力学中关于传送带的问题

关于传送带类问题的讨论
在力学题目中经常遇到关于传送带类的问题，也是各种考试中考查的一个热点问题，它能考查学生分析问题的能力，各种知识综合运用的能力。

传送带类问题的难点在于分析摩擦力的方向及运动的过程等方面。

其类型又可分为水平传送带和倾斜传送带等，知识涉及到运动学、动力学和功能关系的问题。

一．水平传送带类问题：
例1 水平传送带以v 0的速度匀速运动，在传送带的一端轻轻放上一质量为m 的物体，设传送带足够长，求因运送物体而使电动机多消耗的电能。

解：传送带足够长，说明物体最终是与传送带共速的，那么m 经历了两个运动过程，第一个过程是加速过程，m 受到的滑动摩擦力对它起到动力的作用，第二个过程是匀速过程，物体与传送带间因相对静止且无相对运动趋势，摩擦力变为零。

设物体与传送带间的动摩擦因数为μ，则物体从静止开始加速到与传送带共速用时为
t=v 0/μg ，
物体的对地位移是 s m = v 02/2μg
在这段时间内传送带向前的位移是 s M = v 0t= v 02/μg
物体与传送带相对滑动的距离是 Δs= s M - s m = v 02/μg- v 02/2μg= v 02/2μg
电动机为运送物体而多消耗的电能，通过做功，一部分转化成物体的动能，另一部分转化成系统的内能，故ΔE=mv 02/2+μmg Δs= mv 02。

例2 在一水平浅色传送带的左端放上一煤块，煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ，传送带以a 0的加速度从静止启动，当速度达到v 0以后做匀速运动，经过一段时间后，煤块在传
送带上留下一段黑色痕迹后，煤块不再滑动，求此痕迹的长度。

解：煤能在传送带上留下痕迹，说明它们有
相对运动，设煤块的加速度为a(=μg)，传送带速度达到v 0时，煤块的速度为v ，很明显a 0>a ，v 0>v ，煤块还要继续以a 的加速度加速至v 0。

所以在第一阶段有：
V 0=a 0t 1 ∴t 1=v 0/a 0，煤块此时的速度为V=at 1=μgV 0/a 0，传送带位移了s 1=v 02/2a 0。

煤块从此到与传送带共速又用时为：
00002a v g v g v v t -=-=μμ，在这段时间内传送带又匀速走过了0
2020202a v g v t v s -==μ 从开始到两者共速，煤块共走了g
v s m μ220= 煤块在传送带上留下的划痕长为：
020212)(ga g a v s s s L m μμ-=-+=
象这类问题，要分析清楚它们运动的规律及受力情况，要考虑相互关连的物体间各物理量的联系与区别，不然容易出错。

L
例题2／ 物体从弧形槽上的某点由静止滑下，进入水平传送带的左端时的速度为V 1，传送带不动时，物体能滑至传送带的右端并做平抛运动落到地上的Q 处，若传送带匀速转动的速度为V 2且恒定，物体若仍能从右端水平飞出，试分析它的落地点位置。

分析：设物体到达传送带右端时的速度为V 0。

⑴传送带静止时，m 能从右端飞出，接触过程受到滑动摩擦力的作用,飞出时的速度V 0小于V 1，如果传送带是逆时针转动的，物体在上面运动过程中受到的滑动摩擦力不变，终速与上面的情况相同，m 仍会从右端飞出而落在Q 点；
⑵传送带若是顺时针转动的，其速度的大小不同，最后的结论也就不同
①若V 1小于V 2，m 受到的滑动摩擦力方向与传送带运动方向一致而得到加速，最终速度V 0大于V 1，平抛运动的落地点应在Q 点的右方；
②若V 1等于V 2，m 没有减速过程，水平飞出时的速度大于⑴种情况的速度V 0，当然落地点要在Q 点的右侧。

③若V 1大于V 2，m 可能一直减速，也可能先减速再匀速， m 离开传送带时的速度也就有两种可能，则落地点的位置可能在Q 点，也可能在Q 点的右侧。

但绝对不会落在Q 点的左侧。

二．倾斜传送带类问题：
1．从传送带下端放上物体的情况：
例2． 如图所示，传送带与地面成夹角θ=37°，以10m/s 的速度顺时针转动，在传送带下端轻轻地放一个质量m=0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.9，已知传送带从A →B 的长度L=50m ，则物体从A 到B 需要的时间为多
少？
解：传送带沿顺时针转动，与物体接触处的速度方向斜向
上，物体初速度为零，所以物体相对传送带向下滑动（相对地
面是斜向上运动的），因此受到沿斜面向上的滑动摩擦力作用，
这样物体在沿斜面方向上所受的合力为重力的下滑分力和向上的滑动摩擦力，因此物体要向上做匀加速运动。

当物体加速
到与传送带有相同速度时，摩擦力情况要发生变化，此时有μ≥tan θ，则物体将和传送带相对静止一起向上匀速运动，所受静摩擦力沿斜面向上，大小等于重力的下滑分力。

物体放上传送带以后，开始一段时间，其运动加速度
2
m/s 2.1sin cos =-=m mg mg a θ
θμ。

这样的加速度只能维持到物体的速度达到10m/s 为止，其对应的时间和位移分别为：
,33.8s 2.1101s a v t === m m a
v s 5067.4122
1<== 以后物体受到的摩擦力变为静摩擦力且仍沿传送带向上，其加速度大小为零（因为mgsin θ＜μmgcos θ）。

设物体完成剩余的位移2s 所用的时间为2t ，
则t v s L s 012=-=
解得： s t 833.02=
所以：。

s s s t t t 163.9833.033.821=+=+=总
【总结】该题目的关键就是要分析好各阶段物体所受摩擦力的大小和方向，并对物体加速到与传送带有相同速度时，是否已经到达传送带顶端进行判断。

本题的一种错解就是：
221at L =， 所以：s a
L t 13.92== 该时间小于正确结果16.66s ，是因为物体加速到10m/s 时，以后的运动是匀速运动，而错误结果是让物体一直加速运动，经过相同的位移，所用时间就应该短。

2．从传送带上端放上物体的情况：
例3．如图所示，传送带与地面成夹角θ=37°，以10m/s 的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量m=0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，已知传送带从A →B 的长度L=16m ，则物体从A 到B 需要的时间为多少？
解：如果物体在倾角为370的斜面上下滑力与滑动摩擦
力相平衡时，mgsin θ=μmgcos θ,则μ=tan θ=0.75，此题中μ
=0.5，说明重力的下滑分力大于滑动摩擦力。

在速度没有达到10m/s 前，滑动摩擦力平行于斜面向下，
运动的加速度为：
2001/10)37cos 37(sin s m g a =+=μ 达到10m/s 的速度用时t 1=v/a 1=1s 。

这段时间内的位移s 1=vt 1/2=5m<16m ，此时离B 端还有s 2=L-s 1=11m..
当物体速度达到与传送带共速的瞬间，两者相对静止，f=0，但此时在重力的下滑分力作用下继续向下加速，速度大于10m/s ，滑动摩擦力沿斜面向上，在以后的加速运动中，加速度为： 2002/2)37cos 37(sin s m g a =-=μ 由位移公式列出：222222
1t a vt s +=
可解得下段位移再用时为：t 2=1s ，
全程共用时为：t=t 1+t 2=2s 。

此题的关键是摩擦力方向的判定。

如果动摩擦因数μ>0.75，在物体与传送带达到共速后，其摩擦力变为静摩擦力，在后一段位移上将做匀速运动。

例4． 如图所示，传送带与地面成夹角θ=30°，以10m/s 的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量m=0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.6，已知传送带从A →B 的长度L=16m ，则物体从A 到B 需要的时间为多少？
解：该题目的物理过程的前半段与例题1是一样的，但
是到了物体和传送带有相同速度时，情况就不同了，经计算
知：物体的下滑分力mgsin300=5m
而滑动摩擦力f=μmgcos300=8.66m
物体和传送带之间的最大静摩擦力大于重力的下滑分
力，物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动，所受静摩擦力沿斜面向上，大小等于重力的下滑分力。

【解析】物体放上传送带以后，开始一段时间，其运动加
210.2m/s
gcos sin =+=θθμg a 这样的加速度只能维持到物体的速度达到10m/s 为止，其对应的时间和位移分别为：
s s a v t 98.02
.10101=== m m a
v s 169.422
1<== 下段位移还有s 2=L-s 1=11.10m. 以后物体受到的摩擦力变为沿传送带向上，其加速度大小为零，下一段物体将以10m/s 的速度匀速向下运动。

设物体完成剩余的位移2s 所用的时间为2t ，
则22vt s =
解得： s t 11.12=
所以：s t t t 09.221=+=总。