第1章复数与复变函数

第1章 复数与复变函数

1.1 复数及复平面

1-1 若1

||1,n n

z z z ω==+

（n 是正整数），则（ ）. （A ）Re()0ω= （B ）Im()0ω= （C ）arg()0ω= （D ）arg()πω=

解 由||1z =知1

z z

=，因此

1

n n n n z z z z

+=+为实数，故Im()0ω=. 选（B ）

||1z =时n z = 1/.n n z z =

1-2

33n n

+=（ ）. （A ）(1)2n - （B ）1(1)2n -- （C ）2 （D ）2-

解

2i π3

e =

2i π3e =知，等式中两项皆为1. 选（C ） 1-3 i |(1e )|n θ+=（ ）.

（A ）2cos

2n n

θ

（B ）2sin

2

n n

θ

（C ）/2

2

2(1cos )

n n θ+ （D ）/22

2(1sin )n n θ+

解 i 222|1e |(1cos )sin 2(1cos )θθθθ+=++=+

故 i /2

2

|(1e )|

2(1c o s ).n

n

n θθ+=+ 选（C ）

本题容易错选(A)项，因为2(1+2cos )4cos 2

θθ=得i |1e |θ+=2cos .2θ错在cos 2θ

应加上绝对值.

1-4 42max{|i |||1}z z z +≤=（ ）. （A

（B

（C

（D ）2 解 由4

2

4

2

|i |||||2,z z z z +≤+≤而当i

4e z π

=时，

πi

4i π2

422

e 1,i ie 1,|i |2z z z z ==-==-+=，故最大值为2 .选 （D ）

用不等式确定最大值是常用方法.

1-5 对任意复数12,z z ，证明不等式

121212||||||||||||.z z z z z z -≤±≤+

证1 121212*********|||()|||||||||

||||||||z z z z z z z z z z z z z z z -=+-≤+-=+=+-≤++

故 1212||||||z z z z -≤+，同理 2112||||||z z z z -≤+ 即 121212||||||||z z z z z z -+≤-≤+ 也就是 1212||||||||.z z z z -

≤+ 证2 （代数法） 设i (1,2)k k k z x y k =+=

则只要证 222

121122||||2||||||

z z z z z z +≤++

即只要证

12122

x x y y y + （1） 只要证 22

2

22

12121122

()()()x x y y x y x y +≤++ 此不等式等价于 22221221112220x y x y x y x y +-≥

由于,k k x y 皆是实数，上式左边是完全平方式，故此不等式成立，也就是

1212||||||z z z z +≤+成立，以下同证1.

证3 （三角法）.设12i i 1122e ,e ,z r z r θθ==

则2221211221122||(cos cos )(sin sin )z z r r r r θθθθ+=+++ 222212*********cos()2r r r r r r r r θθ=+-≤+ 21212()(||||)r r z z =+=+ 即 1212||||||

z z z z +≤+成立，以下同证1. 1-6 当1||≤z 时，求||α+n z 的最大与最小值，n 是正整数，a 是复常数. 解1 （代数法）.由1-5 题知.

||1||||||||||||αα+≤+≤+≤-a z z z z n n n

我们知道，当1||=n z ，且向量n

z 与α夹角为0°时右边不等式等号成立.故||α+n z 的最大值是.||1α+

对左边不等式，要分情况讨论.

（1）若1||>α，则.1||||||||-≥-≥+αααn n z z 等号当,1||=z 且n

z 与α方向相反时成立.这时最小值是.1||-α

（2）若1||≤α，则由0||≥+αn z ，当α-=n

z 时等号成立，最小值为0.

总之，不论α为何复数，|1|+n z 的最大值是||1α+；而当1||>α时，最小值为1||-α.当1||≤α时，最小值为0.

解 2 （几何法）.我们仅就1||>α加以证明.由1||≤z 知1||≤n z 。即n z 是闭单位圆上一点.||α+n z 表示n

z 点到α-点的距离.很明显（初等几何）当n

z 位于如图1.2的1ω的位置时，n

z 与α-距离最大，且最大值就是||1α+；当n

z 位于2ω点时，||α+n z 最小，最小值为1||-α.

1||≤α的情况请读者自己研究.

1-7 若123||||||z z z ==，且1230z z z ++=证明以123,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证1 记1||z a =，则

222221232323||||2(||||)||z z z z z z z =+=+--|

得 2223||3.z z a -=同样 2223112||||3z z z z a -=-= 即得 213213||||||.z z z z z z -=-=-命题得证.

证2 设(1,2,3)k i k z ae k θ

==

因而有 31

2()0,i i i a e

e e θθθ++=即

123123cos cos cos sin sin sin 0.θθθθθθ++=++=

不妨设 12302.θθθπ≤<<≤则

2222123123(cos cos )cos ,(sin sin )sin .θθθθθθ+=+=

于是 121222(c o s c o s

s i n s i n ) 1.θθθθ++= 即 2121

12

cos(),.23

θθθθπ-=--= 同理，3223θθπ-=，说明123,,z z z 在圆周上且 1223,z z z z 与 31z z 的度数均为2,3

π所以123,,z z z 为顶点的三角形是正三角形.

1-8 证明复数形式的柯西（Cauchy ）不等式：

2

21

1

1

||||

||.n n

n

k k k k

k k k a αββ

===≤∑∑∑