概率论第三章习题

Ax ( x − 1) 2 , f ( x) = 0,
0 < x <1 其它
(1)求常数A； (2)求X的分布函数； (3)在n次独立观察中，求X的值至少有一次小 于0.5的概率； (4)求Y =X3的概率密度。
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0 1 −1 例5:设随机变量X,Y都服从分布 1 / 4 1 / 2 1 / 4
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例7: 设二维随机变量(X, Y)在矩形G={(x,y)│ 0≤x ≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布。令
1, U = 0, X > Y; X ≤ Y. 1, V = 0, X > 2Y ; X ≤ 2Y .
(1)求U和V的联合分布; (2)求U=1时V的条件分布; (3)求Z=X-Y的概率密度. 例8:二维随机变量(X, Y)的联合密度为
Ay (1 − x ), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x; f ( x, y ) = 其它. 0,
(1)确定常数A; (2)求X和Y的边缘密度; (3)判断X和Y 是否独立; (4)求Z=X+Y的概率密度; (5)求f(x│y). 4
例9: 设随机变量X和Y 独立, 且X~ N(μ,σ2 ), Y~ U[-2,2], 则Z=X+Y的概率密度为 。 例10: 设随机变量X与Y 独立, 其中X的概率分布为 P(X=1) =0.3, P(X=2) =0.7, 而Y 的概率密度为f(y), 求随机变量U=X+Y的概率密度. 例11: 设随机变量X与Y 相互独立, 下表列出了随机 变量(X, Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘 分布律中的部分数值, 试将其余的数值填入表中 的空白处 X x1 x2
P(Y= yj)= p.j
Y
y1 1/8 1/6
y2 1/8
y3
P(X= xi)= pi.
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例12: 设随机变量X在(0, 1)上服从均匀分布, 在 X=x (0<x<1)的条件下,随机变量Y在(0,X)上服从均匀分 布, 求 (1) 随机变量X和Y的联合概率密度; (2) 随机变量Y的概率密度; (3) 概率P(X+Y>1) .
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第三章习题课
例1: 设随机变量X的密度函数为f(x), 且 f(-x) = f(x) , F(x)是X的分布函数, 则对任意实数a, 有
1 a ( A) F ( − a ) = 1 − ∫ f ( x )dx , ( B ) F ( − a ) = − ∫ f ( x )dx , 0 2 0 (C ) F ( − a ) = F ( a ), ( D ) F ( − a ) = 2F ( a ) − 1 .
a
例2: 一批零件共有100件, 其中有5件次品, 从中抽 取20件, 令X 表示其中包含的次品数, (1) 若抽取后放回, 则 X 的分布律为 ; (2) 若抽取后不放回, 则 X 的分布律为 ; (3) 在有放回抽取的条件下,令Y 表示首次摸到次 品时试验的次数, 则 Y 的分布律为 .
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例3: 设随机变量X 与Y 均服从正态分布, X～N(μ,42) , Y～N(μ,52), 记 p1=P(X≤μ-4), p2=P(Y≥μ+5)，则 下列结论中正确的是 (A) 对任何实数μ, 都有p1= p2; (B) 对任何实数μ, 都有p1< p2; (C) 只对μ的个别值, 才有p1= p2; (D) 对任何实数μ, 都有p1> p2. 例4: 设随机变量X的概率密度为
且满足P(XY=0)=1, 求 (1) X和Y的联合分布律; (2) P(X=Y)=? (3)问X和Y是否独立, 为什么? 例6: 设某班车起点站人数X服从参数为λ(λ >0)的 泊松分布, 每个人在中途下车的概率为p(0<p<1), 且每个人中途是否下车相互独立, 以Y表示中途 下车的人数. (1) 求在发车时有n个乘客的条件 下, 中途有m人下车的概率； (2)求二维随机变量 (X,Y)的概率分布； (3) 求Y的边缘分布律.