2011-2020年近十年全国考研数学一试卷真题和答案解析(最新146页含书签导航)
2011年数学一考研真题及答案
2011年考研数学试题（数学一）一、选择题1、 曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（ ）（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）。
2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===nk kn n a S 12,1 无界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为（ ）（A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2]3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A ） 0)0(1)0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1)0(>''<f f ， (D) 0)0(1)0(<''<f f ，4、设4440ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx πππ===⎰⎰⎰，则,,I J K 的大小关系是( )（A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I <<5. 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记110011001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2100001010P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A =( ) （A ）12P P （B ）112P P - （C ）21P P （D ）121P P -6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若()T0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系，则0=*x A 基础解系可为（ ）(A) 31αα， (B) 21αα， (C) 321ααα，， (D) 432ααα，，7、设()()12,F x F x 为两个分布函数，其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )（A ）()()12f x f x （B ）()()212f x F x（C ）()()12f x F x （D ）()()()()1221f x F x f x F x +8、设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记{}y x U ,max =,{}y x V ,min =，则=)(UV E （ ）(A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE 二、填空题 9、曲线⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=xx tdt y 040tan π的弧长s =10、微分方程x e y y x cos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y 11、设函数()⎰+=xydt tt y x F 021sin ,，则=∂∂==2022y x xF12、设L 是柱面方程221x y +=与平面z x y =+的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22Lyxzdx xdy dz ++=⎰13、若二次曲面的方程为22232224x y z axy xz yz +++++=，经正交变换化为221144y z +=，则a =14、设二维随机变量(,)X Y 服从22(,;,;0)N μμσσ，则2()E XY = 三、解答题15、（本题满分10分）求极限110ln(1)lim xex x x -→+⎛⎫ ⎪⎝⎭16、（本题满分9分）设(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导，且在1x =处取得极值(1)1g =，求21,1zx y x y ∂==∂∂17、（本题满分10分）求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数，其中k 为参数 18、（本题满分10分）证明：（1）对任意正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+（2）设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-= ，证明数列{}n a 收敛19、（本题满分11分）已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0f y f x ==，(,)Df x y dxdy a=⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xy DI xyf x y dxdy ''=⎰⎰20、（本题满分11分）()()()1231,0,1,0,1,1,1,3,5T T Tααα===不能由()()()1231,,1,1,2,3,1,3,5T T Ta βββ===线性表出。
2011考研数学一真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=． 令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞， 所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭， 故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑； 求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n． 方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析
0
2
2
.
13.【答案】 1
【解】本题等价于将二次型 f (x, y, z) x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 经正交变换后化为
了 f y12 4z12 .由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1, 4, 0 .
1 a 1
该二次型的矩阵为
A
a
3
1 ，可知 A a2 2a 1 0 ，因此 a 1 。
0
0
5.【答案】
【解】由初等矩阵与初等变换的关系知
AP1
B
，P2 B
E
，所以
A
BP11
P2
P 1 1 1
P2 P11
，
故选 D.
6.【答案】D
【解】由 x 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A) 1，又由 A A A E 0 知，
1,2 ,3,4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
^
（1）求参数 2 的最大似然估计 2 ;
^
^
（2）计算 E( 2 ) 和 D( 2 ) .
2011 年全国研究生入学统一考试数学一试题
答案及解析
一、选择题
1.【答案】C
【解】由 y x 1x 22 x 33 x 44 可知1, 2,3, 4 分别是
y
x
1
x
2
2
x
33
x
4
4
0
的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关
C. P2P1
D. P21P1
6．设 A (1,2,3,4 ) 是 4 阶矩阵， A* 是 A 的伴随矩阵，若 (1,0,1,0)T 是方程组 Ax 0 的一 个基础解系，则 A*x 0 的基础解系可为( )
2011年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)
A = E 0
知， α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 都是 Α x = 0 的解，且 Α x = 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
∗ ∗
1 1 0 0 A = (α1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ) = α1 + α 3 = 0 ， 所 以 α1 , α 3 线 性 相 关 ， 故 α1，α 2，α 4 或 1 1 0 0
） (D)
α1，α 3
(B)
α1，α 2
(C)
α1，α 2，α 3
α 2，α 3，α 4
【答案】 D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩 阵等方面的知识，有一定的灵活性。
= A 【解析】由 Αx = 0 的基础解系只有一个知 r ( A) = 3 ，所以 r ( A∗ ) = 1 ，又由 A
∫
x
0
π tan tdt 0 ≤ x ≤ 的弧长 s = 4
【考点分析】本题考查曲线弧长的计算，直接代公式即可。
π
4
π
4
【解析】 s =
∫
0
(y )
' 2
dx = tan xdx = sec 2 x − 1dx = tan x − x 04 = 1−
0 0
∫
π
4 2
∫
π
4
π
π
4
10、微分方程 y ′ + y = e − x cos x 满足条件 y (0) = 0 的解为 y = 【答案】 y = sin xe − x 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出 其通解，再根据定解条件，确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为
2011考研数一真题答案及详细解析
所以 x1= -./k二［是极小值点， X2 =.fl..厂二了是极大值点；
由千 f(O)=O, 则 f(x) 的极大值 f (./1..言刁-)>0, J(x) 的极小值 f(- ,/k — 1 ) < 0.
又lim f(x)= +=,lim J(x) = —=,J(O) =0,
工j—00
.,•-•j-0<>
00) e一1 sinx
解 由条件知： P(x)=1,Q(x) =尸cosx'于是微分方程通解为
(J (J y=e-I压）扛 Q(x)eJP<x)d丑'dx +c) =e寸ld工 尸cosx ef1凸 dx +c) (J =e一1 cosxdx +C)=尸(sinx +C),
由y(O)=O得C=O,因此所求特解为
J'(y) , f(y)
a飞 a正
=f
，，(x)lnf(y),
一3一五—= 妇办
J'(x)•
J'(y) f(y)'
a飞
尸(y汀(y) -[f'(y)J 2
ay2 =f(x)
尸(y)
若函数乏 = f位） Inf Cy)在(0,0) 处取得极小值 ， 则
�o, (�'"·"�J'(O)ln::�:
-I f ay co.o> = f(O)• Co) = O,
则E(XY 2 )
=EX• E(Y2 )
=EX•
[DY+(EY) 2 ]
= 叭矿＋矿）
= µ
rJ
2
+矿．
三、解答题
ln(l +x)�
2011-2020年考研数学一真题及答案解析
则 x 0 基础解系可为（
）
(A)
1， 3 (B)
1， 2 (C)
1， 2， 3 (D)
2， 3， 4
【答案 】 D 【 考点分析 】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，
有一定的灵活性。
【解析 】由 x 0 的基础解系只有一个知 r ( A) 3 ，所以 r ( A ) 1，又由 A A A E 0 知， 1, 2, 3, 4
f (0)
f
(0) f (0) ( f f 2 (0)
(0))2
f (0)
要使得函数 z f ( x) ln f ( y) 在点 (0,0)处取得极小值，仅需
f (0)ln f (0) 0 ， f (0)ln f (0) f (0) 0 所以有 f (0) 1， f (0) 0
4、设 I 4 ln sin xdx, J 4 ln cot xdx, K 4 ln cosxdx，则 I , J, K 的大小关系是 ( )
都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
1 0 A 1 0
1 0 1, 2, 3, 4 1 0
关组，故应选（ D）
1 3 0 ，所以 1, 3 线性相关，故 1， 2， 4 或 2， 3， 4 为极大无
7、设 F1 x , F2 x 为两个分布函数， 其相应的概率密度 f1 x , f 2 x 是连续函数， 则必为概率密度的是 ( )
x
1x
22 x
33 x
4
4
可知 1,2,3,4
分别是
y
2
3
4
x1x 2 x 3 x 4 0
的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知
2011年考研数学一真题及答案解析
即可。
【解析】由 z f (x) ln f ( y) 知 zx f (x) ln f ( y),
z
y
f (x) f (y)源自f ( y) ， zxy
f (x) f (y)
f ( y)
z
xx
f
(x) ln
f
(
y)
，
z
yy
f
(x)
f
( y)
f
(y) ( f 2(y)
6、设 A 1,2,3,4 是4阶矩阵， A 为 A 的伴随矩阵，若 1,0,1,0 是方程组 Ax 0 的一个基
础解系，则 Ax 0 基础解系可为（ ）
(A) 1， 3
(B) 1， 2
(C) 1， 2， 3 (D) 2， 3， 4
【答案】 D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，需要综合应用秩，伴随矩阵等方面
2011年考研数一真题及答案解析
一、选择题
1、 曲线 y x 1x 22 x 33 x 44 的拐点是（ ）
（A）（1，0） （B）（2，0） （C）（3，0） （D）（4，0） 【答案】 C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即 可。
在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A） f (0) 1， f (0) 0 (B) f (0) 1， f (0) 0
(C) f (0) 1， f (0) 0
(D) f (0) 1， f (0) 0
【答案】 C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件
0 0 1
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、A 、B 、C 、D 、2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析第1题 单项选择题 （每题4分，共8题，共32分） 下列每小题的四个选项中，只有一项是最符合题意的正确答案，多选、错选或不选均不得分。
1、当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．2、设函数f(x)在区间(-1，1)内有定义，且，则( )3、设函数f(x ，y)在点(0，0)处可微f(0，0)=0，且非零向量d 与n 垂直，则( )．4、设R 为幂级数的收敛半径，r 是实数，则( )．5、若矩阵A 经初等列变换化成B ，则( )．A 、 存在矩阵P ，使得PA=BB 、 存在矩阵P ，使得BP=AC 、 存在矩阵P ，使得PB=AD 、 方程组Ax=0与Bx=0同解A 、可由，线性表示B 、 可由，线性表示C 、 可由，线性表示D 、，，线性无关A 、B 、C 、D 、A 、1-(1)B 、(1)C 、 1-(0．2)D 、 (0．2)6、已知直线相交于一点，法向量，则( )．7、设A ，B ，C 为三个随机事件，P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=1，则A ，B ，C 中恰有一个事件发生的概率为( )．8、设X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=，(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得的近似值为( )．第2题 填空题 （每题4分，共6题，共24分） 将正确答案写在题中横线上（或者“括号里”）的空白处。
9、10、11、若函数f(x)满足f”(x)+af’(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m，f'(0)=n，则12、13、14、设X服从区间(-)上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X，Y)=——．第3题解答题（每题10.44分，共9题，共93.96分）根据所给材料回答问题。
2011年全国考研数学一真题
F (x)dF (x) F (x)dF (x) 1
(8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在，记 U maxX ,Y ,V min X ,Y , 则
E(UV ) (
(A) EU EV 【答案】 （ B）
) (B) EX EY (C) EU EY (D) EX EV
（2）如果级数
un 收敛，而级数 un 发散，则称级数 un 条件收敛.
n1 n1 n1
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在本题中，因 an 0 （ n ） an 0(n 1, 2,) 当 x 0 时，幂级数
a (x 1)
n n 1
n x0
(1) n an （交错级数）
n r ( A* ) 4 1 3 .故 A* x 0 的基础解系中有 3 个线性无关的解，可见选项（A）（B）均错误.
再由 A* A A E ，知 A 的列向量全是 A* x 0 的解，而秩 r ( A) 3 ，故 A 的列向量中必有 3 个线 性无关.
1 1 0 0 最后，因向量(1, 0,1, 0)T 是 Ax 0 的解，故 A (, , , ) 0 ，即 1 0 ，说 1 2 3 3 4 1 1 0 0
3, 0 是拐点，因此选（C）.
(2) 设数列an单调减少，lim a n 0 ，S n
n
a k (n 1, 2,) 无界，则幂级数 an (x 1)
k 1 n 1
n
n
的收敛域为 ( (A) (1,1]
) (B) [1,1) (C) [0, 2) (D) (0, 2]
2011年考研数学(一)真题(含答案解析)
11 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 20 2011 一、选择题 1.曲线 y = ( x − 1)( x − 2) 2 ( x − 3) 2 ( x − 4) 2 拐点 A（1，0） B（2，0） C（3，0） D（4，0）
n k =1 n k =1
2 设数列 {an }单调递减， lim an = 0, S n =
an = 1 + 1 / 2 + … +
′′ ( x, y )dxdy = ∫ xdx ∫ yf xy ′′ ( x, y )dy I = ∫∫ xyf xy
0 0
1
1
D
∫
19.解：
1
0
′′ ( x, y )dy = ∫ ydf x′( x, y ) = y f xy ′ ( x, y ) 1 ′ yf xy 0 − ∫ f x ( x, y ) dy ,
∫
π 4
0
4 4 ln sin xdx , J = ∫ ln cot xdx , K = ∫ ln cos xdx 则I、J、K的大小关系是
π
π
0
0
A I<J<K B I<K<J C J<I<K D K<J<I 5.设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B，再交换 B 的第二行与第一行得单
显然 g ( 0 ) = 0 , 因为 g ′( t ) = 2 t arctan t > 0 , 所以 g ( t ) > g ( 0 ) = 0 (当 t > 0 ),
k −1 −
k − 1 > 0 , 极小值 − k arctan k − 1 > 0,
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2020年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]当x→0+时，下列无穷小量中是最高阶的是( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：A项，2 [单选题]设函数f(x)在区间(-1，1)内有定义，且，则( )A.B.C.D.正确答案：C参考解析：若f(x)在x=0处可导，则在x=0处连续，且f(0)=3 [单选题]设函数f(x，y)在点(0，0)处可微f(0，0)=0，且非零向量d与n垂直，则( )．A.B.C.D.正确答案：A参考解析：∵f(x，y)在(0，0)处可微f(0，0)=0，4 [单选题]设R为幂级数的收敛半径，r是实数，则( )．A.B.C.D.正确答案：A参考解析：由阿贝尔定理知，当收敛,5 [单选题]若矩阵A经初等列变换化成B，则( )．A.存在矩阵P，使得PA=BB.存在矩阵P，使得BP=AC.存在矩阵P，使得PB=AD.方程组Ax=0与Bx=0同解正确答案：B参考解析：∵矩阵A经初等列变换化成B，∴存在可逆矩阵P1，使得AP1=B，∴A=B，令P=∴A=BP，故选B项．6 [单选题]已知直线相交于一点，法向量，则( )．A.可由，线性表示B.可由，线性表示C.可由，线性表示D.，，线性无关正确答案：C参考解析：7 [单选题]设A，B，C为三个随机事件，P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=O,P(AC)=P(BC)=1，则A，B，C中恰有一个事件发生的概率为( )．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：8 [单选题]设X1，X2，…，X n为来自总体X的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=，(x)表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得的近似值为( )．A.1-(1)B.(1)C.1-(0．2)D.(0．2)正确答案：B参考解析：9 [填空题]参考解析：-1【解析】10 [填空题]参考解析：【解析】11 [填空题]若函数f(x)满足f”(x)+af’(x)+f(x)=0(a>0)，且f(0)=m，f'(0)=n，则参考解析：n+am【解析】特征方程为λ2+aλ+1=0(a>0)，设特征根为λ1，λ2，则λ1+λ2=-a，λ1λ2=1，特征辛艮λ1<0，λ2<0．12 [填空题]参考解析：4e【解析】13 [填空题]参考解析：a4-4a2 【解析】14 [填空题]设X服从区间(-)上的均匀分布，Y=sinX，则Cov(X，Y)=——．参考解析：【解析】15 [简答题]求函数f(x，y)=x3+8y3-xy的极值．参考解析：求一阶导数可得16 [简答题]计算曲线积分，其中L是x2+y2=2，方向为逆时针方向．参考解析：17 [简答题]设数列{a n}满足a1=1，(n+1)a n+1=(n+)an，证明：当|x|<1时，幂级数收敛，并求其和函数．参考解析：由(n+1)a n+1=(n+)a n，a1=1知a n>0，18 [简答题]设∑为曲面z=(1≤x2+y2≤4)的下侧,f(x)是连续函数，计算I=参考解析：19 [简答题]设函数f(x)在区间[0，2]上具有连续导数f(0)=f(2)=0，M=max{|f(x)|}，x∈[0，2]，证明：(Ⅰ)存在ξ∈(0，2)，使得|f'(ξ)|≥M；(Ⅱ)若对任意的x∈(0，2)，|f’(x)|≤M，则M=0．参考解析：(Ⅰ)由M=max{|f(x)|}，x[0，2]知存在c∈(0，2)，使|f(c)|=M.若c∈(0，1]，由拉格朗日中值定理得至少存在一点∈(0，c)，使(Ⅱ)若M>0，则c≠0，2．由f(0)=f(2)=0及罗尔定理知存在∈(0，2)，使f’()=0．当／∈(0，c]时，于是2M<Mc+M(2-c)|=2M矛盾，故M=0．20 [简答题]设二次型f(x1，x2)=经正交变换化为二次型g(y1，y2)=，其中a≥b．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求正交矩阵Q．参考解析：(I)由题意可知Q T AQ=Q-1AQ=B，∴A相似于B，a≥b．∴a=4．b=1．(Ⅱ)∴A的特征值为0，5．当λ=0时，解(OE—A)x=0得基础解为当λ=5时，解(5E—A)x=0得基础解为又B的特征值也为0，5，当λ=0时，解(0E-B)x=0得当λ=5时，解(5E-B)x=0得对，单位化，得21 [简答题]设A为二阶矩阵，P=(，A)，其中是非零向量且不是A的特征向量．(I)证明P为可逆矩阵；(Ⅱ)若A2+A-6=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．参考解析：(I)因为≠0且不是A的特征向量，所以A≠，故与A线性无关，则r(，A)=2，则P可逆．(11)解法一因为A2+A-6=0，即A2=-A+6，解得=-3，2，所以A的特征值为-3，2．于是A可相似对角化．解法二P-1AP同解法一．由A2+A-6=0，得(A2+A-6E)=0，即(A+3E)(A-2E)=0，由≠0得(A2+A-6E)x=0有非零解，故|(A+3E)(A-2E)|=0，得|A+3E|=0或|A-2E|=0．若|A+3E|≠0，则(A一2E)=0，故A=2与题意矛盾，故|A+3E|=0，同理可得|A-2E|=0．于是A的特征值为-3，2，A有2个不同特征值，故A可相似对角化．22 [简答题]设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1与X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为P{X3=0}=P{X3=1}=，Y=X3X1+(1-X3)X2．(Ⅰ)求二维随机变量(X1，Y)的分布函数，结果用标准正态分布函数(x)表示；(Ⅱ)证明随机变量Y服从标准正态分布．参考解析：(I)F(x，y)=P{x，≤x，Y≤y}若x>y，则P{X1≤x，X1≤y|X3=1}=P{X1≤y}=(y)，23 [简答题]设某种元件的使用寿命T的分布函数为其中0，m为参数且大于零．(Ⅰ)求概率P{T>t}与P{T>s+t|T>s}，其中s>0，t>0；(Ⅱ)任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1，t2，…，t n，若m已知，求的最大似然估计值．参考解析：。
2011年考研数学一试卷真题与答案解析
2011 年考研数一真题及答案解析一、选择题1、曲线y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4的拐点是（）（A）（ 1， 0）（ B）（ 2， 0）（ C）（ 3， 0）（ D）（4， 0）【答案】 C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由 y x 1 x 2 2x 3 3 x 4 4可知 1,2,3,4 分别是y x 12x34 x 23x 40的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知y (1) 0， y (2)y (3)y (4)0y (2)0， y (3)y (4)0， y(3) 0, y(4) 0 ，故（3，0）是一拐点。
n n2、设数列a n单调减少， lim a n0 ，S n a k n1,2a n x 1无界，则幂级数的收敛域n k 1n1为（）（ A） (-1， 1]（B） [-1 ， 1)（ C） [0，2)（ D） (0， 2]【答案】 C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
n n1；【解析】 S n a k n1,2a n x 1无界，说明幂级数的收敛半径 Rk 1n 1a n单调减少，lim a n0a n1n a n x1n1。
，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径 R n n 1n1a n x n的收敛半径 R10,2。
又由于 x0时幂级数收敛， x 2 时因此，幂级数1，收敛区间为n 1幂级数发散。
可知收敛域为0,2。
3、设函数f (x)具有二阶连续导数，且 f ( x)0 ， f (0)0 ，则函数 z f (x) ln f ( y)在点 (0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A） f (0)1， f (0)0(B) f (0)1， f(0)0(C) f (0)1， f ( 0)0(D) f (0)1， f(0)0【答案】 C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
2011考研数学一真题及答案)
2011考研数学一真题试卷一选择题1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 CA （1，0）B （2，0）C （3，0）D （4，0）2设数列{}n a 单调递减，∑=∞→⋯===nk k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-nk nk x a 1)1(的收敛域CA(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2]3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 AA 0)0(,1)0(>''>f fB 0)0(,1)0(<''>f fC 0)0(,1)0(>''<f fD 0)0(,1)0(<''<f f4.设⎰⎰⎰===444000cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IBA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I5.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。
记,010100001,010********⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P P 则A=DA 21P PB 211P P -C 12P PD 112P P -6.设),,,(4321αααα=A 是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若T )0,1,0,1(是方程组0=Ax 的一个基础解系，则0*=x A 的基础解系可为 D A 31,αα B 21,αα C 321,,ααα D 432,,ααα7.设)(),(21x F x F 为两个分布函数，其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数，则必为概率密度的是 DA )()(21x f x fB )()(222x F x fC )()(21x F x fD )()()()(1221x F x f x F x f +8.设随机变量X 与Y 相互独立，且EX 与EY 存在，记U=max{x,y},V={x,y},则E(UV)= B A EUEV B EXEY C EUEY D EXEV 二填空题9.曲线)40(tan 0⎰≤≤=xx tdt y π的弧长s= __)21ln(+_____10.微分方程x e y y x c o s -=+'满足条件y(0)=0的解为y=___x e y x sin -=_________ 11.设函数⎰+=xydt tty x F 021sin ),(，则__________22=∂∂=x x F 4 12.设L 是柱面方程为122=+y x 与平面z=x+y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分⎰=++___________22dz y xdy xzdx π13.若二次曲面的方程为42223222=+++++yz xz axy z y x ，经正交变换化为442121=+z y ，则=a _______1________ 三解答题15求极限110))1ln((lim -→+x e x xx 原式=21111)1()1ln(lim)1ln(1)1ln(021]))1ln((1[lim e eexxx x x e x x x xxx e x x x x x x x ===-++-+--+-+-+→→-16设))(,(x yg xy f z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求1,12==∂∂∂y x yx z解由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以0)1(='g)1,1()1,1()1,1()](,()()(,([)](,[)()](,[)](,[1211212111221f f f yx zx yg xy f x g x yg xy f x y x yg xy f yx zx g y x yg xy f y x yg xy f x zx ''+''+'=∂∂∂''+''+'=∂∂∂''+'=∂∂17求方程0arctan =-x x k 不同实根的个数，其中k 为参数。
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dt
，则
2F x2
x0
．
y2
(12) 设 L 是柱面方程 x2 y2 1与平面 z x y 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去
为逆时针方向，则曲线积分 xzdx xdy y2 dz
L
2
．
(13) 若二次曲面的方程 x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 4 ，经过正交变换化为
2 (1, 2, 3)T ， 3 (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(21)(本题满分 11 分)
1 1 1 1
A
为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即
r
A
2
，且
0 1
0 1
0 1
0 1
．
(I) 求 A 的特征值与特征向量；
f (x, y)dxdy a ，其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，
D
计算二重积分 I
xy
f
'' xy
(
x,
y)dxdy
．
D
(20)(本题满分 11 分)
设向量组1 (1, 0,1)T ，2 (0,1,1)T ，3 (1, 3, 5)T ，不能由向量组 1 (1,1,1)T ，
(7) 设 F1(x) ， F2 (x) 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1(x) ， f2 (x) 是连续函数，
则必为概率密度的是( )
(A) f1(x) f2 (x) ．
(B) 2 f2 (x)F1(x) ．
(C) f1(x)F2 (x) ．
(D) f1(x)F2 (x) f2 (x)F1(x) ．
(B) P11P2 ．
(C) P2P1 ．
(D) P2 P11 ．
(6) 设 A (1,2,3,4 ) 是 4 阶矩阵， A* 为 A 的伴随矩阵，若 (1, 0,1, 0)T 是方程组
Ax 0 的一个基础解系，则 A*x 0 的基础解系可为( )
(A) 1,3 ．
(B) 1,2 ．
(C) 1,2 ,3 ． (D) 2 ,3,4 ．
(8) 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 E( X ) 与 E(Y ) 存在，记 U maxX ,Y ，
V minX ,Y 则 E(UV ) ( )
(A) E(U ) E(V ) ．
(B) E( X ) E(Y ) ．
(C) E(U ) E(Y ) ．
(D) E( X ) E(V ) ．
(C) f (0) 1， f (0) 0 ．
(D) f (0) 1， f (0) 0 ．
(4) 设 I 4 ln sin x dx ， J 4 ln cot x dx ， K 4 ln cos x dx ，则 I , J , K 的大
0
0
0
小关系是( )
(A) I J K ．
2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上（如需更多或者 Word 版 请进斜杠否的知识店铺）．
(1) 曲线 y (x 1)(x 2)2(x 3)3(x 4)4 的拐点是( )
(D) (0, 2] ．
(3) 设 函 数 f (x) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且 f (x) 0 ， f (0) 0 ， 则 函 数
z f (x) ln f ( y) 在点 (0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是( )
(A) f (0) 1， f (0) 0 ．
(B) f (0) 1， f (0) 0 ．
y12 4z12 4 ，则 a
．
(14) 设 二 维 随 机 变 量 X ,Y 服 从 正 态 分 布 N , ; 2 , 2; 0 ， 则
E XY 2=
．
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定的位置上．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
(15)(本题满分 10 分)
(II) 求矩阵 A ．
(22)(本题满分 11 分)
设随机变量 X 与 Y 的概率分布分别为 X0 1 P 1/3 2/3
求极限
lim(
ln(1
x)
)
1 ex 1
．
x0
x
(16)(本题满分 9 分)
设函数 z f (xy, yg(x)) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，函数 g(x) 可导且在 x 1 处取得极值 g(1) 1，求 2 z ．
xy x1 y 1
(17)(本题满分 10 分)
求方程 k arctan x x 0 不同实根的个数，其中 k 为参数．
(B) I K J ．
(C) J I K ．
(D) K J I ．
(5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
1
1
0
，
P2
0
0
1
，则
A
(
)
0 0 1
0 1 0
(A) P1P2 ．
(A) (1, 0) ．
(B) (2, 0) ．
(C) (3, 0) ．
(D) (4, 0) ．
n
(2) 设数列
an
单调减少，
lim
n
an
0 ， Sn
ak
k 1
(n
1, 2,)
无界，则幂级数
an (x 1)n 的收敛域为( )
n1
(A) (1,1] ．
(B) [1,1) ．
(C) [0, 2) ．
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
(9) 曲线 y x tan tdt(0 x ) 的弧长 s
0
4
．
(10) 微分方程 y y ex cos x 满足条件 y(0) 0 的解为 y
．
(11)
设函数 F (x, y)
xy sin t 0 1t2
(18)(本题满分 10 分)
(Ⅰ)证明：对任意的正整数 n，都有 1 ln(1 1 ) 1 成立．
n 1
nn
(Ⅱ)设
an
1
1 2
1 n
ln
n(n
1, 2,) ，证明数列an 收敛．
(19)(本题满分 11 分)
已 知 函 数 f (x, y) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且 f (1, y) 0 ， f (x,1) 0 ，