《随机变量及其分布总结》
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（注意：面积等同于概率）.
四、课堂练习
.
应用举例
摸球中的分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为
2的球4个，标号为3的球3个。现从中任意抽取3个球，
1、求恰好抽出两个2号球的概率
超
几
P(X 2)CC421C3061 0.3
何 分
Hale Waihona Puke Baidu
2、求至少抽出两个2号球的概率
布
P (X 2 ） P (X 2 ) P (X 3 ) C C 4 2 1 C 3 06 1 C C 1 3 4 3 0 1 3
.
7、方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称 D ( X ) ( x 1 E ( X ) 2 p 1 ) ( x i E ( X ) 2 p i ) ( x n E ( X ) 2 p n )
n
(xi E(X))2pi 为随机变量X的方差。 i1
.
变式二：条件概率
一盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为1的球3个，标号
为 2 的球 4个，标号为 3 的球3个。现从中不放回地依次取出
1两、个求球第. 一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.p（AB）CA131C2031
1 10
2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的
概率.
P(BA)P(AB) 1 P(A) 3
随机变量及其分布 总复习
.
一、概率计算公式 二、离散型随机变量的均值与方差 三、随机变量的分布 四、课堂练习
.
一、概率计算公式
.
设A、B为两个事件 公式： 1、古典概型 P(A)A事 件 总 包 试 含 验 的 结 试 果 验 数 结 果 数 2、几何概型
P (A ) 试 验 A 全 事 部 件 结 的 果 区 的 域 区 长 域 度 长 （ 度 面 （ 积 面 、 积 体 、 积 体 ） 积 ）
3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.
X2 3 4 5 6 P 1 /15 4 /15 1 / 3 4 /15 1 /15
EX 4 D X 1 6
15
.
变式三：
一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号 为2的球2个，现从中任取一个球，若取到标号2的球就不再 放回，然后再取一个球，直到取到标号为1的球为止，求在 取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数 X 的均值.
.
3、涉及互斥事件 概率加法公式：
若 A 与 B 互 斥 ， 则 P ( A B ) P ( A ) P ( B )
可类比：分类计数原理记忆
4、条件概率
P(BA)n(AB)P(AB) n(A) P(A)
P(A) 0
5、涉及独立事件 概率乘法公式：
若 A 与 B 相 互 独 立 ， 则 P ( A B ) P ( A ) P ( B )
可类比：分步计数原理记忆
.
二、离散型随机变量的均值与方差
.
6、均值（数学期望） 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1
x2
… xi
… xn
P p1
p2
… pi
… pn
n
则称 E (X )x1p 1x2p 2 xip i xnp nxip i i 1
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
X0
1…
P
C
0 M
C
n N
M
C
n N
C C 1 n 1 M N M
C
n N
…
k
C Ck n k M N M
C
n N
…n
…
C
n M
C
0 N
M
C
n N
（2）期望与方差： 无特定公式(需列出分布列，在利用公式求)
.
3、二项分布 （1）试验要求： 针对n次独立重复试验（同一件事、同一条件下重复了n次）
.
三、随机变量的分布
.
1、两点分布
（1）试验要求： 随机变量只有0、1两个取值 （“P”为成功概率）
X01 P 1-p p
（2）期望与方差：
若X服从两点分布E， (X)则 p
若X服从两点分D布 (X)， p(则 1p)
.
2、超几何分布
（1）试验要求： 随机试验中，不放回的从有限个物件（产品、小球）中 抽出n个物件，成功抽出指定物件的次数。
称 (X) D(X) 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均 程度越小，即越集中于均值。
.
8、期望与方差的性质
E (a X b ) a E (X ) b E ( a X b) Y a(X E ) b( Y E )
D (a X b )a2D X
X
0
1
2
P 2 / 3 4 /15 1 /15
EX0.4
.
正态分布
设在一次数学考试中,某班学生的分数服从X~N(110，202), 且知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学 考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数. 思维启要迪求及格的人数,即求出P(90≤X≤150),而求 此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后 利用对称性求解.
.
4、正态分布
（1）如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P (a x b ) ap (x )d x F (b ) F (a )
则称X 的分布为正态分布.
记作：X~N(m,2) 。（EX= m ， DX= 2）
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈_0_.6_8_2_7___; ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈_0_.9_5_4_5__; ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈_0_._9_97_3____.
.
变式一： 二项分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为 2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球 1、求恰好抽出两个2号球的概率
P (A ) C （ 3 20 .4 )2 (0 .6 ) 3 6 / 1 2 5
2、求至少抽出两个2号球的概率
P ( B ) C （ 3 2 0 . 4 ) 2 ( 0 . 6 ) C 3 3 ( 0 . 4 ) 3 ( 0 . 6 ) 0 4 4 / 1 2 5
（在抽取物件时，要有放回抽取）
（2）概率计算：
若X~B(n, p)，
则 P ( X k ) C n k p k ( 1 p ) n k ,k 0 ,1 ,2 , L ,n
（3）期望与方差：
若 X ~ B (n ,p )， E (X 则 ) np
若 X ~ B ( n ,p ) ， D ( X ) 则 n ( 1 p p )
四、课堂练习
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应用举例
摸球中的分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为
2的球4个，标号为3的球3个。现从中任意抽取3个球，
1、求恰好抽出两个2号球的概率
超
几
P(X 2)CC421C3061 0.3
何 分
Hale Waihona Puke Baidu
2、求至少抽出两个2号球的概率
布
P (X 2 ） P (X 2 ) P (X 3 ) C C 4 2 1 C 3 06 1 C C 1 3 4 3 0 1 3
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7、方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称 D ( X ) ( x 1 E ( X ) 2 p 1 ) ( x i E ( X ) 2 p i ) ( x n E ( X ) 2 p n )
n
(xi E(X))2pi 为随机变量X的方差。 i1
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变式二：条件概率
一盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为1的球3个，标号
为 2 的球 4个，标号为 3 的球3个。现从中不放回地依次取出
1两、个求球第. 一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.p（AB）CA131C2031
1 10
2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的
概率.
P(BA)P(AB) 1 P(A) 3
随机变量及其分布 总复习
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一、概率计算公式 二、离散型随机变量的均值与方差 三、随机变量的分布 四、课堂练习
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一、概率计算公式
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设A、B为两个事件 公式： 1、古典概型 P(A)A事 件 总 包 试 含 验 的 结 试 果 验 数 结 果 数 2、几何概型
P (A ) 试 验 A 全 事 部 件 结 的 果 区 的 域 区 长 域 度 长 （ 度 面 （ 积 面 、 积 体 、 积 体 ） 积 ）
3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.
X2 3 4 5 6 P 1 /15 4 /15 1 / 3 4 /15 1 /15
EX 4 D X 1 6
15
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变式三：
一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号 为2的球2个，现从中任取一个球，若取到标号2的球就不再 放回，然后再取一个球，直到取到标号为1的球为止，求在 取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数 X 的均值.
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3、涉及互斥事件 概率加法公式：
若 A 与 B 互 斥 ， 则 P ( A B ) P ( A ) P ( B )
可类比：分类计数原理记忆
4、条件概率
P(BA)n(AB)P(AB) n(A) P(A)
P(A) 0
5、涉及独立事件 概率乘法公式：
若 A 与 B 相 互 独 立 ， 则 P ( A B ) P ( A ) P ( B )
可类比：分步计数原理记忆
.
二、离散型随机变量的均值与方差
.
6、均值（数学期望） 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1
x2
… xi
… xn
P p1
p2
… pi
… pn
n
则称 E (X )x1p 1x2p 2 xip i xnp nxip i i 1
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
X0
1…
P
C
0 M
C
n N
M
C
n N
C C 1 n 1 M N M
C
n N
…
k
C Ck n k M N M
C
n N
…n
…
C
n M
C
0 N
M
C
n N
（2）期望与方差： 无特定公式(需列出分布列，在利用公式求)
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3、二项分布 （1）试验要求： 针对n次独立重复试验（同一件事、同一条件下重复了n次）
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三、随机变量的分布
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1、两点分布
（1）试验要求： 随机变量只有0、1两个取值 （“P”为成功概率）
X01 P 1-p p
（2）期望与方差：
若X服从两点分布E， (X)则 p
若X服从两点分D布 (X)， p(则 1p)
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2、超几何分布
（1）试验要求： 随机试验中，不放回的从有限个物件（产品、小球）中 抽出n个物件，成功抽出指定物件的次数。
称 (X) D(X) 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度 的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均 程度越小，即越集中于均值。
.
8、期望与方差的性质
E (a X b ) a E (X ) b E ( a X b) Y a(X E ) b( Y E )
D (a X b )a2D X
X
0
1
2
P 2 / 3 4 /15 1 /15
EX0.4
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正态分布
设在一次数学考试中,某班学生的分数服从X~N(110，202), 且知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学 考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数. 思维启要迪求及格的人数,即求出P(90≤X≤150),而求 此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后 利用对称性求解.
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4、正态分布
（1）如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P (a x b ) ap (x )d x F (b ) F (a )
则称X 的分布为正态分布.
记作：X~N(m,2) 。（EX= m ， DX= 2）
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ<X≤μ+σ)≈_0_.6_8_2_7___; ②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈_0_.9_5_4_5__; ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈_0_._9_97_3____.
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变式一： 二项分布
一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为 2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球 1、求恰好抽出两个2号球的概率
P (A ) C （ 3 20 .4 )2 (0 .6 ) 3 6 / 1 2 5
2、求至少抽出两个2号球的概率
P ( B ) C （ 3 2 0 . 4 ) 2 ( 0 . 6 ) C 3 3 ( 0 . 4 ) 3 ( 0 . 6 ) 0 4 4 / 1 2 5
（在抽取物件时，要有放回抽取）
（2）概率计算：
若X~B(n, p)，
则 P ( X k ) C n k p k ( 1 p ) n k ,k 0 ,1 ,2 , L ,n
（3）期望与方差：
若 X ~ B (n ,p )， E (X 则 ) np
若 X ~ B ( n ,p ) ， D ( X ) 则 n ( 1 p p )