考试必备离散数学概念总结

1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式

2.1、若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式

2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称

2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解

文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)

2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,⋯,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci

是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j

3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1∧A2∧…∧Ak为假，或当

A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.

4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体

个体常项：具体的事物，用a, b, c表示

个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示

个体域(论域)——个体变项的取值范围

4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词

谓词常项：如, F(a)：a是人

谓词变项：如, F(x)：x具有性质F

一元谓词(n=1)——表示性质

多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系

0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项

4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号：非逻辑符

号（个体常项符号、函数符号、谓词符号）和逻辑符号（个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号）

4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L的任意n个项，则称R(t1,

t2, …, tn)是L的原子公式.

4.5、在公式∀xA 和∃xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在∀x和∃x的辖域

中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.

4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.

6.1、A⊆B⇔∀x ( x∈A →x∈B )

6.2、A = B⇔A⊆B∧B⊆A

6.3、A⊂B⇔A⊆B∧A≠B

A⊈B⇔∃x ( x∈A ∧x∉B )

6.4、幂集：P(A)={ x | x ⊆A } （一定包含空集）

6.5、并A⋃B = {x | x∈A∨x∈B}

交A⋂B = {x | x∈A∧x∈B}

相对补A-B = {x | x∈A∧x∉B}

对称差A⊕B = (A-B)⋃(B-A)

绝对补~A = E-A

6.6、广义并⋃A = { x | ∃z ( z∈A∧x∈z )}

广义交⋂A= { x | ∀z ( z∈A →x∈z )}

7.1、设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A⨯B，且A⨯B = {| x∈A∧y∈B}.

7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B

时则叫做A上的二元关系.（计数：|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的

二元关系。)

7.3、设A 为集合：

(1) ∅是A上的关系，称为空关系

(2)全域关系EA = {| x∈A∧y∈A} = A×A

恒等关系IA = {| x∈A}

小于等于关系LA = {| x,y∈A∧x≤y}, A为实数子集

包含关系R⊆ = {| x,y∈A∧x⊆y}, A是集合族.

7.4、关系的逆运算：R^-1 = { | ∈R }

7.5、关系的合成运算：R︒S = { | ∃y (∈R ∧ ∈S) }

7.6、设R 为A 上的关系, n为自然数, 则R 的n 次幂定义为：

(1) R^0 = { | x∈A } = IA

(2) R^(n+1) = R^n︒R

（在关系图中R的n次幂的求法：考察G的每个顶点xi，如果在G中从xi出发经过n 步长的路径到达顶点xj,则在G’中加一条从xi到xj的边。）

7.7、设R 为A上的关系,

(1) 若∀x(x∈A→∈R), 则称R 在A 上是自反的.

(2) 若∀x(x∈A→∉R), 则称R 在A 上是反自反的.

(3) 若∀x∀y( x,y∈A∧∈R→∈R), 则称R 为A上对称的关系.

(4) 若∀x∀y( x,y∈A∧∈R∧∈R→x=y), 则称R 为A上反对称的关系.

(5) 若∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧∈R∧∈R→∈R),则称R 是A上的传递关系.

7.8、设R是非空集合A上的关系, R的自反(对称或传递)闭包是A上的关系R', 使得R'满足：

(1) R'是自反的(对称的或传递的)

(2) R⊆R'

(3) 对A上任何包含R的自反(对称或传递)关系R''有R⊆'R''

（R的自反闭包记作r(R), 对称闭包记作s(R), 传递闭包记作t(R). ）

7.9、设R为非空集合A上的等价关系(R是自反的、对称的、传递的), ∀x∈A，令

[x]R = {y | y∈A∧xRy}称[x]R 为x关于R的等价类, 简称为x的等价类.

7.10、设R 为非空集合A上的等价关系, 以R 的所有等价类作为元素的集合称为A关于R

的商集, 记做A/R, A/R = {[x]R | x∈A}

7.11、设A为非空集合, 若A的子集族π(π⊆P(A))满足:

(1) ∅∉π

(2) ∀x∀y(x,y∈π∧x≠y→x∩y=∅)

(3) ∪π= A

则称π是A的一个划分, 称π中的元素为A的划分块.

9.1、◦运算的左(或右)单位元：存在el (或er)∈S，对任意x∈S有el◦x = x (或x◦er = x)

◦运算的左(或右)零元：存在θ l (或θ r)∈S，对任意x∈S 有θ l ◦x = θ l (或x◦θ r = θ r)，yl (或yr)是x的左逆元（或右逆元）：x∈S，如果存在yl (或yr)∈S使得yl◦x=e（或x◦yr=e）9.2、设V1=和V2=是同类型的代数系统，f:A→B，且∀x, y∈A 有f(x∘y) = f(x)*f(y),

则称f 是V1到V2的同态映射，简称同态.

9.3、同态分类：

(1) f 如果是单射，则称为单同态

(2) 如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1~V2

(3) 如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1≅V2

(4) 如果V1=V2，则称作自同态