2020届河北省唐山市2017级高三下学期二模考试数学(理)试卷及答案
唐山市2017—2018学年度高三年级二模数学理科试卷及解析
唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()U A B =I ð（ ） A ．[1,2]- B ．(0,2) C ．[1,)-+∞ D ．[1,1)- 2．复数1(iz i a i+=-是虚数单位，a R ∈）是纯虚数，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．iC ．2D ．2i3.设m R ∈，则“1m =”是“()22x f x m =⋅+ ”为偶函数的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.若[0,]x π∈，则函数()cos sin f x x x =-的增区间为 （ ）A ．[0,]4πB ．[,]4ππC ．3[0,]4πD ．3[,]4ππ5. 已知双曲线22:2C x y -=的左右焦点12,,F F O 分别为为坐标原点，点P 在双曲线C 上，且2OP =，则12PF F S ∆=（ ）A ．4B ．．2 D 6. 如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（ ）A ．2πB ．5πC ．8πD ．10π7. 设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．23X Z Y += B ．44X Z Y += C ．237X Z Y += D ．86X Z Y +=8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点为F ，存在直线y t =与椭圆C 交于,A B 两点，使得ABF ∆为等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率e = （ ）A B 1 C 1 D ．129. 甲乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A ．29B ．49C ．23D ．7910. 下图是某桌球游戏计分程序框图，下列选项中输出数据不符合该程序的为（ ）A ．15,120i S ==B ．13,98i S ==C ．11,88i S ==D ．11,81i S ==11. 已知函数()f x 满足()()f x f x '>，在下列不等关系中，一定成立的是（ ） A ．()()12ef f > B ．()()12ef f < C ．()()12f ef > D ．()()12f ef <12. 在ABC ∆中，090,6C AB ∠==，点P 满足2CP =，则P AP B ⋅u r ur 的最大值为（ ）A ．9B ．16C ．18D ．25第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.261()x x+展开式的常数项为 ．（用数字作答）14.曲线3y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．15. 在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2SD AD ==，三棱柱111MNP M N P -的顶点都位于四棱锥S ABCD -的棱上，已知,,M N P 分别是棱,,AB AD AS 的中点，则三棱柱111MNP M N P -的体积为 ． 16.数列{}n a 满足132n n n a a +=-，若n N +∈时，1n n a a +>，则1a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 如图，在平面四边形ABCD 中，02,90AB AC ADC CAB ==∠=∠=,设DAC θ∠=.（1）若060θ=，求BD 的长度； （2）若030ADB ∠=，求tan θ.18. 为了研究黏虫孵化的平均温度x （单位：0C ）与孵化天数y 之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：他们分别用两种模型①y bx a =+，②dx y ce =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：经计算得21117,13.5,1297,1774nni i i i i x y x y x ======∑∑，（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立y 关于x 的线性回归方程.（精确到0.1）121()()ˆˆ,()niii nii x x y y b ay bx x x =---==--∑∑ ，. 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C-中，0190ACB AAC ∠=∠=，平面11AACC ⊥平面ABC .（1）求证：11CC A B ⊥；（2）若12BC AC AA ==，求11A BC A --.20. 已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，交y 轴于点,C O 为坐标原点.（1）若4OA OB k k +=,求直线l 的方程；（2）线段AB 的垂直平分线与直线,l x 轴，y 轴分别交于点,,D M N ，求NDCFDMS S ∆∆ 的最小值. 21.设()()2ln ,1x xf xg x a x x ==+- . （1）证明：()f x 在(0,1)上单调递减； （2）若01a x <<<，证明：()1g x >.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1:2sin C ρθ=，曲线2:cos 3C ρθ=，点(1,)P π，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）过点P 的直线l 交1C 于点,A B ，交2C 于点Q ，若PA PB PQ λ+=，求λ的最大值.23．选修4-5：不等式选讲已知220,0,0,0,1,1a b c d a b ab cd >>>>+=+>. （1）求证：2a b +≤；（2c d =+ 能否成立，并说明理由.唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A卷：BACDB CDBDC ABB卷：BACDC CDBDB AB二．填空题：（13）15 （14）12（15）1 （16）[2，＋∞)三．解答题：17．解：（1）由题意可知，AD＝1．在△ABD中，∠DAB＝150°，AB＝23，AD＝1，由余弦定理可知，BD2＝(23)2＋12－2×23×1×(－32)＝19,BD＝19．（2）由题意可知，AD＝2cosθ，∠ABD＝60°－θ，在△ABD中，由正弦定理可知，AD sin∠ABD ＝ABsin∠ADB，即2cosθsin(60°－θ)＝43，整理得ｔａｎθ＝23 3．18．解：（1）应该选择模型①．（2）剔除异常数据，即组号为4的数据，剩下数据的平均数x－＝15(18×6－18)＝18；y－＝15(12.25×6－13.5)＝12．5i ＝1∑x i y i ＝1283.01－18×13.5＝1040.01；5i ＝1∑x 2i ＝1964.34－182＝1640.34．b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －n ·x -y-n i ＝1∑x 2i －nx-2＝1040.01－5×18×121640.34－5×182≈－1.97，a ˆ＝y -－b ˆx -＝12＋1.97×18≈47.5，所以y 关于x 的线性回归方程为：y ˆ＝－2.0x ＋47.5．19．解：（1）因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，交线为AC ，又BC ⊥AC ， 所以BC ⊥平面AA 1C 1C ， 因为C 1C平面AA 1C 1C ，从而有BC ⊥C 1C ．因为∠A 1CC 1＝90°，所以A 1C ⊥C 1C ， 又因为BC ∩A 1C ＝C ， 所以C 1C ⊥平面A 1BC ，A 1B 平面A 1BC ， 所以CC 1⊥A 1B ．（2）如图，以C 为坐标原点，分别以CB →，CA →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系ｃ－ｘｙｚ．由∠A 1CC 1＝90°，AC ＝2AA 1得A 1C ＝AA 1．不妨设BC ＝AC ＝2AA 1＝2，则B (2，0，0)，C 1(0，－1，1)，A (0，2，0)，A 1(0，1，1)，所以A 1C 1→＝(0，－2，0)，BC 1→＝(－2，－1，1)，AB →＝(2，－2，0)， 设平面A 1BC 1的一个法向量为m ，由A 1C 1→·m ＝0，BC 1→·m ＝0，可取m ＝(1，0，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ，由BC 1→·n ＝0，AB →·n ＝0，可取n ＝(1，1，3)．cosm ，n ＝m ·n |m ||n |＝75555，又因为二面角A 1-BC 1-A 为锐二面角， 所以二面角A 1-BC 1-A 的余弦值为75555．20．解：（1）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．所以ｋｏａ＋ｋｏｂ＝4 y 1＋4 y 2＝4(y 1＋y 2)y 1y 2＝－4m ＝4．所以m ＝－1，所以l 的方程为x ＋y －1＝0．（2）由（1）可知，m ≠0，C (0，－1m)，D (2m 2＋1，2m )．则直线MN 的方程为y －2m ＝－m (x －2m 2－1)，则M (2m 2＋3，0)，N (0，2m 3＋3m )，F (1，0)，S △NDC ＝1 2·|NC |·|ｘｄ|＝ 1 2·|2m 3＋3m ＋ 1 m |·(2m 2＋1)＝(m 2＋1)(2m 2＋1)22|m |，S △FDM ＝1 2·|FM |·|ｘｄ|＝1 2·(2m 2＋2)·2|m |＝2|m | (m 2＋1)，则S △NDC S △FDM＝(2m 2＋1)24m 2＝m 2＋ 1 4m2＋1≥2，当且仅当m2＝14m2，即m2＝12时取等号．所以，S△NDCS△FDM的最小值为2．其它解法参考答案给分．21．解：（1）f(x)＝1－1x－ln x(x－1)2．令h(x)＝1－1x－ｌｎｘ，则h(x)＝1x2－1x＝1－xx2，x＞0，所以0＜x＜1时，h(x)＞0，h(x)单调递增，又h(1)＝0，所以h(x)＜0，即f(x)＜0，所以f(x)单调递减．（2）g(x)＝ａｘｌｎａ＋ａｘａ－１＝a(a x－1ln a＋ｘａ－１)，当0＜a≤1e时，ｌｎａ≤－1，所以a x－1ln a＋ｘａ－１≤ｘａ－１－a x－1．由（Ⅰ）得ln xx－1＜ln aa－1，所以(a－1)ｌｎｘ＜(x－1)ｌｎａ，即ｘａ－１＜a x－1，所以g(x)＜0，g(x)在(a，1)上单调递减，即g(x)＞g(1)＝a＋1＞1．当1e＜a＜1时，－1＜ｌｎａ＜0．令t(x)＝a x－ｘｌｎａ－1，0＜a＜x＜1，则t(x)＝a x ln a－ｌｎａ＝(a x －1)ｌｎａ＞0，所以t(x)在(0，1)上单调递增，即t(x)＞t(0)＝0，所以a x＞ｘｌｎａ＋1．所以g (x )＝a x ＋x a ＞x a ＋ｘｌｎａ＋1＝x (x a －1＋ｌｎａ＋1＞x (1＋ｌｎａ)＋1＞1．综上，g (x )＞1．22．解：（1）曲线C 1的直角坐标方程为：x 2＋y 2－2y ＝0；曲线C 2的直角坐标方程为：x ＝3．（2）P 的直角坐标为(－1，0)，设直线l 的倾斜角为α，(0＜α＜ π2)， 则直线l的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，0＜α＜π2) 代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2－2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)t ＋1＝0， t 1＋t 2＝2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)直线l 的参数方程与x ＝3联立解得，t 3＝4cos α，由t 的几何意义可知，|PA |＋|PB |＝2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)＝λ|PQ |＝4λcos α，整理得， 4λ＝2(ｓｉｎａ＋ｃｏｓａ)ｃｏｓａ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2sin (2α＋ π4)＋1， 由0＜α＜ π 2， π 4＜2α＋ π 4＜5π4，所以，当2α＋ π 4＝ π 2，即α＝ π 8时，λ有最大值 14(2＋1)．23．解：（1）由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3(a ＋b 2)2＋1，当且仅当a ＝b 时，取等号．解得(a ＋b )2≤4，又a ，b ＞0， 所以，a ＋b ≤2．（2）不能成立．唐山市2017—2018学年度高三年级二模数学理科试卷及解析ac＋bd≤a＋c2＋b＋d2，因为a＋b≤2，所以ac＋bd≤1＋c＋d 2，因为c＞0，d＞0，ＣＤ＞1，所以c＋d＝c＋d2＋c＋d2≥c＋d2＋cd＞c＋d2＋1，故ac ＋bd ＝c＋d不能成立．。
【附28套精选模拟试卷】2020届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学(理)试卷及答案
2020届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学（理）试卷及答案说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知a∈R，若1＋ai2－i为实数，则a＝（A）2 （B）－2 （C）－ 12（D）12（2）已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋π6)的图象关于点(π6，0)对称，则下列命题中的真命题为（A）p∧q （B）p∧⌝q （C）⌝p∧q （D）⌝p∨⌝q （3）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为（A）1，－1 （B）2，－2（C）1，－2 （D）2，－1（4）执行右边的程序框图，若输出的S是2047，则判断框内应填写（A）n≤9？（B）n≤10？（C）n≥10？（D）n≥11?（5）已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝（A）22（B） 2 （C）－22（D）－ 2（6）已知函数f(x)＝s in(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(π2)＝（A）－32（B）－22（C）32（D）22（7）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有 （A ）240种（B ）120种（C ）60种（D ）180种（8）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在半径为2的球面上，AB ＝AC ＝3，AA 1＝2，则二面角B -AA 1-C 的余弦值为 （A ）－1 3（B ）－1 2（C ） 1 3（D ） 1 2（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）1136（B ） 3 （C ）533（D ）433（10）若正数a ，b ，c 满足c 2＋4bc ＋2ac ＋8ab ＝8，则a ＋2b ＋c 的最小值为（A ） 3 （B ）2 3 （C ）2（D ）2 2（11）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是 （A ）[ 1 2，1)（B ）[22，32] （C ）[22，1) （D ）[32，1) （12）若不等式lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋(1－a)n xn≥(x －1)lg n 对任意不大于1的实数x 和大于1的正整数n都成立，则a 的取值范围是 （A ）[0，＋∞) （B ）(－∞，0] （C ）[ 12，＋∞)（D ）(－∞， 12]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布N (10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为__________．（精确到0.0001）注：P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974．（14）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且(c －a)·(c －b)＝－ 52，则向量c 的坐标为________．（15）已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 23＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2俯视图＝_________．（16）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90 ，则cos B ＝________．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3＋a 10＝15，且a 2，a 5，a 11成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明： 12≤b n ＜1．（18）（本小题满分12分）甲向靶子A 射击两次，乙向靶子B 射击一次．甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分．（Ⅰ）求甲、乙二人共命中一次目标的概率； （Ⅱ）设为二人得分之和，求的分布列和期望．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥底面ABCD ，BD ⊥PC ，E 是PA 的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面EBD ；（Ⅱ）若PA ＝AB ＝2，直线PB 与平面EBD 所成角的正弦值为 14，求四棱锥P -ABCD 的体积．（20）（本小题满分12分）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，|AB |＝423． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若P ，Q ，O （O 为原点）三点共线，求点N 的坐标．（21）（本小题满分12分）已知函数f (x)＝x 2－ln x －ax ，a ∈R ．（Ⅰ）若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x)＜0，求a 的取值范围；（Ⅱ）若f (x)＝x 有两个不同的实数解u ，v （0＜u ＜v ），证明：f (u ＋v2)＞1．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG ．求证：（Ⅰ）△DEF ∽△EAF ； （Ⅱ）EF ∥CB ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，BP →＝2PA →，点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； （Ⅱ）求点P 到点D (0，－2)距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x)＝|x －a |－|x ＋3|，a ∈R ． （Ⅰ）当a ＝－1时，解不等式f (x)≤1；（Ⅱ）若当x ∈[0，3]时，f (x)≤4，求a 的取值范围．理科数学 参考答案一、选择题：A 卷：CABAA BBDCD CDB 卷：DBBAABADCDDC二、填空题：（13）0.0228 （14）( 1 2， 32)（15）14（16）3 4三、解答题： （17）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，(a 1＋4d)2＝(a 1＋d)(a 1＋10d)．注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1． 所以a n ＝n ＋1．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2，因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0， 所以数列{b n }单调递增． …8分 b n ≥b 1＝ 1 2．…9分又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝n n ＋1＜1，因此 12≤b n ＜1．…12分（18）解：（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A ，则P(A)＝C120.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18．…4分（Ⅱ）的可能取值为0，5，10，15，20．P(＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(＝5)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16，P(＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(＝15)＝C120.8×0.2×0.5＝0.16，P(＝20)＝0.82×0.5＝0.32．的分布列为…10分的期望为E()＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13．…12分（19）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ． 又BD ⊥PC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为BD ⊂平面EBD ，所以平面PAC ⊥平面EBD ．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD ⊥AC ，所以ABCD 是菱形，BC ＝AB ＝2．…5分设AC ∩BD ＝O ，建立如图所示的坐标系O -xyz ，设OB ＝b ，OC ＝c ， 则P (0，－c ，2)，B (b ，0，0)，E (0，－c ，1)，C (0，c ，0)． PB →＝(b ，c ，－2)，OB →＝(b ，0，0)，OE →＝(0，－c ，1)．设n ＝(x ，y ，z)是面EBD 的一个法向量，则n ·OB →＝n ·OE →＝0，即⎩⎨⎧bx ＝0，－cy ＋z ＝0，取n ＝(0，1，c)． …8分依题意，BC ＝b 2＋c 2＝2．①记直线PB 与平面EBD 所成的角为θ，由已知条件 sin θ＝|n ·PB →|__________|n |·|PB →|＝c (1＋c 2)(b 2＋c 2＋22)＝ 14． ② 解得b ＝3，c ＝1．…10分所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝ 1 3×2OB ·OC ·PA ＝ 1 3×23×1×2＝433．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知得M (－p2，0)，C (2，0)． 设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝223． 于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝ 1 3， 所以|CM |＝|AC |sin ∠AMC ＝|AC |sin ∠CAR＝3，即2＋ p2＝3，p ＝2．故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．…5分（Ⅱ）设N (s ，t)．P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点． 圆D 方程为(x －s ＋22)2＋(y － t 2)2＝(s －2)2＋t 24，即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0．① 又圆C 方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0． ② ②－①得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0．③ …9分P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程． 因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝ 32．故点N 坐标为( 3 2，6)或( 32，－6)．…12分（21）解：（Ⅰ）当x ∈(0，＋∞)时，f (x)＜0等价于x －ln xx ＜a ．令g (x)＝x －ln xx ，则g '(x)＝x 2－1＋ln x x 2．当x ∈(0，1)时，g '(x)＜0；当x ∈(1，＋∞)时，g '(x)＞0． g (x)有最小值g (1)＝1．…4分 故a 的取值范围是(1，＋∞)．…5分（Ⅱ）因f (x)＝x ，即x 2－ln x ＝(a ＋1)x 有两个不同的实数解u ，v ． 故u 2－ln u ＝(a ＋1)u ，v 2－ln v ＝(a ＋1)v ． 于是(u ＋v)(u －v)－(ln u －ln v)＝(a ＋1)(u －v)．…7分由u －v ＜0解得a ＝u ＋v －ln u －ln vu －v－1．又f '(x)＝2x － 1x－a ，所以f '(u ＋v 2)＝(u ＋v)－2u ＋v －(u ＋v)＋ln u －ln v u －v ＋1＝ln u －ln v u －v －2u ＋v ＋1． …9分设h (u)＝ln u －ln v －2(u －v)u ＋v ，则当u ∈(0，v)时，h '(u)＝(u －v)2u(u ＋v)2＞0，h (u)在(0，v)单调递增，h (u)＜h (v)＝0，从而ln u －ln v u －v －2u ＋v＞0，因此f '(u ＋v 2)＞1．12分（22）解：（Ⅰ）由切割线定理得FG 2＝FA ·FD ． 又EF ＝FG ，所以EF 2＝FA ·FD ，即EF FA ＝FDEF ．因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△FED ∽△EAF ．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED ＝∠FAE ． 因为∠FAE ＝∠DAB ＝∠DCB ， 所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB ．…10分（23）解：（Ⅰ）设P (x ，y)，由题设可知，则x ＝ 2 3|AB |cos(π－α)＝－2cos α，y ＝ 13|AB |sin(π－α)＝sin α，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α（α为参数，90︒＜α＜180︒）． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4 ＝－3sin 2α＋4sin α＋8＝－3(sin α－2 3)2＋283． 当sin α＝ 2 3时，|PD |取最大值2213．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－1时，不等式为|x ＋1|－|x ＋3|≤1．当x ≤－3时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x ＜－1时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋3)≤1，解得－ 52≤x ＜－1；当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)－(x ＋3)≤1，不等式必成立． 综上，不等式的解集为[－52，＋∞)．…5分（Ⅱ）当x ∈[0，3]时，f (x)≤4即|x －a |≤x ＋7， 由此得a ≥－7且a ≤2x ＋7．当x ∈[0，3]时，2x ＋7的最小值为7， 所以a 的取值范围是[－7，7]．…10分高考模拟数学试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2020年河北省唐山市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
2020 年河北省唐山市高考数学二模试卷（二） 、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={ x|2x> }，则 ?R A=（ ） A. { x|x> 1} B. { x|0< x ≤-1} C. {x|x>-1} D. { x|x ≤-1}2. 已知复数 z 满足（ 1+i ）z=2，则 z 的共轭复数为（ ）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i3. 在等差数列 {a n } 中， a 4=6， a 3+a 5=a 10，则 a 12=（ ）A. 10B. 12C. 14D. 164. 已知角 α的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上一点 A （2sin α，3），则 cos α（= ）5. 已知双曲线 C ： - =1（a> 0，b>0）的焦距为 4，A （2，3）为 C 上一点，则 C 的渐近线方程为（ ）6. 已知直线 l ，m 和平面 α， β，有如下三个命题： ①若存在平面 γ，使 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β； ②若 l ，m 是两条异面直线， 1? α，m? β， 1∥β，m ∥α，则 α∥β； 若 l ⊥α，m ⊥β， 1∥m ，则α∥β． 其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3移 个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴为（ A. x=0 B. x= C. x=8. 已知函数 f （ x ）=为奇函数，则 f （x ）在 x=2 处的切线斜率等于 （）A. 6B. -2C. -6D. -8 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. C. D. -A. y= xB. y=±xC. y= xD. y= x7. 已知函数 f （ x ）=sin （2ωx- ） ω> 0）的最小正周期为 π．将 f （ x ）的图象向左平)D. x=A. 16πB. 14 πC. 10 π10. 割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”， 刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数 量的平均思想在几何上的体现，如图揭示了刘徽推 导三角形面积公式的方法．在△ABC 内任取一点， 则该点落在标记“盈”的区域的概率为（ ） 11. 已知抛物线 C ：y 2=4x 的焦点为 F ，点P 在C 上，以PF 为半径的圆 P 与 y 轴交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，若 =7 ，则圆 P 的半径 r= （ ）A. 2B. 3C. 4D. 512. 已知 a=log 32，b=1og 43，c=1og 0.2 0.3，则 a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a< b< cB. a< c< bC. c< a<bD. b< a<c二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 ， 满足 | |=3，| |=1，且 | |=| ______________ |，则 ?（ - ）= ．14. 设变量 x ，y 满足约束条件 ，则 z= 的最大值为 ___ ．15. 将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其 它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答）16. 各项均为正数的数列 {a n } 满足 a 1=1，a n ?a n+2=3a n+1（n ∈N *），则 a5?a 2019=三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，2c= a+2bcosA ． （ 1）求角 B ；（ 2）若 c=7 ，bsin A= ，求 b ．B.C.D. 818.如图，在边长为 8的菱形 ABCD 中，∠ABC=120 °，将△ABD沿 BD折起，使点 A到达 A1的位置，且二面角 A1-BD -C 为 60°．1）求异面直线 A1C与 BD 所成角的大小；2）若点 E为 A1C中点，求直线 BE与平面 A1DC 所成角的正弦值．19.草果可按果径 M（最大横切面直径，单位： mm．）分为五个等级： M≥ 80时为 1 级， 75≤M < 80时为 2级， 70≤M < 75时为 3级， 65≤M<70时为 4级， M<65时为 5级，不同果径的苹果，按照不同外观指标又分为特级果、一级果、二级果．某果园采摘苹果 10000个，果径 M 均在［60 ，85］内，从中随机抽取 2000个苹果进行统计分析，得到如图 1 所示的频率分布直方图，图 2为抽取的样本中果径在 80以上的苹果的等级分布统计图．（1）假设 M 服从正态分布 N（μ，σ2），其中μ的近似值为果径的样本平均数（同一组据用该区间的中点值代替），σ2 =35.4，试估计采摘的10000 个苹果中，果径 M 位于区间（ 59.85， 77.7）的苹果个数：（2）已知该果园今年共收获果径在 80以上的苹果 800kg，且售价为特级果12 元/kg，一级果 10 元/kg，二级果 9元/kg．设该果园售出这 800kg苹果的收入为 X，以频率估计率，求 X 的数学期望．附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（μ，σ2），则 P（μ-σ<Z<μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ<Z<μ +2σ） =0.9545 ，≈ 5.95．20.已知|MN |=1， =3 ，当 N，M 分别在 x轴， y轴上滑动时，点 P的轨迹记为E．（1）求曲线 E 的方程：（2）设斜率为 k（k≠0）的直线 MN与E交于 P， Q两点，若 |PN |=|MQ |，求 k．21.已知 f （ x） =4 e x-e-2x-ax．（ 1）若 f（ x）在 R上单调递增，求 a 的取值范围；（ 2）若 f（ x）有两个极值点 x1，x2， x1<x2，证明：（ i） x1+x2> 0；（ii） f（x1）+f（x2）<6．22.在直角坐标系中，圆，圆．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（ 1）求圆，的极坐标方程；（ 2）设，分别为，上的点，若为等边三角形，求．23.已知 f （ x） =|ax+1|+|ax-1|-2a-4．（1）若 f（x）≥0，求 a 的取值范围；（2）若 a>0，y=（x）的图象与 x 轴围成的封闭图形面积为 S，求 S的最小值．第 5 页，共14 页∴cos α=．故选： A ．由已知结合任意角的三角函数的定义求得4cos 4α-17cos 2α +4=0，解方程即可得解． 本题主要考查了任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式的应用， 程思想，属于中档题．1. 答案： D答案与解析解析： 解： ∵A={ x|2x > }={ x|x>-1} ，则?R A={ x|x ≤-1} 故选： D ．根据补集的定义，求出 A 在全集 R 中的补集即可． 本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目．2.解析： 解：由（ 1+i ） z=2，得z=故选： A ． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 答案： C解析： 解： ∵a 4=6， a 3+a 5=a 10，∴2a 4=a 4+6d ，∴d= a 4=1，∴a 12=a 4+8d=6+8=14 ，故选： C ．根据等差数列的性质和通项公式即可求出本题考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题4. 答案： A 解析： 解 ： ∵由题意可得： x=2sin α， y=3，可得： r=∴cos α ，可得： 2=cos 2α= =，整理可得： 4cos 4α-17cos 2α +4=0， cos α== ，整理可得： 考查了方∴解得： cos 2α=，或 （舍去），5. 答案： D根据定义有 2a=| - |．∴a=1 由以上可知： a 2=1，c 2=4， b 2=3 ．∴所求双曲线 C 的渐近线方程为： y=± ． 故选： D ．求出双曲线的焦点， 根据定义求出 a ，然后求出 b ．可得双曲线 C 的方程与渐近线方程． 本题考查双曲线的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查计算能力．6. 答案： C 解析： 解：直线 l ，m 和平面 α，β，① ，若存在平面 γ，使 α⊥γ， β⊥γ，则 α∥β或 α， β相交，故①错误；② ，若 l ， m 是两条异面直线， 1?α，m?β，1∥β，m ∥α，平移直线 l 到 l'与m 相交， 可得 l'∥β，由面面平行的判定定理可得 α∥β，故②正确； ③ ，若 l ⊥α，1∥m ，则 m ⊥α，又 m ⊥β，则 α∥β，故③正确． 故选： C ．由面面垂直的性质定理和面面的位置关系， 可判断①； 由面面平行的判定定理可判断②； 由线面垂直的性质定理和面面平行的判定，可判断③．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推 理能力，属于基础题．7. 答案： B 解析： 解：由 T= =π得 ω=1，∴f （x ）=sin （2x- ），向左平移 后得 y ═sin[2（ x+ ）- ]=sin（ 2x+ ），当 x= 时， sin （ 2x+ ）=sin （2× + ）=1， 故选： B ．本题考查了函数 y=Asin （ωx+φ）的图象变换，属中档题．8. 答案： B解析： 解：函数 f （ x ）=为奇函数，函数的图象关于原点对称，所以 a=2 ， x>0，y=-x 2+2x ，y ′=-2x+2，则 f （x ）在 x=2 处的切线斜率： -4+2=-2 ．故选： B ．利用函数的奇偶性求出 a ，然后通过函数的导数求解切线的斜率即可． 本题考查函数的极限以及函数的导数的应用，考查计算能力．9. 答案： C 解析： 解：由题意可知：双曲线的焦点为（ -2，0）和（ 2， 0）先由周期公式可得 ω =1，再平移得函数解析式，再代入 x= 检验可知选 B．解析：解：根据三视图知，该几何体是半球体截去一个圆锥体剩余部分，画出图形如图结合图中数据，计算该几何体的表面积为S=S半球表面积+ S半球底面圆+S圆锥侧面积-S圆锥底面圆=2π? +π? +π?1? -π?12=10π．故选： C．根据三视图知该几何体是半球体截去一个圆锥体剩余部分，结合图中数据求出它的表面积．本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．10.答案： A 解析：解：根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为，故选： A．根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可求出本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题11.答案： D 解析：解：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），点 P在C 上，以PF为半径的圆 P与 y轴交于 A，B 两点， O 为坐标原点，若 =7 ，设 A（0，t）， t>0，则 B（0，7t），则 P（ 4t 2， 4t），可得： PA2=AC2+PC2，即（ 4t2+1）2=（4t2）2+（3t）2，解得 t=1，所以圆 P 的半径 r=4t2+1=5．故选： D ．画出图形，设出 AB 坐标，利用已知条件转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质，抛物线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案： B解析： 解： ∵0=log 3 1< a=log 32=log 3 < = ， b=1og 43=> = ， = < c=1og 0.20.3< = ，则 a ， b ，c 的大小关系为 a< c< b ．故选： B ． 利用对数函数的单调性直接求解． 本题考查三个数的大小的求法， 考查对数函数的单调性等基础知识， 是基础题．13.答案： 9 解析： 解：向量 ， 满足| |=3，| |=1，且| |=| |，= ，所以故答案为： 9． 利用向量的模的平方，求出向量的数量积，转化求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力．14.答案：解析： 解：先画出满足条件的平面区域，如图示：，由 z= 得： y=z （ x+2 ），∴y=z （ x+2 ）过（ 1， 2）时， z 最大，∴z 的最大值是 ，故答案为： ．先画出满足条件的平面区域，得到 y=z （ x+2）过（ 1， 2）时， z 最大，从而求出 z 的最大值． 本题考查了线性规划问题，考查了数形结合思想，是一15. 答案： 660 解析： 【分析】 本题主要考查排列组合的应用，结合人数进行分组，以甲校分配人数进行分类即可． 四所学校分配人数为 3，1，1，1或 2，2， 1， 1，按甲校分 3人或 2人进行分类，计算 即可．【解答】 解：将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其 它三所学校至少分配一名教师，则分配人数为 3，1，1，1或 2，2，1，1，若甲校分 3人，则有 C ，其余 3人全排列，共有 C A =120， 若甲校分 2 人，则有 C ，剩余 4 人分三组然后全排列有 C C A =540 ， 共有 120+540=660 种方案， 故答案为 660．16. 答案： 27 解析： 【分析】 本题考查数列递推式，考查数列周期性的应用，是中档题． 由已知可得数列 {a n }是以 6 为周期的周期数列，由数列的周期性得答案． 【解答】 考查运算求解能力， 道中档题． 可解：由 a1=1， a n?a n+2=3a n+1（n∈N*），得： n=1 时， a3=3a2，n=2 时， a2?a4=3a3，即；n=3 时， a3a5=3a4，即；n=4 时， a4a6=3a5，即；；n=5 时， a5a7=3a6，即；n=6 时， a6a8=3a7，即．由上可知，数列 {a n} 是以 6 为周期的周期数列，则 a2019=a371×6+3=a3=3a2．∴a5?a2019= ．故答案为： 27．17.答案：解：（ 1）根据题意， 2c= a+2bcosA，则有 2sinC= sin A+2sin BcosA，即 2sin（ A+B） = sinA+2sin BcosA，所以 2（ sinAcosB+sinBcosA）= sinA+2sinBcosA，即 2sinAcosB= sinA，因为 sinA ≠0，所以 cosB= ．又 0< B< π，故 B= ；（ 2）在△ABC 中，由正弦定理可得= ，变形可得 asinB=bsinA= ，由（ 1）知 B= ，则 a=2 ，由余弦定理可得， b2=a2+c2-2accosB=19 ，所以 b= ．解析：本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．（ 1）根据题意，由正弦定理分析可得 2sinC= sinA+2sinBcosA，即 2sin（ A+B）设直线 BE 与平面 A 1DC 所成角为 θ，所以直线 BE 与平面 A 1DC 所成角的正弦值为 解析：（1）连接 AC ，交 BD 于点 O ，连接 OA 1，推导出 AC ⊥BD ，从而 OA 1⊥BD ，OC ⊥BD ， 进而 BD ⊥平面 A 1OC ，BD ⊥A 1C ，由此能求出异面直线 A 1C 与 BD 所成角的大小．（ 2）∠A 1OC 即为二面角 A 1-BD -C 的平面角，从而 ∠A 1OC=60°．以 O 为坐标原点，为 x ， y 轴正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz ，利用向量法能求出直线 BE 与平面 A 1DC 所成角的正弦值．本题考查异面直线所成角、线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 答案： 解：（ 1）平均数=62.5 ×5×0.03+67.5 5×0.05+72.5 5×0.06+77.5 5×0.04+82.55×0.02=71.75 ．所以 M 服从正态分布 N （ 71.75， 35.4）．从而有 P （ 59.85< M< 77.7） =P （μ-2σ<Z <μ +σ）=[ P （ μ-2σ< Z <μ +2σ）+P （μ-σ<Z <μ +σ）]=0.8186 ，故采摘的 10000 个苹果中，果径位于区间（ 59.85， 77.7）的苹果个数约为 10000 ×0.8186=8186（个）．（2）由图 2 可知，果径在 80以上的苹果中，特级果、一级果、二级果的概率分别为， 0.2， 0.5， 0.3设出售 800kg 果径在 80以上苹果的收入为 X 元，则 X 的分布列为：= = =则 sin θ= sinA+2sinBcosA ，结合和差公式分析可得 由 B 的范围分析可得答案； 2sinAcosB= sinA ，进而求出 cosB 的值，（ 2）根据题意，由正弦定理分析可得 进而由余弦定理分析可得答案． asinB=bsinA= ，又由 B 的值，解可得 a 的值， 18. 答案：解：（ 1）连接 AC ，交 BD 于点O ，连接OA 1，因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC ⊥BD ，从而 OA 1⊥BD ，OC ⊥BD ，又因为 OA 1∩OC=O ，所以 BD ⊥平面 A 1OC ，因为 A 1C? 平面 A 1OC ，所以 BD ⊥A 1C ， 所以异面直线 A 1C 与 BD 所成角的大小为 90°．⋯（ 5 分） （ 2）由（1）可知， ∠A 1OC 即为二面角 A 1-BD-C 的平面角，所以 ∠A 1OC=60 °． 以 O 为坐标原点，为 x ，y 轴正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz ， B （4，0，0），D （-4，0，0），C （0，4，0），A 1（0，2，6），E （0，3，3） 所以 =（ -4，3，3）， =（ 4，2，6）， =（4，4，0）设平面 A 1DC 的法向量为 =（ x ，y ， z ），，取 x=1，得 = 3，-3，-1），．⋯（ 12 分）X9600 80007200P 0.2 0.5 0.3故 E(X)=9600×0.2+8000×0.5+7200×0.3=8080 元，解析： （ 1）根据所给的频率分布直方图计算出平均数 即（ μ-2σ< Z <μ+σ），根据正态分布的对称性计算出 P （μ-2σ<Z < μ+σ） （ 2）X 的所有取值为 9600，8000，7200，然后分别求出特级果、一级果、二级果的概 率，列出分布列，求其期望即可．本题考查了正态分布，离散型随机变量的概率分布列及数学期望，属于中档题． 20. 答案： 解：（ 1）设 M （0，m ），N （n ， y ），由|MN |=1 得 m 2+n 2=1．由 =3 ，得（ x ，y-m ） =3（n ， -m ），从而 x=3 n ， y-m=-3 m ，曲线 E 的方程为 ；2) MN ： y=kx+t ，∴n=- ．①设 P （x 1，y 1）， Q （x 2，y 2），将 MN 代入到 E 的方程并整理，可得（∵|PN |=|MQ |，所以 MN 和 PQ 的中点重合，联立①②可得 k 2= ，故 k= ．解析： （1）设 M （0，m ），N （n ，0），P （x ，y ），由题意可得 m 2+n 2=1．再由 =3 ， 得 n= ，m=- ，代入可得曲线 E 的方程为 ；（2）设 MN ：y=kx+t ，得 n=- ．设 P （x 1，y 1）， Q （x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方 程，利用根与系数的关系可得 PQ 的中点坐标，结合 |PN|=|MQ |，得 MN 和 PQ 的中点重 合，由此列式求得 k 值． 本题考查利用待定系数法求轨迹方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是中档题．21. 答案： （1）解： ∵f （x ）=4e x -e -2x -ax ，∴f ′（ x ）=4e x +2e -2x-a ， 令 g （x ）=4e x +2e -2x -a ，则 g ′（ x ）=4e x -4e -2x ，显然 g ′（ x ）在（ -∞， +∞）单调递增，且 g ′（ 0）=0，∴当 x ∈（-∞，0）时， g ′（x ）< 0， g （ x ）单调递减；当 x ∈（0，+∞）时， g ′（ x ）> 0，g （x ）单调递增．∴g （ x ）的最小值为 g （0）=6-a ，即 f ′（ x ）的最小值为 6-a ，，进而得到 M ∈（59.85， 77.7）4+9k 2)x 2+18ktx+9t 2-36=0 ，②要使 f （x ）为单调增函数，则有 f ′（ x ）≥0，∴6-a ≥0，故 a ≤6．（ 2）证明：（ ⅰ ）由（ 1）得 g （ x ）的两个零点为 x 1， x 2， x 1< 0< x 2，且 a> 6．f （x ）在（ -∞， x 1）和（ x 2， +∞）上单调递增，在（ x 1，x 2）上单调递减．令 h （ x ）=g （ x ）-g （-x ），则 h ′（ x ）=g ′（x ）+g ′（ -x ）=4e x -4e -2x +4e -x -4e2x =4[-（e x +e -x ）2+（e x +e -x ）+2] =4[2- （ e x +e -x ） ][1+ （e x +e -x ）]<0， ∴h （ x ）在（ 0，+∞）上单调递减， 当 x>0时， h （x ）< h （ 0） =0． ∴g （x 2）-g （-x 2）<0，从而 g （ x 2）< g （-x 2），又 g （ x 2） =g （ x 1） =0，∴g （ x 1）< g （-x 2），∵g （ x ）在（ -∞， 0）上单调递减， x 1， -x 2∈（ -∞， 0），∴x 1>-x 2，故 x 1+x 2>0．（ⅱ）f （x ）+f （-x ）=4e x -e -2x +4e -x -e 2x =-（e x +e -x ）2+4（e x +e -x ）+2=-（ e x + e -x -2） 2+6≤6．由（ ⅰ）得 x 1+x 2>0， ∴x 2>-x 1>0，由 f （ x ）在（ x 1，x 2）上单调递减，可得 f （ x 2）< f （ -x 1），从而有 f （ x1） +f （x 2）< f （x 1）+f （ -x 1） ≤6，∴f （x 1）+f （x 2）< 6． 解析： （1）求出原函数的导函数 f ′（ x ），再求导函数的导函数，得到 f ′（ x ）的单调性，再由求 f ′（ x ）的最小值，由最小值大于等于 0可得 a 的取值范围； （ 2）（ ⅰ）由（ 1）得 f ′（ x ）的两个零点为 x 1， x 2， x 1<0<x 2，且 a>6．得到 f （x ） 的单调区间，令 h （x ） =g （x ） -g （ -x ），利用导数得到 h （ x ）在（ 0， +∞）上单调递 减，则当 x>0时，h （x ）< h （ 0） =0．得到 g （ x 2）< g （ -x 2），结合 g （x 2）=g （x 1） =0，可得 g （x 1）< g （-x 2），再由单调性证明 x 1+x 2>0．（ ⅱ ）首先证明 f （ x ） +f （ -x ） ≤6．由（ ⅰ ）得 x 2>-x 1> 0，再由 f （ x ）在（ x 1，x 2）上 单调递减，可得 f （ x2）< f （ -x 1），从而得到 f （ x 1） +f （ x 2）< 6．本题考查利用导数研究函数的单调性， 考查利用导数求函数的极值， 考查分析问题与解 决问题的能力，属难题． 22. 答案： 解：（ 1）依题意可得，圆 C 1：（ x-1） 2+y 2=1； 圆 C 2：（ x+2） 2+y 2=4．所以 C 1：x 2+y 2=2x ； C 2： x 2+y 2=-4x ，因为 x 2+y 2=ρ2， x=ρcos θ，所以 C 1： ρ =2cos ；θC 2： ρ=-4cos θ；（2）因为 C 1，C 2都关于 x 轴对称， △OAB 为等边三角形， 所以不妨设 A（ρA ，θ），B （ρB ，θ+）， 0<θ< ． 依题意可得， ρA =2cos θ，ρB =-4cos （ θ+）从而 2cos θ=-4cos （ θ+），整理得， 2cosθ= sin θ，所以 tan θ= ，又因为 0<θ< ，所以 cos θ= ，解析： 本题考查极坐标方程， ρ的几何意义的应用，是中档题．（ 1）由直角坐标方程与极坐标方程的互化即可求解；（2）因为 C 1，C 2都关于 x 轴对称， △OAB 为等边三角形，所以不妨设 A （ρA ，θ），B因为 a+ ≥2 ，等号当且仅当 a= 时成立， 所以当 a= 时， S 取得最小值 4 +8．⋯（ 10分）解析： （1）利用绝对值不等式的性质求得最小值，再解关于 a 的不等式即可；（ 2）把 y=f （x ）变成分段函数，画出图象后得等腰梯形，再求出面积． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． ，依题意可得， ρA =2cos θ， ρB =-4cos （ θ+），联立极坐标方程可 解得．23. 答案： 解：（ 1）因为 |ax+1|+|ax-1| ≥（|ax+1） -ax-1）|=2，等号当且仅当（ ax+1 ）（ ax-1）≤0时成立， 所以 f （ x ）的最小值为 2-2a-4=-2 a-2． 依题意可得， -2a-2≥0，所以 a ≤-1 ．⋯（ 4 分）（ 2）因为 a> 0， f （ x ）=|ax+1|+|ax-1|-2a-4，所以 x ）所以 y=f （ x ）的图象与 x 轴围成的封闭图形为等腰梯形 ABCD ，且顶点为 A -1 -2a-2）， D （ ， -2a-2 ） 从而 S=2（ 1 ）（ a+1 ） =2（ a+ ）+8． |AB|=|OA|=ρ=ρB ，θ 0<θ< 0），，0），B （1。
河北省2017届高三下学期二模考试数学理试题Word版含答案
河北省武邑中学2017届高三下学期二模考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}2540B x Z x x =∈-+≥，则()U A C B ⋂=（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,2 C ．{}2,3 D ．{}2 2.已知i 是虚数单位，则21ii=+（ ） A ．1 B ．2．2 D ．23. 某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是．．黄灯的概率是（ ） A ．1415 B ．115 C ．35 D ．124.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且21243724,4a a a a a +==，则5a =（ ） A ．116 B ．18D ．40 5.已知正方形ABCD 的边长为6，M 在边BC 上且3BC BM =，N 为DC 的中点，则AM BN ⋅=（ ）A ．6-B ．12 D ．12- 6.给出下列四个命题：①若x A B ∈⋂,则x A ∈或x B ∈； ②()2,x ∀∈+∞，都有22x x >；③若,a b 是实数，则a b >是22a b >的充分不必要条件； ④“2000,23x R x x ∃∈+>”的否定是“2,23x R x x ∀∈+≤”. 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2 D ．47. 已知等比数列{}n a 的公比0q >，2211,6n n n a a a a ++=+=，则{}n a 的前4项和4S =（ ）A ．152 B ．152- C. 15 D ．30 8. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体 积是（ ）A ．50B ．75 C. D ．9. 已知函数()()1cos22sin 2f x m x m x =+-，其中12m ≤≤.若函数()f x 的最大值记为()g m ，则()g m 的最小值为（ ）A ．14- B ．1 C. 333110. 已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，,A B 分别为C 的左、右顶点.O 为坐标原点，D 为C 上一点，DF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段DF 交于点E ，与y 轴交于点M ，直线BE 与y 轴交于点N ，若32OM ON =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．611.如图，已知椭圆221:14x C y +=，曲线22:1C y x =-与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于,A B 两点，直线,MA MB 分别与1C 相交于,D E 两点，则ME MD⋅的值是（ ）A ．正数B ．0 C. 负数 D ．皆有可能12.已知函数()ln f x x =，()20,01,42,1,x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩若方程()()f x g x a +=有4个实根，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．()0,2ln 2- C.[]1,2ln 2- D ．[)1,2ln 2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x = ．14.过定点M 的直线：120kx y k -+-=与圆：()()22159x y ++-=相切于点N ，则MN = ．15.在梯形ABCD 中，//AD BC ，024AB BC AB BC ⋅===，，，AC 与BD 相交于点E ，AC BD ⊥则AE CD ⋅= ．16.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2511,,a a a 成等比数列，且()()*1120,,m n a S S m n m n N =->>∈，则m n +的值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且()223a c b ac +=+. （1）求角B 的大小；（2）若2b =，且()sin sin 2sin 2B C A A +-=，求ABC ∆的面积.18. 当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取n 名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图 ：（1）求出表中的,,a b n 的值，并补全频率分布直方图；（2）媒体记者为了做好调查工作，决定从所随机抽取的市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[)30,40的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[)30,40的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 19.己知矩形ADEF 和菱形ABCD 所在平面互相垂直，如图，其中12AF AD ==，，3ADC π∠=，点N 是线段AD 的中点.（1）试问在线段BE 上是否存在点M ，使得直线//AF 平面MNC ?若存在，请证明//AF 平面MNC ，并求出BMME的值；若不存在，请说明理由； （2）求二面角N CE D --的正弦值.20.已知点,A B 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右顶点，点()0,2P -，直线BP 交E 于点Q ，32PQ QB =且ABP ∆是等腰直角三角形.（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点P 的动直线l 与E 相交于,M N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.21.函数()ln 4p x x x =+-，()()x q x axe a R =∈. （1）若a e =，设()()()f x p x q x =-，试证明()f x '存在唯一零点010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，并求()f x 的最大值；（2）若关于x 的不等式()()p x q x <的解集中有且只有两个整数，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是13cos ,3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1ρ=. （1）分别写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （2）若射线l 的极坐标方程()03πθρ=≥，且l 分别交曲线12C C 、于A B 、两点，求AB .23.选修4-5:不等式选讲 己知函数()3f x x x =+-.(1)解关于x 的不等式()5f x x -≥；（2）设(){},m n y y f x ∈=，试比较4mn +与()2m n +的大小.试卷答案一、选择题1-5: CDABA 6-10: ADDDC 11、12：BD二、填空题13. 由图中条件求得2A T π==，则=2ω，再代入点,23π⎛⎫⎪⎝⎭可得=6πϕ-，故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 14. 415. ()2165AE CD AE CE AE CE BE ⋅=⋅-=-⋅=-=-三、解答题17.解：（1）把()223a c b ac +=+整理得，222a c b ac +-=，由余弦定理有2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，∴cos 3B π=.(2)ABC ∆中，A B C π++=，即()B A C π=-+，故()sin sin B A C =+， 由已知()sin sin 2sin 2B C A A +-=可得()()sin sin 2sin 2A C C A A ++-=， ∴sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos A C A C C A C A A A ++-=， 整理得cos sin 2sin cos A C A A =. 若cos 0A =，则2A π=，于是由2b =，可得223tan c B ==， 此时ABC ∆的面积为1232S bc ==.若cos 0A ≠，则sin 2sin C A =， 由正弦定理可知，2c a =，代入222a c b ac +-=整理可得234a =，解得23a =，进而43c =， 此时ABC ∆的面积为123sin 2S ac B ==.∴综上所述，ABC ∆的面积为23. 18. 解:(1)由题意知频率分布表可知:50.05100n =÷=，所以1000.3535a =⨯=， 300.3100b == 补全频率分布直方图，如图所示，(2)设抽出的20名受访者年龄在[)30,35和[)35,40分别有,m n 名，由分层抽样可得201003530m n==，解得7,6m n==，所以年龄在[)30,40共有13名.故ξ可能取值为0，1，2.()0267213726C CPCξ===，()11672137113C CPCξ===，()20672135226C CPCξ===ξ的分布列为：∴7751201226132613Eξ=⨯+⨯+⨯=19.解：（1）作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点. 证明：连接PN，∵N是AD的中点，P是FE的中点，∴//PN AF，又PN⊂平面MNC，AF⊄平面MNC，∴直线//AF平面MNC.∵//,//PE AD AD BC，∴//PE BC，∴2BM BCME PE==.（2）由（1）知PN AD⊥，又面ADEF⊥面ABCD，面ADEF⋂面ABCD AD=，PN⊂面ADEF，所以PN⊥面ABCD.故,PN AD PN NC⊥⊥.以N为空间原点，,,ND NC NP分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系N xyz-，∵23ADC AD DC π∠===，，∴ADC ∆为正三角形，3NC = ∴()()()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1,1N CD E ，∴()()()()0,1,1,3,0,0,0,0,1,3,1,0NE NC DE DC ====-.设平面NEC 的一个法向量()1,,n x y z =，则由110,0n NE n NC ⋅=⋅=可得 0,30,y z x +=⎧⎪=令1y =，则()10,1,1n =-. 设平面CDE 的一个法向量()2111,,n x y z =，则由220,0n DE n DC ⋅=⋅=可得 1110,30,z x y =⎧⎪-=令11x =，则()21,3,0n =. 则12121236cos ,22n n n n n n ⋅===， 设二面角N CE D --的平面角为θ，则2610sin 14θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴二面角N CE D --10. 20.（1）2214x y +=；（2）332,⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：（1）由题意知ABP ∆是等腰直角三角形，所以()()2,2,0,2,0a A B =-， 设(),Q x y ，由32PQ QB =，解得64,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程，解得21b =.∴椭圆方程为：2214x y +=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设其方程为2y kx =-，()()1122,,,M x y N x y 由22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得:()221416120k x kx +-+=. 由直线l 与E 有两个不同的交点，则0∆>， 即()()2216412140k k --⨯⨯+>，解得:234k >，由韦达定理可知:1212221612,1414k x x x x k k+==++， 由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外， 则0OM ON ⋅>，即12120x x y y +>，即()()()()212121212121222124x x y y x x kx kx k x x k x x +=+--=+-++ ()2221216101414kk k k k=+-2+4>++， 解得:24k <， 综上可知，2344k <<，解得:32k -<<32k << 直线l 斜率的取值范围332,⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 21.（1）证明：由题意知()ln 4x f x x x exe =+--，于是()()()()()1111111x x xx exe x f x e x e e x e x x x+-+'=+-+=-+=令()1x x exe μ=-，()()()100x x e x e x μ'=-+<>， ∴()x μ在()0,+∞上单调递减.又()11010,10e e e μμ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以存在010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00x μ=，综上()f x 存在唯一零点010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.解：当()()00,,0x x x μ∈>，于是()0f x '>，()f x 在()00,x 单调递增； 当()()0,,0x x x μ∈+∞<，于是()0f x '<，()f x 在()0,x +∞单调递减； 故()()0000max ln 4x o f x f x x x ex e ==+--， 又()00010x x ex e μ=-=，001x x e e =，0001ln 1ln x x x e ==--， 故()()00max1ln 1ln 4516x o f x x x e ex =+----⋅=--=-.（2）解：()()p x q x >等价于ln 4x x x axe +->.ln 4ln 4ln 4x x x x x x x x x axe a xe xe+-+-+->⇔<=， 令()ln 4xx x h x xe +-=，则()()()21ln 5x x x x h x x e ++-'=， 令()ln 5x x x ϕ=+-，则()110x x ϕ'=+>，即()x ϕ在()0,+∞上单调递增. 又()()3ln320,4ln 40ϕϕ=-<=>，∴存在()0,t t ∈，使得()0t ϕ=.∴当()()()()0,,0x t x h x h x ϕ'∈<0⇒>⇒在()0,t 上单调递增； 当()()()(),,0x t x h x h x ϕ'∈+∞>0⇒<⇒在(),t +∞上单调递减.∵()()23ln 2210,202h h e e -=-<=<，()3ln31303h e -=>， 且当x >3时，()0h x >， 又()()()2332ln 2ln311,2323h h h e e e --==>=，()42ln 44h e =， 故要使不等式()()p x q x >解集中有且只有两个整数，a 的取值范围应为32ln312ln 232a e e --≤≤. 22.解：（1）将1C 参数方程化为普通方程为()2213x y -+=，即22220x y x +--=，∴1C 的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=.将2C 极坐标方程化为直角坐标方程为221x y +=.（2）将=3πθ代入1:C 22cos 20ρρθ--=整理得220ρρ--=，解得12ρ=，即12OA ρ==. ∵曲线2C 是圆心在原点，半径为1的圆，∴射线=3πθ()0ρ≥与2C 相交，即21ρ=，即21OB ρ==.故12211AB ρρ=-=-=. 23.解：（1）()32,033,0323,3x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-=≤≤⎨⎪->⎩得0325x x x <⎧⎨-≥+⎩ 或0335x x ≤≤⎧⎨≥+⎩ 或3235x x x >⎧⎨-≥+⎩，解得23x ≤- 或x ∈∅ 或8x ≥， 所以不等式的解集为[)2,8,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦. （2）由（1）易知()3f x ≥，所以3,3m n ≥≥.由于()()()()2422422m n mn m mn n m n +-+=-+-=--.且3,3m n ≥≥，所以20,20m n ->-<，即()()220m n --<， 所以()24m n mn +<+.。
2019年9月河北省唐山市2019~2020学年度高2020届高2017级高三年级摸底考试理科数学试题参考答案
＝P (CA1)P (CB1)＋P (CA1)P (CB2)＋P (CA2)P (CB2)．
|FA|＋|FB|＝x421＋1＋x422＋1 ＝(x1＋x2)42－2x1x2＋2．
…4 分
当 k＝1 时，由①②得|FA|＋|FB|＝10
…5 分
( ) ( ) （2）由题意可知，→ FA ＝ x1，x421－1 ，→ FB ＝ x2，x422－1 ，→ FC ＝(－3，－3).
由→ → PPCB ··nn＝＝00，，得ya－x＋z＝y－0，z＝0，取 n＝(0，1，1)．
…7 分
y D
C
O
x
A
B
又因为 0＜A＜π，所以 sin A≠0，
直线 BD 与平面 PBC 所成的角为 30，得
因此 b＝3ccos A．
（2）因为
tan A＝2，所以
cos A＝
5 5
P (C)＝280×1200＋280×230＋1210×230＝143070．
…12 分
|→ → FFAA ·||→ → FFCC |＝|→ → FFBB ·||→ → FFCC |，整理得 4＋2(x1＋x2)－x1x2＝0，
解得
k＝－
3 2
，
所以，直线 l 的方程为 3x＋2y－4＝0．
…11 分 …12 分
∴PA∥平面 BED．
…4 分
（2）以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，
y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 D－xyz，设 PD＝CD＝1，
z P
E
二．填空题： （13）0
三．解答题：
（14） 32
( ] （15）
9 8
，183
2020届河北省衡水中学2017级高三下学期二调考试数学(理)试卷及解析
2020届河北省衡水中学2017级高三下学期二调考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题1.已知集合{1,3,4,5}A =,集合2{}450|B x Z x x =∈--<,则A B 的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C试题分析：由2450x x --<,解得15x -<<,所以{}0,1,2,3,4B =,所以{}1,3,4A B ⋂=,所以A B ⋂的子集个数为328=,故选C ． 2.如图,复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等,若复数z 所对应的点为1Z ,则复数•z i （i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A. 1ZB. 2ZC. 3ZD. 4Z【答案】B 试题分析：z i ⋅为将复数z 所对应的点逆时针旋转90得2Z ,选B.【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如()()()(),(,,.)a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +、共轭为.a bi -3.下列四个函数,在0x =处取得极值的函数是（ ）①3y x = ②21y x +=③y x =④2x y =A. ① ②B. ② ③C. ③ ④D. ① ③【答案】B【详解】试题分析：能不能取得极值要看函数在这个导函数的零点处的两边是否异性单调．通过检验②③这两个函数在处的左右两边情况是：左边是减函数,右边是增函数,因此是极值点．而①④两个函数都是单增的,所以应选B．4.已知变量,x y满足：20{230x yx yx-≤-+≥≥,则2(2)xyz+=的最大值为（）A. 2B. 22C. 2D. 4【答案】D试题分析：作出满足不等式组的平面区域,如图所示,由图知目标函数12z x y=+经过点(1,2)A时取得最大值,所以212max(2)4z⨯+==,故选D．5.执行如图所示的程序框图,输出的结果是（）A. 5B. 6C. 7D. 8。
2020届河北省唐山市2017级高三下学期一模考试数学(理)试卷及答案
2020届河北省唐山市2017级高三下学期一模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项：1、答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3、考试结束后,将本试卷和答题卡一井交回。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2,1,0,1-=A ,{}x y y B 2==,B A M I =,则集合M 的子集个数是A ．2B ．3C ．4．D ．82．设i 是虚数单位,复数ii z -+=32,则z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010 年第六次全国人口普查资料表明,随着我国社会经济的快速发展,人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善,我国人口平均预期寿命继续延长,国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况,依据此图,下列结论错误的是A ．男性的平均预期寿命逐渐延长B ．女性的平均预期寿命逐渐延长C ．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D ．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺,深一丈八尺,问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能放多少斛米”（古制1文=10尺,1斛=1.62立方尺,圆周率π=3）,则该圆柱形容器能放米A ．900 斛B ．2700斛C ．3600斛D ．10800斛。
2020年河北省唐山市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
（2）若 c=1，△ABC 的面积为 ，求 b．
18. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ABC=120°，将△ABD 沿 BD 折起，使点 A 到 达 A1 的位置，且 A1C= ． （1）证明：A1C⊥BD； （2）求点 B 到平面 A1DC 的距离．
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移 个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴为（ ）
A. x=0
B. x=
C. x=
D. x=
8. 已知双曲线 C： - =1（a＞0，b＞0）的焦距为 4，A（2，3）为 C 上一点，则 C
的渐近线方程为（ ）
A. y= x
B. y=±x
C. y= x
D. y= x
9. 已知直线 l，m 和平面 α，β，有如下三个命题：
16. 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的上顶点为 A，左焦点为 F1，延长 AF1 与椭圆交
于点 B，若以 AB 为直径的圆经过椭圆的右焦点 F2，则椭圆的离心率为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2c= a+2bcosA．
4.答案：C
解析：解：a=log0.52＜0，b=20.5＞1，c=log52∈（0，1）， 则 a，b，c 的大小关系是 a＜c＜b． 故选：C． 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.答案：A
解析：解：∵函数 f（x）是奇函数， ∴f（-x）=-f（x）， 则 f（-1）=-f（1）， 即 1+a=-a-1， 即 2a=-2，得 a=-1， 故选：A． 结合奇函数的性质建立方程进行求解即可． 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据奇偶性的性质建立方程是解决本题的关键．
2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)
-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。
河北省唐山市高三数学第二次模拟考试试题 文(扫描版)
河北省唐山市2017届高三数学第二次模拟考试试题文（扫描版）唐山市2016—2017学年度高三年级第二次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：CCBBD CADBA DAB 卷：BCBCD CADCA DA 二．填空题： （13）(－1,1] （14）1（15）532（16） 1 2三．解答题：（17）解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q （q ＞0），则⎩⎨⎧(1＋2d )q ＝14，(1＋2d )－q ＝5，…2分解得：⎩⎨⎧d ＝3，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－ 32，q ＝－7（舍）． …4分 所以a n ＝3n －2，b n ＝2n －1．…6分（Ⅱ）S n ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )＝n (1＋3n －2)2＋1－2n1－2…10分 ＝3n 2－n 2＋2n －1．…12分（18）解：（Ⅰ）设抽取的100名学生中大一 学生有x 人，则x2400＝1008000， 解得，x ＝30，所以抽取的100名学生中大一学生有30人. …4分（Ⅱ）频率分布直方图如右上图所示．…8分（Ⅲ）t －＝1×0.050×2＋3×0.200×2＋5×0.125×2＋7×0.100×2＋9×0.025×2 ＝4.4．所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为4.4小时． …12分（19）解：（Ⅰ）当BM ＝3时，有EM ∥平面PCD ． 取PD 中点F ，连接EF ,CF ， ∵E ，F 分别为PA ，PD 的中点，∴EF ∥AD ，且EF ＝ 12AD ＝1.又∵梯形ABCD 中，CM ∥AD ，且CM ＝1， ∴EF ∥CM ，且EF ＝CM ，∴四边形EMCF 为平行四边形．∴EM ∥FC ．又∵EM ⊄平面PCD ，FC ⊂平面PCD ，∴EM ∥平面PCD ． 即当BM =3时， EM ∥平面PCD ． …6分 （Ⅱ）∵E 为PA 的中点，∴点P 到平面DEM 的距离等于点A 到平面DEM 的距离，设点P 到平面DEM 的距离为d ， …8分 由已知可得，AM ＝MD ＝ED ＝5，EM ＝6， ∴S △AMD ＝2，S △DEM ＝212，…10分由V A －DEM ＝V E －AMD 得， 1 3S △DEM ·d ＝ 13S △AMD ·EA ，∴d ＝S △AMD ·EA S △DEM ＝42121， 所以点P 到平面DEM 的距离为42121．…12分（20）解：（Ⅰ）设C (x ，y )（y ≠0），因为B 在x 轴上且BC 中点在y 轴上，所以B (－x ，0)，由|AB |＝|AC |得，(x ＋1)2＝(x －1)2＋y 2，化简得，y 2＝4x ．所以C 点的轨迹Γ的方程为y 2＝4x （y ≠0）． …4分 （Ⅱ）直线l 的斜率显然存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx －2，M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx －2，得ky 2－4y －8＝0， …6分 y 1＋y 2＝ 4 k ，y 1y 2＝－ 8k． …8分k MQ ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2，同理k NQ ＝4y 2＋2．k MQ ·k NQ ＝4y 1＋2·4y 2＋2＝16y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝4．所以Q (1，2)与M ，N 两点连线的斜率之积为定值4．…1 （21）解：（Ⅰ）f '(x )＝ 1 x － ax2，…1分设f (x )的图象与x 轴相切于点(x 0，0)， 则⎩⎨⎧f (x 0)＝0，f '(x 0)＝0，即⎩⎨⎧ln x 0＋ ax 0－1＝0，1 x 0－ a x 20＝0，解得，a ＝x 0＝1． 所以，f (x )＝l n x ＋1x－1． …3分f (x )≤(x －1)2x等价于ln x ≤x －1．设h (x )＝ln x －x ＋1，则h '(x )＝1x－1，当0＜x ＜1时，h '(x )＞0，h (x )单调递增； 当x ＞1时，h '(x )＜0，h (x )单调递减； 所以h (x )≤h (1)＝0． 即ln x ≤x －1，（*） 所以，f (x )≤(x －1)2x．…6分（Ⅱ）设g (x )＝(b －1)log b x －x 2－12，g '(x )＝b －1x ln b －x ＝(－ln b )x 2＋b －1x ln b．由g '(x )＝0得，x 0＝b －1ln b． …8分由（*）式可得，当x ＞1时，ln x ＜x －1，即x －1ln x ＞1；以 1 x 代换x 可得：ln 1 x ＜ 1x －1，有ln x ＞x －1x ，即x －1ln x＜x ． 所以当b ＞1时，有1＜x 0＜b ． …10分 当1＜x ＜x 0时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； 当x 0＜x ＜b 时，g '(x )＜0，g (x )单调递减． 又因为g (1)＝g (b )＝0，所以g (x )＞0．即(b －1)log b x ＞x 2－12． …12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 1的普通方程为：3x －y －3＝0；…2分 曲线C 2的直角坐标方程为：x23＋y 2＝1．…5分 （Ⅱ）将直线C 1的参数方程代入C 2的直角坐标方程整理得：5t 2＋2t －4＝0，…7分t 1＋t 2＝－ 25．由t 的几何意义可知，||MA |－|MB ||＝|t 1＋t 2|＝ 25．…10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥1，2，－1＜x ＜1，－2x ，x ≤－1．…2分由f (x )的单调性及f (x )＝4得，x ＞2或x ＜－2．所以不等式f (x )＞4的解集为P ＝{x |x ＞2或x ＜－2}．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，|m |＞2，|n |＞2．所以m 2＞4，n 2＞4．(mn ＋4)2－4(m ＋n )2＝(m 2－4)(n 2－4)＞0，所以(mn ＋4)2＞4(m ＋n )2，从而有|mn ＋4|＞2|m ＋n |． …10分。
2020届河北省唐山市2017级高三下学期第二次模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届河北省唐山市2017级高三下学期第二次模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合203x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭,{}2B x x =>,则A B =（ ）A. (,)-∞+∞B. [)2,2-C. ()2,3D. (]2,3【答案】C【解析】化简集合A ,直接求出A B . 【详解】由题203x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭{|23}x x =-≤<,则A B ={|23}x x <<.故选：C.2.已知复数13aiz i +=+为纯虚数（其中i 为虚数单位）,则实数a =（ ）A. 3-B. 3C. 13- D. 13【答案】A【解析】化简复数z 代数形式,根据复数为纯虚数,列出方程组,即可求解.【详解】由题意,复数()()()()1313313331010ai i ai aa z i i i i +-++-===+++-,因为复数z 为纯虚数,可得30310a a +=⎧⎨-≠⎩,解得3a =-.故选：A.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,24a =,40a =,则5S =（ ）A. 2-B. 0C. 10D. 20【答案】C【解析】由等差数列的性质,可得12454a a a a =+=+,再结合等差数列的性质,即可求解.【详解】由题意,等差数列{}n a 的前n 项和为n S , 424,0a a ==, 根据等差数列的性质,可得12454a a a a =+=+, 又由1555()541022a a S +⨯===. 故选：C.4.已知1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则cos2=α（ ） A. 79- B. 79C. 89- D. 89 【答案】A【解析】 由诱导公式化简1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,得1cos 3α=-,再用二倍角余弦公式求出cos2α. 【详解】由1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,得1cos 3α=-,则cos2=α2272cos 1199α-=-=-. 故选：A.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长度为（ ）。
2020年河北省唐山市高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
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解析：解：∵0=log31＜a=log32=log3 ＜
=，
b=1og43=
＞
=，
=
＜c=1og0.20.3＜
=，
则 a，b，c 的大小关系为 a＜c＜b． 故选：B． 利用对数函数的单调性直接求解． 本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题．
2020 年河北省唐山市高考数学二模试卷（二）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|2x＞ }，则∁RA=（ ）
A. {x|x＞1}
B. {x|0＜x≤-1}
C. {x|x＞-1}
D. {x|x≤-1}
2. 已知复数 z 满足（1+i）z=2，则 z 的共轭复数为（ ）
14. 设变量 x，y 满足约束条件
，则 z= 的最大值为______．
15. 将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其 它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有______种．（用数字作答）
16. 各项均为正数的数列{an}满足 a1=1，an•an+2=3an+1（n∈N*），则 a5•a2019=______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，2c= a+2bcosA．
6.答案：C
解析：解：直线 l，m 和平面 α，β， ①，若存在平面 γ，使 α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β 或 α，β 相交，故①错误； ②，若 l，m 是两条异面直线，1⊂α，m⊂β，1∥β，m∥α，平移直线 l 到 l'与 m 相交， 可得 l'∥β，由面面平行的判定定理可得 α∥β，故②正确； ③，若 l⊥α，1∥m，则 m⊥α，又 m⊥β，则 α∥β，故③正确． 故选：C． 由面面垂直的性质定理和面面的位置关系，可判断①；由面面平行的判定定理可判断②； 由线面垂直的性质定理和面面平行的判定，可判断③． 本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推 理能力，属于基础题．
2017届高三下学期二模考试(理)数学试题(附答案)
2 3．若 x ,y 满足 ⎨ x + y ≤ 0 ,则 x + 2 y 的最大值为（ ）⎪ y ≥ 0 2D ．216B．北京市东城区 2017 届高三下学期二模数学试卷（理科）一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合 A = {x | x ﹣4＜0} ,则 RA =（ ）A ． {x | x ≤ -2或x ≥ 2}B ． {x | x ＜-2或x ＞2}C ．{x | -2＜x ＜2}D ．{x | -2 ≤ x ≤ 2}2．下列函数中为奇函数的是（ ）A ． y = x + cosxB ． y = x + sin xC ． y = xD ． y = e - x⎧ x - y + 1 ≥ 0⎪ ⎩A ． -1B ．0C ． 14．设 a, b 是非零向量,则“ a, b 共线”是“ | a + b |=| a | + | b | ”的（）A ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{a n }为递增数列, S n 是其前 n 项和．若 a + a = 1 5 17 2, a a = 4 ,则 S =（ ） 2 4 6A ． 2727 863 63 C ． D ．4 26．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n = 5,v = 1, x = 2 ,则程序框图 计算的是（）A ． 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1B ． 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 5C ． 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 2 + 1D ． 24 + 23 + 22 + 2 + 147．动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离Y与动点P所走过的路程X的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是（）A．B．C．D．8．据统计某超市两种蔬菜A,B连续n天价格分别为a,a,a,⋯,a,和b,b,b,,令123n123M={m|a＜b,m=1,2,,n},若M中元素个数大于3n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格, m m记作：A,B,现有三种蔬菜A,B,C,下列说法正确的是（）A．若A<B,B<C,则A<CB．若A<B,B<C同时不成立,则A<C不成立C．A<B,B<A可同时不成立D．A<B,B<A可同时成立二、填空题共6小题,每小题5分,共30分．9．复数i(2-i)在复平面内所对应的点的坐标为_______．10．在极坐标系中,直线ρcosθ+3ρsinθ+1=0与圆ρ=2a cosθ(a＞0)相切,则a=_______．11．某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学需从两类选修课中共选4门,若要求至少选一门B类课程,则不同的选法共有_______种．（用数字作答）12．如图,在四边形ABCD中,∠ABD=45︒,∠ADB=30︒,BC=1,DC=2,cos∠BCD=角形ABD的面积为_______．14,则BD=_______；三13．在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点14．已知函数f(x)⎨min{|x-1|,|x-3|},x∈(2,4]{}⎩min|x-3|,|x-5|,x∈(4,+∞)（Ⅱ）若（x）在⎢,⎥上单调递减,求f(x)的最大值．flE A B,A在x轴上方．若直线的倾斜角为60︒,则OA=_______．⎧|x-1|,x∈(0,2]⎪⎪①若f(x)=a有且只有一个根,则实数a的取值范围是_______．②若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是_______．三、解答题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．15．已知函数f(x)=3sin2x+a cos2x(a∈R)．（Ⅰ）若f(π)=2,求a的值；6⎡π7π⎤⎣1212⎦16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据,该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比,40%以下为舒适,40%﹣60%为一般,60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园,并游览2天．（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数,求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）17．如图,在几何体ABCDEF中,平面A D⊥平面C四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60︒,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M为BC中点．（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G,使BG⊥DE？若存在,求CGCF的值；若不存在,说明理由．n维T向量．对于两个n维T向量A,B,定义（A,B）=∑|a-b|．d,),0),A为12维T向量序列中的项,求出所有的m．18．设函数f(x)=(x2+ax-a)e-x(a∈R)．（Ⅰ）当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(-1))处的切线方程；（Ⅱ）设g(x)=x2-x-1,若对任意的t∈[0,2],存在s∈[0,2]使得f(s)≥g(t)成立,求a的取值范围．19．已知椭圆C：x2y2+a2b2=1(a＞b＞0)的短轴长为23,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A,B的一点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段B N的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF 上．20．对于n维向量A=(a,a,⋯,a),若对任意i∈{1,2,12n,n}均有a=0或a=1,则称A为i ini ii=1（Ⅰ）若A=(1,0,1,0,1)，B=(0,1,1,1,0)，求d(A B的值．（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A,A,A,⋯,若A1=(1,1,1,1,1)且满足：d(A,A+1)=2,i∈N*．求证：1231i i该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0)．（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A,A,A,,若A(1,1,,1)且满足：d(A,A)=m,m∈N*,i=1,2,3,,1231i i+112个若存在正整数j使得A(0,0,j12个j北京市东城区2017届高三下学期二模考试（理）数学试卷答案1．A2．B3．C4．B5．D6．A7．C8．C9．(1,2)10．111．1412．2；3-113．2114．①(1,+∞)；②(-4,-2)(2,4)15．解（Ⅰ）因为f(π)=3sin2631+a=2．22故得：a=1．ππ+a cos2=2, 66（Ⅱ）由题意：f(x)=3+a2sin(2x+θ),其中tanθ=a 3 ,∴函数的周期T=π,且7πππ-=, 12122所以当x=π12时,函数f(x)取得最大值,即f(x)maxππ=f()=3+a2sin(+θ)=3+a2,126π∴sin(+θ)=1,6πa∴θ=+2kπ,k∈Z.∴tanθ==3,∴a=3.33因此f(x)的最大值为23．16．解：设A表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1,2, i1根据题意,P(A)=,且事件A与A互斥．i i j ,9)．993 故 X 的期望 E( X ) = 0 ⨯ + 1⨯（Ⅰ）设 B 为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则 B = AA ．47所以 P(B) = P( A4A ) = P( A ) + P( A ) = 27 4 7． （Ⅱ）由题意,可知 X 的所有可能取值为 0,1,2,P( X = 0) = P( A 4A71A ) = P( A ) + P( A ) + P( A ) = ,8 4 7 8P( X = 1) = P( A3A 5A6A ) = P( A ) + P( A ) + P( A ) + P( A ) = 9 3 5 6 9 4 9, P( X = 2) = P( A1A ) = P( A ) + P( A ) = 2 1 2 2 9．所以 X 的分布列为X0 1 2P13 4 9 2 91 3 42 8+ 2 ⨯ = ．9 9 9（Ⅲ）从 8 月 16 日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．证明：（Ⅰ） 取CD 中点 N , 连结 M N 、FN ．因为 N , M 分别为 C D, BC 中点, 所以MN ∥BD ．又BD ⊂ 平面BDE, 且MN ⊄ 平面BDE, 所以MN ∥平面BDE ,因为 EF / / AB, AB = 2EF , 所以EF ∥CD, EF = DN ．所以四边形 EFND 为平行四边形．所以 FN ∥ED ． 又 ED ⊂ 平面BDE 且FN ⊄ 平面BDE , 所以 FN ∥平面BDE , 又 FNMN = N , 所以平面MFN ∥平面BDE ．又 FM ⊂ 平面MFN , 所以FM ∥平面BDE ． 解：（Ⅱ） 取AD 中点O , 连结EO, BO ．因为 EA = ED, 所以EO ⊥ AD ．因为平面 ADE ⊥ 平面ABCD, 所以EO ⊥ 平面ABCD, EO ⊥ BO ． 因为 AD = AB, ∠DAB = 60︒, 所以△ADB 为等边三角形．因为 O 为AD 中点, 所以AD ⊥ BO ．因为 EO, BO, AO 两两垂直, 设AB = 4,以 O 为原点, O A, O B, O E 为x, y , z 轴,如图建立空间直角坐标系 O - xyz ．-6-/15⎪ ⎩ ⎩由题意得, A (2,0,0 ), B(0,2 3,0) , C (-4,2 3,0) , D (-2,0,0 ), E (0,0,2 3) , F (-1, 3,2 3) ．CF = (3,- 3,2 3) , CE = (2,0,2 3) , BE = (3,-2 3,2 3) ．设平面 BDE 的法向量为 n =(x, y , z ),⎧n BE = 0 ⎧⎪ y - z = 0 则 ⎨ ,即 ⎨ ,⎪n DE = 0⎪ x + 3z = 0令 z = 1,则y = 1 , x = - 3 ．所以 n = (- 3,1,1) ．设直线 CF 与平面 BDE 成角为 α , sin α =| cos < CF ,n >|= 10 10,所以直线 CF 与平面ADE 所成角的正弦值为 10 10．（Ⅲ）设 G 是CF 上一点,且 CG = λ CF , λ ∈[0,1] ．因此点 G(3λ - 4, - 3λ + 2 3,2 3λ) ．BG = (3λ - 4, - 3λ,2 3λ) ．由 BG DE = 0 ,解得 λ = 49．所以在棱 CF 上存在点G 使得BG ⊥ DE ,此时CG 4= ．CF 9' ' ' ' ' 2] 2] '18．解：（Ⅰ）当 a = 0时,f (x )= x 2e - x ,∴ f (x )=( - x 2 + 2 x )e - x ,∴ f ( - 1)= - 3e ．又∵ f ( - 1)= e ,∴曲线 y = f ( x )在点(-1, f (-1)) 处的切线方程为：y - e = -3e(x + 1),即3ex + y + 2e = 0 ．（Ⅱ）“对任意的 t ∈ [0,2 ], 存在 s ∈ [0, 2]使得 f (s )≥ g (t )成立”,等价于“在区间[0,2 ]上, f (x )的最大值大于或等于g (x )的最大值”．∵ g ( x ) = x 2 - x - 1 = ( x - 1 )2 - 25 4,∴ g (x )在[0,2 ]上的最大值为g (2)= 1 ．f (x )=(2 x + a ) e - x -(x 2 + ax - a ) e - x = -e x [ x 2 +(a - 2)x - 2a] = e - x (x - 2)(x + a ) ,令 f (x )= 0, 得x = 2, 或x = -a ．①当 -a ＜0,即a ＞0时,f (x )＞0在[0，上恒成立 ,f (x )在[0， 上为单调递增函数,f (x )的最大值为f (2)=(4 + a ) 1 e 2,由(4 + a ) 1 e 2≥ 1,得a ≤ e 2 - 4②当 0＜ - a ＜2,即 - 2＜a ＜0 时,当 x ∈(0,- a )时,f (x )＜0, f (x )为单调递减函数,当 x ∈ (-a, -2)时,f '(x)＞0, f ( x ) 为单调递增函数．∴ f ( x )的最大值为f (0) = -a 或f (2) = (4 + a) 1e 2,-8-/15设点 M (x , y ),由 ⎨x 2 y 2 ,整理得(4k 2 + 3)x 2 + 16k 2 x + 16k 2 - 12 = 0 , ⎪ + = 1 ' 2] 2] , 3 + 4k 3 + 4k ①当 MF ⊥ x 轴时, x = 1,此时k = ± ．2 则 M (1,± ), N (2, ±2), E (2, ±1)．时,直线 MF 的斜率为 k=y 16k 2 + (4k 2 - 1)2 =由 -a ≥ 1,得a ≤ -1;由(4 + a)1≥ 1 ,得 a ≤ e 2-4 ．e 2又∵ -2＜a ＜0,∴- 2＜a = 1 ．③当 -a ＞2,即a ＜-2 时,f (x )＜0在[0，上恒成立 ,f (x )在[0， 上为单调递减函数,f (x )的最大值为f (0)= -a ,由 -a ≥ 1, 得a ≤ -1 ,又因为 a ＜-2,所以a ＜-2 ．综上所述,实数 a 的值范围是{x | a ≤ -1或a ≥ e 2 - 4} ．19．解：（Ⅰ）由题意得 2b = 2 3 ,则 b = 3 , c = 1,则a 2 = b 2 + c 2 = 4, 则a = 2 ,x 2 y 2 ∴椭圆 C 的方程为+= 1；43（Ⅱ）证明：“ 点B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上”等价于 “ E F 平分 ∠MFB ”．设直线 AM 的方程为y = k (x + 2)(k ≠ 0),则N (2,4 k ) E (2,2 k ) ．⎧ y = k ( x + 2)⎪ 0 0⎩ 4 316k 2 - 12 -8k 2 + 6由韦达定理可知 -2 x = ,则 x =0 2 0 2, y = k (x + 2)= 0 0 12k 3 + 4k 2 ,132此时,点 E 在∠BFM 的角平分线所在的直线 y = x - 1或y = - x + 1 ,即 EF 平分∠MFB ．②当 k ≠ 1 4k 0 = ,2 x - 1 1 - 4k 2 0所以直线 MF 的方程为4kx +(4k 2 - 1)y - 4k = 0 ．所以点 E 到直线 MF 的距离d = | 8k + 2k (4k 2 - 1) - 4k | | 4k + 2k (4k 2 - 1)| (4k 2 + 1)2=| 2k(4k 2 + 1)| | 4k 2 + 1| = 2k = BE ．即点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上,20．解：（Ⅰ）由于 A = (1,0,1,0,1) , B = (0,1,1,1,0) ,由定义 d ( A,B) = ∑ | a - b | , i + = 2 ,0) , A 为 12 维 T 向 量 序 列 中 的 项 , 此 时 m综上可知：点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上．n i ii =1可得 d (A, B )= 4 ．（Ⅱ）反证法：若结论不成立,即存在一个含 5 维 T 向量序列, A , A , A ,123, A ,n使得 A = (1,1,1,1,1) A = (0,0,0,0,0,0) ．1m因为向量 A = (1,1,1,1,1)的每一个分量变为 0,都需要奇数次变化,1不妨设 A 的第 (i = 1,2,3,4,5 )个分量1变化了2n -1 次之后变成 0, 1i所以将 A 中所有分量 1 变为 0 共需要:1(2 n - 1) + (2 n - 1) + (2 n - 1) + (2 n - 1) （2n -1） （n + n + n + n + n - 2）-1次,此数为奇数．1234512345又因为 d (A , A )= m , m ∈ N * ,说明 A 中的分量有 2 个数值发生改变,ii +1i进而变化到 A , 所以共需要改变数值 2(m -1)次,此数为偶数,所以矛盾．i +1所以该序列中不存在 5 维 T 向量(0,0,0,0,0 )．（ Ⅲ ） 存 在 正 整 数 j 使 得 A = (0,0,j12个=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12．j3．解：作出 x ，y 满足 ⎨ x + y ≤ 0 表示的平面区域,⎪ y ≥ 0 得到如图的三角形及其内部,由 ⎨, x + y = 0 F = ∴ z 最大值 = F (- , ) = (26 - 1)解 析1．解：集合 A = {x | x 2-4＜0} = {x | -2＜x ＜2} ,则 RA = {x | x ≤ -2或x ≥ 2} ．故选：A ．2．解：对于 A 非奇非偶函数,不正确； 对于 B ,计算,正确,对于 C ,非奇非偶函数,不正确； 对于 D ,偶函数,不正确, 故选：B ．⎧ x - y + 1 ≥ 0 ⎪⎩⎧ x - y + 1 = 0 ⎩1 1解得 A (- , ) ,2 2设 z = （x ，y ） x + 2 y ,将直线 l ：z = x + 2 y 进行平移,当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值1 12 2 1 2．故选：C ．4．解：“ | a + b |=| a | + | b | ” “ a, b 共线”,反之不成立,例如 a = -b ≠ 0 ．∴ a , b 是非零向量,则“ a , b 共线”是“ | a + b |=| a | + | b | ”的必要不充分条件．故选：B ．5．解：设递增的等比数列{a1解得 a =, a = 8 ．125n }的公比为 q ,∵ a 1+ a = 5 172 , a a = 4 = a a ,2 4 1 5解得 q = 2 ,1 则 S = 2663= ．2 - 1 2故选：D ．-11-/1512 i 2 i ．2) θ θ 2 0) θn = 5，v = 1，x = 2，i = 4 满足条件 i ≥0,执行循环体,v =3,i =3满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 7，i = 2满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 15，i = 1 满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 31，i = 0 满足条件 i ≥ 0 ,执行循环体, v = 63，i =﹣ 不满足条件 i ≥ 0 ,退出循环,输出 v 的值为 63 ．由于 25+24+23+22+2+1=63．故选：A ．7．解：由题意可知：对于 A 、B ，当P 位于A ，B 图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线, 由此即可排除 A 、B ,对于 D ,其图象变化不会是对称的,由此排除 D , 故选 C ．8．解：若 a = b ，i = 1，， n ,ii则 A < B ，B < A 同时不成立,故选 C ．9．解：复数（﹣）= 2i + 1 在复平面内所对应的点的坐标为（1,2） 故答案为： (1， ．10．解：直线 ρ=2acosθ（a ＞0）化为直角坐标方程： x + 3 y + 1 = 0 ．圆 ρ = 2a cos （a ＞0）即 ρ 2 = 2ρ a cos （a ＞0）, 可 得 直 角 坐 标 方 程 ： x 2 + y 2 = 2ax , 配 方 为 ：（x - a ） + y 2 = a 2 ．可得圆心 (a ，，半径 a ．∵直线 ρcos θ + 3ρsin θ + 1 = 0 与圆 ρ = 2acos （a ＞0）相切,∴ | a + 1|= a ，a ＞0 ,解得 a = 1 ．2故答案为：1．11．解：根据题意,分 2 种情况讨论：①．选择 1 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 3 门,则 B 类课程有 C 1 = 2 种选法,A 类课程有 C 3 = 4 种选法,24此时有 2 ⨯ 4 = 8 种选择方法；②．选择 2 门 B 类课程,需要选择 A 类课程 2 门,则 B 类课程有 C 2 = 1 种选法,A 类课程有 C 2 = 6 种选法,24此时有 1×6=6 种选择方法；3 y + 1 ,⎪⎪ y = 3 y + 1 ,解得： ⎨ 3 , , ⎨ 解：① f ( x ) ⎨| x - 3|, x ∈ (2,4] , ⎪| x - 5|, x ∈ (4, +∞) x ⎩2则一共有 8+6=14 种不同的选法；故答案为：14．12．解： △CBD 中,由余弦定理,可得, BD = 1 + 4 - 2 ⨯1⨯ 2 ⨯ 1= 2 ,4△ABD 中,利用正弦定理,可得 AD = 2sin 45︒ sin105︒= 2 3 - 2 ,1 1∴三角形 ABD 的面积为 ⨯ 2 ⨯ (2 3 - 2) ⨯ = 3 - 1,2 2故答案为 2, 3 - 1．13．解：抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F 的坐标为（1,0）∵直线 l 过F ,倾斜角为 60︒ ,即斜率 k = tan α = 3 ,∴直线 l 的方程为： y =3( ﹣1) ,即 x =3⎧ 3 ⎧ 2 3⎪ x = ⎧⎪ y = 2 3 ⎨⎪ y 2 = 4 x⎪⎩ x = 3 ⎪ x = 1 ⎪⎩ 3由点 A 在x 轴上方，则A(3， 3) ,则 OA = (3)2 + (2 3) 2 = 21 ,则 OA = 21 ,故答案为： 21 ．14．⎧| x - 1|, x ∈ (0,2]⎪ ⎩作出 f (x) 的函数图象如图所示：f42+4)15．（Ⅰ）根据f()=2，即可求a的值；⎢12,12⎥上单调递减,可得最大值．（29)此时CG1]'=f2]2]f≥g2]f x g g2]由图象可知当a＞1时，f(x)=a只有1解．②∵关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,∴将（x）的图象向左或向右平移T个单位后与原图象有3个交点,∴2＜T＜4,即﹣＜T＜﹣或2＜T＜4．故答案为：①(1，∞)，②(﹣4,-2)(2，．π6（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asinωx+ϕ）的形式,结合三角函数的图象和性质,f(x)在⎡π7π⎤⎣⎦16．设A表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主题公园”(i=1，，，．根据题意P(A)=i i 且事件A与A互斥．i j 1 9,,（Ⅰ）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”,则B=A4A．利用互斥事件的概率计算公式即可得出．7（Ⅱ）由题意,可知X的所有可能取值为0,1,2,结合图象,利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出．（Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．17．（Ⅰ）取CD中点N，连结M N、FN，推导出四边形EFND为平行四边形．从而FN//ED．进而FN//平面BDE，由此能证明平面MFN//平面BDE，从而FM//平面BDE．（Ⅱ）取AD中点O，连结EO，BO．以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线CF与平面ADE所成角的正弦值．（Ⅲ）设G是CF上一点,且CG=λCF,λ∈[0，．利用向量法能求出在棱CF上存在点G使得BG⊥DE, 4=．CF918．（Ⅰ）当a=0时，f（x）（-x2+2x）e-x,由此能求出曲线y=（x）在点（-1，f(-1))处的切线方程．（Ⅱ）“对任意的t∈[0，，存在s∈[0，使得（s）（t）成立”,等价于“在区间[0，上，（x）的最大值大于或等于（）的最大值”．求出（x）在[0，上的最大值为g = ' = = ' + (4k - 1) 20．（Ⅰ）由于 A =（10101，），B =（01110，）,由定义 d ( A,B) = ∑ | a - b |,求 d （A ，B ）的值． ，，， ，，，（2） 1．f （x ） e - （x - 2）（x + a ），令f （x ） 0，得x = 2，或x = -a ．由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数 a 的值范围．19．（Ⅰ）由题意可知 b = 3，c = 1，a = b + c = 4 ,即可求得椭圆方程；222（Ⅱ）由“点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上”等价于 “ E F 平分∠MFB ”设直线 A M 的方程,代入椭圆方程 , 由 韦 达 定 理 求 得 M 点坐标，分类讨论，当 MF ⊥ x 轴时，求得 k 的 值 , 即 可 求 得N 和E 点坐标，求得点E 在∠BFM 的角平分线所在的直线 y = x - 1或y = - x + 1 ,则 EF 平分∠MFB ,当 k ≠ 12时,即可求得直线 MF 的斜率及方程 ,利用点到直线的距离公式 ,求得 d = | 8k + 2k (4k 2 - 1)- 4k|16k 2 2 2=| BE | ,则点 B 关于直线 EF 的对称点在直线 MF 上．n iii =1（Ⅱ）利用反证法进行证明即可；（Ⅲ）根据存在正整数 j 使得 A = (0,0,j12个,0) , A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的 m ．j-15-/15。
(全优试卷)河北省唐山市高三下学期第二次模拟考试理科数学试题 Word版含答案
唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|3A x N x =∈<，{}|,,B x x a b a A b A ==-∈∈，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}2,1,1,2--C ．{}1D ．{}0,1,22.设复数z 满足1132z i z +=--，则||z =（ ）A ．5B C ．2D3.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图（单位：秒），则（ ）A ．平均数为64B ．众数为7C ．极差为17D ．中位数为64.54.“2560x x +->”是“2x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（ ）A ．24π-B ．243π-C ．24π+D ．242π-6.已知双曲线过点(2,3)，渐进线方程为y =，则双曲线的标准方程是（ ）A ．22711612x y -= B ．22132y x -= C ．2213y x -= D ．22312323y x -= 7.函数21xy x -=+，(,]x m n ∈的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．[1,2)D ．[1,2)-8.执行如图所示的程序框图，若输入的5n =，则输出的结果为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79.已知α，β均为锐角，且sin 22sin 2αβ=，则（ ） A ．tan()3tan()αβαβ+=- B ．tan()2tan()αβαβ+=- C ．3tan()tan()αβαβ+=-D ．3tan()2tan()αβαβ+=-10.已知函数()cos(2))f x x x ϕϕ=---（||2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A ．1-BC ．D ．2-11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为6，O 点在棱BC 上，且2BO OC =，过O 点的直线l 与直线1AA ，11C D 分别交于M ，N 两点，则MN =（ ）A ．B ．C ．14D ．2112.已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(2)()'()0x f x xf x ++>，则（ ） A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()f x 为减函数D ．()f x 为增函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.7(2)()x y x y +-展开式中，含35x y 项的系数是 ．14.平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB AM DB λμ=+，则λμ= ．15.已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 交Γ于另一点M ，若直线BM 交x 轴于点(12,0)N ，则Γ的离心率是 ． 16.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，D 是BC 的一个三等分点，则AD 的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 的前n 项和为n S ，(21)nn n S a =-，且11a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为34：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为45.每台仪器各项费用如表：（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费）；（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记X 为生产两台仪器所获得的利润，求X 的分布列和数学期望．19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，3AB =，AD =45ABC ∠=︒，P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =，2BE EA =，F 为AD 的中点，M 在线段CD 上，且CM CD λ=．（Ⅰ）当23λ=时，证明：平面PFM ⊥平面PAB ；（Ⅱ）当平面PAM 与平面ABCD 所成的二面角的正弦值为5时，求四棱锥P ABCM -的体积．20.已知ABC ∆的顶点(1,0)A ，点B 在x 轴上移动，||||AB AC =，且BC 的中点在y 轴上. （Ⅰ）求C 点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知轨迹Γ上的不同两点M ，N 与(1,2)P 的连线的斜率之和为2，求证：直线MN 过定点．21.已知函数1()(ln 1)f x a x x =-+的图象与x 轴相切，21()(1)log 2b x g x b x -=--．（Ⅰ）求证：2(1)()x f x x-≤；（Ⅱ）若1x <<2(1)0()2b g x -<<请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22(12sin )3ρθ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，点(1,0)M ，求||||||MA MB -． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x x x =-++，P 为不等式()4f x >的解集. （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）证明：当m ，n P ∈时，|4|2||mn m n +>+.唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试理科数学答案一、选择题1-5:DBDBA 6-10:CDBAC 11、12：DA二、填空题13.49 14.29 15.121 三、解答题17.解：（Ⅰ）由(21)n n n S a =-，可得111(21)n n n S a ---=-（2n ≥）， 两式相减，得111(21)(21)n n n n n n S S a a ----=---，11(22)(21)n n n n a a ---=-，即11(2)2n n a n a -=≥， 故{}n a 是一个以1为首项，12为公比的等比数列， 所以11()2n n a -=．（Ⅱ）11()2n n n b na n -==．123n n T b b b b =++++…012111111()2()3()()2222n n -=⨯+⨯+⨯++…，①12n T = 12111111()2()(1)()()2222n n n n -⨯+⨯++-+…，② ①-②，得1211111121()()()()2222222n n n n n T n -+=++++-=-…，所以1242n n n T -+=-．18.解：（Ⅰ）记每台仪器不能出厂为事件A ，则341()(1)(1)4520P A =--=，所以每台仪器能出厂的概率119()12020P A =-=． （Ⅱ）生产一台仪器利润为1600的概率341(1)455P =-⨯=．（Ⅲ）X 可取3800，3500，3200，500，200，2800-．339(3800)4416P X ==⨯=，12133(3500)5410P X C ==⨯⨯=，211(3200)()525P X ===，123113(500)()44540P X C ==⨯⨯⨯=，121111(200)()54550P X C ==⨯⨯⨯=，2111(2800)()45400P X =-=⨯=． X 的分布列为：()380035003200500200(2800)33501610254050400E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=．19.（Ⅰ）证明：连接EC ，作//AN EC 交CD 于点N ，则四边形AECN 为平行四边形，1CN AE ==，在B C E ∆中，2BE =，BC =45ABC ∠=︒，由余弦定理得2EC =． 所以222BE EC BC +=，从而有BE EC ⊥. 在AND ∆中，F ，M 分别是AD ，DN 的中点， 则//FM AN ，//FM EC ， 因为AB EC ⊥，所以FM AB ⊥.由PE ⊥平面ABCD ，FM ⊂平面ABCD ， 得PE FM ⊥，又FM AB ⊥，PEAB E =，得FM ⊥平面PAB ，又FM ⊂平面PFM ， 所以平面PFM ⊥平面PAB .（Ⅱ）以E 为坐标原点，EB ，EC ，EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A -，(0,0,2)P ，(0,2,0)C ，(3,2,0)D -，(1,0,2)AP =，(13,2,0)AM AC CD λλ=+=-.平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =. 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z =，由0AP n ⋅=，0AM n ⋅=，得20,(13)20,x z x y λ+=⎧⎨-+=⎩令2x =，得(2,31,1)n λ=--.由题意可得，|||cos ,|||||m n mn m n ⋅<>=⋅==， 解得13λ=，所以四棱锥P ABCM -的体积1833P ABCM ABCM V S PE -=⨯=梯形.20.解：（Ⅰ）设(,)C x y （0y ≠），因为B 在x 轴上且BC 中点在y 轴上，所以(,0)B x -，由||||AB AC =，得222(1)(1)x x y +=-+，化简得24y x =，所以C 点的轨迹Γ的方程为24y x =（0y ≠）． （Ⅱ）设直线MN 的方程为x my n =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由24,,y x x my n ⎧=⎨=+⎩得2440y my n --=， 所以124y y n =-，1121112241214MP y y k y x y --===-+-，同理242NP k y =+，所以1244222y y +=++，化简得124y y =， 又因为124y y n =-，所以1n =-， 所以直线MN 过定点(1,0)-.21.解：（Ⅰ）21'()a f x x x =-， 设()f x 的图象与x 轴相交于点0(,0)x ，则00()0,'()0,f x f x =⎧⎨=⎩即002001(ln 1)0,10,a x x a x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得01a x ==． 所以1()ln 1f x x x=-+， 2(1)()x f x x-≤等价于ln 1x x ≤-．设()ln 1h x x x =-+，则1'()1h x x=-， 当01x <<时，'()0h x >，()h x 单调递增； 当1x >时，'()0h x <，()h x 单调递减， 所以()(1)0h x h ≤=，即ln 1x x ≤-，（*），所以2(1)()x f x x -≤．（Ⅱ）设1()(1)ln x h x x x-=>，则21ln 1'()ln x x h x x+-=， 由（Ⅰ）可知，当1x >时，1ln 10x x+->，从而有'()0h x >，所以()h x 单调递增，又1x <<21x b <<，从而有2()()h x h b <，即2211ln ln x b x b--<， 所以21(1)ln (1)log 2ln b x b xb x b--<=-，即()0g x >， 21()(1)log 2b x g x b x -=--2(1)ln 1ln 2b x x b --=-22ln 1(1)2ln 2x x b b -=-⋅-2211(1)2ln 2x x b b --<-⋅-211(1)2ln x b b--=⋅-，又1ln 1b b >-，所以1ln b b b-<， 又21x b <<，所以22(1)(1)(1)()22x b b g x ---<<．综上可知，2(1)0()2b g x -<<．22.解：（Ⅰ）曲线1C0y -=，曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=． （Ⅱ）将直线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程整理得：25240t t +-=，1225t t +=-，由t 的几何意义可知：122||||||||5MA MB t t -=+=. 23.解：（Ⅰ）2,1,()|1||1|2,11,2, 1.x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩由()f x 的单调性及()4f x =得，2x >或2x <-． 所以不等式()4f x >的解集为{}|22P x x x =><-或. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知||2m >，||2n >，所以24m >，24n >，2222(4)4()(4)(4)0mn m n m n +-+=-->，所以22(4)4()mn m n +>+， 从而有|4|2||mn m n +>+．。
2020届河北省唐山市2017级高三一模考试数学(理)试卷及解析
2020届河北省唐山市2017级高三一模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (解析版)注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中,有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2A =-,{}2xB y y ==,M A B =I ,则集合M 的子集个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】C 【解析】求出集合M ,由此可计算出集合M 的子集个数.【详解】{}{}20xB y y y y ===>Q ,{}1,0,1,2A =-,{}1,2M A B ∴=⋂=,因此,集合M 的子集个数是224=. 故选：C.2.设i 是虚数单位,复数23iz i+=-,则z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 ………利用复数的除法法则将复数z 化为一般形式,可得出复数z ,进而可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】()()()()23255113331022i i i i z i i i i ++++====+--+Q ,1122z i ∴=-.因此,复数z在复平面内对应的点位第四象限.故选：D. ……..3.人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标.2010年第六次全国人口普查资料表明,随着我国社会经济的快速发展,人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善,我国人口平均预期寿命继续延长,国民整体健康水平有较大幅度的提高.下图体现了我国平均预期寿命变化情况,依据此图,下列结论错误的是（）A. 男性的平均预期寿命逐渐延长B. 女性的平均预期寿命逐渐延长C. 男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性D. 女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性【答案】C【解析】从图形中的数据变化可判断A、B选项的正误；计算出男性和女性平均预期寿命延长幅度,可判断C、D选项的正误,综合可得出结论.【详解】由图形可知,男性的平均预期寿命逐渐延长,女性的平均预期寿命也在逐渐延长,A、B 选项均正确；-=,女性的平均预期寿命的从1981年到2010年,男性的平均预期寿命的增幅为72.3866.28 6.1-=,增幅为77.3769.278.1所以,女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性,C选项错误,D选项正确.故选：C. ………..4.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺,深一丈八尺,问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺,1斛 1.62=立方尺,圆周率3π=）,则该圆柱形容器能放米（ ） A. 900斛 B. 2700斛C. 3600斛D. 10800斛【答案】B【解析】 ………..计算出圆柱形容器的底面圆半径,由此计算出圆柱形容器的体积,由此可得出结果. 【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为r ,则5454926r π===（尺）, 所以,该圆柱形容器的体积为221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺）,因此,该圆柱形容器能放米437427001.62=（斛）. 故选：B. …..5.已知向量a r 、b r 满足a b b +=r r r ,且2a =r ,则b r 在a r 方向上的投影是（ ） A. 2 B. 2-C. 1D. 1-【答案】D 【解析】在等式a b b +=r r r 两边同时平方,求出a b ⋅r r 的值,进而可得出b r 在a r 方向上的投影为a b a⋅r rr .【详解】2a =r Q ,在等式a b b +=r r r 两边平方并化简得220a a b +⋅=r r r,222a ab ∴⋅=-=-r r r ,因此,b r 在a r方向上的投影为1a b a ⋅=-r r r .故选：D.6.已知数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,22a b m ==,33a b n ==,若m 、n 为正数,且m n ≠,则（ ） A. 11a b < B. 11a b >C. 11a b =D. 1a 、1b 的大小关系不确定【答案】A 【解析】用m 、n 表示1a 、1b ,然后利用作差法可得出1a 与1b 的大小关系.【详解】由于1a 、2a 、3a 成等差数列,则2132a a a =+,则12322a a a m n =-=-,由于1b 、2b 、3b 成等比数列,则2213b b b =,则22213b m b b n==,所以,()22221122m n m mn n m a b m n n n n----=--==-, m Q 、n 为正数,且m n ≠,因此,()2110m n ab n--=-<,即11a b <.故选：A.7.已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ,随机变量Y 服从正态分布()1,1N ,且()10.1587P X >=,则()12P Y <<=（ ） A. 0.1587 B. 0.3413C. 0.8413D. 0.6587【答案】B 【解析】设1Z Y =-,可知()0,1Z N :,进而可得出()()1201P Y P Z <<=<<,利用正态密度曲线的对称性可求得结果.【详解】设1Z Y =-,()1,1Y N Q :,则()0,1Z N :,()()()12010.510.50.15870.3413P Y P Z P Z ∴<<=<<=->=-=. 故选：B.8.函数()2tan f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】分析函数()y f x =的奇偶性以及函数()y f x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号,结合排除法可得出合适的选项. 【详解】当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()()()22tan tan f x x x x x -=---=--,则()()f x f x -≠,()()f x f x -≠-,所以,函数()y f x =为非奇非偶函数,排除B 、D 选项；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,设()sin tan cos x g x x x x x =-=-,则()2110cos g x x '=->, 所以,函数()y g x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,则()()00g x g >=,所以,当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,tan 0x x ->,则2tan x x x >>,即()0f x >,排除C 选项.故选：A.9.设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论中正确的是（ ）A. ()y f x =的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B. ()y f x =的图象关于直线3x π=对称C. ()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. ()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为0【答案】C 【解析】计算3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值,可判断A 、B 选项的正误；由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算223x π+的取值范围,利用正弦函数的单调性可判断C 选项的正误；由,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦计算223x π+的取值范围,利用正弦函数的基本性质可判断D 选项的正误.进而可得出合适的选项.【详解】()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭Q ,4sin 332f ππ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭所以,A 、B选项均错误； 当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,2242,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以,函数()y f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,C 选项正确；当,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,222,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,则()min sin 3f x π==选项错误. 故选：C.10.已知四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上,PA ⊥底面ABCD ,1AB AD ==,2BC CD ==,若球O 的表面积为36π,则直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值为（ ） A.6B.6C.3D.3【答案】B 【解析】推导出90ABC ADC ∠=∠=o ,可得出四边形ABCD 的外接圆直径为AC =并计算出四棱锥的外接球直径为26PC R ==,结合PA ⊥底面ABCD 可得出直线PC 与底面ABCD 所成角为ACP ∠,进而可求得cos ACP ∠的值.【详解】如下图所示：AB AD =Q ,BC BD =,AC AC =,ABC ADC ≅∴V V ,ABC ADC ∠=∠∴, 易知A 、B 、C 、D 四点共圆,则180ABC ADC ∠+∠=o ,90ABC ADC ∴∠=∠=o , 所以,四边形ABCD 的外接圆直径为225AC AB BC +设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ,则2436R ππ=,解得3R =,PA ⊥Q 平面ABCD ,()22231PA R AC ∴=-=且26PC R ==,直线PC 与底面ABCD 所成的角为ACP ∠, 在Rt PAC △中,5cos AC ACP PC ∠==. 故选：B. ……..11.已知F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点,M 是C 的渐近线上一点,且MF x ⊥轴,过F 作直线OM 的平行线交C 的渐近线于点N （O 为坐标原点）,若MN ON ⊥,则双曲线C 的离心率是（ ） 2336 D. 2【答案】A【解析】设点M 为双曲线C 的渐近线by x a=上的一点,根据MF x ⊥轴求出点M 的坐标,结合题意求得点N 的坐标,由MN ON ⊥得出直线MN 和ON 的斜率之积为1-,可得出关于a 、b 、c 的齐次等式,进而可求得双曲线C 的离心率的值. 【详解】设点M 为双曲线C 的渐近线b y x a =上的一点,易知点(),0F c ,所以点,bc M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 直线FN 的方程为()b y x c a =-,联立()b y x c a b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得22c x bcy a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则点,22c bc N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,MN ON ⊥Q ,且322MNbc bcb a a kc a c +==-,ON b k a =-,2231MN ON b k k a ∴⋅=-=-, 2213b a ∴=,因此,双曲线C的离心率为c e a ====故选：A.12.已知2a >,()()xf x e x a x a =-++,有如下结论：①()f x 有两个极值点； ②()f x 有3个零点；③()f x 的所有零点之和等于零. 则正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D 【解析】利用导数分析函数()y f x '=的单调性,结合零点存在定理可判断命题①的正误；利用导数分析函数()y f x =的单调性,结合零点存在定理可判断命题②的正误；由()0f x =得出xa xe a x+=-,设()xa xx e a xϕ+=--,由()0x ϕ=推导出()0x ϕ-=,由此可判断出命题③的正误.综合可得出结论.【详解】()()x f x e x a x a =-++Q ,则()()11x f x x a e '=-++,()()2xf x x a e ''=-+.当2x a <-时,()0f x ''<,此时函数()y f x '=单调递减； 当2x a >-时,()0f x ''>,此时函数()y f x '=单调递增.所以,函数()y f x '=的最小值为()()2min 21a f x f a e -''=-=-.2a >Q ,()()2min 210a f x f a e-''∴=-=-<.令()1x g x e x =--,当0x >时,()10xg x e '=->,则函数()y g x =在()0,∞+上单调递增,则()()00g x g >=,所以,当0x >时,1x e x >+.()()1222111101a aa a af a e e e e a +'--=-=->->⋅+Q ,()10a f a e '=+>, 由零点存在定理可知,函数()y f x '=在(),2-∞-a 和()2,a -+∞上各有一个零点, 所以,函数()y f x =有两个极值点,命题①正确；设函数()y f x =的极大值点为1x ,极小值点为2x ,则122x a x <-<,则()()()()121122110110xx f x x a e f x x a e ⎧=-++=⎪⎨=-++=''⎪⎩,所以121211x x x a e x a e --⎧-=--⎨-=--⎩, 函数()y f x =的极大值为()()()()111111112x x f x e x a x a e x a x a x =-++=---+()()11111111122x x x x x e e e x e e x ---=-----+=-+,构造函数()2x xh x e e x -=-+,则()()220x x h x e e -'=-+≤-=,所以,函数()y h x =在R 上单调递减,当0x <时,()()00h x h >=；当0x >时,()()00h x h <=.()020f a '=-<Q ,()10f x '=,10x ∴<,则()10h x >,即()10f x >.同理可知,函数()y f x =的极小值为()222220x xf x e e x -=-+<.()121110aa f a e++--=--<Q ,()20f a a =>. 由零点存在定理可知,函数()y f x =在区间()11,a x --、()12,x x 、()2,x a 上各存在一个零点, 所以,函数()y f x =有3个零点,命题②正确；令()0f x =,得xa x e a x +=-,()xa x x e a xϕ+=--,则()00ϕ=, 令()0xa x x e a x ϕ+=-=-,则()10x x a x a xx e a x e a xϕ----=-=-=++, 所以,函数()y f x =所有零点之和等于零,命题③正确. 故选：D.二、填空题：本题共4小题.13.若x 、y 满足约束条件1030310x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则2z x y =-的最小值为______.【答案】2- 【解析】作出不等式组所表示的可行域,利用平移直线的方法找出使得2z x y =-取得最小值时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】作出不等式组1030310x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立10310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩,解得10x y =-⎧⎨=⎩,即点()1,0A -,平移直线2z x y =-,当该直线经过可行域的顶点A 时,直线2z x y =-在x 轴上的截距最小,此时z 取最小值,即()min 2102z =⨯--=-. 故答案为：2-.14.中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》,甲、乙、丙、丁4名同学从中各选一书进行研读,已知四人选取的书恰好互不相同,且甲没有选《中庸》,乙和丙都没有选《论语》,则4名同学所有可能的选择有______种. 【答案】10 【解析】分两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》,利用排列组合思想计算出每种情况下选法种数,利用分类加法计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：（1）乙、丙两人中没有一人选《中庸》,则乙、丙两人在《大学》、《孟子》中各选一书,则甲只能选《大学》,丁只能选《论语》,此时选法种数为22A 种；（2）乙、丙两人中有一人选《中庸》,则另一人可在《大学》、《孟子》选择一书,甲、丁两人选书时没有限制,此时选法种数为112222C C A .综上所述,4名同学所有可能的选择种数为2112222210A C C A +=.故答案为：10.15.在数列{}n a 中,已知11a =,1n n a a tn +=+（*n N ∈,t 为非零常数）,且1a 、2a 、3a 成等比数列,则n a =______.【答案】222n n -+【解析】 【分析】由1a 、2a 、3a 成等比数列求出非零实数t 的值,再利用累加法可求得n a .【详解】11a =Q ,1n n a a tn +=+（*n N ∈,t 为非零常数）,则211a a t t =+=+,32231a a t t =+=+,由于1a 、2a 、3a 成等比数列,则2213a a a =,即()()21131t t +=⨯+,整理得20t t -=,0t ≠Q ,解得1t =,1n n a a n +∴-=,()()()()()()121321*********n n n n n a a a a a a a a n -+--∴=+-+-++-=++++-=+L L 222n n -+=. 故答案为：222n n -+.16.已知F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点,K 为C 的准线与x 轴的交点,点P 在抛物线C 上,设KPF α∠=,PKF β∠=,PFK θ∠=,有以下3个结论：①β的最大值是4π；②tan sin βθ=；③存在点P ,满足2αβ=.其中正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【解析】由直线PK 与抛物线相切可求得β的最大值,可判断命题①的正误；利用弦化切的思想和正弦定理边角互化思想可判断命题②的正误；由tan sin βθ=结合2αβ=化简得出34cos cos 10ββ--=,判断该方程在0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时是否有根,由此可判断命题③的正误,综合可得出结论.【详解】如下图所示：易知点,02p K ⎛⎫- ⎪⎝⎭,可设直线KP 的方程为2p x my =-,由图形可知,当直线PK 与抛物线相切时,β取最大值,联立222p x my y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消去x 得2220y mpy p -+=,222440m p p ∆=-=,得1m =±, 此时,直线KP 的斜率为±1,所以,β的最大值为4π,命题①正确； 过点P 作抛物线准线l 的垂线PA ,垂足为点A ,则APK β∠=, 由抛物线的定义可知PA PF =,则cos PA PF PKPKβ==,在KPF V 中,由正弦定理得sin cos sin PF PKββθ==,所以tan sin βθ=,命题②正确； 若存在点P ,使得2αβ=,则3APF βπ∠=<,可得03πβ<<,则1cos 12β<<. 由②知()tan sin sin 3sin3sin cos2cos sin 2βθπββββββ==-==+即()()22sin sin cos 22cos sin 4cos 1cos βββββββ=+=-, sin 0β>Q ,则34cos cos 10ββ--=,构造函数()341f x x x =--,则1102f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭,()120f =>,由零点存在定理可知,函数()y f x =在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有零点,所以,关于β的方程34cos cos 10ββ--=在0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时有实数解,命题③正确.因此,正确结论的序号为①②③. 故答案为：①②③.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答. （一）必考题：17.ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知4a =,ABC V 的面积为（1）若3A π=,求ABC V 的周长；（2）求sin sin B C 的最大值.【答案】（1）4+（2【解析】（1）利用三角形的面积公式求出bc 的值,然后利用余弦定理求出b c +的值,由此可得出ABC V 的周长；（2）由正弦定理得出22sin sin sin bc A B C a⋅=,再利用三角形的面积公式结合4a =得出sin sin 4AB C ⋅=,进而可求得sin sin B C 的最大值.【详解】（1）因为1sin 2ABC S bc A ===△所以8bc =,由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-,所以()223b c a bc +=+,又4a =,8bc =,所以()240b c +=,即b c +=,故ABC V 的周长为4+ （2）由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==,所以22sin sin sin bc AB C a ⋅=,又1sin 232ABCS bc A ==V ,4a =, 所以3sin 3sin sin 44A B C ⋅=≤. 当sin 1A =时,2A π=,此时22216b c a +==,43bc =,即23b =,2c =；或2b =,23c =. 故2A π=时,sin sin B C ⋅取得最大值3. 18.如图,直三棱柱111ABC A B C -的底面为等边三角形,D 、E 分别为AC 、11A C 的中点,点F 在棱1CC 上,且EF BF ⊥.（1）证明：平面BEF ⊥平面BDF ；（2）若4AB =,12C F FC =,求二面角D BE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）推导出BD ⊥平面11ACC A ,可得出BD EF ⊥,结合EF BF ⊥,利用线面垂直的判定定理可得出EF ⊥平面BDF ,再由面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）由EF ⊥平面BDF 得出EF DF ⊥,利用勾股定理计算出CF 的长,然后以点D 为坐标原点,DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -,利用空间向量法可求出二面角D BE F --的余弦值.【详解】（1）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,所以1A A ⊥平面ABC ,BD ⊂Q 平面ABC ,1A A BD ∴⊥,因为ABC V 为等边三角形,D 为AC 的中点,所以BD AC ⊥. 又1A A AC A =I ,所以BD ⊥平面11ACC A ,EF ⊂Q 平面11ACC A ,所以BD EF ⊥.又因为EF BF ⊥,BD BF B =I ,所以EF ⊥平面BDF . 又因为EF ⊂平面BEF ,所以平面BEF ⊥平面BDF ； （2）由（1）可知EF ⊥平面BDF ,所以EF DF ⊥.设CF m =,则有2224449m m m +++=,即248m =,得2m =.以D 为坐标原点,DB 、DC 、DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系D xyz -,则()0,0,0D ,()23,0,0B ,()0,2,0C ,(0,0,32E ,(0,2F ,设平面BEF 的法向量为(),,m x y z =u r,(23,0,32BE =-u u u r ,(0,2,22EF =-u u u r ,由3320220BE m x z EF m y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u v vu u u v v ,令3x =可得2z =,2y =,则(3,2,2m =u r , 因为DC ⊥平面BDE ,所以平面BDE 的一个法向量为()0,2,0DC =u u u r,2cos ,329m DC m DC m DC ⋅<>===⨯u r u u u ru r u u u r u r u u u r , 由图形可知,二面角D BE F --的平面角为锐角,所以二面角D BE F --的余弦值为23.19.甲、乙二人进行一场比赛,该比赛采用三局两胜制,即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利.在每一局比赛中,都不会出现平局,甲获胜的概率都为()01p p <<. （1）求甲在第一局失利的情况下,反败为胜的概率；（2）若12p =,比赛结束时,设甲获胜局数为X ,求其分布列和期望()E X ；（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率,求p 的取值范围.【答案】（1）2p ；（2）详见解析；（3）1,12⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）设:A 甲在第一局失利,:B 甲获得了比赛的胜利,利用条件概率的概率公式可求得所求事件的概率；（2）根据题意可知随机变量X 的可能取值为0、1、2,计算出随机变量X 在不同取值下的概率,列出分布列,进而可计算出随机变量X 的数学期望；（3）计算出甲获得该场比赛的概率,根据题意得出关于p 的不等式,即可解得p 的取值范围. 【详解】（1）设:A 甲在第一局失利,:B 甲获得了比赛的胜利,则()()()()2211P AB p p P B A p P A p-===-；（2）由题意可知,随机变量X 的可能取值为0、1、2, 则()()21014P X p ==-=,()()2121114P X C p p ==-=,()()21221212P X p C p p ==+-=.随机变量X 的分布列如下：则()11150124424E X =⨯+⨯+⨯=；（3）甲获得该场比赛胜利的概率为()21221p C p p +-,则()21221p C p p p +->.即22310p p -+<,解得112p <<,所以p 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.20.已知P 是x 轴上的动点（异于原点O ）,点Q 在圆22:4O x y +=上,且2PQ =.设线段PQ 的中点为M ,当点P 移动时,记点M 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）当直线PQ 与圆O 相切于点Q ,且点Q 在第一象限. （ⅰ）求直线OM 的斜率；（ⅱ）直线l 平行OM ,交曲线E 于不同的两点A 、B .线段AB 的中点为N ,直线ON 与曲线E 交于两点C 、D ,证明：NA NB NC ND ⋅=⋅.【答案】（1）()22109x y x +=≠；（2）（ⅰ）13；（ⅱ）证明见解析.【解析】（1）连接OQ ,设()(),0M x y x ≠,求出点Q 的坐标,然后将点Q 的坐标代入圆O 的方程,化简后可得出曲线E 的方程；（2）（i ）由题意可得出OQ PQ ⊥,再由2OQ PQ ==可判断出OPQ △为等腰直角三角形,可求出点P 、Q 的坐标,并求出点M 的坐标,由此可求出直线OM 的斜率；（ii ）设()11,A x y ,()22,B x y ,直线1:3l y x t =+,将直线l 的方程与曲线E 的方程联立,列出韦达定理,求出点N 的坐标,进而可求得直线ON 的方程,由此可求得点C 、D 的坐标,再利用弦长公式化简可证得结论成立.【详解】（1）连接OQ ,设()(),0M x y x ≠,由2OQ PQ ==,可得2P Q x x =, 由M 为PQ 的中点,则322P QQ x x x x +==,23Q x x ∴=,43P xx =, 4,03x P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,则2,23x Q y ⎛⎫⎪⎝⎭,把2,23xQ y⎛⎫⎪⎝⎭代入224x y+=,整理得2219xy+=,所以曲线E的方程为()22109xy x+=≠；（2）（ⅰ）当直线PQ与圆O相切于点Q,则OQ PQ⊥,2OQ PQ==Q,则22OP=,所以,OPQ△是等腰直角三角形,且4POQπ∠=, 又点Q在第一象限,得()22,0P,2,2Q.由M为PQ的中点,得32222M⎛⎝⎭,所以直线OM的斜率为13；（ⅱ）设()11,A x y,()22,B x y,直线1:3l y x t=+,由221319y x txy⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,整理得2226990x tx t++-=,由韦达定理得123x x t+=-,212992tx x-=.所以N点坐标为3,22t t⎛⎫-⎪⎝⎭,则直线ON方程为13y x=-.由方程组221319y xxy⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得322,22C⎛-⎝⎭,32222D⎛⎫-⎪⎪⎝⎭,所以()233523223222t t NC ND t ⎛⎫⎫⋅=-⋅+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又()22121211104449NA NB AB x x x x ⎡⎤⋅==⨯⨯+-⎣⎦()()2225592992182t t t ⎡⎤=--=-⎣⎦, 所以NA NB NC ND ⋅=⋅ 21.已知函数()ln 11x f x x +=-,()f x '为()f x 的导函数,()()12f x f x =且12x x <. 证明：（1）()0f x '<； （2）211x x ->.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）求得()()21ln 1x x f x x ---'=,令()1ln g x x x =--,利用导数证明出()0g x <,即可证得结论；（2）由（1）可知函数()y f x =在()0,1,()1,+∞上单调递减,可得1201x x <<<,考查当01x <<时,()()10f x f x +->,可得出()()()1121f x f x f x +>=,再由函数()y f x =在区间()1,+∞上的单调性可证得结论.【详解】（1）()ln 11x f x x +=-Q ,定义域为()()0,11,⋃+∞,且()()21ln 1x x f x x ---'=,令()1ln g x x x =--,则()22111xg x x x x-=-='. 所以当01x <<时,()0g x '>；当1x >时,()0g x '<.所以,函数()y g x =在区间()0,1上单调递增,在区间()1,+∞上单调递减. 所以()()110g x g ≤=-<,对于函数()y f x =,1x ≠,因此()0f x '<； （2）由（1）得,函数()y f x =在()0,1,()1,+∞上单调递减,所以1201x x <<<.()()()()()()ln 11ln 1ln 1ln 1ln 1111x x x x x x x f x f x x x x x +++---+++-=-=--()()11ln 1ln 111x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=+--,01x <<. 由（1）得()1ln 1g x x x=--≤-,等号当且仅当1x =时成立, 从而11ln 1x x≤-,即ln 1x x ≤-,等号当且仅当1x =时成立, 又0x >时,111x +>,因此11ln 1x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭, 所以当01x <<时,11ln 101x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭>-,又()()ln 101x x x +>-, 所以()()()1121f x f x f x +>=,由于函数()y f x =在()1,+∞上单调递减,且111x +>,21>x ,所以211x x >+,故211x x ->.（二）选考题：请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中,圆:4sin C ρθ=,直线:cos 2l ρθ=.以极点O 为坐标原点,以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 的参数方程,直线l 的直角坐标方程；（2）点A 在圆C 上,AB l ⊥于B ,记OAB V的面积为S ,求S 的最大值. 【答案】（1）2cos :22sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α参数）,:2l x =；（2）3+【解析】 （1）利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程,将圆C 的极坐标方程化为普通方程后,确定圆心和半径,即可得出圆C 的参数方程；（2）设点()2cos ,22sin A αα+,可得点()2,22sin B α+,利用三角恒等变换思想化简三角形的面积公式,再利用正弦函数的有界性可得出S 的最大值.【详解】（1）由题意得cos x ρθ=,所以:2l x =,将圆C 的极坐标方程化为24sin ρρθ=,由222x y ρ=+,sin y ρθ=,所以C 的普通方程为224x y y +=,即()2224x y +-=. 从而C 的参数方程为2cos :22sin x C y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）； （2）设()2cos ,22sin A αα+,02απ<<,则()2,22sin B α+. 所以()()()122sin 21cos 1sin 2S AB ααα=⋅+=-+ ()()2sin 2cos 2cos sin 212sin cos 2sin cos 1αααααααα=--+=-+-+()()()222sin cos 2sin cos 1sin cos 114πααααααα⎤⎛⎫=-+-+=-+=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦. 02απ<<Q ,7444πππα-<-<,当42ππα-=,即34πα=时,S 取得最大值3+【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化,同时也考查了利用圆的参数方程求解三角形面积的最值问题,考查三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用,考查计算能力,属于中等题.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数()211f x x a x =+---.（1）当1a =时,求不等式()0f x >的解集；（2）是否存在实数a ,使得()f x 的图象与x 轴有唯一的交点？若存在,求a 的值；若不存在,说明理由.【答案】（1）223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）存在,实数0a =或2a =-. 【解析】（1）当1a =时,由()0f x >得出12110x x +--->,然后分1x ≤-、11x -<<、1x ≥三种情况解不等式12110x x +--->,综合可得出该不等式的解集；（2）分1a >-、1a <-和1a =-三种情况讨论,将函数()y f x =的解析式表示为分段函数的形式,求出该函数的最小值()max f x ,根据题意得出()max 0f x =,由此可求得实数a 的值.【详解】（1）当1a =时,()0f x >化为12110x x +--->. 当1x ≤-时,不等式化为40x ->,无解；当11x -<<时,不等式化为320x ->,解得213x <<； 当1x ≥时,不等式化为20x -+>,解得12x ≤<.所以()0f x >的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； （2）存在.若1a >-,则()3,33,11,1x a x a f x x a a x x a x --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩.此时函数()y f x =的最大值()1f a =,所以0a =时满足题设；若1a <-,则()3,131,11,x a x f x x a x a x a x a --<⎧⎪=--+≤≤-⎨⎪-++>-⎩.此时函数()y f x =的最大值()12f a =--,所以2a =-时满足题设； 若1a =-,则()110f x x =---<,所以1a =-时不满足题设. 综上所述,存在实数0a =或2a =-满足题设.……….………..….. .。
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(2)已知P为曲线C上一点 求 的最大值.
23．[选修4-5：不等式选讲](10分)
已知
求证： ;
(2)若 求 的最小值.
2020届河北省唐山市2017级高三下学期二模考试
2020届河北省唐山市2017级高三下学期二模考试数学（理）试卷
7．某科考试成绩公布后,发现判错一道题,经修改后重新公布,下表是抽取10名学生的成绩,依据这些信息修改后的成绩与修改前的相比,这10名学生成绩的
A．平均分、方差都变小B．平均分、方差都变大
C．平均分不变、方差变小D．平均分不变、方差变大
8．若曲线 在x=t处的切线为y=ax,则t所在的区间为
A．
9．已知 有以下命题：
(1)设直线AB,BD的斜率分别为 .
(i)求证： ；
(ii)证明： 是直角三角形;
(2)求 的面积的最大值.
(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作Βιβλιοθήκη ,如果多做,则按所做的第一题记分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C： 直线 以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
①π为f(x)的一个周期：②f(x)的图象关于直线 上单调;
则正确命题的个数是
A．3B．2
C．1D．0
10．已知向量a,b满足|a|=1 则a与b的夹角的最大值为
A．30°B．60°
C．120°D．150°
11．已知 若f(x)存在最小值,则a的取值范围是
12．已知双曲线 的左、右焦点分别为 设过 的直线与C的右支相交于A,B两点,且 则双曲线C的离心率是
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．已知x,y满足约束条件 r若 的最大值为
14．在 的展开式中, 的系数是
15．在三棱锥P-ABC中 则三棱锥P-ABC外接球的表面积为
16．在 中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=1,A=120°,若λb+c有最大值,则λ的取值范围是
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分
17．(12分)
已知Sn是数列{an}的前n项和
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若 求数列{cn}的前n项和 .
18．(12分)
三等奖,奖励2000元现金;其它不中奖,没有奖金.
(1)求员工A中二等奖的概率
(2)设员工A中奖奖金为X,求X的分布列;
(3)员工B是优秀员工,有两次抽奖机会,求员工B中奖奖金的期望.
20．(12分)
已知函数
(1)求函数f(x)的最小值
(2)若a≥1,证明：
21．(12分)
已知 是椭圆 上的两点,且A点位于第一象限.过A做x轴的垂线,垂足为点C,点 延长BD交T于点
2020届河北省唐山市2017级高三下学期二模考试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 则A∩B=
A． B.
C．(2,3)
2．已知复数 为纯虚数(其中i为虚数单位),则实数a=
A．-3B．3
D．
3．已知等差数列{an}的前n项和为 则
C．10 D．20
4．已知 ,则cos2α=
A． B．
C． D．
5．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱的长度为
A． B．3
C． D．
6．已知以抛物线E：y2=4x的焦点为圆心,与E的准线相切的
圆交E于A,B两点,则|AB|=
A．2 B．4
C．2 D．6
如图,在四边形ABCD中 , 平面 平面ABCD,
CF=2AE．
(1)求证：
(2)若二面角B-EF-D是直二面角,求AE．
19．(12分)
某公司年会有幸运抽奖环节,一个箱子里有相同的十个兵乓球,球上分别标0．1,2,…,9这十个自然数,每位员工有放回的依次取出三个球．规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖．中奖奖项：三个数字全部相同中一等奖,奖励10000元现金;三个数字中有两个数字相同中二等奖,奖励5000元现金;三个数字各不相同中