2010_第四章_非线性系统的Kalman滤波
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4.1 扩展的卡尔曼滤波方程
前面讲的Kalman滤波要求系统状态方程和观测方程都是线性的。然而，许多工程系统往往不能用简单的线性系统来描述。例如，导弹控制问题，测轨问题和惯性导航问题的系统状态方程往往不是线性的。因此，有必要研究非线性滤波问题。对于非线性模型的滤波问题，理论上还没有严格的滤波公式。一般情况下，都是将非线性方程线性化，而后，利用线性系统Kalman滤波基本方程。这一节我们就给出非线性系统的Kalman滤波问题的处理方法。
为了方便描述，下面仅限于讨论下列情况的非线性模型
k
k
x
k
k
=
k
+(3.2.8.1)
Φ
+
Γ
x+
x
),1
(
]
)
w
[
(
)
(k
(
)1
),
(
k
k
v
=
+k
k
+
z(3.2.8.2)
h
x
),1
]1
(
)1
(
[
+
(+
)1
+
式中，1)(⨯∈n R k x 是状态向量，1)(⨯∈m R k z 是观测向量，
)(k w 和)(k v 是噪声；1⨯∈Φn R 是k k x ),(的非线性函数，具有一阶连续导数；1⨯∈m R h 是1),1(++k k x 的非线性函数，具有一阶连续导数。)(k w 和)(k v 都是均值为零的白噪声序列，其统计特性如下
{}{}0)(,0)(==k v E k w E ，{}kj T k Q j w k w E δ)()()(=，{}
kj T k R j v k v E δ)()()(=
另外，已知初始条件，即)0(x 的统计特性。
下面仅介绍推广的Kalman 滤波方法，即围绕滤波值)|(ˆk k x
的线性化滤波方法，这种方法是先将非线性模型线性化，而后应用线性系统的Kalman 滤波基本公式。 由系统状态方程(3.2.8.1)可得
)(]),|(ˆ[)]|(ˆ)([)),|(ˆ()1()|(ˆ)(k w k k k x k k x
k x x
k k k x
k x k k x
k x Γ+-∂Φ
∂+Φ≈+= (2.3.8.3)
),1()|(ˆ)(k k x
k k x
k x +Φ=∂Φ
∂= (2.3.8.4)
)()|(ˆ]),|(ˆ[)|(ˆ)(k f k k x
x
k k k x
k k x
k x =∂Φ
∂-Φ= (2.3.8.5) 则状态方程为
)()(]),|(ˆ[)(),1()1(k f k w k k k x
k x k k k x +Γ++Φ=+ (3.2.8.6) 初始值为{}000ˆm x E x
==。 同基本Kalman 滤波模型相比，在已知求得前一步滤波值)|(ˆk k x 的条件下，状态方
程(3.2.8.6)中增加了非随机的外作用项)(k f 。
把观测方程的][∙h 围绕)|1(ˆk k x
+进行泰勒展开，略去二次以上项，可得 )1()]|1(ˆ)1([]1),|1(ˆ[)1()|1(ˆ)1(+++-+∂∂+++=++=+k v k k x
k x x
h
k k k x
h k z k k x
k x (3.2.8.7) 令
)1()|1(ˆ)1(+=∂∂+=+k C x
h
k k x
k x
)1(]1),|1(ˆ[)|1(ˆ)|1(ˆ)1(+=++++∂∂-
+=+k y k k k x h k k x
x
h k k x
k x 则观测方程为
)1()1()1()1()1(++++++=+k v k y k x k C k z (3.2.8.8)
应用Kalman 滤波基本方程可得
)]|1(ˆ)1()1()1()[1()|1(ˆ)1|1(ˆk k x k C k y k z k K k k x k k x
++-+-++++=++ (3.2.8.9) 即
]}1),|1(ˆ[)1(){[1()|1(ˆ)1|1(ˆ++-++++=++k k k x h k z k K k k x k k x
(3.2.8.10) 式中
)()|(ˆ),1()|1(ˆk f k k x k k A k k x
++=+ (3.2.8.11) 即
]),|(ˆ[)|1(ˆk k k x k k x
Φ=+
1)]1()1()|1()1()[1()|1()1(-+++++++=+k R k C k k P k C k C k k P k K T T (3.2.8.12)
方程(3.2.8.13)称为估计误差方差阵的递推方程
),1()(),1(),1()|(),1()|1(k k k Q k k k k A k k P k k A k k P T T +Γ+Γ+++=+ (3.2.8.13)
)|1()]1()1([)1|1(k k P k C k K I k k P +++-=++ (3.2.8.14)
式中滤波值和滤波误差方差阵的初始值为
{}00)0(ˆm x E x
==， {}
T m x m x E P ])0(][)0([000--= (3.2.8.15) 推广的Kalman 滤波的优点是不必预先计算标称轨道。注意推广的Kalman 滤波只要
在滤波误差)|(ˆ)()|(~k k x k x k k x -=及一步预测误差)|1(ˆ)1()|1(~k k x
k x k k x +-+=+较小时才适用。