第3章机器人系统控制理论基础(1)。

f
x x0
，并省略高阶项
fh (x)
，
那么可将系统线性化为：
x Ax
第3章 机器人系统控制理论基础
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Lyapunov稳定性理论
类似地，对于非线性系统
x f (x,u)
当 x 0,u 0 时，f (0, 0) 0 ，那么也可以得到
类似的线性化系统
x


f x
解：令 x (x1 ,x2 ) ( , ), 则可以得到系统的状
态方程 x1 x2
bc x2 a x2 a sin x1
第3章 机器人系统控制理论基础
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基本概念
根据平衡点定义，令
x2 0

b a
x2

c a
sin
x1

0
即可求得平衡点为 (k,0), k 0, 1,
（1）如果线性化的系统是严格稳定的（即A的所有特 征值都严格位于复平面的左侧），那么原非线性系统 的平衡点是渐近稳定的； （2）如果线性化的系统是不稳定的（即A的所有特征 值至少有一个位于复平面的右侧），那么原非线性系 统的平衡点是不稳定的；
第3章 机器人系统控制理论基础
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Lyapunov稳定性理论
定义7：正定函数
第3章 机器人系统控制理论基础
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Lyapunov稳定性理论
Lyapunov 稳定性理论是19世纪俄国数学家 Lyapunov 引入系统稳定性分析的，现在已成为 非线性系统设计与分析的基本方法。
Lyapunov 稳定性理论包括两种基本方法： 即 Lyapunov 线性化方法和 Lyapunov 直接方法。
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基本概念
定义1：非线性系统
通常指可用如下一组微分方程描述的动力学系统
x f (x,t)
（1）
其中 f 为n×1维的非线性矢量函数，x 为n×1维的
状态变量，n称为系统的阶。
定义2：时不变系统和时变系统
如果非线性系统（1）中的函数 f 不显含时间t，
那么这一类非线性系统被称为时不变系统，表示为
（2）
x f (x)
否则的话称为时变系统。
第3章 机器人系统控制理论基础
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基本概念
定义3：平衡点 非线性系统 x f (x,t) 的平衡点是指，使 f (x,t) 0
成立的方程的解。 例1：求下面非线性系统的平衡点。
a b c sin 0 a 0,b 0,c 0
（3）如果线性化的系统是条件稳定的（即A的所有特征 值都基本位于复平面的左侧，且至少有一个平衡点位于 虚轴上），那么我们不能获得关于原非线性系统的平衡 点是否稳定的任何结论。
例2：分析系统 x ax bx3 在平衡点 x 0 的稳
定性。
解：根据 Lyapunov 线性化方法可求原系统在原
x0
(1 x1 cos x2 ) x0
1
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Lyapunov稳定性理论
根据 Lyapunov 线性化方法可知，所求系统在
原点的线性化方程用矩阵形式表示为
x

1 1
0 1
x


x1
x1
x2

定理1：Lyapunov 线性化方法

x0,u
0
x


f u

x
0,u
0
u

fh (x,u)
即
x Ax Bu
第3章 机器人系统控制理论基础
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Lyapunov稳定性理论
例1：求下面非线性系统在原点的线性化方程。
x1 x22 x1 cos x2

x2 x2 x12 x1 x1 sin x2
第3章 机器人系统控制理论基础
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基本概念
定义5：渐近稳定性
对于一个稳定的平衡点，如果存在 r 0 ，使 得对于任意的 x(0) r ，当 t 时，x(t) 0
成立，则称这样的平衡点具有渐近稳定性。
定义6：全局稳定性
如果对于任意的初始状态，上述的渐近稳定性仍然 成立，那么，这样的平衡点就被称为是全局渐近稳定的。
Lyapunov 直接方法源于对客观物理世界的观察。 如果某个物理系统的能量函数是耗散的，那么不管该 系统是线性的还是非线性的，其最终都将稳定在某一 个平衡点上。Lyapunov直接方法是通过构造标量“能 量”函数来直接研究系统的稳定性问题。
第3章 机器人系统控制理论基础
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Lyapunov稳定性理论
基于机器人的算法设计
Algorithm design based on Robot
授课教师：温秀平
Algorithm design based on Robot
1
第3章 机器人系统控制理论基础
第3章 机器人系统控制理论基础
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主要内容
基本概念 Lyapunov稳定性理论
第3章 机器人系统控制理论基础
解：令
f1 x22 x1 cos x2
f2 x2 x12 x1 x1 sin x2
可求得
f1 x1
x0

cos
x2
x0
1,
f1 x2
x0
(2x2
x1 sin x2 ) x0
0
f2 x1
x0

(2 x1
1 sin
x2 )
x0
1,
f2 x2
定义4：稳定性
对于任意的 R 0 ，存在 r 0 和 t 0 ，如 果 x(0) r ，总能使得 x(t) R 成立，那么 平衡点 x 0 ，就被称为稳定的。否则，该平衡点
不稳定。
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基本概念
稳定性的三种情况：
曲线1：渐近稳定性； 曲线2：条件稳定性： 曲线3：不稳定。
点的线性化方程 x ax ，根据定理1，我们可知：
（1）a 0 ，原系统在该平衡点渐近稳定；
（2）a 0 ，原系统在该平衡点不稳定；
（3） a 0 ，不能得到原系统在该平衡点稳定与
否的任何结论。
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Lyapunov稳定性理论
二、Lyapunov直接方法
第3章 机器人系统控制理论基础
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Lyapunov稳定性理论
一、Lyapunov线性化方法
考虑如下式所示的时不变非线性系统：
x f (x)
假设 f (x) 可微，当 x 来自 时， f (0) 0 ，那么
系统的方程可表示为
x


f x
x 0
x
fh (x)
若用常数矩阵A表示