信号处理-习题(答案)

数字信号处理习题解答 第二章 数据采集技术基础

2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs =6π，采样后经理想低通滤波器H a (j Ω)还原，其中

⎪⎩

⎪⎨⎧≥Ω<Ω=Ωππ

3032

1

)(，，j H a 现有两个输入，x 1(t )=cos2πt ，x 2(t )=cos5πt 。试问输出信号y 1(t )，

y 2(t )有无失真？为什么？

分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs 必须大于等于信号谱最高角频率Ωh 的2倍，即满足Ωs ≥2Ωh 。 解：已知采样角频率Ωs =6π，则由香农采样定理，可得 因为x 1(t )=cos2πt ，而频谱中最高角频率ππ

π32

621

=<

=Ωh ，

所以y 1(t )无失真；

因为x 2(t )=cos5πt ，而频谱中最高角频率ππ

π32

652

=>

=Ωh ，

所以y 2(t )失真。

2.2 设模拟信号x (t )=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt ，求：

（1） 该信号的最小采样频率；

（2） 若采样频率f s =5000Hz ，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。 ○

1采样定理 采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率f s 不小于其最高频

率f m 的两倍，即

f s ≥2f m

○

2采样公式 )()()(s nT t nT x t x n x s

===

解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是

f 1=1000Hz ，f 2=3000Hz ，f 3=6000Hz

∴信号的最高频率f m =6000Hz

由采样定理f s ≥2f m ，得信号的最小采样频率f s =2f m =12kHz （2）由于采样频率f s =5kHz ，则采样后的输出信号

⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛====n n n n n n n n n n n f n x nT x t x n x s s nT

t s

522sin 5512cos 13512cos 10522sin 5512cos 35112cos 105212sin 5512cos 3562cos 10532sin 5512cos 3)()()(πππππππππππ 说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz 和2kHz 的频率成分，

即

kHz

f f f kHz

f f f s

s 25000200052150001000512211

======，，

若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号

()()t t t f t f t y ππππ4000sin 52000cos 132sin 52cos 13)(21-=-=

可见，恢复后的模拟信号y (t ) 不同于原模拟信号x (t )，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。

第三章 傅里叶分析

I. 傅里叶变换概述

3.1 [习题3.2]设序列x (n )=δ(n-m )，求其频谱X (e j ω)，并讨论其幅频和相频响应

分析：求解序列的频谱有两种方法：

○1先求序列的z 变换X (z )，再求频谱ω

ωj e z j z X e X ==)()(，即X (e j ω)为单

位圆上的z 变换； ○

2直接求序列的傅里叶变换 ∑∞

-∞

=-=

n n

j j e

n x e X ωω

)()(

解：对序列x (n )先进行z 变换，再求频谱，得

m z m n ZT n x ZT z X -=-==)]([)]([)(δ

则ωωω

jm e z j e z X e X j -===)()(

若系统的单位采样响应h (n )=x (n )，则系统的频率响应

)}(exp{)(1)()(ωϕωωωωωj e H e e e X e H j jm jm j j ====--•

故其幅频和相频响应（如图）分别为

幅频响应 1)(=ωj e H 相频响应 ωωϕm -=)(

由图可见，该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。 3.2 设x (n )的傅里叶变换为X (e j ω)，试利用X (e j ω)表示下列序列的傅里叶变换：

（1）

)1()1()(1n x n x n x --+-= （2） )]()([2

1

)(2n x n x n x -+=*

分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即

)()(ωj e X n x ⇔，)()(ωj e X n x -⇔-

)()(ωωj m j e X e n m x --⇔-

解：（1）由于)()]([ωj e X n x DTFT =，)()]([ωj e X n x DTFT -=-，则

)()]1([ωωj j e X e n x DTFT --=- )()]1([ωωj j e X e n x DTFT -=--

故ωωωωωcos )(2])[()]([1j j j j e X e e e X n x DTFT ---=+= （2）由于)()]([ωj e X n x DTFT **=-

故)](Re[2

)

()()]([2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+=

* 3.3 设X (e j ω)是如图所示的信号x (n )的傅里叶变换，不必求出X (e j

ω

)，试完成下列计算：

（1）

)(0j e X