近三年高考数学全国卷椭圆真题

近三年高考数学全国卷椭圆真题

2020全国理科一

.已知A 、

B 分别为椭圆E ：2

221x y a

+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.

2020全国二

已知椭圆C 1：22

221x y a b

+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，

C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，

D 两点，且|CD |=4

3

|AB |． （1）求C 1的离心率；

（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．

2019江苏

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为F 1（–1、0），

F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于

点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．

已知DF 1=

5

2

． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．

2018全国

设椭圆C ：

+y²=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，

点M 的坐标为（2，0）.

（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；

（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠OMB .

2020全国

由椭圆方程2

22:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G

∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =

∴椭圆方程为：2

219

x y +=

（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00

363y y x -=

+--，即：()039

y y x =+

联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2

2019

39x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩

，整理得：

()2

2

2

2

000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或2020

327

9y x y -+=+

将20203279y x y -+=+代入直线()0

39y y x =+可得：020

69y y y =+

所以点C 的坐标为2002

2003276,99y y y y ⎛⎫

-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002

200332,11y y y y ⎛⎫

-- ⎪++⎝⎭

∴直线CD 的方程为：0

022200002222000022

006291233327331191

y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛

⎫⎛⎫--⎝⎭-=-

⎪ ⎪-+-++⎝

⎭⎝⎭

-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫

--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝

⎭⎝⎭

整理得：()

()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛

⎫=

+=- ⎪---⎝⎭

故直线CD 过定点3,02⎛⎫

⎪⎝⎭

2019江苏

（1）设椭圆C 的焦距为2c .

因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.

又因为DF 1=5

2，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=

222211253()222DF F F -=-=

， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.

因此，椭圆C 的标准方程为22

143x y +=.

（2）解法一：

由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，

因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.

将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.

由

22()22

116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或

11

5x =-

.

将

115x =-

代入22y x =+，得 12

5y =-

，

因此

1112(,)55B -

-.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.

由22

1433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或

137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.

将1x =-代入3(1)4y x =

-，得

32y =-.因此3

(1,)2E --. 解法二：

由（1）知，椭圆C ：22

143x y +=.如图，连结EF 1.

因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .

因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.

因为F 1(-1，0)，由221431

x x y ⎧⎪⎨+==-⎪

⎩，得

3

2y =±. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以

3

2y =-

.

因此

3

(1,)

2E --.