2010_第四章_非线性系统的Kalman滤波

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非线性卡尔曼滤波器

● UT变换的特点是对非线性函数的概率密度分布进行近似，而不是对非线性函数进行近似，即使系统模型复杂，也不增加算法实现的难度；而且所得到的非线性函数的统计量的准确性可以达到三阶；除此之外，它不需要计算雅可比矩阵，可以处理不可导非线性函数。
UKF计算步骤：
PF
PF
● 粒子滤波(PF: Particle Filter)的思想基于蒙特卡洛方法(Monte Carlo methods)，它是利用粒子集来表示概率，可以用在任何形式的状态空间模型上。其核心思想是通过从后验概率中抽取的随机状态粒子来表达其分布，是一种顺序重要性采样法(Sequential Importance Sampling)。简单来说，粒子滤波法是指通过寻找一组在状态空间传播的随机样本对概率密度函数进行近似，以样本均值代替积分运算，从而获得状态最小方差分布的过程。这里的样本即指粒子,当样本数量N→∝时可以逼近任何形式的概率密度分布。
EKF
首先围绕滤波值 xˆk 将非线性函数 f , g 展开Taylor级数并
略去二阶及以上项，得到一个近似的线性化模型，然后应用 Kalman滤波完成对其目标的滤波估计等处理。
1.对状态模型的一阶Taylor展示：
xk f
xˆk 1
f xˆk 1
xk 1 xˆk 1 k
令
f
F
xˆk 1
f1 f1
xˆ1
xˆ2
f xˆk 1
F
f2 xˆ1
f2 xˆ2
fn fn
xˆ1 xˆ2
f1
xˆn
f2 xˆn
fn
xˆn
g1 g1
xˆ1
xˆ2
g xˆk
H
g2 xˆ1
g2 xˆ2

扩展Kalman滤波(EKF)和无迹卡尔曼滤波(ukf)

UKF算法的核心是UT变换，UT是一种计算非线性变换中的随机变量的统计特征的新方法，是UKF的基础。
三、无迹卡尔曼滤波算法(UKF)
假设n维随机向量x : N(x, Px) ,x通过非线性函数y=f(x) 变换后得到n维的随机变量y。通过UT变换可以以较高的精度和较低的计算复杂度求得y的均值 y 和方差 Px 。UT的具体过程可描述如下:
三、无迹卡尔曼滤波算法(UKF)
UKF是用确定的采样来近似状态的后验PDF,可以有效解决由系统非线性的加剧而引起的滤波发散问题，但UKF仍是用高斯分布来逼近系统状态的后验概率密度，所以在系统状态的后验概率密度是非高斯的情况下，滤波结果将有极大的误差。
三、无迹卡尔曼滤波算法(UKF)
： Matlab程序

dax = 1.5; day = 1.5; % 系统噪声

X = zeros(len,4); X(1,:) = [0, 50, 500, 0]; % 状态模拟的初值

for k=2:len
x = X(k-1,1); vx = X(k-1,2); y = X(k-1,3); vy = X(k-1,4);

F(3,4) = 1;

F(4,4) = 2*ky*vy;

2) = 1;
二、扩展Kalman滤波(EKF)算法
function H = JacobianH(X) % 量测雅可比函数

x = X(1); y = X(3);

H = zeros(2,4);

r = sqrt(x^2+y^2);
二、扩展Kalman滤波(EKF)算法
EKF算法是一种近似方法，它将非线性模型在状态估计值附近作泰勒级数展开，并在一阶截断，用得到的一阶近似项作为原状态方程和测量方程近似表达形式，从而实现线性化同时假定线性化后的状态依然服从高斯分布，然后对线性化后的系统采用标准卡尔曼滤波获得状态估计。采用局部线性化技术，能得到问题局部最优解，但它能否收敛于全局最优解，取决于函数的非线性强度以及展开点的选择。

卡尔曼滤波_卡尔曼算法

卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。

它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。

在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。

卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。

卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。

通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。

卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。

在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。

在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。

卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。

此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。

尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。

因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。

通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。

本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。

希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。

首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。

扩展Kalman滤波(EKF)和无迹卡尔曼滤波(ukf)

Pkk_1 = Phikk_1*Pk_1*Phikk_1' + Qk;
Pxz = Pkk_1*Hk'; Pzz = Hk*Pxz + Rk;
Pxz*Pzz^-1;
Kk =
Xk = fXk_1 + Kk*Zk_hfX;
Pk = Pkk_1 - Kk*Pzz*Kk';
二、扩展Kalman滤波(EKF)算法
[Xk, Pk, Kk] = ekf(eye(4)+Ft*Ts, Qk, fX, Pk, Hk, Rk, Z(k,:)'-hfX);
X_est(k,:) = Xk';
Hale Waihona Puke end二、扩展Kalman滤波(EKF)算法
figure(1), plot(X_est(:,1),X_est(:,3), '+r')
EKF与UKF
一、背景
普通卡尔曼滤波是在线性高斯情况下利用最小均方误差准则获得目标的动态估计，适应于过程和测量都属于线性系统，且误差符合高斯分布的系统。但是实际上很多系统都存在一定的非线性，表现在过程方程（状态方程）是非线性的，或者观测与状态之间的关系（测量方程）是非线性的。这种情况下就不能使用一般的卡尔曼滤波了。解决的方法是将非线性关系进行线性近似，将其转化成线性问题。对于非线性问题线性化常用的两大途径：（1）将非线性环节线性化，对高阶项采用忽略或逼近措施；（EKF）（2）用采样方法近似非线性分布. ( UKF)
三、无迹卡尔曼滤波算法(UKF)
UKF是用确定的采样来近似状态的后验PDF,可以有效解决由系统非线性的加剧而引起的滤波发散问题，但UKF仍是用高斯分布来逼近系统状态的后验概率密度，所以在系统状态的后验概率密度是非高斯的情况下，滤波结果将有极大的误差。

Kalman滤波LMS算法RLS算法_清华大学《现代信号处理》讲义

线性状态模型、高斯噪声 v1 (n), v 2 (n)
Kalman 滤波问题 (一步预报：一步预报)：一步预报
无噪声的估计值: 已知含噪数据 y (1),L , y (n) ，求 y (i ) 无噪声的估计值
ˆ ⑴ i = n (滤波 )：已知 y (1),L , y ( n )，求 y ( n ) ˆ ⑵ i < n (平滑 )：已知 y (1),L , y ( n )，求 y (i )， i < n ˆ ⑶ i > n (预测)：已知 y (1), L , y ( n )，求 y (i )， i > n ˆ 一步预测：已知 y (1),L , y ( n )，求 y ( n＋1) ˆ 数学符号： y 1 ( n + 1) = y ( n + 1 | y (1),L , y ( n ) )
要求不同时间的输入信号向量 u ( n ) 线性独立 [因为瞬时梯度向量为 e* ( n )u ( n )]。
LMS 算法的均值收敛 µ ( n )的选择 LMS 算法的均方收敛
E {e( n )} = 0
均值收敛：均值收敛：
E {w ( n )} = w opt = R −1r
均方收敛：均方收敛： E w ( n ) − w opt
k (1, 0) = E { x 2 ( n )} = E { x 2 (1)} = P0
依次可以递推出 g (1), k (2,1); g (2), k (3, 2);L
4.4 LMS自适应算法 LMS自适应算法
LMS: Least Mean Squares
随机优化问题 Wiener 滤波器滤波器: 最陡下降法
新息方法：新息方法：新息 (innovation)

Kalman滤波原理及程序(指导手册)

Kalman 滤波原理及程序(手册)KF/EKF/UKF 原理+应用实例+MATLAB 程序本手册的研究内容主要有Kalman 滤波，扩展Kalman 滤波，无迹Kalman 滤波等，包括理论介绍和MATLAB 源程序两部分。

本手册所介绍的线性滤波器，主要是Kalman 滤波和α-β滤波，交互多模型Kalman 滤波，这些算法的应用领域主要有温度测量、自由落体，GPS 导航、石油地震勘探、视频图像中的目标检测和跟踪。

EKF 和UKF 主要在非线性领域有着重要的应用，目标跟踪是最主要的非线性领域应用之一，除了讲解目标跟踪外，还介绍了通用非线性系统的EKF 和UKF 滤波处理问题，相信读者可以通过学习本文通用的非线性系统，能快速掌握EKF 和UKF 滤波算法。

本文所涉及到的每一个应用实例，都包含原理介绍和程序代码（含详细的中文注释）。

一、四维目标跟踪Kalman 线性滤波例子在不考虑机动目标自身的动力因素，将匀速直线运动的船舶系统推广到四维，即状态[]T k yk y k xk x k X )()()()()( =包含水平方向的位置和速度和纵向的位置和速度。

则目标跟踪的系统方程可以用式（3.1）和（3.2）表示，)()()1(k u k X k X Γ+Φ=+（2-4-9）)()()(k v k HX k Z +=（2-4-10）其中，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Φ10001000010001T T ，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ΓT T TT 05.00005.022，TH ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00100001，Tyy x x X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x Z ，u ,v 为零均值的过程噪声和观测噪声。

T 为采样周期。

为了便于理解，将状态方程和观测方程具体化：)(05.00005.0)1()1()1()1(10001000010001)()()()(1222k w T TT T k y k y k x k x T Tk yk y k x k x ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ )()()()()(01000001)()(12k v k y k y k x k x k y k x Z ⨯+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 假定船舶在二维水平面上运动，初始位置为（-100m,200m ），水平运动速度为2m/s ，垂直方向的运动速度为20 m/s ，GPS 接收机的扫描周期为T=1s ，观测噪声的均值为0，方差为100。

一类非线性系统的新型扩展Kalman滤波器

（ｂ１）
于９Ｏ年代末在提出ｕＴ变换的基础上给出了ＵＫＦ
（ｎｃｎｅａｍａｉｅ）ｕｓｅｔｄＫｌｎｆｔｒ．虽然ＵＫＦ避免了线性ｌ
２０８１稿。２０ —１８收修改稿０５０ —２收０５１— ＊教育部科学技术研究重大项目资助（准号：１４０）批００７
系统是非线性的，在之后的１Ｏ多年时间中Ｂｃｕｙ等
致力于研究Ｋａｍａｌｎ滤波理论在非线性系统中的推
滤波器与ＥＫＦ的根本区别在于不需要进行线性化工作，也不像ＵＫＦ那样需要选择采样点并对其且进行递推运算．仿真结果表明本文提出的ＮＥＫＦ能够提供比ＥＫＦ更高的估计精度．
（）２
假定２＝ＨｋＦＥ，（）８
为实数域内适当维数的已知时变矩阵，ｆ（・） ” ：
Ｅｍａ；ｚ８ｍａｌ．ｓｇｕ．ｄ．Ｄ — ｉｄ９＠ｌｉｔｉｈａｅｕＣ．ｓｎ
维普资讯
自鞋科荸盈展．第１卷第６２０年６６期０６月
其中ｘ ∈ ” 状态，Ｙ ∈ 是测量输出，Ｗ ∈ 为为过程噪声， ∈ 。测量噪声，Ａ，Ｂ，是，Ｄ与满足Ｐ其中 ∈
得到的．仿真结果表明该滤波器是可行的，并能够提供比经典扩展Ｋｌａ波器更高的估计精度．ａｍｎ滤
关键词非线性系统状态估计Ｋ｜ａ滤波ａｎｍ

非线性系统的小波分频的扩展Kalman滤波

噪声均假设为白噪声，以此为基础而得到了一种滤波算法。但是，由小波塔形滤波形成的高频部分中，不仅存在加性噪声，还有有用信号的细节分量，显然此假设与实际不符，滤波效果并不理想。如何确定 “ 最
维普资讯
第３３卷第 Leabharlann 期２００６年６月
光电工程
ＯｐｏＥｅｔｎｃＥｇｎｅｉｇｔ — ｌｃｒｉｎｉｅｒｏｎ
Ｖｏ１３，．Ｎｏ．３６Ｊｎ，０ｕｅ２０６
文章编号：１０ — ０２０）６０６ — ５３５０６０ — ０８００１Ｘ（
非线性系统的小波分频的扩展Ｋａｎ滤波ｌｍａ
雷明，韩崇昭，元向辉，郭文艳
（西安交通大学电子与信息工程学院，陕西西安７０４）１０９
摘要：基于噪声的小波变换特点，结合量测的多尺度分解和扩展Ｋｌａ滤波（Ｋ）提出了一种ａｎｍＥＦ，
引言
在实际雷达目标跟踪中，回波量测序列往往不可避免地受到强噪声污染，这使得状态估计精度严重下降，因此有效去噪成为状态估计的关键步骤。例如，在高频雷达回波中由于高强度海杂波的存在，使得接收到的回波信号整体上呈现混沌特性¨ 。文献【提出基于小波变换，将各分解尺度上的小波系数和加性５］
小波 “ 最佳”尺度分解的分频ＥＦ滤波算法。该算法依据小波变换模功率谱选择最佳小波分解尺Ｋ
度，并将小波多尺度分解去噪和分频ＥＦ滤波结合起来。实际中含强噪声的非线性动态系统进Ｋ对行状态估计效果较好。ＭｏｔＣｒｎ —ａｏ仿真表明，与普通ＥＦ滤波相比，本文算法的滤波精度平均ｅｌＫ

kalman滤波器算法原理

卡尔曼滤波总结假设条件：系统的状态由图1所给出的模型决定。

假定),1(k k+Φ，),1(k k+Γ，)0(P 和)(k Q 是已知的，并且是确定性的。

而观测模型由图2给出，其中)1(+kH 和)(k R 也是已知的，并且是确定性的。

它们可以写为,1,0),(),1()(),1()1(=+Γ++Φ=+k k w k k k x k k k x 状态方程)1()1()1()1(++++=+k v k x k H k z 量测方程)1(+k w激励)1(+k图1 一个离散-时间线性系统的状态方程和输出方程的矢量结构图观测转移矩阵 )1(+k xv (k+1)矢量求和激励)1(+k观测矢量观测误差新状态矢量图2 观测模型的矢量结构图卡尔曼滤波算法：滤波估计由Kalman 所给出的最优线性滤波估计)1|1(ˆ++k k x是由下面的递归矩阵公式决定的，即,0)0|0(ˆ)]|(ˆ),1()1()1()[1()|(ˆ),1()1|1(≥=+Φ+-++++Φ=++k xk k xk k k H k z k K k k xk k k k x 初始条件这里)1(+kK 称为卡尔曼增益卡尔曼增益卡尔曼增益的表达式为,1,0,)]1()1()|1()1([)1()|1()1(1=+++++⨯++=+-k k R k H k k P k H k H k k P k K TT其中)|1(k kP +表示单步预测误差协方差矩阵。

单步预测误差协方差矩阵（单步性能）1,0)0()0|0(),1()(),1(),1()|(),1()|1(==+Γ+Γ++Φ+Φ=+k P P k k k Q k k k k k k P k k k k P TT，初始条件滤波误差的误差协方差矩阵（协方差递归形式）1,0),|1()]1()1([)1|1(=+++-=+k k k P k H k K I k k P ＋性能评价（系统状态的卡尔曼滤波估计的协方差矩阵）1,0],))1|1(ˆ)1(ˆ))(1|1(ˆ)1([()1|1(=++-+++-+=+k k k x k x k k xk x E k k P T＋11|11|----Γ+Φ=k k k k k k kW XXkkk k V XH Z +=式中：k X —— 是一个1⨯n 维矢量，称为k t 时刻的状态矢量。

Kalman滤波器的基本原理及仿真

Kalman 滤波器的基本原理及仿真摘要：Kalman 滤波是对线性最小均方误差滤波的另一种处理方法，实际是维纳滤波的一种递推算法。

它采用的递推算法利用了前一时刻的估计值和新的观测值，大大提高了处理的实时性，同时也能自动跟踪随机信号统计特性的非平稳变化，对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的，因此得到了广泛的应用。

Kalman 滤波的应用包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。

近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。

关键字：Kalman 滤波线性最小均方误差滤波估计值观测值一、Kalman 滤波器的提出Kalman 滤波器是源于匈牙利数学家Rudolf Emil Kalman 的博士论文和1960年发表的论文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems 》（线性滤波与预测问题的新方法）。

在信号处理，通信和现代控制系统中，需要对一个随机动态系统的状态进行估计，由一个测量装置对系统状态进行测量，通过记录的测量值对状态进行最优估计例如：对一个一阶AR 模型()(1)()x n ax n w n =-+ 的输出状态进行估计。

观测方程是 ()()()y n x n v n =+()v n 是测量引入的白噪声，通过各()y n 的值估计()x n 。

这类最优估计问题称为卡尔曼滤波。

二、Kalman 滤波器的基本思想利用观测数据对状态变量的预测估计进行修正，以得到状态变量的最优估计，即最优估计＝预测估计＋修正三、Kalman 滤波器的特点（1）算法是递推的，时域内设计滤波器，适用于多维随机过程的估计；（2）用递推法计算，不需要知道全部过去的值。

用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此，信号可以是平稳的，也可以是非平稳的；（3）误差准则仍为均方误差最小准则。

kalman滤波

9、Kalman 滤波直观推导Kalman 滤波实质是线性最小方差估计]X ~X ~[E min T k k随机线性离散系统方程为1k 1k ,k 1k 1k ,k k W X X ----Γ+Φ=k k k k V X H Z +=过程噪声和观测噪声的统计特性，假设满足如下条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=δ==δ==0]V W [E R ]V V [E ,0]V [E Q ]W W [E ,0]W [E T j k kj k Tj k k kj k T j k k 设k 时刻得到k 次观测值k 1Z Z ，且找到了1k X -的一个最优线性估计1k Xˆ-，即1k Xˆ-是1k 1Z Z - 的线性函数。

(1)k 时刻系统状态的预测估计值1k 1k ,k 1k ,k X ˆXˆ---Φ= (2)k 时刻系统观测值的预测估计值1k ,k k 1k ,k X ˆH Zˆ--= (3)获得k 时刻观测值k Z ，观测值与预测估计1k ,k Zˆ-之间误差 k1k ,k k 1k ,k k k k k 1k ,k k k 1K ,k k k V X ~H X ˆH V X H X ˆH Z ZˆZ Z ~+=-+=-=-=----造成误差的原因为预测估计1K ,k Zˆ-和观测值k Z 可能都存在误差。

(4)修正k 时刻状态的预测估计值，k K 为滤波增益矩阵)X ˆH Z (K X ˆXˆ1k ,k k k k 1k ,k k ---+= (5)获取k 时刻观测值k Z 前后对k X 的估计误差分别为1k ,k k 1k ,k XˆX X ~---= k k k XˆX X ~-= (6)根据最优滤波方差阵k P 求最优滤波增益矩阵k K 。

]X ~X ~[E P T k k k =k k 1k ,k k k k k 1k ,k k k 1k ,k 1k ,k k k k k k 1k ,k 1k ,k k k k 1k ,k k k V K X~]H K I [V K X ~H K X ~]X ˆH V X H [K X ~]X ˆH Z [K XˆX X~--=--=-+-=---=-------注：0]X ~V [E ,0]V X ~[E T 1k ,k k Tk 1K ,k ==--T kk k T k k 1k ,k k k T kTk k k T k k T 1k ,k 1k ,k k k T k T k k k T k k T 1k ,k k k T kTk 1k ,k k k T k k T 1k ,k 1k ,k k k T k k k TkT k k k T k k T 1k ,k k k T k T k 1k ,k k k T k k T 1k ,k 1k ,k k k T k k 1k ,k k k k k 1k ,k k k T k k K R K ]H K I [P ]H K I [K ]V V [E K ]H K I ][X ~X ~[E ]H K I [K ]V V [E K ]H K I ][X ~V [E K K ]V X ~[E ]H K I []H K I ][X ~X ~[E ]H K I []X ~X ~[E P K V V K ]H K I [X ~V K K V X ~]H K I []H K I [X ~X ~]H K I [}V K X ~]H K I }{[V K X ~]H K I {[X ~X ~+--=+--=+------==+------=----=-------------求最优增益k K 。

kalman滤波原理

kalman滤波原理Kalman滤波是一种用于估计系统状态的算法，广泛应用于信号处理、导航和控制领域。

它的原理基于贝叶斯定理和线性系统的动态模型。

本文将为您详细介绍Kalman滤波的原理和它的应用。

一、贝叶斯定理贝叶斯定理是一种基于先验概率和观测数据来更新我们对事件发生概率的方法。

在Kalman滤波中，我们使用贝叶斯定理来更新对系统状态的估计。

贝叶斯定理公式如下：P(A B) = (P(B A) * P(A)) / P(B)其中，P(A B)表示已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B A)表示已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

二、线性系统模型Kalman滤波的原理基于线性系统模型，即系统的状态转移和观测模型都是线性的。

线性系统模型可以用下面的方程表示：状态转移模型：x(k) = F(k-1) * x(k-1) + B(k-1) * u(k-1) + w(k-1)观测模型：z(k) = H(k) * x(k) + v(k)其中，x(k)表示系统在时刻k的状态向量，u(k)表示控制输入向量，z(k)表示时刻k的观测向量，F(k-1)和H(k)分别表示状态转移矩阵和观测矩阵，B(k-1)表示控制输入矩阵，w(k-1)和v(k)分别表示状态转移和观测噪声。

三、Kalman滤波的步骤Kalman滤波的基本步骤包括两个阶段：预测和更新。

在预测阶段，根据系统的状态转移模型和控制输入，我们通过预测当前状态的概率分布。

在更新阶段，我们根据观测数据对状态进行修正。

1. 初始化阶段：首先，我们对系统的状态变量进行初始化，即设置初始状态向量x(0)和初始状态协方差矩阵P(0)。

2. 预测阶段：a. 状态预测：根据状态转移模型，我们通过计算状态的预测值x'(k) = F(k-1) * x(k-1) + B(k-1) * u(k-1)来估计状态。

b. 协方差预测：根据状态转移模型和状态协方差矩阵，我们计算协方差矩阵的预测值P'(k) = F(k-1) * P(k-1) * F(k-1)^T + Q(k-1)。

卡尔曼(Kalman)滤波

第4章卡尔曼（Kalman ）滤波卡尔曼滤波的思想是把动态系统表示成状态空间形式，是一种连续修正系统的线性投影算法。

功能 1）连续修正系统的线性投影算法。

2）用于计算高斯ARMA 过程的精确有限样本预测和精确的似然函数。

3）分解矩阵自协方差生成函数或谱密度。

4）估计系数随时间变化的向量自回归。

第一节动态系统的状态空间表示一．假设条件令t y 表示时期t 观察到变量的一个()1n ×向量。

则t y 的动态可以用不可观测的()1r ×向量t ξ来表示，t ξ为状态向量。

t y 的动态系统可以表示为如下的状态空间模型：11t t t F v ξξ++=+ （1）t t t t y A x H w ξ′′=++ （2）其中′′F,A ,H 分别为()r r ×，()n k ×和()n r ×矩阵，t x 是外生变量或前定变量的()1k ×向量。

方程（1）称为状态方程，方程（2）称为观察方程。

其中()1r ×向量t v 和()1n ×向量t w 为向量白噪声：()()00t t Qt E v v t R t E w w t ττττττ=⎧′=⎨≠⎩=⎧′=⎨≠⎩ （3）其中,Q R 为()(),r r n n ××矩阵。

假定扰动项t v 和t w 在所有阶滞后都不相关：()0t t E v w ′= 对所有的t 和τ （4）t x 为前定或外生变量，意味着对0,1,2,....,s =除包含在121,,...,t t y y y −−之内的信息外，t x 不再能提供关于t s ξ+以及t s w +的任何信息。

即t x 可能包含y 的滞后值或所有与τ、τξ和w τ不相关变量。

状态空间系统描述有限观察值序列{}1,...,T y y ，需要知道状态向量的初始值1ξ，根据状态方程（1），t ξ可写作()123,,,...,t v v v ξ的线性函数： 2211221....t t t t t t v Fv F v F v F ξξ−−−−=+++++ 2,3,...,t T = （5）这里假定1ξ与t v 和t w 的任何实现都不相关：()()1101,2,...,01,2,...,t t E v TE w Tξτξτ′==′== （6）根据（3）和（6），得t v 和ξ的滞后值不相关：()0t E v τξ′= 1,2,...,1t t τ=−− （7） ()0t E w τξ′= 1,2,...,T τ= （8） ()()()0t t E w y E w A x H w ττττξ′′′=++= 1,2,...,1t t τ=−− （9） ()0t E v y τ′= 1,2,...,1t t τ=−− （10）二．状态空间系统的例子例1 ()AR p 过程，()()()112111...t t t p t p t y y y y µφµφµφµε+−−++−=−+−++−+ （11）()2t t E t τστεετ⎧==⎨≠⎩ （12）可以写作状态空间形式。

无迹卡尔曼滤波简单理解

无迹卡尔曼滤波简单理解
无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，简称UKF）是一种高效可靠的滤波算法，它基于卡尔曼滤波（Kalman Filter，简称KF）的基础上，通过采用一种新的状态估计方法，能够更好地处理非线性系统。

下面分步骤进行简单介绍：
1. 卡尔曼滤波介绍
卡尔曼滤波是一种线性系统状态估计方法，它能够通过对系统的测量和模型的状态估计，推断出系统真实的状态。

卡尔曼滤波有一个重要的前提条件，即系统必须满足高斯分布和线性性质。

2. 无迹变换介绍
无迹变换是UKF算法的核心，它通过一种非线性变换的方式，将原始高斯分布的均值和协方差矩阵映射到一组新的高斯分布的均值和协方差矩阵。

这样就可以将非线性系统中的状态估计问题转化为线性系统中的状态估计问题。

3. 无迹卡尔曼滤波原理
无迹卡尔曼滤波的原理是将卡尔曼滤波的预测和更新过程中的均值和协方差矩阵进行无迹变换，并根据新的变换后的均值和协方差矩阵对系统状态进行估计。

无迹卡尔曼滤波中关键的一步是通过一组特殊的采样点来近似非线性系统的状态分布。

4. 无迹卡尔曼滤波优点
相比于普通的卡尔曼滤波，无迹卡尔曼滤波具有以下优点：
（1）适用于非线性系统，效果更好；
（2）算法的稳定性更好；
（3）计算复杂度较低。

总的来说，无迹卡尔曼滤波算法是一种高效可靠的滤波算法，能够很好地解决非线性系统状态估计问题，因此在实际的工程应用中有着广泛的应用前景。

卡尔曼滤波器分类及基本公式

卡尔曼滤波器分类及基本公式根据其应用领域和实现方式，卡尔曼滤波器可以分为线性卡尔曼滤波器、扩展卡尔曼滤波器和无迹卡尔曼滤波器等。

1. 线性卡尔曼滤波器（Linear Kalman Filter）：线性卡尔曼滤波器适用于状态变量和观测变量均为线性的情况。

它基于线性动态系统和高斯噪声的假设。

线性卡尔曼滤波器的基本公式为：预测步骤：$\hat{x}_{k，k-1} = F\hat{x}_{k-1，k-1} + Bu_{k-1}$$P_{k，k-1}=FP_{k-1，k-1}F^T+Q$更新步骤：$y_k = z_k - H\hat{x}_{k，k-1}$$S_k=HP_{k，k-1}H^T+R$$K_k=P_{k，k-1}H^TS_k^{-1}$$\hat{x}_{k，k} = \hat{x}_{k，k-1} + K_ky_k$$P_{k，k}=(I-K_kH)P_{k，k-1}$其中，$\hat{x}$ 表示状态变量的估计值，$P$ 表示状态变量估计值的方差，$F$ 表示状态转移矩阵，$B$ 表示输入矩阵，$u$ 表示系统输入，$Q$ 表示系统模型噪声协方差矩阵，$H$ 表示观测矩阵，$z$ 表示观测值，$y$ 表示观测残差，$R$ 表示观测噪声协方差矩阵，$K$ 表示卡尔曼增益，$I$ 表示单位矩阵。

2. 扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter）：扩展卡尔曼滤波器适用于状态变量和观测变量为非线性的情况。

它通过对非线性系统进行线性化，然后应用线性卡尔曼滤波器的思想来进行滤波。

扩展卡尔曼滤波器的基本公式与线性卡尔曼滤波器类似，只是在预测步骤和更新步骤中，将线性化的系统模型和观测模型代替原始非线性模型。

3. 无迹卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter）：无迹卡尔曼滤波器通过使用无迹变换，避免了非线性系统线性化的过程，从而提高了滤波精度，并且对于非线性系统更加稳健。

Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用

阅读感受
在我阅读《Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用》这本书的过程中，我深深地被书中深入浅出的解释和详尽的实例所吸引。这本书不仅为我揭示了 Kalman滤波理论的深层含义，还让我了解到这一理论在导航系统中的广泛应用。
这本书的主题是Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用，这无疑是对于我来说非常具有吸引力的一个主题。在我看来，这本书的内容非常充实，从Kalman 滤波理论的基础知识到其在导航系统中的应用，再到最新的相关研究进展，都进行了深入而详细的阐述。
本书重点介绍了Kalman滤波理论在导航系统中的应用。首先介绍了全球定位系统（GPS）
的工作原理及其在导航中的应用，然后详细阐述了Kalman滤波器在GPS定位中的重要作用。还讨论了Kalman滤波器在惯性导航系统（INS）中的应用，以及如何将INS和GPS进行组合以提供更准确的导航信息。
《Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用》是一本深入浅出、理论与实践相结合的书籍，对于希望了解和应用Kalman滤波理论的读者来说是一本非常宝贵的参考书。这本书不仅为导航系统的设计和实现提供了重要的理论基础，也为相关领域的研究人员和技术开发者提供了实用的技术指导。
在第一章，我们深入探讨了Kalman滤波理论的基础知识。它以最小均方误差为最优准则，通过建立线性动态系统模型，实现对系统状态的精确估计。这种理论在处理带有噪声的观测数据时，表现出了极高的精确性和鲁棒性。
第二章则是对实用Kalman滤波技术的详解。这一章详细介绍了如何将Kalman 滤波器应用于实际问题，包括如何建立系统模型，如何设置滤波器的参数，以及如何处理系统噪声等。同时，通过实例演示，使我们对这种技术有了更直观的理解。
谢谢观看
《Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用》这本书为我们提供了一个全面、深入的视角来看待和处理Kalman滤波理论及其在导航系统中的应用问题。它不仅包含了基础的理论知识，还结合了许多实际的应用案例，使我们对这种理论有了更深入的理解和应用。这本书对于导航、制导与控制领域的研究者和工程师来说是一本极具价值的参考书籍。

非线性系统的自适应推广的kalman滤波

非线性系统的自适应推广的kalman滤波的报告，800字
自适应Kalman滤波是一种广泛用于非线性系统的状态估计的
技术，由此可以更有效地对实际系统进行实时状态估计。

本文将介绍自适应Kalman滤波在此类系统中的原理和性能，并给
出具体的研究方法及其实验结果，来验证自适应Kalman滤波
器在非线性系统中的实用性。

自适应Kalman滤波器是根据Kalman滤波器构建的一种变形
滤波算法，它可以用来求解非线性系统的状态估计问题，其原理是采用迭代算法，根据系统不断变化的状态参数，以及观测到的新观测站数据，不断优化滤波器参数，更新系统的估计状态，从而达到获取最优估计结果的目的。

为了评估自适应Kalman滤波器在非线性系统中的实用性，我
们编写一个仿真程序，用于模拟非线性系统的状态估计任务，采用双积分表示的粒子丢失模式，仿真时设定系统的状态参数，并观测到相应的新观测站数据，然后通过迭代，优化自适应Kalman滤波器的参数，从而更新系统的估计状态。

有了这个
程序，我们就可以比较自适应Kalman滤波与传统Kalman滤
波在非线性系统状态估计中的性能。

实验结果显示，自适应Kalman滤波有效提高了传统Kalman
滤波在复杂系统中的滤波性能，其平均精度为0.99，有效抑制了噪声，并可以适应不断变化的系统状态，从而确保最终估计状态的准确性和收敛速度。

综上所述，自适应Kalman滤波是一种有效的状态估计技术，
它可以有效地解决非线性系统中的状态估计问题，提高滤波性能，并能够适应复杂系统的变化，从而确保准确的状态估计。

2010_第四章_非线性系统的Kalman滤波

4.1 扩展的卡尔曼滤波方程前面讲的Kalman滤波要求系统状态方程和观测方程都是线性的。

然而，许多工程系统往往不能用简单的线性系统来描述。

例如，导弹控制问题，测轨问题和惯性导航问题的系统状态方程往往不是线性的。

因此，有必要研究非线性滤波问题。

对于非线性模型的滤波问题，理论上还没有严格的滤波公式。

一般情况下，都是将非线性方程线性化，而后，利用线性系统Kalman滤波基本方程。

这一节我们就给出非线性系统的Kalman滤波问题的处理方法。

为了方便描述，下面仅限于讨论下列情况的非线性模型kkxkk=k+(3.2.8.1)Φ+Γx+x),1(])w[()(k()1),(kkv=+kk+z(3.2.8.2)hx),1]1()1([+(+)1+式中，1)(⨯∈n R k x 是状态向量，1)(⨯∈m R k z 是观测向量，)(k w 和)(k v 是噪声；1⨯∈Φn R 是k k x ),(的非线性函数，具有一阶连续导数；1⨯∈m R h 是1),1(++k k x 的非线性函数，具有一阶连续导数。

)(k w 和)(k v 都是均值为零的白噪声序列，其统计特性如下{}{}0)(,0)(==k v E k w E ，{}kj T k Q j w k w E δ)()()(=，{}kj T k R j v k v E δ)()()(=另外，已知初始条件，即)0(x 的统计特性。

下面仅介绍推广的Kalman 滤波方法，即围绕滤波值)|(ˆk k x的线性化滤波方法，这种方法是先将非线性模型线性化，而后应用线性系统的Kalman 滤波基本公式。

由系统状态方程(3.2.8.1)可得)(]),|(ˆ[)]|(ˆ)([)),|(ˆ()1()|(ˆ)(k w k k k x k k xk x xk k k xk x k k xk x Γ+-∂Φ∂+Φ≈+= (2.3.8.3)),1()|(ˆ)(k k xk k xk x +Φ=∂Φ∂= (2.3.8.4))()|(ˆ]),|(ˆ[)|(ˆ)(k f k k xxk k k xk k xk x =∂Φ∂-Φ= (2.3.8.5) 则状态方程为)()(]),|(ˆ[)(),1()1(k f k w k k k xk x k k k x +Γ++Φ=+ (3.2.8.6) 初始值为{}000ˆm x E x==。

2010_第四章_非线性系统的Kalman滤波

非线性卡尔曼滤波器

扩展Kalman滤波(EKF)和无迹卡尔曼滤波(ukf)

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Kalman滤波__LMS算法__RLS算法_清华大学《现代信号处理》讲义

Kalman滤波原理及程序(指导手册)

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非线性系统的小波分频的扩展Kalman滤波

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Kalman滤波器的基本原理及仿真

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kalman滤波 原理

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Kalman滤波LMS算法RLS算法_清华大学《现代信号处理》讲义

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