥ 0。
2. 规范性：对于全样本空间S来说，其概率为1，即P(S) = 1。
3. 加法性：对于两个互斥事件A和B来说，它们的概率之和等于它们的并集事件的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 有限可加性：对于一系列两两互斥的事件A1, A2, ... , An，它们的概率之和等于它们的并集事件的概率，即P(A1∪A2∪...∪An) =P(A1) + P(A2) + ... + P(An)。
三、概率的计算方法1. 经典概型：当一个随机事件具有有限等可能性且每个结果的发生概率相等时，可以使用经典概型来计算概率。
例如，从一副标准扑克牌中抽取一张牌，每张牌的概率都是1/52。
2. 相对频率法：通过重复实验来估计概率。
实验次数越多，实验结果接近真实概率的可能性越大。
例如，抛一枚硬币，统计正面出现的频率可以估计正面出现的概率。
3. 几何法：当事件发生的结果空间具有几何结构时，可以使用几何方法计算概率。
例如，从一个正方形中随机抽取一点落在一个圆内的概率可以通过计算圆的面积与正方形的面积之比来得出。
四、概率的应用1. 风险管理：概率在金融领域中被广泛应用于风险管理。
通过计算不同投资组合的预期收益率和风险，可以帮助投资者做出理性的决策。
2. 统计推断：概率统计是统计学的基础，通过对样本进行观察和分析，可以对总体进行推断和估计。
概率的基本概念和计算
概率的基本概念和计算概率是指某个事件在所有可能结果中发生的可能性。
它是数学中应用广泛的一个概念，涉及到各种实际问题的解决。
本文将介绍概率的基本概念和计算方法。
一、概率的基本概念概率的基本概念包括样本空间、事件和概率。
1. 样本空间：样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
用Ω表示，例如，掷骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 事件：事件是样本空间的子集，表示某些结果的集合。
事件通常用大写字母表示，例如，事件A表示掷骰子的结果为偶数。
事件A可以表示为A={2, 4, 6}。
3. 概率：概率是一个事件发生的可能性大小的度量值，通常表示为P(A)，其中A表示一个事件。
概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。
二、概率的计算方法概率的计算方法包括频率法和数学方法。
1. 频率法：频率法是通过实验来计算概率。
即实际试验中某个事件发生的次数除以总试验次数。
例如，掷骰子的频率计算某个点数出现的概率就是该点数出现的次数除以总掷骰子的次数。
2. 数学方法：数学方法则是通过推理和公式来计算概率。
常用的数学方法包括古典概型、相对频率法和条件概率等。
古典概型是指随机试验中所有可能结果的个数有限且等可能发生的情况。
例如，掷一枚硬币，其样本空间为{正面，反面}，每个结果发生的概率都是1/2。
相对频率法是指在大量实验中，某个事件发生的相对频率逼近于其概率。
例如，反复掷骰子，统计各点数的出现次数，最终得到的频率会趋近于1/6。
条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件的发生概率。
条件概率表示为P(A|B)，其中A为事件A发生，B为事件B发生。
条件概率的计算方法是P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
基于以上概念和计算方法，我们可以应用概率来解决各种问题，如赌博、生活中的决策等。
通过准确计算概率，我们可以做出理性的判断和决策。
概率了解概率的概念和简单计算
概率了解概率的概念和简单计算概率：了解概率的概念和简单计算概率是数学中的一个重要概念，用来描述某个事件发生的可能性。
我们在日常生活中经常会遇到各种各样的概率问题，掌握概率的概念和简单计算方法对我们做出正确的决策具有重要意义。
本文将介绍概率的概念，并分析简单的计算方法。
一、概率的概念概率是指某个事件发生的可能性大小，它通常用一个范围在0到1之间的数来表示，其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。
例如，抛一枚硬币出现正面的概率是0.5，表示这个事件的发生有一半的可能性。
概率的计算中，常用的方法有几何概型方法、频率统计方法和古典概型方法等。
几何概型方法是指通过确定几何图形的面积或体积来计算概率；频率统计方法是通过观察实验的频率来估计概率；古典概型方法是指根据事件的样本空间和事件发生的样本点数目来计算概率。
二、概率的计算方法1. 加法法则加法法则是概率计算中最基本的法则之一，用于计算几个事件中至少有一个事件发生的概率。
假设有两个事件A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)，那么A和B至少有一个事件发生的概率可以用如下公式表示：P(A 或 B) = P(A) + P(B) - P(A 且 B)其中，P(A 且 B)表示事件A和B同时发生的概率。
2. 乘法法则乘法法则是概率计算中另一个重要的法则，用于计算几个事件同时发生的概率。
假设事件A和事件B相互独立，即一个事件的发生不会影响另一个事件的发生，那么事件A和事件B同时发生的概率可以用如下公式表示：P(A 且 B) = P(A) × P(B)如果事件A和事件B不相互独立，则需要使用条件概率来计算事件的概率。
3. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以用如下公式表示：P(A|B) = P(A 且 B) / P(B)其中，P(A 且 B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B 发生的概率。
三、案例分析为了更好地理解概率的概念和计算方法，以下以一个抛硬币的案例来进行分析。
概率的基本概念与计算方法
概率的基本概念与计算方法在我们的日常生活中，概率这个词常常被提及。
比如，天气预报说明天有 80%的概率会下雨，抽奖时计算自己中奖的概率，或者在玩游戏时猜测获胜的可能性。
那么，究竟什么是概率？它又是如何计算的呢？概率，简单来说，就是用来衡量某一事件发生可能性大小的数值。
它的取值范围在 0 到 1 之间。
如果某事件发生的概率为 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率为 1，则表示这个事件肯定会发生；而当概率介于 0 和 1 之间时，数值越大，事件发生的可能性就越大。
我们先来看看概率的基本概念。
概率可以分为古典概率、几何概率和统计概率。
古典概率是指在某些特定的条件下，所有可能的结果数量是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
比如说掷一个均匀的骰子，总共有 6 种可能的结果（掷出 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点），而且每种结果出现的机会相同。
如果我们想知道掷出奇数点的概率，那么奇数点有 3 种情况（1 点、3 点、5 点），所以掷出奇数点的概率就是 3÷6＝ 05。
几何概率则与图形的长度、面积或体积有关。
例如，在一个半径为1 的圆中随机取一点，求这个点落在半径为 05 的同心圆内的概率。
这时我们就要通过计算面积来确定概率。
半径为 05 的圆面积与半径为 1 的圆面积之比，就是这个点落在小圆内的概率。
统计概率是基于大量重复试验得出的。
比如说，我们想知道某个品牌灯泡的使用寿命超过 500 小时的概率，就需要对大量这种灯泡进行测试，然后统计使用寿命超过 500 小时的灯泡数量与总测试数量的比值。
了解了概率的基本概念，接下来我们学习如何计算概率。
计算概率的方法主要有两种：加法原理和乘法原理。
加法原理用于计算“或”的情况。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红桃或者方块的概率。
因为一副扑克牌中红桃有 13 张，方块有 13 张，所以抽到红桃或者方块的概率就是（13 ＋ 13）÷ 54 ≈ 05185 。
概率与事件的计算
概率与事件的计算概率与事件的计算是概率论中的重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在现实生活中，我们经常需要计算某个事件发生的概率，以便做出相应的决策或预测。
本文将介绍概率与事件的基本概念，并讨论如何通过计算来确定概率。
一、概率与事件的基本概念1.1 概率的定义与性质概率是描述事件发生可能性大小的数值，通常用0到1之间的小数表示。
常见的表示方法包括分数形式、百分数形式或小数形式。
概率具有以下性质：（1）事件的概率不小于0且不大于1，即0≤P(A)≤1；（2）必然事件的概率为1，即P(S)=1，其中S为样本空间；（3）不可能事件的概率为0，即P(∅)=0，其中∅表示空集。
1.2 事件的分类事件可以分为互斥事件与非互斥事件：（1）互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，即它们的交集为空集。
例如，投一次硬币出现正面和反面就是互斥事件。
（2）非互斥事件则相反，它们可以同时发生。
例如，同时抛掷两个骰子，得到的点数为偶数和大于3的事件就是非互斥事件。
二、概率的计算方法2.1 经典概率经典概率是指在样本空间为有限个数且各个基本事件等可能发生的情况下，通过计算基本事件的个数来确定事件发生的概率。
计算公式为：P(A) = 事件A包含的基本事件数 / 样本空间中的基本事件总数例如，抛一次硬币，正面和反面出现的概率都是1/2。
2.2 几何概率几何概率是指通过几何方法计算事件发生的概率。
以面积或长度来表示概率大小。
计算公式为：P(A) = A的面积（或长度）/ S的面积（或长度），其中A为事件的范围，S为样本空间。
例如，从一个正方形纸片上随机抽取一点落在一个圆内的概率为圆的面积与正方形的面积的比值。
2.3 统计概率统计概率是通过大量实验或观察数据来确定事件发生的概率。
计算公式为：P(A) = 发生事件A的次数 / 总实验次数例如，投掷一颗骰子，求得到奇数的概率可以通过进行一定次数的实验，并统计奇数出现的频率来估计。
三、概率计算的应用概率计算在生活和科学研究中有着广泛的应用。
概率的定义及其确定方法
N 件中任取1件后放回，然后再抽取下一个，…，如此重复，直
至抽出 n 件,求事件Bm=“取出的n 件产品中恰有 m 件次品”的概
率.
N–M
解： 含的样本点数为 N n,
件正 品
事件Bm发生必须从N – M 件正品中有放
次品
回的抽取 n-m 次，从M 件次品中有放回的抽
取m 次，所以共有 ( N M )nm M m 种取法。
排列的总数为 nr
(3)组合
从n个不同元素任取 r 个( r n)并成一组(不考虑先后顺序)，
称其为一个组合.
组合总数为
Cnr
此种组合的总数记为
Pnr r!
(n
n! r)!r!
n r
或
Cnr，由乘法原理，
(4)重复组合 从n个不同元素中每次取1个，放回后再取下一个，
如此连续取r 次(r可以大于n)所得的组合称为重复组合，此种重复
中的样本点总数
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法称为古典方法 . 这样就把求概率问题转化为计数问题 .
例1.2.2 同时掷两枚均匀硬币, 求事件A={出现一个正面一个反
面}的概率.
解 同时掷两枚硬币有4 个等可能的结果，即样本空间为
={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)} 古典概型
品
A 的次品有
C
m M
种取法m NM
种取法，
件次品
正品
故 A 含的样本点数为
C
m M
C
nm NM
,
P( A)
C
m M
C
nm NM
C
1.2 概率的定义及其确定方法
即样本空间有4个样本点,而随机事件A 包含2 即样本空间有4个样本点,而随机事件A1包含2个样本 随机事件A 包含3个样本点, 点,随机事件A2包含3个样本点,故 P(A1)=2/4=1/2 P(A2)=3/4 注意:不能将样本空间记为Ω ={HH HT,TT} HH, 注意:不能将样本空间记为Ω ={HH,HT,TT}
注意: 注意:抛一枚硬币三次
={(正正正 正正正), 1={(正正正),
抛三枚硬币一次 (反正正), (正反正 (正正反 (反正正), (正反正), (正正反), 反正正 正反正), 正正反),
反正反), 反反正), 反反反)} (正反反), (反正反), (反反正), (反反反)} 正反反), (反正反 (反反正 (反反反 此样本空间中的样本点等可能. 此样本空间中的样本点等可能. 等可能 ={(三正 三正), 2={(三正), (二正一反), (二反一正 (三反 (二正一反), (二反一正), (三反)} 二正一反 二反一正), 三反)} 此样本空间中的样本点不等可能. 此样本空间中的样本点不等可能. 不等可能
13
彩票问题——幸运35选7
购买:从01,……,35 中选7个号码. 开奖:7个基本号码,1个特殊号码.
中奖 规则 7个基本号码 1) 7个基本号码 2) 3) 4) 5) 6个基本号码 6个基本号码 + 1个特殊号码 6个基本号码 6个基本号码 5个基本号码 5个基本号码 + 1个特殊号码 5个基本号码 5个基本号码
n Pnk n! k Cn ≡ = = k k ! k !( n k )!
种取法. 种取法.
4)重复组合:从含有n个元素的集合中随机抽取k个,每次 重复组合:从含有n个元素的集合中随机抽取k 取一个,记录其结果后放回. 取一个,记录其结果后放回. 共有
概率常见的方法
试一试:
1、（ （2013年自贡市中考）在四张背面完全相同的卡片
上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、正五边行、
圆形，印有图案的一面朝下，混合后从中随机抽取一张，
则抽到卡片上印有的图案是轴对称图形的概率为( D )
归纳总结：上述列出的所有可能情况结果图就像个 倒立的台阶一样。故称这种求概率的方法叫台阶法。
8x2 16 0
试一试
在数据1，-1，4，-4中任意选两个数据，均是
一元二次方程x2-3x-4=0的根的概率是( A )
A.1/6
B.1/3
C.1/2
D.1/4
例5（2012.泰安)一个不透明的布袋中有分别标着数字 1，2，3，4的四个乒乓球,先从袋中随机摸出一个乒 乓球,不放回再摸一个，则这两个乒乓球上的数字
A.1/3
B.2/3
C.4/9
ห้องสมุดไป่ตู้
D.5/9
解：小明遇到红、黄、绿三色交通信号灯是三个对 立事件，它们的概率之和为“1”，故P(绿)=1-1/31/9=5/9
归纳总结：在概率问题中，每一个对立事件的概率 和等于1，即P（事件A）+P（事件B）+……=1，此 法简称“和为1法”
试一试
做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000 次,经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44， 则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现
“凹面向上”的概率约D为（ ）
A.0.22 B.0.44 C.0.50 D.0.56
例4、（2013年河南省中考）现有四张完全相同的卡 片，上面分别标有数字-1，-2，3，4.把卡片背面朝 上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上
概率的基本概念与计算方法
概率的基本概念与计算方法在我们的日常生活中，概率无处不在。
从预测明天是否会下雨，到买彩票是否能中奖，从玩游戏时的胜负概率，到医学上判断某种疾病的发生可能性，概率都在发挥着作用。
那么，究竟什么是概率？又该如何计算它呢？概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的数值。
这个数值在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是 0；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是 1。
而大多数情况下，事件发生的概率处于 0 和 1 之间。
为了更好地理解概率，我们先来看看概率的一些基本概念。
首先是随机试验。
随机试验是指在相同条件下可以重复进行，并且试验结果不止一个，但在试验之前无法确切知道具体结果的试验。
例如，抛硬币就是一个随机试验，因为每次抛硬币的结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，而且在抛之前我们不能确定到底是哪一面朝上。
其次是样本空间。
样本空间是随机试验中所有可能结果的集合。
还是以抛硬币为例，抛一次硬币的样本空间就是{正面，反面}。
然后是事件。
事件是样本空间的子集，它可以是简单事件，也就是只包含一个样本点的事件，比如抛硬币得到正面；也可以是复合事件，由多个简单事件组成，比如抛两次硬币至少有一次正面朝上。
接下来，我们来了解一下概率的计算方法。
概率的计算主要有两种方法，一种是古典概型，另一种是几何概型。
古典概型适用于试验结果有限且等可能的情况。
比如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
在这个例子中，总共有 8 个球，取出每个球的可能性相同，而红球有 5 个，所以取出红球的概率就是 5÷8 ＝ 5/8。
古典概型的概率计算公式是：P(A) ＝ A 包含的基本事件数÷基本事件总数。
几何概型则适用于试验结果无限且等可能的情况。
例如，在一个边长为 1 的正方形内随机取一点，求该点落在正方形内某个特定区域的概率。
这时候，我们需要通过计算特定区域的面积与正方形面积的比值来得到概率。
第一章第二节概率的定义及其确定方法
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
确定事件A包含的基本事件数 事件Ａ由其中的m个基本事件组成
P( A) = A所含的基本事件个数 基本事件总数
= A 所含样本点的数目 样本空间的样本点总数
m n
古典概率的计算：抛掷骰子
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的 点数是不小于3的偶数”的概率．
所求概率为 P(1) 1 , P(2) 2
5
9
所以 P( A) 11 , P(B) 5 .
36
36
4、包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行，求甲与 乙相邻的概率。若这10个人随机地排成一圈，又如何呢？
解： 总的基本事件数为 10!
排成行时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 P88C91C21
排成圈时，事件“甲乙相邻”的基本事件数为 P88C91C21 P88C21
0xT，0yT。
（1）则样本空间是由点(x，y)构成的边长为T正 方形。
（2）依题意，收音机受到干扰的充分必要条件是
|x-y|t .
T 由等可能性知，所求
概率为
t
A
P(A) S A S
Ot
T
x
阴影部分面积 正方形面积
T 2 (T t)2 T2
1 1 t T
2
一楼房共15层，假设电梯在一楼启动时有10名乘 客，且乘客在各层下电梯是等可能的。试求下列事件 的概率：A1={10个人在同一层下}；A2={10人在不同 的楼层下}；A3={10人都在第15层下}；A4={10人恰有 4人在第8层下}。 解：
P( A)
A 的度量 S的度量
( A) (S)
概率初步及计算方法
概率初步及计算方法概率是概括事物发生可能性的一种数学工具，它的应用涵盖了各个领域，如统计学、金融学、社会科学等。
在本文中，我们将初步介绍概率的基本概念和计算方法。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的一种度量，通常用0到1之间的实数表示，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的基本法则包括：1. 加法法则：对于互斥事件A和B（即A和B不能同时发生），它们的概率之和等于各自概率的和。
P(A∪B) = P(A) + P(B)2. 乘法法则：对于独立事件A和B（即A的发生不影响B的发生），它们的概率之积等于各自概率的乘积。
P(A∩B) = P(A) × P(B)二、计算概率的方法1. 经典概率：适用于样本空间有限且各种可能性等概率出现的情况。
计算方法为事件A发生的次数除以样本空间中可能事件的总数。
P(A) = Σ(A出现的次数) / 样本空间大小2. 相对频率概率：适用于进行实验或观察时，通过实验数据来估计概率。
计算方法为事件A发生的次数除以总实验次数。
P(A) ≈ (A出现的次数) / 总实验次数3. 主观概率：适用于无法进行实验的情况，概率的估计基于主观判断。
计算方法为根据个人主观判断给出的概率值。
三、概率计算的案例为了更好地理解概率计算方法，下面将给出一个实际案例。
假设有一枚均匀硬币，进行10次抛掷实验。
事件A表示出现正面的次数大于等于7次，我们来计算事件A发生的概率。
首先，我们可以列出所有的可能结果：样本空间 S = {正正正正正正正正正正，正正正正正正正正正反，正正正正正正正正反正，...，反反反反反反反反反反}其中，正表示正面，反表示反面。
然后，我们可以计算出事件A发生的次数，即正面出现7次、8次、9次和10次的情况。
通过计算，我们可以得到事件A发生的次数为36次。
最后，我们计算事件A发生的概率：P(A) = 36次 / 1024次≈ 0.035所以，根据计算结果，事件A发生的概率约为0.035。
概率的基本概念与计算方法
概率的基本概念与计算方法在我们的日常生活中，很多时候都会提到“概率”这个词。
比如，天气预报说明天有 80%的概率会下雨，抽奖时我们会关心自己中奖的概率有多大，考试前猜测自己通过的概率等等。
那么，到底什么是概率？又该如何计算它呢？概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
这个数值在 0 到 1 之间。
如果一个事件发生的概率是 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率是 1，那就表示这个事件肯定会发生；而当概率在 0 到 1 之间时，数值越大，事件发生的可能性就越大。
举个例子，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是多少呢？因为硬币只有正反两面，而且质地均匀，所以出现正面和反面的可能性是相等的。
因此，正面朝上的概率就是 1/2，也就是 05。
再比如，从一个装有 5 个红球和 5 个白球的袋子中随机摸出一个红球，摸到红球的概率是多少呢？因为袋子里一共有 10 个球，其中红球有 5 个，所以摸到红球的概率就是 5÷10 ＝ 1/2，同样是 05。
那么，如何计算概率呢？概率的计算通常有两种基本方法：古典概型和几何概型。
古典概型是指在一个试验中，所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
计算古典概型的概率，我们通常使用公式：P(A) ＝n(A)÷n(Ω)，其中 P(A)表示事件 A 发生的概率，n(A)表示事件A 包含的基本事件个数，n(Ω)表示试验中所有可能的基本事件总数。
比如说，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
这里总共有 5 个球，取出红球有 3 种可能，所以取出红球的概率就是 3÷5 ＝ 06。
几何概型则是在一个试验中，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例。
比如，在一个边长为 1 的正方形区域内随机投一个点，求这个点落在一个边长为 05 的小正方形区域内的概率。
这里，大正方形的面积是 1×1 ＝ 1，小正方形的面积是 05×05＝ 025，所以点落在小正方形区域内的概率就是 025÷1 ＝ 025。
概率的基本概念与计算方法
概率的基本概念与计算方法概率是数学中的一个重要概念，用来描述一个事件发生的可能性大小。
概率理论在现代科学、工程技术和社会科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍概率的基本概念与计算方法，帮助读者更好地理解和运用概率。
一、概率的基本概念概率是描述随机事件的可能性的一种数学工具。
在概率理论中，我们将随机试验定义为可以在相同的条件下重复进行，结果不确定的实验。
而随机事件则是随机试验中的一种可能结果。
概率的基本概念包括：1. 样本空间：在随机试验中，所有可能结果组成的集合被称为样本空间，通常用S表示。
例如，掷一次骰子，其样本空间S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 事件：样本空间中的子集称为事件。
事件通常用大写字母A、B、C等表示。
例如，掷一次骰子，事件A={1, 2, 3}表示出现1、2、3中的任何一个都是事件A。
3. 必然事件和不可能事件：样本空间本身就是一个事件，称为必然事件，表示必定会发生。
而空集则称为不可能事件，表示一定不会发生。
4. 随机事件的概率：事件A发生的概率记为P(A)，表示事件A在所有可能结果中出现的比例。
概率的取值范围在0和1之间（0 ≤ P(A) ≤ 1），其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
二、概率的计算方法概率的计算方法分为古典概率、频率概率和主观概率三种。
1. 古典概率：也称为理论概率，适用于样本空间中的每个结果发生的可能性相等的情况。
计算古典概率的方法是通过统计样本空间中事件A的有利结果数目与样本空间大小的比值。
公式为：P(A) = 有利结果数目 / 总结果数目例如，从一副扑克牌中抽取一张红色牌的概率为P(A) = 26 / 52 = 0.5。
2. 频率概率：也称为实证概率，适用于在大量独立重复试验中，事件A出现的频率趋向于一个稳定的值。
计算频率概率的方法是通过进行大量的试验，统计事件A发生的次数，并与试验次数的比值求得。
公式为：P(A) = 事件A发生的次数 / 总试验次数例如，抛掷一枚硬币，正面朝上的概率可以通过多次进行抛掷试验来计算。
概率的应用知识点总结
概率的应用知识点总结一、概率的基本概念1.1 概率的定义概率是描述事物发生可能性的一种数学工具。
在数学上，概率被定义为某一事件发生的可能性大小，它是一个介于0到1之间的数值，0表示不可能发生，1表示必然发生。
1.2 随机事件与样本空间在概率论中，随机事件是指具有不确定性的事件，它的结果是不可预测的。
样本空间是描述所有可能结果的集合，随机事件是样本空间的子集。
1.3 事件的概率事件的概率是指事件发生的可能性大小，它可以通过实验或者推理来确定。
概率的计算可以通过频率法、古典概率法、主观概率法等方法来进行。
二、概率的计算方法2.1 频率法频率法是通过实验来确定事件发生的概率。
当实验次数足够多时，事件发生的频率会接近概率的真实值。
例如，投掷硬币100次，统计正面朝上的次数，即可得到正面朝上的概率。
2.2 古典概率法古典概率法是根据事件的等可能性来确定概率。
例如，掷骰子，每个点数出现的可能性相同，因此每个点数出现的概率为1/6。
2.3 主观概率法主观概率法是根据个人经验和判断来确定概率。
例如，一个人根据天气预报和云的情况来判断下雨的概率。
2.4 条件概率条件概率是指在已知一些信息的情况下，事件发生的概率。
条件概率的计算可以通过公式P(A|B)=P(AB)/P(B)来进行。
2.5 贝叶斯定理贝叶斯定理是一种用于更新概率的方法，它可以根据新的信息来修正原有的概率。
贝叶斯定理的公式为P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
三、概率在不同领域中的应用3.1 统计学概率在统计学中有着广泛的应用，包括抽样调查、假设检验、回归分析等领域。
统计学通过概率来描述和分析数据的规律。
3.2 金融在金融领域中，概率被用于风险分析、期权定价、投资组合管理等方面。
通过概率，可以对金融产品的收益和风险进行量化和评估。
3.3 生物学生物学领域中，概率被用于描述遗传过程、种群进化、生物群落结构等现象。
通过概率，可以预测物种的存活、繁殖和分布情况。
概率的基本概念与计算
概率的基本概念与计算概率是数学中一个重要的分支，广泛应用于统计学、计算机科学以及风险管理等领域。
概率的基本概念与计算是学习和理解概率的第一步。
本文将介绍概率的基本概念，并讨论常见的概率计算方法。
一、概率的基本概念概率是描述一个事件发生可能性的数值。
常用的概率表示方式有百分数、分数和十进制等。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
例如，抛一枚公正的硬币，正反面的概率都是0.5。
二、概率的计算方法1.古典概率古典概率是指在一定的条件下，事件发生的概率是等可能的。
古典概率的计算公式为：P(A) = 想要的结果数 / 总结果数例如，一枚公正的骰子有6个面，想要掷出1的概率为1/6。
2.频率概率频率概率是通过观察事件发生的频率来估计概率。
当事件发生的次数逐渐增多时，频率概率趋近于真实概率。
频率概率的计算公式为：P(A) = 事件A发生的次数 / 总试验次数例如，抛掷一枚公正硬币，正面朝上的频率概率可以通过多次试验来计算。
3.条件概率条件概率是指在已知某一事件发生前提下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A交B) / P(B)其中，P(A交B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
4.互斥事件概率互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
互斥事件的概率计算公式为：P(A或B) = P(A) + P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
5.独立事件概率独立事件是指两个事件互不影响的情况。
独立事件的概率计算公式为：P(A交B) = P(A) × P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
三、实例讲解假设有30名学生参加一次考试，其中有10名学生同时参加了数学和英语考试，15名学生只参加了数学考试，5名学生只参加了英语考试。
现在随机选择一个学生，请计算该学生同时参加数学和英语考试的概率。
概率的定义及其确定方法
§1.2 概率的定义及其确定方法在本节，我们要给出概率的定义，这是概率论中最基本的概念。
本节中我们还将介绍几种确定概率的方法。
随机事件的发生有偶然性，但我们常常会觉察到随机事件发生的可能性是有大小之分的。
例如，购买彩票后可能中大奖，可能不中奖，但中大奖的可能性远比不中奖的可能性小。
既然各种事件发生的可能性有大有小，自然使人们想到用一个数字表示事件发生的可能性大小。
这个数字就称为事件的概率。
然而，对于给定的事件A ，该用哪个数字作为它的概率呢？这决定于所研究的随机现象或随机试验以及事件A 的特殊性，不能一概而论。
在概率论的发展历史上，人们针对特定的随机试验提出过不同的概率的定义和确定概率的方法：古典定义、几何定义和频率定义。
这些概率的定义和确定方法虽然有其合理性，但也只适合于特定的随机现象，有很大的局限性。
那么如何给出适合于一切随机现象的概率的最一般的定义呢? 1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题,即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念.1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这一公理化体系迅速得到举世公认,有了这个定义后,概率论才被正式承认为一个数学分支,并得到迅猛发展.1. 概率的公理化定义定义1.2.1 设Ω为样本空间,F 为Ω的某些子集组成的事件域.))((F A A P ∈是定义在事件域F 上的实值集函数,如果它满足:(1) 非负性公理 对于任一F A ∈,有0)(≥A P ;(2) 正则性公理 1)(=ΩP ;(3) 可列可加性公理 若,,21A A …,,n A …两两互不相容,则∑∞=∞==11)()(n n n n A P A P U则称)(A P 为事件A 的概率,称三元总体),,(P F Ω为概率空间.概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的实值函数，若在事件域上给出一个函数，只要这个函数满足上述三条公理就称为概率。
概率的基本概念概率的定义和概率的计算
概率的基本概念概率的定义和概率的计算概率的基本概念、概率的定义和概率的计算概率是数学中的一个重要概念，用于描述随机事件发生的可能性。
概率分为基本概念、概率的定义和概率的计算三个方面。
一、基本概念1. 随机试验：具有相同条件的重复实施所得的结果不确定的实验称为随机试验，如抛硬币、掷骰子等。
2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用Ω表示。
3. 样本点：样本空间中的元素称为样本点，用ω表示。
4. 随机事件：样本空间的一个子集称为随机事件，通常用大写字母A、B、C等表示。
二、概率的定义对于随机试验，定义如下：1. 古典概型：当随机试验的样本空间有限且样本点等可能出现时，可用古典概率来描述。
古典概率的计算公式为：P(A) = n(A)/n(Ω)，其中n(A)表示事件A包含的样本点个数，n(Ω)表示样本空间中的样本点个数。
2. 统计概型：当随机试验的样本空间无限或样本点不等可能出现时，可用统计概率来描述。
统计概率的计算公式为：P(A) = lim(n(A)/n)，其中n(A)表示事件A发生的次数，n表示试验次数。
三、概率的计算1. 随机事件的补事件：事件A的补事件记作A'，表示A不发生的事件。
概率计算公式为：P(A') = 1 - P(A)。
2. 随机事件的和事件：事件A和事件B的和事件记作A∪B，表示A和B中至少有一个发生的事件。
概率计算公式为：P(A∪B) = P(A) +P(B) - P(A∩B)，其中A∩B表示A和B的交事件。
3. 随机事件的条件概率：事件A在事件B已发生的条件下发生的概率记作P(A|B)，表示已知事件B发生时，事件A发生的概率。
概率计算公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
4. 随机事件的乘法定理：事件A和事件B同时发生的概率记作P(A∩B)，表示A和B同时发生的概率。
概率计算公式为：P(A∩B) =P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)，其中P(A|B)表示已知事件B发生时，事件A发生的概率。
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§1.2 概率的定义及其确定方法在本节，我们要给出概率的定义，这是概率论中最基本的概念。
本节中我们还将介绍几种确定概率的方法。
随机事件的发生有偶然性，但我们常常会觉察到随机事件发生的可能性是有大小之分的。
例如，购买彩票后可能中大奖，可能不中奖，但中大奖的可能性远比不中奖的可能性小。
既然各种事件发生的可能性有大有小，自然使人们想到用一个数字表示事件发生的可能性大小。
这个数字就称为事件的概率。
然而，对于给定的事件A ，该用哪个数字作为它的概率呢？这决定于所研究的随机现象或随机试验以及事件A 的特殊性，不能一概而论。
在概率论的发展历史上，人们针对特定的随机试验提出过不同的概率的定义和确定概率的方法：古典定义、几何定义和频率定义。
这些概率的定义和确定方法虽然有其合理性，但也只适合于特定的随机现象，有很大的局限性。
那么如何给出适合于一切随机现象的概率的最一般的定义呢? 1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题,即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念.1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这一公理化体系迅速得到举世公认,有了这个定义后,概率论才被正式承认为一个数学分支,并得到迅猛发展.1. 概率的公理化定义定义1.2.1 设Ω为样本空间,F 为Ω的某些子集组成的事件域.))((F A A P ∈是定义在事件域F 上的实值集函数,如果它满足:(1) 非负性公理 对于任一F A ∈,有0)(≥A P ;(2) 正则性公理 1)(=ΩP ;(3) 可列可加性公理 若,,21A A …,,n A …两两互不相容,则则称)(A P 为事件A 的概率,称三元总体),,(P F Ω为概率空间.概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的实值函数，若在事件域上给出一个函数，只要这个函数满足上述三条公理就称为概率。
这个定义只涉及样本空间和事件域及概率的最本质的性质而与具体的随机现象无关。
对于具体的随机现象中的给定的事件，其概率如何合理地确定那要依据具体情况而定。
历史上出现的概率的频率定义、古典定义和几何定义都是特定的场合下有着各自的确定概率的方法。
在有了概率的公理化定义之后，把它们看作确定概率的方法是恰当的。
下面介绍这些确定概率的方法。
2. 频率方法设E 为一随机试验，A 为其中一事件，在相同条件下将E 独立重复做n 次，记)(A n 为事件A 发生的次数（也叫频数），比值 称为事件A 在这n 次试验中的频率。
容易验证频率满足概率的公理化定义中的三条公理。
一般地，如事件A 发生的可能性愈大，那么在多次重复试验中, 事件A 发生愈频繁即频率)(A f n 也愈大.反之,频率)(A f n 愈大表明事件A 发生的可能性愈大.因此事件频率的大小与事件发生的可能性大小有密切的联系.但是还不能把事件的频率就确定为概率,因为频率有“波动性”.长期实践表明,随着试验次数n 的增加,频率)(A f n 会稳定于某一个常数p ,这个频率的稳定值是由事件本身决定的并且这样的稳定值满足概率的公理化定义中的三条公理,因能把这个稳定值确定为事件的概率是合理的.这种确定概率的方法虽然有其合理性,但其缺点是明显的:在现实世界里,人们无法把一个试验无限次地重复下去,因此我们无法精确地得到频率的稳定值.尽管有明显的缺点,但这种方法有其重大意义:一方面,频率具有稳定性这一客观事实给概率提供经验背景.同时频率方法给我们提供了一个可以想象的具体值,并且在试验次数较大时,可用频率给出概率的近似值.例如,工业生产中,依据抽检的一些产品估计产品的废品率.另一方面,它提供了检验理论正确与否的准则.设想依据某一理论或假定算出了某事件A 的概率为p ,这一理论或假定是否与实际相符,我们并无把握,于是我们可诉诸试验,即进行大量重复试验以观察事件A 的频率)(A f n .若频率)(A f n 与p 接近,则可认为试验结果支持了有关理论或假定.若频率)(A f n 与p 相差较大,则认为理论可能有误.例如,在抛硬币的试验中,假定正反面出现的可能性相等,则出现正面的概率与出现反面的概率都是0.5, 如果我们多次抛掷硬币,若正面出现的频率与0.5相差甚远,那么正反面出现的可能性相等这个假定的正确性值得怀疑.下面是频率稳定性的几个实例.3. 古典方法确定概率的古典方法是概率论历史上最早研究的情形，它简单、直观、不需做大量重复试验。
先看一个简单试验：掷一个六面均匀的骰子，这个试验有6个基本结果，如果六个面是平等看待，那么可以认为每个面朝上的可能性相同，即每个点数出现的概率相等，这样的试验称为古典概型。
在古典概型中，事件的概率应该与事件包含的样本点个数成正比，事件的概率也就能容易地确定。
如果试验E 具有下列性质（1） 试验的基本结果只有有限个，即试验的样本空间Ω为有限样本空间；（2） 一切基本事科发生的可能性相等。
则称试验E 为古典概型。
设试验E 为古典概型，样本空间Ω包含有n 个样本点，A 为试验E 的一事件，且事件A 包含k 个样本点，则事件A 的概率为古典方法是概率论发展初期确定概率的常用方法，在古典方法中，为求一个事件A 的概率，需求出试验的等可能的基本结果总数和事件A 包含的基本结果数。
例 将一硬币抛3次，假设每次抛掷中出现正面和反面的可能性相等，求恰好出现1次正面的概率。
解：由于每次抛掷中出现正面和反面的可能性相等，因此该试验的等可能的基本结果有8个。
即样本空间取为且各个基本结果具有等可能性，而事件=A “恰好出现1次正面”包含1个样本点“HHH ”,即{HHH}A =,所以所求的概率为注意,此试验中若我们考虑的样本空间为}3,2,1,0{=Ω,那么=A “恰好出现1次正面”为Ω的子事}1{,但并不能由此得出A 的概率为41,因为样本空间为}3,2,1,0{=Ω的各个基本事件不具有等可能性.因此用古典方法确定概率时一定要注意“基本事件的等可能性”.当样本空间中样本点较多时,我们不必将样本点一一列举出来,而只需求出样本点总数n 和事件A 包含的样本点个数k ,但要注意“等可能性”.下面介绍古典概型中几件常见的模型.一、抽样模型(也叫取球模型)抽样有两种方式：不放回抽样与放回抽样1. 不放回抽样：一个总体由两类元素(用A,B 表示)组成，共有N 元素,其中有M 个A 类元素,M N -个B 类元素,从中任取n 个元素,我们常关注取出元素A 类成B 类元素的个数.求事件=m A “取出的n 个元素中有m 个A 类元素”的概率.解:样本空间中样本点的总数为n N C ,事件m A 包含的样本点个数为m n M N m M C C --.由于是随机抽取的,所以这n N C 个基本事件是等可能,故所求的概率是若引入随机变量X :取出的A 类元素的个数,则可得X 的概率分布（或分布列。
随机变量的概率分布就是全面地、动态地描述随机变量取各个可能值的概率规律）为)(m X P =n Nm n M N m N C C C --=,),min(),0max(M n m N M n ≤≤-+ 为方便,我们约定:,0=k mC 0<k 或m k >,那么上述概率分布可写为 )(m X P =n Nm n M N m M C C C --=,n m ,,1,0 = 以上的概率分布称为超几何分布(后面章节会继续讨论这种分布),这种分布在抽样调查中是很重要的.比如N 件产品中有M 件不合格品, M N -件合格品,从中抽检n 件产品.在实际问题中,N 的值已知,而M 的值未知,要根据抽查的n 件产品中的次品件数去推断M 的值,这属于统计问题.也有M 的值已知,而N 的值未知的情况,例如，从某一湖里,捕捉M 尾鱼,将这些鱼作上某种标记,然后放回湖中,过一段时间后,再从湖中捕捉出n 尾鱼,发现其中有m 尾有标记,对该湖中鱼的总数N 能作出什么结论?这个问题在学习数理统计时再来讨论.注: 1.对以上模型作稍微的改变:一个袋有7个球,其中5个红球,2个白球.从中依次取3次球,每次取一个,取后不放回.试求下列事件的概率,(1) =A “前2次取到红球,最后1次取到白球”;(2) =B “取到2个红球,1个白球”;(3) =C “第2次取到红球”.解: (1)214567245)(=⨯⨯⨯⨯=A P 错解: 37245)(C A P ⨯⨯=(2) 745673245)(=⨯⨯⨯⨯⨯=B P 或 74)(371225==C C C B P 在此问题中,两种做法都可得出正确答案,为什么? (3) 75567152452245345)(=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=C P 或75675245)(=⨯⨯+⨯=C P 可以看出,第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等,同样地可算出第3次取到红球的的概率也是75.这就是“抽签与顺序无关”的原理,从概率论上解释了“抓阄的公平性”.2. 以上模型可推广至N 个元素由多类元素组成的情形,比如,一批产品共N 件,其中有1M 件一等品, 2M 件二等品, 3M 件三等品(N M M M =++321),从中任取n 件产品,则取到1m 件一等品, 2m 件二等品, 3m 件三等品(n m m m =++321)的概率为教材的例若引入随机变量Y X ,:Y X ,分别表示取出的一等品和二等品件数,则),(Y X 的概率分布属于多项超几何分布.2. 放回抽样: 一个总体由两类元素(用A,B 表示)组成，共有N 元素,其中有M 个A 类元素,M N -个B 类元素,从中依次取n 次,每次取1个元素,取后放回.求事件=m A “取出的n 个元素中有m 个A 类元素”的概率.解:样本空间中样本点的总数为n N ,事件m A 包含的样本点个数为m n m m n M N M C --)(.由于是随机抽取的,所以这n N C 个基本事件是等可能,故所求的概率是将上面结果变形为m n m m n m p p C A P --=)1()(, 其中NM p =,这是什么模型的概率问题(这是你们中学学过的)? 若引入随机变量X :X 表示取出的A 类元素的个数,则可得X 的概率分布为 )(m X P =m n m m n p p C --=)1(,n m ，， 1,0=,N M p =以上的概率分布称为二项分布(后面章节会继续讨论这种分布).二项分布的一种推广就是多项分布.二、盒子模型(也叫放球模型)设有n 个球,每个球都等可能地放到N 个盒子中的任一个,盒子的容量不限.(1) 设N n ≤,求球放入不同盒子中的概率;(2) 求某指定的盒子为空盒的概率的概率;(3) 求某指定的盒子有k 个球的概率的概率解: (1)设A 表示事件“球放入不同盒子中”,则(2) 设B 表示事件“某指定的盒子为空盒”,则(3) 设C 表示事件“某指定的盒子有k 个球”,则以上结果可变形为由变形后的结果会想到什么概率模型?在盒子模型中,我们还会关注于各个盒子的球的数目或球的分布状况.我们看下面问题:将6个球随机地放入5个盒子中,5个盒子分别编号1,2,3,4,5.则1号,2号,3号,4号,5号盒子中分别有2个球,2球,1个球,1个球,和0个球的球的概率为 思考:6个球的分布状况是2,2,1,1,0(即有2个盒子各放2个球,3个盒子各放1个球,1个盒子没球)的概率是多少?教材的例三、补充问题:重复组合问题及其应用从n 个不同元素中每次取一个,放回后取下一个,如此连续取r 次所得的组合称为重复组合(不考虑次序).那么重复组合数是多少呢?易见,这个问题等价于将r 个不可分辨的球放入n 个盒子(盒子是可分辨的)中,可区分的放球结果有多少种?为求解此问题,我们先求每个盒子至少有1个球的不同放法的总数(此时要求)n r ≥.设想将r 个球排成一行,相邻两球之间各有一个空格,共有1-r 个空格,在这1-r 个空格中任取1-n 个空格上插入“|”,每种插法一一对应于每个盒子都有球的一种放法，于是可得每个盒子都有球的放法共有11--n r C 。