一类线性约束条件下目标函数最值的求法

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Baidu Nhomakorabea
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!& "**， *， *)( ， ! ( 解得 !*() "* - ) ) ( ! ( ! ( ) * *)( ! ( 所以 ( （ !&* !&"） & "* - ) ( ( ! () ! （ + !& "） ! *和 *)( 的符号， ! ( 得! （ 视!*() ! ( "* - ) ) ( ! ( ! 与" （ 的范围。比如 & !& "） "） ! （ 1 !!& # 1 "） (# ( !，
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( 的可行区域。将#* ’ !) ! ! !) #。赋于 " 变形为"* ! 在平面上得一组平行线’ （虚线表示） ， 每一 # 不同的值， （等值） 。从图中可看出： 条线上的 # 取值是不变的 ( 当’： "* ! !) # 过 ’ ’与’ !) "* !： !& ’： ! ( （ ， ） 时， 从而 # !的交点 ( " ( ’ 的截距 ) # 最小， "* ! 最大， 即’ 其值为’ 。 !) ! + " ) ! + ( * ( $ " 最大， ( 当’： ! !) # 过 ’ (与’ "* "* "： !) (： !& ! (） ( （"， 时， 从而 !的交点 ) ’ 的截距) # 最大， "* ! ! ! " ( 即’ 其值为’ 。 # 最小， !) ! + ) ! + * % " 最小， ! ! 所以， 。 % # ’ !) ! ( $ "# 事实上， 利用不等式性质将约束条件变形并辅助 适当观察和讨论， 可得如下更简洁的解法。 （!& （!) 解法二 设 ’ !) ! ! & "* "） "） " （ ） （ ） ， * !& " !& !) "" ， ， !& * ’ !* ( " 比较系数有 解得 ， 。 !) *) ! * " " " 即 ’ （!& （!) ， 但 !) ! & " "* "） "）
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中学数学教学
! $ $ "年第"期
解题 方法
一类线性约束条件下目标函数最值的求法
安徽六安卫校 尚 蕾 （邮编： ） ! " # $ $ %
（!) 能否同时分别取到 ’ 和 , 及同时分别取到 ! " "） 和" ， 而这是毋庸置疑的， 因为 与 有交点 （ ， ） ， 即 !&" 与 " （!)"） 在 ’ ’ ( "( ! ’ （ ， ） 点分别取到’和, 。 ( " ( (） （"， ， 即 !&" 与 " （!)"） ’ ( 与’ " 有交点 ) ! ! (） （"， 分别取到!和" 。 在) ! ! 事实上， 只要判 ( 点坐标与) 点坐标无须解出， 断’ 与 及 与 有交点即可。 ’ ’ ’ ! ’ ( " 我们还可以将图中 (、 *、 )、 + 四点坐标均求出， 然后分别代入’ ， 其中值最大者即为其上限， 值 !)! " 最小者即为其下限， 但计算量并未减少。 一般地， 我们有如下结论： ,# !& .， "# ( （ ， 设 ($ !） /# !& "#0， ! （其中 ,、 求 ( !&* .、 /、 0、 (、 *、 " 的值。 (、 均为常数） !
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令( （ （ !&* ! !& & !& "* "） "） ( ! " （ （ * !& !& !& "， ( ! "） "） 比较系数有 !& ( ! "*(，
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一类线性约束条件下目标函数最值的求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 尚蕾 安徽六安卫校,237005 中学数学教学 HIGH SCHOOL MATHEMATICS TEACHING 2003(3)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxjx200303018.aspx
（ 2 !& # 2 "） (# ! !， " 进而可得 ( !&* " 的范围为 1 2 !&* 1 2 "# (& (#( !& !， 证明可仿照解法二： 因所以 ($ !， （ ） 与 （ ） !!& 1 !& 2 "* "* ( ! ! ! 有交点， "（ ） 与 （ ） !!& 1 !& 2 "* "* ( ( ! ( 也有交点， "（ 与" （ 同时分别取到最 所以! !&"） !&"） ( ! 大值1 和 及同时分别取到最小值 因此 2 1 ! ! ( 和2 (， 的最大值 和最小值 均可取到。 ( !&* 1 2 1 2 " !& ! (& ( （收稿日期 ! ） $ $ " ) $ " ) ( %
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常见教参资料用如下例题说明充要条件的正确应 用， 但事后未给出正确解法， 细究其原因， 原来解答需 用到所谓 “等值线法” 。 题 设 ! #!& ’ " "# （ !） ( #!) # ! # " 求 ’ !) ! " 的范围。 解法一 令 #* 建立直角坐标系 $ ’ !) ! % &， "， 分别作出直线 ， ’ ! "* (： !& ， ’ ’ "* !： !& ， ’ ( "* "： !) ： ， ’ !) ! "* ’ 如图， 图中阴影 部分即为目标函数：
! #!& ’ % "# （ $） （ ） " # " !) , & "# （!& （!) ， # & " # ( $ %&&得 % "） "） 即 % 。 # ’ !) ! ( $ "# 式和 （ $） 式是等价的。因为 !& 注意 （ !） "与 万方数据 （!) 不是两个独立的变量， 所以须考虑 !& " "） "与