常用连续型分布性质汇总及其关系

常用连续型分布性质汇总及其关系

1. 常用分布 1．1 正态分布

（1）若X 的密度函数和分布函数分别为

()(

)()22

222(),

.

,.

x t x

p x x F x e

dt x μσμσ--

--

-∞

=

-∞<<+∞=

-∞<<+∞

则称X 服从正态分布，记作()2~,,X N μσ，其中参数,0.μσ-∞<<+∞> （2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量。测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。 （3）关于参数,μσ：

μ是正态分布的的数学期望，即()E X μ=，称μ为正态分布的位置参

数。μ为正态分布的对称中心，在μ的左侧和()p x 下的面积为0.5；在

μ的右侧和()p x 下的面积也是0.5，所以μ也是正态分布的中位数。

2σ是正态分布的方差，即2().Var X σ=σ是正态分布的标准差，σ愈小，正态分布愈集中，σ愈大，正态分布愈分散。σ又称为是正态分布的的尺度参数。

（4）称0,1μσ==时的正态分布(0,1)N 为标准正态分布。记U 为标准正

态分布变量，()u ϕ和()u Φ为标准正态分布的密度函数和分布函数。

()u ϕ和()u φ满足：

()()()();

1.

u u u u ϕϕ-=Φ-=-Φ

（5）标准化变换： 若()2~,,X N μσ则()~0,1.X U N μ

σ

-=

（6）若()2~,,X N μσ则对任意实数a 与b ，有

()(

),()1(

),()(

)(

),b P X b a P a X b a P a X b μ

σ

μ

σμ

μ

σ

σ

-≤=Φ-<=-Φ--<≤=Φ-Φ

0.6826,1,()()()0.9545,2,.0.9973, 3.k P X k k k k k μσ=⎧⎪

-<=Φ-Φ-==⎨⎪=⎩

（7）特征函数 22

()exp{}.2

t t i t σϕμ=-（标准正态分布2()exp{}2t t ϕ=-）

1.2.均匀分布

（1）若X 的密度函数和分布函数分别为

1

().0

a x

b P x b a

else

⎧<<⎪=-⎨⎪⎩ 0,,

(),.

1,

.x a x a F x a x b b a x b <⎧⎪-⎪

=≤<⎨-⎪≥⎪⎩ 则称X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，记作()~,.X U a b

（2）背景：向区间(,)a b 随机投点，落点坐标X 一定服从均匀分布

(),.U a b

（3）()2

(),().212

b a a b

E X Var X -+==

（4）特征函数().()itb ita

e e t b a it

ϕ-=-

1.3. 指数分布

（1）若X 的密度函数和分布函数分别为

,0,

()0,

.x e x P x else λλ-⎧≥=⎨

⎩ 1,0,

().0,

.x e x F x else λ-⎧-≥=⎨⎩ 则称X 服从指数分布，记作()~,X Exp λ其中参数0.λ>

（2）背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失败，则首次冲击到来的时间X （寿命）服从指数分布，很多产品的寿命可认为服从或者近似服从指数分布。 （3）2

1

1

(),().E X Var X λ

λ==

（4）指数分布的无记忆性：若()~,X Exp λ则对任意0,0,s t >>有

(|)().P X s t X s P X t >+>=>

（5）特征函数1

()1.it t ϕλ-⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

1.4 伽玛分布

（1）伽玛函数 称10()x x e dx αα+∞

--Γ=⎰为伽玛函数，其中参数0.α>伽玛分布具有如下性质：

（a ）(1)1;Γ= (b) 1

()2Γ= (c) (1)();αααΓ+=Γ

(d) (1)()!n n n n Γ+=Γ=(n 为自然数)。 （2）伽玛分布 若X 的密度函数为

1,0,().()0x

x e x p x else ααλλα--⎧≥⎪

=Γ⎨⎪⎩

则称X 服从伽玛分布，记作~(,),X Ga αλ其中0.α>为形状参数，

0λ>为尺度参数。

（3）背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇到第k 次冲击时即告失败，则第k 次冲击来到的时间X （寿命）服从形状参数为k 的伽玛分布~(,).X Ga k λ

（4）2(),().E X Var X α

αλ

λ

==

（5）特征函数()1.it t α

ϕλ-⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

1.5 贝塔分布

（1）贝塔函数 称1

1

10(,)(1)b a B a b x x dx --=-⎰为贝塔函数，其中参数

0,a >0.b >

贝塔函数具有如下性质： （a ）(),(,);B a b B b a = (b) ()()()

,.()

a b B a b a b ΓΓ=Γ+

(2) 贝塔分布 若X 的密度函数为

1

1()(1),01,()()().0a b a b x x x b p x else α--Γ+⎧-<<⎪

ΓΓ=⎨⎪⎩

则称X 服从贝塔分布，记作~(,),X Be a b 其中0,a >0.b >都是形状参数。

（3）背景 很多比率，如产品的不合格率、机器的维修率、某