第三讲 和差、倍数问题(4年级)

黄冈思维数学4年级A册
第三讲和差、倍数的问题
（约3课时）
教学内容：和差问题
教学目标：1、学会利用线段图分析解决和差问题，和倍问题，差倍问题的数量关系。

2、通过例题的分析、归纳总结并掌握一般和差问题，和
倍问题，差倍问题的数量关系式。

重点难点：1、利用线段图分析数量关系。

2、灵活将条件转化，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。

教学方法：数形结合，转化分析。

教学流程：
一、情景导入
同学们好，今天老师在网上看到了一个很有意思的短文，这个短文只有几句话，现在我说给你们听听吧。

这个短文的名字叫“旗杆的高度”。

一队工程师在丈量一根旗杆的高度，他们只有一根皮尺，不好固定在旗杆上，因为皮尺总是落下来。

一位数学家路过，拔出旗杆，很容易就量出了数据。

他离开后，一位工程师对另一位说：“数学家总是这样，我们要的是高度，他却给我们长度。

”
短文这样就完了，你们有什么想法？（工程师笨吗？数学家的做法对我们有什么启示）
在我们的学习和做题的过程中也是一样的，要善于从多个侧面、多个角度来思考问题，竖着不行就横着来嘛，顺着不行就反着来嘛，我们的解决方法总是多种多样的。

数学就是能让我们变得更机灵。

以前我们知道两个数，可以求出它们的和或差，今天我们就反着来学习，知道两个数的和或差，求这两个数分别是多少？
二、探究新知。

展示课题：和差问题
出示例题1：三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级各植树多少棵？
【教师引导】1，试验法：①保证和，验证差。

②保证差，验证和。

直到符合条件为止。

但是，这种方法太麻烦。

2，数形结合，根据已知条件画图如下：
【学生互动】1，理顺图中的数量关系。

2，理解两种假设方法。

上图很明显的表示出，如果从两个年级植的总棵数中减
去20棵，那结果就是三年级植树棵数的2倍，
如果从总棵数中加上20棵（虚线部分），结果就是四年
级植树棵数的2倍。

完全解题解法一：（128-20）÷2＝54（棵）…………三年级
54+20＝74（棵）或 128-54＝74（棵）…………四年级解法二：（128+20）÷2＝74（棵）…………四年级
74-20＝54（棵）或 128-74＝54（棵）…………三年级答：三、四年级各植树54棵,74棵。

学生模仿练习：第40页，第1题。

小结：1，已知两数的和与差，可以运用公式：
（和-差）÷2＝小数；
（和+差）÷2＝大数。

2、利用数形结合的思想，学会画线段图分析数量关系解答
问题。

出示例题２：两个桶里共盛水30千克，如果把第一桶里的水倒6千克到第二个桶里，两个桶里的水就一样多，问每桶各有多少千克水？
【学生讨论】这道题已知条件是什么？怎么画图？
【教师演示】这里有两堆粉笔，第一堆有5支，第二堆有7支，那么
我要问一下，第二堆比第一堆多几支？要从第二堆中
拿多少支到第一堆两堆的粉笔数量才相等？
【教师分析】1先画图
2第一桶水与第二桶水的差是6+6＝12千克。

【学生互动】根据和差问题的数量关系式解答这个问题。

完全解题：
212)2630(=÷⨯+（千克）…………第一桶水 92)2630(=÷⨯- （千克）…………第二桶水 答：第一桶水重21千克，第二桶水重9千克
【教师点评】用和差问题的数量关系式求出大数或小数之后再用减法或加法求出另一个量也行。

其实解题的方法是多种多样的，只要同学们认真的去思考，总会找到其中的诀窍的。

学生模仿训练：第41页，第2题。

总结：如果要运用和差问题的数量关系式解题，就一定要先求出题目中的和与差。

出示例题3、已知A 、B 、C 、D 四个数的和为320，且A 比B 大4，
C 比B 大8，
D 比A 大12，求A 、B 、C 、D 四个数。

第一桶水 第二桶水
【学生讨论】A 、B 、C 、D 四个数的大小顺序。

【教师引导】先求出最小数，可以减少运算量。

【学生互动】分析四个数的和与B 数的关系。

完全解题 B=[320-4-8-（4+12]÷4=73，所以，A=73+4=77，C=73+8=81，D=73+4+12=89
答：A 为77，B 为73，C 为81，D 为89。

学生模仿训练：第42页，第3题。

总结：在多个数的和差问题中，先求最小数可以简化运算。

出示例题4：学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事
书的3倍，两种书各有多少本？
【学生讨论】 这个题目是和差问题吗？
与前面的和差问题有什么区别？
【教师引导】1，这是一个和倍问题。

2，类比和差问题画线段图帮助我们分析和表示题目中
的数量关系：
【学生讨论】总共480本书与故事书的倍数关系。

完全解题：如果把故事书的本数看作1份，那科技书的本数就有3
份，既然知道了总的本数与份数，就可以求出每一份的本
数了，也就是故事书的本数，这样问题就容易解决了。

480 （3+1）＝120（本）…………故事书
科技书： 故事书：
120⨯3＝360（本）或480-120＝360（本）…………科技书答：故事书有120本，科技书有360本。

学生模仿训练：第43页，第4题。

小结：①已知两个数的和以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数是多少的问题就是和倍问题。

②和÷（倍数+1）=小数，小数⨯倍数=大数，这就是和倍问
题的数量关系式。

出示例题5：有三个书柜共放了330本书，第二个书柜里的书是第一书柜的2倍，第三个书柜里的书是第二个的4倍，每个书柜
里各放了多少本书？
【教师提问】1，三个书柜的书，哪个最多？哪个最少？
2，可以求出第三个书柜里的书是第二个的多少倍吗？【教师引导】画线段图帮助学生理解。

【学生讨论】共总330本书与第一书柜的书有何倍数关系？
完全解题330÷（1+2+2×4）=30（本）……第一个书柜
30×2=60（本）……第二个书柜
60×4=240（本）……第三个书柜
答：第一个书柜里放了30本，第二个书柜里放了60本，第三个书柜里放了240本。

学生模仿训练：第44页，第5题。

小结：在涉及多个数的和倍问题时，以最小的1倍量为标准，先求出最小1倍量是最佳方法。

出示例题6、三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑了多少米？
【师生互动】1，画线段图。

2，以乙队为1倍量，找出1360米与乙队的关系。

完全解题 （1360+240）÷（2+1+1）=400（米）
400×2=800（米）
400-240=160（米）
答：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了160米。

学生模仿训练：第45页，第6题。

小结：如果已知两个量与第3个量的倍数关系，我们一般把第3个量
作为1倍量。

出示例题7：东门小学开展冬季体育比寒，参加跳绳的人数是踢足球人数的4倍，比踢足球的多72人，参加跳绳和踢足球的各有多少？
【教师引导】 1，画线段图：
【学生互动】1，分析图表。

2，找出72人与踢足球人数的倍数关系。

完全解题：从线段图上看出，跳绳的人数是踢足球的人数的4倍，就是比踢足球的人多了（4-1）倍，而从题目中知道是多了72个人，所以可以算出每一倍是多少人，也就能算了4倍是多少人了。

72÷（4-1）＝24（人）…………踢足球
24⨯4＝96（人）或24+72＝96（人）…………跳绳
答：跳绳和踢足球的各有96和24人。

踢足球 跳 绳
学生模仿训练：第46页，第7题。

小结：①已知两个数量的差及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，我们叫做差倍问题。

②差÷（倍数-１）＝小数，小数⨯倍数＝大数，这就是差倍
问题的数量关系式。

出示例题8：商店运来一批白糖和红糖，红糖的重量是白糖的3倍，卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等，商店原有红糖和白糖各多少千克？
【教师提问】如何运用“卖出红糖380千克，白糖110千克后，红糖和白糖重量相等”，这个条件？
【师生互动】1，画线段图，数形结合，求出红糖和白糖重量差。

2，转化为差倍问题
完全解题（380-110）÷（3-1）=135（千克）……红糖
135×3=405（千克）……白糖
答：商店原有红糖135千克，白糖405千克。

学生模仿训练：第47页，第8题。

小结：灵活将条件变形转化，是解题的重要手段。

四、实战演练
巩固练习完成Ｐ50的第（２）题和Ｐ59的第一题。

拓展提高完成Ｐ60的第二题。