习题6-2 定积分在几何学上的应用(二)
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社__第六章
(x)
=
max{1,
x2}
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎩
x2
−2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 1 ,于是 1≤ x≤ 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 max{1, x2}dx = −2
−1 x2dx +
−2
1 1dx +
−1
2 1
x2dx
=
1 3
x3
−1 −2
+
x
1 −1
+
1 3
x3
2 1
=
20 3
∫ ∫ 6.
已知 f(x)连续，且 f(2)=3,求 lim x→2
a i)2
+1,
于是
∑ ∑ n
i=1
f (ξi )Δxi
=
n [(a + b − a i)2 +1] b − a
i=1
n
n
∑ =
(b
−
a)
n i=1
[a2
+
(b
−
a)2
i2 n2
+
2 a(b
−
a)
i n
+1]
1 n
= (b − a)[na2 + (b − a)2 ⋅ 1 ⋅ 1 n(n +1)(2n +1) + 2(b − a)a⋅ 1 ⋅ n(n + 1) + n]⋅ 1
x⎡ 2 ⎢⎣
2 t
f
(u)du
⎤ ⎥⎦
dt
(x − 2)2
.
解
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ lim
x→2
x⎡ 2⎣
定积分在几何学上的应用笔记
定积分在几何学上的应用笔记一、引言定积分是微积分中的重要内容之一，它在几何学中有广泛的应用。
本文将介绍定积分在几何学中的几个典型应用，并讨论其应用意义。
二、计算曲线长度在平面几何中，计算曲线的长度是一个经常出现的问题。
假设有一条平面曲线f(x)在区间[a, b]上，想要求出曲线的长度L。
利用定积分的概念，可以通过以下步骤进行计算：1. 将曲线分为无穷小的线段；2. 计算每个无穷小线段的长度；3. 对所有无穷小线段的长度求和，得到曲线的长度。
要计算曲线y = x^2在区间[0, 1]上的长度，可以将曲线分为无穷小线段y = x^2 + dx，其中dx为无穷小的自变量增量。
根据勾股定理，每个无穷小线段的长度为√(dx^2 + dy^2) = √(1 + (dy/dx)²)dx。
通过对所有无穷小线段的长度进行积分，即可求出曲线的长度L。
三、计算曲率曲率描述了曲线弯曲的程度，在计算曲线的曲率时，定积分也有应用。
假设有一条平面曲线f(x)在区间[a, b]上，想要求出曲线在某点x处的曲率K。
可以通过以下步骤进行计算：1. 根据曲线方程，求出曲线的切线斜率dy/dx；2. 计算切线斜率的导数d²y/dx²；3. 利用曲率公式K = |d²y/dx²| / (1 + (dy/dx)²)^(3/2)，求出曲线的曲率。
通过将切线斜率的导数进行积分，可以得到曲线在区间[a, b]上的曲率函数，进而帮助我们分析曲线的特征。
四、计算曲面面积在空间几何中，计算曲面的面积也是一个常见的问题。
假设有一个曲面z = f(x, y)，想要求出曲面的面积S。
可以使用定积分的方法进行计算：1. 将曲面分为无穷小的面元；2. 计算每个无穷小面元的面积；3. 对所有无穷小面元的面积求和，得到曲面的面积。
要计算平面上的一条曲线y = g(x)在[a, b]上旋转后生成的曲面的面积，可以先计算曲线上每个点x的切线斜率dy/dx，然后利用曲线的长度L求出无穷小面元的面积dS = 2πg(x)√(1 + (dy/dx)²)dx，最后通过求积分得到曲面的面积S。
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
定积分在几何上的应用
定积分在几何上的应用
定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，
V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。
它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。
几何学发展历史悠长，内容丰富。
它和代数、分析、数论等等关系极其密切。
6.2 定积分在几何学上的应用
圆柱
圆锥
圆台
问题：一般地，考虑如图所示的曲边梯形绕 x 轴旋 转一周而形成的空间立体，其体积为多少？
y
y = f (x)
0a
bx
取积分变量为 x， x ∈[a,b] y
y = f (x)
在[a, b]上任取小区间 [ x, x + dx]
o
x x + dx
x
考虑以 d x 为底的窄曲边梯形 绕 x 轴旋转而成的薄片 ∆V 体积的近似值
设曲线弧为 y = f ( x) (a ≤ x ≤ b)，
其中 f ( x)在[a, b]上有一阶连续导数 y = f ( x)
y
取积分变量为 x，x∈ [a, b]
在 [a, b] 上任取小区间[ x, x + dx]，
以对应小切线段的长代替小弧段的长
} dy
dx
∆s ≈ (dx)2 + (dy)2 = 1 + y′2dx o ax x + dx b x
∫1
A= ( 0
y
−
y2 ) d
y
=
2
3
3
y2
−
y3 1
3
=
0
1. 3
例2 计算抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x − 4 所围图形 的面积 .
例2 计算抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x − 4 所围图形 的面积 .
解：( 一）取 y 为积分变量。
y
∫ s = 4 [ ( y + 4) − y2 ] d y
其体积可以近似看作以 f (x) 为底半径，高为 d x 的 薄圆柱体的体积，即 两个量的乘
∆V ≈ π [ f ( x)]2 dx = dV
定积分在几何计算中的应用
定积分在几何计算中的应用定积分是高等数学中的一个重要概念，它在几何计算中有着广泛的应用。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
下面我们就来看看定积分在几何计算中的应用。
定积分可以用来计算曲线的长度。
对于一条曲线，我们可以将其分成无数个小段，然后对每个小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
这个过程可以用定积分来表示，即：L = ∫a^b √(1+(dy/dx)^2) dx其中，a和b分别表示曲线的起点和终点，dy/dx表示曲线在每个点的斜率。
这个式子的意义是，将曲线分成无数个小段，每个小段的长度为√(1+(dy/dx)^2) dx，然后对所有小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
定积分可以用来计算曲面的面积。
对于一个曲面，我们可以将其分成无数个小面元，然后对每个小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
这个过程可以用定积分来表示，即：S = ∫∫D √(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy其中，D表示曲面的投影区域，z表示曲面在每个点的高度，∂z/∂x和∂z/∂y分别表示曲面在每个点在x和y方向上的斜率。
这个式子的意义是，将曲面分成无数个小面元，每个小面元的面积为√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy，然后对所有小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
定积分可以用来计算体积。
对于一个立体图形，我们可以将其分成无数个小体元，然后对每个小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
这个过程可以用定积分来表示，即：V = ∫∫∫E dxdydz其中，E表示立体图形的空间区域。
这个式子的意义是，将立体图形分成无数个小体元，每个小体元的体积为dxdydz，然后对所有小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
定积分在几何计算中有着广泛的应用，可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
这些应用不仅在数学中有着重要的意义，也在实际生活中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程计算等领域中都有着重要的作用。
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。
它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。
首先，定积分在几何学中的简单应用。
比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。
它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。
它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。
其次，定积分也可以用在物理学中。
比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。
它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。
最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。
比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。
还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。
以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。
定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。
只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。
- 1 -。
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华 李建平 毛志强 著))第六章 定积分
x
ar
1
1 (b3 a 3 ) (b a) 3
1+x.所以
4. 估计下列各积分值的范围：
1
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n.
2 3 1
x
n b 1 S ( x 2 1)dx lim f (i )Δxi (b a)[a 2 (b a) 2 a(b a) 1] a n 3 i 1
t
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(1)
4
1
( x 2 1)dx ； e x dx （a＞0)；
2
2
(2)
3 1 3 0
x arctan xdx ;
2
(3) 解
a
a
(4)
2
ex
x
dx .
(1)在区间[1,4]上,函数 f ( x) x 1 是增函数,故在[1,4]上的最大值 M f (4) 17 ,最
2
w.
f (a ) f ( a ) e a ,a>0 时, e a 1 ,故 f ( x) 在[-a,a]上的最大值 M=1,最小值
m e a ,所以
ww
2
tt
2
le
2
2ae a e x dx 2a .
2
ar
a
,令 f ( x) 0 得驻点 x=0,又 f (0) 1 ，
2
0
(1)
4
le
1
所以当 x=0 时,I(x)有极小值,且极小值为 I(0)=0. 5. 计算下列定积分：
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(定积分的应用)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第六章定积分的应用习题6-1定积分的元素法本部分无课后习题．习题6-2定积分在几何学上的应用1．求图6-1中各阴影部分的面积：图6-1解：（1）解方程组，得到交点坐标为（0，0）和（1，1）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则y的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[y，y ＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为y－y2的窄矩形的面积，因此有（2）取x为积分变量，则易知x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为e－e x、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果取y为积分变量，则易知y的变化范围为[1，e]，相应于[1，e]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为lny的窄矩形的面积，因此有（3）解方程组，得到交点坐标为（－3，－6）和（1，2）．如果取x为积分变量，则x的变化范围为[－3，1]，相应于[－3，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有如果用y为积分变量，则y的变化范围为[－6，3]，但是在[－6，2]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为的窄矩形的面积，在[2，3]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、宽为的窄矩形的面积，因此有由此可知以x为积分变量较易，因为图形边界曲线若分为上下两段，分别为y＝2x和y＝3－x2；若分为左右两段，分别为和，其中右段曲线的表示相对比较复杂，也就会导致计算形式复杂．（4）解方程组，得到交点坐标为（－1，1）和（3，9），同上，以x为积分变量计算较易．取x为积分变量，则x的变化范围为[－1，3]，相应于[－1，3]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为2x＋3－x2、底为dx的窄矩形的面积，则有2．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）与（两部分都要计算）；（2）与直线y＝x及x＝2；（3）与直线x＝1；（4）y＝lnx，y轴与直线y＝lna，y＝lnb（b＞a＞0）．解：（1）图6-2中，可先计算图形D1（阴影部分）的面积，易求得与x2＋y2＝8的交点为（－2，2）和（2，2）．取x为积分变量，则x的变化范围为[－2，2]，相应于[－2，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图形D2的面积为图6-2（2）图6-3中，取x为积分变量，则x的变化范围为[1，2]，相应于[1，2]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-3（3）图6-4中，取x为积分变量，则x的变化范围为[0，1]，相应于[0，1]上的任一小区间[x，x＋dx]的窄条面积近似于高为、底为dx的窄矩形的面积，因此有图6-4（4）图6-5中，取y为积分变量，则y的变化范围为[lna，lnb]，相应于[lna，lnb]上的任一小区间[y，y＋dy]的窄条面积近似于高为dy、底为e y的窄矩形的面积，因此有图6-53．求抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点（0，－3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积．解：首先求得导数，因此抛物线在点（0，－3），（3，0）处的切线分别为y＝4x－3，y＝－2x＋6，容易求得这两条切线交点为（见图6-6）．因此所求面积为图6-64．求抛物线y2＝2px及其在点处的法线所围成的图形的面积．解：利用隐函数求导方法，抛物线方程y2＝2px两端分别对x求导，2yy′＝2p．即得，因此法线斜率为k＝－1，从而得到法线方程为（如图6-7），因此所求面积为图6-75．求由下列各曲线所围成的图形的面积：（1）ρ＝2acosθ；（2）x＝acos3t，y＝asin3t；（3）ρ＝2a（2＋cosθ）．解：（1）（2）由对称性可知，所求面积为第一象限部分面积的4倍，记曲线上的点为（x，y），因此（3）。
定积分在几何学上的应用习题
定积分在几何学上的应用习题
定积分可以被定义为把曲线投影到x轴上的最大面积，定积分在几何学上有着重要的应用，本文将介绍定积分在几何学上的应用习题。
首先，我们需要了解定积分的概念。
定积分可以表示为一种函数，称为定积分函数，它由两个变量组成：自变量 x定义域。
定义域是
向 x投影的曲线。
定积分用于求解积分问题，即求解一个曲线到 x
的最大面积。
其次，定积分的应用习题可以归结为两种：一种是求解面积和体积，另一种是计算两个函数之间的差值。
它们可以用定积分来求解。
首先，我们以求解面积和体积为例。
对于求解面积的问题，我们需要知道曲线的函数表达式和定义域，使用定积分就可以求解曲线到
x的最大面积。
体积则是沿着 y积分，求解曲线平面区域的体积。
另一方面，如果我们需要计算两个函数之间的差值，也可以用定积分来求解。
计算的方法是，将两个函数视为 y上的两条曲线，使
用定积分计算它们在 x上的最大面积差值，即面积之差，也就是两
个函数之间的差值。
最后，定积分在几何学上有着重要的应用，它可以用于解决求解面积和体积以及计算函数之间差值的问题。
定积分是一种有效的计算方法，可以帮助我们解决几何学中许多有趣的问题。
- 1 -。
定积分的应用(2)
y
y f ( x)
x [a , b ] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ] ，
o
x x dx
x
x 轴旋转而成的薄 取以dx 为底的窄边梯形绕 片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为
V [ f ( x )]2 dx
a
b
2
a 2 ( t sin t ) 2 a sin tdt
0
a
3
0
2
( t sin t ) 2 sin tdt 6 3 a 3 .
补充 如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、 x 轴所围成的曲边梯形绕 直线 x a 、 x b 及 y 轴旋转一周而成的立体，体积为
2
解： y
b a2 x2 a
o
r
x
a x
V a
a
a
b 2 a x2 a
2 2
dx
2
b
2
a
a2
2 b x (a x )dx 2 a x
2 3
a
a
3 a
4 ab2 3
椭球体积
4 V ab 2 3
3 例 已知平面图形是由曲线 y 和 x y 4 x 求此图形绕 x 轴旋转所生成的旋转体的体积．
x y 4
两曲线交点为 (1,3), (3,1) 旋转体的体积为
3 V [ 4 x 1 x
3
2
r 0 1
R
3
x
] dx
2
类似地，如果旋转体是由连续曲线
定积分在几何学上的应用
13⎤12xy =2y x =xy 22=4−=x y .18βθ=roxy =θρ2cos 22a =1Aθd数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用二、特殊立体的体积1、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．圆柱圆锥圆台数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用一般地，如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x ) 、 直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？x ∈ [a , b ] 在[a , b]上任取小区 间[ x , x + dx ]，取积分变量为 x ，yy = f ( x)ox x + dxx取以dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV = π[ f ( x )]2 dx旋转体的体积为 V = ∫ π[ f ( x )]2 dxab数学分析第五章 定积分2 3 2 3 2 3§2 定积分在几何学上的应用例 1 求星形线 x + y = a ( a > 0) 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积.y解 ∵y =a −x ,2 32 32 3⎛ ∴y =⎜ ⎜a − x ⎝2 2 3a 2 32 3⎞ ⎟ ⎟ ⎠3x ∈ [− a , a ]3−aoa x旋转体的体积⎛ V = ∫ π⎜ a −x ⎜ −a ⎝2 3⎞ ⎟ dx = 32 πa 3 . ⎟ 105 ⎠数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用类似地，如果旋转体是由连续曲线x = ϕ ( y ) 、直线 y = c 、 y = d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体， y 体积为dV = ∫ π [ϕ ( y )] dy2 cdx = ϕ ( y)co x数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用补充 如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x )、 直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体积为V y = 2π ∫ x | f ( x ) | dxab数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用2、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.A( x ) 表 示 过点 ox 且垂直于 x 轴dV = A( x )dx ,axx + dxbx的截面面积， A( x ) 为 x 的已知连续函数立体体积 V =∫baA ( x ) dx .数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用例2求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积.解取坐标系如图 底圆方程为yx 2 + y 2 = R2 ,o2xRx垂直于 x 轴的截面为等腰三角形截面面积 A( x ) = h ⋅ y = h R − x 立体体积 V = h∫− RR2 221 2 R − x dx = πR h. 2数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用三、平面曲线的弧长设 A 、 B 是曲线弧上的两 y 个端点，在弧上插入分点M2 M1 M n −1B = MnA = M 0 , M1 ,Mi ,A = M0, M n −1 , M n = Box并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长∑ | M i −1 M i |的极限存在，则称此极限为 曲线弧 AB 的弧长.i =1 n数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用1、直角坐标系情形y设曲线 y = f ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) ， 其中 f ( x ) 在[a , b]上有一阶连续导数} dy用积分元素法: 取积分变量为 x ， o 在[a, b]上取小区间[ x, x + dx]，以小切线段的长代替小弧段Δ s 的长2 2a x x + dx bx2 ′ = 1 + y dx 小切线段的长 ( dx ) + (dy ) 2 ′ 弧长元素 ds = 1 + y dx曲线段的弧长s = ∫ 1 + y′ dx .2 ab数学分析第五章 定积分§2 定积分在几何学上的应用2 32 例 1 计算曲线 y = x 上相应于 x 从 a 到 b 的 3一段弧的长度.解 ∵ y′ = x ,1 2∴ ds = 1 + ( x )2 dx = 1 + xdx ,a b1 2所求弧长为s = ∫ab2 1 + xdx = [(1 + b ) − (1 + a ) ]. 33 2 3 2。
高等数学上62定积分在几何学上的应用
16 a2 2 sin4 u d u 0
o (令u t )
2
3 a2
2 a x
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2. 极坐标情形
求由曲线
及
在区间
围成的曲边扇形的面积 . 上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA 1 ( )2 d
2
所求曲边扇形的面积为
r ( ) d
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P277-5
例6. 计算心形线
面积 . 解:
1 a2 (1 cos )2 d
2
a2 4 cos4 d
0
2
令
t
2
8a2 2 cos4t dt 0
8a2 3 1 3 a2
422 2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
0
2
令u t 2
16
a
3
0
(2u
sin
2u)
sin
4
u
d
u
令v u
2
16
a3
2
2
(2v
sin 2v) cos4 v d v
偶函数
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P281-9
例15. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
30
y
ox
R x
第二节-定积分在几何上的应用
a
.
.
双曲螺线
r
0
.
当 从 0 –
8
a
.
双曲螺线
例6
求双纽线
所围平面图形的面积.
例7
求心形线
所围平面图形的面积
x
y
o
2
=1+cos
3
r =3cos
S
例8
.
.
.
.
1
0
x
y
.
.
.
.
例9
求由双纽线
0
x
y
a
内部的面积。
例10
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
例7
o
y
R
x
x
y
–R
R
y tan
(x, y),
.
例7
半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面 成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
o
y
R
x
–R
R
A
B
C
D
(x, y)
S(y)
.
例7
半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面 成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。
h
R
x
o
y
–R
求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的 线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。
将它绕
轴旋转构成
一个半径为
高为
的圆锥体,
计算圆锥体的体积.
例2
计算则由椭圆
围成的平面图形
绕
轴旋转而成的旋转椭球体的体积.
例3
求星形线
定积分在几何上的应用共29页
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— 律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
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2
0
1
1 x 2 1 ( x ln ) ln 3 1 x 0 2
6. 求曲线 ρ 2(1 cos ) 的全长。
s a
2
0 2
2 ( ) 2 d
2
0
a 2 (1 cos ) 2 ( a sin ) 2 d
4．有一立体以抛物线 y 2 x 与直线 x 2 所围成图形为底，而垂直于抛物线轴的截面
2
都是等边三角形，求其体积.
A( x)
3 (2 y ) 2 3 y 2 2 3 x 4
2 2 1 0 0 0
V A( x)dx 2 3 xdx 3 x 2 3
·高等数学练习册·习题答案
5. 求曲线 y ln(1 x ),
2
0 x
1 的弧长。 2
1 1 1 2 x 2 4x2 2 s 2 1 ( y) 2 dx 2 1 ( ) dx 1 dx 0 0 0 1 x2 (1 x 2 ) 2
2
0
1
1 (1 x 2 ) 2 4 x 2 (1 x 2 ) 2 2 dx 0 (1 x 2 )2 dx (1 x 2 ) 2 1 1 1 x2 2 1 1 2 2 dx ( 1 ) dx (1 )dx 2 2 0 0 1 x 1 x 1 x 1 x 1
a 2 (3 cos t ) 2 a (1 cos t )dt 8 2 a 3 a 3 (3 cos t ) 2 (1 cos t )dt 8 2 a 3
0 29 15cos t 7 cos 2 t cos3 t )dt 8 2 a 3
·高等数学练习册·习题答案
习题 6-2
2
定积分在几何学上的应用（二）
1. 求曲线 y x , x 0 及其在（1，1）点的法线与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周所得 的旋转体的体积。
y 2 x y
x 1
2 k法
1 2
所以，法线方程为： y 1
1 1 3 ( x 1) 即 y x 2 2 2
2
4 ，且使该图形 9
绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. （1）通过点（0, 0） ，所以， c 0
a 3 b 2 a b 4 （2） ( ax bx) dx ( x x ) 0 3 2 3 2 9 0
1 2
1
a
4 3 b ……………………………………………………① 3 2
3a | sin t cos t | dt 12a 2 sin t cos tdt
0 0
(6a sin 2 t ) 2 6a
0
·高等数学练习册·习题答案
1 1 2 2
a 2 5 ab 4 b 2 3 a 2 ab b 2 （3） V ( ax bx) dx ( x x x ) 0 5 2 3 5 2 3 0
将①代入得到， V
16 2 1 b b2 45 15 30
2 1 b0b2 15 15 1 V (b) 0 15 V (b) b 2 时， V 最小，此时， a 5 3
3 2
3
2 ． 求 摆 线 x a (t sin t ), y a (1 cos t )(a 0) 的 一 拱 与 y 0 所 围 成 的 图 形 绕
y 2a 旋转所得旋转体的体积. V
2 0 2 a
0
[ y ( x) 2a ]2 dx 2 a (2a ) 2
25 2 a 3 8 2 a 3 17 2 a 3
·高等数学练习册·习题答案
3．设抛物线 y ax bx c 通过点（0, 0） ，且 0 x 1 时， y 0 ，试确定 a, b, c 的
2
值，使得抛物线 y ax bx c 与直线 x 1, y 0 所围成的图形的面积为
2
0
2 2 cos d 2a sin
0
2
d
(4a cos ) 8a 2 0
2
·高等数学练习册·习题答案
7．计算星形线 x a cos t , y a sin t 的全长。
3 3
s
2
0 2
(
2 dx 2 dy 2 ) ( ) dt (3a cos 2 t sin t ) 2 (3a sin 2 t cos t ) 2 dt 0 dt dt
法线与 x 轴的交点为 (3, 0) ，所以，旋转体体积为：
1 3 1 1 3 3 V ( x 2 ) 2 dx ( x ) 2 dx x 4 dx ( x 2 6 x 9)dx 0 1 0 2 2 4 1
5
1
x
5 0
1
2 13 ( x 3x 9 x) 4 3 5 3 15 1